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专项训练06 一元一次方程中含参数问题
【知识点1 一元一次方程中含参数问题】
1. 解的情况判定：系数定乾坤
对于一元一次方程ax = b（a、b 可为含参表达式）：
- 唯一解：a≠0，解为x =b
a。
- 无数解：a = 0 且b = 0，方程化为0*x = 0 ，任意实数均为解。
- 无解： a = 0 且b≠ 0，方程化为0*x = b（b≠0），无解。
> 关键：含参方程先化为标准形式ax = b ，再按上述原则分情况讨论。
2. 解的特征条件：正负、整数、相等
- 解的正负：先解出x = f(m)（含参表达式），再列不等式：
- x > 0、x < 0、x≥0 等。
- 解为整数： f(m) 为整数，常结合整除性求参数（如m 为整数，f(m)需能被某数整除）。
- 解相等：若两个含参方程的解相同，先分别解出x1 = f(m) 、x2 = g(m)，再令f(m) = g(m)求参数。
3. 同解与错解问题：代入法破题
- 同解方程：
- 两个方程解相同，可用“解一方程，代入另一方程”求参数；
- 或分别用含参式子表示解，令其相等。
- 错解问题（看错系数）：
- 如“看错a 得解 x0”，则将x0代入未看错的方程部分，反求参数；
- 关键：分清哪个系数看错，哪个没看错，代入正确的方程。
【题型1 利用一元一次方程的定义求字母参数】
1．已知方程
是关于x 的一元一次方程，则m 的值为______．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m 的
等式和不等式，求解即可得到m 的值．
【详解】解：方程
∵
是关于
的一元一次方程，
∴
，
∴
，
，
∴
．
2．如果关于
的方程
是一元一次方程，则
_____．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的定义，关键是根据“只含一个未知数、未知数次数为1、系数不为0”这
三个条件列方程和不等式求解．
【详解】解：关于
∵
的方程
是一元一次方程，
∴
，即
或
，解得
或
；
且
，解得
；
综上，
；
故答案为：
．
【题型2 利用一元一次方程的解求字母或代数式的值】
3．若
是关于
的一元一次方程
的解，则
的值是______．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，把
代入方程得
，再整体代入代数式
计算即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵
是方程
的解，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
4．若
是关于x 的一元一次方程
的解，则代数式
的值为_________．
【答案】6
【分析】根据方程解的定义，将
代入方程
得到
，然后代入代数式
求值
即可．
【详解】解：∵
是关于
的一元一次方程
的解，
∴
，
∴
．
【题型3 利用一元一次方程的解相同求字母参数】
5．若关于
的方程
和方程
同解，则
的值等于______．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先根据题意，得
，再把
代入
，即可求出
的值作答．
【详解】解：关于
∵
的方程
和方程
同解，
由
∴
解得
则把
代入
，
得
解得
故答案为：
6．若方程
的解与关于
的方程
的解相同，则
的值为_____．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，正确计算是解题的关键．先解方程
得到
，再代入方程
求解
．
【详解】解：
，
解得
．
将
代入方程
，
得
，即
．
解得，
．
故答案为：
．
【题型4 求一元一次方程含字母参数的方程的解】
7．若关于
的方程
的解为
，则关于
的方程
的解为
________．
【答案】
【分析】利用整体换元思想，将第二个方程中的
看作第一个方程中的
，结合已知第一个方程的解
求解
．
【详解】解：设
，则方程
可化为
，
方程
∵
的解为
，
方程
∴
的解为
，
即
，
解得
．
8．关于
的一元一次方程
的解是
，则关于
的一元一次方程
的解是___________．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解的关系．
将
化为
，可知
，求解即可．
【详解】解：∵
可化为
，
方程
∴
与方程
的结构相同，
即
，
解得
．
故答案为：
．
【题型5 一元一次方程含字母参数的解为整数解问题】
9．关于x 的方程
的解是正整数，则满足条件整数a 的和是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．把a 看作已
