文档文本内容
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第07 讲有理数的加减运算
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 有理数的加法运算
题型2 有理数加法中的符号问题
题型3 有理数加法运算律
题型4 有理数加法在生活中的应用
题型5 有理数的减法运算
题型6 有理数的加减混合运算中去括号问题
题型7 有理数的加减混合运算
题型8 有理数的加减中的简便运算
题型9 有理数的加减混合运算的应用
题型10 根据点在数轴的位置判断式子的正负
题型11 新定义下的有理数加减混合运算
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
加法法则、减法法则、
相反数、转化、运算律、
分类讨论。
1. 掌握有理数的加法法则，能准确进行同号、异号两数相加及与0 相加的运
算。
2. 掌握有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数），能将减
法统一为加法。
3. 能熟练运用加法交换律、结合律简化运算，提高计算准确性与效率。
4. 经历法则的探索过程，体会分类讨论、转化等数学思想，培养运算能力。
学习重点：有理数加法与减法的运算法则，特别是异号两数相加的符号确定与绝对值相减。
学习难点：理解异号两数相加时符号的确定（取绝对值较大加数的符号），以及减法转化为加法后“两
变”的理解（减号变加号，减数变相反数）。
2 / 48
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为
相反数的两个数相加得0.
⑶一个数同0 相加，仍得这个数.
【易错提醒】
有理数加法易错警示：同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大数的符号，并用较
大绝对值减去较小绝对值。注意：互为相反数相加得0。勿忘确定符号。
即时即练1．计算：
(1)
8
15
；
(2)
16
25
24
35
【答案】(1)7
(2) 20
【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算．
（1）根据有理数加法运算法则进行计算即可；
3 / 48
（2）根据有理数加法的运算律进行简单计算即可．
【详解】（1）解：
8
15
15
8
7
；
（2）解：
16
25
24
35
16
24
25
35
40
60
20
．
2．计算：
(1)
1
1
1
1
2
3
6
；
(2) 1
3
3
2
3
2
5
8
4
5
4
5
．
【答案】(1) 2
3
(2) 2
【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，能利用有理数加法的交换律和结合律简化运算是解题的关键．
（1）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可；
（2）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可．
【详解】（1）解：
1
1
1
1
2
3
6
1
1
1
1
3
2
6
4
2
3
3
2
3
；
（2）解：
1
3
3
2
3
2
5
8
4
5
4
5
1
3
3
2
3
5
2
8
4
4
5
5
9
11
2
．
知识点02 有理数的加法运算定律
4 / 48
（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a；
（2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋
c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）；
【易错提醒】
有理数加法运算律易错警示：交换律（a+b=b+a）和结合律[(a+b)+c=a+(b+c)]可简化计算，但必须带上数前
的符号交换位置。例如-3+5 应交换为5+(-3)，勿直接写5-3，避免符号错误。
即时即练1．阅读例题的计算方法．
例：计算：
5
2
3
1
5
9
17
3
6
3
4
2
．
解：原式
5
2
3
1
5
9
17
3
6
3
4
2
5
2
3
1
5
9
17
3
6
3
4
2
1
0
14
1
14
．
上面这种解题方法叫做拆项法．
(1)计算：
11
3
11
3
16
14
12
15
17
7
17
7
；
(2)计算：
4
5
3
4
2024
1890
1008
1142
5
9
5
9
．
【答案】(1) 5
(2) 2
5
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据提供的方法，拆项计算即可；
（2）根据提供的方法，拆项计算即可．
【详解】（1）解：
11
3
11
3
16
14
12
15
17
7
17
7
11
3
11
3
16
14
12
15
17
7
17
7
11
3
3
11
16
14 12
15
17
7
7
17
5 / 48
11
11
3
3
16
15
14 12
17
17
7
7
31
26
0
=
5
．
（2）解：
4
5
3
4
2024
1890
1008
1142
5
9
5
9
4
5
3
4
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1008
1142
5
9
5
9
5
4
4
3
1890
2024
1008
1142
9
5
9
5
5
4
4
3
1890
1142
2024 1008
9
9
5
5
2
3032
3032
1
15
2
0
5
2
5
．
知识点03 有理数的减法法则
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b
【易错提醒】
有理数减法易错警示：减去一个数等于加上它的相反数。即a-b = a+(-b)。注意：减法没有交换律。运算时
勿直接减，务必转化为加法，并正确改变减数的符号。
即时即练1．计算：
(1)
12
11
；
(2) 0
15
；
(3)
36
25
36
；
(4)
2
1
1
3
2
4
．
【答案】(1) 23
(2) 15
(3) 47
6 / 48
(4)
11
12
【分析】本题考查了有理数的减法．根据有理数的减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，即可
求解．
【详解】（1）解：
12
11
12
11
23
；
（2）解：0
15
15
；
（3）解：
36
25
36
36
25
36
47
；
（4）解：
2
1
1
3
2
4
2
8
6
12
12
3
1
2
8
6
3
1
12
11
．
2．计算：
(1)
8
5
；
(2)
2.5
2.5
；
(3)
5
0
；
(4)
1
1
2
3
．
【答案】(1) 13
(2)0
(3) 5
(4)
1
6
【分析】本题主要考查了有理数的加法：
（1）根据有理数的加法法则计算即可；
（2）根据有理数的加法法则计算即可；
（3）根据有理数的加法法则计算即可；
（4）根据有理数的加法法则计算即可．
【详解】（1）解：
8
5
8
5
7 / 48
13
（2）解：
2.5
2.5
0
（3）解：
5
0
5
（4）解：
1
1
2
3
1
1
2
3
1
6
题型1 有理数的加法运算
【例1】计算：
(1)
3
2
( 5 )
7
4
5
；
(2)
2
1
(
)
( 2 )
7
3
；
(3) ( 3.51)
( 2.83)
；
(4)
5
( 3 )
0
6
．
【答案】(1) 13
120
(2)
55
21
(3) 0.68
(4)
5
3 6
【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则．各个小题均根据有
理数的加法法则：同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，和取绝对值较大加
数的符号，大绝对值减去小绝对值，任何数与0 相加仍得这个数，进行计算即可．
【详解】解：（1）原式
8
15
7
5
20
20
8 / 48
28
15
6
5
20
20
13
120
；
（2）原式
6
49
(
)
21
21
55
21
；
（3）原式
(3.51
2.83)
0.68
；
（4）原式
5
36
．
【例2】计算：
(1) ( 17)
( 13)
；
(2) ( 8)
( 10)
；
(3) ( 5.1)
( 12.1)
；
(4)
1
( 2 )
( 2.2)
5
；
(5)
2
2
( 2 )
2
3
3
；
(6) ( 4.3)
0
．
【答案】(1)30
(2) 18
(3) 7
(4)0
(5)0
(6) 4.3
【分析】本题考查有理数加法运算，掌握相关知识是解决问题的关键．各题按照有理数加法运算法则计算
即可．有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较
大加数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值，任何数与0 相加仍得这个数，进行计算即可．
【详解】解：（1）( 17)
( 13)
17
13
30
；
（2）( 8)
( 10)
18
；
（3）( 5.1)
( 12.1)
5.1 12.1
7
；
（4）
1
( 2 )
( 2.2)
2.2
2.2
0
5
；
（5）
2
2
