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专项训练05 角的动态旋转问题
【知识点1 角的动态旋转问题】
1. 动态角的表示（含时间参数）
- 基本公式：角∠AOB 从OA 边开始，以速度w（度/秒）旋转，时间为t ：
- 顺时针旋转：∠AOB = ∠AOB0 - w t（角度减小）；
- 逆时针旋转：∠AOB = ∠ AOB0 + w t（角度增大）。
- 多射线旋转：分别用含 t 的式子表示各条射线与起始边的夹角，角的度数 = 大角 - 小角（必要时加绝
对值）。
- 关键：确定旋转方向（顺/逆时针）和起始角度（通常以某边为基准）。
2. 核心等量关系：角度相等、和差、倍数
- 角度相等：如∠AOP = ∠POB，列方程 w1 t =∠AOB0 - w2 t 。
- 角度和/差为定值：如∠AOP + ∠POB =∠AOB（恒成立）；∠AOP -∠POB = α（需讨论射线位置）。
- 倍数关系：如∠AOP = 2∠POB，列比例方程w1t = 2(∠AOB0 - w2 t)。
- 平分线/垂直：平分线条件（角度相等）；垂直条件（夹角为 90°）。
3. 分类讨论与多解验证
- 射线位置不确定：射线可能在角内部或外部，需分情况讨论（如OP 在∠AOB 内部，或旋转到外部）。
- 相遇/追及：两射线重合（角度相等）或夹角为定值时，列方程解 t ，注意周期性（旋转超过360°会重
复）。
- 多解验证：
- 角度为正（∠> 0°）；
- 旋转时间 t≥0；
- 是否在限定范围内（如某射线只旋转一定角度后停止）。
- 注意：绝对值方程或三角方程可能产生多解，需结合运动实际筛选。
【题型1 旋转中求多解问题】
1．已知点
在一直线上，且点
在点
的两侧，
，现将射线
绕点O 顺时针匀
速旋转，射线
保持不动，直到射线
与射线
重合时停止旋转．在旋转过程中，当三条射线构
成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线
旋转的角度为________．
【答案】
，
或
【分析】本题考查了角的动态变化与相等关系，解题的关键是分情况讨论三条射线构成的角相等的情况，
易错点是漏解通过分类讨论情况，再利用角的和差关系求解旋转角度．
【详解】解：如下图：
当
时，旋转角度
当
时，旋转角度
当
时，旋转角度
；
故答案为
，
或
．
2．如图1，直线
上有一点O，过点O 在直线
上方作射线
，将一直角三角板
的直角顶点放在点O 处，一条直角边
在射线
上，另一边
在直线
上方，将直角三角板绕着点
O 按每秒
的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t 秒．若射线
的位置保持不变，且
．则
在旋转过程中，如图2，当
_____________秒时，射线
与
中的某一条射线恰好是另两条射线
所夹角的平分线．
【答案】2 或8 或32
【分析】分三种情况进行解答，即①射线
是
的平分线，②射线
是
的平分线，③射线
是
的平分线，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可．
【详解】解：当射线
是
的平分线时，
∵
，
∴
，
∴
；
当射线
是
的平分线时，
，
∴
；
当射线
是
的平分线时，
，
∴
，
故答案为：2 或8 或32．
【题型2 旋转中求的角定值问题】
3．已知：如图，直线
和
相交于点O（
为锐角），点M 在直线
上方，
，
平分
．
(1)若
，求
的度数；
(2)试说明：
的度数是一个定值，并求出这个定值的度数；
(3)若
，试求
的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义；
（1）先求解
，可得
，再结合角平分线的含义可得答案；
（2）先求解
，证明
，结合
，进一步可得结论；
（3）先求解
，结合
，可得
，
求解
，结合（2）的结论可得答案.
