北师2026版《暑假衔接讲义》第15讲相似三角形的应用举例（2大考点7大题型）（学生版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》

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第15 讲相似三角形的应用举例
课程标准
学习目标
了解相似三角形的性质定理”：相似三角形
对应线段的比等于相似比;面积比等于相似
比的平方．
1、学会相似三角形性质；
2、体会灵活运用相似三角形性质解决实际问题．
知识点一：相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
知识点二：相似三角形的应用
2
(1)利用影长测量物体的高度
①测量原理:测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等
和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
②测量方法:在同-时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度；
(2)利用相似测量河的宽度(测量距离)
①测量原理:测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A 型或“x”型相似图，三点应在一条直线上，
必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形；
②测量方法:通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度；
(3)借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边，
利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
题型01
灯光下的测量问题
1．如图，是圆桌正上方的灯泡O 发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面
的直径为1.6m ，桌面距离地面1m ，若灯泡O 距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为（
）
A．
2
9.64 m

B．
2
2.56 m

C．
2
1.44 m

D．
2
5.76 m

2．我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮
影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在C
处，屏幕在E 处，皮影人与屏幕相距1m ，射灯A 与皮影人相距2m ．若保持皮影人在C 处位置不变，要使
屏幕上的影子的像高DE 增大一倍至FE ，则射灯A 应向皮影人靠近至G 的距离AG 为（
）
A．3 m
2
B．5 m
4
C．1m
D．1 m
2
3．如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6m 的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一
3
名身高1.6m 的女孩站在点P 处，
2m
OP 
，则女孩的影子长为
cm ．
4．如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知树高
2m
AB 
，树影
3m
AC 
，树AB 与路灯O 的
水平距离
4.5m
AP 
，则路灯的高度PO长是
米．
题型02
灯光下的标杆测量
5．如图，身高为1．5 米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去当走到C 点时，
她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3 米，CA=1 米，则树的高度为（）
A．4．5 米
B．6 米
C．3 米
D．4 米
6．如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框AB 在地面上的影长
3m
DE 
，窗户下
檐到地面的距离
5m
4m
BC
EC


，
，那么窗户的高AB 为（
）m．
4
A．2.75
B．3.25
C．3.5
D．3.75
7．操场上有一根竖直的旗杆AB ，它的一部分影子（BC ）落在水平地面上，另一部分影子（CD ）落在对
面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2m ，地面的影长为2.8m，同时测得一根高为2m 的竹竿OM 的影
长是
1.4m
ON 
，请根据以上信息，则旗杆的高度是（
）
A．4.5m
B．4.7m
C．5.2m
D．5.7m
8．如图，小明利用光沿直线传播的知识，在A 时测得某树的影长为3m，B 时又测得该树的影长为2m．若
两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（
）
A．2 3 m
B．
6 m
C．6m
D．5 m
9．如图所示，在离某建筑物4m 处有一棵树，在某时刻，1.2m长的竹竿垂直地面，影长为2m ，此时，树的
影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m ，那么这棵树高约有多少
米？
10．圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1 为圭表示意图．某同
学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆MN 的影长MA在水平地
5
面上，将标杆AB（长度1 米）竖直放置在影长的最远端点A 处，此时标杆AB 的影长为AD ．经测量，
1.2
AD 
米，
12.1
AM 
米．
(1)根据以上信息，计算旗杆MN 的高度．（结果保留整数）
(2)若该同学在操作过程中，测量完AD 的长度后，准备测量AM 的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长
一点的卷尺，半小时后回来测量AM 的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．
题型03
利用镜子进行测量
11．如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A
出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD 的顶端C 处，已知AB
BD

