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第03 讲 三角形的中线、角平分线、高（学生版）
第 1 页 共 33 页
➢析教材 学知识
【知识点1 三角形的中线】
1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．
如图，连接ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D，所得线段AD 叫作ABC 的边BC 上的中线.
2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形
内部.
【知识点2 三角形的角平分线】
1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平
分线．如图，画△ABC 的∠A 的平分线AD，交∠A 所对的边BC 于点D，所得线段AD 叫作△ABC 的角平
分线.
2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点.
【知识点3 三角形的高】
1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角
形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条
高的交点是三角形的直角顶点．
总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点.
➢练题型 强知识
【题型1 三角形的角平分线、中线和高线的定义】
【例1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则𝐴𝐷依次是△𝐴𝐵𝐶的（ ）
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第03 讲 三角形的中线、角平分线、高（学生版）
第 2 页 共 33 页
A．中线、角平分线、高线
B．角平分线、高线、中线
C．高线、中线、角平分线
D．角平分线、中线、高线
【变式1-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠1 = ∠2，G 为𝐴𝐷的中点，延长𝐵𝐺交𝐴𝐶于E．F 为𝐴𝐵上的一点，𝐶𝐹⊥𝐴𝐷
于H，下面判断正确的有（ ）
①𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐸的角平分线；②𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的边𝐴𝐷上的中线；③𝐶𝐻是△𝐴𝐶𝐷的边𝐴𝐷上的高；④𝐴𝐻是
△𝐴𝐶𝐹的角平分线和高．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1-2】下列说法正确的个数有（ ）
① 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内
② 直角三角形只有一条高
③ 三角形的高至少有一条在三角形内
④ 三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1-3】如图，𝐶𝐷，𝐶𝐸，𝐶𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．𝐴𝐵= 2𝐵𝐹
B．∠𝐴𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵
C．𝐴𝐸= 𝐵𝐸
D．𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
【题型2 画三角形的高】
【例2】下列能表示△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【变式2-1】如图，钝角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵边上的高是（ ）
A．𝐴𝐹
B．𝐵𝐷
C．𝐶𝐸
D．𝐶𝐴
【变式2-2】如图，用三角板作△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点都在格点上．
(1)画出𝐴𝐵边上的高𝐶𝐷和中线𝐶𝐸；
(2)画出𝐴𝐶边上的高𝐵𝐹，并直接写出𝐵𝐹的长（提示：𝐴𝐶的长等于5）．
【题型3 根据三角形的中线求长度】
【例3】如图，在周长为20cm的△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的中线，已知𝐶𝐷= 4cm，𝐴𝐶= 7cm，则𝐴𝐵的长
为（ ）
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A．6cm
B．5cm
C．4cm
D．3cm
【变式3-1】在△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 20，𝐵𝐶= 18，𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的中线，若△𝐴𝐵𝐷的周长为45，△𝐵𝐶𝐷的周长
是（ ）
A．47
B．43
C．38
D．25
【变式3-2】如图，△𝐴𝐵𝐶的周长是16，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐴𝐵= 6，𝐶𝐷= 3，则△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周
长之差为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【变式3-3】在等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，若中线𝐵𝐷将该三角形的周长分为5 和3 两个部分，则该等腰
三角形的底边长为（ ）
A．
4
3
B．4
C．
4
3或4
D．
5
3或4
【题型4 根据三角形的中线求面积】
【例4】如图， 在△𝐴𝐵𝐶中， D， E 分别是𝐴𝐵，𝐵𝐶的中点． 若△𝐵𝐷𝐸的面积是1，则△𝐴𝐶𝐷的面积是
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式4-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸，𝐹分别是𝐵𝐶，𝐴𝐷，𝐵𝐸的中点．△𝐶𝐸𝐹（阴影部分）的面积是4，
则△𝐴𝐵𝐶的面积为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
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【变式4-2】如图，𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上任意一点，𝐸、𝐹分别是线段𝐴𝐷、𝐶𝐸的中点，且△𝐴𝐵𝐶的面积为
20cm2，则△𝐵𝐸𝐹的面积是
cm2．
【变式4-3】如图，𝐷是𝐴𝐵边上任意一点，𝐸是𝐶𝐷的中点，𝐹是𝐵𝐸的中点．若△𝐴𝐵𝐹的面积是2，则△𝐴𝐵𝐶
的面积是
．
【题型5 根据三角形的高计算线段长度】
【例5】如图，𝐴𝐷、𝐴𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高线和中线．若△𝐴𝐵𝐶的面积为12，𝐴𝐷= 5，则𝐵𝐸的长为（ ）
A．4
B．3
C．4.8
D．2.4
【变式5-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别是𝐵𝐶边的中线、高线，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点F，若
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
2
3，
则
𝐷𝐹
𝐴𝐸的值是（ ）
A．
1
2
B．
2
3
C．
3
4
D．
4
5
【变式5-2】如图，已知𝐴𝐷，𝐵𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶，𝐴𝐶边上的高，𝐵𝐶= 5，𝐴𝐶= 4，𝐴𝐷= 3，则𝐵𝐸的长
是
．
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【变式5-3】已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的高，若𝐴𝐷= 4，𝐵𝐷= 9，𝐶𝐷= 5，则△𝐴𝐵𝐶的面积为 .
