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专题12.14 角平分线（分层练习）
一、单选题
1．如图AD是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，交AD于点F，∠1＝30°，∠BAD的度数（
）
A．20° B．30° C．60° D．120°
2．如图，在 中， ， ， ， 平分 ，则点D到 的距离等
于（ ）
A． B． C．2 D．1
3．如图， 是 内一点，点 到 三边的距离相等，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
4．如图 是 中 的角平分线， 于点E， ， ， ，则
长（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在 中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交 于点 ， ，再分别
以点M，N为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交边 于点 ，作
于点 ，若 ， ， 的面积为13，则AC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平
分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（ ）
A．24 B．27 C．32 D．36
7．如图，在四边形 中， ， ，连接 ， ， ．若P是
边上一动点，则 的长不可能是（ ）
A． B．3 C．4 D．68．如图，在 中， ， ，点E在 的延长线上， 的平分线 与
的平分线 相交于点D，连接 ，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图， 是 中 的角平分线， 于点 ， ， ， ，则
长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图， 平分 ，点 是射线 ， 上的点，连接 ．按以下步骤作图：
①以点 为圆心，任意长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ；
②分别以点 和点 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点 ；
③作射线 ，交 于点 ．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示,在 中， ，AD平分 ， 于点E，则下列结论：①DA平分
；②∠ =∠ ；③DE平分∠ ；④ ．其中正确的有（ ）A．①② B．①④ C．③④ D．①②④
12．如图， 中， ， ， ， 平分 ，如果 、 分别为
、 上的动点，那么 的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
13．已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数
为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
14．如图， 的外角 的平分线 相交于点 ， 于 ， 于 ，
下列结论：（1） ；（2）点 在 的平分线上；（3） ，其中正确的有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
15．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个
数是( )
①AD平分∠BAC；②作图依据是S.A．S；③∠ADC=60°； ④点D在AB的垂直平分线上
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
16．如图，AB∥CD， 平分∠ ，∠ ＝145º，则∠ ＝_______
17．如图，在 中， 平分 ，与 交于点D， 于点E，若 ， 的
面积为12，则 的长为_____．
18．如图，在 中， ， ，点 在 的延长线上， 的平分线与
的平分线相交于点 ，连接 ，则 ___．
19．如图，已知 的周长是16， 、 分别平分 和 ， 于 ，且， 的面积是________．
20．如图， 中， ，利用尺规在 ， 上分别截取 ， ，使 ；分别
以 ， 为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；作射线 交 于点 若
， 为 上一动点，则 的最小值为______．
21．如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．则下列说法中正确的有_____（填写序
号）．
①AE平分∠DAB；②△EBA≌△DCE；③AB+CD＝AD； ④AE⊥DE；⑤AB∥CD．
22．如图， 平分 ，延长 到E，使得 ，连接 ，若 ， ，
，则 ______．23．如图， 的外角 的平分线 与内角 平分线 交于点 ，若 ，则
______．
24．如下图，AO、BO、CO分别平分 、 、 ， ， 的周长为12，
，则 的面积为__________．
25．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD的角平分线BE与
AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝_____．
26．如图，四边形 中，对角线 平分 ， ， ，并且
，则 的度数为__________．27．如图,已知BD，CD分别是 ∠ABC和∠ACE的平分线，连接AD，∠DAC=46°, ∠BDC _________
28．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，
∠CDE＝55°．如图，则∠EAB的度数为_________
29．如图在 ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE＋∠BCE＝180°，EF⊥BC交AC于F，AC＝8，
BC＝12，则BF的△长为________．
30．如图， ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝50 ，
∠CAP＝______．△三、解答题
31．如图，已知 ．
(1)尺规作图：作 的角平分线交 于点G（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如果 ， ， 的面积为18，求 的面积．
32．如图，在 中， ， 于点 ， 平分 ，交 于点 ， 为
上一点，且 ，求证： .33．如图， ．
(1)尺规作图：在图1中，作 的平分线 交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 如图2，在（1）的条件下，过点D分别作 ， ，垂足分别为E，F，连接 ，
与 相交于点G．求证： ．
34．如图，在 和 中， ， （ ）， ，直线
， 交于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)用 表示 的大小；
(3)求证： 平分 ．35．如图， 和 的角平分线 ， 相交点 ， ．
(1)直接写出 _____________ ；
(2)求证 ；
(3)若 ，求证 ．
36．在四边形 中，对角线 平分 ．
【感知】如图①，当 时，利用全等知识求证： ．
【探究】如图②，当 时，求 ．
【应用】如图③，当 ， ， ， 于点 ，则
______．参考答案
1．B
【分析】先根据平行线的性质得到 ，再根据角平分线即可得到∠BAD的度数．
解：∵EF∥AC，
∴
∵AD是∠BAC的平分线
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了角平分线及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．
2．D
【分析】由题意可求 的长，由角平分线的性质可求解．
解：如图，过点D作 ，垂足为H，∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴点D到 的距离等于1，
故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键．
3．D
【分析】由条件可知 平分 和 ，利用三角形内角和可求得解．
解：∵点P到 三边的距离相等，
∴ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
