第15 讲一次函数的应用
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 一次函数的应用之分配方案问题
题型2 一次函数的应用之最大利润问题
题型3 一次函数的应用之行程问题
题型4 一次函数的应用之几何问题
题型5 一次函数的应用之梯度计费问题
题型6 已知直线与坐标轴交点求方程的解
题型7 利用图象法解一元一次方程
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一次函数应用、待定系
数法、图象法、方程与
不等式、建模、数形结
合。
1. 能根据实际问题中的条件，确定一次函数的表达式（待定系数法）。
2. 能利用一次函数的图象和性质，解决简单的实际问题（如行程、方案选择、
费用等）。
3. 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，能利用图象解方
程和不等式。
4. 经历“问题—建模—求解—检验”的过程，体会数形结合与数学建模思想，
提升应用能力。
学习重点：用待定系数法求一次函数的表达式，以及利用一次函数解决实际问题。
学习难点：准确从实际问题中提取信息建立函数模型，理解函数、方程、不等式三者之间的内在联系，
并能灵活转化。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 一次函数的实际应用
1）数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既
合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、
抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
2）正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后
根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
3）选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，
寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
【易错提醒】
一次函数实际应用易错警示：审清题意，正确设变量。注意自变量取值范围（如时间、数量非负）。求最
值时，若为分段函数需比较各段。单位统一，结果要符合实际意义（如人数取整数），勿忽略端点。
即时即练1．在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B 两种奖品共120 件，对表现优异的学生进行奖
励．已知A 种奖品的价格为32 元/件，B 种奖品的价格为15 元/件．
(1)请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A 种奖品的数量x（件）之间的关系式；
(2)当购买了30 件A 种奖品时，总费用是多少元？
(3)若购买的A 种奖品不多于50 件，则总费用最多是多少元？
【答案】(1)
17
1800
y
x
；
(2)2310 元；
(3)总费用最多是2650 元．
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，确定函数关系式是解本题的关键；
（1）由总费用等于购买两种奖品的费用之和建立函数关系式即可；
（2）把
30
x
代入（1）中的解析式计算即可；
（3）利用一次函数的性质解答即可；
【详解】（1）解：根据题意，得：
32
15 120
17
1800
y
x
x
x
，
即购买两种奖品的总费用y（元）与购买A 种奖品的数量x（件）之间的关系式为
17
1800
y
x
；
（2）当
30
x
时，
17 30 1800
2310
y
，
答：当购买了30 件A 种奖品时，总费用是2310 元；
（3）由题意，得
50
x
，
由（1）可知为
17
1800
y
x
，
∵17
0
，
∴y 随x 的增大而增大，
∴当
50
x
时，y 有最大值为
17 50 1800
2650
y
最大
，
答：若购买的A 种奖品不多于50 件，则总费用最多是2650 元．
2．某建筑公司现有A ，B 两工地需要租车运土，A 工地需要12 台，B 工地需要18 台；租车公司现有甲型
车10 台，乙型车20 台可供选择，每天租金价格如右表．
甲型车租金
乙型车租金
A 工地
800 元/台
600 元/台
B 工地
600 元/台
300 元/台
(1)设A 工地租甲型车x 台，租乙型车______台；则B 工地租甲型车______台，租乙型车______台（用含x 的
式子表示）．
(2)设该公司每天的总租金为y 元，请求出y 与x 的函数解析式并写出x 的取值范围．
(3)在（2）条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由．
【答案】(1)
12
x
；
10
x
；
8
x
(2)
100
15600 0
10
y
x
x
(3) A 工地租甲型车10 台，租乙型车2 台；则B 工地租乙型车18 台，才能使得每天总租金，最少租金是14600
元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用代数式表示式
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）根据A，B 两工地租车方案，即可求解；
（2）根据租金等于每天的租金价格乘以车的数量，列出函数的关系式，即可求解；
（3）根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设A 工地租甲型车x 台，租乙型车
12
x
台；则B 工地租甲型车
10
x
台，租乙型车
18
10
8
x
x
台；
故答案为：
12
x
；
10
x
；
8
x
（2）解：
800
600 12
600 10
300
8
100
15600
y
x
x
x
x
x
，
即y 与x 的函数解析式为
100
15600 0
10
y
x
x
；
（3）解：∵100
0
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵0
10
x
，
当
10
x
时，y 取得最小值，最小值为14600，
即A 工地租甲型车10 台，租乙型车2 台；则B 工地租乙型车18 台，才能使得每天总租金，最少租金是14600
元．
知识点02 一元一次方程与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b 的形式；当y=0 时，一次函数x 的值就是一元一次方程的解；
y=0 时x 的值，即一次函数与x 轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解.
【易错提醒】
一元一次方程与一次函数关系易错警示：方程ax+b=0 的解是一次函数y=ax+b 图象与x 轴交点的横坐标。
注意：方程的解是x 值，交点坐标是(x,0)。勿将纵坐标当作解，也不可混淆“解”与“交点”。
即时即练1．如图，一次函数y
kx
b
的图象与x 轴的交点坐标为
2,0
，则下列说法：①
0
k
，
0
b
；
②y 随x 的增大而减小；③关于x 的一元一次方程
0
kx
b
的解为
2
x ；④当
2
x 时，
0
y
．其中正
确的是（
）
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
【答案】B
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、判断一次函数的
增减性
【分析】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，熟
练掌握一次函数图像和性质，利用数形结合的思想解答是解题关键．根据一次函数图像所在象限及与坐标
轴的交点可判断①②错误，③正确，根据一次函数图像在x 轴上方时与x 轴交点横坐标可判断④正确，
综上即可得答案．
【详解】解：∵一次函数y
kx
b
的图象经过一、二、三象限，
∴
0
k
，
0
b
，y 随x 的增大而增大，故①②错误，
∵一次函数与x 轴交于点
2,0
，
∴关于x 的一元一次方程
0
kx
b
的解为
2
x ，当
2
x 时，
0
y
，故③④正确，
故选：B．
题型1 一次函数的应用之分配方案问题
【例1】A 城有肥料200t ，B 城有肥料300t ．现要把这些肥料全部运往C，D 两乡．从A 城往C，D 两乡运
肥料的费用分别为25 元/t 和20 元/t；从B 城往C，D 两乡运肥料的费用分别为24 元/t 和15元/t．现C 乡需
要肥料240t ，D 乡需要肥料260t ，
(1)设从A 城调运x 吨肥料到C 乡（0
200
x
），补充完整下列表格
A 地
200t
B 地
300t
C 地
240t
x
②
D 地
260t
①
③
①
②
③
(2)怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程
【答案】(1)①200
x
；②240
x
；③60
x
(2)从A 城乡运往C 乡200 吨，运往D 乡0 吨；从B 城运往C 乡40 吨，运往D 乡260 吨，此时总运费最少
为9860元
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据表格结合题意求解即可；
（2）先求出运费y 关于x 的函数关系式，再由一次函数的性质分析求解．
【详解】（1）解：由题意得A 地向D 地调运
200
t
x
，则C 乡还需要
240
t
x
，则B 地调运
240
t
x
到
C 地，则B 地剩余
300
240
60
t
x
x
调运到D 地，
故答案为：①200
x
；②240
x
；③60
x
；
（2）解：设总运费为y 元，由题意得：
25
20 200
24 240
15 60
y
x
x
x
x
4
10660
x
（0
200
x
），
∵在函数
4
10660
y
x
中，
4
0
k
，
∴y 随x 的增大而减小，
∴
200
x
时，总运费y 有最小值9860，
此时，200
0
x
，240
40
x
，60
260
x
，
答：从A 城乡运往C 乡200 吨，运往D 乡0 吨；从B 城运往C 乡40 吨，运往D 乡260 吨，此时总运费最
少，最小值为9860元．
【例2】“工欲善其事，必先利其器”．某校为开好劳动教育课准备购置一批劳动工具，学校与店主商量后，
店主给出了以下两种购买方案（二选一）：
方案一劳动工具13元/ 件，运费30
元；
方案二劳动工具18元/ 件，免费送货上
门．
若学校购买x 件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为
1y 元，按方案二购买的付款总金额为
2y 元．
