第08 讲二次函数y=ax²的图象和性质
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 二次函数y=ax²中a 值决定开口
题型2 求二次函数y=ax²中开口、顶点坐标、最值
题型3 利用二次函数y=ax²中增减性比较大小
题型4 二次函数y=ax²的图象和性质
题型5 利用二次函数y=ax²的性质求参数
题型6 画二次函数y=ax²的图象
题型7 二次函数y=ax²的图象和性质综合
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
抛物线、顶点、对称轴、
开口方向、开口大小、
a 的作用、增减性。
1. 会用描点法画出二次函数y=ax² 的图象，归纳出其图象特征（抛物线、顶
点、对称轴）。
2. 掌握二次项系数a 对抛物线开口方向、开口大小的影响：a > 0 开口向上，
a < 0 开口向下，|a| 越大开口越小。
3. 理解二次函数y=ax²的增减性：当a > 0 时，在对称轴左侧y 随x 增大
而减小，右侧增大；当a < 0 时相反。
4. 体会从特殊到一般、数形结合的数学思想，发展观察、归纳和几何直观能
力。
学习重点：二次函数y=ax²的图象特征（顶点在原点，对称轴为y 轴）及其性质，特别是a 对开口
方向和大小的决定作用。
学习难点：理解a 的正负与开口方向的关系，以及|a| 大小与开口宽窄的关系；掌握函数增减性（特
别是对称轴两侧的不同变化趋势）并能用语言准确描述。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数y = ax2（其中a ≠0）图象和性质
一、基本形式
图象是抛物线，顶点在原点(0,0)。
二、图象特征（取决于a 的符号与大小）
1. 开口方向
a > 0 ：开口向上，有最小值（在顶点）
a < 0：开口向下，有最大值（在顶点）
2. 顶点
顶点坐标：(0,0)
是抛物线的最低点(a>0）或最高点(a<0）
3. 对称轴
对称轴：x = 0（即y 轴）
4. 开口大小（形状）
开口大小由|a|决定：
|a|越大，抛物线越窄（靠近y 轴）
|a|越小，抛物线越宽（扁平）
三、函数性质（a > 0 为例，a<0 则增减性相反）
1. 定义域：全体实数
2. 值域
当a > 0 ：y≥0；
当a < 0：y≤0；
3. 单调性
a >0 时：在x<0 上单调递减;在x>0 上单调递增
a < 0 时：在x<0 上单调递增;在x>0 上单调递减
4. 最值
-
a > 0 ：最小值ymin= 0 （在x=0
处），无最大值
-
a < 0：最大值ymax = 0 （在x=0
处），无最小值
【易错提醒】
即时即练1．关于二次函数
2
y
x
=
的图象，下列说法错误的是（
）
A．它的形状是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y 轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它的顶点在原点处，坐标为
0,0
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值．根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正
确．
【详解】解：∵二次函数
2
y
x
=
，
∴该函数的图象是一条抛物线，故选项A 正确，
该函数图象开口向上，关于y 轴对称，故选项B 正确，
图象的顶点是抛物线的最低点，故选项C 错误，
图象的顶点坐标是
0,0 ，故选项D 正确，
故选：C．
2．关于抛物线
2
y
x
，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当
1
x 时，y 随x 的增大而减小；
③当1
2
x
时，4
1
y
；
④若
,
m p ，
,n p 是该抛物线上两点，则
0
m
n
．
其中正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线
2
y
x
，可得抛物线的对称轴是y 轴，顶点是(0,0) ，
抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质．
【详解】解：
2
y
x
，1
0
，
抛物线的对称轴是y 轴，顶点是(0,0) ，抛物线开口向下，
①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确；
②抛物线的对称轴为y 轴，当
1
x 时，y 随x 的增大而减小，故②正确；
③当1
2
x
时，
0
x
，y 取最大值为0，
2
x
时，y 取值最小值为4
，所以4
0
y
，故③错误；
④若(
,
)
m p ，( ,
)
n p 是该抛物线上的两点，则(
,
)
m p ，( ,
)
n p 关于y 轴对称，横坐标互为相反数，所以
0
m
n
，
故④正确；
正确的说法共有3 个，
故选C．
3．（1）在同一直角坐标系中，画出函数
2
2
y
x
，
2
1
2
y
x
，
2
2
y
x
与
2
1
2
y
x
的图象．
（2）观察（1）中所画的图象，回答下列问题：
①由图象可知抛物线
2
2
y
x
与抛物线___________的形状相同，且两抛物线关于___________轴对称；同样，
抛物线
2
1
2
y
x
与抛物线___________的形状相同，也关于___________轴对称．
②当a 相同时，抛物线开口大小___________；当a 变大时，抛物线的开口___________；当a 变小时，抛
物线的开口___________．
应用：抛物线
2
2
y
x
与
2
y
x
=
中，开口较小的抛物线是___________．
【答案】（1）见详解，（2）①
2
2
y
x
，x，
2
1
2
y
x
，x；②相同，较小，较大，
2
2
y
x
【分析】（1）按要求作图即可；
（2）①结合轴对称梯形的特点，根据（1）中的图象作答即可；②根据（1）的图象特点直接作答即可．
【详解】（1）作图如下：
（2）①由图象可知抛物线
2
2
y
x
与抛物线
2
2
y
x
的形状相同，且两抛物线关于x 轴对称；同样，抛物线
2
1
2
y
x
与抛物线
2
1
2
y
x
的形状相同，也关于x 轴对称．
故答案为：
2
2
y
x
，x，
2
1
2
y
x
，x；
②当a 相同时，抛物线开口大小相同；当a 变大时，抛物线的开口较小；当a 变小时，抛物线的开口较大．
应用：抛物线
2
2
y
x
与
2
y
x
=
中，开口较小的抛物线是
2
2
y
x
．
故答案为：相同，较小，较大，
2
2
y
x
．
题型1 二次函数y=ax²中a 值决定开口
【例1】抛物线
2
2
2
1
3
2
3
2
y
x
y
x
y
x
，
，
的图象开口最大的是（
）
A．
2
1
3
y
x
B．
2
2
y
x
C．
2
3
2
y
x
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线
2
y
ax
的开口大小由二次项系数a 的绝对值决定，a 的
绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果
【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为1
3 ，2
- ，3
2 ，分别计算它们的绝对值得：
1
1
|
|
3
3
，|
2
2 |
-
，3
3
|
|
2
2
∵1
3
2
3
2
，即1
3
2
3
2
又∵对于抛物线
2
y
ax
，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大，
∴抛物线
2
