预习讲义 第10 讲 全等三角形常见的七大几何模型（学生版）
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析教材·学知识
【知识点1 平移模型】
【模型解读】沿同一直线平移的两个三角形重合.
【解题思路】①加(减)共线部分，得到一组对应边相等；②利用平行线性质找对应角相等.
【知识点2 翻折模型】
【模型解读】两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合.
【解题思路】①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等;
②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等.
【知识点3 手拉手模型】
【模型解读】个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形.
【解题思路】加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等。
【知识点4 半角模型】
【模型解读】有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍
分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形.
【解题思路】延长一边,构造全等三角形从而得到线段之间的数量关系
【知识点5 一线三等角模型】
【模型解读】(1)两个三角形有一条边共线；(2)同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1=∠2=∠3.
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【解题思路】
利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用 AAS 或 ASA 证明三角
形全等。
【知识点6 倍长中线模型】
【模型解读】给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形达到解题目的.
【解题思路】通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD，△ABD≌△ECD.
【知识点7 截长补短模型】
【模型解读】截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已
知
线段.
【解题思路】该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利
用全等三角形的判定和性质进行解题。
练题型·强知识
【题型1 平移模型】
【例1】如图，在△𝐵𝐴𝐶与△𝐸𝐷𝐹中，𝐵𝐶与𝐸𝐹在同一条直线上，∠𝐴= ∠𝐷= 90°,∠𝐵= ∠𝐸,𝐵𝐹= 𝐸𝐶．求证：
△𝐵𝐴𝐶≌△𝐸𝐷𝐹．
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【变式1-1】如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，点𝐵,𝐸,𝐶,𝐹在同一条直线上．
(1)若∠𝐵𝐸𝐷= 140°,∠𝐷= 75°，求∠𝐴𝐶𝐵的度数；
(2)若𝐵𝐸= 2,𝐸𝐶= 3，求𝐵𝐹的长．
【变式1-2】如图，△𝐴𝐵𝐶沿𝐵𝐶方向平移得到△𝐸𝐶𝐷，连接𝐴𝐷交𝐶𝐸于F，△𝐶𝐹𝐷的面积为3，则△𝐴𝐵𝐷的
面积为
．
【变式1-3】如图①，点A，B，C，D 在同一直线上，AB＝CD，作EC⊥AD 于点C，FB⊥AD 于点B，且AE
＝DF．
(1)求证：EF 平分线段BC；
(2)若将△BFD 沿AD 方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．
【题型2 对称模型】
【例2】如图，已知∠𝐶= ∠𝐹= 90°，∠𝐴= 51°，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐴𝐸= 𝐷𝐵，𝐵𝐶与𝐸𝐹交于点O．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
(2)求∠𝐵𝑂𝐹．
【变式2-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的角平分线．以点A 圆心，𝐴𝐷长为半径画弧，与𝐴𝐵,𝐴𝐶
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分别交于点E，F，连接𝐷𝐸，𝐷𝐹．
(1)求证：𝐷𝐸= 𝐷𝐹；
(2)若∠𝐵𝐴𝐶= 80°，求∠𝐵𝐷𝐸的度数．
【变式2-2】如图，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，若𝐵𝐷= 𝐶𝐷，𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
(1)求证：𝐷𝐸= 𝐷𝐹；
(2)已知𝐴𝐶= 14，𝐵𝐸= 2，求𝐴𝐵的长．
【变式2-3】如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角
形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图②，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵是直角，∠𝐵＝60°，𝐴𝐷、𝐶𝐸分别是∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐵𝐶𝐴的平分线，𝐴𝐷、𝐶𝐸相交于
点F．请你判断并写出𝐹𝐸与𝐹𝐷之间的数量关系；（不需证明）
(2)如图③，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵＝60°，𝐴𝐷、𝐶𝐸分别是∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐵𝐶𝐴的平分线，𝐴𝐷、𝐶𝐸相交于点F，请问，你
在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【题型3 手拉手模型】
【例3】如图，已在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，𝐸𝐶⊥𝐴𝐶，求证：𝐴𝐷= 𝐴𝐸．
【变式3-1】已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，点𝐶、𝐷、𝐸
三点在同一直线上，连接𝐵𝐷．求证：
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(1) 𝐵𝐷= 𝐶𝐸；
(2)𝐵𝐷⊥𝐶𝐸．
【变式3-2】如图，D 为△𝐴𝐵𝐶内一点，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，将𝐴𝐷绕着点A 顺时针旋转50°能与线段𝐴𝐸
重合．
(1)求证：𝐸𝐵= 𝐷𝐶；
(2)若∠𝐴𝐷𝐶= 125°，求∠𝐵𝐸𝐷的度数．
【变式3-3】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D 是边𝐵𝐶上一点，点E 在𝐴𝐷的右侧，线段𝐴𝐸= 𝐴𝐷，且
∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼．
(1)如图1，若𝛼= 60°，连接𝐶𝐸，𝐷𝐸．则∠𝐴𝐷𝐸的度数为 ；𝐵𝐷与𝐶𝐸的数量关系是 ．
(2)如图2，若𝛼= 90°，连接𝐸𝐶、𝐵𝐸．试判断△𝐵𝐶𝐸的形状，并说明理由．
【题型4 半角模型】
【例4】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷,∠𝐵= ∠𝐷= 90°,∠𝐵𝐴𝐷= 60°,𝐸,𝐹分别是𝐵𝐶,𝐶𝐷上的点，且
∠𝐸𝐴𝐹= 30°．求证：𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹．
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【变式4-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= 120°，𝐸为𝐴𝐵上一点，∠𝐷𝐶𝐸= 60°，∠𝐷𝐴𝐸= 120°，
求证：𝐷𝐸−𝐴𝐷= 𝐵𝐸．
【变式4-2】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷是直线𝐵𝐶上一点（不与𝐵、𝐶重合），以𝐴𝐷为一边在𝐴𝐷的右侧作△𝐴𝐷𝐸，
使𝐴𝐸= 𝐴𝐷,𝐵𝐷= 𝐶𝐸．设∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼,∠𝐵𝐶𝐸= 𝛽．
(1)如图1，如果∠𝐵𝐴𝐶= 90°,∠𝐵𝐶𝐸= ___________度；
(2)如图2，你认为𝛼、𝛽之间有怎样的数量关系？并说明理由．
(3)当点𝐷在直线𝐵𝐶上移动时，𝛼、𝛽之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结
论．（B、C、E 三点不共线）
【变式4-3】【基本模型】
如图，𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，∠𝐸𝐴𝐹= 45°，当𝐸在𝐵𝐶边上，𝐹在𝐶𝐷边上时，如图1，𝐵𝐸、𝐷𝐹与𝐸𝐹之间的数量关
系为__________．
【模型运用】当𝐸点在𝐵𝐶的延长线上，𝐹在𝐶𝐷的延长线上时，如图2，请你探究𝐵𝐸、𝐷𝐹与𝐸𝐹之间的数量关
系，并证明你的结论：__________．
【拓展延伸】如图3，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180°，𝐸在线段𝐵𝐶上，𝐹在线段𝐶𝐷上，∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐷，
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请你直接写出𝐵𝐸、𝐷𝐹与𝐸𝐹之间的数量关系．
【题型5 一线三等角模型】
【例5】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶．
(1)如图1，直线𝑁𝑀过点B，𝐴𝑀⊥𝑀𝑁于点M，𝐶𝑁⊥𝑀𝑁于点N，且∠𝐴𝐵𝐶= 90°，求证：𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑁．
(2)如图2，直线𝑁𝑀过点B，𝐴𝑀交𝑁𝑀于点M，𝐶𝑁交𝑁𝑀于点N，且∠𝐴𝑀𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝑁𝐶，则𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑁
是否成立？请说明理由！
【变式5-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸，于点𝐸，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸于点𝐷．△𝐵𝐸𝐶与△𝐶𝐷𝐴
全等吗？请说明理由．
【变式5-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 3，∠𝐵= 40°，点D 在线段𝐵𝐶上运动（点D 不与点B、C 重
合），连接𝐴𝐷，作∠𝐴𝐷𝐸= 40°，𝐷𝐸交线段𝐴𝐶于点E．
(1)当∠𝐵𝐷𝐴= 110°时，∠𝐸𝐷𝐶= ，∠𝐴𝐸𝐷= ．
(2)线段𝐷𝐶的长度为何值时，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸，请说明理由；
(3)在点D 的运动过程中，△𝐴𝐷𝐸的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠𝐵𝐷𝐴的度数；若不可以，请说
明理由．
【变式5-3】已知，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷，𝐴，𝐸三点都在直线m上，且𝐷𝐸= 9𝑐𝑚，∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶．
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(1)如图①，若𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，则𝐵𝐷与𝐴𝐸的数量关系为 ___________，𝐶𝐸与𝐴𝐷的数量关系为 ___________；
(2)如图②，判断并说明线段𝐵𝐷，𝐶𝐸与𝐷𝐸的数量关系；
(3)如图③，若只保持∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶，𝐵𝐷= 𝐸𝐹= 7cm，𝐷𝐸= 9cm，点A 在线段𝐷𝐸上以2cm/s的速度由点D
向点E 运动，同时，点C 在线段𝐸𝐹上以𝑥cm/s的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时间为t（s）．是否
存在x，使得△𝐴𝐵𝐷与△𝐸𝐴𝐶全等？若存在，求出相应的t 的值；若不存在，请说明理由．
【题型6 倍长中线模型】
【例6】如图，在△𝐴𝐵𝐶中．𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，交𝐵𝐶于点𝐷．
(1)如下图，延长𝐴𝐷到点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸． 求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐵𝐷．
(2)如下图，若∠𝐵𝐴𝐶= 90°，试探究𝐴𝐷与𝐵𝐶有何数量关系，并说明理由．
(3)如下图，若𝐶𝐸是边𝐴𝐵上的中线，且𝐶𝐸交𝐴𝐷于点𝑂． 请你猜想线段𝐴𝑂与𝑂𝐷之间的数量关系，并说明理
由．
【变式6-1】如图1，在△𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵> 𝐴𝐶)中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐷𝐶的周长之差为2cm，
且𝐴𝐵的长是8cm．
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(1)求𝐴𝐶的长；
(2)求𝐴𝐷长度的取值范围；
(3)若∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐸是𝐴𝐷的中点，如图2，直接写出△𝐶𝐷𝐸的面积．
【变式6-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶边于点D，点E 是𝐵𝐶边的中点，线段𝐸𝐹∥𝐴𝐷交线段𝐴𝐵
于点G，交线段𝐶𝐴的延长线于点F．
(1)若𝐶𝐹= 6，𝐴𝐺= 2，求𝐴𝐶的长．
(2)求证：𝐵𝐺= 𝐶𝐹．
【变式6-3】八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵= 9，𝐴𝐶= 5，求𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷的取值范围．小红在组内经过合作交流，得到
了如下的解决方法：延长𝐴𝐷到点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，请根据小红的方法思考作答：
(1)由已知和作图能得到△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵的理由是______；
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
(2)求得𝐴𝐷的取值范围是______；
A．5 < 𝐴𝐷< 9 B．5 ≤𝐴𝐷≤9 C．2 < 𝐴𝐷< 7 D．2 ≤𝐴𝐷≤7
(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所
求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．
如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐸在𝐵𝐶上，且𝐷𝐸= 𝐷𝐶，过𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，且𝐸𝐹= 𝐴𝐶．求证：𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶．
【题型7 截长补短模型】
【例7】阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条
线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在
△𝐴𝐵𝐶中，交𝐵𝐶于点D，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，且∠𝐵= 2∠𝐶．
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(1)为了证明结论“𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐶”，小亮在AC 上截取𝐴𝐸，使得𝐴𝐸= 𝐴𝐵，解答了这个问题，请按照小亮的
思路写证明过程；
(2)如图2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，已知∠𝐵𝐴𝐷= 58°，∠𝐷= 109°，∠𝐴𝐶𝐷= 42°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，𝐴𝐷= 10，
𝐶𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸𝐵= 3，求𝐴𝐵的长．
【变式7-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 60°，△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐴𝐷、𝐶𝐸相交于点O，求证：
𝐴𝐸+ 𝐶𝐷= 𝐴𝐶．
【变式7-2】综合与实践
问题提出
如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，交𝐵𝐶于点D，且∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐵，则𝐴𝐵，𝐶𝐷，𝐴𝐶之间存在怎样的数量
关系？并说明理由．
方法运用
（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长𝐴𝐶至点E，使得𝐴𝐸= 𝐴𝐵，连接
𝐷𝐸，……，请判断𝐴𝐵，𝐶𝐷，𝐴𝐶之间的数量关系并补充完整解题过程．
（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在𝐴𝐵上截取线段构造全等三角形来解
题．如图3，在线段𝐴𝐵上截取𝐴𝐵，使得𝐴𝐹= ①______，连接②______．请补全空格，并在图3 中画出辅
助线．
延伸探究
（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，
𝐸𝐴= 𝐸𝐷，𝐴𝐵+ 𝐷𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴+ ∠𝐷= 180°，若∠𝐵𝐶𝐷= 120°，求∠𝐵𝐶𝐸的度数．
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【变式7-3】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴+ ∠𝐶= 180°．求
证：𝐷𝐴= 𝐷𝐶．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在𝐵𝐶上截取𝐵𝑀= 𝐵𝐴，连接𝐷𝑀，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长𝐵𝐴到点𝑁，使得𝐵𝑁= 𝐵𝐶，连接𝐷𝑁，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1 和方法2 中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接𝐴𝐶，当∠𝐷𝐴𝐶= 60°时，探究线段𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐵𝐷之间的数
量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴+ ∠𝐶= 180°，𝐷𝐴= 𝐷𝐶，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为点𝐸，
请写出线段𝐴𝐵、𝐶𝐸、𝐵𝐶之间的数量关系．
过关测·稳提升
1．如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐸是𝐴𝐷上一点，𝐵𝐸交𝐴𝐶于𝐹，若𝐸𝐹= 𝐴𝐹，𝐵𝐸= 8，𝐶𝐹= 5，则𝐸𝐹的长度为
（ ）
A．1.5
B．2
C．2.5
D．3
2．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，点𝑃是对角线𝐴𝐶上一点，𝑃𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，𝑃𝐹⊥𝐶𝐷于点
𝐹，则下列说法一定正确的是（ ）
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A．𝑃𝐸= 𝑃𝐹
B．𝑃𝐹= 𝐷𝐹
C．∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷
D．𝑃𝐶= 𝐷𝐹
3．如图，𝐸𝐵交𝐴𝐶于点𝑀，交𝐹𝐶于点𝐷，∠𝐸= ∠𝐹= 90°，∠𝐵= ∠𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，给出下列结论：①∠1 = ∠2；
②𝐵𝐸= 𝐶𝐹；③△𝐴𝐶𝑁≌△𝐴𝐵𝑀；④𝐶𝐷= 𝐷𝑁，其中正确的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
4．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，𝐵𝐸= 4，𝐷𝐸= 3，𝐶𝐸= 1，则△𝐴𝐵𝐷的
面积是（ ）
A．4.5
B．6
C．9
D．12
5．如图， 𝐵𝐷是𝛥𝐴𝐵𝐶的角平分线，延长𝐵𝐷至点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，若∠𝐴𝐷𝐵= 60∘，∠𝐵𝐴𝐶= 78∘， 则
∠𝐵𝐸𝐶=
．
6．如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，试说明𝐵𝐶= 𝐷𝐸．
7．在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，点E 在DC 上，AE 平分∠𝐵𝐴𝐷，BE 平分∠𝐴𝐵𝐶
（1）判定△AEB 的形状，并说明理由.