(1)请分别写出
1
2
,
y y 与x 之间的函数解析式；
(2)请你为该学校选择合适的购买方案．
【答案】(1)
1
13
30
y
x
，
2
18
y
x
；
(2)当购买劳动工具少于6 件时，选择方案二；当购买劳动工具等于6 件时，两种方案均可；当购买劳动工具
超过6 件时，选择方案一．
【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2 ）令
1
2
y
y
，即13
30
18
x
x
，解得
6
x
，再分
1
2
y
y
和
1
2
y
y
进行分析即可．
【详解】（1）解：由题意得
1
13
30
y
x
，
2
18
y
x
；
（2）解：令
1
2
y
y
，即13
30
18
x
x
，
解得：
6
x
；
令
1
2
y
y
，即13
30
18
x
x
，解得：
6
x
；
令
1
2
y
y
，即13
30
18
x
x
，解得：
6
x
；
∴当购买劳动工具少于6 件时，选择方案二；
当购买劳动工具等于6 件时，两种方案均可；
当购买劳动工具超过6 件时，选择方案一．
【技巧归纳】
设两种方案的费用函数（一次函数），由自变量（数量）比较大小。求交点：令两式相等得临界值；选择：
小于临界选一种，大于选另一种。注意定义域（正整数或范围）。也可列表格，代入典型值验证。常结合
不等式。
【变式1-1】某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案
二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，1l 为方案一的
函数图像，2l 为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30 元．根据图中信息解
答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）：
(1)求1l 对应的函数表达式．
(2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？
(3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？
【答案】(1)
1
150
y
x
(2)方案二中每月付给销售人员的底薪是3600 元
(3)当销售件数少于120 时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120 时，选择两种方案所得到
的月工资一样；当销售件数多于120 时，选择方案一才能使月工资更多
【分析】（1）设1l 对应的函数表达式为
1
1
y
k x
，由待定系数法就可以求出解析式；
（2）由题意得方案二中每件商品的销售提成为150
30
120
元，设2l 对应的函数表达式为
2
150
30
y
x
b
，利用待定系数法求得
3600
b
，因此方案二中每月付给销售人员的底薪为3600 元；
（3）由
1
2
y
y
建立方程，先求出两种工资方案所得到的工资数额相等时x 的值，再观察图像即可得出销售
方案．
【详解】（1）解：设1l 对应的函数表达式为
1
1
y
k x
．
由题图，得
1
6000
40k
，
解得
1
150
k
，
1l
对应的函数表达式为
1
150
y
x
．
（2）（2）方案二中每件商品的销售提成比方案一少30 元，
设2l 对应的函数表达式为
2
150
30
y
x
b
．
把
40,8400 代入，得8400
120
40
b
，
1
150
y
x
解得
3600
b
，
方案二中每月付给销售人员的底薪是3600 元．
（3）（3）由（1）知，
1
150
y
x
．由（2）知，
2
120
3600
y
x
．
令150
120
3600
x
x
，解得
120
x
．
当销售数量为120 件时，两种方案所得到的月工资相等．
由题图可得，当销售件数少于120 时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120 时，选择两种
方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120 时，选择方案一才能使月工资更多．
【变式1-2】某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种
车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃
料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下：
设车辆行驶路程为x （单位：万公里），总费用为y （单位：万元）
①下表是调研中的两组数据：
车辆类型
传统燃油车
氢能源车
行驶路程x （万公里）
10
10
总费用
y 万元
23
28
②两类车型各自的总费用y 与行驶路程x 的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点P ，且与y 轴分别
交于点
0,15
A
，点
0,25
B
．
结合上述调研信息，回答问题：
(1)传统燃油车购车费用是___________万元；
(2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低．
【答案】(1)15
(2)当
20
x
时，选传统燃油车总费用较低；当
20
x
时，两种车总费用一样；当
20
x
时，选氢能源车总费
用较低
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，一次函数图象的性质是关键．
（1）根据两类车型各自的总费用y 与行驶路程x 的函数关系的图象，
（2）运用待定系数法算出各自总费用与行驶路程的函数解析式
1
0.8
15
y
x
，
2
0.3
25
y
x
，当两种车总
费用相等时，即0.8
15
0.3
25
x
x
，得到行驶路程，结合图形判定即可求解．
【详解】（1）解：
0,15 ,
0,25
A
B
，即当
0
x
时，传统燃油车的总费用为15万元，氢能源车的总费用为
25 万元，
∴传统燃油车购车费用是15万元；
（2）解：设传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为
1
1
1
15
0
y
k x
k
，
把
10,23 代入得，
1
10
15
23
k
，
解得，
1
0.8
k
，
∴传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为
1
0.8
15
y
x
，
同理，设氢能源车总费用与行驶路程的解析式为
2
2
2
25
0
y
k x
k
，
把
10,28 代入得，
2
10
25
28
k
，
解得，
2
0.3
k
，
∴氢能源车总费用与行驶路程的解析式为
2
0.3
25
y
x
，
当
1
2
y
y
时，0.8
15
0.3
25
x
x
，
解得，
20
x
，
∴当
20
x
时，选传统燃油车总费用较低；
当
20
x
时，两种车总费用一样；
当
20
x
时，选氢能源车总费用较低．
题型2 一次函数的应用之最大利润问题
【例3】“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货
单价分别为2 元/枝、3 元/枝，售价分别为8 元/枝、6 元/枝，某店主计划购进两种鲜花共300 枝，其中康乃
馨不大于200 枝．设该花店计划购进康乃馨x 枝，两种鲜花全部销售后可获利润y 元．
(1)求出y 与x 之间的函数关系式．
(2)该花店如何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)
3
900
y
x
(2)购进康乃馨200 枝、玫瑰100 枝时才能获得最大利润
【分析】（1）根据利润=销售康乃馨的利润+销售玫瑰的利润计算即可；
（2）根据一次函数的增减性和x 的取值范围计算即可．
本题考查一次函数的应用，写出y 与x 之间的函数关系式、掌握一次函数的增减性是解题的关键．
【详解】（1）解：
8
2
6
3 300
3
900
y
x
x
x
，
∴y 与x 之间的函数关系式
3
900
y
x
．
（2）解：y 与x 之间的函数关系式
3
900
y
x
，3
0
，
∴y 随x 的增大而增大，
∵0
200
x
，
∴当
200
x
时y 值最大，
300
200
100
（枝）．
答：购进康乃馨200 枝、玫瑰100 枝时才能获得最大利润．
【例4】港务区苗木种植专业户老王承包了30 亩地，分别种植柏树苗和松树苗，有关成本、销售额见下表：
种植种类
成本（万元/亩）
销售额（万元/亩）
柏树苗
2.4
3
松树苗
2
2.5
设种植柏树苗x 亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为y 万元．
(1)求y 与x 的函数表达式；
(2)今年，他继续用这30 亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过70 万元，若每亩的种植成本和
销售额不变，他应如何安排种植才能获得最大收益？（收益＝销售额﹣成本）
【答案】(1)
0.1
15
y
x
(2)他应该种植25 亩柏树苗，种植5 亩松树苗才能获得最大收益
【分析】本题考查了一次函数的应用，表示出与总收益的函数关系式，找出题中等量关系并列出方程是解
题的关键．
（1）设种植柏树苗x 亩，则种植松树苗
30
x
亩，根据收益=销售额-成本列出函数解析式；
（2）根据总成本列出不等式求出x 的取值范围，然后根据一次函数的增减性解答即可．
【详解】（1）解：设种植柏树苗x 亩，则种植松树苗
30
x
亩，
3
2.4
2.5
2 30
0
(
)
(
)(
)
.1
15
y
x
x
x
，
∴y 与x 的函数表达式为
0.1
15
y
x
；
（2）解：根据题意得，
2.4
2 30
70
x
x
，
解得：
25
x
，
由（1）知，
0.1
15
y
x
，
∵
0.1
0
k
，
∴y 随x 的增大而增大，
∴当
25
x
时，获得最大收益．
答：他应该种植25 亩柏树苗，种植5 亩松树苗才能获得最大收益．
【技巧归纳】
利润=单件利润×销量-固定成本，若均为一次关系则得一次函数。根据k 符号判断：k>0，利润随销量增大
而增大，取最大销量；k<0，取最小销量。注意自变量受实际限制（如库存、市场需求）。有时为分段函数。
【变式2-1】某商场计划用不超过1800 元购进甲、乙两种不同品牌的水杯共50 个，已知甲、乙两种品牌水
杯的进价和售价如下表所示：
价格\品牌
甲品牌水杯
乙品牌水杯
进价（元/个）
40
30
售价（元/个）
50
35
设购进甲品牌水杯x 个，两种品牌的水杯全部销售完后可获利y 元．
(1)写出y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
(2)采用怎样的购进方案可以使获利最多，最多为多少?