➢串知识 识框架
➢过关测 稳提升
1．如图是一张钝角三角形纸片𝐴𝐵𝐶，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①𝐴𝐶边上的中线𝐵𝐷；②∠𝐵的
平分线𝐵𝐸；③𝐴𝐶边上的高𝐵𝐹．上述三条线段中能通过折纸折出的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
2．用直角三角板，作△𝐴𝐵𝐶 的高，下列作法正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．如图，△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐴𝐷、中线𝐵𝐸相交于点O．有下列两个结论：①𝐴𝑂是△𝐴𝐵𝐸的角平分线；②𝐵𝑂
是△𝐴𝐵𝐷的中线．其中（ ）
A．只有①正确
B．只有②正确
C．①和②都正确
D．①和②都不正确
4．如图，𝐶𝑀是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐶= 8cm，若△𝐵𝐶𝑀的周长比△𝐴𝐶𝑀的周长大2cm，则𝐴𝐶的长为（ ）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
5．如图，△𝐴𝐵𝐶的中线𝐴𝐷、角平分线𝐵𝐸交于点O，则下列结论中正确的是（ ）
A．𝐴𝑂是△𝐴𝐵𝐸的角平分线
B．𝐸𝐷是△𝐸𝐵𝐶的角平分线
C．𝐷𝐸是△𝐴𝐷𝐶的中线
D．𝐵𝑂是△𝐴𝐵𝐷的角平分线
6．下列结论正确的是（ ）
A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部
B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部
C．三角形的重心是三角形三条中线的交点
D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点
7．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知点D、E 分别为𝐵𝐶，𝐴𝐷的中点，且△𝐴𝐵𝐶的面积等于8cm2，则△𝐴𝐸𝐶的面积
等于（ ）
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A．4cm2
B．3cm2
C．2cm2
D．1cm2
8．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，△𝐴𝐵𝐶的面积为30，𝐵𝐷= 2𝐶𝐷，点𝐸是𝐴𝐶的中点，𝐵𝐸、𝐴𝐷交于点𝐹，则四边形𝐷𝐶𝐸𝐹
的面积为
．
9．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D 为𝐵𝐶中点，过点D 作𝐷𝑃⊥𝐴𝐵，𝐷𝑃= 3，E 为𝐵𝐶上一点，过点E 作
𝐸𝑀⊥𝐴𝐵，𝐸𝑁⊥𝐴𝐶，𝐸𝑀= 4.2，则𝐸𝑁=
．
10．如图，△𝐴𝐵𝐶为钝角三角形，分别过点A、B 作𝐵𝐶、𝐴𝐶边上的高𝐴𝐷、𝐵𝐸，已知𝐴𝐶= 10，𝐵𝐶= 5，
𝐵𝐸= 3，则𝐴𝐷的长为
．
11．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，𝐶𝐸= 3𝐴𝐸，连接𝐵𝐸交𝐴𝐷于点F，连接𝐶𝐹．若△𝐶𝐸𝐹
的面积为3，则△𝐴𝐵𝐹的面积为
，△𝐶𝐷𝐹的面积为
．
12．已知△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，且𝐴𝐶= 4，若△𝐴𝐵𝐷的边𝐴𝐵上的高为2，△𝐴𝐶𝐷的边𝐴𝐶上的高为
4，求𝐴𝐵的长．
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13．在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，一腰上的中线𝐵𝐷将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等
腰三角形的腰长．
14．如图，已知△𝐴𝐵𝐶，根据下列要求作图并回答问题：
(1)作边𝐴𝐵上的高𝐶𝐷；
(2)过点𝐷作直线𝐵𝐶的垂线，垂足为𝐸；
(3)点𝐵到直线𝐶𝐷的距离是线段_______的长度；
(4)线段𝐶𝐸的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可）
15．发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上
看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角
形纸板，用一根细线绳从重心O 处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些
性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．
(1)如图2，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：𝑆△𝐴𝐵𝐷______
𝑆△𝐴𝐶𝐷（填> 、< 或= ）；
(2)如图3，若△𝐴𝐵𝐶三条中线𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹交点为G，则𝐺𝐷也是△𝐺𝐵𝐶的中线，利用上述结论可得：
𝑆△𝐺𝐶𝐷= 𝑆△𝐺𝐵𝐷，同理𝑆△𝐺𝐵𝐹= 𝑆△𝐺𝐴𝐹，𝑆△𝐺𝐴𝐸= 𝑆△𝐺𝐶𝐸．若设𝑆△𝐺𝐶𝐷= 𝑥，𝑆△𝐺𝐵𝐹= 𝑦，𝑆△𝐺𝐴𝐸= 𝑧，猜想x，
y，z 之间的数量关系为：______；
(3)如图3，△𝐴𝐵𝐶被三条中线分成六个小三角形，点G 为△𝐴𝐵𝐶的重心，则
𝐷𝐺
𝐴𝐺= ______；
(4)如图4，点D、E 在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶、𝐴𝐵上，𝐵𝐷、𝐶𝐸交于G，G 是△𝐴𝐵𝐶的重心，𝐵𝐷= 6，𝐶𝐸= 3，
𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，求四边形𝐴𝐸𝐺𝐷的面积．
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➢析教材 学知识
【知识点1 三角形的中线】
1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．
如图，连接ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D，所得线段AD 叫作ABC 的边BC 上的中线.
2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形
内部.
【知识点2 三角形的角平分线】
1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平
分线．如图，画△ABC 的∠A 的平分线AD，交∠A 所对的边BC 于点D，所得线段AD 叫作△ABC 的角平
分线.
2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点.
【知识点3 三角形的高】
1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角
形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条
高的交点是三角形的直角顶点．
总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点.