【详解】（1）解：
，
，
，
，
又
，
，
又
平分
，
；
（2）解：
，
，
又
平分
，
．
又
，
，
．
（3）解：
，
，
∵
，
，
．
由（2）知：
，
；
4．如图1，先画出直线
，然后将一副三角板拼接在一起，其中
角（
）的顶点与
角（
）的顶点重合，且边
，
都在直线
上．
(1)
度；
(2)如图2，固定三角板
不动，将三角板
绕点
按顺时针方向旋转一个角度
，当边
第一次落
在射线
上时停止．
①当
平分
时，求旋转角α 的度数；
②如图3，当
运动到
内部时，
是定值，求这个定值；
③当
时， 直接写出旋转角α 的度数为 ．
【答案】(1)
(2)①
；②
；③
或
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可；
（2）①根据图形中角的和差关系进行计算即可；
②根据图形中角的和差关系进行计算即可；
③分两种情况，当
在
内部时，当
在
内部时，利用角的和差表示出
和
，
然后根据
列方程，解方程即可．
【详解】（1）解：（1）如图1，
，
故答案为：
；
（2）解：①当
平分
时，
∴
，
∴∠
，
即旋转角
；
②如图3，
，理由如下：
；
③如图2，当
在
内部或与
重合时，即
，
由题意得，
，
，
当
时，即
，解得
．
如图3，当
在
内部与
重合时，即
，
当
时，即
，解得
，
故答案为：
或
．
【题型3 旋转中探究角的数量关系问题】
5．按要求完成下列各题：
(1)如图，正方形
的四个内角
，
，
，
均为直角，边
在直线
上，
的平分线
交正方形的边于点P．
的度数为 ；
与
的度数之间的关系为 ．
(2)将正方形
绕点A 旋转至如图②所示的位置，此时
，
的平分线
交正方形的边
于点P，请探究：
与
的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由．
(3)将正方形
绕点A 旋转至如图③的位置，
平分
，请探究
与
的度数之间的关
系．
【答案】(1)
，
；
(2)
与
的度数之间的关系没有发生改变，理由如下：
如图②，由条件可知
，
∵
的平分线
交正方形的边
于点P，
∴
，
∴
，
∴
；
(3)
．
【分析】（1）如图①，由四边形
为正方形，得
，所以
，从而
得到
；
（2）如图②，先根据平角的定义得到
，再根据角平分线的定义得到
，
由
，即可得到
；
（3）如图③，先根据角平分线的定义得到
，则
，根据平角的定义
得到
，变化后
，消去
，可得到
．
【详解】（1）如图①，
四边形
为正方形，
，
，
∴
，
（2）略
（3）如图③，
平分
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
6．已知点O 是直线
上的一点，
，
，
是三条射线，
，
是
的平分线．
(1)当
时，
①若射线
，
，
在直线
的同侧（图1），
，求
的度数；
②根据①中的结果，猜想
和
的数量关系是______；
③当
与
，
在直线
两旁时（如图2），设
，请通过计算，用含x 的代数式表示
，说明②中的关系是否仍然成立；
(2)当
，
与
，
在直线
两旁时（如图3），上述
和
的数量关系是否
仍然成立？若成立，请仿照③中的方法说明理由；若不成立，请直接写出
和
此时具备的数量
关系．
【答案】(1)①
；②
；③成立，理由见解析
(2)不成立，
【分析】（1）①根据已知角的度数求出
，
，再根据平角定义求出
的度数即可；
②由①中求出的结果即可求解；
③根据已知角的度数表示出
，
，再根据平角定义表示出
的度数，可得
和
的数量关系；
（2）依据前面③的方法表示出
，
，表示出
，可得
和
的数量关系．
【详解】（1）解：①∵
，
，
∴
，
∵
是
的平分线，
∴
，
∴
；
②由①中的结果可得
，
故答案为：
；
③②中的关系仍然成立，理由如下：
∵
，
，
∴
，
∵
是
的平分线，
∴
，
∴
，
即
；
（2）解：不成立，
和
的数量关系为
．
证明：设
，
∵
，
，
∴
，
∵
是
的平分线，
∴
，
∴
，
即
．
【题型4 旋转中求角的运动时间问题】
7．综合与探究
问题情境：探究三角尺中的学问．一把含
角的直角三角板
的直角顶点
在直线
上，过点
作
射线
，使得
，直角三角板
的直角边
从射线
开始，绕点
以
/秒的速度顺时
针旋转一圈，设旋转的时间为秒．
问题解决：
(1)如图，当直角边
在射线
上，另一边
在直线
的上方，则
的度数为 ，
的度
数为 ；
初步感知：
(2)当直角三角板旋转到如图
所示的位置时，射线
恰好平分
，试猜想此时
与
之间
的数量关系，并说明理由；
操作探究：
(3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线
，
，
中的某一条射线是另外两条射线所夹角的
平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
，
(2)
，理由见解析
(3)存在，t 的值为2 或8 或20
【分析】（1）由角的和差得
，
，即可求解；
（2）由角的和差及角平分线的定义得