，CD
BD

，且测得
1.2m
AB 
，
1.8m
BP 
，
24m
PD 
，那么该大厦的高度约为
m．
12．小福同学想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C 处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，
然后向后退去，直至站在点D 处恰好看到建筑物AB 的顶端A 在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设
小福的眼睛距地面1.65m ，BC ，CD 的长分别为8m ，2m ，则建筑物AB 的高度为
m ．
13．小强在地面E 处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25 米，CE＝2.5 米．已
知眼睛距离地面的高度DC＝1.6 米，请计算出教学楼AB 的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）
6
14．在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你
选择一种方案求出旗杆的高度．
方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小
华的身高DE 为1.8米，他的影长EF 为0.9 米，
同时测得旗杆AB 的影长BC 为6米．
方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，
小丽在她的脚下C 点放了一面小镜子，然后向后退1.2米
到达点E ，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端A ，此时旗杆
底端B 到点C 的距离BC 为9米，小丽的眼睛点D 到地面
的距离DE 为1.6米．
15．如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测
量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C 处放置一平面镜，他从点C 沿BC 后
退，当退行0.9 米到E 处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A 的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离DE 为
1.2 米；然后，苏海沿BC 的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A 的仰角为45，此时，测得
2.1
EG 
米，测倾器的高度
1.2
FG 
米．已知点B、C、E、G 在同一水平直线上，且AB 、DE 、FG 均垂直
于BG ，求雕像的高度AB ．
7
题型04
利用视线进行测量
16．如图，在池塘外取一点C ，使它可以直接看到A ，B 两点，连接并延长AC ，BC ，在AC 的延长线上
取一点D ，在BC 的延长线上取一点E ，使
2
AC
BC
DC
EC


，且测量得DE 的长度为50 米，则A ，B 两点的
距离是（
）
A．110 米
B．100 米
C．50 米
D．25 米
17．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF
保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条边
50cm
DF 
，
40cm
DE 
，测得边DF 离地
面的高度
1.5m
AC 
，
12m
CD 
，求树高AB ．
18．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB
BC

，CD
BC

，
点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得
20
BE
m

，
10
EC
m

，
20
CD
m

，则河的宽度
AB 等于
．
8
19．如图，晓波拿着一根笔直的小棍BC ，站在距某建筑物约30 米的点N 处（即
30
EN 
米），把手臂向前
伸直且让小棍BC 竖直，BC
DE
∥
，晓波看到点B 和建筑物顶端D 在一条直线上，点C 和底端E 在一条直
线上．已知晓波的臂长CM 约为60 厘米，小棍BC 的长为24 厘米，AN
EN

，CM
AN

，DE
EN

．求
这个建筑物的高度DE ．
20．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A 和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小
组成员不得通过涉水的方式测量树A 与树B 之间的距离，于是他们采取如下方式：
①在树B 所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下BC 的距离为2a ；
②在树B 所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D 观测树A，且A，D 以及C 三点共线，然后从点E 观测
树B 与树A，并使E，B，A 三点共线；
③调整D，E 的位置，使DE
BC
∥
，记录下DE 的距离为5a ；
④测量出BE 之间的距离大约为27m ．
数学兴趣小组的方案能否得出树A 与树B 之间的距离？请通过分析与计算说明．
21．2023 年11 月23 日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国．英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了
我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．如图2，
9
点A 为左眼，点B 为右眼，点O 为右千大指，点C 为敌人的位置，点D 为敌人正左侧方的某一个参照物
（CD
AB
∥
，目测CD 的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C 处敌人距离我方的大致距离．已知
大多数人的眼距AB 长约为6.4 厘米左右，手臂长OB 约为64 厘米左右，若CD 的估测长度为40 米，那么CO
的大致距离为多少米．
题型05
古典文化中的测量问题
22．小明利用中国古代“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉
港景点打卡：玉笏朝天）的高度．如图所示，“玉笏朝天”的高度记为AB ，“玉笏朝天”在照板“内芯”上的高
度记为EF ，小明的眼睛P 点与BF 在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（
）
A．EF
PF
AB
BF

B．EF
PF
AB
BP

C．PE
PF
AP
BF

D．PE
PF
AE
BP

23．《孙子算经》中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五
寸．问：竿长几何？”其大意是：今有一根木杆，不知道其长度，量它的影子，等于15尺，另外再有一根标
杆，杆长1.5尺，量得标杆的影子为0.5尺，则木杆的长为（
）
A．5尺
B．15 尺
C．30 尺
D．45 尺
24．“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图①），由于使用时安放的位置不
同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图②所示的位置，令BG
x