➢练题型 强知识
【题型1 三角形的角平分线、中线和高线的定义】
【例1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则𝐴𝐷依次是△𝐴𝐵𝐶的（ ）
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A．中线、角平分线、高线
B．角平分线、高线、中线
C．高线、中线、角平分线
D．角平分线、中线、高线
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，解题关键是熟知三角形角平分线、
中线和高线的定义．
根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解．
【详解】解：由图①的折叠方式可知，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
所以𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线．
由图②的折叠方式可知，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵′，
因为∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐵′ = 180°，
所以∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵′ = 90°，
所以𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
所以𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高线．
由图③的折叠方式可知，𝐶𝐷= 𝐵𝐷，
所以𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线．
故选：B．
【变式1-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠1 = ∠2，G 为𝐴𝐷的中点，延长𝐵𝐺交𝐴𝐶于E．F 为𝐴𝐵上的一点，𝐶𝐹⊥𝐴𝐷
于H，下面判断正确的有（ ）
①𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐸的角平分线；②𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的边𝐴𝐷上的中线；③𝐶𝐻是△𝐴𝐶𝐷的边𝐴𝐷上的高；④𝐴𝐻是
△𝐴𝐶𝐹的角平分线和高．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，连接三角形的顶点和对边中
点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角
平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．根据三角形的角平分线、
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三角形的中线、三角形的高的概念进行判断即可．
【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念知𝐴𝐺是△𝐴𝐵𝐸的角平分线，故原说法错误，不符合题意；
②根据三角形的中线的概念知𝐵𝐺是△𝐴𝐵𝐷的边𝐴𝐷上的中线，故原说法错误，不符合题意；
③根据三角形的高的概念知𝐶𝐻是△𝐴𝐶𝐷的边𝐴𝐷上的高，故原说法正确，符合题意；
④根据三角形的角平分线和高的概念知𝐴𝐻是△𝐴𝐶𝐹的角平分线和高，故原说法正确，符合题意；
∴说法正确的有③④，共2 个，
故选：B．
【变式1-2】下列说法正确的个数有（ ）
① 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内
② 直角三角形只有一条高
③ 三角形的高至少有一条在三角形内
④ 三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各项分析判断求解．
【详解】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误；
②直角三角形有三条高，故错误；
③ 三角形的高至少有一条在三角形内，故正确；
④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误；
故选A．
【变式1-3】如图，𝐶𝐷，𝐶𝐸，𝐶𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．𝐴𝐵= 2𝐵𝐹
B．∠𝐴𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵
C．𝐴𝐸= 𝐵𝐸
D．𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是
解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可即可判断．
【详解】解：∵𝐶𝐷，𝐶𝐸，𝐶𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的高、角平分线、中线，
∴𝐴𝐵= 2𝐵𝐹，∠𝐴𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵．
结合选项可知，A、B、D 选项不符合题意，C 选项符合题意；
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故选：C．
【题型2 画三角形的高】
【例2】下列能表示△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键．作哪一条边上的高，即从所对的顶
点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
【详解】解：A．𝐵𝐸不是任何边上的高，故不符合题意；
B．𝐴𝐸是𝐵𝐶任何边上的高，故符合题意；
C．𝐵𝐸是𝐴𝐶任何边上的高，故不符合题意；
D．𝐴𝐵不是任何边上的高，故不符合题意；
故选B．
【变式2-1】如图，钝角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵边上的高是（ ）
A．𝐴𝐹
B．𝐵𝐷
C．𝐶𝐸
D．𝐶𝐴
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．
根据三角形高的定义即可解答．
【详解】解：如图，钝角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵边上的高是𝐶𝐸．
故选C．
【变式2-2】如图，用三角板作△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三
角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：A．作出的是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高线，故该选项不符合题意；
B．作出的是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上的高线，故该选项符合题意；
C．不能作出△𝐴𝐵𝐶的高，故该选项不符合题意；
D．作出的是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐶边上的高线，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式2-3】在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点都在格点上．
(1)画出𝐴𝐵边上的高𝐶𝐷和中线𝐶𝐸；
(2)画出𝐴𝐶边上的高𝐵𝐹，并直接写出𝐵𝐹的长（提示：𝐴𝐶的长等于5）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，𝐵𝐹=
33
5
【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高，
（1）取格点D，连接𝐶𝐷即为𝐴𝐵边上的高；取格点H，连接𝐶𝐻交𝐴𝐵于点E，中线𝐶𝐸即为所求；
（2）取格点G，连接𝐵𝐺交𝐴𝐶的延长线于点F，高𝐵𝐹即为所求，然后根据面积法求解即可．
【详解】（1）如图所示，高𝐶𝐷和中线𝐶𝐸即为所求；
（2）如图所示，𝐴𝐶边上的高𝐵𝐹即为所求；
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第 15 页 共 33 页
∵𝐴𝐶的长等于5
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐴𝐶⋅𝐵𝐹=
1
2𝐴𝐵⋅𝐶𝐷
∴
1
2 × 5𝐵𝐹=
1
2 × 11 × 3
∴𝐵𝐹=
33
5 ．
【题型3 根据三角形的中线求长度】
【例3】如图，在周长为20cm的△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的中线，已知𝐶𝐷= 4cm，𝐴𝐶= 7cm，则𝐴𝐵的长
为（ ）
A．6cm
B．5cm
C．4cm
D．3cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的周长公式和三角形中线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中线的定
义．利用三角形中线定义和周长公式即可求出答案．
【详解】解：∵𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的中线，
∴𝐵𝐶= 2𝐶𝐷= 8cm，