．
故选：D．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题
的关键．
4．B
【分析】过点D作 于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，再根据
列出方程求解即可．解：如图，过点D作 于F，
∵ 是 中 的角平分线， ，
∴ ，
由图可知， ，且
∴ ，
解得 ．
故选：B．
【点晴】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
5．B
【分析】过点 作 于点F，根据角平分线的尺规作图方法可知： 平分 ，再根据角
平分线的性质，可得 ，再根据 ，求解即可．
解：如图，过点 作 于点F，
由题意可知： 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
，
∴ ，∴ ．
故选：B
【点拨】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，解本题的关键在根据题意得出
平分 ．
6．C
【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求得S ABD=S BDE=96，利用角平分线的性质得到
△ △
△ACD与△ABD的高相等，进一步求解即可．
解：∵AD=DE，S BDE=96，
△
∴S ABD=S BDE=96，
△ △
过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴DG=DF，
∴△ACD与△ABD的高相等，
又∵AB=3AC，
∴S ACD= S ABD= ．
△ △
故选：C．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．A
【分析】根据余角的性质可得 ，即 平分 ，作 于E，则
，再根据垂线段最短即可得到答案．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 平分 ，
作 于E，则 ，∵P是 边上一动点，则 ，即 ，
∴ 的长不可能是 ；
故选：A．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质和角平分线的性质，得出 平分 是解题的关键．
8．B
【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出 ，即可判断A选项；根据角平分线的定义
求出 ，再利用三角形的内角和定理求出 ，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的
定义和角平分线的定义求出 ，再利用三角形的内角和定理求出 ，即可判断C选项；利用角平
分线的性质，推出 为 的外角平分线，然后列式计算求出 ，即可判断D选项．
解： ， ，
，
故A选项正确，不符合题意；
平分 ，
，
在 中， ，
，
故B选项错误，符合题意；
平分 ，
，
在 中， ，
故C选项正确，不符合题意；
、 分别是 和 的平分线，
到 、 、 的距离相等，
是 的外角平分线，，
故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解
题的关键．
9．B
【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式和
S +S =S 得到 ×4×7+ ×4×AC=26，然后解一次方程即可．
ADB ADC ABC
△ △ △
解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是 ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=D△F=4，
∵S +S =S ，
ADB ADC ABC
△ △ △
∴ ×4×7+ ×4×AC=26，
∴AC=6，
故选：B．
【点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式
等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题．
10．B
【分析】根据条件可知 平分 ，则可求出 ，根据 平分 求出 ，进而利
用 即可求出答案．
解：由作法得 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选B．
【点拨】本题主要考查角平分线的定义及作法，三角形的外角的性质，根据题目条件发现角平分线是
解题的关键．
11．D
【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，
选出正确的结果．
解：∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠DAE
∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠E=90°
∵AD=AD
∴△DAC≌△DAE
∴∠CDA=∠EDA
∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE=60°，
∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE=AB，AE=AC
∴BE+AC=AB
∴④BE+AC=AB正确；
∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC
∴②∠BAC=∠BDE正确．
故选D．
【点拨】考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题关键是灵活运用角平分线的性质进
行分析．
12．A
【分析】过点 作 于 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，根据角平分线的性质定理得到 ，进而得到 ，利用面积法求出 ，由此得到
的最小值
解：过点 作 于 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 中， ， ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 的最小值是
故选A．
【点拨】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，还考查了最短路线
问题，解题的关键是找到使 最小时的动点 和
13．B
【分析】作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，根据角平分线的性质得到FZ=FY，根据角平分
线的判定定理得到∠FCZ=∠FCY，根据题意得到答案．
解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ=FW，
同理FW=FY，
∴FZ=FY．∵FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴∠FCZ=∠FCY，
∵∠AFB=40°，
∴∠ACB=80°，
∴∠ZCY=100°，
∴∠BCF=50°．
故选B．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角
的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
14．C
【分析】过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到 ，可判断（1）（2）正确；
由 ， ，得到 ，可判断（3）错误；即可得到答案．
解：过点P作PG⊥AB，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA， ， ，PG⊥AB，
∴ ；故（1）正确；
∴点 在 的平分线上；故（2）正确；
∵ ，
又 ，
∴ ；故（3）错误；
∴正确的选项有2个；
故选：C．
【点拨】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质
进行解题．
15．C解：①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的∠平分线；
②根据作图的过程可以判定出AD的依据；
③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质求∠ADC的度数；
④利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点在AB
的中垂线上.