（单位：m ），EG
y

（单
位：m ），若
20
40
1.65m
a
cm
b
cm
AB



，
，
，则y 关于x 的函数解析式为（
）
10
A．
0.5
1.65
y
x


B．
2
1.65
y
x


C．
800
165
y
x


D．
0.5
y
x

25．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界
上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所
标注的尺寸，30cm 长的箭头AB 在暗盒中所成像CD的长为
cm．
26．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从
木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得
1.8
AB 
米，
1
BD 米，
0.5
BE =
米，那么AC 为
米．
27．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量
员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F 、窥衡杆与四分仪
的一边BC 交于点H ．图2 中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG ．若测量员从四分仪中读得AB 为
1，BH 为0.5，实地测得BE 为2 ．则井深BG 为
．
11
28．如图①所示，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b，中国古老的天文和数学著
作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度，
如图②所示，从“矩” AFE 的一端A 望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得
1.5m
AB 
，
6.2m
BD 
，若“矩”的边
30cm
EF
a


，边
60cm
AF
b


，则树高CD 为
m．
题型06
光学成像中的测量问题
29．如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺50cm 处，遮光板在刻度尺70cm 处，
光屏在刻度尺80cm 处，量得像高3cm ，则蜡烛的长为（
）
A．5cm
B．6cm
C．4cm
D．4.5cm
30．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm ，他准备了一支长为20cm 的蜡烛，想
要得到高度为4cm 的像，蜡烛与纸筒的距离为（
）
12
A．65cm
B．70cm
C．75cm
D．80cm
31．如图，点光源O 射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB 投影到与胶片平行的屏幕上，形成
影像CD ．已知
0.3(dm)
AB 
，点光源到胶片的距离OE 长为6(dm) ，CD 长为4.3(dm) ，则胶片与屏幕的距
离EF 为（
）dm
A．86
B．84
C．80
D．78
32．如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且AD
l
BC
∥∥
，光屏上显示的缩小的实像高8cm ．若物体AH
到焦点
1F 的距离与焦点
1F 到凸透镜中心线DB 的距离
1
OF 之比为5:4，则物体的高为（
）
A．10cm
B．8cm
C．12cm
D．9cm
33．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB 的高为15cm ，蜡烛AB 与凸透镜的距离BE 为32cm ，
蜡烛的像CD 与凸透镜的距离DE 为8cm ，则像CD 的高为
cm ．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题
是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为
13
数学问题．
根据相似三角形的判定与性质求解即可．
AB
BE
CD
DE


,
AB

的高为15cm , BE 为32cm , DE 为8cm ,
15
32
8
CD


，


15 cm
4
CD


，
故答案为：15.
4
34．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播
原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB 在幕布上形成倒立的实像CD （点A、B 的
对应点分别是C、D）．若物体AB 的高为36cm，实像CD 的高度为12cm，则小孔O 的高度OE 为
cm ．
35．如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上已知胶片与屏幕平行，A 点为光源，与胶片BC 的距离
为0.1米，胶片的高BC 为0.038米，若需要投影后的图像DE 高2.28 米，则投影机光源A 到屏幕DE 的距离
为
米．
36．如图，是凸透镜成像示意图，CD 是蜡烛AB 通过凸透镜MN 所成的虚像．已知蜡烛AB 高4.5cm，蜡烛
AB 离凸透镜MN 的水平距离OA为5cm ，该凸透镜的焦距OF 为8cm ，BE
OF
∥
，则像CD 高
cm．
14
题型07
其它实际测量问题
37．如图是一个常见的铁夹的剖面图，OA ，OB 表示铁夹的剖面的两条边，点C 是转动轴的位置，CD
OA

，
垂足为D ，
15mm
DA 
，
24mm
DO 
，
10mm
DC 
，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A ，B 两点间的距
离为（
）
A．30mm
B．32.5mm
C．60mm
D．65mm
38．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB 垂直放置，其中AB 与“0”刻度线
重合，O点落在“3”刻度线上，CD 与“5”刻度线重合，若测得
50cm
AB 
，则CD 的长是（
）
A．30cm
B．100 cm
3
C．20cm
D．25 cm
4
39．如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高
1.2m
AB 
．当
2.5m
BC 
时，点B 到地面的距离
1.5m
BE 
，
则点A 到地面的距离AD 为（
）
15
A．2.6m
B．2.5m
C．2.46m
D．2.22m
40．如图，用一个卡尺（AD
BC

，
2
7
CO
DD
BC
AD


）测量气缸的内孔直径AB ，量得CD 的长为8cm ，则
内孔直径AB 的长为（
）
A．16 cm
7
B．16 cm
5
C．28cm
D．20cm
41．图1 是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2 所示，此时液体
AB 
．
42．图1 是一个圆锥形容器示意图（数据如图），向其中注入一部分水后，如图2 所示，则水面宽度AB （
）
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
43．如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，
因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆
1
0.4
3
EF
BC
AE
BE
EF