( 2 )
2
0
3
3
；
（6）( 4.3)
0
4.3
．
9 / 48
【技巧归纳】
同号相加取相同符号，绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值。互为相反
数和为零。与0 相加仍得原数。分数相加先通分，小数可化分数或直接对齐小数点。
【变式1-1】计算：
(1)
180
10
(2)
10
1
(3)
12
34
38
66
(4) 5
3
2
4
+
+
+
7
4
7
7
【答案】(1)170
(2) 11
(3) 82
(4) 1
4
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算等知识点，运用有理数加法运算律进行简便运算是解题的
关键．
（1）先去括号，然后计算减法即可；
（2）先去括号，然后计算减法即可；
（3）运用有理数加减法运算律进行简便运算即可；
（4）运用有理数加减法运算律进行简便运算即可．
【详解】（1）解：原式
180 10
170
；
（2）解：原式
10 1
11
；
（3）解：原式
12
38
34
66
50
32
82
；
（4）解：原式
5
2
4
3
7
7
7
4
3
1
4
1
4
．
10 / 48
【变式1-2】计算：
(1)
23
58
17
；
(2)
2.8
3.6
3.6
；
(3)
1
3
7
54
2
；
【答案】(1)18
(2) 2.8
(3) 49.5
【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的加法运算律等知识点，灵活运用有理数加法运算律
进行简便运算是解题的关键．
（1）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可；
（2）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可；
（3）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可；
【详解】（1）解：
23
58
17
；
23
17
58
40
58
18
．
（2）解：
2.8
3.6
3.6
2.8
3.6
3.6
2.8
0
2.8
．
（3）解：
1
3
7
54
2
3
54
7.5
57
7.5
49.5
．
题型2 有理数加法中的符号问题
【例3】如果两数和为正数、下列说法中正确的是（
）
A．两个加数都是正数
B．一个加数是正数，另一个加数是负数
C．两个加数的差是正数
D．绝对值数较大的加数必是正数
【答案】D
11 / 48
【分析】根据有理数的加法计算法则可知，两数相加时，符号取绝对值大的数的符号，因为结果为正数，
则其中大的那个加数的符号为正，据此可得答案．
【详解】解：∵两数和为正数，
∴绝对值大的数的符号为正，
故选D．
【例4】下列说法中正确的是（
）
A．两数相加，其和大于任何一个加数
B．异号两数相加，其和小于任何一个加数
C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零
D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号
【答案】C
【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可．
【详解】解：A 选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意；
B 选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合
题意；
C 选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意；
D 选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意；
故选：C．
【技巧归纳】
先看两数符号：同号，和取原符号；异号，取绝对值大的数符号。计算时先定符号，再算绝对值差或和。
避免错误：别忽略负号，可先改写成省略加号形式再运算，如(-3)+(-5) = -(3+5)。
【变式2-1】两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（
）
A．都是负数
B．至少有一个是负数
C．有一个是0
D．绝对值不相等
【答案】B
【分析】根据有理数加法法则分析判断即可．
【详解】解：根据有理数加法法则可知，如果两个有理数的和为负数，可有三种情况：同负；一正一负且
负数的绝对值大于正数的绝对值；一个负数和0．显然三种情况中，至少一个为负数．
故选：B．
【变式2-2】下列说法正确的是（
）
A．若<
a b ，则a
b
12 / 48
B．a 为任何有理数，则
1
a 必为负数
C．两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数
D．若
0
a
a
，则a 为非负数
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义，有理数的加法法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、2
1,
2
1
，∴若<
a b，则a
b
，选项不正确，不符合题意；
B、a 为任何有理数，则
1
a 必为非负数，选项错误，不符合题意；
C、两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数，选项正确，符合题意；
D、若
0
a
a
，则a 为非正数，选项错误，不符合题意；
故选C．
题型3 有理数加法运算律
【例5】计算：
(1)( 23)
( 58)
( 17)
；
(2) ( 2.8)
( 3.6)
( 1.5)
3.6
；
(3) 1
2
5
5
(
)
(
)
(
)
6
7
6
7
；
(4) 2.5
( 3.26)
5.5
( 7.26)
．
【答案】(1)18
(2) 4.3
(3)
5
21
(4)7
【分析】本题主要考查了有理数的加法，熟记运算法则是解答本题的关键．
（1）能凑整的两数先相加，然后再进行运算；
（2）能凑整的两数先相加，然后再进行运算；
（3）同分母两数先相加，然后再进行运算；
（4）能凑整的两数先相加，然后再进行运算；
【详解】（1）解：原式
[( 23)
( 17)]
( 58)
40
58
18
；
（2）解：原式
[( 2.8)
( 1.5)]
[( 3.6)
3.6]
4.3
0
13 / 48
4.3
；
（3）解：原式
1
5
2
5
[
(
)] [(
)
(
)]
6
6
7
7
2
3
3
7
5
21
；
（4）解：原式
( 2.5
5.5)
[( 7.26)
( 3.26)]
3
4
7
．
【例6】阅读下面文字：
对于
5
2
3
1
5
9
17
3
6
3
4
2
，可以按如下方法计算：
原式
5
2
3
1
5
9
17
3
6
3
4
2
5
2
3
1
5
9
17
3
6
3
4
2
1
0
14
1
14
．
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：
5
2
1
2024
2025
1
4050
6
3
2
．
【答案】2
【分析】本题主要考查了有理数的加法，正确理解拆项法，把带分数拆成整数与分数两个部分是解题的关
键．
根据拆项法的定义，先把带分数拆成整数与分数两个部分，然后分别进行计算即可．
【详解】解
原式
5
2
1
2024
2025
1
4050
6
3
2
5
2
1
2024
2025
1
4050
6
3
2
5
2
1
0
6
3
2
0
2
2
14 / 48
【技巧归纳】
加法交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。运用策略：同分母分数、相反数、同号数先结合，凑
整简化计算，小数与分数可统一形式再交换结合，避免繁琐通分。
【变式3-1】阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题．
①
5
2
3
1
5
9
17
3
6
3
4
2
．
解：原式
5
2
3
1
5
9
17
3
6
3
4
2
5
2
1
3
5
9
3
17
6
3
2
4
1
0
14
1
14
．
上述这种方法叫作拆项法．
②仿照上面的方法计算：
2
5
1
2023
2024
4047
3
6
2
．
【答案】2
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用拆项法将原式变形，
然后利用加法的交换律与结合律计算即可．
【详解】解：原式
2
5
1
[ 2023
(
)]
[ 2024
(
)]
4047
(
)
3
6
2
2
5
1
[ 2023
( 2024)
4047]
[
(
)
(
)]
3
6
2
0
2
2
．
【变式3-2】对于
3
1
3
1
3
1
2
2
10
2
5
2
可以如下计算：
解：原式
3
1
3
1
3
1
2
2
10
2
5
2
3
1
2
2
___________
0
___________
___________
上面这种方法叫拆项法．
15 / 48
(1)请补全以上计算过程；
(2)类比上面的方法计算：
2
1
1
1
100
99
50
49
3
4
3
4
【答案】(1)
3
1
3
1
10
2
5
2
，
3
3
3
,
10
5
10
(2)
1
3
