文档文本内容
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第05 讲相反数与绝对值
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求一个数的相反数
题型2 判断是否互为相反数
题型3 化简多重符号
题型4 相反数的应用
题型5 求一个数的绝对值
题型6 绝对值的非负性
题型7 利用绝对值的非负性求最值
题型8 利用绝对值比较大小
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
相反数、绝对值、几何
意义、非负性、距离、
多重符号、负数比较。
1. 理解相反数的概念（仅从数值关系：只有符号不同的两个数），能熟练求
出一个有理数的相反数。
2. 理解绝对值的代数定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相
反数，0 的绝对值是0。
3. 能根据定义准确求出任意有理数的绝对值，并掌握绝对值的非负性（|a|
≥0）。
4. 能利用绝对值比较两个负数的大小（绝对值大的反而小），初步体会分类
讨论思想。
学习重点：相反数的概念及求法；绝对值的概念及求法；利用绝对值比较两个负数的大小。
学习难点：理解绝对值的几何意义（距离概念）及其非负性；多重符号的化简（如−(−a) = a）；理
解“两个负数，绝对值大的反而小”的算理。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 相反数
1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0 的相反数是0.
2.性质：若a 与b 互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a 与b 互为相反数.
3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化
简，看负号的个数.
（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）
【易错提醒】
相反数易错警示：互为相反数的两个数和为0，在数轴上关于原点对称。注意：0 的相反数是0；多重符号
化简时，奇负偶正（如-(-3)=3）。勿认为带负号就是负数。
即时即练1．实数3 的相反数是______．
2．化简下列各数：
（1）
3
________；
（2）
3
________；
（3）
3
________；
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（4）
3
________．
3．写出下列各数的相反数：2
，3
，0，3.5
，4
9 ．
知识点02 绝对值
1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值.
2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b 或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；
③0 的绝对值是0.
3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0，|a|=0；③a＜0，|a|=-a.
注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数.
4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2 个，他们互为相反数.即±a.
5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若
|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0；
【易错提醒】
绝对值易错警示：|a|表示数轴上点a 到原点的距离，结果非负。注意|a| = a 仅当a ≥0，若a < 0 则|a| = -a。
去掉绝对值符号时，务必判断原数正负。
即时即练1.下列各对数中互为相反数的是（
）
A．5 与
5
B．5
和
5
C．
5
- 和5
D．5 和
5
2．
2026
的相反数是_____．
3．若
2
a
，则a _____．
4．比较下列各组数的大小：
(1) 8
与
8
；
(2)
5
6
与
7
8
；
(3)
3.2
与
3.6
．
题型1 求一个数的相反数
【例1】2026 的相反数是
．
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【例2】2
13 的相反数是
．
【技巧归纳】
求相反数：直接在原数前加“−”号。正数变负，负数变正，0 的相反数是0。对于多重符号，奇数个负号
为负，偶数个为正。注意含字母时，a 的相反数是−a，a-b 的相反数是b-a。化简后再判断。
【变式1-1】请分别写出下列各数的相反数：
5
，13，0，1
3 2 ，( 1.35)
．
【变式1-2】写出下列各数的相反数：
9
4
，6 ，8
，3.5
，5
2 ，10，100
，1
3 ．
题型2 判断是否互为相反数
【例3】下列各组数中，互为相反数的是（
）
A．1
3 与3
B．3 与
1
3
C．
1
3
与1
3
D．2
3 与
3
2
【例4】下列各数中，互为相反数的是（
）
A．2
与2
B．2
与1
2
C．2
与
1
2
D．( )
2
- -
与
2
【技巧归纳】
判断两数是否为相反数：验证它们的和是否为0。也可检查它们是否符号相反、绝对值相等。0 的相反数是
自身。对于分数、根号等，先化简再相加或化为同分母。注意代数式相反数需整体加括号后再运算。
【变式2-1】下列各数中，互为相反数的是（
）
A．
3
与3
B．
3
与3
C．
3
与3
D．
3
与3
【变式2-2】下列各组数中，互为相反数的是（
）
A．
5
和5
-
B．
4
和
4
C．
3
和
3
D．
7
和7
题型3 化简多重符号
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【例5】化简：
23
．
【例6】化简
1
4
．
【技巧归纳】
化简多重符号：从最内层往外，根据负号个数确定最终符号。奇数个负号为负，偶数个为正。例如-(+2) =
-2，-(-2)=2。逐步去括号，避免跳步。正号可直接省略。注意与绝对值、指数运算的区别。
【变式3-1】计算
2
的结果为
．
【变式3-2】化简：
（1）
4
；（2）
2024
；
（3）
1.5
；（4）
1.5
．
题型4 相反数的应用
【例7】若a、b 互为相反数，则2026
1
a
b
=______．
【例8】若代数式3
6
x
与代数式12
6x
的值互为相反数，则x _____．
【技巧归纳】
相反数应用：简化方程（移项变号）、求对称点（数轴上关于原点对称）、解带绝对值问题（如|x|=a 得x=
±a）、列方程时利用和为零构造等式。在比较大小中，负数相反数变为正数，便于排序。
【变式4-1】若m，n 互为相反数，则5
5
3
m
n
___．
【变式4-2】x ___________时，代数式5
7
x
与代数式2
21
x
的值互为相反数．
题型5 求一个数的绝对值
【例9】3
的绝对值是：
．
【例10】计算：
3
．
【技巧归纳】
求绝对值：正数和0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数（即去掉负号）。对于表达式，先判
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断整体正负，再根据定义化简。注意绝对值结果非负，字母需讨论范围或分类去绝对值。