∵△𝐴𝐵𝐶周长为20cm，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 20cm，
∴𝐴𝐵= 20−𝐴𝐶−𝐵𝐶= 5cm，
故选：B．
【变式3-1】在△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 20，𝐵𝐶= 18，𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的中线，若△𝐴𝐵𝐷的周长为45，△𝐵𝐶𝐷的周长
是（ ）
A．47
B．43
C．38
D．25
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据
△𝐴𝐵𝐷的周长为45，可得𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 25，再结合三角形中线的定义，即可求解．
【详解】解：∵ △𝐴𝐵𝐷的周长为45，
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第 16 页 共 33 页
∴ 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 45，
∵ 𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的中线，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐷，
∵ 𝐴𝐵= 20，
∴ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 45−𝐴𝐵= 25，
∵ 𝐵𝐶= 18，
∴ △𝐵𝐶𝐷的周长是𝐵𝐶+ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 43．
故选：B．
【变式3-2】如图，△𝐴𝐵𝐶的周长是16，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐴𝐵= 6，𝐶𝐷= 3，则△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周
长之差为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键．
根据三角形的中线，周长的计算得到𝐵𝐶= 2𝐶𝐷= 6，𝐴𝐶= 4，根据△𝐴𝐵𝐷的周长为𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷，△𝐴𝐶𝐷
的周长为𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷，得到△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长之差为𝐴𝐵−𝐴𝐶，由此即可求解．
【详解】解：△𝐴𝐵𝐶的周长为16，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 16，
∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 3，则𝐵𝐶= 6，
∴𝐴𝐶= 16−𝐴𝐵−𝐵𝐶= 16−6−6 = 4，
∵△𝐴𝐵𝐷的周长为𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷，△𝐴𝐶𝐷的周长为𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷−(𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷) = 𝐴𝐵−𝐴𝐶= 6−4 = 2，
∴△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长之差为2，
故选：A ．
【变式3-3】在等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，若中线𝐵𝐷将该三角形的周长分为5 和3 两个部分，则该等腰
三角形的底边长为（ ）
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第 17 页 共 33 页
A．
4
3
B．4
C．
4
3或4
D．
5
3或4
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意
两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝑥，底边长𝐵𝐶= 𝑦，结合三
角形中线的定义，列二元一次方程组，求出𝑥、𝑦的值，再根据三角形的三边关系检验即可．
【详解】解：设腰长𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝑥，底边长𝐵𝐶= 𝑦，
∵𝐵𝐷是中线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷=
1
2𝐴𝐶=
1
2𝑥，
∵中线𝐵𝐷将该三角形的周长分为5 和3 两个部分，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 5
𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 3
或𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 3
𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 5
，
∴
𝑥+ 1
2 𝑥= 5
𝑦+ 1
2 𝑥= 3
或
𝑥+ 1
2 𝑥= 3
𝑦+ 1
2 𝑥= 5
，
解得：
𝑥= 10
3
𝑦= 4
3
或𝑥= 2
𝑦= 4
，
当等腰三角形𝐴𝐵𝐶腰长为
10
3 ，底边长为
4
3时，
10
3 +
4
3 >
10
3 ，可以组成三角形；
当等腰三角形𝐴𝐵𝐶腰长为2，底边长为4时，2 + 2 = 4，不可以组成三角形；
∴该等腰三角形的底边长为
4
3，
故选：A．
【题型4 根据三角形的中线求面积】
【例4】如图， 在△𝐴𝐵𝐶中， D， E 分别是𝐴𝐵，𝐵𝐶的中点． 若△𝐵𝐷𝐸的面积是1，则△𝐴𝐶𝐷的面积是
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
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【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可求出△𝐵𝐷𝐶的面积，进
而可得△𝐴𝐶𝐷的面积．
【详解】解：∵E 为𝐵𝐶的中点，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷= 2𝑆△𝐵𝐷𝐸= 2，
∵D 为𝐴𝐵的中点，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 2，
故选；B．
【变式4-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸，𝐹分别是𝐵𝐶，𝐴𝐷，𝐵𝐸的中点．△𝐶𝐸𝐹（阴影部分）的面积是4，
则△𝐴𝐵𝐶的面积为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系．
根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可．
【详解】解：∵𝐹是𝐵𝐸中点，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐸= 2𝑆△𝐶𝐸𝐹= 2 × 4 = 8，
∵𝐸是𝐴𝐷中点，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐵𝐸𝐷，𝑆△𝐴𝐶𝐷= 2𝑆△𝐶𝐸𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 2(𝑆△𝐵𝐸𝐷+ 𝑆△𝐶𝐸𝐷)
= 2𝑆△𝐵𝐸𝐶
= 16，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 16，
故选：C．
【变式4-2】如图，𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上任意一点，𝐸、𝐹分别是线段𝐴𝐷、𝐶𝐸的中点，且△𝐴𝐵𝐶的面积为
20cm2，则△𝐵𝐸𝐹的面积是
cm2．
【答案】5
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【分析】本题考查了三角形中线平分面积的计算，掌握中线的性质是关键．
根据点𝐸是𝐴𝐷中点，得到𝑆△𝐷𝐵𝐸+ 𝑆△𝐷𝐶𝐸= 𝑆△𝐵𝐶𝐸= 10(cm2)，根据点𝐹是𝐶𝐸的中点，得到𝑆△𝐵𝐸𝐹= 𝑆△𝐵𝐹𝐶=
1
2𝑆△𝐵𝐶𝐸= 5(cm2)，由即可求解．
【详解】解：∵点𝐸是𝐴𝐷中点，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐷𝐵𝐸,𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐷𝐶𝐸，
∴2𝑆△𝐷𝐵𝐸+2𝑆△𝐷𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 20(cm2)，
∴𝑆△𝐷𝐵𝐸+ 𝑆△𝐷𝐶𝐸= 𝑆△𝐵𝐶𝐸= 10(cm2)，
∵点𝐹是𝐶𝐸的中点，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐹= 𝑆△𝐵𝐹𝐶=
1
2𝑆△𝐵𝐶𝐸= 5(cm2)，
故答案为：5 ．
【变式4-3】如图，𝐷是𝐴𝐵边上任意一点，𝐸是𝐶𝐷的中点，𝐹是𝐵𝐸的中点．若△𝐴𝐵𝐹的面积是2，则△𝐴𝐵𝐶