1
3
y
x
的开口最大，
【例2】已知三个二次函数的图象如图所示，那么
1a ，
2a ，
3a 的大小关系是（
）
A．
1
2
3
a
a
a
B．
3
1
2
a
a
a
C．
1
3
2
a
a
a
D．
3
2
1
a
a
a
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆
开口方向和大小与a 的关系是解题关键．
直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a 的关系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
2
1
y
a x
的开口向上，
1
0
a
，
2
2
y
a x
与
2
3
y
a x
开口向下，则
2
3
0,
0
a
a
，
∵
2
2
y
a x
的开口大于
2
3
y
a x
开口，
∴
2
3
a
a
∴
2
3
a
a
，
∴
3
2
1
a
a
a
故选：D．
【技巧归纳】
【变式1-1】如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①
2
y
ax
；②
2
y
bx
；③
2
y
cx
；④
2
y
dx
，
则a，b，c，d 的大小关系是（
）
A．a
b
c
d
B．b
a
c
d
C．a
b
d
c
D．b
a
d
c
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数
2
y
ax
的性质：①抛物线
2
y
ax
的开口大小由a 决定，a 越大，抛物线的开
口越窄，a 越小，抛物线的开口越宽；②抛物线
2
y
ax
的开口方向由a 决定，当
0
a
时，抛物线开口向上，
当
0
a
时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出a b c d
, ,
,
的大小关系．
【详解】解：抛物线
2
y
ax
、
2
y
bx
开口向上，
且抛物线
2
y
ax
的开口更窄，
0
a
b
，
抛物线
2
y
cx
、
2
y
dx
开口向下，
且抛物线
2
y
cx
的开口更窄，
0
c
d
，
a
b
d
c
．
故选C．
【变式1-2】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①
2
y
ax
；②
2
y
bx
；③
2
y
cx
；④
2
y
dx
．则
a、b、c、d 的大小关系为（
）
A．a
b
c
d
B．d
c
b
a
C．d
b
c
a
D．c
d
b
a
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用取特殊点的方法，比较字母系数的大小；
【详解】解：直线
1
x 与四个二次函数的图象的交点分别为
1,
, 1,
, 1,
, 1,
a
b
c
d
；
由图像可知：c
d
b
a
；
故选：D
题型2 求二次函数y=ax²中开口、顶点坐标、最值
【例3】抛物线
2
2
3
y
x
开口______，顶点坐标是______．
【答案】
向下
0,0
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数
(
)
2
0
y
ax
a
=
¹
，当
0
a
时，则开口向上，
当
0
a
时，则开口向下，并且二次函数
(
)
2
0
y
ax
a
=
¹
的顶点坐标为
0,0 ，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为
2
2
3
y
x
，
2
0
3
，
∴抛物线
2
2
3
y
x
开口向下，顶点坐标为
0,0 ，
故答案为：向下，
0,0 ．
【例4】函数
2
6
y
x
的图象开口方向是___________，顶点坐标是___________，对称轴是___________．
【答案】
向上
0,0
直线
0
x
【分析】本题考查二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根
据二次函数
(
)
2
0
y
ax
a
=
¹
的图象进行求解即可．
【详解】解：函数
2
6
y
x
的图象开口方向向上，顶点坐标是
0,0 ，对称轴是直线
0
x
，
故答案为：向上，
0,0 ，直线
0
x
．
【技巧归纳】
【变式2-1】抛物线
2
3
y
x
，开口_____，顶点坐标为__，对称轴为__；抛物线
2
1
3
y
x
，开口____，顶
点坐标为______，对称轴为____．相比之下，抛物线_____的开口程度较大．
【答案】
向上
0,0
y 轴
向上
0,0
y 轴
2
1
3
y
x
【分析】本题考查二次函数的相关知识．根据二次函数的性质逐一填写即可．
【详解】解：抛物线
2
3
y
x
，开口向上，顶点坐标为
0,0 ，对称轴为y 轴；
抛物线
2
1
3
y
x
，开口向上，顶点坐标为
0,0 ，对称轴为y 轴．
相比之下，抛物线
2
1
3
y
x
的开口程度较大．
故答案为：向上，
0,0 ，y 轴，向上，
0,0 ，y 轴，
2
1
3
y
x
．
【变式2-2】二次函数
2
2024
y
x
的图象开口____________（填“向上”或“向下”），有最____________
（填“大”或“小”）值2024．
【答案】
向下
大
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数
2
2024
y
x
的图象和性质进行解答即可．
【详解】解：∵
1
0
a
，
∴抛物线抛物线
2
2024
y
x
开口向下，
∵抛物线
2
2024
y
x
顶点坐标为
0,2024 ，
∴二次函数
2
2024
y
x
的最大值为2024，
故答案为：向下，大．
题型3 利用二次函数y=ax²中增减性比较大小
【例5】已知点
1
2
( 2,
)
( 1,
)
A
y
B
y
，
是函数
2
y
x
图象上两点，则
1y ______
2y （填“>”“=”或“<”）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较函数值的大小，熟练掌握二次函数图象上点的坐
标特征是解题的关键．直接将点
,
A B 代入
2
y
x
求出函数值，比较即可．
【详解】解：∵点
1
2
( 2,
)
( 1,
)
A
y
B
y
，
是函数
2
y
x
图象上两点，
∴
2
1
2
4
y
，
2
2
1
1
y
，
∵4
1
，
∴
1
2
y
y
，
故答案为：．
【例6】已知抛物线
2
3
y
x
经过
1
2
3
2,
, 0,
, 1,
y
y
y
三点，则
1
2
3
,
,
y y
y 的大小关系是______．
【答案】
1
3
2
y
y
y
/
2
3
1
y
y
y
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次
函数的图象与性质，直接代入求值，进行比较即可．
【详解】解：∵抛物线
2
3
y
x
经过
1
2, y
，
2
0, y
，
3
1, y
三点，
∴
2
2
2
1
2
3
3
2
12,
3 0
0,
3 1
3
y
y
y
，
∴
1
3
2
y
y
y
，
故答案为：
1
3
2
y
y
y
．
【技巧归纳】
【变式3-1】已知
1
2
3
1,
1,
,
,
,
1,
a
A a
y
B a y
C a
y
三点都在二次函数
2
1
2
y
x
的图象上，则
1
2
3
,
,
y y
y 的
大小关系是_________（用“<”连接）．
【答案】
3
2
1
y
y
y
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关
键．