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（2）求证：𝐴𝐷+ 𝐵𝐶=𝐴𝐵
8．已知：如图，𝐶𝐴= 𝐶𝐵， 𝐶𝐷= 𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸，求证：∠𝐵𝐺𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵．
9．（新课标 开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C 在同一条直线上，𝐴𝐸= 𝐶𝐹，𝐴𝐷∥𝐶𝐵，𝐴𝐷= 𝐶𝐵，
求证：△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸．
（2）若将图1 中的△𝐵𝐸𝐶沿𝐶𝐴方向平移得到图2、图3，其他条件不变，△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸还成立吗？为什
么？（选择一种情况说明理由）
10．如图1，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐷𝐸⊥𝐵𝐷，点C 是𝐵𝐷上一点，且𝐵𝐶= 𝐷𝐸，𝐶𝐷= 𝐴𝐵．
(1)试判断𝐴𝐶与𝐶𝐸的位置关系，并说明理由．
(2)如图2，若把△𝐶𝐷𝐸沿直线BD 向左平移，使△𝐶𝐷𝐸的顶点C 与点B 重合，此时AC 与BE 互相垂直吗？
请说明理由．
11．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，
𝑂𝐶= 𝑂𝐷，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷= 90°．回答下列问题：
(1)求证：△𝑂𝐴𝐶和△𝑂𝐵𝐷是兄弟三角形．
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(2)取𝐵𝐷的中点𝑃，连接𝑂𝑃，试说明𝐴𝐶= 2𝑂𝑃．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）
倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造△𝐵𝑃𝐸，并证明𝐵𝐸= 𝑂𝐷．
②求证：𝐴𝐶= 2𝑂𝑃．
12．如图，已知Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°,𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷为直线𝐵𝐶上的一动点（点𝐷不与点𝐵、𝐶重合），
以𝐴𝐷为边作Rt △𝐴𝐷𝐸,∠𝐷𝐴𝐸= 90°,𝐴𝐷= 𝐴𝐸，连接𝐶𝐸．
(1)发现问题：如图①，当点𝐷在边𝐵𝐶上时．
①请写出𝐵𝐷和𝐶𝐸之间的数量关系为 ，位置关系为 ；
②求证：𝐶𝐸+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐶；
(2)尝试探究：如图②，当点𝐷在边𝐵𝐶的延长线上且其他条件不变时，（1）中𝐵𝐶、𝐶𝐸、𝐶𝐷之间存在的数量
关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明．
(3)拓展延伸：如图③，当点𝐷在𝐶𝐵的
延长线上且其他条件不变时，若𝐵𝐶= 6,𝐶𝐸= 2，求线段𝐶𝐷的长．并求△𝐷𝐸𝐵的面积．
13．已知点C 为线段𝐴𝐵上一点，分别以𝐴𝐶，𝐵𝐶为边在线段𝐴𝐵同侧作△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐸，且𝐶𝐴= 𝐶𝐷，
𝐶𝐵= 𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，直线𝐴𝐸与𝐵𝐷交于点F．
(1)如图1，求证：△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵；
(2)若∠𝐴𝐶𝐷= 60°，则∠𝐴𝐹𝐵= ；
(3)如图2，若∠𝐴𝐶𝐷= 𝑎，则∠𝐴𝐹𝐵= ．（用含a 的式子表示）
14．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形𝐴𝐶𝐵𝐷，以𝐷为顶点作∠𝑀𝐷𝑁，交边𝐴𝐶、𝐵𝐶于
𝑀、𝑁．
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(1)若∠𝐴𝐶𝐷= 30°，∠𝑀𝐷𝑁= 60°，当∠𝑀𝐷𝑁绕点𝐷旋转时， 𝐴𝑀、𝑀𝑁、𝐵𝑁三条线段之间有何种数量关系？
证明你的结论；
(2)当∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝑀𝐷𝑁= 90°时，𝐴𝑀、𝑀𝑁、𝐵𝑁三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
(3)如图③，在（2）的条件下，若将𝑀、𝑁改在𝐶𝐴、𝐵𝐶的延长线上，完成图③，其余条件不变，则𝐴𝑀、
𝑀𝑁、𝐵𝑁之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明)
15．（1）如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷,∠𝐵= ∠𝐷= 90°，𝐸、𝐹分别是边𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点，且∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐹，
则∠𝐹𝐸𝐶与∠𝐵𝐴𝐸的数量关系为_______________．
（2）如图2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷,∠𝐵+ ∠𝐷= 180°，E、F 分别是边BC、CD 上的点，且
∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐹，请直接写出𝐸𝐹、𝐵𝐸、𝐷𝐹三条线段间的数量关系_________________．
（3）如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷,∠𝐵+ ∠𝐷= 180°，𝐸、𝐹分别是直线𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点，且
∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐹，请直接写出𝐸𝐹、𝐵𝐸、𝐷𝐹三条线段间的数量关系，并证明．
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答案解析
练题型·强知识
【题型1 平移模型】
【例1】如图，在△𝐵𝐴𝐶与△𝐸𝐷𝐹中，𝐵𝐶与𝐸𝐹在同一条直线上，∠𝐴= ∠𝐷= 90°,∠𝐵= ∠𝐸,𝐵𝐹= 𝐸𝐶．求证：
△𝐵𝐴𝐶≌△𝐸𝐷𝐹．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证明三角形全等的方法．
根据题意得出𝐵𝐶= 𝐸𝐹，再由全等三角形的判定证明即可．
【详解】证明：∵𝐵𝐹= 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐹+ 𝐹𝐶= 𝐶𝐸+ 𝐹𝐶，
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
∠𝐴= ∠𝐷= 90°
∠𝐵= ∠𝐸
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(AAS)．
【变式1-1】如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，点𝐵,𝐸,𝐶,𝐹在同一条直线上．
(1)若∠𝐵𝐸𝐷= 140°,∠𝐷= 75°，求∠𝐴𝐶𝐵的度数；
(2)若𝐵𝐸= 2,𝐸𝐶= 3，求𝐵𝐹的长．
【答案】(1)65°
(2)7
【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并准确识图准确找出对应边是解题的关键．
（1）由三角形外角性质求得∠𝐹，然后由全等三角形的对应角相等来求∠𝐴𝐶𝐵的度数；
（2）根据全等三角形对应边相等可得𝐵𝐶= 𝐸𝐹，然后根据𝐵𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐹计算即可得解．
【详解】（1）解：∵∠𝐵𝐸𝐷= 140°，∠𝐷= 75°，
∴∠𝐹= ∠𝐵𝐸𝐷−∠𝐷= 65°．
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∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐹= 65°；
（2）解：∵𝐵𝐸= 2，𝐸𝐶= 3，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐶= 5
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐹= 5，
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐹= 2 + 5 = 7．
【变式1-2】如图，△𝐴𝐵𝐶沿𝐵𝐶方向平移得到△𝐸𝐶𝐷，连接𝐴𝐷交𝐶𝐸于F，△𝐶𝐹𝐷的面积为3，则△𝐴𝐵𝐷的
面积为
．
【答案】12
【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，由平移的性质可得
𝐴𝐶∥𝐷𝐸，𝐴𝐶= 𝐷𝐸，𝐵𝐶= 𝐶𝐷，证明△𝐴𝐶𝐹≌△𝐷𝐸𝐹(ASA)，得到𝐸𝐹= 𝐶𝐹，根据三角形中线平分三角形面
积可得𝑆△𝐶𝐷𝐸= 2𝑆△𝐶𝐷𝐹= 6，则𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐸𝐶𝐷= 12．
【详解】解：由平移的性质可得𝐴𝐶∥𝐷𝐸，𝐴𝐶= 𝐷𝐸，𝐵𝐶= 𝐶𝐷，
∴∠𝐹𝐶𝐴= ∠𝐹𝐸𝐷，∠𝐹𝐴𝐶= ∠𝐹𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐶𝐹≌△𝐷𝐸𝐹(ASA)，
∴𝐸𝐹= 𝐶𝐹，
∴𝑆△𝐶𝐷𝐸= 2𝑆△𝐶𝐷𝐹= 6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐸𝐶𝐷= 12，
故答案为：12．
【变式1-3】如图①，点A，B，C，D 在同一直线上，AB＝CD，作EC⊥AD 于点C，FB⊥AD 于点B，且AE
＝DF．
(1)求证：EF 平分线段BC；
(2)若将△BFD 沿AD 方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．
【答案】(1)证明过程见解析
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(2)成立，理由见解析
【分析】（1）先根据已知条件证明Rt△ACE≌Rt△DBF，可得CE=BF，再证Rt△CEG≌Rt△BFG，可得
CG=BG，即EF 平分线段BC．
（2）思路和第一小题相同，先证Rt△ACE≌Rt△DBF，可得CE=FB，再证Rt△CEG≌Rt△BFG，可得
CG=BG，即EF 平分线段BC．
【详解】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE=∠DBF=90°，
∵AB=CD，
∴AB+BC=BC+CD，
即AC=DB，
在Rt△ACE 和Rt△DBF 中，
𝐴𝐸= 𝐷𝐹
𝐴𝐶= 𝐷𝐵
，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL)，
∴CE=FB，
在Rt△CEG 和Rt△BFG 中，
∠𝐸𝐶𝐺= ∠𝐹𝐵𝐺= 90°
∠𝐸𝐺𝐶= ∠𝐵𝐺𝐹
𝐸𝐶= 𝐹𝐵
，
∴Rt△CEG≌Rt△BFG(AAS)，
∴CG=BG，
即EF 平分线段BC．
（2）解：（1）中结论仍成立，理由如下∶
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE=∠DBF=90°，
∵AB=CD，
∴AB-BC=CD-BC，
即AC=DB，
在Rt△ACE 和Rt△DBF 中，
𝐴𝐸= 𝐷𝐹
𝐴𝐶= 𝐷𝐵
，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL)，
∴CE=FB，
在Rt△CEG 和Rt△BFG 中，
∠𝐸𝐶𝐺= ∠𝐹𝐵𝐺= 90°
∠𝐸𝐺𝐶= ∠𝐵𝐺𝐹
𝐸𝐶= 𝐹𝐵
，
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∴Rt△CEG≌Rt△BFG（AAS），
∴CG=BG，
即EF 平分线段BC．
【题型2 对称模型】
【例2】如图，已知∠𝐶= ∠𝐹= 90°，∠𝐴= 51°，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐴𝐸= 𝐷𝐵，𝐵𝐶与𝐸𝐹交于点O．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
(2)求∠𝐵𝑂𝐹．
【答案】(1)见解析
(2)78°
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，
（1）根据HL证明两个三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论；
解题的关键是掌握三角形全等的判定．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐸= 𝐷𝐵，
∴𝐴𝐸+ 𝐸𝐵= 𝐷𝐵+ 𝐸𝐵，即𝐴𝐵= 𝐷𝐸，
∵∠𝐶= ∠𝐹= 90°，
在Rt △𝐴𝐶𝐵和Rt △𝐷𝐹𝐸中，
𝐴𝐶= 𝐷𝐹
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
，
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐷𝐸𝐹(HL)；
（2）解：∵∠𝐶= 90°，∠𝐴= 51°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 90°−∠𝐴= 90°−51° = 39°，
由（1）知：Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐷𝐸𝐹= 39°，
∴∠𝐵𝑂𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐸𝐹= 39° + 39° = 78°，
∴∠𝐵𝑂𝐹的度数为78°．
【变式2-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的角平分线．以点A 圆心，𝐴𝐷长为半径画弧，与𝐴𝐵,𝐴𝐶
分别交于点E，F，连接𝐷𝐸，𝐷𝐹．
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(1)求证：𝐷𝐸= 𝐷𝐹；
(2)若∠𝐵𝐴𝐶= 80°，求∠𝐵𝐷𝐸的度数．
【答案】(1)见解析
(2)20°
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角的平分线，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理
（1）根据𝐴𝐷= 𝐴𝐸= 𝐴𝐹，结合∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹𝐴𝐷，证明：△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐹即可．
（2）根据∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 40°，结合𝐴𝐷= 𝐴𝐸= 𝐴𝐹，可得∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷=
180°−40°
2
= 70°，结合
𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，可得∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°．根据∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐴𝐷𝐸计算即可．
【详解】（1）证明：根据以点A 圆心，𝐴𝐷长为半径画弧，与𝐴𝐵,𝐴𝐶分别交于点E，F，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹𝐴𝐷，
在△𝐴𝐷𝐸和△𝐴𝐷𝐹中，
∵
𝐴𝐸= 𝐴𝐹
∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹𝐴𝐷
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹．
（2）解：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 40°，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷=
180°−40°
2
= 70°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°．
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐴𝐷𝐸= 20°．
【变式2-2】如图，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，若𝐵𝐷= 𝐶𝐷，𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
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(1)求证：𝐷𝐸= 𝐷𝐹；
(2)已知𝐴𝐶= 14，𝐵𝐸= 2，求𝐴𝐵的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，
SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）求出∠𝐸= ∠𝐷𝐹𝐶= 90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt △𝐵𝐸𝐷≌Rt △𝐶𝐹𝐷，推出𝐷𝐸= 𝐷𝐹；
（2）根据全等三角形的性质得出𝐴𝐸= 𝐴𝐹，由线段的和差关系求出答案．
【详解】（1）证明：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐸= ∠𝐷𝐹𝐶= 90°，
在Rt △𝐵𝐸𝐷和Rt △𝐶𝐹𝐷中，
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
𝐵𝐸= 𝐶𝐹
，
∴Rt △𝐵𝐸𝐷≌Rt △𝐶𝐹𝐷(HL)，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹；
（2）解：∵𝐴𝐶= 14，𝐵𝐸= 2，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐶−𝐹𝐶= 𝐴𝐶−𝐵𝐸= 12，
在Rt △𝐴𝐷𝐸和Rt △𝐴𝐷𝐹中，
𝐷𝐸= 𝐷𝐹
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐴𝐷𝐹(HL)
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐹= 12，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸−𝐵𝐸= 10．
【变式2-3】如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角
形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图②，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵是直角，∠𝐵＝60°，𝐴𝐷、𝐶𝐸分别是∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐵𝐶𝐴的平分线，𝐴𝐷、𝐶𝐸相交于
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点F．请你判断并写出𝐹𝐸与𝐹𝐷之间的数量关系；（不需证明）
(2)如图③，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵＝60°，𝐴𝐷、𝐶𝐸分别是∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐵𝐶𝐴的平分线，𝐴𝐷、𝐶𝐸相交于点F，请问，你
在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)图见解析；𝐹𝐸=𝐹𝐷，证明见解析；
(2)成立，证明见解析
【分析】（1）过点𝐹作𝐹𝐺⊥𝐴𝐵于𝐺，作𝐹𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，作𝐹𝐾⊥𝐴𝐶于𝐾，则𝐹𝐺=𝐹𝐻=𝐹𝐾，通过计算得出∠𝐸𝐹𝐺=∠
𝐷𝐹𝐻=15°，从而证明△𝐸𝐹𝐺≌△𝐷𝐹𝐻（ASA），于是得出𝐹𝐸=𝐹𝐷．
（2）过点𝐹作𝐹𝐺⊥𝐴𝐵于𝐺，作𝐹𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，作𝐹𝐾⊥𝐴𝐶于𝐾，则𝐹𝐺=𝐹𝐻=𝐹𝐾，利用∠𝐴𝐹𝐶=90°+
1
2∠𝐵，以及四
边形内角和得到∠𝐸𝐹𝐷=∠𝐴𝐹𝐶=120°，继而得出∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐷𝐹𝐻，从而证明△𝐸𝐹𝐺≌△𝐷𝐹𝐻（ASA），于是得出
𝐹𝐸=𝐹𝐷．
【详解】（1）解：𝐹𝐸=𝐹𝐷，证明过程如下：
证明：如图，过点𝐹作𝐹𝐺⊥𝐴𝐵于𝐺，作𝐹𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，作𝐹𝐾⊥𝐴𝐶于𝐾，则𝐹𝐺=𝐹𝐻=𝐹𝐾，
∵𝐴𝐷、𝐶𝐸分别是∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐵𝐶𝐴的平分线，
∴𝐹𝐺=𝐹𝐻=𝐹𝐾，
∵∠𝐴𝐶𝐵是直角，∠𝐵＝60°，，
∴∠𝐵𝐴𝐶=30°．
又∵𝐴𝐷、𝐶𝐸分别是∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐵𝐶𝐴的平分线，
∴∠𝐹𝐴𝐶=
1
2∠𝐵𝐴𝐶=15°，∠𝐹𝐶𝐴=
1
2∠𝐵𝐶𝐴=45°，
∴∠𝐴𝐹𝐶=180°−∠𝐹𝐴𝐶−∠𝐹𝐶𝐴=180°−15°−45°=120°，
∴∠𝐷𝐹𝐸=∠𝐴𝐹𝐶=180°−∠𝐹𝐴𝐶−∠𝐹𝐶𝐴=180°−15°−45°=120°，
∵∠𝐴𝐶𝐵是直角，𝐹𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，，
∴𝐹𝐻∥𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐹𝐻=∠𝐹𝐴𝐶=15°．
又∵∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐹𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=105°，∠𝐵=60°，∠𝐵𝐺𝐹=90°，
∴∠𝐷𝐹𝐺=360°−∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐵−∠𝐵𝐺𝐹=105°，
∴∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐷𝐹𝐸−∠𝐷𝐹𝐺=15°，