解：如图所示，
①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的∠平分线；
故①正确；
②根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；
故②错误；
③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CBA=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.
故③正确；
④∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上.
故④正确；
故选C.
“点睛”此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据
角平分线的性质得出∠ADC的度数是解题的关键.
16．110º
解：试题分析：因为∠ ＝145º ，所以∠BDC=35°，AB∥CD，所以∠ABD=∠BDC=35°，因为 平分
∠ ，所以∠ABD=∠CBD=35°，所以∠ ＝180°-∠CBD-∠BDC=180°-35°-35°=110°.考点：平行线的性质
点评：该题较为简单，是常考题，主要考查学生对平行线性质的理解和应用，对于求角的具体度数，
可联系三角形的内角和．
17．4
【分析】作 交 的延长线于F，根据三角形的面积公式求出 的长，根据角平分线的性
质定理求出 的长．
解：作 交 的延长线于F，
∵ ， 的面积为 ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
故答案为：4．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18．
【分析】根据角平分线的性质即可求得点 到 的距离相等，再利用角平分线的判定即可
得到 是 的角平分线，进而得到 的度数．
解：过点 作 ，过点 作 ，过 作 ，
∵ 的平分线与 的平分线相交于点 ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ；故答案为： ．
【点拨】本题考查了角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，掌握角平分线性质和判定是解题的
关键．
19．
【分析】将三角形面积转化为三个小三角形的面积和求解即可．
解：如图，过O点分别向 和 作垂线，垂足分别为E和F，连接 ，
∵ 、 分别平分 和 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了角平分线的性质和求三角形的面积，解题关键是得到O点到三边的距离相等．
20．【分析】如图，过点G作 于H．根据角平分线的性质定理证明 ，利用垂线段最
短即可解决问题．
解：如图，过点G作 于H．
由作图可知， 平分 ，
又∵ ， ，
∴ ，
根据垂线段最短可知， 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查作图：基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握角
平分线的性质．
21．①③④⑤
【分析】过点E作EF⊥AD垂足为点F，证明△DEF≌△DEC(AAS)；得出CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝
∠FED，证明Rt△AFE≌Rt△ABE(HL)；得出AF＝AB，∠FAE＝∠BAE，∠AEF＝∠AEB，即可得出答案．
解：如图，过点E作EF⊥AD，垂足为点F，
可得∠DFE＝90°，
则∠DFE＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE＝∠CDE，
在△DCE和△DFE中， ，
∴△DEF≌△DEC(AAS)；∴CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，
∵E是BC的中点，
∴CE＝EB，
∴EF＝EB，
在Rt△ABE和Rt△AFE中， ，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE (HL)；
∴AF＝AB，∠FAE＝∠BAE，∠AEF＝∠AEB，
∴AE平分∠DAB，故结论①正确，
则AD＝AF+DF＝AB+CD，故结论③正确；
可得∠AED＝∠FED+AEF＝ ∠FEC+ ∠BEF＝90°，即AE⊥DE故结论④正确．
∵AB≠CD，AE≠DE，
∴△EBA≌△DCE不可能成立，故结论②错误．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB CD，则结论⑤正确；
