第14 讲反比例函数的图象和性质
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断(画)反比例函数图象
题型2 已知反比例函数的图象判断其解析式
题型3 判断反比例函数所在象限
题型4 判断反比例函数的增减性
题型5 已知反比例函数分布的象限求参数范围
题型6 已知反比例函数的增减性求参数
题型7 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
题型8 比较反比例函数值或自变量的大小
题型9 判断反比例函数的图象和性质
题型10 反比例函数的图象和性质综合
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
双曲线、象限、增减性、
k>0、k<0、每个象限
内、数形结合。
1. 会用描点法画出反比例函数y =
�
�（k≠0）的图象，知道其形状是双曲线。
2. 掌握反比例函数图象的性质：当k > 0 时，图象在一、三象限；当k < 0 时，
图象在二、四象限。
3. 理解反比例函数的增减性：在每个象限内，y 随x 的增大而减小（k>0）或
增大（k<0）。
4. 体会数形结合、分类讨论的数学思想，能根据图象比较函数值的大小。
学习重点:反比例函数图象的形状、位置及增减性，特别是k 的正负对图象的影响。
学习难点:理解“在每个象限内”这一前提条件，并能正确运用增减性比较不同象限内函数值的大小。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 反比例函数的图象与性质
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
【易错提醒】
图象为双曲线，分两支。\(k>0\) 在一三象限，k<0 在二四象限。每个象限内y 随x 增大而减小（或增大），
注意“每个象限内”前提，勿跨象限比较。
即时即练1．关于反比例函数
2025
y
x
，下列说法正确的是（
）
A．图象在第一、三象限
B．图象与x 轴有一个交点
C．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
D．如果点
1
1,
A
y
和点
2
3,
B
y
均在该函数的图象上，那么
1
2
y
y
2．已知反比例函数
1
k
y
x
，k 为常数，
1
k ．
(1)若在这个函数图象的每一支上，y 随x 的增大而增大，求k 的取值范围；
函数
k
图象
所在象限
增减性
k
y
x
0
k
k
为常数，
0
k
一、三象限
,x y同号
在同一象限内，y
随x 的增大而减小
0
k
二、四象限
,x y异号
在同一象限内，y
随x 的增大而增大
k 越大，函数图象越远离坐标原点
(2)若
17
k
，试判断点
8,2
B
，
4,5
C
是否在这个函数图象上，并说明理由．
3．如图，点A 在反比例函数
0
k
y
k
x
的图象上，AB
y
轴于点B ，AC
x
轴于点C ，且矩形ABOC 的
面积为8．
(1)求k 的值；
(2)若点
1,
P
m ，
,
Q t n 是该反比例函数图象上的两点，若m
n
，求t 的取值范围．
题型1 判断(画)反比例函数图象
【例1】函数
5
y
x
的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【例2】函数
3
y
x
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
图象为双曲线，两支关于原点对称。k>0 时在一三象限，k<0 在二四象限。画草图：列表取点（如x=±1,±2,
±...），描点连线，渐近线为坐标轴。注意图象无限接近坐标轴但不相交。
【变式1-1】函数
2
y
x
在平面直角坐标系中的图形可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】一个三角形花坛的面积是
2
6m ，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，
此函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
题型2 已知反比例函数的图象判断其解析式
【例3】反比例函数
0
k
y
k
x
的图象如图所示，则k 的值可能是（
）
A．5
B．10
C．5
D．1
【例4】如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（
）
A．
4
x
y
B．
4
y
x
C．
4
y
x
D．
2
4
y
x
【技巧归纳】
根据图象所在象限判断k 的正负：一三象限k>0，二四k<0。取图象上一点坐标（非原点），代入y=k/x 得