，
，由余角
的性质，即可求解；
（3）分类讨论：①当
是
、
构成夹角的平分线，②当
是
、
构成夹角的平分线，③当
是
、
构成夹角的平分线，结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
．
（2）解：
，理由如下：
，
，
，
恰好平分
，
，
，
．
（3）解：存在；
①如图，当
是
、
构成夹角的平分线，
，
；
②如图，当
是
、
构成夹角的平分线，
，
；
③如图，当
是
、
构成夹角的平分线，
，
绕
旋转了
，
．
综上所述，的值为
或或
．
8．已知
，
，
和
均可绕点
进行旋转，点
，
，
在同一条直
线上，
是
的角平分线．
(1)如图1，当点
与
点重合，点
与
点重合，且射线
和射线
在直线
的同侧时，求
的度数．
(2)在（1）的基础上，若
从
处开始绕点
顺时针方向旋转，转速为每秒
，
从
处开
始绕点
逆时针方向旋转，同时转速为每秒
①当旋转多少秒时，
与
第一次重合；
②直接写出
与
第一次从相遇到分开所经历的时间．
(3)在（1）的基础上，若
从
处开始绕点
逆时针方向旋转，转速为每秒
，同时
从
处开始绕点
逆时针方向旋转，转速为每秒
，如图2 所示，当旋转
时，则
的度数为多少？
【答案】(1)
(2)①
；②
(3)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键．
（1）根据平角的定义得到
，根据角平分线的定义得到
即可；
（2）①根据旋转的特点和
、
旋转的速度，结合
的度数，即可求得结果；
②根据
、
旋转的速度，结合
、
的度数，即可求出结果；
（3）根据题意得到
，
，根据平角的定义得到
，根据角平分线的定义，即可求解．
【详解】（1）解：
，
，
，
是
的平分线，
；
（2）解：
∵
从
处开始绕点
顺时针方向旋转，转速为每秒
，
从
处开始绕点
逆时针方向旋转，同时转速为每秒
，
∵
与
第一次重合的时间为：
；
②
，
，
与
第一次从相遇到分开所经历的时间为：
；
（3）解：
旋转
时，
，
，
，
，
．
．
【题型5 旋转中探究角的新定义型问题】
9．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我
们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为
的两个角的射线，叫做这个角的三分
线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为
的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角
的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若
，则
是
的一条三分线；若
，则
是
的另一条三分线．
(1)如图2，
是
的三分线，
，若
，则
；
(2)如图3，
，
是
的四分线，
，过点O 作射线
，当
刚好为
的三分线时，求
的度数；
(3)如图4，
，射线
是
的两条三分线，将射线
同时绕点O 沿顺时针方
向旋转
，在旋转的过程中，若射线
中恰好有一条射线是其它两条射线组成
夹角的四分线，请直接写出
的值．
【答案】(1)
(2)
或
(3)
或
或
或
【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类
讨论思想是解题的关键．
（1）根据三分线的定义求解即可；
（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可；
（3）根据四分线的定义分四种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵
是
的三分线，
，若
，
∴
．
故答案为：
．
（2）解：∵
，
是
的四分线，
，
，
∵
是
三分线，
∴①如图：当
时，
，
；
②如图：当
时，
，
．
综上，
的度数为
或
．
（3）解：∵
，射线
、
是
的两条三分线
∴
，
①如图，当
是
的四分线时，
，
∴
，解得：
，
∴
，
∴
；
②如图，当
是
的四分线且
时，
∴
，
∴
；
③如图，当
是
的四分线且
时，
∴
，
∴
；
④如图，当
是
的四分线时，
，
∴
，解得：
，
∴
．
∴
的值为
或
或
或
．
10．新定义：若两个角的和为
，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如
，
，
则
与
互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于
而小于
的角．）
【阅读理解】
（1）如图，如果
，
与
互为“相伴角”，则
________；
【初步应用】
（2）射线
平分角
，
为
内部的一条射线，且满足
，若
与
互
为“相伴角”，求
的值；
【解决问题】
（3）如图
，已知
，射线
从
出发，以每秒
的速度绕
点顺时针旋转，同时，射线
从
出发，以每秒
的速度绕