，
，
∥
米，则两梯
杆跨度B、C 之间距离为
米．
16
44．【项目式学习】制作“ E ”形视力表，
【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为5米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表．
【课题结论】
（1）如图1，利用“ E ”的高度b 与它到眼睛的水平距离l 之比（即b
l ）来刻画视力．
（2）大小不同的“ E ”，只要它们这一比值（即b
l ）相同，那么用他们测得的视力就相同．
【课题应用】
问题1：根据图2 所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“ E ”字，将②号“ E ”沿水平桌面
向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点A ，C ，O在同一直线上为止，其中AB 是①号“ E ”字的高度，
CD 是②号“ E ”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“ E ”与②号“ E ”字测试的视力相同．
问题2：小明想制作一张测试距离为3 米的“ E ”形视力表．以图2 所示，①号“ E ”是标准对数视力表中视力
为4.2 的“ E ”字，其高度AB 为45mm ，求小明在制作视力为4.2 的②号“ E ”字时，②号“ E ”的高度CD应为多
少mm ?（A 、C 、O在一条直线上，B 、D 、O在一条直线上）
1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一
百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N 分别是正方形ABCD
的边AD ，AB 的中点，ME
AD

，NF
AB

，EF 过点A，且
100
ME 
步，
225
NF 
步，那么该正方形
城邑边长AD 约为（
）步．
17
A．300
B．250
C．225
D．150
2．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度，.古代的人们发现，夏至时日影最
短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个
时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角
BAC

和第二时刻光线与地面的夹角
ADB

相等，测得第一
时刻的影长为1.5尺，则第二时刻的影长为
尺
3．台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m 米，长
为2m 米的矩形台球桌ABCD，某球员击位于AB 的中点E 处的球，球沿EF 射向边AD ，然后反弹到C 点
的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v 米/秒，则球从出发到入袋的时间等于
（用
含m 和v，的式子表示）
4．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏
完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某
次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计
时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为
．
18
5．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD ．他们的身高分别是1.6m ，1.8m（
1.6m
EB 
，
1.8m

FC
），小明在距离树0.3m 的B 处（
0.3m
AB 
），看树的顶端D 的视线为ED ，原地再看爸爸的头部，
视线为EF ，爸爸经过移动调整位置，当EF
ED

时爸爸停止移动，这时测得
6.1m
AC 
．已知点A，B，C
在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD ．
6．汉城湖的汉武大帝雕像是国内最大皇帝雕像，如图，五一期间，小泽和小哲同学想用一些测量工具和所
学的几何知识测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽
在汉武大帝雕像影子的末端C 点处竖立一根2.4 米的标杆CD ，此时，小哲测标杆CD 的影长
3.2
CE 
米；
然后，小泽从C 点沿BC 方向走了9.6 米（
9.6
CG 
米），到达点G ，在G 处树立一根2.4 米的标杆FG ，接
着沿BG 方向走到点M 处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端A 与点F 在一条直线上（即A ，F ，H 在一条直
线上），此时，小哲测得
1.6
GM 
米，小泽的眼睛到地面距离
1.6
HM 
米．请你根据题中提供的相关信息，
求出汉武大帝雕像AB 的高．
7．如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP 的长，在离河岸D 点3.2 米远的B 点，立一根长为1.6 米的标
杆AB ，在河对岸的岸边有一根长为4.5 米的电线杆MF ，电线杆的顶端M 在河里的倒影为点N，即PM
PN

，
两岸均高出水平面0.75 米，即
0.75
DE
FP


米，经测量此时A、D、N 三点在同一直线上，并且点M、F、
19
P、N 共线，点B、D、F 共线，若AB
DE
MF
、
、
均垂直于河面EP ，求河宽EP 是多少米？
8．如图，AB 和CD 表示两根直立于地面的柱子，AD 和BC 表示起固定作用的两根钢筋，AD 和BC 的交点
为M．
(1)若
15m
AB 
，
10m
CD 
，求点M 离地面的高度MH ；
(2)若AB
a
=
，CD
b