∴∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐷𝐹𝐻=15°．
又∵∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐷𝐹𝐻，𝐹𝐺=𝐹𝐻，∠𝐸𝐺𝐹=∠𝐷𝐻𝐹，
∴△𝐸𝐹𝐺≌△𝐷𝐹𝐻（ASA），
∴𝐹𝐸=𝐹𝐷．
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（2）如图，过点𝐹作𝐹𝐺⊥𝐴𝐵于𝐺，作𝐹𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，作𝐹𝐾⊥𝐴𝐶于𝐾，
∵𝐴𝐷、𝐶𝐸分别是∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐵𝐶𝐴的平分线，
∴𝐹𝐺=𝐹𝐻=𝐹𝐾，
在四边形𝐵𝐺𝐹𝐻中，∠𝐺𝐹𝐻=360°−60°−90°×2=120°，
∵𝐴𝐷、𝐶𝐸分别是∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐵𝐶𝐴的平分线，∠𝐵=60°，
∴∠𝐹𝐴𝐶+∠𝐹𝐶𝐴=
1
2(180°−60°)=60°，
在△𝐴𝐹𝐶中，∠𝐴𝐹𝐶=180°-(∠𝐹𝐴𝐶+∠𝐹𝐶𝐴)=180°−60°=120°，
∴∠𝐸𝐹𝐷=∠𝐴𝐹𝐶=120°，
∴∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐷𝐹𝐻，
又∵∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐷𝐹𝐻，𝐹𝐺=𝐹𝐻，∠𝐸𝐺𝐹=∠𝐷𝐻𝐹，
∴△𝐸𝐹𝐺≌△𝐷𝐹𝐻（ASA），
∴𝐹𝐸=𝐹𝐷．
【题型3 手拉手模型】
【例3】如图，已在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，𝐸𝐶⊥𝐴𝐶，求证：𝐴𝐷= 𝐴𝐸．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据等式的性质得出∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，利用ASA证明
△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸全等解答即可．
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，
即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
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∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，𝐸𝐶⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸= 90°，
在△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐸中，
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(ASA)，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸．
【变式3-1】已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，点𝐶、𝐷、𝐸
三点在同一直线上，连接𝐵𝐷．求证：
(1) 𝐵𝐷= 𝐶𝐸；
(2)𝐵𝐷⊥𝐶𝐸．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，
认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
（1）要证△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，现有𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，需它们的夹角∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，而由∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°
很易证得△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，即可得出𝐵𝐷= 𝐶𝐸．
（2）𝐵𝐷、𝐶𝐸有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，需证
∠𝐵𝐷𝐸= 90°，需证∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐸= 90°可由直角三角形提供．
【详解】（1）证明： ∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(SAS)．
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸；
（2）解：∵△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，
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∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，
∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵=
180°−90°
2
= 45°，∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐶= 45°，
∴∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐵𝐶= 45°，
∴∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
则𝐵𝐷⊥𝐶𝐸．
【变式3-2】如图，D 为△𝐴𝐵𝐶内一点，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，将𝐴𝐷绕着点A 顺时针旋转50°能与线段𝐴𝐸
重合．
(1)求证：𝐸𝐵= 𝐷𝐶；
(2)若∠𝐴𝐷𝐶= 125°，求∠𝐵𝐸𝐷的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠𝐵𝐸𝐷= 60°
【分析】（1）根据将𝐴𝐷绕着点A 顺时针旋转50°能与线段𝐴𝐸重合，得𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸= 50°，通过SAS证
明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐵𝐸，即可证出𝐸𝐵= 𝐶𝐷；
（2）由△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐵𝐸得：∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵= 125°，再根据𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸= 50°，得∠𝐴𝐸𝐷= 65°，即可
求出答案．
【详解】（1）证明：∵将𝐴𝐷绕着点A 顺时针旋转50°能与线段𝐴𝐸重合，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸= 50°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 50°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸，
在△𝐴𝐶𝐷𝐸和△𝐴𝐵𝐸中，
𝐴𝐶= 𝐴𝐵
∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐵𝐸(SAS)，
∴𝐸𝐵= 𝐷𝐶；
（2）解：由△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐵𝐸得：∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵，
∵∠𝐴𝐷𝐶= 125°，
∴∠𝐴𝐸𝐵= 125°，
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∵𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸= 50°，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 65°，
∴∠𝐵𝐸𝐷= 60°．
【变式3-3】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D 是边𝐵𝐶上一点，点E 在𝐴𝐷的右侧，线段𝐴𝐸= 𝐴𝐷，且
∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼．
(1)如图1，若𝛼= 60°，连接𝐶𝐸，𝐷𝐸．则∠𝐴𝐷𝐸的度数为 ；𝐵𝐷与𝐶𝐸的数量关系是 ．
(2)如图2，若𝛼= 90°，连接𝐸𝐶、𝐵𝐸．试判断△𝐵𝐶𝐸的形状，并说明理由．
【答案】(1)60°，𝐵𝐷= 𝐶𝐸
(2) △𝐵𝐶𝐸是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质．
（1）根据题意证明△𝐴𝐷𝐸是等边三角形，再结合等边三角形的性质，即可得∠𝐴𝐷𝐸的度数．根据题意证明
△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，即可得到𝐵𝐷= 𝐶𝐸．
（2）连接𝐷𝐸，根据题意得出△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸是等腰直角三角形，证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，可得
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸，即可证明△𝐵𝐶𝐸是直角三角形．
【详解】（1）解：当∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼= 60°时，
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐷，∠𝐷𝐴𝐸= 60°，
∴△𝐴𝐷𝐸是等边三角形，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 60°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 60°，
∴∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶，
即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
∴在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸．
故答案为：60°，𝐵𝐷= 𝐶𝐸．
（2）△𝐵𝐶𝐸是直角三角形，理由如下：
连接𝐷𝐸，如图所示：
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当∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼= 90°时，且𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐷，
∴ △𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸是等腰直角三角形，有∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 45°，
∴∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐷，
即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
∴在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸= 45°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸= 90°，
∴△𝐵𝐶𝐸是直角三角形．
【题型4 半角模型】
【例4】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷,∠𝐵= ∠𝐷= 90°,∠𝐵𝐴𝐷= 60°,𝐸,𝐹分别是𝐵𝐶,𝐶𝐷上的点，且
∠𝐸𝐴𝐹= 30°．求证：𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长𝐶𝐵至点G，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐺，先证明
△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)，得到𝐴𝐹= 𝐴𝐺,∠1 = ∠3；再证明∠𝐸𝐴𝐺= ∠𝐸𝐴𝐹，进而证明△𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹(SAS)，得
到𝐺𝐸= 𝐹𝐸，则𝐸𝐹= 𝐺𝐸= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐺= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹．
【详解】证明：如图，延长𝐶𝐵至点G，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐺．
在△𝐴𝐵𝐺和△𝐴𝐷𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐴𝐵𝐺= ∠𝐷= 90°
𝐵𝐺= 𝐷𝐹
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∴△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐺,∠1 = ∠3．
∵∠1 + ∠2 = 60°−30° = 30°，
∴∠2 + ∠3 = 30°，
∴∠𝐸𝐴𝐺= ∠𝐸𝐴𝐹．
在△𝐴𝐸𝐺和△𝐴𝐸𝐹中，
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
∠𝐸𝐴𝐺= ∠𝐸𝐴𝐹
𝐴𝐺= 𝐴𝐹
，
∴△𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹(SAS)，
∴𝐺𝐸= 𝐹𝐸，
∴𝐸𝐹= 𝐺𝐸= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐺= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹．
【变式4-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= 120°，𝐸为𝐴𝐵上一点，∠𝐷𝐶𝐸= 60°，∠𝐷𝐴𝐸= 120°，
求证：𝐷𝐸−𝐴𝐷= 𝐵𝐸．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想解决问题．延长𝐸𝐵至点𝐹，
使得𝐵𝐹= 𝐴𝐷，连接𝐶𝐹．由“SAS”定理证明△𝐶𝐵𝐹≌△𝐶𝐴𝐷，再证明△𝐶𝐵𝐹≌△𝐶𝐴𝐷，则𝐹𝐸= 𝐷𝐸，可得结
论．
【详解】证明：延长𝐸𝐵至点𝐹，使𝐵𝐹= 𝐴𝐷，连接𝐶𝐹．
∵𝐶𝐴= 𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= 120°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐴𝐸= (180°−120°) ÷ 2 = 30°，
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∴∠𝐶𝐵𝐹= 180°−∠𝐴𝐵𝐶= 150°，
又∠𝐷𝐴𝐸= 120°
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐸= 150° = ∠𝐶𝐵𝐹，
在△𝐶𝐵𝐹和△𝐶𝐴𝐷中，
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐶𝐴𝐷
𝐵𝐹= 𝐴𝐷
，
∴△𝐶𝐵𝐹≌△𝐶𝐴𝐷(SAS)，
∴𝐶𝐹= 𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐷．
∵∠𝐷𝐶𝐸= 60°，
∴∠𝐹𝐶𝐸= ∠𝐸𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐸𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐷𝐶𝐸= 120°−60° = 60° = ∠𝐷𝐶𝐸．
又∵𝐶𝐸= 𝐶𝐸，
在△𝐶𝐷𝐸和△𝐶𝐸𝐹中，
𝐶𝐷= 𝐶𝐹
∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐸𝐶𝐹
𝐶𝐸= 𝐶𝐸
，
∴△𝐶𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹(SAS)，
∴𝐹𝐸= 𝐷𝐸．
∴𝐷𝐸−𝐴𝐷= 𝐸𝐹−𝐵𝐹= 𝐵𝐸．
【变式4-2】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷是直线𝐵𝐶上一点（不与𝐵、𝐶重合），以𝐴𝐷为一边在𝐴𝐷的右侧作△𝐴𝐷𝐸，
使𝐴𝐸= 𝐴𝐷,𝐵𝐷= 𝐶𝐸．设∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼,∠𝐵𝐶𝐸= 𝛽．
(1)如图1，如果∠𝐵𝐴𝐶= 90°,∠𝐵𝐶𝐸= ___________度；
(2)如图2，你认为𝛼、𝛽之间有怎样的数量关系？并说明理由．
(3)当点𝐷在直线𝐵𝐶上移动时，𝛼、𝛽之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结
论．（B、C、E 三点不共线）
【答案】(1)90；
(2)𝛼+ 𝛽=180°；
(3)图象见详解；𝛼+ 𝛽=180°；
【分析】（1）先证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸（SSS），则可得∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸，根据∠𝐵𝐴𝐶= 90°，可知∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
则∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°；
（2）已知△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，则∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸，则∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐶𝐸，根据∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°，可得∠
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𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°，则𝛼+ 𝛽=180°．
（3）连接𝐴𝐷，作𝐴𝐸使得∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐷𝐸、𝐶𝐸：根据∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷，
∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐷，可得∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，进而可得∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸，则∠𝐵𝐶𝐸= ∠B
𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐴+ ∠𝐵= 180°−∠𝐵𝐴𝐶，由此可证明𝛼、𝛽之间存在数量关系为𝛼+ 𝛽=180°；
【详解】（1）解：在△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
𝐴𝐸= 𝐴𝐷
𝐵𝐷= 𝐶𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸（SSS），
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
故答案为：90；
（2）解：已知△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐶𝐸，
∵∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°，
∴𝛼+ 𝛽=180°．
（3）解：连接𝐴𝐷，作𝐴𝐸使得∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐷𝐸、𝐶𝐸，可得下图：
∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷，
∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸；
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸 (SAS)；
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸；
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠B𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐴+ ∠𝐵= 180°−∠𝐵𝐴𝐶，
∴𝛼、𝛽之间存在数量关系为𝛼+ 𝛽=180°．
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【变式4-3】【基本模型】
如图，𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，∠𝐸𝐴𝐹= 45°，当𝐸在𝐵𝐶边上，𝐹在𝐶𝐷边上时，如图1，𝐵𝐸、𝐷𝐹与𝐸𝐹之间的数量关
系为__________．
【模型运用】当𝐸点在𝐵𝐶的延长线上，𝐹在𝐶𝐷的延长线上时，如图2，请你探究𝐵𝐸、𝐷𝐹与𝐸𝐹之间的数量关
系，并证明你的结论：__________．
【拓展延伸】如图3，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180°，𝐸在线段𝐵𝐶上，𝐹在线段𝐶𝐷上，∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐷，
请你直接写出𝐵𝐸、𝐷𝐹与𝐸𝐹之间的数量关系．