【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，解题的关键是理解题意．
（1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后
再求和即可得到答案；
（2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后
再求和即可得到答案．
【详解】（1）解：原式
3
1
3
1
3
1
2
2
10
2
5
2
3
1
3
1
3
1
2
2
10
2
5
2
3
3
0
10
5
3
10
，
故答案为：
3
1
3
1
10
2
5
2
，
3
3
3
,
10
5
10
（2）
2
1
1
1
100
99
50
49
3
4
3
4
2
1
1
1
100
(
)
(99
)
(50
)
49
(
)
3
4
3
4
，
2
1
1
1
100
99
50
49
3
4
3
4
2
1
0
(
)
3
3
，
1
3
．
题型4 有理数加法在生活中的应用
【例7】2024 年国庆节，全国放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江
寨国际旅游度假区，在10 月1 日的景区接待游客人数为1.2 万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变
16 / 48
化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
日期
10 月2 日
10 月3 日
10 月4 日
10 月5 日
10 月6 日
10 月7 日
人数变化（万人）
2.3
2.4
0.9
0.8
2.7
1.9
(1)10 月3 日的接待游客人数为__________万人次．
(2)国庆假期里，游客人数最多的是10 月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10 月
__________日，达到__________万人次．
(3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？
【答案】(1)5.9
(2)4，6.8，1，1.2
(3)该景区在这国庆期间一共接待了28.1 万人次游客
【分析】本题考查了正数和负数，掌握有理数的加法计算是解题关键．
（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）分别计算2 日到7 日的游客人数即可判断；
（3）将1 日到7 日的游客人数相加即可．
【详解】（1）解：10 月3 日的接待游客人数为1.2
2.3
2.4
5.9
万人次，
故答案为：5.9；
（2）解：因为10 月2 日的游客人次：1.2
2.3
3.5
（万）
10 月3 日的游客人次：3.5
2.4
5.9
（万）
10 月4 日的游客人次：5.9
0.9
6.8
（万）
10 月5 日的游客人次：6.8
0.8
6
（万）
10 月6 日的游客人次：6
2.7
3.3
（万）
10 月7 日的游客人次：3.3 1.9
1.4
（万）
∴国庆假期里，游客人数最多的是10 月4 日，达到6.8 万人次；游客人数最少的是10 月1 日，达到1.2 万
人次，
故答案为：4，6.8，1，1.2；
（3）解：1.2
3.5
5.9
6.8
6
3.3 1.4
28.1
（万）
答：该景区在这国庆期间一共接待了28.1 万人次游客．
【例8】有6 筐白菜，以每筐25 千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪
录如下：
编号
1
2
3
4
5
6
超过（或不足）
1.5
3
2
0.5
1
2
17 / 48
回答下列问题：
(1)这6 筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重千克；
(2)与标准重量比较，6 筐白菜总计超过或不足多少千克？
【答案】(1) 24.5
(2)与标准重量比较，6 筐白菜总计不足1 千克
【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数比较大小的实际应用，正确理解题意是解题的关
键．
（1）超过或不足的重量的绝对值最小的那筐白菜最接近标准重量，据此求解即可；
（2）把这6 筐白菜超过或不足的重量相加，若结果为正，则与标准重量比较是超过，计算结果即为超过的
重量，若结果为0，则等于标准重量，若结果为负，则与标准重量比较是不足，计算结果的绝对值即为不足
的重量，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵
0.5
0.5
1
1
1.5
1.5
2
2
2
3
3
，
∴这6 筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜是编号为4 的白菜，
∴这6 筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重
25
0.5
24.5
千克；
（2）解：
1.5
3
2
0.5
1
2
1.5
3
2
0.5 1
2
1
千克，
答：与标准重量比较，6 筐白菜总计不足1 千克．
【技巧归纳】
生活中表示盈亏、升降、方向等。规定正方向（如收入、上升），负号表示相反意义。求和得总变化量。
也可用数轴：初始点加正数向右，加负数向左，终点位置即结果。注意单位统一。
【变式4-1】无人机社团课上，悠悠同学在操纵一架无人机进行功能测试，无人机从地面起飞后的高度变化
情况如下表：
操作次数
第1 次
第2 次
第3 次
第4 次
第5 次
高度变化
上升25m
下降10m
下降2m
上升18m
下降30m
记作
25m
10m
2m
18m
30m
(1)请你依据表格中的信息计算无人机飞行中的最大高度是多少m ？
(2)五次操作后，无人机共飞行了多少m ？
【答案】(1)无人机飞行中的最大高度是31m
(2)五次操作后，无人机共飞行了85m
18 / 48
【分析】本题主要考查了正负数的意义、有理数加法运算、绝对值的应用等知识，理解相关知识并灵活运
用是解题关键．
（1）结合正数和负数的意义，利用有理数加法法则求得每次操作后的飞行高度，即可获得答案；
（2）将每次飞行操作的飞行高度取绝对值并相加，即可获得答案．
【详解】（1）第1 次操作后：25m ，
第2 次操作后：
25
10
15m
，
第3 次操作后：
15
2
13m
，
第4 次操作后：13 18
31m
，
第5 次操作后：
31
30
1m
，
所以，无人机飞行中的最大高度是31m ；
（2）由题可知：25
10
2
18
30
25 10
2 18
30
85m
，
所以五次操作后，无人机共飞行了85m ．
【变式4-2】2024 国庆假期，全国从10 月1 日到7 日放假7 天，各地景区游人如织，西安文旅市场热度不
减．据统计，西安位列国庆假日“热门目的地”第二、“高铁游热门目的地”第五、“入境游热门目的地”第八，
世界人文之都魅力进一步彰显．在9 月30 日西安城墙的游客人数为0.9 万人，接下来的七天中，每天的游
客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
日期
10 月1 日
10 月2 日
10 月3 日
10 月4 日
10 月5 日
10 月6 日
10 月7 日
人数变化（万人）
3.1
1.78
0.58
0.8
1
1.6
1.15
(1)七天假期里，游客人数最多的是10 月_____日，达到_____万人．游客人数最少的是10 月_____日，达到
_____万人．
(2)请问西安城墙在这七天内一共接待了多少游客？
(3)如果你爸妈的朋友也打算明年国庆节来逛西安城墙，你对他们出行的日期有何建议？为什么这么建议？
【答案】(1) 2;5.78;7;0.65
(2) 25.23万
(3)最好在十一后几天出行，人数较少（答案不唯一）
【分析】本题考查正数与负数，有理数的加减；准确理解题意，利用正数负数求出每天的人数是解题的关
键．
（1）分别求出每天的人数，即可求解；
（2）求出每天人数，再求和得出结果；
（3）最好在十一后几天出行，人数较少．
【详解】（1）解：10 月1 日游客：0.9
3.1
4
（万人），
10 月2 日游客：4 1.78
5.78
（万人），
19 / 48
10 月3 日游客：5.78
0.58
5.2
（万人），
10 月4 日游客：5.2
0.8
4.4
（万人），
10 月5 日游客：4.4 1
3.4
（万人），
10 月6 日游客：3.4 1.6
1.8
（万人），
10 月7 日游客：1.8 1.15
0.65
（万人），
由此可知人数最多的是2 号，5.78万人，
人数最少的是7 号，0.65万人，
故答案为2;5.78;7;0.65 ；
（2）解：4
5.78
5.2
4.4
3.4 1.8
0.65
25.23
万人，
∴在这八天内一共接待了25.23万游客；
（3）解：最好在十一后几天出行，人数较少．
题型5 有理数的减法运算
【例9】计算：
(1)
3
5
；
(2)0
7
；
(3)2
5
；
(4)
7.2
4.8
；
【答案】(1) 2
(2) 7
(3) 3
(4)12
【分析】本题主要考查有理数加减法运算，能准确理解并运用有理数加减法运算法则是解答本题的关键．
（1）原式根据减法法则变形后，再进行加减运算即可；
（2）原式根据减法法则进行计算即可；
（3）原式根据减法法则进行计算即可；
（4）原式根据减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
