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专题 12.15 三角形全等几何模型（半角模型）
第一部分【知识点归纳】
【定义】把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三
角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型。
【特征】（1）大角内部有一个小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的两
边相等。
【类型】如下图，有三类型半角模型
【解题思路】
半角模型解题思路是构造旋转型全等，应用两次全等（两次全等判定都是 SAS型）解题，具
体步骤如下：
（1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题 时通常
不一定是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）；
（2）证明（1）中构造的三角形与原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通过旋转方式
得到三角形，则没有这一步）；
（3）证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等（SAS）；
（4）通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】“等边三角形含半角”模型
【例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形 中，
分别是 上的点，且 ．求证： ．【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长 至点G，使 ，连接 ，先证明
，得到 ；再证明 ，进而证明 ，
得到 ，则 ．
证明：如图，延长 至点G，使 ，连接 ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【变式】（22-23八年级上·河北石家庄·期中）已知四边形 中， ， ， ，
， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）于E，
F．
（1）当 绕B点旋转到 时（如图1），试猜想线段 之间存在的数量关系为
__________．（不需要证明）；
（2）当 绕B点旋转到 时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请
给予证明；若不成立，线段 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【答案】(1) (2)以上结论不成立，应为 ，证明见详解
【分析】本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角形
的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）延长 至点 使 ，连接 ，分别证明 根据全等三角形的
性质、结合图形证明结论；
（2）延长 至G，使 仿照（1）的证明方法解答．
（1）解： ，
理由如下：延长 至点 使 ，连接 ，
在 与 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：以上结论不成立，应为 ，
理由如下：延长 至G，使
由（1）可知， ，
∴
，
∴ ，
∵
∴
∴∴
【题型2】“等腰三角形含半角”模型
【例2】（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，
、 分别是边 、 上的点， ．
（1）求证： ．
（2）求证： 平分 ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；
（1）延长 到 ，使 ，连接 ．先说明 ，然后利用全等三角形的性质和已知
条件证得 ，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答；
（2）根据（1）的结论可得 ， ，即可得出 ，即可得证．
（1）证明：延长 到 ，使 ，连接 ．
， ，
．
， ．
．
．又 ，
．
．
．
；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 平分 ．
【变式】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）在 中， ，点 是直线 上一点（不与
重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ．设 ．
（1）如图1，如果 ___________度；
（2）如图2，你认为 之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）当点 在直线 上移动时， 之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出
你的结论．（B、C、E三点不共线）
【答案】(1) ； (2) ；(3)图象见详解； ；
【分析】（1）先证明 （ ），则可得 ，根据 ，可知
；
（2）已知 ，则 ，则 ，根据
则 ．
（3）连接 ，作 使得 ， ，连接 、 ：根据 ，，可得 ，证明 ，进而可得 ，则
，由此可证明 之间存在数量关系为 ；
（1）解：在 与 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ，
∴
∴
故答案为： ；
（2）解：已知 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ．
（3）解：连接 ，作 使得 ， ，连接 、 ，可得下图：
∵ ，
，
∴ ；
在 和 中，
，∴ ；
∴ ；
∴ ，
∴ 之间存在数量关系为 ．
【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，能够熟练掌握全等三角形的判定定理，找出相应的判定条
件是解决本题的关键．
【题型3】“正方形含半角”模型
【例3】如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，
得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF，证明见解析．
【分析】（1）根据题意补全图形即可．
（2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明．
（1）补全图形
（2）BE+DF=EF．
证明：延长FE到H,使EH=EF∵BE⊥AP，
∴AH=AF，
∴∠HAP=∠FAP=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∠BAD=90°
∴∠BAP+∠2=45°，
∵∠1+∠BAP=45°
∴∠1=∠2，
∴△ABH≌△ADF，
∴DF=BH，
∵BE+BH=EH=EF，
∴BE+DF=EF．
【点拨】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
【变式】将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形
ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线
相交于点E、F，连接EF．
（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写
出线段BE、DF、EF满足的数量关系；
（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，