【答案】【基本模型】；𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹【模型运用】：𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐷𝐹，证明见解析；【拓展延伸】：
𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹．
【分析】（1）结论：𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹．将△𝐴𝐷𝐹绕点𝐴顺时针旋转，使𝐴𝐷与𝐴𝐵重合，得到△𝐴𝐵𝐹′，然后求
出∠𝐸𝐴𝐹′ = ∠𝐸𝐴𝐹= 45°，利用“边角边”证明△𝐴𝐸𝐹和△𝐴𝐸𝐹′全等，根据全等三角形对应边相等可得
𝐸𝐹= 𝐸𝐹′，从而得解；
（2）结论：𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐷𝐹，证明方法同法（1）；
（3）结论：𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹．将△𝐴𝐷𝐹绕点𝐴顺时针旋转，使𝐴𝐷与𝐴𝐵重合，得到△𝐴𝐵𝐹′，根据旋转变换的
性质可得△𝐴𝐷𝐹和△𝐴𝐵𝐹′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠𝐵𝐴𝐹′ = ∠𝐷𝐴𝐹，对应边相等可得𝐴𝐹′ = 𝐴𝐹，
𝐵𝐹′ = 𝐷𝐹，对应角相等可得∠𝐴𝐵𝐹′ = ∠𝐷，再根据∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐷证明∠𝐸𝐴𝐹′ = ∠𝐸𝐴𝐹，并证明𝐸、𝐵、𝐹′三点
共线，然后利用“边角边”证明△𝐴𝐸𝐹和△𝐴𝐸𝐹′全等，根据全等三角形对应边相等可得𝐸𝐹′ = 𝐸𝐹，从而得解．
【详解】解：（1）结论：𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹．
理由：如图1，将△𝐴𝐷𝐹绕点𝐴顺时针旋转，使𝐴𝐷与𝐴𝐵重合，得到△𝐴𝐵𝐹′，
则：∠𝐹′𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐹,∠𝐴𝐵𝐹′ = ∠𝐷= 90°，𝐴𝐹= 𝐴𝐹′，𝐵𝐹′ = 𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐵𝐹′ +∠𝐴𝐵𝐶= 180°，即：𝐹′,𝐵,𝐸三点共线，
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∵∠𝐸𝐴𝐹= 45°，
∴∠𝐷𝐴𝐹+ ∠𝐵𝐴𝐸= 90°−∠𝐸𝐴𝐹= 45°，
∴∠𝐵𝐴𝐹′ +∠𝐵𝐴𝐸= 45°，
∴∠𝐸𝐴𝐹′ = ∠𝐸𝐴𝐹= 45°，
在△𝐴𝐸𝐹和△𝐴𝐸𝐹′中，
𝐴𝐹= 𝐴𝐹′
∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐹′
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐸𝐴𝐹(SAS)，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐹′，
又𝐸𝐹′ = 𝐵𝐸+ 𝐵𝐹′，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹．
故答案为：𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹；
（2）结论：𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐷𝐹．
理由：如图2，将△𝐴𝐷𝐹绕点𝐴顺时针旋转，使𝐴𝐷与𝐴𝐵重合，得到△𝐴𝐵𝐹′，
则：𝐵𝐹′ = 𝐷𝐹,𝐴𝐹′ = 𝐴𝐹，
同法（1）可得：△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐸𝐹′(SAS)，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐹′，
又𝐸𝐹′ = 𝐵𝐸−𝐵𝐹′ = 𝐵𝐸−𝐷𝐹，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐷𝐹．
故答案为：𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐷𝐹；
（3）结论：𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹．
理由：如图3，将△𝐴𝐷𝐹绕点𝐴顺时针旋转，使𝐴𝐷与𝐴𝐵重合，得到△𝐴𝐵𝐹′，
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则△𝐴𝐷𝐹≌△𝐴𝐵𝐹′，
∴∠𝐵𝐴𝐹′ = ∠𝐷𝐴𝐹，𝐴𝐹′ = 𝐴𝐹，𝐵𝐹′ = 𝐷𝐹，∠𝐴𝐵𝐹′ = ∠𝐷，
又∵∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹+ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐹′，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐹′，
又∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐹′ +∠𝐴𝐵𝐸= 180°，
∴𝐹′、𝐵、𝐸三点共线，
在△𝐴𝐸𝐹和△𝐴𝐸𝐹′中，
𝐴𝐹= 𝐴𝐹′
∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐹′
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐸𝐹′(SAS)，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐹′，
又∵𝐸𝐹′ = 𝐵𝐸+ 𝐵𝐹′，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹．
【题型5 一线三等角模型】
【例5】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶．
(1)如图1，直线𝑁𝑀过点B，𝐴𝑀⊥𝑀𝑁于点M，𝐶𝑁⊥𝑀𝑁于点N，且∠𝐴𝐵𝐶= 90°，求证：𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑁．
(2)如图2，直线𝑁𝑀过点B，𝐴𝑀交𝑁𝑀于点M，𝐶𝑁交𝑁𝑀于点N，且∠𝐴𝑀𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝑁𝐶，则𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑁
是否成立？请说明理由！
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定和性质综合，利用题目中的已知条件导角，可推导
∠𝐶𝐵𝑁= ∠𝐵𝐴𝑀，最后证明△𝐴𝑀𝐵≌△𝐵𝑁𝐶(AAS)，直接可证．
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（2）利用∠𝐴𝑀𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶及∠𝐴𝐵𝑁是△𝐴𝐵𝑀的外角，可以推出∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝐶𝐵𝑁，再利用AAS可以判定
△𝐴𝑀𝐵≌△𝐵𝑁𝐶(AAS)，再利用全等的性质导边即可证明．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝑀⊥𝑀𝑁于点M，𝐶𝑁⊥𝑀𝑁于点N；
∴∠𝐴𝑀𝐵= ∠𝐵𝑁𝐶= 90°；
∴∠𝑀𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝑀= 90°；
∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝑀+ ∠𝑁𝐵𝐶= 90°；
∴∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝑁𝐵𝐶；
在△𝐴𝐵𝑀和△𝐵𝐶𝑁中，
∠𝐴𝑀𝐵= ∠𝐵𝑁𝐶
∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝑁𝐵𝐶
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∴△𝐴𝐵𝑀≌△𝐵𝐶𝑁(AAS)；
∴𝐴𝑀= 𝐵𝑁，𝐵𝑀= 𝐶𝑁；
∴𝑀𝑁= 𝐵𝑁+ 𝐵𝑀= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑁．
（2）𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑁成立．理由如下：
设∠𝐴𝑀𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝑁𝐶= 𝛼；
∴∠𝐴𝐵𝑀+ ∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐴𝐵𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑁= 180°−𝛼；
∴∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐶𝐵𝑁；
在△𝐴𝐵𝑀和△𝐵𝐶𝑁中；
∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐶𝐵𝑁
∠𝐴𝑀𝐵= ∠𝐵𝑁𝐶
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∴△𝐴𝐵𝑀≌△𝐵𝐶𝑁(AAS)；
∴𝐴𝑀= 𝐵𝑁，𝐵𝑀= 𝐶𝑁；
∴𝑀𝑁= 𝐵𝑁+ 𝐵𝑀= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑁；
故𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑁成立．
【变式5-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸，于点𝐸，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸于点𝐷．△𝐵𝐸𝐶与△𝐶𝐷𝐴
全等吗？请说明理由．
【答案】全等，理由见解析
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【分析】首先证明∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，即可证明△𝐶𝐷𝐴≌△𝐵𝐸𝐶，即可解题．
【详解】全等，理由如下：
∵ 𝐵𝐸⊥𝐶𝐸，𝐸，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵= 90°
∴∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐴= 90°，∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐴= 90°．
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸；
在△𝐵𝐸𝐶和△𝐷𝐴𝐶中，
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶
∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐶𝐷𝐴= 90°
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
∴△𝐵𝐸𝐶≌△𝐷𝐴𝐶(AAS)．
【变式5-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 3，∠𝐵= 40°，点D 在线段𝐵𝐶上运动（点D 不与点B、C 重
合），连接𝐴𝐷，作∠𝐴𝐷𝐸= 40°，𝐷𝐸交线段𝐴𝐶于点E．
(1)当∠𝐵𝐷𝐴= 110°时，∠𝐸𝐷𝐶= ，∠𝐴𝐸𝐷= ．
(2)线段𝐷𝐶的长度为何值时，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸，请说明理由；
(3)在点D 的运动过程中，△𝐴𝐷𝐸的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠𝐵𝐷𝐴的度数；若不可以，请说
明理由．
【答案】(1)30°,70°
(2)当𝐷𝐶= 3时，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸
(3)∠𝐵𝐷𝐴= 110°或80°
【分析】（1）由平角的定义求出∠𝐶𝐷𝐴，进而求出∠𝐶𝐷𝐸的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出
∠𝐷𝐸𝐶，由三角形内角和定理可判断∠𝐵𝐷𝐴的变化；
（2）当𝐷𝐶= 3时，由“ASA”可证△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸；
（3）根据题意进行分类讨论：①当𝐴𝐷= 𝐴𝐸时，不符合题意，舍去；②当𝐴𝐷= 𝐸𝐷时，③当𝐴𝐸= 𝐷𝐸时．
【详解】（1）解：∵∠𝐵𝐷𝐴= 110°，
∴∠𝐶𝐷𝐴= 180°−110° = 70°，
∵∠𝐴𝐷𝐸= 40°，
∴∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐶𝐷𝐴−∠𝐴𝐷𝐸= 70°−40° = 30°，
∵∠𝐶= 40°，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶−∠𝐸𝐷𝐶= 40° + 30° = 70°；
故答案为：30°,70°；
（2）解：当𝐷𝐶= 3时，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸，
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理由如下：
∵∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐷𝐸，∠𝐴𝐷𝐸= 40°，∠𝐵= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐸，
∵𝐴𝐵= 3，
∴𝐴𝐵= 𝐷𝐶，
∵∠𝐵= ∠𝐶，𝐴𝐵= 𝐷𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸(ASA)；
（3）解：①当𝐴𝐷= 𝐴𝐸时，
∵∠𝐴𝐷𝐸= 40°，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 40°，
∵∠𝐴𝐶𝐷= 40°，
∴点E 和点C 重合，不符合题意；
②当𝐴𝐷= 𝐸𝐷时，
∵∠𝐴𝐷𝐸= 40°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐸𝐴=
1
2(180°−40°) = 70°，
∵∠𝐵= ∠𝐶= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−2 × 40° = 100°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐸= 30°，
∴∠𝐵𝐷𝐴= 180°−∠𝐵−∠𝐵𝐴𝐷= 180°−40°−30° = 110°；
③当𝐴𝐸= 𝐷𝐸时，
∵∠𝐴𝐷𝐸= 40°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 40°，
∵∠𝐶= 40°，
∴∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐸= 40° + 40° = 80°．
综上：∠𝐵𝐷𝐴= 110°或80°．
【变式5-3】已知，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷，𝐴，𝐸三点都在直线m上，且𝐷𝐸= 9𝑐𝑚，∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶．
(1)如图①，若𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，则𝐵𝐷与𝐴𝐸的数量关系为 ___________，𝐶𝐸与𝐴𝐷的数量关系为 ___________；
(2)如图②，判断并说明线段𝐵𝐷，𝐶𝐸与𝐷𝐸的数量关系；
(3)如图③，若只保持∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶，𝐵𝐷= 𝐸𝐹= 7cm，𝐷𝐸= 9cm，点A 在线段𝐷𝐸上以2cm/s的速度由点D
向点E 运动，同时，点C 在线段𝐸𝐹上以𝑥cm/s的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时间为t（s）．是否
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存在x，使得△𝐴𝐵𝐷与△𝐸𝐴𝐶全等？若存在，求出相应的t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)𝐵𝐷= 𝐴𝐸，𝐶𝐸= 𝐴𝐷
(2)𝐷𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸
(3)𝑡= 1，𝑥= 2或𝑡=
9
4,𝑥=
28
9
【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐴𝐵𝐷，再利用𝐴𝐴𝑆证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，得
𝐵𝐷＝𝐴𝐸，𝐶𝐸＝𝐴𝐷；
（2）由（1）同理可得△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，得𝐵𝐷= 𝐴𝐸，𝐶𝐸= 𝐴𝐷，可得答案；
（3）分△𝐷𝐴𝐵≌△𝐸𝐶𝐴或△𝐷𝐴𝐵≌△𝐸𝐴𝐶两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．
【详解】（1）解：∵∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐴𝐵𝐷，
∵∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶，𝐵𝐴= 𝐶𝐴，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸（𝐴𝐴𝑆），
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸，𝐶𝐸= 𝐴𝐷，
故答案为：𝐵𝐷= 𝐴𝐸，𝐶𝐸= 𝐴𝐷；
（2）𝐷𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸，
由（1）同理可得△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸（𝐴𝐴𝑆），
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸，𝐶𝐸= 𝐴𝐷，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸；
（3）存在，当△𝐷𝐴𝐵≌△𝐸𝐶𝐴时，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐸= 2𝑐𝑚,𝐵𝐷= 𝐴𝐸= 7𝑐𝑚，
∴𝑡= 1，此时𝑥= 2；
当△𝐷𝐴𝐵≌△𝐸𝐴𝐶时，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸= 4.5𝑐𝑚,𝐷𝐵= 𝐸𝐶= 7𝑐𝑚,
∴𝑡=
𝐴𝐷
2 =
9
4，𝑥= 7 ÷
9
4 =
28
9 ，
综上：𝑡= 1，𝑥= 2或𝑡=
9
4,𝑥=
28
9 ．
【题型6 倍长中线模型】
【例6】如图，在△𝐴𝐵𝐶中．𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，交𝐵𝐶于点𝐷．
(1)如下图，延长𝐴𝐷到点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸． 求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐵𝐷．
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(2)如下图，若∠𝐵𝐴𝐶= 90°，试探究𝐴𝐷与𝐵𝐶有何数量关系，并说明理由．
(3)如下图，若𝐶𝐸是边𝐴𝐵上的中线，且𝐶𝐸交𝐴𝐷于点𝑂． 请你猜想线段𝐴𝑂与𝑂𝐷之间的数量关系，并说明理
由．
【答案】(1)见解析；
(2)𝐴𝐷=
1
2𝐵𝐶，理由见解析；
(3)𝐴𝑂= 2𝑂𝐷，理由见解析．
【分析】（1）利用SAS可得△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐵𝐷；
（2）延长𝐴𝐷到点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸，先根据△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐵𝐷证得∠𝐶= ∠𝐶𝐵𝐸，𝐴𝐶= 𝐵𝐸，进而得到
𝐴𝐶∥𝐸𝐵，𝐴𝐷=
1
2𝐴𝐸；再证得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐸(SAS)利用全等三角形全等的性质即可；
（3）延长𝑂𝐸到点𝑀，使𝐸𝑀= 𝑂𝐸，连接𝐴𝑀．延长𝑂𝐷到点𝑁，使𝐷𝑁= 𝑂𝐷，连接𝐵𝑀，𝐵𝑁，𝐵𝑂，证得
△𝑀𝑂𝐵≌△𝑁𝐵𝑂(ASA)可得𝑀𝐵= 𝑁𝑂，进而得到𝐴𝑂= 2𝑂𝐷，
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）证明：在△𝐴𝐶𝐷和△𝐸𝐵𝐷中，
𝐷𝐴= 𝐷𝐸
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐷𝐵
𝐷𝐶= 𝐷𝐵
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐵𝐷(SAS)；
（2）解：𝐴𝐷=
1
2𝐵𝐶，理由如下：
延长𝐴𝐷到点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸，如图
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由（1）得△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐵𝐷，
∴∠𝐶= ∠𝐶𝐵𝐸，𝐴𝐶= 𝐵𝐸
∴𝐴𝐶∥𝐸𝐵， 𝐴𝐷=
1
2𝐴𝐸
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐸= 180°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐸
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐴𝐸中
𝐴𝐶= 𝐵𝐸
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐸
𝐴𝐵= 𝐴𝐵
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐸(SAS)
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐸，