【答案】(1)
5
250
y
x
；0
30
x
且x 为整数
(2)400
【分析】本题考查一次函数的实际应用，函数的区间最值问题，能够根据实际情况列出一次函数是解决本
题的关键．
（1）根据题意可知：总利润=甲品牌销售利润＋乙品牌销售利润，根据等量关系列出函数关系式即可；
（2）根据计划用不超过1800 元，计算出最多可购入的甲品牌数量，根据一次函数的增减性可计算出利润
的最高值．
【详解】（1）解：由题意得
50
40
35
30
50
5
250
y
x
x
x
；
y 与x 的函数关系式为:
5
250
y
x
；
由题意得
40
30 50
1800
x
x
，
解得
30
x
，
∴0
30
x
且x 为整数；
（2）解：
5
250
y
x
中5
0
，
y 随x 的增大而增大，
当
30
x
时，y 最大，
最大值为
5 30
250
400
y
，此时50
20
x
，
当购进甲品牌30 个，购进乙品牌20 个时获利最多，最多为400 元．
【变式2-2】“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶
是深受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题．
内容
材
料
一
某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8 元/罐；乙种酸奶的进货
总金额y （单位：元）与进货量x （单位：罐）之间的关系如图所示，经过试销，
甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12 元/罐和15 元/罐．
材
料
二
某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800 罐，其中乙种品牌的销售量不低于
150 罐，且不高于400 罐．
任
务
一
（1）根据图像求出y 与x 的函数关系式．
任
（2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利
务
二
润为w 元，求出w （单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量x （单位：罐）之间的函
数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案．
【答案】（1）
10
y
x
（2）
3200
w
x
，甲品牌酸奶的进货量为400 罐，乙品牌酸奶的进货量为400 罐时，
获得的利润最大
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）设y 与x 的函数表达式为
0
y
kx k
（
），代入
50,500 即可求解；
（2）设乙品牌酸奶的进货量x 罐，则甲品牌酸奶的进货量
800
x
罐，用含x 的式子表示利润，根据一次
函数的性质分析其最大值即可．
【详解】解：（1）依题意，设y 与x 的函数表达式为
0
y
kx k
（
），
把
50,500 代入解析式，
得
10
k
，
∴y 与x 的函数表达式为
10
y
x
；
（2）依题意，乙品牌酸奶的进货量x 罐，则甲品牌酸奶的进货量
800
x
罐，
∵乙品牌的收购量不低于150 罐，且不高于400 罐，
∴150
400
x
，
由（1）得
10
y
x
，
则
12
8 800
15 10
w
x
x
，
3200
x
∵
1
0
k
，
∴w 随x 的增大而增大，
∵150
400
x
，
∴当
400
x
时，w 最大，最大值为400
3200
3600
元，
800
400
400
（罐），
即甲品牌酸奶的进货量为400 罐，乙品牌酸奶的进货量为400 罐时，获得的利润最大．
题型3 一次函数的应用之行程问题
【例5】汽车由南京驶往相距300km 的上海，它的平均速度为100km/h ．
(1)写出汽车距上海的路程s（单位：km ）与行驶的时间t（单位：h）的函数关系式；
(2)指出自变量t 的取值范围；
(3)当汽车行驶2h 时，汽车距离上海多远？
【答案】(1)
300 100
s
t
；
(2)0
3
t
；
(3)100km ．
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出s 与t 的函数关系式．
（1）根据汽车与上海的距离南京与上海的距离汽车的行驶时间速度列出函数关系式即可；
（2）根据南京与上海的距离以及汽车行驶速度求出汽车到达上海所需的时间，结合实际意义进一步确定t
的取值范围即可；
（3）将
2
t
代入（1）的函数关系式中进行计算，即可得出答案．
【详解】（1）解：
300 100
s
t
．
（2）解：∵
300 100
3 h
，
∴t 的取值范围是：0
3
t
．
（3）解：当
2
t
时，
300
2 100
100 km
s
．
答：当汽车行驶2h 时，汽车距离上海100km ．
【例6】如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B 两地同时出发骑车前往C 地，两人行驶的路程
km
y
与甲行驶的时间
h
x
之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)求甲在0
6
x
的时间段内的函数关系式；
(2)在0
6
x
的时间段内，当
h
x
为何值时甲、乙两人相距5 千米．
【答案】(1)
10
y
x
(2)当
h
x
为3 小时或5 小时时甲、乙两人相距5 千米
【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解答本题的关键．
（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲在0
6
x
的时间段内y 与x 之间的函数关系式；
（2）根据题意，可知存在两种情况甲、乙两人相距5 千米，然后分别计算出即可．
【详解】（1）解：设甲在0
6
x
时，y 与x 之间的函数关系式是y
kx
，
∵点
6,60 在该函数图象上，
6
60
k
，
解得
10
k
，
即甲在0
6
x
时，y 与x 之间的函数关系式是
10
y
x
；
（2）解：设乙在0
6
x
时，y 与x 之间的函数关系式是y
ax
b
，
∵点(2,30),(6,50) 在函数图象上，
∴
2
30
6
50
a
b
a
b
，
解得
5
20
a
b
．
即乙在0
6
x
时，y 与x 之间的函数关系式是
5
20
y
x
，
相遇之前两人相距5km ，则
5
20
10
5
x
x
，
解得
3
x
．
相遇之后且甲到达C 地之前相距5km ，则
10
5
20
5
x
x
，
解得
5
x
．
答：当
h
x
为3 小时或5 小时时甲、乙两人相距5 千米．
【技巧归纳】
设时间t 为自变量，路程s=vt+b（b 为初始距离）。相遇时s 甲=s 乙，列方程求t。追及时路程差=初始距离。
注意速度单位统一，方向：相向加，同向减。画线段图辅助，分段运动时需分段建立函数。
【变式3-1】一辆轿车从A 地驶往B 地，到达B 地后立即返回A 地，返回速度是原来的1.5倍，往返共用t
小时．一辆货车同时从A 地驶往B 地，速度是60km/h 到达B 地后停止．两车同时出发，匀速行驶，设轿车
行驶的时间为
h
x
，两车离开A 地的距离为
km
y
，轿车行驶过程中y 与x 之间的函数图象如图所示．
(1)轿车从A 地驶往B 地的速度为km/h ，t ；
(2)在图中画出货车从A 地行驶到B 地的函数图象，并求货车从A 地行驶到B 地时y 与x 之间的函数关系式；
（写出自变量取值范围）
(3)当轿车从B 地返回A 地的途中与货车相遇时，求相遇处到A 地的距离．
【答案】(1)80，5
(2)见解析，
60
0
4
y
x
x
(3)相遇处到A 地的距离为200km
【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，正确理解题意，根据图象得到做题所需信
息是解题关键．
（1）由图象可知，轿车从A 地驶往B 地一共行驶了240km，所用时间为3h ，根据速度路程时间即可求
出轿车从A 地驶往B 地的速度，根据图象即可得到t 的值；
（2）根据时间路程速度可求出货车到达B 地所需时间，以此确定函数图象过
0,0 和
4,240 两点，根
据路程速度时间即可写出y 与x 之间的函数关系式；
（3）由题意可得轿车返回速度为120km/h ，设a 小时后，轿车从B 地返回A 地的途中与货车相遇，根据“货
车走过的路程轿车从B 地出发后的路程
240
”列出方程，求得a
10
3
，则相遇处到A 地的距离就是货车
走过的路程．
【详解】（1）解：由图象可知，轿车从A 地驶往B 地一共行驶了240km，所用时间为3h ，
∴轿车从A 地驶往B 地的速度为
240
3
80 km/h
，
由图象可知，轿车往返共用5h ；
故答案为：80，5；
（2）∵货车同时从A 地驶往B 地，速度是60km/h 到达B 地后停止，
∴货车到达B 地所需时间为240
60
4h
，
∴货车从A 地行驶到B 地的函数图象过
0,0 和
4,240 ，
60
0
4
y
x
x
，
函数图象如图所示，
（3）∵轿车返回速度是原来的1.5倍，
∴轿车返回速度为
80 1.5
120 km/h
，
设a 小时后，轿车从B 地返回A 地的途中与货车相遇，
根据题意得：
60
120
3
240
a
a
，
解得：
10
3
a
，
∴相遇处到A 地的距离为
10
60
200km
3
．
【变式3-2】如图①，一条直的公路上依次有A，B，C 三个汽车站，
250km
AB
，
60km
BC
，一辆汽车
上午8：00 从距离A 站10km的P 地出发，匀速向C 站行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当
到达B 站时接到通知，要求中午12：00 前到达C 站．设汽车出发
h
x 后离A 站km
y
，图②中折线
—
—
—
D
E
F
G 表示接到通知前y 与x 之间的函数关系．
(1)根据图象可知，接到通知前汽车行驶的速度为km/h ；
(2)求线段FG 对应的函数表达式（不写自变量的取值范围）；
(3)接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，则能否按时到达？如果不能按时到达，那么速度至少提高
到多少可按时到达？请说明理由．
【答案】(1)80
(2)
80
30
y
x
(3)不能，速度至少提高到120km/h ，理由见解析
【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关
键
（1）由图象可知，休息前汽车行驶的路程为80 千米，时间为1小时，根据速度路程时间解题．
（2）先求出点G 的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为4.25 小时，由4.25
4
，判断并求出速
度即可．
【详解】（1）解：由图象可知，休息前汽车行驶的速度为：
90 10
1
80
（千米/小时）．
（2）解：休息后按原速度继续前进行驶的时间为：
1.5
250
90
80
1.5
2
3.5
，
点G 的坐标为
3.5,250 ，