的面积是
．
【答案】8
【分析】本题考查了中线平分面积的知识，掌握三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
根据𝐹是𝐵𝐸的中点，△𝐴𝐵𝐹的面积是2，得到𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐵𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐷𝐸= 4，根据𝐸是𝐶𝐷的中点，得到𝑆△𝐴𝐶𝐸=
𝑆△𝐴𝐷𝐸,𝑆△𝐵𝐶𝐸= 𝑆△𝐵𝐷𝐸，由𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2(𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐵𝐷𝐸) = 2𝑆△𝐴𝐵𝐸= 8，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接𝐴𝐸，
∵𝐹是𝐵𝐸的中点，△𝐴𝐵𝐹的面积是2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐹= 𝑆△𝐴𝐸𝐹= 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐵𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐷𝐸= 4，
∵𝐸是𝐶𝐷的中点，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐷𝐸,𝑆△𝐵𝐶𝐸= 𝑆△𝐵𝐷𝐸，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐶𝐸+ 𝑆△𝐵𝐶𝐸+ 𝑆△𝐵𝐷𝐸，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐷𝐸+2𝑆△𝐵𝐷𝐸= 2(𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐵𝐷𝐸) = 2𝑆△𝐴𝐵𝐸= 8，
故答案为：8 ．
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【题型5 根据三角形的高计算线段长度】
【例5】如图，𝐴𝐷、𝐴𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高线和中线．若△𝐴𝐵𝐶的面积为12，𝐴𝐷= 5，则𝐵𝐸的长为（ ）
A．4
B．3
C．4.8
D．2.4
【答案】D
【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求得𝑆△𝐴𝐵𝐸=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6，再利
用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，△𝐴𝐵𝐶的面积为 12 ，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高线，𝐴𝐷= 5，
∴
1
2𝐵𝐸⋅𝐴𝐷= 6，则𝐵𝐸=
2×6
5 = 2.4，
故选：D．
【变式5-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别是𝐵𝐶边的中线、高线，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点F，若
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
2
3，
则
𝐷𝐹
𝐴𝐸的值是（ ）
A．
1
2
B．
2
3
C．
3
4
D．
4
5
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的中线和高，熟记它们的定义是解题的关键．
根据三角形的中线的性质得到𝐵𝐷= 𝐷𝐶，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，
∵
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
2
3，
∴
𝐴𝐵
𝐵𝐷=
4
3，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐹=
1
2𝐵𝐷⋅𝐴𝐸，
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∴
𝐷𝐹
𝐴𝐸=
3
4，
故选：C．
【变式5-2】如图，已知𝐴𝐷，𝐵𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶，𝐴𝐶边上的高，𝐵𝐶= 5，𝐴𝐶= 4，𝐴𝐷= 3，则𝐵𝐸的长
是
．
【答案】
15
4
【分析】本题主要考查了与三角形高的有关计算，根据等面积法可得出𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐵𝐸⋅𝐴𝐶=
1
2𝐴𝐷⋅𝐵𝐶，进而
可求出𝐵𝐸．
【详解】解：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐵𝐸⋅𝐴𝐶=
1
2𝐴𝐷⋅𝐵𝐶
∴𝐵𝐸⋅𝐴𝐶= 𝐴𝐷⋅𝐵𝐶
∴𝐵𝐸=
𝐴𝐷⋅𝐵𝐶
𝐴𝐶
=
3×5
4 =
15
4 ，
故答案为：
15
4
【变式5-3】已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的高，若𝐴𝐷= 4，𝐵𝐷= 9，𝐶𝐷= 5，则△𝐴𝐵𝐶的面积为 .
【答案】28 或8
【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，属于基础题；分两种情况考虑：分高𝐴𝐷在三角形内与三角形
外，根据题意求得𝐵𝐶，则由三角形面积公式计算即可．
【详解】解：当高𝐴𝐷在三角形内时，如图，
∵𝐵𝐷= 9，𝐶𝐷= 5，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 9 + 5 = 14，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐵𝐷⋅𝐴𝐷=
1
2 × 14 × 4 = 28；
当高𝐴𝐷在三角形外时，如图，
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则𝐵𝐶= 𝐵𝐷−𝐶𝐷= 9−5 = 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐵𝐷⋅𝐴𝐷=
1
2 × 4 × 4 = 8；
综上，△𝐴𝐵𝐶的面积为28 或8．
故答案为：28 或8．
➢过关测 稳提升
1．如图是一张钝角三角形纸片𝐴𝐵𝐶，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①𝐴𝐶边上的中线𝐵𝐷；②∠𝐵的
平分线𝐵𝐸；③𝐴𝐶边上的高𝐵𝐹．上述三条线段中能通过折纸折出的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握
三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义
作答．
【详解】解：①折叠使点𝐴与点𝐶重合，则：对折点即为𝐴𝐶的中点𝐷，则𝐵𝐷即为𝐴𝐶边上的中线；
②折叠使𝐵𝐶和𝐴𝐵重合，则：折痕𝐵𝐸即为∠𝐵的平分线；
③折叠使𝐶𝐹和𝐴𝐹重合，则：折痕𝐵𝐹即为𝐴𝐶边上的高；
故选D．
2．用直角三角板，作△𝐴𝐵𝐶 的高，下列作法正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查的是作图−基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．根据高线的定义即可得
出结论．
【详解】解：A、B、C 选项均不是高线，D 选项是高线．
故选：D．
3．如图，△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐴𝐷、中线𝐵𝐸相交于点O．有下列两个结论：①𝐴𝑂是△𝐴𝐵𝐸的角平分线；②𝐵𝑂
是△𝐴𝐵𝐷的中线．其中（ ）
A．只有①正确
B．只有②正确
C．①和②都正确
D．①和②都不正确
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的中线，解本题的关键在熟练掌握相关性质、定义．根据题
意得到𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，即可判断①；根据三角形中线的性质得到E 是𝐴𝐶是中点，而O 不一定是𝐴𝐷
的中点，即可得到②．
【详解】解：∵ 𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
则𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，
∴ 𝐴𝑂是△𝐴𝐵𝐸的角平分线，故①正确；
𝐵𝐸是三角形△𝐴𝐵𝐶的中线，
则E 是𝐴𝐶是中点，而O 不一定是𝐴𝐷的中点，故②错误．
故选：A．
4．如图，𝐶𝑀是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐶= 8cm，若△𝐵𝐶𝑀的周长比△𝐴𝐶𝑀的周长大2cm，则𝐴𝐶的长为（ ）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
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【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出𝐵𝑀= 𝐴𝑀，根据△𝐵𝐶𝑀的周长比
△𝐴𝐶𝑀的周长大2cm，得出𝐵𝐶+ 𝐵𝑀+ 𝐶𝑀−(𝐴𝐶+ 𝐴𝑀+ 𝐶𝑀) = 2cm，则𝐵𝐶−𝐴𝐶= 2cm，即可求解．