∴𝐴𝐷=
1
2𝐵𝐶；
（3）𝐴𝑂= 2𝑂𝐷，理由如下：
延长𝑂𝐸到点𝑀，使𝐸𝑀= 𝑂𝐸，连接𝐴𝑀．延长𝑂𝐷到点𝑁，使𝐷𝑁= 𝑂𝐷，连接𝐵𝑀，𝐵𝑁，𝐵𝑂，如图，
由（1）得△𝐴𝑂𝐸≌△𝐵𝑀𝐸，△𝑂𝐷𝐶≌△𝑁𝐷𝐵，
∴∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝐵𝑀𝐸，∠𝑂𝐶𝐷= ∠𝑁𝐵𝐷，𝐴𝑂= 𝐵𝑀，
∴𝐴𝑂∥𝐵𝑀，𝑂𝐶∥𝑁𝐵，
∴∠𝑀𝐵𝑂= ∠𝐵𝑂𝑁 ，∠𝑀𝑂𝐵= ∠𝑁𝐵𝑂
在△𝑀𝑂𝐵和△𝑁𝐵𝑂中，
∠𝑀𝐵𝑂= ∠𝐵𝑂𝑁
𝑂𝐵= 𝑂𝐵
∠𝑀𝑂𝐵= ∠𝑁𝐵𝑂
，
∴△𝑀𝑂𝐵≌△𝑁𝐵𝑂(ASA)
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∴𝑀𝐵= 𝑁𝑂，
∴𝐴𝑂= 2𝑂𝐷．
【变式6-1】如图1，在△𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵> 𝐴𝐶)中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐷𝐶的周长之差为2cm，
且𝐴𝐵的长是8cm．
(1)求𝐴𝐶的长；
(2)求𝐴𝐷长度的取值范围；
(3)若∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐸是𝐴𝐷的中点，如图2，直接写出△𝐶𝐷𝐸的面积．
【答案】(1)𝐴𝐶= 6
(2)1 < 𝐴𝐷< 7
(3)6
【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，全等三角形的性质与判定；
（1）根据三角形的中线的性质，得出𝐵𝐷= 𝐶𝐷，根据题意得出𝐴𝐵−𝐴𝐶= 2，即可求解；
（2）倍长中线，延长𝐴𝐷至𝐸，使得𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐶𝐸，证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐷，得出𝐸𝐶= 𝐴𝐵= 8，𝐴𝐷=
1
2
𝐴𝐸，进而根据三角形的三边关系，即可求解．
（3）根据三角形的面积公式求得𝑆△𝐴𝐵𝐶= 24，进而根据三角形的中线的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵𝐷是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，
∵△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐷𝐶的周长之差为2cm，
∴𝐴𝐵−𝐴𝐶= 2，
∵𝐴𝐵的长是8cm．
∴𝐴𝐶= 6；
（2）解：如图所示，延长𝐴𝐷至𝐸，使得𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐶𝐸，
∵𝐷是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，
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又∵∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐸𝐷𝐶,𝐷𝐸= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐷
∴𝐸𝐶= 𝐴𝐵= 8，
在△𝐴𝐸𝐶中，𝐴𝐶+ 𝐶𝐸< 𝐴𝐸< 𝐸𝐶−𝐴𝐶，即8−6 < 𝐴𝐸< 8 + 6
∵𝐴𝐷=
1
2𝐴𝐸，
∴1 < 𝐴𝐷< 7
（3）解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 8,𝐴𝐶= 6
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 8 × 6 = 24
∵𝐷是𝐵𝐶的中点，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶= 12，
∵𝐸是𝐴𝐷的中点，
∴𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2𝑆△𝐴𝐷𝐶= 6．
【变式6-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶边于点D，点E 是𝐵𝐶边的中点，线段𝐸𝐹∥𝐴𝐷交线段𝐴𝐵
于点G，交线段𝐶𝐴的延长线于点F．
(1)若𝐶𝐹= 6，𝐴𝐺= 2，求𝐴𝐶的长．
(2)求证：𝐵𝐺= 𝐶𝐹．
【答案】(1)4
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质求出∠𝐹= ∠𝐹𝐺𝐴，可得𝐴𝐺= 𝐴𝐹，然后进行计算即可；
（2）作𝐶𝑀∥𝐴𝐵交𝐹𝐸的延长线于M，证明△𝐵𝐸𝐺≌△𝐶𝐸𝑀(ASA)，可得𝐵𝐺= 𝐶𝑀，根据平行线的性质求出
∠𝐹= ∠𝑀，可得𝐶𝐹= 𝐶𝑀，等量代换可得结论．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶，
∵𝐴𝐷∥𝐸𝐹，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐹，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐹𝐺𝐴，
∴∠𝐹= ∠𝐹𝐺𝐴，
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐹，
∵𝐶𝐹= 6，𝐴𝐺= 2，
∴𝐴𝐶= 𝐶𝐹−𝐴𝐹= 𝐶𝐹−𝐴𝐺= 6−2 = 4；
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（2）解：如图，作𝐶𝑀∥𝐴𝐵交𝐹𝐸的延长线于M．
∵𝐵𝐺∥𝐶𝑀，
∴∠𝐵= ∠𝑀𝐶𝐸，
∵E 是𝐵𝐶中点，
∴𝐵𝐸= 𝐸𝐶，
在△𝐵𝐸𝐺和△𝐶𝐸𝑀中，
∠𝐵= ∠𝑀𝐶𝐸
𝐵𝐸= 𝐸𝐶
∠𝐵𝐸𝐺= ∠𝑀𝐸𝐶
，
∴△𝐵𝐸𝐺≌△𝐶𝐸𝑀(ASA)，
∴𝐵𝐺= 𝐶𝑀，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝑀，
∴∠𝐹𝐺𝐴= ∠𝑀，
由（1）可知∠𝐹= ∠𝐹𝐺𝐴，
∴∠𝐹= ∠𝑀，
∴𝐶𝐹= 𝐶𝑀，
∴𝐵𝐺= 𝐶𝐹．
【变式6-3】八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵= 9，𝐴𝐶= 5，求𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷的取值范围．小红在组内经过合作交流，得到
了如下的解决方法：延长𝐴𝐷到点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，请根据小红的方法思考作答：
(1)由已知和作图能得到△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵的理由是______；
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
(2)求得𝐴𝐷的取值范围是______；
A．5 < 𝐴𝐷< 9 B．5 ≤𝐴𝐷≤9 C．2 < 𝐴𝐷< 7 D．2 ≤𝐴𝐷≤7
(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所
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第 44 页 共 74 页
求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．
如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐸在𝐵𝐶上，且𝐷𝐸= 𝐷𝐶，过𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，且𝐸𝐹= 𝐴𝐶．求证：𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶．
【答案】(1)B
(2)C
(3)证明见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和
性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定定理去选择即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可；
（3）由“SAS”可证△𝐸𝐹𝐷≌△𝐶𝑀𝐷，可得𝐸𝐹= 𝐷𝑀，∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝑀，由平行线的性质和等腰三角形的性质可
证∠𝑀= ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝑀，可得𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶．
【详解】（1）解：延长𝐴𝐷到点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，
∵𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
在△𝐴𝐷𝐶和△𝐸𝐷𝐵中，
𝐶𝐷= 𝐵𝐷
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸
𝐴𝐷= 𝐷𝐸
，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵(SAS)，
故选：B．
（2）解：∵△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵，
∴𝐴𝐶= 𝐸𝐵，
∵𝐴𝐵= 9，𝐴𝐶= 5，𝐴𝐵−𝐵𝐸< 𝐴𝐸< 𝐴𝐵+ 𝐵𝐸，
∴4 < 2𝐴𝐷< 14，
∴2 < 𝐴𝐷< 7，
故选：C；
（3）证明：如图，延长𝐴𝐷至𝑀，使𝐷𝑀= 𝐷𝐹，连接𝐶𝑀，
∵𝐷𝐸= 𝐷𝐶，∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐶𝐷𝑀，𝐷𝐹= 𝐷𝑀，
∴△𝐸𝐹𝐷≌△𝐶𝑀𝐷(SAS)，
∴𝐸𝐹= 𝐷𝑀，∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝑀，
∴𝐸𝐹∥𝐶𝑀，
∵𝐸𝐹∥𝐴𝐵，
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第 45 页 共 74 页
∴𝐶𝑀∥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝑀，
∵𝐸𝐹= 𝐴𝐶，
∴𝐸𝐹= 𝐷𝑀= 𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝑀，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝑀，
∴𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶．
【题型7 截长补短模型】
【例7】阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条
线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在
△𝐴𝐵𝐶中，交𝐵𝐶于点D，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，且∠𝐵= 2∠𝐶．
(1)为了证明结论“𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐶”，小亮在AC 上截取𝐴𝐸，使得𝐴𝐸= 𝐴𝐵，解答了这个问题，请按照小亮的
思路写证明过程；
(2)如图2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，已知∠𝐵𝐴𝐷= 58°，∠𝐷= 109°，∠𝐴𝐶𝐷= 42°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，𝐴𝐷= 10，
𝐶𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸𝐵= 3，求𝐴𝐵的长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）在𝐴𝐶上截取𝐴𝐸，使得𝐴𝐸= 𝐴𝐵，连接𝐷𝐸，根据角平分线的定义可得∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶，再利用SAS证明
△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐷，从而可得∠𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷，𝐵𝐷= 𝐷𝐸，进而可得∠𝐴𝐸𝐷= 2∠𝐶，然后利用三角形的外角性质可
得∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶+ ∠𝐸𝐷𝐶，从而可得∠𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶，进而可得𝐷𝐸= 𝐶𝐸，再根据等量代换可得𝐵𝐷= 𝐸𝐶，最后利
用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）在𝐴𝐸上截取𝐴𝐹= 𝐴𝐷，连接𝐶𝐷，先利用三角形内角和定理可得∠𝐷𝐴𝐶= 29°，从而可得
∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐹𝐴𝐶= 29°，再利用SAS证明△𝐷𝐴𝐶≌△𝐹𝐴𝐶，从而可得∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐷= 109°，进而可得
∠𝐶𝐹𝐸= 71°，然后利用三角形内角和定理可得∠𝐵= ∠𝐶𝐹𝐸= 71°，从而可得𝐶𝐹= 𝐵𝐶，再利用等腰三角形的
三线合一性质可得𝐵𝐹= 2𝐵𝐸= 6，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：证明：在𝐴𝐶上截取𝐴𝐸，使得𝐴𝐸= 𝐴𝐵，
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第 46 页 共 74 页
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐷(SAS)，
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷，𝐵𝐷= 𝐷𝐸，
∵∠𝐵= 2∠𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 2∠𝐶，
∵∠𝐴𝐸𝐷是△𝐷𝐸𝐶的一个外角，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶+ ∠𝐸𝐷𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐷= 𝐸𝐶，
∵𝐴𝐸+ 𝐸𝐶= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐶；
（2）在𝐴𝐸上截取𝐴𝐹= 𝐴𝐷，连接𝐶𝐹，
∵∠𝐷= 109°，∠𝐴𝐶𝐷= 42°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 180°−∠𝐷−∠𝐴𝐶𝐷= 29°，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 58°，
∴∠𝐹𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐷𝐴𝐶= 29°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐹𝐴𝐶= 29°，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐶，
∴△𝐷𝐴𝐶≌△𝐹𝐴𝐶(SAS)，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐷= 109°，
∴∠𝐶𝐹𝐸= 180°−∠𝐴𝐹𝐶= 71°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 80°，∠𝐹𝐴𝐶= 29°，
∴∠𝐵= 180°−∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐹𝐴𝐶= 71°，
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐹𝐸，
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐶，
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∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐵𝐹= 2𝐵𝐸= 6，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐹+ 𝐵𝐹= 10 + 6 = 16，
∴𝐴𝐵的长为16．
【变式7-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 60°，△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐴𝐷、𝐶𝐸相交于点O，求证：
𝐴𝐸+ 𝐶𝐷= 𝐴𝐶．
【答案】证明见解析
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到∠𝐴𝑂𝐶= 120°，∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝐶𝑂𝐷= 60°，在𝐴𝐶上截
取𝐴𝐹= 𝐴𝐸，连接𝑂𝐹，分别证明△𝐴𝑂𝐸≌△𝐴𝑂𝐹(SAS)，△𝐶𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐹(ASA)，得到𝐶𝐷= 𝐶𝐹，即可证明
结论．
【详解】证明：∵∠𝐵= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐵= 120°，
∵ 𝐴𝐷、𝐶𝐸分别平分∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝑂𝐴𝐵=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝑂𝐶𝐴= ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑂𝐴𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐴=
1
2∠𝐵𝐴𝐶+
1
2∠𝐴𝐶𝐵=
1
2(∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 60°，
∴∠𝐴𝑂𝐶= 120°，
∴∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝐶𝑂𝐷= 180°−∠𝐴𝑂𝐶= 60°，
如图，在𝐴𝐶上截取𝐴𝐹= 𝐴𝐸，连接𝑂𝐹，
在△𝐴𝑂𝐸和△𝐴𝑂𝐹中，
𝐴𝐸= 𝐴𝐹
∠𝑂𝐴𝐸= ∠𝑂𝐴𝐹
𝐴𝑂= 𝐴𝑂
，
∴△𝐴𝑂𝐸≌△𝐴𝑂𝐹(SAS)，
∴∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝐴𝑂𝐹= 60°，
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∴∠𝐶𝑂𝐹= ∠𝐴𝑂𝐶−∠𝐴𝑂𝐹= 120°−60° = 60°，
∵∠𝐶𝑂𝐷= 60°，
∴∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐹，
在△𝐶𝑂𝐷和△𝐶𝑂𝐹中，
∠𝑂𝐶𝐷= ∠𝑂𝐶𝐹
𝐶𝑂= 𝐶𝑂
∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐹
，
∴△𝐶𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐹(ASA)，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐹，
∵𝐴𝐹= 𝐴𝐸，
∴𝐴𝐹+ 𝐶𝐹= 𝐴𝐸+ 𝐶𝐷= 𝐴𝐶．
【变式7-2】综合与实践
问题提出
如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，交𝐵𝐶于点D，且∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐵，则𝐴𝐵，𝐶𝐷，𝐴𝐶之间存在怎样的数量
关系？并说明理由．
方法运用
（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长𝐴𝐶至点E，使得𝐴𝐸= 𝐴𝐵，连接
𝐷𝐸，……，请判断𝐴𝐵，𝐶𝐷，𝐴𝐶之间的数量关系并补充完整解题过程．
（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在𝐴𝐵上截取线段构造全等三角形来解
题．如图3，在线段𝐴𝐵上截取𝐴𝐵，使得𝐴𝐹= ①______，连接②______．请补全空格，并在图3 中画出辅
助线．
延伸探究
（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，
𝐸𝐴= 𝐸𝐷，𝐴𝐵+ 𝐷𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴+ ∠𝐷= 180°，若∠𝐵𝐶𝐷= 120°，求∠𝐵𝐶𝐸的度数．
【答案】（1）𝐴𝐵= 𝐶𝐷+ 𝐴𝐶，见解析
（2）①AC ②DF，见解析
（3）60°
【分析】（1）利用SAS证明△𝐵𝐴𝐷≌△𝐸𝐴𝐷，得出∠𝐵= ∠𝐸，从而证得∠𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，所以𝐶𝐷= 𝐶𝐸，即可得
出结论𝐴𝐵= 𝐶𝐷+ 𝐴𝐶；
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（2）根据语言描述作出图形即可；
（3）延长𝐵𝐴至点G，使𝐴𝐺= 𝐷𝐶，连接𝐵𝐸，利用SAS证明△𝐴𝐺𝐸≌△𝐷𝐶𝐸，得出∠𝐺= ∠𝐸𝐶𝐷，𝐸𝐺= 𝐸𝐶，
从而可证得𝐵𝐺= 𝐵𝐶．即可利用SSS证明△𝐺𝐸𝐵≌△𝐶𝐸𝐵，得出∠𝐺= ∠𝐸𝐶𝐵，即可由∠𝐵𝐶𝐸=
1
2∠𝐵𝐶𝐷求解．
【详解】（1）𝐴𝐵= 𝐶𝐷+ 𝐴𝐶．
理由：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷．
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐸𝐴𝐷，
∴∠𝐵= ∠𝐸．
∵∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐸．
又∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸+ ∠𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐸．
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐸，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐷+ 𝐴𝐶．
（2）①AC ②DF．