综上所知正确的结论有①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定等内容，作出辅助线是解题的关键．
22．9
【分析】过点 作 ， ，根据题意可以得到 ，再根据边长关系求得
的面积，即可求解．
解：过点 作 ， ，如下图：
∵ 是 的平分线，∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：9．
【点拨】此题考查了三角形面积的有关计算，角平分线的性质，根据题意找到三角形面积之间的关系
是解题的关键．
23． /55度
【分析】根据外角与内角性质得出 的度数，从而求出 的度数，再利用角平分线的性质证
明 ，再利用角平分线的判定，得出 平分 ，即可得出答案．
解：延长 ，作 于点N， 于点F， 于点M，如图所示：
设 ，
∵ 平分 ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 平分 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
故答案为：55°．
【点拨】此题主要考查了角平分线的性质与判定，以及三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用，
作出辅助线，根据角平分线的性质得出 ，证明 平分 ，是解决问题的关键．
24．12
【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性
质可得OD＝OE＝OF，再根据三角形面积计算即可得解．
解：如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠ABC、∠ACB的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB于E，OF⊥AC，
∴OD＝OE，OD＝OF，
∵ ，
∴OD＝OE＝OF＝2，
∵△ABC的周长为12，
∴△ABC的面积＝ （AB+BC+AC）×2＝ ×12×2＝12．
故答案为：12．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记角平分线的性质是解题的关键．
25．40°
【分析】做辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF=EG=EH，设
∠DEG=y，∠GEB=x，根据三角形内角和定理可得：∠GEA=∠FEA=40°，∠FEB=∠HEB，列方程为2y+x=80-
x,y+x=40,可得结论：∠DEB＝40°.解：如图，
过E作EF AB于F，EG AD于G，EH BC于H，
∵BE平分∠ABD
∴EH=EF
∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°
∴∠FAE=∠CAD=50°
∴EF=EG
∴EG=EH
∴ED平分∠CDG
∴∠HED=∠DEG
设∠DEG=y，∠GEB=x，
∵∠EFA=∠EGA=90°
∴∠GEA=∠FEA=40°
∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBH=∠EBF
∴∠FEB=∠HEB
∴2y+x=80-x,
2y+2x=80
y+x=40
即∠DEB＝40°.
故答案为：40°.
【点拨】本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是解题的关键.
26． /21度
【分析】过点D分别作 的三条垂线 ，利用角平分线的性质
，然后再证明 ，推出 ，再根据三角形内角和
定理，推出 ，从而得到 的度数．
解：过点D作 于点E， 于点F， 于点G，对角线 平分 ， ，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
= ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了角平分线的性质，三角形全等判定与性质和三角形内角和定理，熟练运用各个知
识点进行综合推理是解题的关键．
27．44°
解：如图，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，过点D作DH⊥AC于点H，过点D作DG⊥BA，交BC的延长线于点G，
∵BD，CD分别是 ∠ABC和∠ACE的平分线，
∴DF=DG=DH，
∵DH⊥AC，DF⊥BA，
∴AD平分∠CAF，
∴∠DAC=∠FAD=46°,
∴∠BAC=180°-46°-46°=88°；
∵BD，CD分别是 ∠ABC和∠ACE的平分线，
∴∠DCE= ，∠DBC= ，
∵∠DCE=∠BDC+∠DBC，∠ACE=
∴∠BDC+∠DBC= （∠BAC+∠ABC），
∴∠BDC= ∠BAC= .