k=xy。也可利用对称性，或由与坐标轴所围矩形面积|k|确定解析式。注意双曲线渐近线。
【变式2-1】如图所示，该函数表达式可能是（
）
A．
2
3
y
x
B．
3
y
x
C．
3
y
x
D．
3
y
x
【变式2-2】如图所示，其函数解析式可能是（
）
A．
2
2
y
x
B．
6
y
x
C．
6
y
x
D．
3
y
x
题型3 判断反比例函数所在象限
【例5】反比例函数
2
3
y
x
的图像在第
象限，经过点（4
，
）．
【例6】反比例函数①
1
y
x
、②
4
y
x
、③
2
3
y
x
、④2
1
xy 的图像，在第一、三象限的是
，
在第二、四象限的是
．
【技巧归纳】
由k 符号决定：k>0，图象在一三象限；k<0，在二四象限。注意|x|和|y|越大，点离轴越远。k 绝对值大小不
影响象限，只影响弯曲程度。实际问题中根据变量乘积正负判断。
【变式3-1】反比例函数①
2
y
x
、②
1
3
y
x
、③
10
7
y
x 、④
3
100
y
x 的图象中，在第一、三象限的
是
，在第二、四象限的是
；
【变式3-2】关于x 的方程
2
2
1
0
kx
x
无解，则反比例函数
k
y
x
的图象在第
象限．
题型4 判断反比例函数的增减性
【例7】在函数
3
0
y
x
x
中，函数值y 随x 的增大而
．
【例8】函数
2
3
y
x
中，在每个象限内，y 随x 的增大而
．
【技巧归纳】
在每个象限内：k>0 时，y 随x 增大而减小；k<0 时，y 随x 增大而增大。注意“在每个象限内”前提，跨
象限不能直接比较。比较函数值时，若两点同象限用增减性，异象限则负数<正数（k>0）。
【变式4-1】若点
1,3 在反比例函数
k
y
x
的图象上，在图象的每一支上，y 随x 的增大而
．（填
“增大”或“减小”）
【变式4-2】下列函数：①
2
1
y
x
；②
3
y
x
；③
0.5
xy
；④
2
2
5
0
m
m
y
x
x
；⑤
2
y
x
．随x 的
增大而减小的是
（填序号）．
题型5 已知反比例函数分布的象限求参数范围
【例9】若反比例函数
| |
1
m
y
m
x
的图象经过第二、四象限，则m=
．
【例10】若反比例函数
5
k
y
x
的图象位于第一、三象限，则实数k 的值可能为
（写出一个即
可）．
【技巧归纳】
由分布象限确定k 的符号：一三象限k>0，二四k<0。若解析式为y=(m-1)/x，则m-1>0 得m>1。注意参数
也可能影响定义域或分母非零。解不等式，最终写出参数范围，可结合具体增减性。
【变式5-1】若反比例函数
2
m
y
x
的图象经过第二、四象限，则m 的取值范围是
．
【变式5-2】已知反比例函数
3
k
y
x
（k 为常数，且
3
k
）的图象在第一、三象限．
(1)求k 的取值范围；
(2)若点
2,5 在该反比例函数的图象上，求k 的值．
题型6 已知反比例函数的增减性求参数
【例11】反比例函数
3
k
y
x
的图象在每个象限内的函数值y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是
．
【例12】已知点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
为反比例函数
1
m
y
x
图象上的两点，当
1
2
0
x
x
时，
1
2
y
y
，则m
的取值范围为
．
【技巧归纳】
增减性：在每个象限内，y 随x 增大而减小→k>0；增大而增大→k<0。若解析式含参数，列不等式（如y=(m-2)/x，
减小则m-2>0→m>2）。注意参数可能出现在分母或被开方数，需额外限制。
【变式6-1】已知点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
为反比例函数
1
2m
y
x
图象上的两点，当
1
2
0
x
x
时，
1
2
y
y
，则
m 的取值范围为
．
【变式6-2】已知反比例函数
2
k
y
x
．
(1)若该函数经过
1,3 ，求k 的值；
(2)若该函数图象的每一支上，y 都随x 的增大而减小，求k 的取值范围．
题型7 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
【例13】已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点
5
1, 3
，那么这两个函数图象必都经过另一个点
的坐标为
．
【例14】在平面直角坐标系xOy 中，若点
2,4 是函数
1
1
0
y
k x k
和
2
2
0
k
y
k
x
的图象的一个交点，
则这两个函数图象的另一个交点的坐标是
．
【技巧归纳】
