第10 讲平面直角坐标系
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 用有序数对表示位置/路线
题型2 判断点所在的象限
题型3 求点到坐标轴的距离
题型4 已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标
题型5 已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标
题型6 坐标与图形
题型7 建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标
题型8 与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
平面直角坐标系、坐
标、横轴、纵轴、象限、
一一对应、数形结合。
1. 理解平面直角坐标系的概念，掌握横轴（x 轴）、纵轴（y 轴）、原点等构
成要素。
2. 能在给定的坐标系中，根据点的位置写出坐标，由坐标描出点的位置。
3. 知道四个象限的划分及坐标轴上点的坐标特征，理解平面上的点与有序实
数对的一一对应关系。
4. 经历坐标系建立过程，体会数形结合思想，感受代数与几何的联系。
学习重点：平面直角坐标系的概念；能由坐标描点，由点的位置写出坐标。
学习难点：理解平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 确定位置
在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。
【易错提醒】
确定位置易错警示：用有序数对（如行列、经纬度）或方向与距离表示。注意“列”与“行”的顺序不可颠倒；
方向描述需明确参照点（如“北偏东30°”），距离单位统一。地图上注意比例尺换算。
即时即练1．根据下列表述，能确定具体位置的是（
）
A．八年级教室
B．北京东路
C．东偏北24方向
D．东经130，北纬40
2．在实际生活中，我们经常采用“角度距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以O点为基准点，射
线OA方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度
0
180
，顺时针方向旋转为负角度
0
180
如：
OB 方向为OA方向绕O点逆时针旋转90，点B 与点O的距离为1km，因此点B 可以用有序数对记为
90 1
，，
类似地，点C 可以记为
15 4
，．以下点的位置标记正确的是（
）
A．点
4150
D
，
B．点
45 3
E
，
C．点
120 3
F
，
D．点
60 2
G
，
知识点02 平面直角坐标系
1.平面直角坐标系的定义：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x 轴），取向右为正方
向；竖直的数轴叫做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．
注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．
2.点的坐标：如下图，由点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足A 在x 轴上的坐标是a，垂足B 在y 轴上的坐
标是b，则点P 的坐标为( , )
a b ，其中a 为点P 的横坐标，b 为点P 的纵坐标．
3.象限和坐标轴：
（1）第一象限内的点( ,
)
x y 的坐标满足：> 0
x
，
0
y
；（2）第二象限内的点( ,
)
x y 的坐标满足：< 0
x
，
0
y
；
（3）第三象限内的点( ,
)
x y 的坐标满足：x＜0，
0
y
；（4）第四象限内的点( ,
)
x y 的坐标满足：> 0
x
，
0
y
.
（5）x 轴上的点( ,
)
x y 的坐标满足：
0
y
；（6）y 轴上的点( ,
)
x y 的坐标满足：
0
x
；
注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．
4.坐标系中的特殊直线：
（1）与x 轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为y
m
；
（2）与y 轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为x
n
．
（3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为x
y
；
（4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为x
y
．
5.点到特殊直线的距离：
（1）点( , )
a b 到x 轴的距离为|
|
b ；到直线y
m
（m 为常数）的距离为|
|
b
m
；
（2）点( , )
a b 到y 轴的距离为|
|
a ；到直线x
n
（n 为常数）的距离为|
|
a
n
．
【易错提醒】
平面直角坐标系易错警示：由互相垂直、有公共原点的两条数轴组成。注意：象限按逆时针顺序（Ⅰ、Ⅱ、