28．35°
【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，再根据到
角的两边距离相等的点在角的平分线上可得AE是∠BAD的平分线，然后求出∠AEB，再根据直角三角形
两锐角互余求解即可．
解：过点E作EF⊥AD于F．
∵DE平分∠ADC，∴CE=EF．
∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴BE=EF，∴AE是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠FAE．
∵∠B=∠C=90°，∴∠CDA+∠DAB=180°，∴2∠CDE+2∠EAB=180°，∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠EAB=90°
－∠CDE=90°－55°=35°．
故答案为35°．【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，角平分线的判定，熟记性质并作
辅助线是解题的关键．
29．10
【分析】根据角平分线的性质得到EF＝EG，证明Rt EFC≌Rt EGC，根据全等三角形的性质得到CF
＝CG，根据题意列式计算即可． △ △
解：连接AE，过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G，如图所示：
∵D为AB中点，DE⊥AB，
∴EA＝EB，
∵∠ACE＋∠BCE＝180°，∠ACE＋∠ECG＝180°，
∴∠ECG＝∠BCE，
∵EF⊥BC，EG⊥AC，
∴EG＝EF，
在Rt△EFC和Rt EGC中，
△
，
∴Rt EFC≌Rt EGC（HL），
∴CF△＝CG， △
∴12﹣CF＝8＋CF，解得：CF＝2，
∴BF＝12﹣2＝10，
故答案为：10．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质得出EF＝
EG是解题的关键．
30．40°
【分析】过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，根据三角形的外角性质和内角和定理，得
到∠BAC度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得到答案．
解：过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，如图：
设∠PCD=x，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，
∴∠ACD=2x，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN，
∵∠BPC＝50°，
∴∠ABP=∠PBC= ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
在Rt△APF和Rt△APM中，∵PF=PM，AP为公共边，
∴Rt△APF≌Rt△APM（HL），
∴∠FAP=∠CAP，
∴ ；
故答案为：40°；
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三角形的
判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出 是关键．
31．(1)见分析；(2)
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）如图所示，过点G作 垂足分别为E、F，证明 ，得到
，根据面积法求出 ，再根据三角形面积公式求解即可．
（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示，过点G作 垂足分别为E、F，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ， 的面积为18，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积，角平分线的尺规作图，角平分线的
定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
32．见分析
【分析】证明 ，根据全等三角形的性质得出 ，进而根据等角的余
角相等可得 ，等量代换得出 ，即可得证．
解：证明： 平分 ，
.
在 和 中，
，
.
中， ， ，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质与判
定是解题的关键．
33．(1)见分析；(2)见分析
【分析】（1）根据角平分线的定义作图即可；
（2）利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得到 ，可知 ，根据
线段垂直平分线性质得出即可．
（1）解：如图，（2）证明：∵ 是 的角平分线， ， ，
∴ ， ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ．
【点拨】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是根据角平分线上
的一点到两边的距离相等的性质及三角形全等的判定及性质进行解答．
34．(1)见分析；(2) ；(3)见分析．
【分析】（1）用 证明 ，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）根据三角形外角的性质得 ，再由 可得
，即可得到结论；
（3）作 于 ， 于 ，则 ，利用 证明 ，
由全等三角形的性质可得 ，再根据角平分线的判定定理即可得证．
解：（1）证明： ，
，即 ，
在 和 中，
，，
，
（2）解：由三角形的外角性质得： ，
由（1）得 ，
，
，
（3）证明：作 于 ， 于 ，如图所示，
则 ，
在 和 中，
，
，
，
于 ， 于 ，
平分 ，
【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，角平分
线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
35．(1)120；(2)见分析；(3)见分析
【分析】（1）根据角平分线的定义得到 ， ，再利用三角形内角和定理
计算即可；
（2）过P作 ， ， ，根据角平分线的性质得到 ， ，可得
，再证明 ，即可证明结论；（3）作 的平分线交 于点N，则 ，先分别求出 ， ，
， ， ， ， ， 的度数，得到 ， ，
，再根据 证明 即可证明结论．
（1）解：∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴
；
（2）过P作 ， ， ，
∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；（3）如图，作 的平分线交 于点N，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，证明三角形全等
是解题的关键．
36．【感知】：证明见分析；【探究】：1∶2；【应用】1∶2．
【感知】证明 ，即可求证；
【探究】过点C作 于点E，过点C作 垂直 延长线于点F，根据三角形中高相等，面积
的比即为底的比即可求解；
【应用】过点C作 于点F，通过设未知数找到 与 的长度比，即可求解．
解：感知：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
探究：如图②，过点C作 于点E，过点C作 垂直 延长线于点F．
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，且 ，
∴ =1∶2．
应用：如图③，过点C作 于点F，∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
设 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即： ，
∴ ，
．
【点拨】本题考查角平分线的性质，三角形的面积比，解题的关键是牢记相关概念并正确作出辅助线．