设线段FG 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y
kx
b
，
则：
1.5
90
3.5
250
k
b
k
b
，解得
80
30
k
b
，
线段FG 所表示的y 与x 的函数关系式为：
80
30
y
x
．
（3）解：若汽车按原速行驶，则不能按时到达，速度至少提高到120km/h ．
理由如下：由（1），得接到通知前汽车行驶的速度为80km/h．
接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，
则行完全程所需时间为
3.5
60 80
4.25 h
．
因为12
8
4
，且4.25
4
，
所以若汽车仍按照原来的速度行驶，则不能按时到达．
若要使其能按时到达，则速度至少提高到
60
4
3.5
120 km/h
．
题型4 一次函数的应用之几何问题
【例7】如图，一次函数
2
4
y
x
的图象与x 轴、y 轴分别相交于点�, �，将该函数图象沿y 轴向下平移
(
0)
m m
个单位长度得到新函数
2
4
y
x
m
的图象，新图象与x 轴相交于点C ．
(1)求点A
B
C
，，
（用含m 的代数式表示）的坐标；
(2)当△���的面积为9时，求m 的值；
(3)在2 的条件下，在y 轴上找一点P ，使得△���为等腰三角形，求点P 的坐标．
【答案】(1)�−2,0 ，
0,4
B
，
4 ,0
2
m
C
(2)9
(3)
0, 14 或
0,
14
或
65
0,
2
或
65
0,
2
【分析】（1）分别把�= 0 和�= 0 代入一次函数
2
4
y
x
中可求出点A
B
，
的坐标，把�= 0 代入一次函
数
2
4
y
x
m
可求出点C 的坐标；
（2）利用三角形面积公式解答即可求解；
（3）由（2）可得
9
2
AC
，
5
2
OC
，再根据等腰三角形的定义分三种情况，利用勾股定理解答即可求解．
【详解】（1）解：在
2
4
y
x
中，令�= 0，得�= 4，
∴�0,4 ，
令�= 0，得2
4
0
x
，
解得�=−2，
2,0
A
，
平移后的表达式为
2
4
y
x
m
中，令�= 0，得2
4
0
x
m
，
解得
4
2
m
x
，
4 ,0
2
m
C
；
（2）解：由（1）知，
4
2,0
0,4
,0
2
m
A
B
C
，
，
，
4
2
2
2
m
m
AC
，��= 4，
ABC
S
1
1
4
2
2
2
m
AC OB
m
，
∴△���的面积为9，
∴�= 9；
（3）解：由（2）知，�= 9，
2
m
AC
，
∴
5 ,0
2
C
，
9
2
AC
，
5
= 2
OC
，
当CA
CP
时，
9
2
CP
，
在Rt POC
中，由勾股定理得，
2
2
2
2
9
5
14
2
2
OP
CP
OC
，
点P 的坐标为
0, 14 或
0,
14
；
当CA
AP
时，
9
2
AP
，
∵�−2,0 ，
∴��= 2，
在Rt
POA
△
中，由勾股定理得，
2
2
2
2
9
65
2
2
2
OP
AP
OA
，
∴点P 的坐标为
65
0,
2
或
65
0,
2
；
当CP
AP
时，
∵OA
OC
，
∴点P 不在y 轴上，此种情况不存在；
综上所述，点P 的坐标为
0, 14 或
0,
14
或
65
0,
2
或
65
0,
2
．
【例8】如图1，在Rt △���中，
90
BAC
，��= 3，��= 4 动点P 从A 出发，沿着折线�→�→�
运动，速度为每秒1 个单位长度，到达C 点停止运动，设P 点的运动时间为t 秒（0
8
t
），△���的面
积为y ．
(1)请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)若直线�1 = �+ �与y 的图象只有一个交点，请直接写出b 的取值范围．
【答案】(1)
2 0
3
6
48 3
8
5
5
t
t
y
t
t
，
，
(2)函数图象见解析，当�= 3 时，△���的面积y 取得最大值
(3)�= 3 或8
0
b
【分析】（1）当0
3
t
时，
1
1 4
2
2
2
y
AC
AP
t
t
，当3
8
t
时，由
90
BAC
，��= 3，��= 4
得��= 5，�△���= 6，设在Rt △���中，BC 边上的高为h，由
1
2
APC
S
PC
h
，
1
2
ABC
BC
h
S
△
得
APC
ABC
S
PC
S
BC
△
△
，即
3
5
6
5
y
t
，化简得，
6
48
5
5
y
t
，故
2 0
3
6
48 3
8
5
5
t
t
y
t
t
，
，
；
（2）先描点再连线，画出图象即可，注意空心点；性质：当�= 3 时，△���的面积y 取得最大值；当0
3
t
时，△���的面积y 随点P 运动的时间增大而增大；当3
8
t
时，△���的面积y 随点P 运动的时间增大
而减小；任选一条即可；
（3）�= 3 或8
0
b
，理由：由直线�1 = �+ �与y 的图象只有一个交点得，即当0
3
t
时，直线
1y
t
b
与
2
y
t
只有一个交点，得
6
b
；当3
8
t
时，直线
1y
t
b
与
6
48
5
5
y
t
只有一个交点，得8
0
b
，
故�= 3 或8
0
b
．
【详解】（1）解：当0
3
t
时，
1
1 4
2
2
2
y
AC
AP
t
t
，
如图，当3
8
t
时，
90
BAC
，��= 3，��= 4，
2
2
5
BC
AB
AC
，
1
3 4
6
2
ABC
S
△
，
设在Rt △���中，BC 边上的高为h ，
1
2
APC
S
PC
h
，
1
2
ABC
BC
h
S
△
，
APC
ABC
S
PC
S
BC
，
3
5
6
5
y
t
，即
6
48
5
5
y
t
，
2 0
3
6
48 3
8
5
5
t
t
y
t
t
，
，
；
（2）解：函数图象如图，
性质：当�= 3 时，△���的面积y 取得最大值；当0
3
t
时，△���的面积y 随点P 运动的时间增大而增
大；当3
8
t
时，△���的面积y 随点P 运动的时间增大而减小；
（3）解：�= 3 或8
0
b
，理由如下：
直线�1 = �+ �与y 的图象只有一个交点，如图，
当�= 3 时，
2
6
y
t
，把
3,6 代入直线
1y
t
b
得�= 3，
故当�= 3 时，直线
1y
t
b
与y 的图象只有一个交点，
把0,0 代入直线
1y
t
b
得
0
b
，把
8,0 代入直线
1y
t
b
得
8
b ，
故当8
0
b
时，直线
1y
t
b
与y 的图象只有一个交点，
若直线�1 = �+ �与y 的图象只有一个交点，�= 3 或8
0
b
．
【技巧归纳】
将几何量（如面积、周长）表示成边长的一次函数。利用图形性质（矩形、三角形）列式，求最值时根据k
的增减性取边界。注意自变量范围由几何约束决定（如边长>0）。若为动态几何，设时间t，用t 表示边长
再列函数。
【变式4-1】如图，直线1l ：
4
4
y
x
交x 轴于点A，交y 轴于点B，已知点
3, 1
C
．
(1)如图，过点C 作直线2l ：y
kx
b
．
①用含k 的代数式表示b；
②若直线2l 与线段��有交点（不包含A，B 两点），求k 的取值范围；
(2)平行于x 轴的直线分别交1l ，2l 于D，E 两点，点E 在点D 的右侧，点E 的横坐标为m，若��= 1，且k，
m 均为整数，求m 的值．
【答案】(1)①
3
1
b
k
；②
5
1
3
4
k
；
(2)2 或4 或16 或−10
【分析】（1）①代入点C 的坐标，即可得到k 与b 的关系；
②先根据函数解析得到点A 和点B 的坐标，观察题目图象，可知当直线�2经过点A 和点B 时，k 分别取得
最大值和最小值，代入坐标求解即可；
（2）由DE
x
轴，可知�的横坐标为
1
m ，代入D 和E 的横坐标到对应的直线解析式，得到对应的纵坐标，
令纵坐标相等求出m 与k 的关系，再根据k 和m 都为整数的条件，求整数解即可．
【详解】（1）解：①∵点
3, 1
C
在直线2l ：y
kx
b
上，
∴1
3k
b
，
∴
3
1
b
k
；
②∵直线1l ：
4
4
y
x
交x 轴于点A，交y 轴于点B，
∴
1,0
A
，
0,4
B
，
由①得
3
1
b
k
，
∴直线2l ：
3
1
y
kx
b
kx
k
，
当直线2l ：
3
1
y
kx
k
经过点
1,0
A
时，0
3
1
k
k
，解得
1
4
k
，
当直线2l ：
3
1
y
kx
k
经过点
0,4
B
时，4
3
1
k
，解得
5
3
k
，
∴直线2l 与线段��有交点（不包含A，B 两点）时，k 的取值范围为
5
1
3
4
k
；
（2）解：∵平行于x 轴的直线分别交1l ，2l 于D，E 两点，点E 在点D 的右侧，点E 的横坐标为m，
1
DE ，
∴设
1,
D m
n
，
,
E m n ，
又∵点D 在直线1l 上，点E 在直线2l 上，
∴
4
1
4
n
m
，
km
3
1
n
k
，
∴
4
1
4
3
1
m
km
k
，
∴
4
3
13
4
1
13
4
3
3
3
m
m
k
m
m
m
，
∵k，m 均为整数，
∴
3
1, 13
m
，
∴m 的值为2 或4 或16 或10
．
【变式4-2】如图，直线
8
16
5
y
x
分别交x 轴，y 轴于点A，B，过点A 的另一条直线
10
y
x
与y 轴交
于点N，点E 是线段��上的一个动点，点C 为射线OB 上一点．
(1)求点A，B 的坐标．
(2)如图1，过点E 作��⊥�轴交直线
10
y
x
于点F，设点E 的横坐标为m．
①用含有m 的式子表示线段EF 的长；
②若△���的面积为S，求S 与m 之间的函数关系式；
(3)把△���沿直线AC 翻折得到△���．
①如图2，当点D 在△���的内部时，连结��并延长交��于点P．若AC
OP
=
，求点P 的坐标．
②如图3，点M 为��的中点，连结��，当��与x 轴平行时，请直接写出OC 的长．
【答案】(1)
10,0
A
；
0,16
B
(2)①
13
26
5
EF
m
；②
13
130
S
m
(3)①15,10
4
；②5 或20
【分析】（1）将�= 0，�= 0 分别代入
8
16
5
y
x
，即可求解；
（2）①用含m 的式子表示出点E，F 的纵坐标，作差即可；②根据
ABF
AEF
BEF
S
S
S
1
2
A
B
EF
x
x
求
解；
（3）过点P 作PH
y
轴于点H，设点P 的坐标为
8
,
16
5
p
p
，由轴对称得AC
OD
，进而证明
AAS
HOP
OAC
≌
，推出OH
AO
，即可求解；②令直线��交y 轴于点N，根据
10
OA
AD
求出点D
坐标，有两种情况，一是点D 在△���的内部，二是点D 在△���的外部，分别用勾股定理解Rt
CND
△
即
可．
【详解】（1）解：
8
16
5
y
x
，
当�= 0 时，
16
y
，
当�= 0 时，
8
16
0
5 x
，
解得
10
x
，
�10,0 ，
0,16
B
；
（2）解：①点E 的横坐标为m，点E 是线段��上的一个动点，
8
,
16
5
E m
m
，
��⊥�轴交直线
10
y
x
于点F，
,
10
F m m
，
点E 在点F 上方，
8
13
16
10
26
5
5
EF
m
m
m
；
②
AEF
BEF
S
S
S
△
△
1
1
2
2
A
E
E
B
EF
x
x
EF
x
x
1
2
A
B
EF
x
x
1
13
26
10