3
5
3
5
2
；
（2）解：0
7
0
7
7
；
20 / 48
（3）解：2
5
2
5
5
2
3
（4）解：
7.2
4.8
7.2
4.8
12
．
【例10】计算：
(1)
1
3
16
32
4
4
；
(2)
1
1
1
3
2
；
(3)
2
2
5
5
3
3
；
(4)
6
8
7
．
【答案】(1)
1
16 2
(2) 5
6
(3)
1
113
(4) 5
【分析】本题考查了有理数的减法运算及分数、带分数的加减运算，解题的关键是将减法转化为代数和形
式后按加法法则计算．
（1）将减法转化为代数和，拆分带分数后分别计算整数与分数部分的和．
（2）转化为代数和后通分，按分数加法法则计算．
（3）转化为代数和后，直接计算两个相同带分数的和．
（4）转化为代数和后，按整数加法法则依次计算．
【详解】（1）解：
1
3
1
3
16
32
16
32
4
4
4
4
1
3
16
32
4
4
1
1
16
16
2
2
；
（2）
1
1
1
1
2
3
6
5
( 1)
1
3
2
3
2
6
6
6
6
；
21 / 48
（3）
2
2
2
2
1
5
5
5
5
11
3
3
3
3
3
；
（4）( 6)
( 8)
( 7)
6
8
7
2
7
5
．
【技巧归纳】
减法转化为加法：减去一个数等于加上它的相反数，即a-b = a+(-b)。先变减号为加号，再将减数取反，然
后按加法法则计算。注意连续减多个数时，依次转化为加法。分数减法则先通分。
【变式5-1】计算：
(1)
2.7
2.3
；
(2)
2
1
3
3
2
；
(3)
3
( 3.7)
10
；
(4) 1
1
3
4
；
(5)(3
9)
(4
8)
；
(6)
1
5
3
3
2
2
6
4
．
【答案】(1) 5
(2)17
6
(3) 4
(4) 1
12
(5) 2
(6) 65
12
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算；
（1）根据有理数的减法进行计算即可求解；
（2）根据有理数的减法进行计算即可求解；
（3）根据有理数的减法进行计算即可求解；
（4）根据有理数的减法进行计算即可求解；
（5）先计算括号内，再计算减法即可求解；
（6）根据有理数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
2.7
2.3
22 / 48
5
；
（2）解：
2
1
3
3
2
2
7
3
2
4
21
6
6
17
6
（3）解：
3
( 3.7)
10
37
3
10
10
4
（4）解：1
1
3
4
4
3
12
12
1
12
（5）解：(3
9)
(4
8)
6
4
6
4
2
（6）解：
1
5
3
3
2
2
6
4
7
5
11
2
6
4
42
10
33
12
12
12
65
12
【变式5-2】计算：
(1)
0.9
2.7
；
(2) 1
2
2
3
；
(3)
12
18
7
15
；
23 / 48
(4)
5
3
1
3
5
3
2
4
6
7
6
7
．
【答案】(1)1.8
(2)
1
6
(3)8
(4) 7
【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，熟知有理数的加减运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的减法运算法则求解即可；
（2）根据有理数的加法运算法则求解即可；
（3）根据有理数的加减运算法则求解即可；
（4）根据有理数的加减运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
0.9
2.7
0.9
2.7
1.8
；
（2）解：1
2
2
3
1
2
2
3
3
4
6
6
1
6
；
（3）解：
12
18
7
15
12 18
7 15
8
；
（4）解：
5
3
1
3
5
3
2
4
6
7
6
7
5
3
1
3
5
3
2
4
6
7
6
7
5
1
3
3
5
2
4
3
6
6
7
7
8 1
7
．
题型6 有理数的加减混合运算中去括号问题
24 / 48
【例11】算式3
( 5)
( 2)
写成省略加号的和式，正确的是（
）
A．3
5
2
B．3
5
2
C．3 5
2
D．3
5
2
【答案】D
【分析】本题考查了省略加法和括号的形式，熟练掌握去括号法则是解题的关键．
利用去括号法则省略括号后即可得出答案．
【详解】解：3
( 5)
( 2)
3
5
2
，
故选：D．
【例12】把
4
2
6
5
写成省略加号和的形式为（
）
A．4
2
6
5
B．4
2
6
5
C．4
2
6
5
D．4
2
6
5
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的加法，先将原式整理为4
( 2)
( 6)
( 5)
，再写出省略加号的形式即可．
【详解】原式
4
( 2)
( 6)
( 5)
4
2
6
5
．
故选：A．
【技巧归纳】
去括号法则：括号前是“+”，直接去括号，各项不变；括号前是“-”，去括号后各项变号。可先将减法
统一为加法（变减号），再按加法交换结合律简化。注意多重括号从内向外逐层处理。
【变式6-1】将式子
(
)
(
)
(
5
3
6
8
10)
改写成省略括号的形式为(
)
A．5
3
6
8 10
B．5
3
6
8 10
C．5
3
6
8 10
D．5
3
6
8 10
【答案】B
【分析】直接利用有理数的加减运算法则化简得出答案．
【详解】解：
(
)
(
)
(
)
5
3
6
8 10
5
3
6
8
10
，
故选：B．
【变式6-2】为计算简便，把
1.4
3.7
0.5
2.4
3.5
写成省略括号和加号的和的形式，正确
的是（
）
A．1.4
3.7
0.5
2.4
3.5
B．1.4
3.7
0.5
2.4
3.5
C．1.4
3.7
0.5
2.4
3.5
D．1.4
3.7
0.5
2.4
3.5
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的加法，括号前是“ + ”，可以直接去掉，不变号，括号前是“”，去掉“ ”
和括号，括号内变号，即可解答．
25 / 48
【详解】原式
1.4
3.7
0.5
2.4
3.5
．
故选：A．
题型7 有理数的加减混合运算
【例13】计算：
(1)
17
23
5
(2) 3.5 1.8 1.3
(3) 1
2
1
2
1
2
3
2
3
(4)
5
1
2
【答案】(1) 11
(2) 4
(3) 2
3
(4)
3
2
【分析】本题主要考查了有理数运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据有理数加减运算法则求解即可；
（2）根据有理数加减运算法则求解即可；
（3）首先将带分数化为假分数，再运用加法运算律求解即可；
（4）首先化简绝对值，再根据有理数减法法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
17
23
5
6
5
11
；
（2）解：原式
3.5
1.8
1.3
5.3 1.3
4
；
（3）解：原式
1
2
3
2
2
3
2
3
1
3
2
2
2
2
3
3
4
2
3
2
3
；
（4）解：原式
5
1
2
5
1
2
5
1
2
3
2
．
【例14】解答题：
(1)
27 15
23
35
．
(2)
3
0.25
3
14
．
(3) 1
3
5
1
1
2
4
6
2
4
．
26 / 48
(4)
2
3
1
1
3
2
6
2
．
【答案】(1)0 ；
(2) 5
；
(3)
1
6
；
(4) 1
2
【分析】（1）先去括号将减法转化为加法，再利用加法结合律把正数与正数、负数与负数分别结合，简化
计算；
（2）先计算绝对值，再将小数化为分数，利用加法结合律把同分母分数结合，快速计算；
（3）利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项、同分母的项分别结合，通过抵消或合并简化运算；
（4）先去括号转化为加法，再利用加法结合律把同分母的项分别结合，或通分后计算，简化运算过程．
【详解】（1）解：原式
27 15
23 35
27
23
15
35
50
50
0
．
（2）解：原式
3
0.25
3 14
1
7
3
4
4
1
7
3
4
4
2
3
5
．
（3）解：原式
1
1
3
1
5
2
2
4
4
6
5
0
1
6
1
6
．
（4）解：原式
2
3
1
1
3
2
6
2
2
1
3
1
3
6
2
2
4
1
1
6
6
3
1
6
1
1
2
1
2
．
【技巧归纳】
统一为加法：将减法变为加相反数，省略加号写成代数和形式。运用交换律、结合律，将同号数、相反数、
凑整数、同分母数优先结合。按从左到右顺序验算，注意符号不要漏。小数化分数简便。
【变式7-1】计算：
(1)
1
1
2.5
2
5
；
(2)
7
1
1
1
4
5
4
3
8
2
2
8
；
(3)
1
1
0.5
3
2.75
7
4
2
；
(4)
1
2
1
5
0.25
12
3
4
12
【答案】(1)
1
3 5
(2) 7
27 / 48
(3) 2
(4) 1
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是将小数与分数统一形式，利用加法结合律简化
计算．
（1）将小数化为分数，再通分计算；
（2）将同分母分数结合，利用加法结合律简便计算；
（3）将小数化为分数，结合同分母分数计算；