知数表示出方程的解，由方程的解为正整数，确定出整数a 的值即可．
【详解】解：方程整理得：
，
解得：
，
由方程的解为正整数，即
为正整数，
∴
或3，
整数
∴
，4 共2 个，和为
；
故答案为：6．
10．已知关于x 的方程
的解为整数，且k 为整数，则满足条件的所有k 值的和为 ．
【答案】8
【分析】本题考查一元一次方程的解和一元一次方程的解法．先求方程的解得
，再由已知可得
或
，求出k 的值即可．
【详解】解：
，
去括号得，
，
移项、合并同类项，得
，
解得
，
方程的解为整数，
∵
∴
或
，
∴
或
或
或
，
所有
∴
k 值的和为
故答案为：8
【题型6 一元一次方程含字母参数的新定义型问题】
11．我们定义：若关于
的一元一次方程
的解满足
，则称该方程是“差解方程”，例如：
的解为
，则该方程
就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程
_______差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于
的一元一次方程
是“差解方程”，求
的值；
【知识应用】
（3）已知关于
的一元一次方程
是“差解方程”，求
的值．
【答案】（1）是；（2）
；（3）16
【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关
键．
（1）根据差解方程的定义进行验证即可；
（2）将方程
变形为
，根据差解方程的定义，其常规解需等于其差解值，故可列出方程
，解此方程即可得到答案；
（3）根据差解方程的定义求出
，整理得到
即可求出答案．
【详解】（1）解：∵
的解是
，且
，
方程
∴
是“差解方程”，
故答案为：是；
（2）解：
，
解得
，
方程
∵
是“差解方程”，即
是“差解方程”，
∴
∴
，
解得
；
（3）解：根据题意，得
，
∴
，
∴
．
12．中考新趋势·新定义 定义：关于x 的方程
与方程
（a，b 均为不等于0 的常数）称互
为“反对方程”，例如：方程
与方程
互为“反对方程”．
(1)若关于x 的方程
与方程
互为“反对方程”，则
_______；
(2)若关于x 的方程
与其“反对方程”的解都是整数，求整数d 的值；
(3)已知关于x 的一元一次方程
的解为
，那么关于y 的一元一次方程
的解为_______．（请直接写出答案）
【答案】(1)2
(2)d 的值为
或
(3)
【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据“反对方程”的定义，进行求解即可；
（2）求出两个方程的解，根据解为整数，进行求解即可；
（3）根据互为“反对方程”的解互为倒数，根据换元法，得到
，进行求解即可．
【详解】（1）解：关于
∵
x 的方程
与方程
互为“反对方程”，
∴
；
故答案为：2；
（2）
变形为
，
由题意可知方程
的“反对方程”为
．
解
，得
．
解
，得
．
因为
与
的解都是整数，
所以
与
都是整数，且d 为整数，
所以当
或
时，
与
都是整数，
故整数d 的值为
或
；
（3）由题可知
的解为
．
由题意得，互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，
所以
的解为
，
将
变形为
，
所以
，
所以关于y 的一元一次方程
的解为
．
1．若关于
的方程
的解为
，则
的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程解的性质，将已知解代入方程，解关于
的一元一次方程即可．
【详解】解：已知方程
的解为
，
将
代入方程：
，
解得：
．
故选：A．
2．已知方程
是关于
的一元一次方程，则
的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的定义．
根据一元一次方程的定义，未知数的次数必须为1，且系数不为0，由此确定
，求解
的值即可．
【详解】解：由题意，方程
是关于
的一元一次方程，
因此
的指数
必须为1．
即
，
得
或
，
即
的值为
．
故选：C．
3．王涵同学在解关于
的方程
时，误将“
”看作“
”，得到方程的解为
，那么原
方程的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用．先按
计算出
，再
将
计算出
的值，代入原方程再一次解方程即可得出答案．
【详解】解：
王涵同学在解关于
的方程
时，误将“
”看作“
”，得到方程的解为
，
，
解得：
，
，
，
原方程为
，
解得：
，
故选：B．
4．已知关于
的方程
有整数解，则
的所有可能的取值的和为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般
步骤解方程，再根据整数的定义将
的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