【变式5-1】5
的相反数是
，9
的绝对值是
．
【变式5-2】4 的绝对值是
；1
2
的绝对值是
；绝对值是1的数是
；绝对值最小的数是
．
题型6 绝对值的非负性
【例11】若|
|
|
1
0
|
3
a
b
，则a
，b
．
【例12】若
1
5
0
x
y
，那么x
，y
．
【技巧归纳】
绝对值的非负性：任何实数的绝对值都≥0，且仅当该数为0 时取0。解题时常用“多个非负数之和为0，则
每个必须为0”列方程。也用于求最小值：|x|最小值0。注意与平方、算术平方根的非负性结合应用。
【变式6-1】a 是最大的负整数，且a、b、c 满足
5
0
a
b
c
．那么a＝
，b＝
，c＝
．
【变式6-2】已知b、c 满足
1
1
0
2
b
c
，则b
c
的值是
．
题型7 利用绝对值的非负性求最值
【例13】（1）当x 取何值时，
2025
x
有最小值？这个最小值是多少？
（2）当x 取何值时，2025
1
x
有最大值，这个最大值是多少？
【例14】已知m 为整数．
（1）m 有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时m __________．
（2）2
m
有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时m __________．
（3）2
m
有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时m __________．
（4）2
1
m
有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时m __________．
（5）2
1
m
有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时m __________．
【技巧归纳】
绝对值非负性：|a|≥0。多个非负式和为0 时每项为0。求最小值时，|x-a|最小值0。含多个绝对值可用零点
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分段法或数轴距离和求最值。
【变式7-1】根据
0
a
这一性质，解答下列问题：
(1)当a 时，|
4 |
a
有最小值，此时最小值为；
(2)当a 取何值时，|
|1
3
a
有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a 取何值时，4
a
有最大值？这个最大值是多少？
【变式7-2】（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，
在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________
A．数形结合思想
B．转化思想
C．方程思想
D．分类讨论思想
回答下列问题：
（2）若
2
x
，求x 的值．
（3）若
1
0
y
，求y 的值．
（4）当x __________时，
1
x
有最小值，最小值为__________．
（5）当
4
7
x
y
取最小值时，求x，y 的值．
题型8 利用绝对值比较大小
【例15】比较下列各组数的大小：
(1) 3.5
与4.2
；
(2)
6
7
与
7
8
；
(3)
2
3
- -
与
17
21
．
【例16】比较下列各组数的大小：
(1)4 和8
(2) 8
与
8
(3)
5
6
与
7
8
(4)
3.2
与
3.6
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【技巧归纳】
同号时，正数绝对值越大数越大，负数绝对值越大数越小；异号时正数大于负数。比较时先看符号，若同
号再去绝对值比，负数记得反转结果。
【变式8-1】比较下列各组数的大小．
(1)5 和2
；
(2) 3
和7
；
(3)
1
和
2
；
(4)
0.5
和
1.5
．
【变式8-2】比较下列各组数的大小：
(1) 7
和2；
(2)
9
7
和
6
5
；
(3)
| 5.7 |
和
2.9
；
(4)
1
1 1
,
,
2
3 4
．
一、单选题
1．下列四个数中，绝对值最大的数是（
）
A．1.5
B．2
C．0
D．
1
2
2．下列有理数的大小关系正确的是（
）
A．
2
0
B．
5
5
C．
5
4
D．
3
1.25
2
3．某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，
最接近标准质量的是（
）
A．
1.3g
B．
0.8g
C．
0.5g
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D．
1.1g
4．下列各组数中，互为相反数的是（
）．
A．
2
与
2
B．
2
与
2
C．
2
与2
D．
2
与2
5．下列说法正确的是（
）
A．若a
a
，则a 必为负数
B．绝对值不大于3 的整数有6 个，分别是1
，2
，3
C．若
0
a
，则a
a
，反之，若a
a
，则
0
a
D．任意有理数的绝对值都是非负数
二、填空题
6．比较大小．（填“>”“<”或“=”）
（1）
3
4
______
3
5
-
；
（2）
2.25
______ 2.5
．
7．若
2
a
，则a ________．化简[ ( 10)]
________．
8．已知
1
2
1
0
x
y
，则x _________，y _________．
9．若x 为有理数，则式子
2024
2025
x
的最小值为______
．
10．将下列各数填在相应的集合里．
3.8
，10
，4.3，
20
7
，42，，3，1.010010001，0，
3
5
整数集合：{____________________ }；
负有理数集合：{______________________ }；
分数集合：{______________________ }．
三、解答题
11．分别写出下列各数的相反数：
5
，7
，
1
3 2
，11.2．
12．请比较下列各组中两个数的大小：
(1)0 和1
；
(2)3 和4
；
(3)
6
5
和
11
10
；
10 / 10
(4)
2
3
和
3
4
．
13．如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内．
3 , 7, 2.8, 9.9,
12 ,
5 ,0,
1.2
4
14．已知：a 与3 互为相反数，b 的绝对值为最小的正整数，回答以下问题．
(1) a ______，b ______；
(2)已知|
|
|
| 0
m
a
b
n
，求mn ．
15．根据x 是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题：
(1)当x _____时，
2025
x
有最小值，这个最小值是_____．
(2)当x _____时，2025
1
x
有最大值，这个最大值是_____．
16．出租车司机小李新年这天从鼓楼出发，上午营运时是在南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，
向北为负，他这天上午所接的六位乘客的行车里程（单位：km ）如下：
3, 5, 1, 1, 6, 2
．
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
(2)若汽车耗油量为0.2L / km（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？
(3)若出租车起步价为8 元，起步里程为3km （包括3km），超过部分每千米1.5元，问小李这天上午共得车
费多少元？