根据二次函数的性质判断
1
2
3
,
,
y y
y 的大小关系．
【详解】解：
1
a
．
0
1
1
a
a
a
又二次函数
2
1
2
y
x
的图象开口向下，
当
0
x
时，y 随x 的增大而减小，
3
2
1
y
y
y
．
故答案为：
3
2
1
y
y
y
．
【变式3-2】已知点
1
1,
A
y
，
2
2,
B
y
，
3
2,
C
y
在函数
2
1
4
y
x
的图象上，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系
是______．（用“<”连接）
【答案】
1
3
2
y
y
y
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练
地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y 轴，根据
0
x
时，y 随x 的增大而减小，即可得
出答案．
【详解】解：∵二次函数
2
1
4
y
x
的图象开口向上，对称轴为y 轴，
∴当
0
x
时，y 随x 的增大而减小．
∵2
2
1
- < -
< - ，
∴
1
3
2
y
y
y
．
故答案为：
1
3
2
y
y
y
．
题型4 二次函数y=ax²的图象和性质
【例7】下列关于二次函数
2
4
y
x
的说法正确的是( )
A．它的图象经过点
1, 4
B．当
0
x
时，y 有最大值为0
C．它的图象的对称轴是直线
4
x
D．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的基本性质，包括对称轴、最值和增减性．二次函数
2
4
y
x
的二次项系数为正，
图像开口向上，对称轴为y 轴(即
0
x
)，在对称轴左侧y 随x 增大而减小．
【详解】解：
∵二次函数
2
4
y
x
，
∴
4
0
a
，图像开口向上，对称轴为
0
x
．
对于选项A：当
1
x 时，
2
4
1
4
4
y
，∴A 错误．
对于选项B：当
0
x
时，
0
y
，为最小值，不是最大值，∴B 错误．
对于选项C：对称轴为
0
x
，不是
4
x
，∴C 错误．
对于选项D：当
0
x
时，y 随x 增大而减小，∴D 正确．
故选：D．
【例8】关于二次函数
2
3
y
x
的图象，下列说法错误的是（
）
A．它是一条抛物线
B．它的开口向下，且关于y 轴对称
C．它的顶点是抛物线的最低点
D．它与
2
3
y
x
的图象关于x 轴对称
【答案】C
【详解】本题考查了二次函数的性质，牢记其性质是解答本题的关键．
根据二次函数图象的性质，判断各选项的正误。
【分析】二次函数
2
y=-3x
的二次项系数
3
0
a
，
A、它是一条抛物线，该选项说法正确，不符合题意；
B、它的开口向下，且关于y 轴对称，该选项说法正确，不符合题意；
C、∵开口向下，∴顶点是抛物线的最高点，故该选项说法错误，符合题意；
D、∵
2
y=-3x
与
2
3
y
x
的函数值互为相反数，∴它们的图象关于x 轴对称，该选项说法正确，不符
合题意；
故选：C．
【技巧归纳】
【变式4-1】关于抛物线
2
y
x
，给出下列说法，其中正确的说法有（
）
①抛物线开口向下，顶点是原点；②当
2
x
时，y 随x 的增大而减小；③当2< <1
x
时，4
1
y
；④若
( , ),( , )
m q
n q 是该抛物线上两点，则
0
m
n
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数
2(
0)
y
ax a
图像的性质．
根据二次函数
2(
0)
y
ax
a
的特点可解答①；再根据
2
x
是在对称轴的右侧，由增减性可得解答②；然后
根据自变量取值求出函数值，再结合最大值可判断③；最后根据关于对称轴对称的点的特点解答④即可．
【详解】解：抛物线
2
y
x
的开口向下，顶点在原点，所以①正确；
当
2
x
时，函数值y 随着x 的增大而减小，所以②正确；
当
2
x 时，
4
y ，当
0
x
时，
0
y
最大
，
所以当2< <1
x
时，4
0
y
，
故③不正确；
∵点( , ),( , )
m q
n q 在抛物线上，可知这两个点关于对称轴对称，且对称轴是y 轴，
∴
0
2
m
n
，即
0
m
n
，
所以④正确，
综上所述，正确的有3 个．
故选：C．
【变式4-2】下列关于抛物线
2
1
2
y
x
和
2
1
2
y
x
的关系的说法中，正确的是（
）
A．它们的形状相同，开口方向也相同；
B．它们都关于y 轴对称；
C．它们的顶点不相同；
D．点
2,2
既在抛物线
2
1
2
y
x
上也在
2
1
2
y
x
上．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两
条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可．
【详解】解：∵抛物线
2
1
2
y
x
和
2
1
2
y
x
中二次项系数的绝对值相等，
∴它们的形状相同，开口方向相反，故A 错误；
它们的对称轴都是y 轴，故B 正确；
它们的顶点都是
0,0 ，故C 错误；
把
2
x 代入
2
1
2
y
x
得：
2
1
2
2
2
y
，
∴点
2,2
在抛物线
2
1
2
y
x
上，
把
2
x 代入
2
1
2
y
x
得：
2
1
2
2
2
y
，
∴点
2,2
不在抛物线
2
1
2
y
x
上，故D 错误．
故选：B．
题型5 利用二次函数y=ax²的性质求参数
【例9】若抛物线
2
(
1)
y
a
x
（a 为常数），不经过第二象限，则a 的取值范围是_______．
【答案】
1
a
【分析】抛物线顶点在原点，不经过第二象限需满足当
0
x
时
0
y
，则抛物线开口应向下，开口方向由系
数
1
a
决定，解不等式
1
0
a
即可；
本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系是解题的关键．
【详解】解：抛物线
2
1
y
a
x
的顶点为
0,0 ，
当
1
0
a
时，开口向上，
0
x
时
0
y
，经过第二象限；
当
1
0
a
时，开口向下，
0
x
时
0
y
，不经过第二象限；
故答案为：
1
a ．
【例10】已知二次函数
2 3
2
k
y
k x
，在对称轴的右侧部分，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则
k ________．
【答案】
5
【分析】本题考查了二次函数的概念与性质，解题的关键掌握二次函数的增减性．
根据二次函数的定义，指数必须为2 ，且二次项系数不为零；再根据函数在对称轴右侧递增的性质，判断开
口向上，从而确定系数的正负．
【详解】解：∵该函数是二次函数，
∴指数部分
2
3
2
k
，解得
2
5
k
，即
5
k
又∵二次项系数2
0
k
，即
2
k
．
函数在对称轴右侧部分，函数值y 随自变量x 的增大而增大，表明抛物线开口向上，
∴二次项系数2
0
k
，即
2
k
．
综上，
5
k
时，
2.236
2
k
，不符合
2
k
；
5
2.236
2
k
，符合条件，
故答案为：
5
．
【技巧归纳】
【变式5-1】已知抛物线
2
2
y
m
x
与
2
3
2
y
x
的形状相同，并且
0
x
时，y 随x 的增大而减小，抛物
线的解析式为__________．
【答案】
2
3
y
x
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，两个二次函数的形状相同，那么对应的二次项系数的绝
对值相同，再由函数
2
2
y
m
x
的对称轴为y 轴，且
0
x
时，y 随x 的增大而减小可得
2
0
m
，据此可
得答案．
【详解】解：∵抛物线
2