将系数化为1，得
是整数解
∴
或
，
，
，，
，
，
则
故选：C．
5．下列结论：
若
①
是关于x 的方程
的一个解，则
；
若
②
有唯一的解，则
；
若
③
，则关于x 的方程
的解为
；
若
④
，且
，则
一定是方程
的解；
其中结论正确个数有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了方程解的定义，解一元一次方程；方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知
数的值，理解定义是关键．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方
程中的未知数，所得到的式子左右两边相等，根据方程的解的定义，逐项分析判断，即可求解．
【详解】
把
①
代入
得：
，故结论
正确；
①
方程
②
可化简为
．
若
，则方程解为
（唯一解）．
若
，方程变为
，有无穷多解．
题目中“有唯一解”需满足
，故结论
正确．
②
③
，则
，方程移项，得：
，则
，则结论
错误；
③
把
④
代入
1，方程一定成立，则
一定是方程
的解，结论
正
④
确．
故选：B．
6．若
是方程
的解，则
．
【答案】4
【分析】本题考查了一元一次方程的解求参数，把方程的解代入计算即可．
【详解】解：若
是方程
的解，
∴
，
解得，
，
故答案为：4 ．
7．小玉在解方程
去分母时，方程右边的“
”项没有乘6．因而求得的解是
，则
．
【答案】3
【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案．
【详解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程为
，
解得
，
∵
，
∴
，
解得
．
故答案为：3．
8．若关于x 的方程
，无论k 为任何数时，它的解总是
，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解．
整理原式得出
，根据方程的解为1，得出
，然后代数求解即可．
【详解】解：
把
代入得：
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
9．若方程
是关于x 的一元一次方程，则代数式
的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及代数式求值．根据一元一次方程的定义，可求出m 的值．在
将m 代入代数式计算即可．
【详解】解：∵
是关于x 的一元一次方程，
∴
，
，
∴
，
∴
，
故答案为：1．
10．k 是一个正整数，关于
的一元一次方程
有正整数解，则
．
【答案】或或
【分析】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，先求出一元一次方程的解，然后根据一元
一次方程有正整数解确定
的取值即可，正确求出一元一次方程的解是解题的关键．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
关于
∵
的一元一次方程
有正整数解，
∴
，
∴
，
∴
或或，
∴
或或
，
故答案为：或或
．
11．已知关于x 的方程
的解与
的解互为相反数．
(1)求a 的值；
(2)求代数式
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解．
（1）先求出第二个方程的解，得出第一个方程的解是
，把
代入第一个方程，再求出a 即可；
（2）将（1）中所得a 的值代入所求式子计算即可．
【详解】（1）解：解方程
得：
，
两个方程的解互为相反数，
∵
另一个方程的解为
∴
，
把
代入方程
得：
，
解得：
；
（2）解：∵
，
∴
．
12．（1）已知
是方程
的解，求m 的值；
（2）方程
的解与方程
的解相同，求m 的值．
【答案】（1）
；（2）
【分析】本题考查方程的解，同解方程，熟练掌握方程的解的定义，解一元一次方程的步骤是解题的关键：
（1）把
代入方程，进行求解即可；
（2）求出方程
的解，再把解代入
中，进行求解即可．
【详解】解：（1）把
代入
，得：
，
∴
，
解得：
；
（2）∵
，
∴
，
解得：
，
把
代入
，得：
，
∴
，
解得：
．
13．【定义】若关于x 的一元一次方程
的解满足
，则称该方程为“友好方程”．例如：方
程
的解为
，而
，则该方程为“友好方程”．
(1)在方程①
；②
中，为“友好方程”的是_____；（填序号）
(2)若关于x 的一元一次方程
是“友好方程”，求m 的值．
【答案】(1)②；
(2)
．
【分析】此题主要考查解一元一次方程，正确理解“友好方程”的定义是解题的关键．
（1）先求出一元一次方程的解，再检验方程的解是否满足“友好方程”的概念，即可判断求解；
（2）根据“友好方程”的定义得到