，MH
l
，请判断a，b，l 三者之间的关系，并说明理由．
9．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三
角形纸板的斜边长为0.5 米，较短的直角边长为0.3 米．
(1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB 平
行于地面MN（点M、P、E、N 在一直线上），且点D 在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB
距离地面的高度EF 为1.5 米，小丽与古树的距离AF 为16 米，求古树的高度DE ；
(2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为
A
B
C



、、
（如图②），使直角边B C

（较短直角边）平行于地面MN （点M、Q、E、N 在一直线上），点D
在斜边B A
的延长线上，且测得此时边B C

距离地面的高度依然是1.5 米，那么小丽向前移动了多少米？
10．小孔成像中的数学：如图1，小孔成像是重要的科学现象，它可以验证光的直线传播性质．如图2 是其
光路简图：O表示小孔，OE 的长为物距，OF 的长为像距，E ，O，F 三点在同一条直线上，物AB
EF

于E ，像CD
EF

于F ．
20
(1)求证：AB
OE
CD
OF

；
(2)某地，正午时分，阳光通过树叶间的缝隙在地面上形成了一个圆形光斑，小明观察到此现象后，想估算
一下太阳的直径．他先测量了光斑的直径，记为d ，查阅资料后，知道地球到太阳的距离为l ．如果要估测
太阳的直径，还需要测量______，用x 表示所测得的量，则太阳的直径可表示为______．（用含有d ，l ，x
的代数式表示）
11．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和
光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l 垂直于凸透镜MN ，且经过凸透镜光心O，将长度为8 厘米
的发光物箭头AB 进行移动，使物距OC 为32 厘米，光线AO
BO
、
传播方向不变，移动光屏，直到光屏上
呈现一个清晰的像A B
，此时测得像距OD 为12.8厘米．
(1)求像A B
的长度．
(2)已知光线AP 平行于主光轴l，经过凸透镜MN 折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF 的长．
21
12．晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯AB
CD
，
的照射下，地面上形成了他的两个影子
EH
EG
，
．已知光源B，D 的高均为10m ，小凯的身高EF 为1.5m ，两盏路灯相距40m ，A，C，E，G，H
在同一平面内．
(1)当影子EG 长为6m 时，求此时小凯到路灯CD 的距离EC ；
(2)连接GH ，判断GH 与AC 的位置关系，并说明理由；
(3)小凯向上跳起再落下，该过程中GH 最长达到9m ，直接写出小凯头顶离地面的最大高度．
13．【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得
海关大楼的高度，如图1 所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，
如图2 所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到BC
a

，CE
b

，DE
c

．问：海关大楼高AB 高为多少？（用a ，b ，c 表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法
准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3 所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到
了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相
22
似，将测量距离进行转化，如图4 所示．
问题二：小星测量得到
16.8m
EG 
，
1.6m
DF 
，
1.8m
GN 
，
1.45m
DE 
，请你求出海关大楼AB 的高度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为81m ，请你尝试着分析出现这样误
差的原因是什么？
14．综合与实践
视力表中蕴含的数学知识
素
材
1
用硬纸板复制视力表中所对应的“ E ”，并依次编号①，②，
放在水平桌面上．如图1 所示，将②号“ E ”沿水平桌面向
右移动，直至从观测点O看去，对应顶点
1P ，
2P ，O在一
条直线上为止．这时我们说，在
1
D 处用①号“ E ”测得的视
力与在
2
D 处用②号“ E ”测得的视力相同．
任
务
1
探究图中
1
1
b
l 与
2
2
b
l 之间的关系，请说明理由；
任
务
2
若
1
1.6cm
b 
，
2
1cm
b 
，①号“ E ”的测量距离1
40cm
l 
，要使测得的视力相同，求②号“ E ”的测量距
离2l ．
23
素
材
2
为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离
为5m 的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好
方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图
2，在相距3m 的两面墙上分别悬挂视力表

AB 与平面镜


MN ，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人
的位置，使得视力表AB 的上、下边沿A
B
，发出的光线经
平面镜MN 的上下边沿反射后射入人眼C 处，通过测量视
力表的全长