Ⅲ、Ⅳ）。坐标轴上的点不属于任何象限。点P(a,b)中a 为横坐标（x 轴），b 为纵坐标（y 轴），顺序不
可互换。
即时即练1．下列说法不正确的是（
）
A．若
0
x
y
，则点
,
P x y 一定在第二、四象限的角平分线上
B．点
2,3
P
到y 轴的距离是2
C．若
,
P x y 中
0
xy
，则点P 在x 轴上
D．点
2,
A
a
b
可能在第二象限
2．已知平面直角坐标系内的不同点
3,
1 ,
1, 2
A
a
B b
．则下列说法中正确的是（
）
A．若点A 在第一、三象限的角平分线上，则
3
a
B．若点B 在第二、四象限的角平分线上，则
4
b
C．若直线AB 平行于x 轴，则
1
a 且
2
b
D．若直线AB 平行于y 轴，且
3
AB ，则
2,
2
b
a
3．已知点
1, 2
P a
a
，
(1)若点P 在y 轴上，求点P 的坐标；
(2)若点
3,5
Q
，且PQ
x
∥轴，求a 的值；
(3)若点P 在第二象限，且点P 到两坐标轴的距离之和为8，求点P 的坐标．
题型1 用有序数对表示位置/路线
【例1】根据下列表述，能确定位置的是（
）
A．航海东路
B．大卫城负二层停车场
C．奥斯卡影城3 号厅2 排
D．东经106，北纬32
【例2】如图是雷达探测到的6 个目标，若目标A 用
40,30表示，目标E 用
30,240表示，那么
40,120
表示的是（
）
A．目标B
B．目标C
C．目标D
D．目标F
【技巧归纳】
有序数对(x,y)表示平面内位置，x 为横坐标（水平），y 为纵坐标（垂直）。路线问题：按指令移动，起点
加增量。如右移→x+，上移→y+。建立坐标系后，用坐标描述路径，注意方向与符号。区分“列行”与“横
纵”。
【变式1-1】我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对
,
m n
表示第m 排从左到右第n 个数，如
3,2 表示正整数2，
4,3 表示正整数3，则
8,5 表示的正整数是（
）
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
A．7
B．21
C．23
D．35
【变式1-2】如图，在5 5
的方格（每小格边长为1）内有1 只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规
定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A 到B 的爬行路线记为：
1, 4
A
B
，从B 到A 的爬行路线
为：
1, 4
B
A
，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息．
(1)图中B
D
（________，________）；
(2)若甲虫的爬行路线为A
B
C
D
，计算甲虫爬行的路程；
(3)若甲虫从点A 出发，爬行路线依次为
2, 3
，
2, 1
，
3, 5
，
4, 2
，最终到达点P，请在图中
标出点P 的位置．
题型2 判断点所在的象限
【例3】在平面直角坐标系内，点
1,6
A
位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【例4】在平面直角坐标系中，下列位于第四象限的点的坐标是（
）
A．
3,3
B．
3, 3
C．
3, 3
D．
3,3
【技巧归纳】
根据横纵坐标符号：第一象限(+，+)，第二(-，+)，第三(-，-)，第四(+，-)。坐标轴上的点不属于任何象限
（x 轴y=0，y 轴x=0）。先看符号，再对应象限。如(2,-3)在第四象限。原点(0,0)在原点。
【变式2-1】某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中
设置了A，B 两个关键点．若点
,
A a b 在第四象限，则点
,
B b a 在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式2-2】若点
,
A
a b
在第一象限，则点
2
,
1
B ab a
一定在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
题型3 求点到坐标轴的距离
【例5】点
3,2
M
到x 轴的距离是
，到y 轴的距离是
．
【例6】已知点
2,4
A
，则点A 到x 轴的距离是
；到y 轴的距离是
．
【技巧归纳】
点到x 轴距离=纵坐标绝对值|y|；到y 轴距离=横坐标绝对值|x|。如P(3,-4)到x 轴距离4，到y 轴距离3。注
意距离非负。到原点距离用勾股√(x²+y²)。坐标系中距离常用绝对值表示。
【变式3-1】点
3, 4
P
到x 轴的距离是
，到坐标原点的距离是
．
【变式3-2】点P 在第四象限，且到x 轴、y 轴的距离分别为4、3．则点P 的坐标是
．
题型4 已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标
【例7】已知点
2
4,
3
P
a
a
在y 轴上，则a
．
【例8】如果点
3,
1
M a