，代入
求解即可．
【详解】（1）解：①
，
解得：
，
因为
，
所以该方程不是“友好方程”；
②
，
解得：
，
因为
，
所以该方程是“友好方程”；
故答案为：
；
②
（2）解：关于
∵
x 的一元一次方程
是“友好方程”，
∴
，
即
，
∴
，
解得：
．
1．若
是一元一次方程
的解，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据题意得出
，代入代数式计算即可．
【详解】解：
是一元一次方程
的解
，
，
故选：A ．
2．若关于
的方程
的解是整数，则整数
的取值有（ ）
A．6 个
B．5 个
C．3 个
D．2 个
【答案】A
【分析】本题考查了解含参一元一次方程的整数解问题，把字母
当成已知数解方程，再根据
为整数确
定
的值，最后统计
的个数即可．
【详解】解：
可化为：
，
即：
.
.
又
为整数，
或
或
.
故选：
．
3．已知关于x 的一元一次方程
的解为
，则关于y 的一元一次方程
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的解，将两个方程化为相同的形式，根据
的解求出y 的
值即可．
【详解】解：方程
可化为
，方程
可化为
，
根据题意，得
，
解得
．
故选：C．
4．嘉嘉同学在解关于x 的方程
时，由于粗心大意，误将等号左边的“
”看作了“
”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为
，则原方程的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查求含参数一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的计算方法是解题的关键．
利用“将错就错”的方法求出
的值，再将
代入原方程即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：
的解为
，
将
代入
中，得：
∴
，
再将
代入
中，得：
∴
，
故选：B．
5．如果关于
的方程
无解，那么
满足的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程无解，可得答案，利用一元一次方程无解得出
关于
的方程是解题关键．
【详解】解：关于
∵
的方程
无解，
∴
，
解得：
，
故答案为：
．
6．已知关于
的方程
的解是非正整数，则符合条件的所有整数
的和是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法，一元一次方
程的解是解题的关键．根据解一元一次方程的方法求出
，然后再根据方程的解为非正整数，可得
，进而得出
的值为
，
，分别求出
的值求和即可．
【详解】解：
，
去分母，得
，
去括号，得
，
移项、合并同类项，得
，
解得：
．
要想使方程的解为非正整数，则整数
满足：
，
是负整数，且能整除5，
的值为
，
，
当
时，解得：
，
当
时，解得：
，
符合条件的所有整数
的和为：
．
故答案为：
．
7．例如“已知关于x 的方程
的解为
，求关于y 的方程
的解．”可以这样解：
可得
，所以
．若关于x 的方程
的解是
，且式子
成立，则
的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解其定义并运用是解题的关键．
根据题意得到
的值，然后化简条件式即可．
【详解】解：关于
∵
的方程
的解是
，且式子
成立，
有
∴
，
∴
．
故答案为： ．
8．已知关于x 的一元一次方程
的解为
，那么关于y 的一元一次方程
的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了换元法解一元一次方程，将关于
的一元一次方程变形是解题的关键．
将方程
变形为
，
再根据方程的
解为
得到
，即可求解．
【详解】解：将方程
变形为
，
方程
的解为
，
方程
的解为
，
解得
．
故答案为：
．
9．已知关于
的一元一次方程
，其中
为整数
(1)求
的值
(2)若该方程与方程
同解，求
的值
(3)若该方程有整数解，求
的值
【答案】(1)2
(2)7
(3)
或
或
或
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握一
元一次方程的定义是解题关键．
（1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式，据此即可获得答
案；
（2）首先解方程
可得
，然后将
代入方程
并求解，即可获得
答案；
（3）根据题意，当
时，
，易知当
取
、
时才能使该方程有整数解
为整数，然后求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，方程