辅助线如图1 所示．
（3）如图2，延长𝐵𝐴至点G，使𝐴𝐺= 𝐷𝐶，连接𝐵𝐸，𝐺𝐸．
∵∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷= 180°，∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐺𝐴𝐸= 180°，
∴∠𝐷= ∠𝐺𝐴𝐸．
∵𝐴𝐸= 𝐷𝐸，∠𝐷= ∠𝐺𝐴𝐸，𝐴𝐺= 𝐷𝐶，
∴△𝐴𝐺𝐸≌△𝐷𝐶𝐸，
∴∠𝐺= ∠𝐸𝐶𝐷，𝐸𝐺= 𝐸𝐶．
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∵𝐴𝐵+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐶，
∴𝐵𝐺= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐺= 𝐵𝐶．
又∵𝐵𝐸= 𝐵𝐸，𝐸𝐺= 𝐸𝐶，
∴△𝐺𝐸𝐵≌△𝐶𝐸𝐵，
∴∠𝐺= ∠𝐸𝐶𝐵．
又∵∠𝐺= ∠𝐸𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐸=
1
2∠𝐵𝐶𝐷=
1
2 × 120° = 60°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式7-3】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴+ ∠𝐶= 180°．求
证：𝐷𝐴= 𝐷𝐶．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在𝐵𝐶上截取𝐵𝑀= 𝐵𝐴，连接𝐷𝑀，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长𝐵𝐴到点𝑁，使得𝐵𝑁= 𝐵𝐶，连接𝐷𝑁，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1 和方法2 中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接𝐴𝐶，当∠𝐷𝐴𝐶= 60°时，探究线段𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐵𝐷之间的数
量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴+ ∠𝐶= 180°，𝐷𝐴= 𝐷𝐶，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为点𝐸，
请写出线段𝐴𝐵、𝐶𝐸、𝐵𝐶之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 𝐵𝐷，见解析；（3）𝐵𝐶−𝐴𝐵= 2𝐶𝐸，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；
（1）方法1：在𝐵𝐶上截取𝐵𝑀= 𝐵𝐴，连接𝐷𝑀，证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝑀𝐵𝐷(SAS)，得出∠𝐴= ∠𝐵𝑀𝐷，𝐴𝐷= 𝑀𝐷，
进而得出∠𝐶= ∠𝐶𝑀𝐷，则𝐷𝑀= 𝐷𝐶，等量代换即可得证；方法2：延长𝐴𝐵到𝑁，使𝐵𝑁= 𝐵𝐶，连接𝐷𝑁，证
明△𝑁𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷(SAS)，得出∠𝐵𝑁𝐷= ∠𝐶，𝑁𝐷= 𝐶𝐷，进而得出∠𝐵𝑁𝐷= ∠𝑁𝐴𝐷，则𝐷𝑁= 𝐷𝐴，等量代换
即可得证
（2）𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐵𝐷之间的数量关系为𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 𝐵𝐷．方法1：在𝐵𝐷上截取𝐵𝐹= 𝐴𝐵，连接𝐴𝐹，由(1)知
∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，得出△𝐴𝐵𝐹，△𝐴𝐷𝐶为等边三角形，证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐹𝐷(SAS)，得出𝐷𝐹= 𝐵𝐶，
进而即可得证；方法2：延长𝐶𝐵到𝑃，使𝐵𝑃= 𝐵𝐴，连接𝐴𝑃，由(1)知𝐴𝐷= 𝐶𝐷，则△𝐴𝐷𝐶，△𝐴𝐵𝑃是等边
三角形，证明△𝑃𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐷(SAS)，得出𝑃𝐶= 𝐵𝐷，进而即可得证；
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（3）线段𝐴𝐵、𝐶𝐸、𝐵𝐶之间的数量关系为𝐵𝐶−𝐴𝐵= 2𝐶𝐸，连接𝐵𝐷，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，证明
△𝐷𝐹𝐴≌△𝐷𝐸𝐶(AAS)，Rt △𝐵𝐷𝐹≌和Rt △𝐵𝐷𝐸(HL)，得出𝐵𝐹= 𝐵𝐸，进而即可得证．
【详解】解：（1）方法1：在𝐵𝐶上截取𝐵𝑀= 𝐵𝐴，连接𝐷𝑀，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝑀𝐵𝐷中，
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑀𝐵𝐷
𝐵𝐴= 𝐵𝑀
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝑀𝐵𝐷(SAS)，
∴∠𝐴= ∠𝐵𝑀𝐷，𝐴𝐷= 𝑀𝐷，
∵∠𝐵𝑀𝐷+ ∠𝐶𝑀𝐷= 180°，∠𝐶+ ∠𝐴= 180°，
∴∠𝐶= ∠𝐶𝑀𝐷，
∴𝐷𝑀= 𝐷𝐶，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐶；
方法2：延长𝐴𝐵到𝑁，使𝐵𝑁= 𝐵𝐶，连接𝐷𝑁，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝑁𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，
在△𝑁𝐵𝐷和△𝐶𝐵𝐷中，
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
∠𝑁𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷
𝐵𝑁= 𝐵𝐶
，
∴△𝑁𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷(SAS)，
∴∠𝐵𝑁𝐷= ∠𝐶，𝑁𝐷= 𝐶𝐷，
∵∠𝑁𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180°，∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180°，
∴∠𝐵𝑁𝐷= ∠𝑁𝐴𝐷，
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∴𝐷𝑁= 𝐷𝐴，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐶；
（2）𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐵𝐷之间的数量关系为𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 𝐵𝐷．
方法1：理由如下：
如图2，在𝐵𝐷上截取𝐵𝐹= 𝐴𝐵，连接𝐴𝐹，
由（1）知∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐶= 180°，
∵∠𝐷𝐴𝐶= 60°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 120°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐶= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐹为等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐹= 𝐵𝐹，∠𝐵𝐴𝐹= 60°，
∵𝐴𝐷= 𝐷𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐶为等边三角形，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐶，∠𝐷𝐴𝐶= 60°，
∴∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐹𝐷(SAS)，
∴𝐷𝐹= 𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐹+ 𝐷𝐹= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶．
方法2：理由：延长𝐶𝐵到𝑃，使𝐵𝑃= 𝐵𝐴，连接𝐴𝑃，
由（1）知𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∵∠𝐷𝐴𝐶= 60°，
∴△𝐴𝐷𝐶是等边三角形，
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∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐶= 60°，
∵∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 360°−180°−60° = 120°，
∴∠𝑃𝐵𝐴= 180°−∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∵𝐵𝑃= 𝐵𝐴，
∴△𝐴𝐵𝑃为等边三角形，
∴∠𝑃𝐴𝐵= 60°，𝐴𝐵= 𝐴𝑃，
∵∠𝐷𝐴𝐶= 60°，
∴∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶，
即∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷，
在△𝑃𝐴𝐶和△𝐵𝐴𝐷中，
𝑃𝐴= 𝐵𝐴
∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷
𝐴𝐶= 𝐴𝐷
，
∴△𝑃𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐷(SAS)，
∴𝑃𝐶= 𝐵𝐷，
∵𝑃𝐶= 𝐵𝑃+ 𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 𝐵𝐷；
（3）线段𝐴𝐵、𝐶𝐸、𝐵𝐶之间的数量关系为𝐵𝐶−𝐴𝐵= 2𝐶𝐸．
连接𝐵𝐷，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，
∵∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶= 180°，∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐹𝐴𝐷= 180°，
∴∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐶，
在△𝐷𝐹𝐴和△𝐷𝐸𝐶中，
∠𝐷𝐹𝐴= ∠𝐷𝐸𝐶
∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐶
𝐷𝐴= 𝐷𝐶
，
∴△𝐷𝐹𝐴≌△𝐷𝐸𝐶(AAS)，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸，𝐴𝐹= 𝐶𝐸，
在Rt △𝐵𝐷𝐹和Rt △𝐵𝐷𝐸中，
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
𝐷𝐹= 𝐷𝐸
，
∴Rt △𝐵𝐷𝐹≌Rt △𝐵𝐷𝐸(HL)，
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∴𝐵𝐹= 𝐵𝐸，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐵𝐴+ 𝐴𝐹+ 𝐶𝐸= 𝐵𝐴+ 2𝐶𝐸，
∴𝐵𝐶−𝐵𝐴= 2𝐶𝐸．
过关测·稳提升
1．如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐸是𝐴𝐷上一点，𝐵𝐸交𝐴𝐶于𝐹，若𝐸𝐹= 𝐴𝐹，𝐵𝐸= 8，𝐶𝐹= 5，则𝐸𝐹的长度为
（ ）
A．1.5
B．2
C．2.5
D．3
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质,延长𝐴𝐷到𝐺使得𝐷𝐺= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐺，证
明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐺𝐵𝐷(SAS)，根据全等三角形的性质可得到∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐺，等量代换得到𝐵𝐸= 𝐵𝐺= 𝐴𝐶，再由已
知条件即可解决问题；
【详解】如图，延长𝐴𝐷到𝐺使得𝐷𝐺= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐺，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐷，
在△𝐴𝐶𝐷与△𝐺𝐵𝐷中，
𝐶𝐷= 𝐵𝐷
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐺
𝐴𝐷= 𝐷𝐺
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐺𝐵𝐷(SAS)，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐺，
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∵𝐸𝐹= 𝐴𝐹，
∴∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐹𝐸𝐴
又∵∠𝐵𝐸𝐺= ∠𝐴𝐸𝐹
∴∠𝐵𝐸𝐺= ∠𝐹𝐴𝐸
∴∠𝐺= ∠𝐵𝐸𝐺
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐷，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐺，
∵𝐵𝐸= 8，𝐶𝐹= 5
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐹+ 𝐹𝐶= 𝐵𝐸= 8
∴𝐸𝐹= 𝐴𝐹= 3
故选：D．
2．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，点𝑃是对角线𝐴𝐶上一点，𝑃𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，𝑃𝐹⊥𝐶𝐷于点
𝐹，则下列说法一定正确的是（ ）
A．𝑃𝐸= 𝑃𝐹
B．𝑃𝐹= 𝐷𝐹
C．∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷
D．𝑃𝐶= 𝐷𝐹
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶(SSS)，根据全等三角形的性质及题目中
的条件对各选项逐一判断即可．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
𝐶𝐵= 𝐶𝐷
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶(SSS)，
∴∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐷𝐶𝐴，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷，
∴选项C 不正确；
∵𝑃𝐸⊥𝐵𝐶，𝑃𝐹⊥𝐶𝐷，
∴𝑃𝐸= 𝑃𝐹，故选项A 正确，选项B 不正确；
而由题目中的条件无法判断𝑃𝐶= 𝐷𝐹是否成立，故选项D 不正确．
故选：A．
3．如图，𝐸𝐵交𝐴𝐶于点𝑀，交𝐹𝐶于点𝐷，∠𝐸= ∠𝐹= 90°，∠𝐵= ∠𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，给出下列结论：①∠1 = ∠2；
②𝐵𝐸= 𝐶𝐹；③△𝐴𝐶𝑁≌△𝐴𝐵𝑀；④𝐶𝐷= 𝐷𝑁，其中正确的有（ ）
预习讲义 第10 讲 全等三角形常见的七大几何模型（解析版）
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A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明△𝐴𝐸𝐵≌△𝐴𝑁𝐶(AAS)得出∠𝐸𝐴𝐵= ∠𝐹𝐴𝐶，𝐵𝐸= 𝐶𝐹即
可判断①②；证明△𝐴𝐶𝑁≌△𝐴𝐵𝑀(ASA)即可判断③；证明△𝐶𝐷𝑀≌△𝐵𝐷𝑁(AAS)得出𝐶𝐷= 𝐷𝐵，即可判
断④，从而得出答案．
【详解】解：∵ ∠𝐸= ∠𝐹= 90°，∠𝐵= ∠𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴△𝐴𝐸𝐵≌△𝐴𝑁𝐶(AAS)，
∴∠𝐸𝐴𝐵= ∠𝐹𝐴𝐶，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，故②正确，符合题意；
∴∠𝐸𝐴𝐵−∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐹𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐵，即∠1 = ∠2，故①正确，符合题意；
∵△𝐴𝐸𝐵≌△𝐴𝑁𝐶(AAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵，
∵∠𝐵= ∠𝐶，∠𝐶𝐴𝑁= ∠𝐵𝐴𝑀，
∴△𝐴𝐶𝑁≌△𝐴𝐵𝑀(ASA)，故③正确，符合题意；
∵△𝐴𝐶𝑁≌△𝐴𝐵𝑀(ASA)，
∴𝐴𝑀= 𝐴𝑁，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐵，
∴𝐴𝐶−𝐴𝑀= 𝐴𝐵−𝐴𝑁，
∴𝑀𝐶= 𝑁𝐵，
∵∠𝐶= ∠𝐵，∠𝐶𝐷𝑀= ∠𝐵𝐷𝑁，
∴△𝐶𝐷𝑀≌△𝐵𝐷𝑁(AAS)，
∴𝐶𝐷= 𝐷𝐵，
∴𝐶𝐷和𝐷𝑁不一定相等，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①②③，
故选：A．
4．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，𝐵𝐸= 4，𝐷𝐸= 3，𝐶𝐸= 1，则△𝐴𝐵𝐷的
面积是（ ）
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A．4.5
B．6
C．9
D．12
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质
求出𝐴𝐵是解此题的关键．可以过D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，交𝐵𝐴的延长线于F，证明△𝐷𝐵𝐸≌△𝐷𝐵𝐹得出
𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 3，𝐵𝐹= 𝐵𝐸= 4，再证明Rt △𝐶𝐷𝐸≌Rt △𝐴𝐷𝐹，得出𝐴𝐹= 𝐶𝐸= 1，求出𝐴𝐵，求出△𝐴𝐵𝐷的面
积即可．
【详解】解：过D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，交𝐵𝐴的延长线于F，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐷𝐵𝐸，
在△𝐷𝐵𝐸和△𝐷𝐵𝐹中，
∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐷𝐸𝐵= 90°
∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐷𝐵𝐸
𝐷𝐵= 𝐷𝐵
，
∴△𝐷𝐵𝐸≌△𝐷𝐵𝐹
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 3，𝐵𝐹= 𝐵𝐸= 4，
在Rt △𝐶𝐷𝐸和Rt △𝐴𝐷𝐹中𝐴𝐷= 𝐶𝐷
𝐷𝐹= 𝐷𝐸
，
∴Rt △𝐶𝐷𝐸≌Rt △𝐴𝐷𝐹，
∴𝐴𝐹= 𝐶𝐸= 1，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐹−𝐴𝐹= 3
∴△𝐴𝐵𝐷的面积为
1
2 × 3 × 3 = 4.5，
故选：A．
5．如图， 𝐵𝐷是𝛥𝐴𝐵𝐶的角平分线，延长𝐵𝐷至点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，若∠𝐴𝐷𝐵= 60∘，∠𝐵𝐴𝐶= 78∘， 则
∠𝐵𝐸𝐶=
．
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【答案】102°
【分析】在BC 上截取BF＝AB，连DF，如图，先根据SAS 证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB
＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，进而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根据SAS 证明△CDE≌△CDF，再根据全等三
角形的性质即可求出答案．
【详解】解：在BC 上截取BF＝AB，连接DF，如图，
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°，
∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°，
又∵∠EDC＝∠ADB＝60°，
∴∠EDC＝∠FDC，
∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠E=∠DFC=102°；
故答案为：102°．
6．如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，试说明𝐵𝐶= 𝐷𝐸．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，ASA，
ASA，SSS，SAS，HL．证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)，得出𝐵𝐶= 𝐷𝐸即可．
【详解】证明：因为∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
所以∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐸，
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即∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，
因为𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
所以△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)，
所以𝐵𝐶= 𝐷𝐸．
7．在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，点E 在DC 上，AE 平分∠𝐵𝐴𝐷，BE 平分∠𝐴𝐵𝐶
（1）判定△AEB 的形状，并说明理由.