请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；
（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段
EF的长．【答案】（1）EF=DF+BE；（2）EF=DF-BE；（3）线段EF的长为 或 ．
【分析】（1）延长FD至G，使DG=BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证△GAF≌△EAF即可；
（2）在DC上截取DH=BE，连接AH，先证△ADH≌△ABE，再证△HAF≌EAF即可；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
解：（1）结论：EF=BE+DF．
理由：延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①，
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠DAF+∠DAG=45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°，∵AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（AAS），
∴EF=GF，
∴GF=DF+DG=DF+BE，
即：EF=DF+BE；
（2）结论：EF=DF-BE．
理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，
∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，
∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，
∴∠DAH+∠BAF=45°，
∴∠HAF=45°=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△HAF≌EAF（SAS），
∴HF=EF，
∵DF=DH+HF，
∴EF=DF-BE；
（3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图：设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x．
在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，
∴x= ，
∴EF=x+2= ．
②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线，
设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH，
∵K为BC边的中点，
∴CK= BC=2，
同理可证△ABK≌FCK（SAS），
∴CF=AB=4，EF=FH=CF+CD-DH=8-x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2，∴x= ，
∴EF=8- = ．
综上，线段EF的长为 或 ．
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定
理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方
程解决问题．
第三部分【拓展延伸】
【例1】（22-23八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】
如图， 是正方形， ，当 在 边上， 在 边上时，如图1， 、 与 之间的
数量关系为__________．
【模型运用】当 点在 的延长线上， 在 的延长线上时，如图2，请你探究 、 与 之间
的数量关系，并证明你的结论：__________．
【拓展延伸】如图3，已知 ， ， 在线段 上， 在线段 上，
，请你直接写出 、 与 之间的数量关系．
【答案】【基本模型】； 【模型运用】： ，证明见解析；【拓展延伸】：
．
【分析】（1）结论： ．将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，然
后求出 ，利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等
可得 ，从而得解；（2）结论： ，证明方法同法（1）；
（3）结论： ．将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，根据旋转变
换的性质可得 和 全等，根据全等三角形对应角相等可得 ，对应边相等可得
， ，对应角相等可得 ，再根据 证明 ，并
证明 、 、 三点共线，然后利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相
等可得 ，从而得解．
解：（1）结论： ．
理由：如图1，将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，
则： ， ， ，
∴ ，即： 三点共线，
，
∴ ，
∴ ，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
．
故答案为： ；（2）结论： ．
理由：如图2，将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，
则： ，
同法（1）可得： ，
，
又 ，
．
故答案为： ；
（3）结论： ．
理由：如图3，将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，
则 ，
， ， ， ，
又 ，
，
，
又 ，
，
、 、 三点共线，在 和 中， ，
，
，
又 ，
．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋
转构造全等三角形。
【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）已知四边形 中， ， ，
， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 ， （或它们的延长线）于E，
F．
（1）当 绕B点旋转到 时（如图1），求证： ．
（2）当 绕B点旋转到 F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，
给出证明；若不成立，线段 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
小明第（1）问的证明步骤是这样的：
延长 到Q使 ，连接 ，
证出 得到 ， ；
再证 ，得到 ，证出 ，即 ．
请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明．
【答案】(1)见解析(2)图2成立；图3不成立，见解析
【分析】（1）延长 到Q使 ，连接 ，先证明 ，证出 得
到 ， ；再证 ，得到 ，证出 ，即（2）在图2仿照（1）的解法证明即可，图3也可以仿照（1）证明，只是结论不成立．
本题考查了三角形全等的判定和性质，半角模型的应用，熟练掌握半角模型，构造半角模型是解题的关
键．
（1）如图，延长 到Q使 ，连接 ，
∵ ， ， ，
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．（2）图2成立，图3不成立．
证明：如图2，延长 到K使 ，连接 ，
∵ ， ， ，
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
如图3，如图，延长 到Q使 ，连接 ，
∵ ， ， ，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∴．