【详解】解：∵𝐶𝑀是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝑀= 𝐴𝑀，
∵△𝐵𝐶𝑀的周长比△𝐴𝐶𝑀的周长大2cm，
∴𝐵𝐶+ 𝐵𝑀+ 𝐶𝑀−(𝐴𝐶+ 𝐴𝑀+ 𝐶𝑀) = 2cm，
则𝐵𝐶−𝐴𝐶= 2cm，
∵𝐵𝐶= 8cm，
∴𝐴𝐶= 6cm，
故选：D．
5．如图，△𝐴𝐵𝐶的中线𝐴𝐷、角平分线𝐵𝐸交于点O，则下列结论中正确的是（ ）
A．𝐴𝑂是△𝐴𝐵𝐸的角平分线
B．𝐸𝐷是△𝐸𝐵𝐶的角平分线
C．𝐷𝐸是△𝐴𝐷𝐶的中线
D．𝐵𝑂是△𝐴𝐵𝐷的角平分线
【答案】D
【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐵，逐项判断即可判
定𝐵𝑂是△𝐴𝐵𝐷的角平分线．
【详解】解：A∵△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐴𝐷、中线𝐵𝐸相交于点O，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐵，
在△𝐴𝐵𝐸中，∠𝐵𝐴𝐷不一定等于∠𝐶𝐴𝐷，
∴𝐴𝑂不一定是△𝐴𝐵𝐸的角平分线，A 错误；
B∵∠𝐷𝐸𝐵不一定等于∠𝐷𝐸𝐶，那么𝐸𝐷不一定是△𝐸𝐵𝐶的角平分线，B 错误；
C 在△𝐴𝐷𝐶中，𝐴𝐸≠𝐶𝐸，𝐷𝐸不一定是△𝐴𝐷𝐶的中线，C 错误；
D∵∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶，
∴𝐵𝑂是△𝐴𝐵𝐷的角平分线，D 正确；
故选：D．
6．下列结论正确的是（ ）
A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部
B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部
C．三角形的重心是三角形三条中线的交点
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D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、重心等
概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键．
【详解】解：A、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
B、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
C、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意；
D、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
故选：C．
7．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知点D、E 分别为𝐵𝐶，𝐴𝐷的中点，且△𝐴𝐵𝐶的面积等于8cm2，则△𝐴𝐸𝐶的面积
等于（ ）
A．4cm2
B．3cm2
C．2cm2
D．1cm2
【答案】C
【分析】本题考查利用三角形的中线求面积．掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解
题的关键．
根据𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线得𝑆Δ𝐴𝐶𝐷=
1
2𝑆Δ𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐸是△𝐴𝐷𝐶的中线得𝑆△𝐴𝐶𝐸=
1
2𝑆△𝐴𝐶𝐷，即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝑆Δ𝐴𝐶𝐷=
1
2𝑆Δ𝐴𝐵𝐶，
∵𝐶𝐸是△𝐴𝐷𝐶的中线
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸=
1
2𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸=
1
2𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 ×
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
4𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 8cm2
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸=
1
4 × 8 = 2(cm2)
故选：C．
8．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，△𝐴𝐵𝐶的面积为30，𝐵𝐷= 2𝐶𝐷，点𝐸是𝐴𝐶的中点，𝐵𝐸、𝐴𝐷交于点𝐹，则四边形𝐷𝐶𝐸𝐹
的面积为
．
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【答案】7
【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．设
𝑆△𝐶𝐸𝐹= 𝑎，𝑆△𝐶𝐷𝐹= 𝑏，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积分别用
含𝑎、𝑏的代数式表示出来，列关于𝑎和𝑏的二元一次方程组并求解，从而求出𝑎+ 𝑏的值即可．
【详解】解：如图，连接𝐶𝐹.
设𝑆△𝐶𝐸𝐹= 𝑎，𝑆△𝐶𝐷𝐹= 𝑏，
∵点𝐸是𝐴𝐶的中点，
∴𝑆△𝐴𝐸𝐹= 𝑆△𝐶𝐸𝐹= 𝑎，
∵𝐵𝐷= 2𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐹= 2𝑆△𝐶𝐷𝐹= 2𝑏，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐵𝐶𝐸，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐹= 𝑏+ 2𝑏= 3𝑏，
∵𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
3𝑆△𝐴𝐵𝐶= 10，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 30−10 = 20，
∴2𝑎+ 𝑏= 10
5𝑏= 20
，
∴𝑎= 3
𝑏= 4
，
∴𝑎+ 𝑏= 7，
∴四边形𝐷𝐶𝐸𝐹的面积为7.
故答案为：7.
9．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D 为𝐵𝐶中点，过点D 作𝐷𝑃⊥𝐴𝐵，𝐷𝑃= 3，E 为𝐵𝐶上一点，过点E 作
𝐸𝑀⊥𝐴𝐵，𝐸𝑁⊥𝐴𝐶，𝐸𝑀= 4.2，则𝐸𝑁=
．
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【答案】1.8
【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐹+
𝑆△𝐴𝐶𝐹=
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐹+
1
2𝐴𝐶⋅𝐸𝐹是解此题的关键．连接𝐴𝐷，𝐴𝐸，根据D 为𝐵𝐶中点，得出𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2
𝐴𝐵⋅𝐷𝑃，从而得出𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 2𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝐴𝐵⋅𝐷𝑃，根据三角形面积得出𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐸+
𝑆△𝐴𝐶𝐸=
1
2𝐴𝐵⋅𝐸𝑀+
1
2𝐴𝐶⋅𝐸𝑁，从而得出𝐴𝐵⋅𝐷𝑃=
1
2𝐴𝐵⋅𝐸𝑀+
1
2𝐴𝐵⋅𝐸𝑁，代入数据计算即可．
【详解】解：如图，连接𝐴𝐷，𝐴𝐸，
，∵D 为𝐵𝐶中点，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝑃，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 2𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝐴𝐵⋅𝐷𝑃，
∵𝐸𝑀⊥𝐴𝐵，𝐸𝑁⊥𝐴𝐶，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐸+ 𝑆△𝐴𝐶𝐸=
1
2𝐴𝐵⋅𝐸𝑀+
1
2𝐴𝐶⋅𝐸𝑁，
∴𝐴𝐵⋅𝐷𝑃=
1
2𝐴𝐵⋅𝐸𝑀+
1
2𝐴𝐵⋅𝐸𝑁，
∵𝐷𝑃= 3，𝐸𝑀= 4.2，
∴3𝐴𝐵=
1
2 × 4.2 × 𝐴𝐵+
1
2𝐴𝐵⋅𝐸𝑁，
解得：𝐸𝑁= 1.8．
故答案为：1.8．
10．如图，△𝐴𝐵𝐶为钝角三角形，分别过点A、B 作𝐵𝐶、𝐴𝐶边上的高𝐴𝐷、𝐵𝐸，已知𝐴𝐶= 10，𝐵𝐶= 5，
𝐵𝐸= 3，则𝐴𝐷的长为
．
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第03 讲 三角形的中线、角平分线、高（解析版）
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【答案】6
【分析】本题考查了利用三角形的面积求高线的长. 利用三角形的面积公式求得𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐴𝐶× 𝐵𝐸= 15，
再利用𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐵𝐶× 𝐴𝐷= 15，求解即可.