AB 就可以计算出镜长MN ．
任
务
3
美美的方法中如果视力表的全长为0.8m ，请计算出镜长至少为多少米．
15．张师傅有一块如ABC

的锐角三角形木料，其中
120mm
BC 
，高
80mm
AD 
，张师傅想把它加工成矩形
零件PQMN ，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上，PQ与AD 交于点H．
(1)当点P 恰好为AB 中点时，PQ ______；
(2)当四边形PQMN 为正方形时，求出这个零件的边长；
(3)若这个零件的边
:
1: 2
PN PQ 
．则这个零件的长、宽各是多少？
16．爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其
中原理，如；物距u 、像距v 和焦距f 之间是否存在一定的联系?为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、
正立或倒立、实像或虚像?能不能求出具体放大（或缩小）了几倍?……于是乎他作了多次研究推理．
24
(1)小明先取物距
1.5
u
f

，然后画出光路图（如图1），其中AB 为物体，O 为凸透镜MN 的光心，入射光线
AC∥光轴，折射光线CA经过焦点C，A B
为AB 所成的像．请根据光路图1，解答下列问题：
①当
1.5
u
f

时，物体经凸透镜折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“缩小”）
的____________（填“实像”或“虚像”）．
②利用相似的知识，直接写出当
1.5
u
f

时物体成像时放大了__________倍；
(2)小明在研究的过程中发现了物距u 、像距v 和焦距f 之间在成实像时存在着关系：1
1
1
u
v
f


，请以物距
2
u
f

时为例，请仿照（1）②的方法，在图2 中画光路图证明这个关系式．
1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一
百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N 分别是正方形ABCD
的边AD ，AB 的中点，ME
AD

，NF
AB

，EF 过点A，且
100
ME 
步，
225
NF 
步，那么该正方形
城邑边长AD 约为（
）步．
25
A．300
B．250
C．225
D．150
2．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度，.古代的人们发现，夏至时日影最
短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个
时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角
BAC

和第二时刻光线与地面的夹角
ADB

相等，测得第一
时刻的影长为1.5尺，则第二时刻的影长为
尺
3．台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m 米，长
为2m 米的矩形台球桌ABCD，某球员击位于AB 的中点E 处的球，球沿EF 射向边AD ，然后反弹到C 点
的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v 米/秒，则球从出发到入袋的时间等于
（用
含m 和v，的式子表示）
4．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏
完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某
次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计
时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为
．
26
5．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD ．他们的身高分别是1.6m ，1.8m（
1.6m
EB 
，
1.8m

FC
），小明在距离树0.3m 的B 处（
0.3m
AB 
），看树的顶端D 的视线为ED ，原地再看爸爸的头部，
视线为EF ，爸爸经过移动调整位置，当EF
ED

时爸爸停止移动，这时测得
6.1m
AC 
．已知点A，B，C
在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD ．
6．汉城湖的汉武大帝雕像是国内最大皇帝雕像，如图，五一期间，小泽和小哲同学想用一些测量工具和所
学的几何知识测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽
在汉武大帝雕像影子的末端C 点处竖立一根2.4 米的标杆CD ，此时，小哲测标杆CD 的影长
3.2
CE 
米；
然后，小泽从C 点沿BC 方向走了9.6 米（
9.6
CG 
米），到达点G ，在G 处树立一根2.4 米的标杆FG ，接
着沿BG 方向走到点M 处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端A 与点F 在一条直线上（即A ，F ，H 在一条直
线上），此时，小哲测得
1.6
GM 
米，小泽的眼睛到地面距离
1.6
HM 
米．请你根据题中提供的相关信息，
求出汉武大帝雕像AB 的高．
7．如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP 的长，在离河岸D 点3.2 米远的B 点，立一根长为1.6 米的标
杆AB ，在河对岸的岸边有一根长为4.5 米的电线杆MF ，电线杆的顶端M 在河里的倒影为点N，即PM
PN

，
两岸均高出水平面0.75 米，即
0.75
DE
FP


米，经测量此时A、D、N 三点在同一直线上，并且点M、F、
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P、N 共线，点B、D、F 共线，若AB
DE
MF
、
、
均垂直于河面EP ，求河宽EP 是多少米？
8．如图，AB 和CD 表示两根直立于地面的柱子，AD 和BC 表示起固定作用的两根钢筋，AD 和BC 的交点
为M．
(1)若
15m
AB 
，
10m
CD 
，求点M 离地面的高度MH ；
(2)若AB
a
=
，CD
b