a
在直角坐标系的x 轴上，那么点M 的坐标为
【技巧归纳】
点在x 轴上则纵坐标=0；在y 轴上则横坐标=0。设参数方程等于0，解参数，再代回得坐标。如P(m+1,2m-3)
在x 轴上，则2m-3=0 得m=1.5，P(2.5,0)。注意区分坐标轴，同时满足x=0 且y=0 时原点。
【变式4-1】已知在第二象限内的点P 的坐标为(2
3,6
)
a
a
，且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐
标是
．
【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知点M 的坐标为
2
,2
t
t
，将点M 到x 轴的距离记作
1d ，到y 轴的
距离记作
2
d ．
（1）若
4
t
，则
1
2
d
d
；
（2）若点M 在第二象限，且
1
2
4
8
md
d
（m 为常数），则m 的值为
．
题型5 已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标
【例9】在平面直角坐标系中，已知点
3,6
2
A a
a
，
,3
B b
．
(1)点A 是否可能与原点重合，请说明理由；
(2)若点A 在x 轴下方，且AB
y
∥
轴，
7
AB
，求a 和b 的值．
【例10】已知点
3
1,
3
A
m
m
，试根据以下条件分别求出点A 的坐标：
(1)点A 的横坐标比纵坐标大2；
(2)已知点
1,2
Q
，且AQ
x
∥轴．
【技巧归纳】
平行于x 轴的直线上所有点纵坐标相等；平行于y 轴的直线上所有点横坐标相等。利用该性质列方程求参
数。如A(2,a)与B(3,4)连线平行x 轴，则a=4。注意垂线情况：若垂直于轴，则与平行条件相反。
【变式5-1】已知点M 的坐标为
3
2,
6
a
a
．
(1)若点N 的坐标为
2,4 ，且直线MN
x
∥
轴，求点M 的坐标．
(2)若点M 在第二象限，且到x 轴、y 轴的距离相等，求点M 的坐标．
【变式5-2】已知点
2
6,
1
P
m
m
，根据下列条件求点P 的坐标．
(1)点P 在x 轴上；
(2)点P 的纵坐标比横坐标大5；
(3)在（2）的条件下，PQ
y
∥
轴，且
4
PQ
，请直接写出点Q 坐标；
(4)点P 到x 轴的距离为1．
题型6 坐标与图形
【例11】已知：
01
A
，，
2 0
B
，，
4 3
C
，
(1)在坐标系中描出各点，画出
ABC
；
(2)求
ABC
的面积；
(3)设点P 在y 轴上，且ABP
与
ABC
的面积相等，直接写出点P 的坐标．
【例12】如图，在平面直角坐标系中，已知点
5,2
A
，
4,5
B
，
,
C m n ．
(1)点C 落在y 轴正半轴，且到原点的距离为3，则m _，n _；
(2)在（1）的条件下，在平面坐标系中画出
ABC
，并求出
ABC
的面积；
【技巧归纳】
将几何图形放在坐标系中，利用点坐标表示长度（两点距离公式）、面积（底乘高/2 或割补法）、位置关
系（斜率）。平移时坐标加减；对称时坐标变号。数形结合，代数方法求几何量。常用中点坐标公式。
【变式6-1】在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：�0,3 ；
1, 3
B
；
3, 5
C
；
3, 5
D
；
3,5
E
；
5,7
F
；
5,0
G
．
(1) A 点到原点的距离是________．
(2)将点C 向x 轴的负方向平移6 个单位，它与点________重合．
(3)连接CE ，则直线CE 与坐标轴是什么关系？
(4)点F 分别到x 、y 轴的距离是多少？
【变式6-2】如图，平面直角坐标系xOy 中，点
0,1
A
，
2,0
B
，
1,3
C
．
(1)点C 到y 轴的距离为______；
(2)求
ABC
的面积；
(3)若点P 的坐标为
,0
m
，
①直接写出线段BP 的长为______；（用含m 的式子表示）
②当
PAB
ABC
S
S
时，求点P 的坐标．
题型7 建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标
【例13】如图是学校的平面示意图，已知旗杆的位置是
2,3
，实验室的位置是
1,4 ．
(1)根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，则食堂的位置是___________，图书馆的位置是___________；
(2)已知教学楼的位置是
2,2 ，若1 个单位长度代表30m，则宿舍楼到教学楼的实际距离是___________．
【例14】如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标分
别是
0, 2
，
1,3
．解答下列问题：
(1)请在示意图中建立平面直角坐标系；
(2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远．
【技巧归纳】
选原点及坐标轴方向，使多数点落在整数坐标或对称轴上。如正方形以中心为原点，矩形一角为原点。根
据图形尺寸和位置确定各点坐标。注意单位一致，简化计算。优先选择对称轴或特殊点作为原点。