【详解】解：∵𝐴𝐶= 10，𝐵𝐸= 3，且𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐴𝐶× 𝐵𝐸= 15，
∵𝐵𝐶= 5，且𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐵𝐶× 𝐴𝐷=
1
2 × 5 × 𝐴𝐷= 15，
解得𝐴𝐷= 6，
故答案为：6.
11．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，𝐶𝐸= 3𝐴𝐸，连接𝐵𝐸交𝐴𝐷于点F，连接𝐶𝐹．若△𝐶𝐸𝐹
的面积为3，则△𝐴𝐵𝐹的面积为
，△𝐶𝐷𝐹的面积为
．
【答案】
4
6
【分析】本题主要考查了三线合一定理，三角形面积，熟知相关知识是解题的关键．先由𝐶𝐸= 3𝐴𝐸，得到
𝑆△𝐴𝐸𝐹
𝑆△𝐶𝐸𝐹=
𝐴𝐸
𝐶𝐸=
1
3，即可求出𝑆△𝐴𝐸𝐹=
1
3𝑆△𝐶𝐸𝐹=1，则𝑆△𝐴𝐵𝐹=𝑆△𝐴𝐶𝐹=𝑆△𝐴𝐸𝐹+ 𝑆△𝐶𝐸𝐹=4；同理求出𝑆△𝐵𝐶𝐸=3𝑆△𝐴𝐵𝐸=
3(𝑆△𝐴𝐵𝐹+ 𝑆△𝐴𝐸𝐹)=15，则
𝑆△𝐵𝐶𝐹=𝑆△𝐵𝐶𝐸−𝑆△𝐶𝐸𝐹=12，由此即可得到答案．
【详解】解：∵𝐶𝐸= 3𝐴𝐸，
∴
𝑆△𝐴𝐸𝐹
𝑆△𝐶𝐸𝐹=
𝐴𝐸
𝐶𝐸=
1
3，
∴𝑆△𝐴𝐸𝐹=
1
3𝑆△𝐶𝐸𝐹=1，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐹=𝑆△𝐴𝐶𝐹=𝑆△𝐴𝐸𝐹+ 𝑆△𝐶𝐸𝐹=4，
同理可得
𝑆△𝐴𝐵𝐸
𝑆△𝐵𝐶𝐸=
𝐴𝐸
𝐶𝐸=
1
3，
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第03 讲 三角形的中线、角平分线、高（解析版）
第 29 页 共 33 页
∴𝑆△𝐵𝐶𝐸=3𝑆△𝐴𝐵𝐸=3(𝑆△𝐴𝐵𝐹+ 𝑆△𝐴𝐸𝐹)=15，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐹=𝑆△𝐵𝐶𝐸−𝑆△𝐶𝐸𝐹=12，
∴𝑆△𝐶𝐷𝐹=
1
2𝑆△𝐵𝐶𝐹=6，
故答案为：4；6.
12．已知△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，且𝐴𝐶= 4，若△𝐴𝐵𝐷的边𝐴𝐵上的高为2，△𝐴𝐶𝐷的边𝐴𝐶上的高为
4，求𝐴𝐵的长．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形的中线，以及等积法求线段的长，由中线的定义得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，然后根据𝑆△𝐴𝐵𝐷=
𝑆△𝐴𝐶𝐷列式求解即可．
【详解】解：如图，∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴
1
2𝐴𝐵× 𝐷𝑀=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐷𝑁，
即
1
2𝐴𝐵× 2 =
1
2 × 4 × 4
∴𝐴𝐵= 8．
13．在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，一腰上的中线𝐵𝐷将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等
腰三角形的腰长．
【答案】这个等腰三角形的腰长为10cm
【分析】设𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 2𝑥cm，𝐵𝐶= 𝑦cm，根据题意可的𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 𝑥cm，然后分当𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 15cm、
𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 6cm和𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 6cm、𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 15cm两种情况讨论，分别列方程组并求解，结合三角形三
边关系即可获得答案．
【详解】解：设𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 2𝑥cm，𝐵𝐶= 𝑦cm，
∵𝐵𝐷为一腰上的中线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 𝑥cm，
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第03 讲 三角形的中线、角平分线、高（解析版）
第 30 页 共 33 页
∵中线𝐵𝐷将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，
∴有两种情况：
①当𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 15cm，𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 6cm时，则有
3𝑥= 15
𝑥+ 𝑦= 6
，解得𝑥= 5
𝑦= 1
，
∴三边长分别为10cm，10cm，1cm，且10 + 1 > 10，
∴等腰三角形的腰长为10cm；
②当𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 6cm，𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 15cm时，则有
3𝑥= 6
𝑥+ 𝑦= 15
，解得𝑥= 2
𝑦= 13
，
此时两腰之和4 + 4 = 8 < 13，
故这种情况不存在．
综上所述，这个等腰三角形的腰长为10cm．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中线、二元一次方程组的应用、三角形三边关系等知
识，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题，避免遗漏．
14．如图，已知△𝐴𝐵𝐶，根据下列要求作图并回答问题：
(1)作边𝐴𝐵上的高𝐶𝐷；
(2)过点𝐷作直线𝐵𝐶的垂线，垂足为𝐸；
(3)点𝐵到直线𝐶𝐷的距离是线段_______的长度；
(4)线段𝐶𝐸的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可）