（4）将小数化为分数，结合同分母分数计算．
【详解】（1）解：
1
1
2.5
2
5
5
1
1
2
2
5
1
3
5
1
3 5
；
（2）解：
7
1
1
1
4
5
4
3
8
2
2
8
7
1
1
1
4
5
4
3
8
2
2
8
1
1
7
1
5
4
4
3
2
2
8
8
1 8
7
；
（3）解：
1
1
0.5
3
2.75
7
4
2
1
1
3
1
3
2
7
2
4
4
2
1
3
1
1
3
2
7
4
4
2
2
6
8
2
；
（4）解：
1
2
1
5
0.25
12
3
4
12
1
1
2
1
5
4
12
3
4
12
1
1
1
5
2
4
4
12
12
3
1
2
0
3
3
1
．
【变式7-2】计算：
(1)
5
7
2
4
1
．
(2)
10
7
5
3
．
(3)
1
1
1
1
3
1
3
2
3
2
．
(4)
5.3
2.5
3.2
4.8
．
【答案】(1) 7
(2) 9
(3) 2
(4) 10.8
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知有理数的加减计算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的加减计算法则求解即可；
（2）根据有理数的加减计算法则求解即可；
（3）根据有理数的加减计算法则求解即可；
（4）根据有理数的加减计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
5
7
2
4
1
5
7
2
4
1
7
；
（2）解：
10
7
5
3
10
7
5
3
9
；
（3）解：
1
1
1
1
3
1
3
2
3
2
1
1
1
1
3
1
3
2
3
2
1
1
1
1
3
1
3
3
2
2
3 1
2
；
28 / 48
（4）解：
5.3
2.5
3.2
4.8
5.3
2.5
3.2
4.8
10.8
．
题型8 有理数的加减中的简便运算
【例15】计算：
1
1
1
7
2
4
+4
+
5
4
2
8
8
；
【答案】
3
7 4
【分析】该题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算的运算法则．
原式化简多重符号后，利用加减法计算法则即可得到结果；
【详解】解：
1
1
1
7
2
4
+4
+
5
4
2
8
8
1
1
1
7
2
+4
4
5
4
2
8
8
1
1
1
7
2+4
4
5
+
4
2
8
8
2
4
1
7
7
+
8
8
8
8
3
7
4
3
7 4
【例16】计算：
(1)
7
10
8
2
；
(2)
1
1
3
3
6
5
4
5
4
．
【答案】(1) 27
；
(2)
1
610 ．
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．
（1）先去括号，再计算减法即可；
（2）先去括号，再根据交换律分别计算，最后计算加法即可．
【详解】（1）解：原式
7 10
8
2
27
；
（2）解：原式
1
1
3
3
1
3
3
1
2
1
1
6
6
6
6
5
4
5
4
5
5
4
4
5
2
10
．
【技巧归纳】
29 / 48
常用技巧：同分母分数结合、相反数相消、小数化分数或统一小数位、正负数分组相加。观察数字特征，
凑整（如2.8+7.2）或化同形（如0.25=1/4）。加法交换律结合律灵活运用，避免复杂通分。
【变式8-1】计算
(1)
8
26
13
8
2
(2)
3
2
2
2
1
3
2
2
4
【答案】(1) 37
(2)
1
4 2
【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟记法则是解决此题的关键，利用运算律可使计算简化．
（1）先把互为相反数的两数结合，然后利用有理数的加减法解题即可；
（2）把互为相反数的两数结合，然后利用有理数的加减法解题即可．
【详解】（1）解：
8
26
13
8
2
8
8
26 13
2
37
；
（2）
2
1
2
4
2
2
3
2
3
1
2
2
4
2
2
2
3
3
1
4 2
．
【变式8-2】计算：
(1)
32
12
( 6)
(2)
1
1
1
1
( 6.25)
3
1.75
2
2
6
3
．
【答案】(1) 38
(2) 4
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．
（1）先去绝对值符号，然后从左向右依次计算即可；
（2）将分母相同的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解．
【详解】（1）解：
32
12
( 6)
32 12
6
38
；
（2）解：
1
1
1
1
( 6.25)
3
1.75
2
2
6
3
3
19
7
6.25 1.75
2
6
3
9
19
14
8
6
6
6
24
8
6
4
8
4
．
题型9 有理数的加减混合运算的应用
【例17】流花河的警戒水位是73.4 米，下表记录的是今年某一周内的水位变化情况，取河流的警戒水位作
30 / 48
为0 点，并且上周末（星期日）的水位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一
天下降．
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化（米）
0.20
0.81
0.35
0.03
0.28
0.36
0.01
注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降
(1)请在下表中填写本周流花河每天的实际水位高度情况：
星期
一
二
三
四
五
六
日
实际高度/米
(2)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的
距离分别是多少米？
【答案】(1)见解析
(2)星期二的河流的水位最高，星期一的河流的水位最低，它们都位于警戒水位之上，与警戒水位的距离分
别是1.01,0.2米
【分析】本题主要考查正负数的实际应用，有理数的减法法则；
（1）根据正负数进行加减运算即可；
（2）根据有理数的减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
星期
一
二
三
四
五
六
日
实际高度/
米
73.60
74.41
74.06
74.09
74.37
74.01
74
（2）解：由（1）可知：星期二的河流的水位最高，星期一的河流的水位最低，
∵戒水位是73.4 米，
∴74.41 73.4 ，73.60 73.4 ，
∴它们都位于警戒水位之上，
∴74.41 73.4
1.01
，73.6073.4
0.2
，
∴与警戒水位的距离分别是1.01,0.2米．
【例18】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作
正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m ）：10
，2
，5
，12
，
6
，9
，4
，14
．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）
(1)守门员最后是否回到球门线上？
(2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？
31 / 48
(3)如果守门员离开球门线的距离超过10m （不包括10m ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时
间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由．
【答案】(1)守门员最后回到了球门线上；
(2)25 米；
(3)4 次，理由见解析．
【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，
理解本题中正负数的意义是解题关键．
（1）将记录的数字相加，若结果为0，则守门员回到了球门线上，否则没有；
（2）求出每次离球门的距离即可得到答案；
（3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过10m的数据即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
10
2
5
12
6
9
4
14
0
米，
∴守门员最后回到了球门线上；
（2）解：第一次跑距离开球门线10 米；
第二次跑距离开球门线10
2
8
（米）；
第三次跑距离开球门线8
5
13
（米）；
第四次跑距离开球门线13 12
25
（米）；
第五次跑距离开球门线25
6
19
（米）；
第六次跑距离开球门线19
9
10
（米）；
第七次跑距离开球门线10
4
14
（米）；
第八次跑距离开球门线14 14
0
（米）．
∴守门员离开球门线的最远距离为25 米；
（3）解：对方球员有4 次挑射破门的机会，理由如下：
由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10 米，8 米，13 米，25 米，19 米，10 米，14 米，0，
则符合题意的有：13，25，19，14．
∴对方球员有4 次挑射破门的机会．
【技巧归纳】
应用题：先根据题意列出有理数加减算式，明确正负含义（如上升为正，下降为负）。可转化为代数和形
式，按运算顺序计算。也可借助数轴：从起点出发，正数向右，负数向左，终点位置即结果。注意单位。