反比例函数关于原点中心对称，若点(a,b)在图象上，则(-a,-b)也在。也关于直线y=x 和y=-x 对称。利用对称
性可求未知点坐标：如已知一点，关于原点对称得另一点；关于y=x 对称则交换坐标。
【变式7-1】如图，直线
0
y
mx m
＜
与双曲线
k
y
x
交于A，B 两点，AH
y
轴于点H，若AHB
的面积
为5，则k 的值为
．
题型8 比较反比例函数值或自变量的大小
【例15】已知点
1
1
,
P x y
、
2
2
,
Q x
y
、
3
3
,
M x
y
在反比例函数
9
y
x
的图象上，并且
1
2
3
0
x
x
x
，则
1y 、
2y 、
3y 的大小关系为
（用<号表示）
【例16】若
2
1
a
y
x
图象上有三个点
1
2
3
1
1
3,
,
,
,
,
4
4
y
y
y
，则
1,
2,
3
y y y 大小关系是（
）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
3
2
1
y
y
y
C．
3
1
2
y
y
y
D．
2
1
3
y
y
y
【技巧归纳】
先判断两点是否在同一象限，同象限用增减性比较；异象限时，若k>0，负函数值<正函数值；若k<0，正
函数值<负函数值。也可直接计算y 值比较，注意x≠0。数形结合更直观。
【变式8-1】反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
2,a
，
1,b
，
3,c ，则a ，b ，c 的大小关系
为
．
【变式8-2】已知点
1
2, y
，
2
1, y
，
3
3, y
在函数
6
y
x
的图象上，比较
1y ，
2y ，
3y 大小
（用
“”连接）．
题型9 判断反比例函数的图象和性质
【例17】关于反比例函数
5
y
x
，下列说法中正确的是（
）
A．图象位于第一、三象限
B．图象与坐标轴没有交点
C．图象是一条直线
D．y 的值随x 的值增大而减小
【例18】关于反比例函数
2
y
x
，下列说法错误的是（
）
A．图像经过点
1,2
B．图像位于第一、三象限
C．当
0
x
时，y 随x 的增大而增大
D．当
1
x 时，0
2
y
【技巧归纳】
k 定象限：k>0 在一三，k<0 在二四；k 定增减：一三象限减，二四增。图象无限接近轴但不相交，关于原
点对称。|k|决定弯曲程度：|k|越大，离轴越远。解题结合草图。
【变式9-1】已知反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
3,4 ，则下列描述正确的是（
）
A．图象位于第二、四象限
B．y 的值随x 的值增大而增大
C．当
0
y
时，
0
x
D．点
6,2 在该图象上
【变式9-2】已知反比例函数
(
0)
k
y
k
x
，则下列结论不正确的是（
）
A．反比例函数的图象分别位于第二、四象限
B．图象关于原点
0,0 成中心对称
C．若
1
1
,
x
y
、
2
2
,
x
y
为函数图象上两点，且
1
2,
x
x
则
1
2
y
y
D．图象关于直线y
x
成轴对称
题型10 反比例函数的图象和性质综合
【例19】已知反比例函数
2
6
a
y
x
（a 为常数）．
(1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a 的取值范围；
(2)当
0
x
时，y 随x 的值增大而减小，求a 的取值范围．
【例20】（1）画出函数
6
0
y
x
x
的图象．
①列表：
x
…
6
5
4
3
2
1
…
y
…
…
②描点并连线．
（2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当x 由小变大时
6
0
y
x
x
随之
______．（填“变大”或“变小”）
x
…
6
5
4
3
2
1
…
y
…
1
6
5
3
2
2
3
6
…
【技巧归纳】
综合应用：由一点坐标求k；利用面积定k；由增减性、象限求参数；比较函数值；与一次函数综合求交点、
面积。常用数形结合，注意自变量的取值范围（实际意义或分母≠0），利用对称性简化。
【变式10-1】探究函数
4
2
y
x
的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究．请补充完
整：
(1)函数
4
2
y
x
的自变量x 的取值范围是______；
(2)取几组y 与x 的对应值，填写在表中，其中m ______；
x
…
7
6
4
3
1
0
2
3
…
y
…
0.8
1
2
4
4
m
1
0.8
…
(3)如图，根据（2）中表里各组对应值
x
y
，
，请把图象补充完整；
(4)若
P a
t
Q b
t
，，
，
是函数
4
2
y