2
y
m
x
与
2
3
2
y
x
的形状相同，
∴
2
3
m
，
∵在
2
2
y
m
x
中，
0
x
时，y 随x 的增大而减小，且对称轴为y 轴，
∴
2
0
m
，
∴
2
3
m
，
∴抛物线
2
2
y
m
x
的解析式为
2
3
y
x
，
故答案为：
2
3
y
x
．
【变式5-2】已知
2
4
(
2)
k
k
y
k
x
是二次函数，且当
0
x
时，y 随x 的增大而增大．
（1）k 的值是_________．
（2）若
( , )
P m n 是此二次函数的图象上一点，且2
1
m
，则n 的取值范围是_________．
【答案】
3
4
0
n
【分析】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式．
（1）根据二次函数定义以及当
0
x
时，y 随x 的增大而增大．可得出结论；
（2）当
2
x 时，
4
y ，当
1
x 时，
1
y ，并结合函数图象求出y 的取值范围．
【详解】解：（1）由题意可得
2
4
2
2
0
k
k
k
，解得
3
k ；
故答案为：3
；
（2）由题意可得二次函数的解析式为
2
y
x
，
当
0
x
时，y 有最大值为0，
当
2
x 时，
4
y ，当
1
x 时，
1
y ，
∴当
( , )
P m n 是此二次函数的图象上一点，且2
1
m
时，则4
0
n
，
故答案为：4
0
n
．
题型6 画二次函数y=ax²的图象
【例11】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象．
①
2
1
4
y
x
；
②
2
4
y
x
；
③
2
1
4
y
x
；
④
2
4
y
x
．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键；因此此题可根据列表、
描点、连线的方法分别取原点及左右对称的四个点绘制函数图象．
【详解】解：函数
2
1
4
y
x
列表如下：
x
……
2
1
0
1
2
……
y
……
1
1
4
0
1
4
1
……
图象如下所示：
同理可分别作出②③④的函数图象如图所示．
【例12】在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象：
①
2
1
2
y
x
；②
2
1
2
y
x
；③
2
2
y
x
；④
2
2
y
x
．
【答案】见解答
【分析】本题考查画二次函数的图象，在对称轴两侧分别取点，描点，连线即可．
【详解】解：二次函数①
2
1
2
y
x
；②
2
1
2
y
x
；③
2
2
y
x
；④
2
2
y
x
的对称轴都为y 轴，
在对称轴两侧分别取点，列表如下：
2
1
0
1
2
①
2
1
2
y
x
2
1
2
0
1
2
2
②
2
1
2
y
x
2
1
2
0
1
2
2
③
2
2
y
x
8
2
0
2
8
④
2
2
y
x
8
2
0
2
8
描点、连线可得图象为：
【技巧归纳】
【变式6-1】分别在同一坐标系内作出下列函数的图象．
(1)
2
1
2
y
x
，
2
1
2
y
x
；
(2)
2
3
y
x
，
2
2
y
x
，
2
1
3
y
x
．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查二次函数的图象，用描点法画函数图象．
（1）根据描点法，可得
2
1
2
y
x
，
2
1
2
y
x
的函数图象；
（2）根据描点法，可得
2
3
y
x
，
2
2
y
x
，
2
1
3
y
x
的函数图象．
【详解】（1）解：各取5个点，坐标如下：
x
4
2
0
2
4
2
1
2
y
x
8
2
0
2
8
2
1
2
y
x
8
2
0
2
8
在平面直角坐标系中，画出
2
1
2
y
x
，
2
1
2
y
x
的图象：
（2）解：各取5个点，坐标如下：
x
2
1
0
1
2
2
3
y
x
12
3
0
3
12
2
2
y
x
8
2
0
2
8
x
6
3
0
3
6
2
1
3
y
x
12
3
0
3
12
在平面直角坐标系中，画出y＝3x2，y＝﹣2x2，y
1
3
x2 的图象，
【变式6-2】在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数
2
2
y
x
和
2
1
2
y
x
的图象，并根据图象
回答下列问题(设小方格的边长为1)：
(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2)抛物线
2
2
y
x
，当x ______时，抛物线上的点都在x 轴的上方，它的顶点是图象的最______点；
(3)函数
2
1
2
y
x
，对于一切x 的值，总有函数y ______0；当x ______时，y 有最______值是______．
【答案】(1)图见解析；二次函数
2
2
y
x
的图象开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为
0,0 ；二次函数
2
1
2
y
x
的图象开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为
0,0 ．
(2) ，低．
(3)，，大，0．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键．
（1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）根据函数
2
2
y
x
的图象解答即可；
（3）根据函数
2
1
2
y
x
的图象解答即可．
【详解】（1）解：图象如图：
由图可得：二次函数
2
2
y
x
的图象开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为
0,0 ；二次函数
2
1
2
y
x
的图
象开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为
0,0 ．
（2）解：抛物线
2
2
y
x
，当
0
x
时，抛物线上的点都在x 轴的上方，它的顶点是图象的最低点
0,0 ．
故答案为：，低．
（3）解：函数
2
1
2
y
x
，对于一切x 的值，总有函数
0
y
；当
0
x
时，y 有最大值是0．
故答案为：，，大，0．
题型7 二次函数y=ax²的图象和性质综合
【例13】已知抛物线
2
y
ax
经过点
1,2
，
2,m ．
(1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(2)求m 的值；
【答案】(1)函数图象的开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为
0,0
(2)8
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二
次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，
求出m；
（1）先把
1,2
代入
2
y
ax
，求出函数解析式，再根据函数的解析式，
2
a
，可得出抛物线开口向上，
并找出抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）把
2,m 代入（1）中所求的解析式计算即可求解．
【详解】（1）解：把
1,2
代入
2
y
ax
，得
2
2
1
a
解得：
2
a
∴
2
2
y
x
∵
2
0
a
∴函数图象的开口向上、对称轴为y 轴，顶点坐标为
0,0 ．
（2）解：把
2,m 代入
2
2
y
x
，得
2
2
2
8
m
．
【例14】已知抛物线
2
y
ax
经过点
2, 8 .