【变式9-1】财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感．小昆在妈妈的协
助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具
和一些日常所需品．为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入
用“”，支出用“ ”，单位：元）：
32 / 48
14
，9
，8
，7
，13
，6
，12
，5
．
(1)小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？
(2)若规定：收入5元，支出2 元，经手金额为7 元，则小昆这个月经手总金额离100元超过或不足多少元？
【答案】(1)小昆这个月有结余，结余了20 元；
(2)不足26 元
【分析】（1）把各数相加，求出和，再根据正负数的意义即可判断求解；
（2 ）求出各数绝对值的和，再利用有理数的减法即可判断求解；
本题考查了有理数加法和减法的实际应用，正负数的意义的实际应用，绝对值的意义，根据题意正确列出
算式是解题的关键．
【详解】（1）解：14
9
8
7 13
6 12
5
20
，
答：小昆这个月有结余，结余了20 元；
（2）解：
14
9
8
7
13
6
12
5
74
，
∵74 100
26
，
∴小昆这个月经手总金额离100元不足26 元．
【变式9-2】如图是流花河的水文资料（单位：m），如表是今年雨季流花河一周内的水位变化情况（上周
末的水位达到警戒水位）．
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化m
0.20
0.81
0.35
0.03
0.28
0.36
0.01
注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降．
(1)若取河流的警戒水位作为0 点，那么图中平均水位可以记作m；
(2)请通过计算说明本周哪一天河流的水位最高？最高水位为多少米？
(3)与上周末相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？上升或下降了多少米？
【答案】(1) 10.8
(2)周二；34.41 米
(3)上升；0.6 米
33 / 48
【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减的实际应用，理解题意，正确列出算式是解题关键．
（1）用平均水位减警戒水位即可；
（2）根据正负数的意义分别算出这一周每天的水位然后比较即可得到答案；
（3）比较本周末水位和上周末水位，再相减即可．
【详解】（1）解：如果取河流的警戒水位33.4m 作为0 点，那么平均水位记作
22.6
33.4
10.8 m
；
故答案为：10.8
；
（2）解：周一：
33.4
0.2
33.6 m
，
周二：
33.6
0.81
34.41 m
，
周三：
34.41 0.35
34.06 m
，
周四：
34.06
0.03
34.09 m
，
周五：
34.09
0.28
34.37 m
，
周六：
34.37
0.36
34.01 m
，
周日：
34.01 0.01
34 m
，
所以本周二河流的水位最高，最高水位为34.41m ；
（3）解：因为上周末的水位达到警戒水位即为33.4m，本周末的水位达到34m ，
34
33.4
0.6 m
，
所以与上周末相比，本周末河流水位上升了，上升了0.6m．
题型10 根据点在数轴的位置判断式子的正负
【例19】已知有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的（
）
A．
0
a b
+
<
B．1
0
a
C．a
b
D．
0
a
b
【答案】D
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的加减法运算，相反数．根据数轴确定
有理数的大小关系是解题的关键．
【详解】解：由数轴得，1
0
1
2,
a
b
a
b
，
∴
0,1
0,
,
0
a
b
a
a
b a
b
，
∴D 正确，符合题意；A、B、C 均错误，不符合题意，
故选：D．
【例20】有理数a 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（
）
34 / 48
A．
0
1
a
B．a
a
C．
1
0
a
D．
0
1
a
【答案】A
【分析】本题考查数轴，绝对值的意义，相反数，有理数的减法．根据一对相反数在数轴上的位置特点，
可知a
a
，再由数轴上的点右边的数总是大于左边的数，有理数减法法则逐一判断即可得解．
【详解】解：根据数轴可得：
0
a
，且
1
a ，
∴
0
1
a
，a
a
，
1
0
a
，0
1
a
，
则四个选项，选项A 符合题意．
故选：A．
【技巧归纳】
根据点在数轴位置确定正负：原点右侧为正，左侧为负。两数加减：大减小为正，小减大为负。乘积或商：
同号得正，异号得负。含绝对值则看内部正负，多式子组合分别判断各因子符号再整体运算。
【变式10-1】数轴上表示a ，b ，c 的点如图所示，下列式子中正确的是（
）
A．a
c
B．
0
a
c
C．a
c
b
D．
0
b
a
<
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减，数轴的应用，熟练掌握其运算法则是解决此
题的关键．从数轴得出
0
a
b
c
，c
a
，进而逐一判定即可．
【详解】解：
从数轴可知：
0
a
b
c
，c
a
，
∴A、a
c
，本选项错误，不符合题意；
B、
0
a
c
，本选项正确，符合题意；
C、
0
a
b
c
，本选项错误，不符合题意；
D、
0
b
a
，本选项错误，不符合题意；
故选：B ．
【变式10-2】有理数a，b，c 在数轴一所对应的点如图所示．则下列结论正确的是（
）
A．
0
a
b
B．
0
a
b
>
C．
0
a
c
D．
0
b
c
【答案】B
【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，根据有理数a，b，c 在数轴上所对应点的位置得出
35 / 48
4
3
1
0
1
2
b
a
c
，逐项判断可得答案．
【详解】解：由数轴知，4
3
1
0
1
2
b
a
c
，可得：
0
a b
+
<
，故A 选项结论错误；
0
a
b
>
，故B 选项结论正确；
0
a
c
，故C 选项结论错误；
0
b
c
，故D 选项结论错误；
故选B．
题型11 新定义下的有理数加减混合运算
【例21】定义一种新运算：*
x
y
x
y
，如
3 *
5
3
5
3
5
8
，按照上述定义计算下列各式：
(1)
4 *7
；
(2)
1 *3*
15
．
【答案】(1) 3
(2)17
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】（1）解：根据题意可得，
4 *7
4
7
4
7
3
；
（2）解：
1 *3*
15
1
3 *
15
2*
15
2
15
2 15
17
．
【例22】现定义某种新运算：对任意两个有理数a 、b ，有a
b
a
b
※
．如：2 3
2
3
1
※
，
1
4
1
4
a
a
※
．
(1)计算：
3
2
※
；
(2)计算：
4
5
2
※
※ ．
36 / 48
【答案】(1)5
(2) 1
【分析】本题考查新定义运算，绝对值，有理数的加减运算，理解新定义运算法则是解题的关键．
（1）根据新定义列式计算即可；
（2）根据新定义运算法则先计算
4
5
1
※
，再计算
2
1
※ ．
【详解】（1）解：
3
2
※
3
2
3
2
5
；
（2）解：
4
5
2
※
※
4
5
2
※
1
2
※
1
2
1
2
1
．
【技巧归纳】
先读懂新定义（如“⊙”表示两数之和减去某值），将自定义运算转化为常规加减算式。再按有理数加减
法则计算。注意运算顺序，如有括号先算括号。可先列举特例理解规则，再代入题目中数值求解。
【变式11-1】对于任意有理数m，n 定义一种新运算：
m
n
n
m
m
n
，例如：
1
2
2 1
1 2
2
．
(1)若
6
a ，
7
b
，求a
b
的值；
(2)已知
6
x
，y 是
5
的相反数，求
1
x
y
的值．
【答案】(1)12
(2) 2
【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据新运算的法则，列式计算即可；
（2）根据相反数的定义求出y ，再根据新运算，列出算式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵
6
a ，
7
b
，
∴
6
7
7
6
6
7
13 1
12
a
b
；
（2）∵y 是
5
5
的相反数，
∴
5
y
，
37 / 48
∵
6
x
，
∴
1
x
y
6
5
1
5
6
5
6
1
1 11
1
12
1
1
12
12 1
11 13
2
．
【变式11-2】在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经
验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数,a b ，满足如下规律：a
b
a
b
，
称此种运算为“绝佳”运算．
例如，
5
2
5
2
3
；
2
4
2
4
2
【探究一：两个数“绝佳”运算】
（1）填空：①
3
4