（2）求证：𝐴𝐷+ 𝐵𝐶=𝐴𝐵
【答案】（1）△AEB 为直角三角形，理由见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据平行线性质得出∠DAB+∠ABC=180°，由角平分线得出∠EAB=
1
2∠DAB，∠EBA=
1
2∠ABC，
可得∠EAB+∠ABE=90°，根据三角形内角和定理求出∠AEB=90°，即可得出答案；
（2）在AB 上截取线段AF=AD，连接EF，构建全等三角形△ADE≌△AFE（SAS）、△BFE≌△BCE
（AAS），根据全等三角形的对应边相等得到BC=BF，再利用AB=AF+BF 等量代换即可得证
【详解】（1）解：△AEB 为直角三角形，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AE、BE 分别平分∠BAD、∠ABC，
∴∠EAB=
1
2∠DAB,∠EBA=
1
2∠ABC，
∴∠EAB+∠ABE=
1
2×180°=90°，
∴∠AEB=180°−90°=90°,
∴△AEB 为直角三角形；
(2)证明：如图，在边AB 上截取线段AF=AD，连接EF，
∵AE 平分∠BAD，
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∴∠FAE=∠DAE，
在△ADE 和△AFE 中,
AF=AD
∠FAE= ∠DAE
AE=AE
，
∴△ADE≌△AFE(SAS)，
∴∠AED=∠AEF，
∵AE⊥BE，
∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠BEF，
又∵在△BFE 与△BCE 中,
∠BEF= ∠BEC
∠EBF= ∠EBC
BE=BE
∴△BFE≌△BCE(AAS)，
∴BF=BC，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AD+BC.
8．已知：如图，𝐶𝐴= 𝐶𝐵， 𝐶𝐷= 𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸，求证：∠𝐵𝐺𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理．
由∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸，推导出∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，即可证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，得∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸，即可由
∠𝐵𝐺𝐹= 180°−∠𝐵𝐹𝐺−∠𝐹𝐵𝐺，∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴𝐹𝐶−∠𝐹𝐴𝐶，又∠𝐵𝐹𝐺= ∠𝐴𝐹𝐶，证明∠𝐵𝐺𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵．
【详解】证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐷，即∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐸中，
𝐶𝐴= 𝐶𝐵
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸
𝐶𝐷= 𝐶𝐸
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸，
∵∠𝐵𝐺𝐹= 180°−∠𝐵𝐹𝐺−∠𝐹𝐵𝐺，
∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴𝐹𝐶−∠𝐹𝐴𝐶，
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又∠𝐵𝐹𝐺= ∠𝐴𝐹𝐶，
∴∠𝐵𝐺𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵．
9．（新课标 开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C 在同一条直线上，𝐴𝐸= 𝐶𝐹，𝐴𝐷∥𝐶𝐵，𝐴𝐷= 𝐶𝐵，
求证：△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸．
（2）若将图1 中的△𝐵𝐸𝐶沿𝐶𝐴方向平移得到图2、图3，其他条件不变，△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸还成立吗？为什
么？（选择一种情况说明理由）
【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析
【分析】（1）由𝐴𝐸= 𝐶𝐹可得𝐴𝐸−𝐹𝐸= 𝐶𝐹−𝐸𝐹，于是𝐴𝐹= 𝐶𝐸；由平行线的性质可得∠𝐴= ∠𝐶，再根据两
边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明；
（2）如图3，由𝐴𝐸= 𝐶𝐹可得𝐴𝐸−𝐴𝐶= 𝐶𝐹−𝐴𝐶，于是𝐶𝐸= 𝐴𝐹；由两直线平行内错角相等可得
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐴𝐷，于是可得两角的补角∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐷𝐴𝐹，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
即可证明；
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐸−𝐹𝐸= 𝐶𝐹−𝐸𝐹，
∴𝐴𝐹= 𝐶𝐸，
∵𝐴𝐷∥𝐶𝐵，
∴∠𝐴= ∠𝐶，
在△𝐴𝐷𝐹和△𝐶𝐵𝐸中，
𝐴𝐹= 𝐶𝐸
∠𝐴= ∠𝐶
𝐴𝐷= 𝐶𝐵
∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸(SAS)；
（2）解：△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸仍成立．
理由如下（如题图3）：
∵𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐸−𝐴𝐶= 𝐶𝐹−𝐴𝐶，即𝐶𝐸= 𝐴𝐹，
∵𝐴𝐷∥𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐴𝐷，
∴180°−∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐷𝐴𝐹，
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在△𝐴𝐷𝐹和△𝐶𝐵𝐸中，
𝐴𝐹= 𝐶𝐸
∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐵𝐶𝐸
𝐴𝐷= 𝐶𝐵
∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸(SAS)；
10．如图1，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐷𝐸⊥𝐵𝐷，点C 是𝐵𝐷上一点，且𝐵𝐶= 𝐷𝐸，𝐶𝐷= 𝐴𝐵．
(1)试判断𝐴𝐶与𝐶𝐸的位置关系，并说明理由．
(2)如图2，若把△𝐶𝐷𝐸沿直线BD 向左平移，使△𝐶𝐷𝐸的顶点C 与点B 重合，此时AC 与BE 互相垂直吗？
请说明理由．
【答案】(1)𝐴𝐶⊥𝐶𝐸，理由见解析
(2)𝐴𝐶⊥𝐵𝐸，理由见解析
【分析】（1）证△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸(SAS)，得∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐸．从而得∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，利用三角形的内角
和定理得∠𝐴𝐶𝐸= 90°，从而即可得解．
（2）由全等三角形的性质得∠𝐴= ∠𝐸𝐵𝐷．由∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°得∠𝐸𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，从而即可得证．
【详解】（1）解： 𝐴𝐶⊥𝐶𝐸．理由如下：
∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐷𝐸⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐵= ∠𝐷= 90°．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐶𝐷，
∠𝐵= ∠𝐷，
𝐵𝐶= 𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸(SAS)，
∴∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐸．
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°．
∵∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐸= 180°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 90°，
∴𝐴𝐶⊥𝐶𝐸．
（2）解：𝐴𝐶⊥𝐵𝐸．理由如下：
记题图2 中AC 与BE 的交点为F．
由（1）知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐷𝐸，
∴∠𝐴= ∠𝐸𝐵𝐷．
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∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐸𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐹𝐶= 90°，
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐸．
11．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，
𝑂𝐶= 𝑂𝐷，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷= 90°．回答下列问题：
(1)求证：△𝑂𝐴𝐶和△𝑂𝐵𝐷是兄弟三角形．
(2)取𝐵𝐷的中点𝑃，连接𝑂𝑃，试说明𝐴𝐶= 2𝑂𝑃．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）
倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造△𝐵𝑃𝐸，并证明𝐵𝐸= 𝑂𝐷．
②求证：𝐴𝐶= 2𝑂𝑃．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是
解题的关键．
（1）证出∠𝐴𝑂𝐶+ ∠𝐵𝑂𝐷= 180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长𝑂𝑃至𝐸，使𝑃𝐸= 𝑂𝑃，证明△𝐵𝑃𝐸≌△𝐷𝑃𝑂(SAS)，由全等三角形的性质得出𝐵𝐸= 𝑂𝐷；
②证明△𝐸𝐵𝑂≌△𝐶𝑂𝐴(SAS)，由全等三角形的性质得出𝑂𝐸= 𝐴𝐶，则可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝑂𝐶+ ∠𝐵𝑂𝐷= 360°−∠𝐴𝑂𝐵−∠𝐶𝑂𝐷= 360°−90°−90° = 180°，
又∵𝐴𝑂= 𝑂𝐵，𝑂𝐶= 𝑂𝐷，
∴△𝑂𝐴𝐶和△𝑂𝐵𝐷是兄弟三角形；
（2）证明：①延长𝑂𝑃至𝐸，使𝑃𝐸= 𝑂𝑃，
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∵𝑃为𝐵𝐷的中点，
∴𝐵𝑃= 𝑃𝐷，
在△𝐵𝑃𝐸和△𝐷𝑃𝑂中，
𝑃𝐸= 𝑂𝑃
∠𝐵𝑃𝐸= ∠𝐷𝑃𝑂
𝐵𝑃= 𝑃𝐷
，
∴△𝐵𝑃𝐸≌△𝐷𝑃𝑂(SAS)，
∴𝐵𝐸= 𝑂𝐷；
②∵△𝐵𝑃𝐸≌△𝐷𝑃𝑂，
∴∠𝐸= ∠𝐷𝑂𝑃，
∴𝐵𝐸∥𝑂𝐷，
∴∠𝐸𝐵𝑂+ ∠𝐵𝑂𝐷= 180°，
又∵∠𝐵𝑂𝐷+ ∠𝐴𝑂𝐶= 180°，
∴∠𝐸𝐵𝑂= ∠𝐴𝑂𝐶，
∵𝐵𝐸= 𝑂𝐷，𝑂𝐷= 𝑂𝐶，
∴𝐵𝐸= 𝑂𝐶，
在△𝐸𝐵𝑂和△𝐶𝑂𝐴中，
𝐸𝐵= 𝑂𝐶
∠𝐸𝐵𝑂= ∠𝐴𝑂𝐶
𝑂𝐵= 𝑂𝐴
，
∴△𝐸𝐵𝑂≌△𝐶𝑂𝐴(SAS)，
∴𝑂𝐸= 𝐴𝐶，
又∵𝑂𝐸= 2𝑂𝑃，
∴𝐴𝐶= 2𝑂𝑃．
12．如图，已知Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°,𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷为直线𝐵𝐶上的一动点（点𝐷不与点𝐵、𝐶重合），
以𝐴𝐷为边作Rt △𝐴𝐷𝐸,∠𝐷𝐴𝐸= 90°,𝐴𝐷= 𝐴𝐸，连接𝐶𝐸．
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(1)发现问题：如图①，当点𝐷在边𝐵𝐶上时．
①请写出𝐵𝐷和𝐶𝐸之间的数量关系为 ，位置关系为 ；
②求证：𝐶𝐸+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐶；
(2)尝试探究：如图②，当点𝐷在边𝐵𝐶的延长线上且其他条件不变时，（1）中𝐵𝐶、𝐶𝐸、𝐶𝐷之间存在的数量
关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明．
(3)拓展延伸：如图③，当点𝐷在𝐶𝐵的
延长线上且其他条件不变时，若𝐵𝐶= 6,𝐶𝐸= 2，求线段𝐶𝐷的长．并求△𝐷𝐸𝐵的面积．
【答案】(1)①𝐵𝐷= 𝐶𝐸，𝐵𝐷⊥𝐶𝐸；②见解析
(2)不成立，存在的数量关系为𝐶𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷，理由见解析
(3)𝐶𝐷= 8，𝑆△𝐷𝐸𝐵= 2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用,等腰直角三角形的性质：
（1）①根据条件𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 45°，判定△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，
即可得出𝐵𝐷和𝐶𝐸之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到𝐶𝐸+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐶；
（2）根据已知条件，判定△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，得出𝐵𝐷= 𝐶𝐸，再根据𝐵𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷，即可得到
𝐶𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷；
（3）根据条件判定△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，得出𝐵𝐷= 𝐶𝐸，进而得到𝐶𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐵𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐸，最后根据
𝐵𝐶= 6，𝐶𝐸= 2，即可求得线段𝐶𝐷的长，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质得出𝐸𝐶⊥𝐶𝐷，
进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）①如图1，由题意，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 45°，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸，∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸= 45°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 90°，即𝐵𝐷⊥𝐶𝐸；
故答案为：𝐵𝐷= 𝐶𝐸，𝐵𝐷⊥𝐶𝐸；
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②由①得△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐷；
（2）不成立，存在的数量关系为𝐶𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷．
理由：如图2，由(1)同理可得，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷，
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷；
（3）如图3，由(1)同理可得，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐵𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐸，
∵𝐵𝐶= 6，𝐶𝐸= 2，
∴𝐶𝐷= 6 + 2 = 8．
∵ ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸= 180°−∠𝐴𝐵𝐶= 135°，∠𝐴𝐶𝐵= 45°