A
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点
1, 4
B
是否在此抛物线上；
(3)求出抛物线上纵坐标为18
的点的坐标．
【答案】(1)
2
2
y
x
；
(2)点B 不在此抛物线中；
(3)
3, 18
或
3, 18
【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及二次
函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大．
1
（）把点
2, 8
A
代入抛物线中求得a 的值，即可求得此抛物线的解析式；
2
（）把
1
x 代入此函数解析式
2
y
ax
即可判断；
3
（）把
18
y
代入抛物线的解析式中求得x 的值即可．
【详解】（1）抛物线
2
y
ax
经过点
2, 8
A
，
把点
2, 8
A
代入抛物线中：8
4
a
，
2
a
，
此抛物线的函数解析式为：
2
2
y
x
；
（2）当
1
x 时，
2
2
1
2
4
y
，
点
1, 4
B
不在此抛物线上；
（3）此抛物线上一点的纵坐标为18
，
把
18
y
代入此抛物线中得：
2
18
2x
，
3
x
，
此抛物线上纵坐标为18
的点的坐标为
3, 18
或
3, 18
．
【技巧归纳】
【变式7-1】已知函数
2 3
2
3
m
m
y
m
x
是关于x 的二次函数．
(1)求m 的值；
(2)当m 为何值时，该函数图象的开口向下？
(3)当m 为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？
【答案】(1)
1
2
4,
1
m
m
(2)当
4
m 时，该函数图象的开口向下
(3)当
1
m 时，最小值为
0
y
【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题．
（1）根据二次函数的定义求出m 的值即可解决问题．
（2）运用当二次项系数小于0 时，抛物线开口向下；
（3）运用当二次项系数大于0 时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值．
【详解】（1）解：∵函数
2 3
2
3
m
m
y
m
x
是关于x 的二次函数，
∴
2
3
2
2
m
m
，
3
0
m
，
解得：
1
2
4,
1
m
m
；
（2）解：∵函数图象的开口向下，
3
0
m
，
3
m
，
∴当
4
m 时，该函数图象的开口向下；
（3）解：∵当
3
0
m
时，抛物线有最低点，函数有最小值，
3
m
，即
1
m
∵抛物线顶点坐标为
0,0 ，
∴该函数最小值为
0
y
．
【变式7-2】如图，点
2,1
A
、
4,
B
m 在
2
y
ax
的图象上.直线AB 与y 轴交于点C，连接OA 、OB .
(1)a ；m ；
(2)直线AB 的函数表达式；
(3)求
AOB
的面积；
(4)观察图象，当2
4
x
时，y 的取值范围；当3
6
x
时，y 的取值范围.
【答案】(1) 1
4 ；4
(2)
1
2
2
y
x
(3)6
(4)0
4
y
；9
9
4
y
【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一
次函数解析式，轴对称，熟练求解直线的解析式是解题的关键．
（1）将点
2,1
A
代入
2
y
ax
求得
1
4
a
，将
4,
B
m 代入
2
y
ax
求出m ；
（2）运用待定系数法求出直线AB 的解析式即可；
（3）求出OC 的长，根据
AOB
AOC
BOC
S
S
S
△
△
△
求解即可；
（3）根据函数图象确定两个范围内各自的最大值和最小值即可．
【详解】（1）解：∵点
2,1
A
在
2
y
ax
的图象上，
∴4
1
a ，
∴
1
4
a
，
∵点
4,
B
m 在
2
1
4
y
x
的图象上，
∴
2
1
4
4
4
m
，
故答案为：1
4 ；4；
（2）解：设直线AB 的解析式为y
kx
b
，
∵
2,1
A
、
4,4
B
，
∴
2
1
4
4
k
b
k
b
，
解得
1
2
2
k
b
，
∴直线AB 的解析式为
1
2
2
y
x
，
故答案为：
1
2
2
y
x
；
（3）解：在
1
2
2
y
x
中，令
0
x
，则
2
y
，
∴C 的坐标为
0,2 ，
∴
2
OC
，
∴
1
1
2
2
2
4
6
2
2
AOB
AOC
BOC
S
S
S
；
（4）解：∵
2,1
A
、
4,4
B
，
观察图象，当2
4
x
时，当
0
x
时有最小值0 ；当
4
x
时有最大值
2
1
4
4
4
y
；
y 的取值范围0
4
y
；
当3
6
x
时，
当
3
x
时有最小值
2
1
9
3
4
4
y
，
当
6
x
时有最大值
2
1
6
9
4
y
，
∴y 的取值范围9
9
4
y
，
故答案为：0
4
y
；9
9
4
y
．
一、单选题
1．二次函数
2
y
ax
的图象经过点
2, 2
，则a 的值为（
）
A．
1
2
B．1
C．1
D．2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数
2
y
ax
的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
将点
2, 2
代入二次函数解析式求解a 的值即可．
【详解】∵函数
2
y
ax
经过点
2, 2
，
当
2
x
时，
2
y ，
代入得：
2
2
2
a
,
解得：
1
2
a
故选：A．
2．抛物线
2
2
4
4
y
x
y
x
、
不相同的是（
）
A．形状大小
B．开口方向
C．对称轴
D．顶点坐标
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的基本性质，关键是比较二次项系数的符号对开口方向的影响．
比较两条抛物线
2
4
y
x
和
2
4
y
x
的性质，包括形状大小、开口方向、对称轴和顶点坐标．由于二次项系
数绝对值相同，形状大小相同；对称轴均为y 轴；顶点均为原点；但开口方向相反．
【详解】解：抛物线
2
2
4