x
图象上的两点，则a
b
______．
【变式10-2】学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数
性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数
4
1
y
x
的图象性质．
(1)列表：y 与x 的部分对应值如表，则a _____，b _____；
x
．．．
4
3
2
．．．
0
1
2
3
．．．
y
．．．
4
3
a
4
．．．
4
2
b
1
．．．
(2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数
4
1
y
x
的图象；
(3)根据函数图象，发现：
①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称；
②函数
4
1
y
x
的图象可由
4
y
x
的图象向_____平移_____个单位长度得到，想象函数
1
4
2
1
y
x
的图
象，直接写出
1
2
y
时，x 的取值范围_____．
一、单选题
1．若反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
3,4
，则它的图象所在的象限为（
）
A．第一、三象限B．第一、四象限
C．第二、四象限
D．第二、三象限
2．已知反比例函数
3
m
y
x
的图象位于第二、四象限，则m 的值可能为（
）
A．0
B．
3
C．2
D．
5
3．下列关于函数
6
y
x
的说法正确的是（
）
A．函数图象位于第一、第三象限
B．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
C．当
2
x 时，
3
y
D．点
2,3
和点
3, 2
都在函数图象上
4．已知点
1
,
A m y
，
2
1,
B m
y
都在反比例函数
2
1
k
y
x
（k 为常数）的图象上，当1
0
m
时，则下
列结论一定正确的是（
）
A．
1
2
0
y
y
B．
1
2
0
y
y
C．
1
2
0
y
y
D．
1
2
0
y
y
5．在同一直角坐标系中，函数y
kx
k
与
2k
y
x
（
0
k
）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．已知反比例函数
5
y
x
，当
1
x 时，y 的取值范围是_______．
7．已知反比例函数
1
2k
y
x
（k 为常数），在各象限内y 的值随x 的值增大而增大，则k 的值可以是_____．
（只
写一个）
8．反比例函数
2
3
k
y
x
的图象在第二、四象限，则点
2,k
在第________象限．
9．已知点
, 2
A a
、
4,
B
b 在反比例函数
k
y
x
（k 为常数，且
0
k
）的图象上，且
2
a
b
，则k 的值
为______．
10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCO的顶点A 的坐标为
3, 2
，BC 与反比例函数
0
k
y
x
x
的图象交于点C，D，则k 的值为______．
三、解答题
11．已知反比例函数
m
y
x
图象经过点
2,3
A
．
(1)求函数解析式；
(2)判断点
3, 2
B
是否在该函数图象上；
(3)当
0
x
时，y 随x 增大如何变化．
12．在平面直角坐标系中，点
,9
A a
，
12,
B
b 在反比例函数
36
0
y
x
x
的图象上．
(1)求a、b 的值；
(2)若一次函数
0
y
kx
m k
的图象也经过点A 和点B，求这个一次函数的表达式．
13．如图，在平面直角坐标系中，AB
x
∥轴，反比例函数
k
y
x
（
0
x
）的图象经过
1,3
B m
，
,6
C m
两
点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)若AC
AB
，求点A 的坐标．
14．如图，将等腰直角三角板
90
ABC
BAC
放在平面直角坐标系上，点A 的坐标为(
)
3,0 ，
5
AB
AC
，
点B 在y 轴的正半轴上，点C 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上．
(1)求直线AB 的函数解析式．
(2)求反比例函数
0
k
y
x
x
的解析式．
15．如图，点A 在反比例函数
3
0
y
x
x
的图象上，点B 在反比例函数
0,
0
k
y
k
x
x
的图象上，AB
x
轴于点M ．
(1)若点A 的横坐标为3，
2
BM
AM
，直接写出k 的值______；
(2)若
:
2: 3
AM MB
，求出此时k 的值．