点逆时针旋转，设运动的时间为
秒由
，
，
三条射线
形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）有．
【分析】本题考查新定义的角度关系、角平分线，找到新定义的角度关系是解题的关键．
（1）根据新定义，找到角度关系，求解即可；
（2）分情况讨论
与
的位置关系，画出图象，求解即可；
（3）分情况讨论
与
的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间的一元一次方程
求解即可．
【详解】解：（1）
，
与
互为“相伴角”，
，
，
，
；
（2）如图，当
在
上方时，
OM 平分角
，
，
根据题意得
，
，
，
，
当
在
下方时，
平分角
，
，
根据题意得
，
，
，
综上所述，
为
或
；
（3）已知
，射线
以每秒
顺时针旋转，射线
以每秒
逆时针旋转，
当
秒时：
，
，
则
，
，
三条射线形成的角为
，
，
，验证两角和是否为
，如下：
，
，
因此当
时，由
，
，
三条射线形成的角中
与
互为“相伴角”．
1．生活情境·水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，
且被等分成了8 份，三角形
是水车的支架，
．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着
圆心
旋转．在图②中，若
平分
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义．根据周角的定义求出
，
再根据角平分线的定义求出
，由
；
【详解】解：由题意得，
，
∵
，
平分
，
∴
，
∴
，
故选：B．
2．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，
，
．
固定不动，
绕着O
点顺时针旋转
，若
绕着O 点旋转图2 的位置，若
，则
的度数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得
，再由
，可得
，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，
∵
，
∴
，
∴
．
故选：B
3．一副三角板ABC、DBE，如图1 放置，（
、
），将三角板
绕点B 逆时针旋转
一定角度，如图2 所示，且
，有下列四个结论：
①在图1 的情况下，在
内作
，则
平分
；
②在旋转过程中，若
平分
，
平分
，
的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成
的次数为3 次；
④
的角度恒为
．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．
【详解】①如图可得
，所以
平分
，①正确；
②当
时，设
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
当
时，设
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，故②正确；
③
时
，
时
，
时
故③正确；
④当
时
，当
时
，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②③；
故选：C．
4．如图，已知
，现将射线
绕点
顺时针匀速旋转，射线
保持不动，
当射线
与射线
重合时停止旋转．当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线
旋
转的角度为 ．
【答案】
或
【分析】本题主要考查分类讨论的思想、角的和差关系，根据题意，先进行分类讨论，再根据角的和差关
系解决此题．
【详解】解：三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，可能存在以下两种情形：
①当射线
旋转到
的外部时，
．
∴射线
旋转的角度为
．
②当射线
旋转到
内部时，
．
∴
，
∴射线
旋转的角度为
，
综上：射线
旋转的角度为
或
．
故答案为：
或
．
5．定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线
叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如
，
，
是
的两条三分
线，以点
为中心，将
按顺时针方向旋转
（
）得到
，当
恰好是
的三分
线时，
的值为 ．
【答案】
或
【分析】根据题意将本题分成两种情况讨论①
，②
，根据两种情况分
别讨论并计算即可．
【详解】解：∵
，
，
是
的两条三分线，
∴
，
①当
，如图，
如原图所示：
，
所以
；
②当
时，如图，
则
，
所以，
．
故答案为：
或
．
6．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的
倍，那么我们将这
条射线称为这个角的
分位线．例如：如图1，
，则
为