，MH
l
，请判断a，b，l 三者之间的关系，并说明理由．
9．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三
角形纸板的斜边长为0.5 米，较短的直角边长为0.3 米．
(1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB 平
行于地面MN（点M、P、E、N 在一直线上），且点D 在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB
距离地面的高度EF 为1.5 米，小丽与古树的距离AF 为16 米，求古树的高度DE ；
(2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为
A
B
C



、、
（如图②），使直角边B C

（较短直角边）平行于地面MN （点M、Q、E、N 在一直线上），点D
在斜边B A
的延长线上，且测得此时边B C

距离地面的高度依然是1.5 米，那么小丽向前移动了多少米？
10．小孔成像中的数学：如图1，小孔成像是重要的科学现象，它可以验证光的直线传播性质．如图2 是其
光路简图：O表示小孔，OE 的长为物距，OF 的长为像距，E ，O，F 三点在同一条直线上，物AB
EF

于E ，像CD
EF

于F ．
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(1)求证：AB
OE
CD
OF

；
(2)某地，正午时分，阳光通过树叶间的缝隙在地面上形成了一个圆形光斑，小明观察到此现象后，想估算
一下太阳的直径．他先测量了光斑的直径，记为d ，查阅资料后，知道地球到太阳的距离为l ．如果要估测
太阳的直径，还需要测量______，用x 表示所测得的量，则太阳的直径可表示为______．（用含有d ，l ，x
的代数式表示）
11．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和
光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l 垂直于凸透镜MN ，且经过凸透镜光心O，将长度为8 厘米
的发光物箭头AB 进行移动，使物距OC 为32 厘米，光线AO
BO
、
传播方向不变，移动光屏，直到光屏上
呈现一个清晰的像A B
，此时测得像距OD 为12.8厘米．
(1)求像A B
的长度．
(2)已知光线AP 平行于主光轴l，经过凸透镜MN 折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF 的长．
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12．晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯AB
CD
，
的照射下，地面上形成了他的两个影子
EH
EG
，
．已知光源B，D 的高均为10m ，小凯的身高EF 为1.5m ，两盏路灯相距40m ，A，C，E，G，H
在同一平面内．
(1)当影子EG 长为6m 时，求此时小凯到路灯CD 的距离EC ；
(2)连接GH ，判断GH 与AC 的位置关系，并说明理由；
(3)小凯向上跳起再落下，该过程中GH 最长达到9m ，直接写出小凯头顶离地面的最大高度．
13．【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得
海关大楼的高度，如图1 所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，
如图2 所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到BC
a

，CE
b

，DE
c

．问：海关大楼高AB 高为多少？（用a ，b ，c 表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法
准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3 所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到
了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相
30
似，将测量距离进行转化，如图4 所示．
问题二：小星测量得到
16.8m
EG 
，
1.6m
DF 
，
1.8m
GN 
，
1.45m
DE 
，请你求出海关大楼AB 的高度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为81m ，请你尝试着分析出现这样误
差的原因是什么？
14．张师傅有一块如ABC

的锐角三角形木料，其中
120mm
BC 
，高
80mm
AD 
，张师傅想把它加工成矩形
零件PQMN ，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上，PQ与AD 交于点H．
(1)当点P 恰好为AB 中点时，PQ ______；
(2)当四边形PQMN 为正方形时，求出这个零件的边长；
(3)若这个零件的边
:
1: 2
PN PQ 
．则这个零件的长、宽各是多少？
15．爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其
中原理，如；物距u 、像距v 和焦距f 之间是否存在一定的联系?为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、
正立或倒立、实像或虚像?能不能求出具体放大（或缩小）了几倍?……于是乎他作了多次研究推理．
(1)小明先取物距
1.5
u
f

，然后画出光路图（如图1），其中AB 为物体，O 为凸透镜MN 的光心，入射光线
31
AC∥光轴，折射光线CA经过焦点C，A B
为AB 所成的像．请根据光路图1，解答下列问题：
①当
1.5
u
f

时，物体经凸透镜折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“缩小”）
的____________（填“实像”或“虚像”）．
②利用相似的知识，直接写出当
1.5
u
f

时物体成像时放大了__________倍；
(2)小明在研究的过程中发现了物距u 、像距v 和焦距f 之间在成实像时存在着关系：1
1
1
u
v
f


，请以物距
2
u
f

时为例，请仿照（1）②的方法，在图2 中画光路图证明这个关系式．