4
y
x
y
x
、
的形状大小相同；对称轴均为
0
x
；顶点均为
0,0 ，但开口方向相
反，
故选：B．
3．关于函数
2
3
y
x
，下列说法正确的是（
）
A．无论x 取何值，
0
y
B．其图象的对称轴是y 轴
C．y 随x 的增大而减小
D．其图象在第二、四象限
【答案】B
【分析】本题考查了
²
y
ax
的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
函数为二次函数，形式为
²
y
ax
，根据a 的符号，确定抛物线方向，再根据对称轴，分别出函数的增减性，
函数经过的象限．
【详解】∵函数
2
3
y
x
是二次函数，且
3
0
a
，
∴抛物线开口向下，顶点在原点
0,0 ，
当
0
x
时，
2
3
0
y
x
；
当
0
x
时，
0
y
，
故A 错误；
2
3
y
x
对称轴为
0
x
，即y 轴，
故B 正确；
∵
2
3
y
x
中，
3
0
a
，
∴当
0
x
时，y 随x 增大而增大；
当
0
x
时，y 随x 增大而减小，
故C 错误；
∵当
0
x
时，
0
y
，函数
2
3
y
x
的图象上的点在第四象限；
当
0
x
时，
0
y
，函数
2
3
y
x
的图象上的点在第三象限，
∴图象不在第二象限，
故D 错误，
故选：B．
4．如图，四边形OABC 是正方形，且点A 、C 恰好在抛物线
2
y
x
=
上，点B 在y 轴上，则OB 的长为（
）
A．2
B．2 2
C．4
D．
2
2
【答案】A
【分析】根据正方形的性质求出直线OA 的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：根据正方形的性质可得
45
AOB
，
∴直线OA的解析式为y
x
，
联立
2
y
x
y
x
，
解得
1
1
x
y
或
0
0
x
y
，
∴
1,1
A
，
∴
2
2
1
1
2
OA
，
在正方形OABC 中，
90 ,
A
OA
AB
∴
2
2
2
2
2
OB
OA
AB
．
5．如图，
ABC
的三个顶点的坐标分别为
1,1
A
，
3,1
B
，
,4
C a
将
ABC
进行平移，平移后的
ABC
的
三个顶点都在抛物线
2
y
x
=
上，则a 的值是（
）
A．2
B．2
C．2 或2
D．0 或4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的变化——平移，观察坐标特征得出平移
的方向和距离是解题的关键．根据A、B 点的坐标特征可知
ABC
向左平移2 个单位满足题意，则平移后的
C 点的坐标为
2,4
a
，代入抛物线解析式，即可求得a 的值．
【详解】解：
1,1
A
，
3,1
B
，
AB
x
轴，
将
ABC
进行平移，平移后的
ABC
的三个顶点都在抛物线
2
y
x
=
上，
ABC
向左平移2 个单位满足题意，
平移后的C 点的坐标为
2,4
a
，
代入
2
y
x
=
得，
2
4
2
a
，解得
0
a
或4，
故选：D．
二、填空题
6．根据函数图象填空：
（1）抛物线
2
3
y
x
的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x 轴
的上方；
（2）抛物线
2
1
3
y
x
的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x 轴的________方，它的顶点是抛
物线上的最________点．
【答案】
y 轴（或直线
0
x
）
0,0
0
下
下
高
【分析】本题考查形如
2
y
ax
的二次函数的图象性质．根据二次项系数a 的符号判断开口方向．结合函数
性质即可求解各空．
【详解】（1）抛物线
2
3
y
x
属于
2
y
ax
型二次函数．
根据二次函数性质，其对称轴是y 轴，即直线
0
x
．顶点坐标是
0,0 ．
3
0
a
．则抛物线开口向上．且
2
3
0
y
x
．
仅当
0
x
时
0
y
．
当
0
x
时．
0
y
．抛物线上的点都在x 轴上方．
（2）抛物线
2
1
3
y
x
中．
1
0
3
a
．根据二次函数性质，抛物线开口向下．
2
1
0
3
y
x
．
仅当
0
x
，即顶点处时
0
y
．
除顶点外，抛物线上的点都满足
0
y
，都在x 轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点．
7．已知点
1
1, y
，
2
2, y
，
3
3, y
都在函数
2
2
y
x
的图象上，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系为______．
【答案】
1
2
3
y
y
y
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小．根据函数解析式得到对称轴为y 轴，且离对称轴越远函
数值越小，再求出三个点到y 轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为
2
2
y
x
，2
0
，
∴二次函数开口向下，对称轴为y 轴，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵点
1
1, y
，
2
2, y
，
3
3, y
都在函数
2
2
y
x
的图象上，
且
3
0
3
0
2
2
1 0
1
，
∴
1
2
3
y
y
y
，
故答案为：
1
2
3
y
y
y
．
8．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数
2
1
3
y
x
与
2
1
3
y
x
的图
像，则阴影部分的面积是_____．
【答案】8
【分析】根据二次函数
2
1
3
y
x
与
2
1
3
y
x
的图象关于x 轴对称，正方形关于x 轴对称，利用割补法将阴影
部分面积转化为正方形面积的一半求解．
【详解】解：二次函数
2
1
3
y
x
与
2
1
3
y
x
的图象关于x 轴对称，正方形关于x 轴对称，
∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