0
2
5 m
13
130
m
，
即
13
130
S
m
；
（3）解：①如图，过点P 作PH
y
轴于点H，AC ，��交于点G，
点P 在直线
8
16
5
y
x
上，
设点P 的坐标为
8
,
16
5
p
p
，
PH
p
，
8
16
5
OH
p
，
把△���沿直线AC 翻折得到△���，
AC
OD
，
90
OGA
，
90
GOA
OAC
，
又
90
GOA
HOP
，
HOP
OAC
，
又
90
PHO
COA
，OP
AC
，
AAS
HOP
OAC
≌
，
OH
AO
，
�10,0 ，
10
AO
，
8
16
10
5 p
，
解得
15
4
p
，
点P 的坐标为15 ,10
4
；
②令直线��交y 轴于点N，
��与x 轴平行，
MD
OB
，
�10,0 ，
0,16
B
，点M 为��的中点，
5,8
M
，
��= 8，
设点
,8
D d
，
由折叠得
10
OA
AD
，
2
2
10
0
8
10
d
，
解得
4
d
或
16
d
，
当
4
d
时，
4
DN
，点D 在△���的内部，如图：
设OC
t
，则CD
t
，
8
CN
ON
OC
t
，
在Rt
CND
△
中，
2
2
2
CN
DN
CD
，
2
2
2
8
4
t
t
，
解得
5
t
，
即��= 5；
当
16
d
时，
16
DN
，点D 在△���的外部，如图：
同理，设OC
t
，则CD
t
，
8
CN
OC
ON
t
，
在Rt
CND
△
中，
2
2
2
CN
DN
CD
，
2
2
2
8
16
t
t
，
解得
20
t
，
即
20
OC
；
综上可得，OC 的长为5 或20．
题型5 一次函数的应用之梯度计费问题
【例9】某市出租车收费标准为，两公里付起步价9 元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2 元，
超过八公里的路程每公里付3 元（不足一公里按照一公里计算，如2.3 公里按照3 公里收费），设出租车行
驶路程为x ，应付车费为y ．
(1)写出当x 为整数（2
8
x
）时，车费y 与行驶路程x 的函数关系式；
(2)若小明要乘坐出租车去距家7.2 公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？
【答案】(1)
2
5
y
x
（2
8
x
）；
(2)21 元．
【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同的路程段确定车费的计算方式．
（1）根据出租车收费标准，当2
8
x
（x 为整数）时，计算车费y 与行驶路程x 的函数关系式；
（2）先根据不足一公里按一公里计算的规则确定行驶路程，再代入（1）中函数关系式计算车费．
【详解】（1）解：当2
8
x
（x 为整数）时，起步价9 元，超过2 公里的部分为(
2)
x
公里，这部分每公
里2 元．
所以车费
9
2(
2)
y
x
，化简可得
9
2
4
2
5
y
x
x
，
答：车费y 与行驶路程x 的函数关系式
2
5
y
x
（2
8
x
）；
（2）解：因为不足一公里按照一公里计算，7.2 公里按照8 公里计算，
把
8
x
代入
2
5
y
x
中，可得
2 8
5
16
5
21
y
（元）．
答：应付给司机21 元．
【例10】某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）．
用水量x（立方米）
应交水费y（元）
不超过12 立方米
每立方米3.5 元
超过12 立方米
超过的部分每立方米4.5 元
(1)求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式；
(2)若某户居民某月交水费78 元，则该户居民用水多少立方米？
【答案】(1)
3.5
0
12
4.5
12
12
x
x
y
x
x
(2)该户居民用水20 立方米
【分析】本题考查一次函数的应用．
（1）根据表格中的数据，可以写出每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式；
（2）先判断该户居民用水量的范围，然后根据（1）中的关系式，即可计算出该户居民用水多少立方米．
【详解】（1）解：由题意可得，
当0
12
x
时，
3.5
y
x
，
当
12
x
时，
12 3.5
12
4.5
4.5
12
y
x
x
，
由上可得，每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式是
3.5
0
12
4.5
12
12
x
x
y
x
x
；
（2）解：∵12 3.5
42
78
，
∴该户居民用水超过12 立方米，
设该户居民用水a 立方米，
则4.5
12
78
a
，
解得
20
a
，
答：该户居民用水20 立方米．
【技巧归纳】
分段计费：按用量或时间分区间，每段费用函数不同（一次函数）。找临界点（如阶梯水价电量），明确
每段单价与起步价。求总费用时先判断所在区间，再代入对应式。注意跨段时需分段计算再求和，避免重
复计费。
【变式5-1】为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下：
年用水量
收费标准
不超过180t 部分
4.40 元/t
超过180t ，不超过300t 部分
5.95元/t
超过300t 部分
10.60元/t
小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准．
(1)小明同学家2023年用水
t
180
x
x
，应交水费y 元．写出y 与x 之间的关系式；
(2)小明家2024 年交了911元水费，求2024 年小明家用了多少
(3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因．
【答案】(1)
4.4 (
180)
y
x x
(2)200t
(3)见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯y 与x 之间的关系式是解题的
关键．
（1）根据第一阶梯收费标准计算即可；
（2）根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯y 与x 之间的关系式，当
911
y
时，求出对应x 的值即可；
（3）适当调整各阶梯的水量标准，既能减轻居民经济负担，又能引导居民合理用水，从这方面提出合理的
建议即可．
【详解】（1）解：当
180
x
时，y 与x 之间的关系式为
4.4 (
180)
y
x x
．
（2）当180
300
x
时，y 与x 之间的关系式为
4.4 180
5.95
180
5.95
279
y
x
x
，
当
300
x
时，y 与x 之间的关系式为
4.4 180
5.95 300 180
10.6
300
10.6
1674
y
x
x
，
当4.4
911
x
时，解得
1
207
(
22
x
舍去)，
当5.95
279
911
x
时，解得
200
x
，
2024
年小明家用了200t 水．
（3）建议：适当调整各阶梯的水量标准；
原因：随着生活水平提升和用水设备普及，部分家庭用水量增长较快．若阶梯水量标准过低，大量家庭易
进入高收费阶梯，增加经济负担；适当调整标准可平衡居民用水成本与节水意识，既减轻负担又引导合理
用水．
【变式5-2】为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供
一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示：
XX 居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量x （度）
电价（元/度）
第一档：0
180
x
0.50
第二档：180
350
x
0.55
第三档：
350
x
0.80
本月实用金额：106.5
（元）
（大写）壹佰零陆元伍
角
根据以上提供信息解答下列问题：
(1)如果月用电量用x 度来表示，实付金额用y 元来表示，当180
350
x
时，写出实付额y 元与月用电量x
度之间的函数关系式；
(2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量；
(3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120 度和250 度，则实付金额分别为多少元
【答案】(1)
0.55
9
y
x
(2)这个家庭本月的实际用电量为210 度
(3)小强和小华家这一个月实付金额分别为60 元和128.5 元
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之
间的函数关系．
（1）当180
350
x
时，成一次函数关系，实付金额等于180度内的用电付出金额与超出180 度的用电付出
金额的和，然后即可得到y 与x 的函数关系式；
（2）先计算出106.5元的用电量超出180度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解；
（3）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：当180
350
x
时，则
0.50 180
0.55
180
y
x
0.55
9
x
，
答：当180
350
x
时，y 与x 之间的函数关系式为
0.55
9
y
x
；
（2）解：∵180度电费为：0.50 180
90
，
350度电费为：0.55 350
9
183.5
，
90
106.5
183.5
，
该家庭本月用电量属于第二档，令
106.5
y
，则0.55
9
106.5
x
，
解的
210
x
，
答：这个家庭本月的实际用电量为210 度．
（3）解：当0
180
x
时，则
0.50
y
x
；
120
180
，
把
120
x
代入
0.50
y
x
得
0.50 120
60
y
元；
当180
350
x
时，则
0.55
9
y
x
，
180
250
350
当
250
x
时，则
0.55
9
0.55 250
9
128.5
y
x
元．
答：小强和小华家这一个月实付金额分别为60 元和128.5 元．
题型6 已知直线与坐标轴交点求方程的解
【例11】一次函数y
mx
n
的图象如图所示，则关于x 的方程
0
mx
n
的解为
．
【答案】
3
x
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程
0
mx
n
的解即为一次函数y
mx
n
的函数
值y 为0 时对应的x 的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键．
【详解】解：由图象知，当
0
y
时
3
x ，
∴关于x 的方程
0
mx
n
的解为
3
x ，
故答案为：
3
x ．
【例12】已知关于x 的方程
0
kx
b
的解为
3
2
x
，则一次函数y
kx
b
的图象与x 轴的交点坐标
为
．
【答案】
3,0
2
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数y
kx
b
的图象与x 轴的交点的横坐标为
0
kx