【变式7-1】如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是( 2,3)
，实验室的位置是(1,4) ．
(1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系；
(2)用坐标表示位置：食堂________，图书馆________；
(3)已知办公楼的位置是( 2,1)
，教学楼的位置是(2,2) ，在图中标出办公楼和教学楼的位置；
(4)如果1 个单位长度表示30m ，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为________m．
【变式7-2】某市的局部区域示意图如图所示，其中每个小正方形的边长均为1 个单位长度．
(1)请以广场为原点，以正东方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系；
(2)在（1）的前提下，
①写出博物馆的坐标；
②若公园的坐标为( 4, 4)
，请在图中标出公园的位置．
(3)若超市与图书馆所在的直线为l ，大剧院到直线l 的距离是多少个单位长度？
题型8 与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题
【例15】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P 到x 轴，y 轴的距离的较大值称为点P 的“长距”，点Q
到x 轴、y 轴的距离相等时，称点Q 为“完美点”．
(1)点
3,5
A
的“长距”为______；
(2)若点
4
2 , 2
B
a
是“完美点”，求a 的值；
(3)若点
2,3
2
C
b
的长距为4，且点C 在第二象限内，点D 的坐标为
9
2 , 5
b
，试说明：点D 是“完美点”．
【例16】在平面直角坐标系中，对于点
,
P x y ，若点Q 的坐标为
,
ax
y x
ay
，则称点Q 是点P 的“ a 阶
派生点”（a 为常数，且
0
a
）．例如：点
1,4
P
的“2 阶派生点”为点
2 1
4,1
2 4
Q
，即点
(6
Q
，9)．
(1)若点P 的坐标为
1,5
，则它的“3 阶派生点”的坐标为 _________．
(2)若点
1,2
1
P c
c
先向左平移2 个单位，再向上平移1 个单位后得到了点
1P ，点
1P 的“ 4
阶派生点”
2P 位
于坐标轴上，求点
2P 的坐标．
【技巧归纳】
先理解新定义（如“雅各比坐标”），将其转化为常规坐标或距离条件。根据定义建立方程或不等式，利
用象限、距离、对称性等性质求解。常与参数范围结合，注意分类讨论。可画示意图辅助理解新规则。
【变式8-1】在平面直角坐标系中，对于点
,
P x y ，若点Q 的坐标为
,
ax
y x
ay
，其中a 为常数，则称
点Q 是点P 的“a 级关联点”，例如：点
1,4
P
的“3 级关联点”为
3 1 4,1 3 4
Q
，即
7,13
Q
，
(1)已知点
2,6
A
的“2 级关联点”是点B，求点B 的坐标；
(2)已知点
2, 1
P
的“a 级关联点”为
9,b ，求a
b
的值；
(3)已知点
1,2
M m
m
的“ 3
级关联点”N 位于坐标轴上，请直接写出点N 的坐标．
【变式8-2】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P 到x 轴、y 轴的距离的较大值称为点P 的“优距”，
较小值称为点P 的“劣距”，如果点P 到x 轴、y 轴的距离相等，那么我们称点P 为“等距点”．
(1)点
5,10
A
的“劣距”为________，这个距离是点A 到________（填x 或y）轴的距离；
(2)若点
4
2 , 6
B
a
是“等距点”，求a 的值；
(3)若点
2,3
2
C
b
的“优距”为4，且点C 在第二象限内，点D 的坐标为
9
3 ,
5
b b
，判断点D 是否为“等
距点”，并说明理由．
一、单选题
1．2026 年湖北省油菜花节在荆门市沙洋县曾集镇张池村开幕．八方游客踏春而至、赴约而来，共赏荆楚大
地金色画卷，同享乡村振兴丰收硕果．以下能够准确表示沙洋县地理位置的是（
）
A．在湖北省
B．在荆门市南方
C．离荆门市区55 千米
D．东经
'
112 35
北纬
'
30 42
2．在平面直角坐标系中，已知点
2
1, 2
M a
，则点�在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．如图，象棋盘上，若“将”位于点1, −1 ，“象”位于点
3, 2
．则“炮”位于点（
）
A．
1,1
B．−1,2
C．
2, 1
D．
2,1
4．下列说法不正确的是（）
A．点(1,2)在第一象限
B．点( 3,5)
到y 轴的距离为3
C．已知点
(5,2)
M
，点
(5, 2)
N
，则MN
y
∥
轴D．若
0
xy
，则点( , )
x y 一定在x 轴上
5．如图，已知平面直角坐标系中，点A 的坐标为3,0 ，点B 的坐标为
,
m n ．若
AOB
的面积为6，则下
列说法一定正确的是（