的5 分位线；
，则
也是
的5 分位线．
（1）如图2，点A、
、
在同一条直线上，
为一条射线，
，
分别为
与
的3 分
位线，（
，
），
，则
；
（2）如果点A、
、
在同一条直线上，
为一条射线，已知射线
、
分别为
与
的
5 分位线，且
，则
．
【答案】
或
【分析】本题考查了新定义——角的
分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解
题的关键．
（1）求出
，根据
，
分别为
与
的3 分位线，（
，
），得
，得
；
（2）根据
、
分别为
与
的5 分位线，得
,或
；
，或
,当
,
时，
,不合；当
，
时，
， 得
；当
，
时，
，得
；当
，
时，
，不合．
【详解】解：（1）∵
，
∴
，
∵
，
分别为
与
的3 分位线，（
，
），
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
故答案为：
；
（2）∵射线
、
分别为
与
的5 分位线，
∴
，∴
,
或
，∴
；
，∴
，
或
，∴
，
当
,
时，
，
∵
，
∴不合；
当
，
时，
，
∴
，
∴
；
当
，
时，
，
∴
；
当
，
时，
，
不合．
∴
或
．
故答案为：
或
．
7．已知
为直线
上的一点，
，
．
(1)如图①，以
为观察中心，射线
表示正北方向，
表示正东方，若
，则射线
的方
向是________；若将射线
、射线
绕点
旋转至如图②所示的位置，另一条射线
恰好平分
．若
，求
的度数；
(2)若将射线
、射线
绕点
旋转至如图③所示的位置，射线
仍然平分
，
与
之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)北偏东
；
(2)
，理由见解析
【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差
关系，是解题的关键：
（1）求出
的度数，根据方向角的定义，即可得到射线
的方向，根据角的和差关系，角平分线
的定义，推出
；
（2）根据角平分线的定义结合角的和差关系，推出
，
，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意知，
，
，
∴
，
∴
，
∴射线
的方向是北偏东
；
∵
，
，
∴
，
，
∴
．
∵
恰好平分
，
∴
，
∴
，
∴
．
（2）
，理由如下：
∵
为
的平分线，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
8．如图，点O 为直线
上一点，过点O 作射线OC，使
，将一个含
角的直角三角尺的
一个顶点放在点O 处，斜边
与直线
重合，另外两条直角边都在直线
的下方．
(1)将图1 中的三角尺绕着点O 逆时针旋转
，如图2 所示，此时
；在图2 中，
是否平分
？请说明理由；
(2)紧接着将图2 中的三角板绕点O 逆时针继续旋转到图3 的位置所示，使得
在
的内部，请探究：
与
之间的数量关系，并说明理由；
(3)将图1 中的三角板绕点O 按每秒
的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线
恰好平分锐角
，则t 的值为 （直接写出结果）
【答案】(1)
，平分，见解析
(2)相等，见解析
(3)4.5 秒或40.5 秒．
【分析】（1）根据
和含
角的直角三角尺的特点，算出
，得到
，
即可解题；
（2）根据题意算出
，
，利用
，
，即可解
题；
（3）根据直线
恰好平分锐角
，且
，可分为当
在直线
的下方，且
，以及当
在直线
的上方，且
，再根据三角板绕点O 按每秒
的速度沿
逆时针方向旋转，建立关于t 的等式即可求解．
本题考查了旋转的性质、角的运算，角平分线的判定，解题的关键是掌握以上知识点．
【详解】（1）解：如图2，由旋转的性质可知，
，
故答案为：
；
平分
．理由如下：
，
，
而
，
，则
平分
．
（2）解：
．
理由如下：如图3，
，
，
，
，
．
（3）解：
直线
恰好平分锐角
，且
，
或
，即
，
①当
在直线
的下方，
有
（秒），
②当
在直线
的上方，
（秒）．
故答案为：4.5 秒或40.5 秒．
9．如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析如
何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定
义两手手心位置分别为A，B 两点，两脚脚跟位置分别为C，D 两点，A，B，C，D，E，O 在同一平面内，
O 为定点，且
垂直水平线l，将手脚运动看作绕点O 进行旋转：
(1)填空：如图2，A，O，B 三点共线，且
，则
________°；
(2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A，O，B 三点共线，却不在水平方向上，且
，求
的度数；
(3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，