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析；
(3)𝐵𝐷；
(4)𝐶，𝐷𝐸；
【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离．
(1)过点𝐶作线段𝐶𝐷⊥𝐵𝐴垂足𝐷在𝐵𝐴的延长线上，线段𝐶𝐷即为𝐴𝐵边上的高；
(2)过点𝐸作线段𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为点𝐸，线段𝐷𝐸即为所求；
(3)点𝐵到直线𝐶𝐷的距离是点𝐵到直线𝐶𝐷的垂线段𝐷𝐸的长度；
(4)因为线段𝐶𝐸是点𝐶到线段𝐷𝐸的垂线段，所以线段𝐶𝐸是点𝐶到线段𝐷𝐸的距离．
【详解】（1）解：如下图所示，
线段𝐶𝐷即为𝐴𝐵边上的高；
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第03 讲 三角形的中线、角平分线、高（解析版）
第 31 页 共 33 页
（2）解：如下图所示，
（3）解：点𝐵到直线𝐶𝐷的距离是线段𝐵𝐷的长度，
故答案为：𝐵𝐷；
（4）解：线段𝐶𝐸的长度表示点𝐶到直线𝐷𝐸的距离，
故答案为：𝐶，𝐷𝐸；
15．发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上
看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角
形纸板，用一根细线绳从重心O 处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些
性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．
(1)如图2，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：𝑆△𝐴𝐵𝐷______
𝑆△𝐴𝐶𝐷（填> 、< 或= ）；
(2)如图3，若△𝐴𝐵𝐶三条中线𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹交点为G，则𝐺𝐷也是△𝐺𝐵𝐶的中线，利用上述结论可得：
𝑆△𝐺𝐶𝐷= 𝑆△𝐺𝐵𝐷，同理𝑆△𝐺𝐵𝐹= 𝑆△𝐺𝐴𝐹，𝑆△𝐺𝐴𝐸= 𝑆△𝐺𝐶𝐸．若设𝑆△𝐺𝐶𝐷= 𝑥，𝑆△𝐺𝐵𝐹= 𝑦，𝑆△𝐺𝐴𝐸= 𝑧，猜想x，
y，z 之间的数量关系为：______；
(3)如图3，△𝐴𝐵𝐶被三条中线分成六个小三角形，点G 为△𝐴𝐵𝐶的重心，则
𝐷𝐺
𝐴𝐺= ______；
(4)如图4，点D、E 在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶、𝐴𝐵上，𝐵𝐷、𝐶𝐸交于G，G 是△𝐴𝐵𝐶的重心，𝐵𝐷= 6，𝐶𝐸= 3，
𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，求四边形𝐴𝐸𝐺𝐷的面积．
【答案】(1) =
(2)𝑥= 𝑦= 𝑧
(3)
1
2
(4)𝑆四边形𝐴𝐸𝐺𝐷= 4
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第03 讲 三角形的中线、角平分线、高（解析版）
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【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．
（1）根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论；
（2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出；
（3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的
1
6，设
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑚，则𝑆△𝐵𝐺𝐷=
1
6𝑚，𝑆△𝐵𝐺𝐴=
1
3𝑚．根据
𝑆△𝐵𝐺𝐷
𝑆△𝐵𝐺𝐴=
𝐷𝐺
𝐴𝐺即可求解；
（4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积=
1
2 × 底× 高，先求出△𝐵𝐺𝐶的面积进而求出四边形的面积
即可．
【详解】（1）解：∵ △𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷等底等高，
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
故答案为：= ；
（2）解：𝑥= 𝑦= 𝑧，理由如下：
由题意可知𝑆△𝐺𝐶𝐷= 𝑆△𝐺𝐵𝐷= 𝑥,𝑆△𝐺𝐵𝐹= 𝑆△𝐴𝐺𝐹= 𝑦，𝑆△𝐺𝐴𝐸= 𝑆△𝐺𝐶𝐸= 𝑧，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴2𝑦+ 𝑥= 2𝑧+ 𝑥，
∴𝑦= 𝑧，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐶𝐵𝐸，
∴2𝑥+ 𝑧= 2𝑦+ 𝑧，
∴𝑥= 𝑦，
∴𝑥= 𝑦= 𝑧，
故答案为：𝑥= 𝑦= 𝑧；
（3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的
1
6，
设𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑚，则𝑆△𝐵𝐺𝐷=
1
6𝑚，𝑆△𝐵𝐺𝐴=
1
3𝑚．
∴
𝑆△𝐵𝐺𝐷
𝑆△𝐵𝐺𝐴=
𝐷𝐺
𝐴𝐺=
1
6 𝑚
1
3 𝑚=
1
2，
故答案为：
1
2；
（4）解：∵G 是△𝐴𝐵𝐶的重心，
∴𝐵𝐺:𝐺𝐷= 𝐶𝐺:𝐺𝐸= 2:1，
∵𝐵𝐷= 6，𝐶𝐸= 3，
∴𝐵𝐺= 4,𝐶𝐺= 2，
∵𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，
∴𝑆△𝐵𝐺𝐶=
1
2𝐵𝐺⋅𝐶𝐺=
1
2 × 4 × 2 = 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3𝑆△𝐵𝐺𝐶= 12，
𝑆△𝐵𝐸𝐺= 𝑆△𝐶𝐷𝐺=
1
2𝑆△𝐵𝐺𝐶= 2，
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第03 讲 三角形的中线、角平分线、高（解析版）
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∴𝑆四边形𝐴𝐸𝐺𝐷= 12−2−2−4 = 4．
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