）
A．
2
m ，n 为任意实数
B．
4
m ，n 为任意实数
C．m 为任意实数，
2
n = ±
D．m 为任意实数，
4
n
二、填空题
6．点
4, 3
M
到x 轴的距离是_____．
7．如果点
4,
1
P m
m
在y 轴上，那么�=_______；点P 的坐标为___________．
8．以水平数轴的原点�为圆心过x 的正半轴上的每一刻度点画同心圆，将Ox 逆时针依次旋转30°，60°，90°，
⋯，330得到11 条射线，构成如图所示的“圆”坐标系．若点�，�的坐标分别表示为
4,0，
5,210，则
点�的坐标表示为________．
9．已知第四象限的点
5
3 ,
A
a a
到x 轴的距离是到�轴距离的3 倍，则�的值是______．
10．平面直角坐标系中，�点坐标( 2 1)
, ，若线段��∥�轴，且
2
AB
，则点�坐标为____．
11．如图，平面直角坐标系中，
0,4
A
，
3,0
B
，点C 为��上的一个动点（不与点A、点B 重合）．将
AOC
△
沿��翻折，点A 的对应点为点�′，当
A OB
△
为直角三角形时，点�′的坐标为________．
三、解答题
12．已知平面直角坐标系第一象限内有一点
3
7,
5
M
a
a
，根据下列条件分别求出相应的点�的坐标．
(1)点�到x 轴的距离为3；
(2)点�的坐标为
4, 6
，且直线MN
y
∥轴．
13．如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系：
(1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南20°方
向上，且距离图书馆2.8km ”，请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆
的位置；
(2)火车站在图书馆的南偏东60°的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，
请在图中画出火车站的位置．
14．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是0,1 ，食堂的位置是
3,3
．
(1)根据所给条件先建立适当的平面直角坐标系，再用坐标表示宿舍楼、图书馆、实验室、大门的位置；
(2)已知办公楼的位置是
2, 2
，教学楼的位置是
2,4 ，在图中标出办公楼和教学楼的位置，并在所在位
置旁边标注．
15．在平面直角坐标系中，已知点�的坐标为(2
,2
6)
a
a
．
(1)若点�在�轴上，则点�的坐标为_________；
(2)若点�在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求�的值；
(3)点�的坐标为(
4)
1,
b
，若直线AC
y
轴，且线段��的长为5，求�的值及点�的坐标．
16．问题背景：
在平面直角坐标系中，已知点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，点�是线段��的中点，则点�的坐标为
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
．如：
已知点
2,2 ,
4,6
A
B
，则线段��的中点
,
C x y 的坐标：
2
4
2
3
x
-
-
=
= -
，
2
6
4
2
y
，故点�的坐标为
3,4
．解决问题：
(1)已知点
6, 2
A
，
3, 3
B
，则线段��的中点的坐标是_____．
(2)若已知点
5,9
M
，且线段��的中点坐标为
1,5
P
，求点�的坐标．
(3)已知三点
3, 2
D
，
2, 3
E
，
1,2
F
，若第四个点
,
Q x y 与�、�、F 中的任意一个点构成的线段的
中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点�的坐标．
17．如图，在以点�为原点的平面直角坐标系中，点�，�的坐标分别为
,0 ,
,
a
a b
，点�在�轴
上，且BC
x
∥
轴，�，�满足
6
8
0
a
b
．点�从原点出发，以每秒4 个单位长度的速度沿着
O
A
B
C
O
的路线匀速运动，回到点�时停止运动．
(1)求点�，�，�的坐标．
(2)当点�运动3 秒时，求出点�的坐标．
(3)当点�运动
0
t t
秒时，是否存在点�到x 轴的距离为1
2 t 个单位长度的情况？若存在，请直
接写出点�的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图1，在平面直角坐标系中，已知三角形���，点A 的坐标是4,0 ，点B 的坐标是2,3 ，点C 在x
轴的负半轴上，且��= 6．
(1)写出点C 的坐标（_______，_______）；
(2)点�在�轴上，且三角形POB 的面积是三角形���面积的2
3 ，写出点�的坐标；
(3)如图2 把点�往上平移3 个单位得到点�，画射线��，连接��，点�在射线��上运动（不与点�、�重合），
写出点�的坐标；并探究
BMA
，
HBM
，
MAC
之间的数量关系．