平分
，且
，开始运动前A，
O，B 三点在同一水平线上，
，
同时绕点O 逆时针旋转，
旋转速度为
，
旋转速度为
，运动时间为
，当
旋转到与
重合时，运动停止．在运动过程中，请帮助北北用等式表示
与
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)90
(2)
(3)当
时，
；当
时，
【分析】本题主要考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系．
（）由
，
，
三点共线，可得出
，再由
，即可求出
；
（
）由
，设
，则
，分别求出
，
，再代入
即可求解；
（）先求出
旋转到与
重合时，
，由
的运动过程可知，需要分类讨论，在点B，
，D 三点共线前和点B，
，D 三点共线后，分别求解即可；
【详解】（1）解：∵
，
，
三点共线，
∴
，
∵
，
∴
；
（2）解：∵
，
设
，则
，
∴
，
，
∴
；
（3）解：∵
平分
，且
，
∴
，
∴此时
，
则
旋转到与
重合时，
，
∴
；
运动停止时，即
时，
旋转的角度为
，
当点D，
，B 三点共线时，
，
∴当
时，
，
，
∴
；
当
时，
，
，
∴
，
综上，当
时，
；当
时，
．
10．【概念学习】定义：从
的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将
分
得的两个角中有一个角与
的和为90°，则称该射线为
的“分余线”．
【深入思考】
(1)如图1，
，
，则射线
______
的“分余线”；（填：“是”或“不
是”）
(2)若
平分
，且
为
的“分余线”，求
的度数；
(3)如图2，
，在
内部作射线
，
，使
为
的平分线，在
的内部
作射线
，使
．当
为
的“分余线”时，
______度．
【答案】(1)是
(2)
(3)60 或105
【分析】本题主要考查了角平分线定义，角的和差，
（1）根据题意可知
，再结合“分余线”的定义解答；
（2）根据角平分线的定义可得
，再根据“分余线”的定义可得
，
求出答案即可；
（3）根据题意可得
，
，可表示出
.再分两种情况：当
时，当
时，然后代入计算可得答案．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴射线
是
的“分余线”；
故答案为：是；
（2）解：∵
平分
，
∴
．
∵
是
的“分余线”，
∴
，
解得
，
∴
；
（3）解：∵
平分
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
当
时，
是
的“分余线”，
即
，
解得
；
当
时，
是
的“分余线”，
即
，
解得
．
所以
的度数为
或
．
故答案为：
或
．
1．【探索新知】
（1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起．
①若
，则
________；若
，则
________；
②请直接写出
与
的数量关系________．
【深入探究】
（2）如图2，将两把同样的三角尺的
角的顶点A 重合在一起，则
与
有何数量关系？请说
明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知
，作
，
（
，
都是锐角，且
），若
在
的内部，请直接写出
与
的数量关系．
【答案】（1）①
；
；②
；（2）
；（3）
或
或
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，数形结合，分类讨论是解题的关键．
（1）①当
时，根据互余关系得出
，根据
得出
，当
时，得出
，根据互余关系得出即可求解；②根据
，即可得出
；
（2）根据（1）的方法得出
，即可求解；
（3）分4 种情况讨论，即①
在
上方时，②
在
内部，③
在
内部，④
在
下方，分别画出图形，结合图形即可求解．
【详解】解：（1）①当
时，
∵
，
∴
∵
，
∴
；
当
时，
∵
，
∴
∵
，
∴
．
故答案为：
；
；
②∵
∴
；
即
（2）
．理由如下：
∵
；
∴
；
（3）①
在
上方时，如图：
∴
②
在
内部，如图：
同理可得：
；
③
在
内部，如图：
；
④
在
下方，如图：
．
综上所述，
或
或
．
2．如图1，点
在直线
上，
．已知
，
的两边
分别与射线
重合，现将
绕点
按每秒
的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指
的角均大于
且小于
）
(1)如图 2 所示，当
时，若
，且射线
在
内部，则
___________，
此时的值为___________；
(2)当
时，若
平分
，请探究
与
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)108，24
(2)
或
【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算；
（1）设
，则
，根据
得出