______________；②
4
3
____________；
③
2
3
3
4
_____________；④
3
2
4
3
________________；
通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律．
【探究二：三个数“绝佳”运算】
（2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式
6
7
8
6
7
8
是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律．
【答案】（1）①1 ；②1 ；③17
12 ；④17
12 ；满足；（2）等式不成立；运算不满足结合律
【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义，
（1）根据a
b
a
b
，进行计算，即可；
（2）根据a
b
a
b
，先求出
6
7
8
和
6
7
8
的值，进而求解即可．
【详解】（1）∵a
b
a
b
，
∴①
3
4
3
4
1
；②
4
3
4
3
1
；
③
2
3
2
3
17
3
4
3
4
12
；④
3
2
3
2
17
4
3
4
3
12
；
由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律；
38 / 48
故答案为：
1
①，
1
②，
17
12
③
，
17
12
④
；满足；
（2）∵a
b
a
b
，
∴
6
7
6
7
1
，
1
8
1
8
7
，
∴
6
7
8
7
；
∵
7
8
7
8
15
，6
15
6 15
21
，
∴
6
7
8
21
，
因为7
21
．
∴等式
6
7
8
6
7
8
不成立，
∴“绝佳”运算不满足结合律．
一、单选题
1．比5
大4 的数是(
)
A．1
B．1
C．9
D．9
【答案】B
【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题意列出加法算式，再按照有理数加法法则计算结果即可．
【详解】解：
5
4
5
4
1
2．我国地域辽阔，南北方地区的气温差异较大．某天石家庄市的平均气温约为6℃，而哈尔滨市的平均气
温恰好为这个数据的相反数，则两地的温差为（
）
A．6℃
B．6
℃
C．0
D．12℃
【答案】D
【分析】先根据相反数的定义求出哈尔滨市的平均气温，再用较高温度减去较低温度计算温差，即可得到
结果．
【详解】解：
石家庄市平均气温为6℃，哈尔滨市的平均气温恰好为这个数据的相反数，
哈尔滨市的平均气温为6
℃．
两地温差为
6
6
12
℃
℃
℃．
3．下列计算正确的是（
）
A．
2
2
0
B．2
2
0
C．
2
2
0
D．
2
2
0
39 / 48
【答案】D
【分析】先根据绝对值的定义化简绝对值，再计算各选项的结果，即可判断出正确选项．
【详解】解：A、
2
2
2
2
4
0
，故A 错误．
B、2
2
2
2
4
0
，故B 错误．
C、
2
2
2
2
4
0
，故C 错误．
D、
2
2
2
2
0
，故D 正确．
4．实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（
）
A．
2
a
B．
0
a b
+
<
C．
0
a
b
>
D．a
b
【答案】B
【分析】由,a b 在数轴上的对应点的位置可得出3
2
a
，1
2
b
，可得出
0
a b
+
<
，
0
a
b
，
2
a
，
1
b ，进而得出a
b
．
【详解】解：根据,a b 在数轴上的对应点的位置可知3
2
a
，1
2
b
，
∴
0
a b
+
<
，
0
a
b
，
2
a
，
1
b ，
∴a
b
．
综上，选项B 正确．
5．魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和
负数（白色为正，黑色为负）．图1 表示的是
23
54
31
的计算过程，则图2 表示的计算过程是（
）
A．
22
23
1
B．
22
32
10
C．
22
32
10
D．
22
23
1
【答案】B
【分析】由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算．
【详解】解：由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，可得图2 表示的计算过程是
22
32
10
．
二、填空题
6．计算：5
( 4)
______．
【答案】1
【分析】本题根据有理数减法法则，将原式转化为有理数加法运算，计算得到结果即可．
40 / 48
【详解】解：5
( 4)
5
4
1
．
7．把
7
8
4.2
5.3
写成省略括号的和的形式为_______________．
【答案】7
8
4.2
5.3
【分析】本题考查了有理数的加法与减法法则，熟练掌握运算法则是解题关键．根据减去一个数等于加上
它的相反数，将原式中的减法转换为加法，并省略括号和加号，由此即可得．
【详解】解：
7
8
4.2
5.3
7
8
4.2
5.3
．
故答案为：7
8
4.2
5.3
．
8．若方框
表示运算x
y
z
w
，则方框
=_____．
【答案】8
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据方框表示的运算把算式转化为一般的有理数加减混
合运算，再根据运算法则进行计算．
【详解】解：由题意可得：原式
2
3
6
3
2
3
6
3
11 3
8
．
故答案为：8
.
9．观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________．
【答案】10
【分析】此题考查了有理数的加减运算．
根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案．
【详解】解：
2
5
3
4
0
，
2
5
2
4
3
，
1 7
3
4
5
，
则
1
7
3
5
10
．
故答案为：10
．
10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9 这八个数字填入如图1 所
示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若
按同样的要求重新填数如图2 所示，则x
y
的值是___________．
41 / 48
【答案】3
【分析】本题主要考查了有理数的运算，理解题意是解题关键．先设中间正方形四个顶点中右上角的数字
为p ，左下角的数字为q ，再根据题意列出关系式，整理可得答案．
【详解】解：根据图2 ，设中间正方形四个顶点中右上角的数字为p ，左下角的数字为q ．
根据题意，得
1
2
x
p
y
p
，
将上式变形，得
3
x
y
．
故答案为：3
．
三、解答题
11．计算：
(1)
27 18
7
；
(2)
10
18
4
；
(3)
1
1
0.5
2.75
4
2
；
(4) 3
11
7
4
6
3
．
【答案】(1)2
(2)4
(3)3.5
(4) 1
4
【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键；
（1）根据有理数的加减运算可进行求解；
（2）根据有理数的加减运算可进行求解；
（3）根据有理数的加减简便运算可进行求解；
（4）根据有理数的加减运算可进行求解．
【详解】（1）解：原式
9
7
2
；
（2）解：原式
10
18
4
4
；
（3）解：原式
1
1
3
1
0.5
2
1
2
3.5
2
4
4
2
；
42 / 48
（4）解：原式
3
11
7
9
22
28
1
4
6
3
12
12
12
4
．
12．计算：
(1) 1
2
2
3
(2)
1
5
1
2
3
7
(3)
7
11
3
2
(4)
20
5
5
12
(5) 1
2
5
1
1
4
3
6
4
3
(6) 1
2
4
1
1
2
3
7
2
3
(7)
1
1
14
12
5
5
2
2
(8)
2
5
3
2
6.6
1
3
3
5
【答案】(1) 7
6
(2)
85
21
(3)5
(4) 2
(5) 5
3
(6)
3
7
(7) 2
(8)6
【分析】本题主要考查有理数的加法、减法运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键；
（1）根据有理数的加法运算可进行求解；
（2）根据有理数的加法法则可进行求解；
（3）根据有理数的加法法则可进行求解；
（4）根据有理数的减法法则可进行求解；
（5）根据有理数的加法运算律可进行求解；
（6）根据有理数的加法运算律可进行求解；
（7）根据有理数的加减混合运算可进行求解；
（8）根据有理数的加减混合运算可进行求解．
43 / 48
【详解】（1）解：原式
4
7
6
6
3
6
；
（2）解：原式
28
57
85
3
7
21
21
21
4
19
；
（3）解：原式
4
3
2
5
；
（4）解：原式
20
5
5 12
20
22
2
；
（5）解：原式
1
1
2
1
5
1
1
5
5
4
4
3
3
6
2
3
6
3
；
（6）解：原式
1
1
2
1
4
4
3
1
2
2
3
3
7
7
7
；
（7）解：原式
1
1
2
5
5
2
2
2
；
（8）解：原式
5
6.6 1.6
1 5
6
3
8
3
．
13．计算下列各题：
(1)
8
12
3
9
5
；
(2)
2.5
2.7
1.6
2.7
2.4
；
(3)
1
1
3
7
2
2
2
3
2
3
4
8
3
；
