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专题 12.15 三角形全等几何模型（半角模型）
第一部分【知识点归纳】
【定义】把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三
角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型。
【特征】（1）大角内部有一个小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的两
边相等。
【类型】如下图，有三类型半角模型
【解题思路】
半角模型解题思路是构造旋转型全等，应用两次全等（两次全等判定都是 SAS型）解题，具
体步骤如下：
（1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题 时通常
不一定是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）；
（2）证明（1）中构造的三角形与原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通过旋转方式
得到三角形，则没有这一步）；
（3）证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等（SAS）；
（4）通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】“等边三角形含半角”模型
【例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形 中，
分别是 上的点，且 ．求证： ．【变式】（22-23八年级上·河北石家庄·期中）已知四边形 中， ， ， ，
， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）于E，
F．
（1）当 绕B点旋转到 时（如图1），试猜想线段 之间存在的数量关系为
__________．（不需要证明）；
（2）当 绕B点旋转到 时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请
给予证明；若不成立，线段 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【题型2】“等腰三角形含半角”模型
【例2】（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，
、 分别是边 、 上的点， ．
（1）求证： ．
（2）求证： 平分 ．【变式】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）在 中， ，点 是直线 上一点（不与
重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ．设 ．
（1）如图1，如果 ___________度；
（2）如图2，你认为 之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）当点 在直线 上移动时， 之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出
你的结论．（B、C、E三点不共线）
【题型3】“正方形含半角”模型
【例3】如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，
得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
【变式】将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形
ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线
相交于点E、F，连接EF．
（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写
出线段BE、DF、EF满足的数量关系；
（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，
请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段
EF的长．
第三部分【拓展延伸】
【例1】（22-23八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】
如图， 是正方形， ，当 在 边上， 在 边上时，如图1， 、 与 之间的
数量关系为__________．
【模型运用】当 点在 的延长线上， 在 的延长线上时，如图2，请你探究 、 与 之间
的数量关系，并证明你的结论：__________．
【拓展延伸】如图3，已知 ， ， 在线段 上， 在线段 上，
，请你直接写出 、 与 之间的数量关系．
【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）已知四边形 中， ， ，
， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 ， （或它们的延长线）于E，
F．（1）当 绕B点旋转到 时（如图1），求证： ．
（2）当 绕B点旋转到 F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，
给出证明；若不成立，线段 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
小明第（1）问的证明步骤是这样的：
延长 到Q使 ，连接 ，
证出 得到 ， ；
再证 ，得到 ，证出 ，即 ．
请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明．