，进而得出
，根据
绕点
按每秒
的速度沿逆时针方向旋转，进而得出的值；
（2）设
，分两种情况，求出则
，由
平分
，得出
，即可求解；
【详解】（1）解：设
，则
，
，则
，
解得：
，
，
∵
绕点
按每秒
的速度沿逆时针方向旋转，
（秒），
故答案为： 108，24 ．
（2）解：当
在
内部，如图所示，
设
，
，
，
平分
，
，
，
，
即
；
当
时，
在
的外部（
时，
重合），
，
，
∵
平分
，
，
，
，即
，
综上所述：
或
．
3．已知
补角的度数是
度数的
，
，
，
都是
内的射线．
(1)如图10，若
平分
，
平分
，当
绕点
在
内旋转时，求
的度数．
(2)若
也是
内的射线，且
，
平分
，
平分
．
①当
绕点
在
内旋转时，求
的度数；
②若起始位置时
，当
在
内绕着点
以2 度/秒的速度逆时针旋转秒时，
．求的值．
【答案】(1)
(2)①
或
②15
【分析】题目主要考查角平分线的计算，一元一次方程的应用，理解题意，结合图形，分情况分析是解题
关键．
（1）设
的度数为
，根据题意列出方程得出
，然后利用角平分线计算即可；
（2）①根据角平分线得出
，
，然后分两种情况分析：情况一：如图
1，当
在
右侧时，情况二：如图2，当射线
在
左侧时，结合图形求解即可；②根据旋转及角
平分线作出相应图形，求解即可．
【详解】（1）解：设
的度数为
．
由题意得
，
解得
．
所以
．
因为
平分
，
平分
．
所以
，
．
所以
．
（2）①因为
平分
．
平分
，
所以
，
．
分类讨论，情况一：如图1，当
在
右侧时，
．
情况二：如图2，当射线
在
左侧时，
．
综上所述，
的度数为
或
．
②如图3．因为起始位置时
，
，所以
在
的右侧．
因为
在
内绕着点
以2 度/秒的速度逆时针旋转秒．
所以
．
因为射线
平分
．
所以
．
因为
．
所以
．
因为射线
平分
．
所以
．
又因为
，
所以
．
解得
．
答：的值为15．
4．【综合与实践】
在第六章《几何图形初步》中，我们学习了角的平分线，通过折纸的方法可以作角的平分线．如图1，将
纸片上的
对折，使角的一边
与角的另一边
重合，得折痕
，此时
与
完全重
合，因此
．展开纸片后，射线
即为
的平分线．
【探究1】
（1）如图2，在长方形纸片
的边
上分别取点
，连接
．若将
对折，点
落在
直线
上的点
处，得折痕
；再将
对折，点
落在直线
上的点
处，得折痕
，则
___________ ．
【探究2】
（2）如图3，在长方形纸片
的边
上取点
，边
上取点
（点
在点
右侧），分别连接
．若将
对折，点
落在直线
上的点
处，得折痕
；再将
对折，点
落在直
线
上的点
处，得折痕
．
①若
，
，则
___________ ；
②若
，则
___________ ；
③若
，则
___________（用含
的式子表示），并写出你的推导过程．
【探究3】
（3）如图4，在长方形纸片
的边
上取点
，边
上取点
（点
在点
右侧），分别连接
．若将
对折，点
落在直线
上的点
处，得折痕
；再将
对折，点
落在直线
上的点
处，得折痕
．若
，则
___________（用含
的式子表
示）．
【答案】（1）90；（2）①10；②80；③
，过程见解析；（3）
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．
（1）由题意可得
，
，由平角的定义可得
，据此可得答案；
（2）①由题意可得
，
，由平角的定义可得
，据此可得答案；②同（2）①求解即可；③同（2）①
求解即可；
（3））由题意可得
，
，由平角的定义可得
，据此可得答案．
【详解】解：（1）由题意可得
，
，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）①由题意可得
，
，
∵
，
∴
，
∴
；
②由题意可得
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
③由题意可得
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）由题意可得
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
5．【基础感知】
如图1，点P 为线段
上一动点，
，点P 从点A 出发向点B 运动，到达点B 后，再转向点A 运动，
…如此反复．在点P 的运动过程中，点P 运动1 个单位长度后到达点
，即
；再运动2 个单位长度
后到达点
，此时
；再运动3 个单位长度后到达点
，…以此类推．
（1）求
______，
______，
【迁移应用】
如图2，点O 是直线
上一点，线段
从射线
的位置开始绕点O 向
的位置顺时针旋转，当转到
位置时，则从
位置弹回，继续向
位置旋转，…如此反复．在线段
的旋转过程中，
从
开始旋转角度
至
，从
继续旋转角度
至
，从
旋转角度
至
，…以此类推．
例如：当
时，线段
，
，
，
，
的位置如图3 所示，其中线段
第4 次旋转到
后弹回，即
，而
恰好与