∴ ∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸−∠𝐴𝐶𝐵= 90°，即𝐶𝐸⊥𝐷𝐶
∴ 𝑆△𝐷𝐸𝐵=
1
2𝐷𝐵× 𝐶𝐸=
1
2 × 2 × 2 = 2．
13．已知点C 为线段𝐴𝐵上一点，分别以𝐴𝐶，𝐵𝐶为边在线段𝐴𝐵同侧作△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐸，且𝐶𝐴= 𝐶𝐷，
𝐶𝐵= 𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，直线𝐴𝐸与𝐵𝐷交于点F．
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(1)如图1，求证：△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵；
(2)若∠𝐴𝐶𝐷= 60°，则∠𝐴𝐹𝐵= ；
(3)如图2，若∠𝐴𝐶𝐷= 𝑎，则∠𝐴𝐹𝐵= ．（用含a 的式子表示）
【答案】(1)见详解
(2)120°
(3)180°−𝛼
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质等；
（1）由SAS可判定△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵，即可得证；
（2）由全等三角形的性质得∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐷𝐵，由三角形的外角性质得∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐷= 60°，即可求解；
（3）由全等三角形的性质得∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐷𝐵，由三角形的外角性质得∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐷= 𝛼，即可求解；
掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐵，
在△𝐴𝐶𝐸和△𝐷𝐶𝐵中
𝐶𝐴= 𝐶𝐷
∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐵
𝐶𝐸= 𝐶𝐵
，
∴ △𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵（SAS）；
（2）解：∵ ∠𝐴𝐶𝐷= 60°，
∴∠𝐶𝐷𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐷= 60°，
∵ △𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐷𝐵，
∴∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐷= 60°，
∴∠𝐴𝐹𝐵= 180°−(∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐷)
= 120°，
故答案为：120°；
（3）解：∵ ∠𝐴𝐶𝐷= 𝛼，
∴∠𝐶𝐷𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐷= 𝛼，
∵ △𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵，
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∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐷𝐵，
∴∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐷= 𝛼，
∴∠𝐴𝐹𝐵= 180°−(∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐷)
= 180°−𝛼，
故答案为：180°−𝛼．
14．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形𝐴𝐶𝐵𝐷，以𝐷为顶点作∠𝑀𝐷𝑁，交边𝐴𝐶、𝐵𝐶于
𝑀、𝑁．
(1)若∠𝐴𝐶𝐷= 30°，∠𝑀𝐷𝑁= 60°，当∠𝑀𝐷𝑁绕点𝐷旋转时， 𝐴𝑀、𝑀𝑁、𝐵𝑁三条线段之间有何种数量关系？
证明你的结论；
(2)当∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝑀𝐷𝑁= 90°时，𝐴𝑀、𝑀𝑁、𝐵𝑁三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
(3)如图③，在（2）的条件下，若将𝑀、𝑁改在𝐶𝐴、𝐵𝐶的延长线上，完成图③，其余条件不变，则𝐴𝑀、
𝑀𝑁、𝐵𝑁之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明)
【答案】(1)𝐴𝑀+ 𝐵𝑁= 𝑀𝑁；证明见解析
(2)𝐴𝑀+ 𝐵𝑁= 𝑀𝑁，证明见解析
(3)𝐵𝑁−𝐴𝑀= 𝑀𝑁
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类
比推理的方法．
（1）延长𝐶𝐵到𝐸，使𝐵𝐸= 𝐴𝑀，证△𝐷𝐴𝑀≌△𝐷𝐵𝐸，推出∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝑀𝐷𝐴，𝐷𝑀= 𝐷𝐸，证
△𝑀𝐷𝑁≌△𝐸𝐷𝑁，推出𝑀𝑁= 𝑁𝐸即可；
（2）延长𝐶𝐵到𝐸，使𝐵𝐸= 𝐴𝑀，证△𝐷𝐴𝑀≌△𝐷𝐵𝐸，推出∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝑀𝐷𝐴，𝐷𝑀= 𝐷𝐸，证
△𝑀𝐷𝑁≌△𝐸𝐷𝑁，推出𝑀𝑁= 𝑁𝐸即可；
（3）在𝐶𝐵上截取𝐵𝐸= 𝐴𝑀，连接𝐷𝐸，证△𝐷𝐴𝑀≌△𝐷𝐵𝐸，推出∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝑀𝐷𝐴，𝐷𝑀= 𝐷𝐸，证
△𝑀𝐷𝑁≌△𝐸𝐷𝑁，推出𝑀𝑁= 𝑁𝐸即可；
【详解】（1）解：𝐴𝑀+ 𝐵𝑁= 𝑀𝑁，
证明：延长𝐶𝐵到𝐸，使𝐵𝐸= 𝐴𝑀，
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∵∠𝐴= ∠𝐶𝐵𝐷= 90°，
∴∠𝐴= ∠𝐸𝐵𝐷= 90°，
在△𝐷𝐴𝑀和△𝐷𝐵𝐸中，
𝐴𝑀= 𝐵𝐸
∠𝐴= ∠𝐷𝐵𝐸
𝐴𝐷= 𝐵𝐷
，
∴△𝐷𝐴𝑀≌△𝐷𝐵𝐸，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝑀𝐷𝐴，𝐷𝑀= 𝐷𝐸，
∵∠𝑀𝐷𝑁= ∠𝐴𝐷𝐶= 60°，
∴∠𝐴𝐷𝑀= ∠𝑁𝐷𝐶，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝑁𝐷𝐶，
∴∠𝑀𝐷𝑁= ∠𝑁𝐷𝐸，
在△𝑀𝐷𝑁和△𝐸𝐷𝑁中，
𝐷𝑀= 𝐷𝐸
∠𝑀𝐷𝑁= ∠𝑁𝐷𝐸
𝐷𝑁= 𝐷𝑁
，
∴△𝑀𝐷𝑁≌△𝐸𝐷𝑁，
∴𝑀𝑁= 𝑁𝐸，
∵𝑁𝐸= 𝐵𝐸+ 𝐵𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐵𝑁，
∴𝐴𝑀+ 𝐵𝑁= 𝑀𝑁；
（2）解：𝐴𝑀+ 𝐵𝑁= 𝑀𝑁，
证明：延长𝐶𝐵到𝐸，使𝐵𝐸= 𝐴𝑀，连接𝐷𝐸，
∵∠𝐴= ∠𝐶𝐵𝐷= 90°，
∴∠𝐴= ∠𝐷𝐵𝐸= 90°，
∵∠𝐶𝐷𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，∠𝑀𝐷𝑁+ ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝑀𝐷𝑁= ∠𝐶𝐷𝐴，
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∵∠𝑀𝐷𝑁= ∠𝐵𝐷𝐶，
∴∠𝑀𝐷𝐴= ∠𝐶𝐷𝑁，∠𝐶𝐷𝑀= ∠𝑁𝐷𝐵，
在△𝐷𝐴𝑀和△𝐷𝐵𝐸中，
𝐴𝑀= 𝐵𝐸
∠𝐴= ∠𝐷𝐵𝐸
𝐴𝐷= 𝐵𝐷
，
∴△𝐷𝐴𝑀≌△𝐷𝐵𝐸，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝑀𝐷𝐴= ∠𝐶𝐷𝑁，𝐷𝑀= 𝐷𝐸，
∵∠𝑀𝐷𝑁+ ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝑁𝐷𝑀= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐶𝐷𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝑀= ∠𝐶𝐷𝑁= ∠𝐵𝐷𝐸，
∵∠𝐶𝐷𝑀= ∠𝑁𝐷𝐵，
∴∠𝑀𝐷𝑁= ∠𝑁𝐷𝐸，
在△𝑀𝐷𝑁和△𝐸𝐷𝑁中，
𝐷𝑀= 𝐷𝐸
∠𝑀𝐷𝑁= ∠𝑁𝐷𝐸
𝐷𝑁= 𝐷𝑁
，
∴△𝑀𝐷𝑁≌△𝐸𝐷𝑁，
∴𝑀𝑁= 𝑁𝐸，
∵𝑁𝐸= 𝐵𝐸+ 𝐵𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐵𝑁，
∴𝐴𝑀+ 𝐵𝑁= 𝑀𝑁；
（3）解：𝐵𝑁−𝐴𝑀= 𝑀𝑁，
证明：在𝐶𝐵上截取𝐵𝐸= 𝐴𝑀，连接𝐷𝐸，
∵∠𝐶𝐷𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，∠𝑀𝐷𝑁+ ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝑀𝐷𝑁= ∠𝐶𝐷𝐴，
∵∠𝐴𝐷𝑁= ∠𝐴𝐷𝑁，
∴∠𝑀𝐷𝐴= ∠𝐶𝐷𝑁，
∵∠𝐵= ∠𝐶𝐴𝐷= 90°，
∴∠𝐵= ∠𝐷𝐴𝑀= 90°，
预习讲义 第10 讲 全等三角形常见的七大几何模型（解析版）
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在△𝐷𝐴𝑀和△𝐷𝐵𝐸中，
𝐴𝑀= 𝐵𝐸
∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐷𝐵𝐸
𝐴𝐷= 𝐵𝐷
，
∴△𝐷𝐴𝑀≌△𝐷𝐵𝐸，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝑀= ∠𝐶𝐷𝑁，𝐷𝑀= 𝐷𝐸，
∵∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝑀𝐷𝑁，
∴∠𝑀𝐷𝑁= ∠𝐸𝐷𝑁，
在△𝑀𝐷𝑁和△𝐸𝐷𝑁中，
𝐷𝑀= 𝐷𝐸
∠𝑀𝐷𝑁= ∠𝑁𝐷𝐸
𝐷𝑁= 𝐷𝑁
，
∴△𝑀𝐷𝑁≌△𝐸𝐷𝑁，
∴𝑀𝑁= 𝑁𝐸，
∵𝑁𝐸= 𝐵𝑁−𝐵𝐸= 𝐵𝑁−𝐴𝑀，
∴𝐵𝑁−𝐴𝑀= 𝑀𝑁．
15．（1）如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷,∠𝐵= ∠𝐷= 90°，𝐸、𝐹分别是边𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点，且∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐹，
则∠𝐹𝐸𝐶与∠𝐵𝐴𝐸的数量关系为_______________．
（2）如图2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷,∠𝐵+ ∠𝐷= 180°，E、F 分别是边BC、CD 上的点，且
∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐹，请直接写出𝐸𝐹、𝐵𝐸、𝐷𝐹三条线段间的数量关系_________________．
（3）如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷,∠𝐵+ ∠𝐷= 180°，𝐸、𝐹分别是直线𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点，且
∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐹，请直接写出𝐸𝐹、𝐵𝐸、𝐷𝐹三条线段间的数量关系，并证明．
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【答案】（1）∠𝐹𝐸𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐸．（2）𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹．（3）𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐷𝐹，理由见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确添加辅助线，构造全等三角
形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的．
（1）设∠𝐵𝐴𝐸= 𝛼，则∠𝐴𝐸𝐵= 90°−𝛼，延长𝐶𝐵到点𝐷′，使𝐵𝐷′ = 𝐷𝐹，连接𝐴𝐷′，证明△𝐴𝐸𝐷′≌△𝐴𝐸𝐹
(SAS)，即可解答；
（2）延长𝐶𝐵到点𝐷′，使𝐵𝐷′ = 𝐷𝐹，连接𝐴𝐷′，证明△𝐴𝐵𝐷′≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)，△𝐴𝐸𝐷′≌△𝐴𝐸𝐹(SAS)，即可解
答；
（3）在𝐵𝐶上截取𝐵𝐷′ = 𝐷𝐹，连接𝐴𝐷′，同理得△𝐴𝐵𝐷′≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)，△𝐴𝐸𝐷′≌△𝐴𝐸𝐹(SAS)，即可解答．
【详解】解：（1）∠𝐹𝐸𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐸，理由如下：
设∠𝐵𝐴𝐸= 𝛼，则∠𝐴𝐸𝐵= 90°−𝛼，
如图1，延长𝐶𝐵到点𝐷′，使𝐵𝐷′ = 𝐷𝐹，连接𝐴𝐷′，
∵∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐷′ = ∠𝐷= 90°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐷′≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)，
∴𝐴𝐷′ = 𝐴𝐹，∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐷′𝐴𝐵，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐹，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐹，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷′𝐴𝐵= ∠𝐸𝐴𝐷′，
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐸𝐷′≌△𝐴𝐸𝐹(SAS)，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐸𝐵= 90°−𝛼，
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∴∠𝐹𝐸𝐶= 180°−2(90°−𝛼) = 2𝛼，
∴∠𝐹𝐸𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐸；
故答案为：∠𝐹𝐸𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐸；
（2）𝐸𝐹、𝐵𝐸、𝐷𝐹三条线段间的数量关系为：𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹，理由如下：
如图2，延长𝐶𝐵到点𝐷′，使𝐵𝐷′ = 𝐷𝐹，连接𝐴𝐷′，
∵∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐷= 180°，∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐷′ = 180°，
∴∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐷′，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐷′≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)，
由（1）同理得：△𝐴𝐸𝐷′≌△𝐴𝐸𝐹(SAS)，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐷′，
∵𝐸𝐷′ = 𝐵𝐸+ 𝐵𝐷′，𝐵𝐷′ = 𝐷𝐹，
∴𝐸𝐷′ = 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹；
故答案为：𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹；
（3）𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐷𝐹，理由如下：
如图3，在𝐵𝐶上截取𝐵𝐷′ = 𝐷𝐹，连接𝐴𝐷′，
同理得：△𝐴𝐵𝐷′≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)，
∴∠𝐵𝐴𝐷′ = ∠𝐷𝐴𝐹，𝐴𝐷′ = 𝐴𝐹，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 2(∠𝐷𝐴𝐹+ ∠𝐸𝐴𝐷) = 2(∠𝐵𝐴𝐷′ + ∠𝐸𝐴𝐷) = 2∠𝐷′𝐴𝐸，
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∴∠𝐷′𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐹，
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐸𝐷′≌△𝐴𝐸𝐹(SAS)，
∴𝐸𝐹= 𝐷′𝐸，
∵𝐷′𝐸= 𝐵𝐸−𝐵𝐷′，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐷𝐹．