b
的解，由此可解．
【详解】解：关于x 的方程
0
kx
b
的解为
3
2
x
，
一次函数y
kx
b
的图象与x 轴的交点坐标为
3,0
2
．
故答案为：
3,0
2
．
【技巧归纳】
与x 轴交点(x₀ ,0)即方程kx+b=0 的解x₀ ；与y 轴交点(0,b)即为常数项。已知两交点可求k、b，得解析式。
也可由横截距和纵截距直接写截距式：x/a+y/b=1。注意截距符号。交点坐标代入方程验证。
【变式6-1】一次函数
1
3
2
y
x
，当
0
y
时，x
，这条直线与x 轴的交点的坐标是
，因
此，方程1
3
0
2 x
的解是
．
【答案】
6
6,0
6
x
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐
标都满足函数关系式y
kx
b
是解题的关键．代入
0
y
求出x 的值，进而可得出这条直线与x 轴的交点坐
标，于是得到方程1
3
0
2 x
的解．
【详解】解：当
0
y
时，1
3
0
2 x
，
解得：
6
x ，
这条直线与x 轴的交点是( 6,0)
．
方程1
3
0
2 x
的解是
6
x ，
故答案为：6
；( 6,0)
，
6
x ．
【变式6-2】已知一次函数y
ax
b
的图象如图所示，利用图象回答下列问题：
（1）关于x 的方程
0
ax
b
的解为
；
（2）关于x 的方程
1
ax
b
的解为
；
（3）关于x 的方程
1
ax
b
的解为
．
【答案】
2
x
0
x
4
x
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
根据函数图象作答即可．
【详解】解：由图知，一次函数y
ax
b
过点
4,1 , 2,0 , 0, 1
，
则（1）关于x 的方程
0
ax
b
的解为
2
x
；
（2）关于x 的方程
1
ax
b
的解为
0
x
；
（3）关于x 的方程
1
ax
b
的解为
4
x
．
故答案为：
2
x
；
0
x
；
4
x
．
题型7 利用图象法解一元一次方程
【例13】一次函数y
kx
b
（k，b 为常数，且
0
k
）的图象如图所示，则关于x 的方程
1
kx
b
的解
为
．
【答案】
1
2
x
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是运用数形结合思想求解．
结合函数图象得出一次函数图象经过点1 , 1
2
，即可求解．
【详解】解：方程
1
kx
b
的解就是一次函数y
kx
b
函数值为1
时，自变量x 的值，观察图象可知一
次函数图象经过点1 , 1
2
，
∴
1
kx
b
的解为
1
2
x
故答案为：
1
2
x
．
【例14】如图，一次函数y
kx
b
与
1
y
x
的图象相交于点
( ,2)
P m
，则关于x 的方程
2
kx
b
的解
是
．
【答案】
1
x
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键．先利用
1
y
x
求出交点P 的坐标，
然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．
【详解】解：把
( ,2)
P m
代入
1
y
x
得
1
2
m
，
解得
1
m ，
∴一次函数y
kx
b
与
1
y
x
的图象的交点P 为(1,2) ，
∴关于x 的方程
2
kx
b
的解是
1
x ．
故答案为：
1
x ．
【技巧归纳】
画出y=kx+b 的图象，与x 轴交点的横坐标即方程kx+b=0 的解。也可将方程化为两个函数相等，找图象交
点横坐标。近似解可用估读。注意区分方程左右两边作为两个函数，交点横坐标为解。竖线法读x。
【变式7-1】如图，直线
2
y
x
与y
kx
b
相交于点
1, 2
，则关于x 的方程
2
kx
b
x
的解是
．
【答案】
1
x
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的综合应用，解题关键是理解方程
2
kx
b
x
的解，即为
直线
2
y
x
与y
kx
b
的交点的横坐标的值．结合图像可知，方程
2
kx
b
x
的解，即为直线
2
y
x
与
y
kx
b
的交点的横坐标的值，即可获得答案．
【详解】解：直线
2
y
x
与y
kx
b
相交于点
1, 2
P
，
方程
2
kx
b
x
的解，即为直线
2
y
x
与y
kx
b
的交点的横坐标的值，
方程
2
kx
b
x
的解为
1
x ．
故答案为：
1
x ．
【变式7-2】如图，一次函数
1
0
y
kx
b k
与
2
2
y
x
的图象交于点
1,3
P
，则关于x 的方程
2
kx
b
x
的解为
．
【答案】
1
x
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，两一次函数图象的交点满足两函数解析式．利用P 点坐标
满足两函数解析式，从而得到
1
x 为关于x 的方程
2
kx
b
x
的解．
【详解】解：一次函数
1y
kx
b k
0
与
2
2
y
x
的图象交于点
1,3
P
，
即
1
x 时，
2
kx
b
x
，
关于x 的方程
2
kx
b
x
的解为
1
x
故答案为：
1
x
一、单选题
1．方程2
1
0
x
的解可以看作一次函数�= 2�+ 1 的图象与x轴交点的横坐标．则方程2
3
0
x
的解是（
）
A．
1.5
x
B．
1.5
x
C．�= 3
D．�=−3
【答案】A
【详解】解：2
3
0
x
，
移项得：2
3
x ，
系数化为1 得：
1.5
x
．
2．某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分
按原价的九折付款．若付款总数y （元）与顾客一次购买数量x（件）之间的函数关系如图所示，则这件商
品每件的原价为（
）．
A．6 元
B．7 元
C．8元
D．9 元
【答案】C
【分析】先设商品每件的原价为a元，根据题意可得超过10件时，付款总数y （元）与顾客一次购买数量x
（件）之间的函数关系为：
0.9
y
ax
a
，由图像可知，过点
20,152 ，代入
0.9
y
ax
a
求解即可．
【详解】设商品每件的原价为a 元，
超过10件时，付款总数y （元）与顾客一次购买数量x （件）之间的函数关系为：
10
10
0.9
0.9
y
a
x
a
ax
a
，
由图像可知，过点
20,152 ，
∴0.9
20
152
a
a
，
解得：
8
a
，
答：商品每件的原价为8元．
3．某生物小组观察一株植物生长，得到植物的高度y （单位：cm ）与观察的时间x（单位：天）之间的关
系如图所示（AC 是线段，射线CD平行于x 轴），下列说法正确的是（
）
A．从开始观察起，30 天后该植物停止长高
B．直线AC 对应的函数解析式为
2
6
y
x
C．观察第40 天时，该植物的高度为14 cm
D．该植物最高为15 cm
【答案】C
【分析】根据图像获取点A 、B 的坐标，利用待定系数法求出线段AC 的函数解析式，进而求出点C 的坐标，
结合图像性质逐一判断各选项即可．
【详解】解：设线段AC 对应的函数解析式为�= ��+ �
∵图像过点
(0,6)
A
，
(30,12)
B
∴
�= 6
30�+ �= 12，
解得�= 0.2
�= 6
∴线段AC 的解析式为
0.2
6(0
50)
y
x
x
，故B 选项错误
当�= 50 时，
0.2 50
6
16
y
，即点C 坐标为(50,16)
∵射线��平行于x 轴
∴50 天后该植物停止长高，且最高高度为16cm，故A、D 选项错误
当
40
x
时，
0.2
40
6
14
y
，即第40 天植物高度为14cm，故C 选项正确．
4．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计
的示数拉力
N
F
与石块下降的高度
cm
x
之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（
）（温馨提示：
当石块位于水面上方时，F
G
拉力
重力，当石块入水后，F
G
F
拉力
重力
浮力．）
A．当石块下降3cm 时，此时石块在水里
B．当6
10
x
≤
≤
时，拉力
N
F
与
cm
x
之间的函数表达式为
25
4
4
3
F
x
拉
C．石块下降高度8cm 时，此时石块所受浮力是3 N
4
D．当弹簧测力计的示数为3N 时，此时石块距离水底26 cm
3
【答案】C
【分析】根据函数图象待定系数法求得线段AB 的解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、由题图可知，石块下降到6cm 时，石块正好接触水面，故选项A 错误；
B、当6
10
x
≤≤
时，设AB 所在直线的函数表达式为：
0
F
kx
b k
拉
，则由图象可把点
6,4 ,
10,2.5
A
B
代入得：
6
4
10
2.5
k
b
k
b
，解得：
3
8
25
4
k
b
，
∴
3
25
8
4
F
x
拉
，故选项B 错误；
C、当石块下降的高度为8cm 时，即�= 8 时，
3
25
13
8
N
8
4
4
F
拉
，
∵
4N
G
重力
，
∴
13
3
4
N
4
4
F
G
F
浮力
重力
拉力
，故选项C 正确；
D、当
3N
F
拉
，即
3
25
3
8
4
x
，
解得
26
3
x
，
∴石块距离水底的距离为
26
22
16
cm
3
3
，故选项D 错误．
5．如图①，在四边形ABCD中，��∥��，∠���= 90°，点P 从A 点出发，以每秒2 个单位长度的速度按�→
�→�→�的顺序在边上匀速运动，设点P 的运动时间为t 秒，△���的面积为S，S 关于t 的函数图象如图
②所示，当点P 运动到BC 中点时，△���的面积为（
）
A．16
B．20
C．24
D．32
【答案】B
【分析】由函数图象上的点
6,32 、
10,0 的实际意义可知AB
BC
、AB
BC
CD
的长及△���的最大
面积，从而求得AD 、CD的长；接下来，再根据点P 运动到点B 时得
8
ABD
S
△
，从而求得AB 的长，求得
直线MN 的解析式，根据一次函数图象可得当点P 运动到BC 中点时，△���的面积．
【详解】解：由图象可知，
2 6
12
AB
BC
，
2 10
20
AB
BC
CD
，
8
CD
．
根据题意可知，当P 点运动到C 点时，△���的面积最大，此时
1
32
2
PAD
S
AD
DC
△
，
8
AD
，
1
8
2
ABD
S
AB
AD
△
，
2
AB
，
如图，则可得
1,8
N
，
设直线MN 的解析式为y
kx
b
，
把
1,8
N
，
6,32
M
代入可得
8
32
6
k
b
k
b
，
解得
24
5
16
5
k
b
，
所以直线MN 的解析式为
24
16
5
5
y
x
，
当点P 运动到BC 中点时，即
1
6
7
2
2
x
时，
把
7
2
x
代入
24
16
5
5
y
x
，得
0
7
2
24
16
2
5
5
y
，
所以当点P 运动到BC 中点时，△���的面积为20．
二、填空题
6．如图，一次函数
2
y
kx
（k 为常数且
0
k
）和�= 3�+ 1 的图象相交于点A，根据图象可知关于x 的
方程
2
3
1
kx
x
的解是______．
【答案】
1
x
【分析】直接利用图象法，两条直线交点的横坐标即为方程的解.