重合．
（2）若
，线段
，
，
的位置如图4 所示，求
的度数；
（3）若
，且线段
所在的射线平分
，在图5 中画出线段
，
，
，
，并求
出
的值；
（4）若
，且
，直接写出所有
的取值．
【答案】（1）6，1；（2）
；（3）图见解析，
；（4）
或
或
【分析】本题主要考查了线段的计算，角度的计算和角度的旋转变化，熟练掌握角度的计算是解题的关键．
（1）根据点P 的运动规律即可求解；
（2）根据
的旋转规律即可求解；
（3）当
时，由
可判断不符合题意，当
时，表示出
和
，根
据
平分
即可求解；
（4）根据
的旋转规律分
，
，
，
，
，即可求解．
【详解】解：（1）由点P 的运动规律可知
，
∴
，
∴此时点P 到达点B，则点P 返回向点A 运动，
∴
，
∴
．
故答案为：6；1．
（2）∵
从
开始旋转角度
至
，从
继续旋转角度
至
，从
继续旋转角度
至
，
∴
旋转了
，
∴
旋转到了
的位置后，从
回弹了，
∴
，
由题意得
，
∴
．
（3）如图，
，
，
，
即为所求．
当
时，
，
∴
未从
回弹，不可能平分
，不符合题意，舍去；
∴
，此时
，
∴
未从
回弹，
由题意得，
，
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，即
，
∴
．
（4）
时，则
，
∴
和
都未到达
，从
回弹，
由题意得
，
，
∴
，即
，
∴
；
时，则
，
，
∴
未回弹，
已回弹，
由题意得，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，即
回弹后在
和
之间或与
重合，
∴
，
∴与
矛盾，不符合题意，舍去；
时，
同理
，
，
∴
，
，
∴
回弹后在
和
之间或与
重合，
∵
与
重合时，与
矛盾，不符合题意，舍去，
∵
，
∴
，
∴
；
时，
同理
可得
未回弹，且
回弹后在
和
之间，
∵
，
∴
，
∴
；
时，
由题意得，
，
∴
和
都已从
回弹，
∴
，
，
，
∴
，
∴
回弹后在
和
之间，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴不符合题意，舍去；
综上所述，
的值为
或
或
．
6．新定义：若两个角的和为
，则称这两个角互为“满分角”；例如
，
，则
与
互为“满分角”．
【阅读理解】
（1）如图，如果
，射线
在射线
上方，
与
互为“满分角”，则
________．
【初步应用】
（2）若
，
为
内部的两条射线，射线
平分角
，若
与
互为“满分
角”，且满足
，求
的值．
【解决问题】
（3）如图
，已知
，射线
从
出发，以每秒
的速度绕
点顺时针旋转，同时，射线
从
出发，以每秒
的速度绕
点逆时针旋转，设运动的时间为秒．
作
的平分线
，当
时，
与
互为“满分角”，求运动时间的值．
若
，当
________，时，由
、
、
三条射线形成的角互为“满分角”．
【答案】
；
或
；
，
或
或
．
【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数
式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可．
根据“满分角”的定义，可知
，又因为已知
，即可求出
的度
数，再根据图中角之间的关系求出
的度数即可；
设
，则有
，然后再分当射线
在射线
上方时，和射线
在射线
下方时，两种情况求解；
当
时，射线
与
重合，当
时，可知
，
，
根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可；
因为当
秒时，射线
与
重合，当
秒时射线
与
重合，当
时，射线
与
重合，所以要分当
时，和当
时，两种情况讨论．
【详解】
解：
与
互为“满分角”，
，
，
，
，
，
故答案为：
；
解：如下图所示，设
，
射线
平分角
，
，
，
当射线
在射线
上方时，
，
与
互为“满分角”，
，
，
解得：
，
；
如下图所示，当射线
在射线
下方时，
，
与
互为“满分角”，
，
，
解得：
，
；
综上所述，
的度数为
或
；
解：
，
当
时，射线
与
重合，
当
时，
，
，
平分
，
，
与
互为“满分角”，
，
,
解得：
；
解：由
可知当
时，射线
与
重合，
，
当
时，射线
恰好与
重合，
，
当
时，射线
旋转到
的下方，
当
时，射线
与
重合，
如下图所示，当
时，
，
，
，
、
、
三条射线形成的角互为“满分角”，
当
和
互为“满分角”时，
则有
，
解得：
(负值，舍去)；
当
和
互为“满分角”时，
则有
，
解得：
；
当
和
互为“满分角”时，
则有
，
解得：
(不符合题意，舍去)；
如下图所示，当
时，
，
，
，
当
和
互为“满分角”时，
则有
，
解得：
；
当
和
互为“满分角”时，
则有
，
解得：
(不符合题意，舍去)；
当
和
互为“满分角”时，
则有
，
解得：
；
综上所述，当
秒或
秒或
秒时，由
、
、
三条射线形成的角互为“满分角”，
故答案为：
或
或
．