∴图中阴影部分的面积是
2
1
1
4
8
2
2
S
S
阴影部分
正方形
．
9．已知抛物线
2
1
4
y
x
的顶点为坐标原点O，过O作两条互相垂直的直线分别与抛物线交
2
1
4
y
x
于点A 、
B ，连接AB ．求AB 边上的高的最大值为___________．
【答案】4
【分析】设出A 、B 两点的坐标，并表示出
,
,
OA OB AB 三条直线的表达式，可以得出直线AB 过定点，可知
当AB 与x 轴平行时，AB 边上的高有最大值．
【详解】解：如图：
设点
2
1
, 4
A a
a
，
2
1
, 4
B b
b
，
则：直线AB 的表达式为：
1
1
4
4
y
a
b x
ab
，
直线OA 的表达式为：
1
4
y
ax
，
直线OB 的表达式为：
1
4
y
bx
，
OA
OB
，
过点
,
A B 分别作x 轴垂线，交x 轴于点
,
C D ，
∴
90
ACO
AOB
ODB
，
∴
90
CAO
AOC
DOB
，
∴
CAO
DOB
∽
△
△
，
2
2
1
4
1
4
a
a
b
b
，
16
ab
，
则直线AB 的表达式为：
1
4
4
y
a
b x
，
直线AB 必过
0,4 点，
当AB 与x 轴平行时，AB 边上的高有最大值，为4 ．
10．二次函数
2
y
x
=
的图象如图所示，点
0
B 位于坐标原点，点
1B ，
2
B ，…，
n
B 在y 轴的正半轴上，点
1A ，
2
A ，…，n
A ，点
1
C ，2
C ，…，n
C 在二次函数的图象上，四边形
0
1
1
1
B A B C ，四边形
1
2
2
2
B A B C ，…，四边形
1
n
n
n
n
B
A B C
－
都是正方形，则正方形
1
n
n
n
n
B
A B C
－
的周长为______．
【答案】4 2n
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律
是解题的关键．
根据正方形性质得
0
1
1
90
B A B
和
0
1
1
B A B
△
是等腰直角三角形．设
0
1
1
B A B
△
的直角边长为
1
m ，则
1
2
2
,
2
2
A
m
m
，代入抛物线的解析式中解得
1
2
m
，则
0
1
1
B A B
△
的直角边长为2 ，同理可求得等腰直角
1
2
2
B A B
的直角边长为2 2 ，依此类推，等腰直角
1
n
n
n
B
A B
﹣
的直角边长为
2n，即可求得其周长．
【详解】解：∵四边形
0
1
1
1
B A B C 是正方形，，
∴
0
1
1
90
B A B
，
0
1
1
B A B
△
是等腰直角三角形．
设
0
1
1
B A B
△
的直角边长为
1
m ，则
1
2
2
,
2
2
A
m
m
；
代入抛物线的解析式中得：
2
2
2
2
2
m
m
，
解得
1
0
m
（舍去），
1
2
m
；
故
0
1
1
B A B
△
的直角边长为2 ，
同理可求得等腰直角
1
2
2
B A B
的直角边长为2 2 ，
…
依此类推，等腰直角
1
n
n
n
B
A B
﹣
的直角边长为
2n，
故正方形
1
n
n
n
n
B
A B C
﹣
的周长为4 2n．
故答案是：4 2n．
三、解答题
11．已知二次函数
2
y
ax
图像经过点
2 3
P ，．
(1)判断这个函数图像的开口方向；
(2)点
2,
Q
m 在这个函数图像上，求m 的值．
【答案】(1)开口向上
(2)
3
m
【分析】本题考查了二次函数的性质．
（1）先将点P 的坐标代入二次函数解析式求出a 的值，根据a 的正负判断函数图像的开口方向；
（2）将点Q 的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出m 的值.
【详解】（1）解：将点
( 2,3)
P
代入
2
y
ax
中
得
2
3
( 2)
a
即4
3
a
解得
3
4
a
因为
3
0
4
a
所以这个函数图像的开口向上
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为
2
3
4
y
x
将点
(2,
)
Q
m 代入
2
3
4
y
x
中
得
2
3
2
4
m
解得
3
m
.
12．如图，二次函数
2
0
y
ax
a
的图象经过点
4,4
，过点
0,1
F
作x 轴的平行线交该二次函数的图象
于M
N
、
两点．
(1)求二次函数的解析式；
(2) P 为平面内一点，当PMN
是等边三角形时，求点P 的坐标．
【答案】(1)
2
1
4
y
x
(2)
0,1 2 3
或
0,1 2 3
【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练
结合函数与几何图形的性质是解题关键．
（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式；
（2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点
的坐标．
【详解】（1）解：二次函数
(
)
2
0
y
ax
a
=
¹
的图象经过点
4,4
，
(
)
2
4
4
a
\
=
-
，
解得：
1
4
a
，
二次函数的解析式为
2
1
4
y
x
；
（2）解：将
1
y 代入
2
1
4
y
x
，
解得：
1
2
x
，
2
2
x ，
点M 、N 的坐标分别为
2,1
，
2,1 ，
2
2
4
MN
，
2
FM
FN
，
PMN
是等边三角形，
易得点P 在y 轴上，且
4
PM
，
MN
x
∥轴，
90
PFM
，
2
2
4
2
2 3
PF
\
=
-
=
，
点F 的坐标为
0,1 ，
点P 的坐标为
0,1 2 3
或
0,1 2 3
．
13．已知函数
2
4
2
m
m
y
m
x
是y 关于x 的二次函数.
(1)求满足条件m 的值；
(2)当m 为何值时，此抛物线有最低点？这时，当x 取何值时，y 随x 的增大而减小；
(3)当m 为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大.