为关于
的一元一次方程，
∴
，
，
解得
，
，
∴
的值为2；
（2）解方程
，可得
，
依题意得，方程
的解为
，
将
代入方程
，
可得
，
解得
，
∴
的值为7；
（3）解：关于
∵
的一元一次方程
有整数解，
当
∴
时，
，
当
∵
取
、
时才能使该方程有整数解
为整数，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
综上所述，
或
或
或
．
10．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做
“立信方程”．
(1)若“立信方程”
的解也是关于
的方程
的解，则
___；
(2)若关于
的方程
的解也是“立信方程”
的解，则
______；
(3)若关于
的方程
的解也是关于
的方程
的解，且这两个方程都是
“立信方程”，求符合要求的正整数
和正整数
的值．
【答案】(1)1
(2)5
(3)
，
【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．
（1）根据“立信方程”的定义解答即可；
（2）根据
，可得
，再代入
，即可求解；
（3）先根据方程
，得出
的取值，再根据方程
，得出
的取值，最后
根据相同的解，即可确定
的值．
【详解】（1）解：
，
将
，代入
得，
，
故答案为：1；
（2）解：∵
∴
∴
，代入
得，
，
，
故答案为：5；
（3）解：由
，得
，
∵
的值为整数，
∴
为整数，且
取正整数，
∴
或
或
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
∵
∴
∴
，
∵
的值为整数，
∴
或
或
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
方程
∵
的解也是关于
的方程
的解，
∴
，
．
11．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程
和
为“友好方程”．
(1)若关于x 的方程
与方程
是“友好方程”，则
______；若“友好方程”的两个
解的差为5，其中一个解为
，则
______．
(2)若关于x 的方程
与方程
是“友好方程”，求m 的值．
(3)若关于x 的一元一次方程
和
是“友好方程”，请直接写出关于y 的一元
一次方程
的解．
【答案】(1)12，
或3
(2)
(3)
【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论；
（2）利用“友好方程”的定义求解
的值即可；
（3）根据方程
可以改写成
，利用“友好方程”的定
义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，方程
，
解得
，
方程
的解为
，
由于方程
与方程
是“友好方程”，
则
，
解得
；
若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为
，
①
，
解得
，
②
，
解得
，
则
或
，
故答案为：12；
或3；
（2）解：方程
，解得
，
方程
解得
，
由题意，得
，
解得
；
（3）解：方程
解得
，
由于方程
和方程
是“友好方程”，
则方程
的解为
，
将方程
改写为
，
则
，即
，
因此方程
的解为
．
12．数学课本上有这样一道题“如果代数式
的值为
，那么代数式
的值是多
少？”小明同学解题过程如下：
解：原式
因为
，所以原式
．
小明同学把
作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的
一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面
问题：
【尝试应用】
（1）已知a、b 互为相反数，m、n 互为倒数，则
______．
（2）已知，当
，
的值是2023；当
时，
的值是____．
【拓展提高】
（3）已知
，
，
，
求
的值．
（4）关于x 的一元一次方程
的解
，解关于y 的一元一次方程
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
．
【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌
握题干中的方法并熟练运用是解题的关键．
（1）利用相反数和倒数的意义求得
的值，代入运算即可；
（2）利用已知条件求得关于a，b，c 的值，再利用整体代入的方法解答即可；
（3）去墇括号后，重新结组，再利用整体代入的方法解答即可；
（4）利用换元的思想方法将
看成
即可得出结论．
【详解】（1）∵a，b 互为相反数，
互为倒数，
，
故答案为：
；
已知，当
，
的值是2023，
当
时，
故答案为：－2007；
；
关于x 的一元一次方程
的解
，
，
．