【详解】解：由图象可知，关于x 的方程
2
3
1
kx
x
的解是
1
x .
7．甲、乙两人从各自家中出发前往学校，乙从家到学校的路程比甲从家到学校的路程多400 米．如图，l甲，
l乙分别表示甲、乙两人行走的路程s（米）和甲出发时间t（分钟）的函数图象．甲、乙两人同时到达学校，
则甲从家到学校的路程为__________米．
【答案】500
【分析】本题主要考查了函数图像，二元一次方程组，掌握根据图象得到相关量之间的等量关系是解题的
关键．
【详解】解：设甲的速度为m 米/分钟，乙的速度为n 米/分钟，根据图象，
可得
6
6
4
10
4
10
400
m
n
n
m
解得
50
150
m
n
甲从家到学校的路程为50 10
500
米．
故答案为：500
8．如图，点�2,0 在x 轴上，过点
0,2 作x 轴的平行线l 与正比例函数�=
1
2 �的图象相交于点A，连接AB ，
点P 在直线l 上且位于点A 的右侧，连接BP ，
OAB
ABP
，则点P 的坐标是________．
【答案】
6,2
【分析】点P 在点A 右侧，根据
OAB
ABP
可知BP
AO
∥
，设直线BP 的解析式是
1
0
2
y
x
b k
，
把点�2,0 的坐标代入解析式求出直线BP 的解析式，再根据直线l 上的点的纵坐标是2 求出点P 的横坐标．
【详解】解：如下图所示，
∵
OAB
ABP
，
∴BP
AO
∥
，
设直线BP 的解析式是
1
0
2
y
x
b k
，
把点�2,0 的坐标代入
1
0
2
y
x
b k
，
可得：1
2
0
2
b
，
解得：�=−1，
直线BP 的解析式是
1
1
2
y
x
，
当�= 2 时，
可得：1
1
2
2 x
，
解得：�= 6，
点P 坐标是
6,2 ．
9．平面直角坐标系中有三点
1,0
A
，
2,4
B
，
9,0
C
，若直线
4
2
y
kx
k
（k 为非零常数）将ABC
分成面积为4: 1 的两部分，则k 的值是__________．
【答案】4 或
4
5
【分析】先找出一次函数经过定点，再根据题意将ABC
分成面积为4: 1 的两部分，得
4
2
y
kx
k
为过
1,0 或
7,0 的直线，用待定系数法代入一次函数解析式即可．
【详解】解：∵
2
4
2
4
y
kx
k
k x
，
∴直线
4
2
y
kx
k
必经过定点
2,4 ，
∵
2,4
B
，直线
4
2
y
kx
k
将ABC
分成面积为4: 1 的两部分，
直线BE 或BF 将ABC
分成面积为4: 1 的两部分，且�−1,0 ，
2,4
B
，
9,0
C
，如图所示：
此时高相等，面积之比等于底之比，即
:
1: 4
AE CE
或
:
4 :1
AF FC
，
∴
1
1 10
2
5
5
AE
AC
，
4 10
8
5
AF
，
∴
2 1 1
OE
AE
OA
，
7
OF
AF
OA
，
∴
1,0
7,0
E
F
，
，
∴直线
4
2
y
kx
k
为过1,0 或
7,0 的直线，
∴0
2
4
k
k
或0
7
2
4
k
k
，
解得：�= 4 或
4
5
k
．
10．如图，在平面直角坐标系中，边长为3 的正方形����由9 块边长为1 的小正方形拼成，图中阴影矩形
记为区域M（包含边界）．对于正方形����边上的一点P，若点Q 在正方形����内部且线段PQ 与区域M
有公共点，则称点Q 是点P 的“盲点”．点P 的所有“盲点”组成的区域称为点P 的“盲区”，其面积记为
S P ．
(1)点�3,1 的“盲区”的面积
S E 是_______；
(2)若点
,3
F t
在线段AB 上，且2
3
t
，则点F 的“盲区”的面积
S F ______（用含t 的代数式表示）．
【答案】(1) 7
2
(2)
1
9
4
2
t
【分析】（1）根据“盲区”的定义表示出点�3,1 的“盲区”，计算即可得出结果；
（2）根据“盲区”的定义表示出点F 的“盲区”，设点
,3
F t
与2,1 所在的直线FG 交x 轴于点G ，求出点
1
3
,0
2
G
t
，计算即可得出结果．
【详解】（1）解：根据“盲区”的定义可得，点�3,1 的“盲区”如图阴影部分所示：
故
1
7
3 1
2
2
S E
；
（2）解：由题意可得，点F 的“盲区”如图阴影部分所示：
设点
,3
F t
与2,1 所在的直线FG 交x 轴于点G ，
设直线FG 的表达式为
0
y
kx
b k
，
将点
,3
F t
，2,1 代入解析式可得
2
1
3
k
b
tk
b
，
解得
2
2
6
2
k
t
t
b
t
，
∴直线FG 的表达式为
2
6
2
2
t
y
x
t
t
，
令
0
y
，则
2
6
0
2
2
t
x
t
t
，
解得
1
3
2
x
t
，即
1
3
,0
2
G
t
，
∴点F 的“盲区”的面积
1
1
1
1
1
1
9
4
2
4
2
3
4
1
2
2
2
2
2
4
2
G
S F
x
t
t
t
．
三、解答题
11．节日期间某草莓采摘园推出优惠促销方案：采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算．设
游客在该采摘园采摘的草莓重量为x 千克，所花的费用为y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示．
(1)优惠前草莓的销售价格为每千克________元；
(2)当
10
x
时，求y 与x 之间的函数关系式；
(3)若某游客在该采摘园采摘的草莓重量为35 千克，直接写出该游客所花的费用．
【答案】(1)40
(2)
20
200
10
y
x
x
(3)900 元
【分析】（1）根据函数图象，用400 10
即可求解；
（2）根据待定系数法求解析式即可求解；
（3）先理解题意，再把
35
x
代入
20
200
10
y
x
x
求解即可．
【详解】（1）解：依题意，400
10
40
，
∴优惠前草莓的销售价格为每千克40 元．
（2）解：设当
10
x
时y 与x 的函数解析式为y
kx
b
，
由题意可得：
10
400
25
700
k
b
k
b
，
解得：
20
200
k
b
，
∴当
10
x
时y 与x 的函数解析式为
20
200
10
y
x
x
．
（3）解：∵35
10
∴当
35
x
时，
20 35
200
900
y
．
答：该游客所花的费用为900 元．
12．河南驻马店汝南特产——宿鸭湖烤鸭蛋，品质天然、蛋黄呈现蟹黄口感，蛋白兼具卤蛋香气．宿鸭湖
景区售卖两种口味的烤鸭蛋，分别是原味烤鸭蛋和五香烤鸭蛋．其进货单价分别为8 元/盒、10 元/盒．五香
烤鸭蛋在售出40 盒后，为吸引更多顾客，采取“打m 折”促销，且促销后的价格一直保持到这批五香烤鸭蛋
全部售完、原味烤鸭蛋售价不变．这两种烤鸭蛋的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：盒）之间的函
数关系如图所示．
(1)当40
150
≤
x
时，求五香烤鸭蛋的销售额y 与销售量x 之间的函数解析式；
(2)m ________；（写成中文形式）
(3)当两种烤鸭蛋的销售额相同，且大于0 时，求出此时销售这两种烤鸭蛋的利润和．
【答案】(1)
12
320 40
150
y
x
x
(2)六
(3)1120 元
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）分别计算前40 盒的单价以及促销后的单价，即可求解折扣；
（3）分别求解销售这两种烤鸭蛋的利润，再相加即可．
【详解】（1）解：销售额y 与销售量x 之间的函数解析式为�= ��+ ��≠0
代入
40,800 ，
150,2120
则
40
800
150
2120
k
b
k
b
解得
12
320
k
b
∴五香烤鸭蛋的销售额y 与销售量x 之间的函数解析式为
12
320 40
150
y
x
x
；
（2）解：前40 盒的单价为：800
40
20
（元/盒）；
促销后单价为：
2120
800
150
40
12
（元/盒），
则折扣为：12
20
0.6
，故打六折，
∴m 六；
（3）解：原味烤鸭蛋的单价为：2400 150
16
（元/盒），
∴原味烤鸭蛋的销售额y 与销售量x 之间的函数解析式为
16
y
x
，
由函数图象可得，当两种烤鸭蛋的销售额相同，且大于0 时，只有40
150
≤
x
时满足条件，
令16
12
320
x
x
解得
80
x
，
原味烤鸭蛋的销售利润为：
16
8
80
640
（元）
五香烤鸭蛋的销售利润为：
2120
800
800 10 40
10
80
40
480
150
40
（元）
∴此时销售这两种烤鸭蛋的利润和为640
480
1120
（元）
答：销售这两种烤鸭蛋的利润和为1120元．
13．活动中心想打造属于自己的文化品牌，在每一届夏令营结束后给孩子们送一个纪念品，了解到两家制
作纪念品的公司的优惠方案分别如下：
甲：优惠后采购所需费用�1（元）与优惠前所需费用x （元）满足如图所示的函数关系；
乙：优惠后采购所需费用�2（元）与优惠前所需费用x （元）满足如图所示的函数关系．
根据图象中的信息，回答下列问题：
(1)请分别求出�1和�2与x 之间的函数关系式；
(2)请根据函数图象描述乙公司的优惠方案；
(3)如果你是负责此次纪念品采购的工作人员，请通过计算说明选择哪家公司更省钱？
【答案】(1)
1
0.8
0
y
x x
；
2
(0
400)
0.7
120(
400)
x
x
y
x
x
(2)乙公司的优惠方案是当购买费用在400 元及400 元以内时，不打折；购买费用高于400 元时，超过400
元的部分打7 折
(3)若此次采购优惠前费用小于1200 元，则选择甲公司更省钱；若此次采购优惠前费用大于1200 元，则选