(4)
1
5
3
3
2
1
2
4
2
6
4
8
3
．
【答案】(1) 9
(2)1.5
(3) 1
24
(4)
7
8
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题关键是掌握有理数的加减混合运算．
（1）先写成省略加号的和式，再计算；
（2）先写成省略加号的和式，再计算；
（3）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可；
（4）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可．
【详解】（1）解：
8
12
3
9
5
8 12
3
9
5
9
；
（2）
2.5
2.7
1.6
2.7
2.4
44 / 48
2.5
2.7 1.6
2.7
2.4
1.5
；
（3）
1
1
3
7
2
2
2
3
2
3
4
8
3
1
1
3
7
2
2
2
3
2
3
4
8
3
12
56
66
21
88
24
24
24
24
24
1
24
；
（4）
1
5
3
3
2
1
2
4
2
6
4
8
3
5
11
3
14
6
4
8
3
3
2
36
20
66
9
112
24
24
24
24
24
21
24
7
8
．
14．习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程．
习题：计算
1
2
15
4 3
3
．
解：
1
2
15
4 3
3
1
2
15
43
3
，………①
15
4
…………②
19
…………③
(1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果．
(2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，
1
1
3
3
2
2
□
，填入□中使得算式成立的符号是________；
（填“+”或“-”）
【答案】(1)开始出错的步骤是②，原习题正确过程见解析，结果为20
(2)+
【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可；
（2）把
1
3 2
看作是两个负数的和，可得答案．
45 / 48
【详解】（1）解：在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②；
1
2
15
4 3
3
1
2
15
43
3
15
5
20
；
（2）解：
1
1
3
3
2
2
，
故方框内应填上“+”．
15．先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题．
（1）计算：
3
2
1
205
400
( 204
)
( 1 )
4
3
2
解：原式
3
2
1
205
(400
)
( 204
)
( 1
)
4
3
2
3
2
1
205
400
( 204)
(
)
( 1)
(
)
4
3
2
3
2
1
[ 205
400
( 204)
( 1)]
(
)
(
)
4
3
2
5
10
(
)
12
5
1012
上面的计算方法叫做拆项法．
（2）请用拆项法计算：
5
2
3
1
1
5
24
3
6
3
4
2
．
【答案】
3
13 4
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题．
【详解】解：
5
2
3
1
1
5
24
3
6
3
4
2
5
2
3
1
1
5
24
3
6
3
4
2
5
2
3
1
1
5
24
3
6
3
4
2
5
2
3
1
1
5
24
3
6
3
4
2
46 / 48
1
15
1 4
3
13 4
．
16．对于任意有理数a ，b 定义一种新运算：
(
)
a
b
a
b
a
b
．
(1)若
3
a ，
2
b
，求a
b
的值；
(2)求( 3
5)
( 2)
的值．
【答案】(1) 6
(2) 20
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算及绝对值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据新运算的定义，代入
3
a ，
2
b
计算，即可得答案；
（2）根据新运算的定义，先计算( 3
5)
，再计算10
( 2)
即可．
【详解】（1）解：∵
(
)
a
b
a
b
a
b
，
3
a ，
2
b
，
∴a
b
( 3
2)
3
2
5
1
6
．
（2）解：( 3
5)
( 2)
( 3
5)
3
5
( 2)
10
( 2)
10
( 2)
10
( 2)
8 12
20
．
17．2025 年4 月7 日是世界卫生日，主题为“健康起点，希望未来”，小亮决定以跑步的方式践行“健康人人
参与”，某天他从家出发，沿着家门口东西方向笔直的道路开始跑步（家到道路的距离忽略不计），如果规
定向东跑步的米数记为正数，向西跑步的米数记为负数．当天小亮的跑步记录（单位：m）如下：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
400
700
900
800
600
500
200
假设小亮在同一次跑步记录下是单向行驶．
(1)跑步结束时小亮距离家多远？
(2)在第几次记录时小亮距离家最远？
(3)若跑步平均每千米消耗60 千卡热量，则小亮跑步共消耗多少千卡热量？
【答案】(1)跑步结束时小亮距离家100 m ；
47 / 48
(2)第五次记录时小亮距离家最远；
(3)小亮跑步共消耗246 千卡热量．
【分析】本题考查了正负数和数轴，有理数的加减运算、有理数的应用，掌握有理数加减法的计算法则，
能够理解正负数的含义是解题的关键．
（1）将七次跑步记录相加即可；
（2）第一次小亮距家400 m ，第一次跑步记录加第二次跑步记录为小亮第二次距家的米数，然后，用结果
加第三次跑步记录得数为第三次小亮距家的米数，以此类推，最后，结果的绝对值作比较即可；
（3）将七次跑步记录的绝对值相加，结果变成千米，然后乘60 即可．
【详解】（1）解：
400
700
900
800
600
500
200
100 m
．
答：跑步结束时小亮距离家100 m ；
（2）解：第一次记录时距离家：
400
400 m
；
第二次记录时距离家：
400
700
300 m
；
第三次记录时距离家：
400
700
900
600 m
；
第四次记录时距离家：
400
700
900
800
200 m
；
第五次记录时距离家：
400
700
900
800
600
800 m
；
第六次记录时距离家：
400
700
900
800
600
500
300 m
；
第七次记录时距离家：
400
700
900
800
600
500
200
100 m
．
100
200
300
400
600
800
，
∴第五次记录时小亮距离家最远；
（3）解：
400
700
900
800
600
500
200
4100 m
，
∵4100m
4.1km
，
∴4.1 60
246
(千卡) ．
答：小亮跑步共消耗246 千卡热量．
18．2020 年，由于疫情原因，山东省青岛市某地计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销
售量有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤）:
星期
一
二
三
四
五
六
日
计划量
的差额
4
3
5
14
8
21
6
(1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售
斤；
(2)此前的上个周日小明卖了100斤冬枣，现在用正数表示比前一天多的销售量，负数表示比前一天少的销售
量．完成下面的销量变化表：
48 / 48
星期
一
二
三
四
五
六
日
实际销
售量比
前一天
的变化
量
(3)求本周实际销售总量与计划总量相比，具体增加或减少了多少斤？
【答案】(1) 29
(2)见解析
(3)增加了17 斤
【分析】（1）先确定销售量最多、最少的一天对应的差额，用最大差额减去最小差额即可求解；
（2）先计算出本周每天的实际销售量，再用当日实际销售量减去前一天的实际销售量，即可得到对应日期
的销量变化量；
（3）将本周每天与计划量的差额求和，根据结果的正负判断是增加还是减少，结果的绝对值即为变化的总
量．
【详解】（1）解：（1）21
( 8)
29
（斤）；
（2）解：星期一实际销售100
4
104
（斤），相对前一天的变化量为：104 100
4
；
星期二实际销售100
3
97
（斤），相对前一天的变化量为：97 104
7
；
星期三实际销售100
5
95
（斤），相对前一天的变化量为：95
97
2
；
星期四实际销售100 14
114
（斤），相对前一天的变化量为：114
95
19
；
星期五实际销售100
8
92
（斤），相对前一天的变化量为：92 114
22
；
星期六实际销售100
21 121
（斤），相对前一天的变化量为：121 92
29
；
星期日实际销售100
6
94
（斤），相对前一天的变化量为：94 121
27
；
故列表如下：
星期
一
二
三
四
五
六
日
实际销售量比前一
天的变化量
4
7
2
19
22
29
27
（3）解：4
3 5 14
8
21 6
17
（斤），
答：本周实际销售总量与计划总量相比，具体增加了17 斤．
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