【答案】(1)
2
m
或
3
m
(2)当
2
m
时，抛物线有最低点，当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
(3)当
3
m 时，抛物线有最高点，最高点坐标为
0,0 ，当
0
x
时，y 随x 的增大而增大
【详解】（1）解：∵函数
2
4
2
m
m
y
m
x
是y 关于x 的二次函数，
∴
2
4
2
2
0
m
m
m
，
解得：
2
m
或
3
m ，
∴满足条件m 的值为2, 3
．
（2）解：当
2
m
时，函数为
2
4
y
x
，开口向上，此时抛物线有最低点，当
0
x
时，y 随x 的增大而减小．
（3）解：当
3
m 时，函数为
2
y
x
，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为
0,0 ，当
0
x
时，
y 随x 的增大而增大．
14．如图，点A，B 在抛物线
2
1
4
y
x
上．已知点A，B 的横坐标分别为2
，4，直线AB 与y 轴交于点C ．
(1)求直线AB 的函数解析式；
(2)在x 轴上找一点P，使PA
PC
的值最小，请求出此时点P 的坐标及PA
PC
的最小值．
【答案】(1)
1
2
2
y
x
(2)
4 ,0
3
P
，PA
PC
的最小值为13
【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质
是解题关键．
（1）先根据二次函数的解析式求出
2,1
A
，
4,4
B
，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出
0,2
C
，再作点C 关于x 轴的对称点
0, 2
C
，连接AC，交x 轴于点P ，则点P 即为所求，
利用待定系数法求出直线AC的解析式，则可得点P 的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值．
【详解】（1）解：将
2
x 代入
2
1
4
y
x
得：
2
1
2
1
4
y
，
∴
2,1
A
，
将
4
x
代入
2
1
4
y
x
得：
2
1
4
4
4
y
，
∴
4,4
B
，
设直线AB 的函数解析式为
0
y
kx
b k
，
将点
2,1
A
，
4,4
B
代入得：
2
1
4
4
k
b
k
b
，解得
1
2
2
k
b
，
∴直线AB 的函数解析式为
1
2
2
y
x
．
（2）解：将
0
x
代入
1
2
2
y
x
得：
2
y
，
∴
0,2
C
，
如图，作点C 关于x 轴的对称点
0, 2
C
，连接AC，交x 轴于点P ，
由轴对称的性质得：PC
PC
，
∴PA
PC
PA
PC
，
由两点之间线段最短可知，当点
, ,
A P C共线时，PA
PC
的值最小，即PA
PC
的值最小，最小值为
2
2
2
0
1
2
13
AC
，
∴AC与x 轴的交点P 即为所求，
设直线AC的函数解析式为
0
y
mx
n m
，
将点
2,1
A
，
0, 2
C
代入得：
2
1
2
m
n
n
，解得
3
2
2
m
n
，
∴直线AC的函数解析式为
3
2
2
y
x
，
将
0
y
代入
3
2
2
y
x
得：
3
2
0
2 x
，解得
4
3
x
，
∴此时点P 的坐标为
4 ,0
3
，
综上，此时点P 的坐标为
4 ,0
3
，PA
PC
的最小值为13 ．
15．用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点
法画函数
2
1
2
y
x
的图象，并按照要求回答下列问题：
x
…
3
2
1
0
1
2
3
…
y
…
4.5
0.5
0
2
4.5
…
(1)补齐上表；
(2)在所给坐标系内描出表格中的点；
(3)将上述各点用平滑曲线连线．
(4)由图象可知：当
4
x
时，y ；当
2
y
时，x 的取值范围是．
【答案】(1)2 0.5
，；
(2)见解析；
(3)见解析；
(4)8，2
2
x
；
【分析】（1）根据
2
1
2
y
x
计算填空即可；
（2）在坐标系内描点即可；
（3）将各点用平滑曲线连接即可；
（4）通过图象可知：当
4
x
时，图象上对应点的纵坐标即为答案；当
2
y
时，可直接写出x 的取值范围．
【详解】（1）当
2
x 时，
2
1
2
2
2
y
；
当
1
x 时，
2
1 1
0.5
2
y
；
故答案为：2 0.5
，．
（2）描点如下图．
（3）用平滑曲线连线如下图．
（4）由图象可知：
当
4
x
时，
8
y
；
当
2
y
时，2
2
x
．
【点睛】本题考查二次函数的性质、图象，及图象上点的坐标的特征．描点并作图是学习函数部分必备的
基本能力，一定要熟练掌握．
16．在平面直角坐标系中，对于点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，若满足
1
2
1
2
y
y
t x
x
，则称A ，B 两点互为“t
倍点”．
(1)已知直线
2
3
y
x
上的点B 是点A 的“2 倍点”，
①若点A 在x 轴上，求点A 的横坐标．
②若点A 在抛物线
2
y
x
=
上，求点A 的坐标．
(2)已知
2,0
A
，若在抛物线
2
2
8
y
x
x
上存在唯一的点B 是点A 的“t 倍点”，求t 的值．
【答案】(1)①
3
2
；②点A 的坐标
1,1
或
3,9
(2)2 或
−14
【分析】本题考查解一元一次方程，二次函数性质，解一元二次方程，根的判别式等．
（1）①设
,2
3
B m
m
，点
,0
A n
，根据题意列式计算即可求出本题答案；②设点
2
,
A n n
，列式
2
2
3
2
n
m
m
n
，整理得
2
2
3
0
n
n
，解出即可；
（2）设点
2
,
2
8
B x x
x
，再列式
2
2
2
8
t x
x
x
，利用根的判别式即可求出本题答案．
【详解】（1）解：①∵直线
2
3
y
x
上的点B 是点A 的“2 倍点”，
∴设
,2
3
B m
m
，点
,0
A n
，
0
2
3
2
m
m
n
，解得：
3
2
n
，
②∵点A 在抛物线
2
y
x
=
上，
∴设点
2
,
A n n
，
2
2
3
2
n
m
m
n
，即
2
2
3
0
n
n
，解得
1
1
n ，
2
3
n
．
点A 的坐标
1,1
或
3,9 ；
（2）解：∵
2,0
A
，若在抛物线
2
2
8
y
x
x
上存在唯一的点B 是点A 的“t 倍点”，
∴设点
2
,
2
8
B x x
x
，
2
2
2
8
t x
x
x
有唯一解，
即
2
2
8
2
0
x
t x
t
，
2
Δ
2
4 8
2
0
t
t
，解得1
2
t
，2
14
t
．
即t 的值为2 或14
．