择乙公司更省钱；若此次采购优惠前费用等于1200 元，则两家公司费用相同．
【分析】（1）用待定系数法分别求出�1和�2与x 之间的函数关系式即可；
（2）结合函数图象回答即可；
（3）根据两个函数的交点以及一元一次不等式的应用可得出结论．
【详解】（1）解：由题图可设
1
1
1
(
0)
y
k x k
，
1y
的函数图象过点(400,320) ，代入可得，
1
320
400k
，
解得
1
0.8
k
，
1
0.8
0
y
x x
；
当0
400
x
时，设
2
2
2
(
0)
y
k x k
，
�2的函数图象经过点(400,400) ，
代入可得
2
400
400k
，
解得
2
1
k ，
当0
400
x
时，
2y
x
；
当
400
x
时，设
2
(
)0
y
kx
b k
，�2的函数图象经过点(400,400) ，(600,540) ，
代入得
400
400
540
600
k
b
k
b
，
解得
0.7
120
k
b
，
当
400
x
时，
2
0.7
120
y
x
，
2
(0
400)
0.7
120(
400)
x
x
y
x
x
；
（2）当
400
x
时，
540
400
600
400
0.7
，
乙公司的优惠方案是当购买费用在400 元及400 元以内时，不打折；购买费用高于400 元时，超过400
元的部分打7 折；
（3）当0.8
0.7
120
x
x
时，
解得
1200
x
，
当
1200
x
时，两家公司费用相同；
当0.8
0.7
120
x
x
时，
解得
1200
x
，
当
1200
x
时，甲公司更省钱；
当0.8
0.7
120
x
x
，
解得
1200
x
，
当时
1200
x
，乙更省钱．
14．项目式：智慧出行
【背景】“绿途”共享单车公司为满足不同用户的长距离骑行需求，推出了两种计时计费套餐：
畅骑套餐：收费公式为：
1
0.3
15
y
x
；
随心套餐：收费公式为：
2
0.7
y
x
；
其中，y 代表骑行的总费用（元），x 代表用户的骑行时长（分钟）．
【理解模型】
（1）请解释“畅骑套餐”公式中的“0.3”和“15”以及“随心套餐”公式中的“0.7”在实际计费中分别表示什么意义；
【应用模型】
（2）小航周末计划骑行去郊外景区，往返预计骑行总时长为80 分钟，且在景区周边还会产生约20 分钟的
额外骑行时长，根据计算，他应该选择哪个套餐更省钱？
【答案】（1）“0.3”表示每骑行1 分钟的费用是0.3 元，“15”表示骑行的起步费用是15 元，随心套餐中，“0.7”
表示每骑行1 分钟的费用是0.7 元；
（2）他应该选择“畅骑套餐”更省钱
【分析】本题考查了一次函数的实际应用．
（1）根据一次函数的表达式，结合题目中给出的收费公式，分析每个参数的实际意义即可；
（2）根据题目中给出的收费公式，分别计算出“畅骑套餐”和“随心套餐”的费用，然后比较两个套餐的费用，
选择费用较低的套餐即可．
【详解】解：（1）畅骑套餐中，“0.3”表示每骑行1 分钟的费用是0.3 元，“15”表示骑行的起步费用是15
元，随心套餐中，“0.7”表示每骑行1 分钟的费用是0.7 元．
（2）由题意知，骑行总时长为80
20
100
（分钟），
当�= 100 时，即骑行总时长为100 分钟时，
1
0.3 100 15
45
y
，
2
0.7 100
70
y
，
∵45
70
，
∴�1 < �2，
∴他应该选择“畅骑套餐”更省钱．
15．在一条公路上依次有A，B，C 三点，甲、乙两车同时从B 地出发，甲车匀速驶向A 地，乙车匀速驶向
C 地，到达C 地后停留1 h
3
后，加速驶向A 地，乙车比甲车早1h 到达A 地．甲、乙两车距B 地的路程y（单
位：km）与所用时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)A，C 两地相距______km；
(2)求图象中线段MN 的函数解析式；
(3)直接写出甲车出发后经过多长时间与乙车相距30km ．
【答案】(1)480
(2)
13
96
156
6
8
y
x
x
(3) 1 h
5
或7 h
2
或31
6 h 或13 h
2
【分析】（1）先求得甲车行驶的速度，再求得乙车匀速驶向C 地，到达C 地后停留1 h
3
后，共用时，可求
得
60km
BC
，据此求解即可；
（2）求得乙车行驶的速度，再求得点M 的坐标为13 ,0
8
，利用待定系数法求解即可；
（3）分情况讨论，分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：由图象得，甲车行驶的时间为6 1
7h
，
则甲车行驶的速度为
420
60 km/h
7
，
∵乙车匀速驶向C 地，到达C 地后停留1 h
3
后，共用时2
1 =1h
3
3
，
如图，甲车的射线经过点D ，
此时甲车行驶了60 1
60km
，即
60km
BC
，
∴A，C 两地相距60
420
480km
；
（2）解：乙车行驶的速度为
2
1
480
6
96 km /
3
3
h
，
乙车从C 回到B 地所用时间为
5
60
96
8 h
，
∵
5
13
1
8
8
h
，
∴点M 的坐标为13 ,0
8
，
设MN 的解析式为y
kx
b
，
将13 ,0
8
，
6,420 代入得
13
0
8
6
420
k
b
k
b
，
解得
96
156
k
b
，
∴线段MN 的解析式为
13
96
156
6
8
y
x
x
；
（3）解：甲车速度
60 km/h ，解析式为
60
y
x
；
乙车分阶段：①
2
0
3
x
：解析式为
90
y
x
，由
60
90
30
x
x
，解得
1
5
x
（舍去负值）；
②2
3
13
8
x
：两车反向行驶，超过60km ，此情况不存在；
③13
8
6
x
：
96
156
y
x
，
由
60
96
156
30
x
x
，解得
31
6
x
或
7
2
x
；
③6
7
x
：
420
y
，
由60
420
30
x
，解得
15
2
x
（舍去）或
13
2
x
；
综上，甲车出发后经过1 h
5
或7 h
2
或31
6 h 或13 h
2
与乙车相距30km ．
16．某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不
得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购x 个篮球．
品名
厂家批发价元/个
商场零售价元/个
篮球
120
150
排球
100
120
(1)求该商场采购费用y （单位：元）与x （单位：个）的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；
(3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了
3
0
m m
元/个，同时排球
批发价下调了2m 元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润
是2300 元，求m 的值．
【答案】(1)采购费用y 与x 的函数关系式为
20
10000 50
60
y
x
x
(2)商场把这100个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为2600 元
(3)将100个球全部卖出获得的最低利润是2300 元，m 的值为3
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题目的条件列出函数解析式并准确找到自变量的
取值范围．
（1）根据单价乘以数量等于总价，表示出购买篮球和排球的总价，然后将其相加就是总共所需要的费用；
（2）设总利润为W，求出W 与x 的关系式，运用一次函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大
利润；
（3）根据100个球全部卖出获得的最低利润是2300 元分情况讨论得出结果，最终确定出m 的值．
【详解】（1）解：设该商场采购x 个篮球，则商场采购
100
x
个排球
根据题意得，
120
100 100
20
10000
y
x
x
x
100
120
100 100
11200
x
x
x
x
解得：50
60
x
20
10000 50
60
y
x
x
答：采购费用y 与x 的函数关系式为
20
10000 50
60
y
x
x
．
（2）解：设总利润为W 元，根据题意得：
150 120
120 100 100
10
2000 50
60
W
x
x
x
x
10
0
k
，
∴�随x 的增大而增大．
60
x
时，
600
2000
2600
W
最大
元
答：商场把这100个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为2600 元
（3）解：由题意得：
150 120
3
120 100
2
100
10
5
200
2000
W
m x
m
x
m x
m
①当10
5
0
m
时，即0 < �< 2 时，W 随x 的增大而增大
50
60
x
，
当�= 50 时，W最小
2300
即：
10
5
50
200
2000
2300
m
m
．
解得：
4
2
m
舍去
②当10
5
0
m
时，
2
m
．
10
5
50
200
2000
2400
2300
m
m
，不合题意．
③当10
5
0
m
时，即�> 2 时，W 随x 的增大而减小．
50
60
x
，
当
60
x
时，W最小
2300
．
即：
10
5
60
200
2000
2300
m
m
，
解得：�= 3，
综上所述，将100个球全部卖出获得的最低利润是2300 元，m 的值为3．
