文档文本内容
1
第01 讲菱形的性质与判定
课程标准
学习目标
1
理解菱形的概念，以及它与平行四边形之间的关
系；
2
探索并证明菱形的性质定理:菱形的四条边相
等，对角线互相垂直。
3
探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形
是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
1. 菱形的定义
2. 菱形的性质
3. 会求菱形的面积
4. 菱形的判定．
知识点一：菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2
要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一
对邻边相等这个特殊条件.
知识点二：菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
常用结论：
（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一
半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘
积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
知识点三：菱形的判定
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上
加上四条边相等.
题型01
用菱形的性质求角度
1．如图，在菱形ABCD中，连接AC 、BD ，若
70
CDB
，则
ACD
的度数为（
）
A．40
B．30
C．20
D．50
3
2．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
．以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 于点D ；分别以点B ，
D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧相交于点P ，连接PB ，PA ，PD ．若
25
APB
，则
C
的大小为（
）
A．30
B．35
C．40
D．50
3．如图，菱形ABCD中，AC 交BD 于O，CE
AB
于E ，连接OE ，若
110
DAB
，则
OEC
的度数
为
°．
4．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若
80
D
，则
BCF
的度
数是
．
题型02
用菱形的性质求线段长
1．如图，在菱形ABCD中，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点．若
3
EF ，则菱形ABCD的周长是（
）
A．12
B．16
C．20
D．24
2．如图，菱形ABCD的对角线
6
8
AC
BD
AE
BC
，
，
于点E ，则AE 的长是（
）
4
A．4.8
B．9.6
C．9.2
D．10
3．如图，菱形ABCD的对角线AC ，BD 相交于点O．若
60
ACB
，则BD
AC （
）
A．
2
B．3
C．
3
D．3 3
2
4．在菱形ABCD中，对角线AC
BD
、
相交于O，若
6
AB
，
4
AC
，那么BD
．
题型03
用菱形的性质求面积
1．如图，在菱形ABCD中，
4
AB
，
60
DAB
，则菱形的面积为（
）
A．
3
2
B．1
C．
3
D．8 3
2．如图，菱形ABCD的对角线AC 、BD 相交于点O，过点D 作DH
BC
于点H，连接OH ，若
4,
3
OA
OH
，
则
ABCD
S菱形
为（
）
5
A．6
B．8
C．12
D．24
3．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A，B 的坐标分别为
5,0
和
0, 1
，点C，
D 在坐标轴上，则菱形ABCD的面积为
．
4．菱形的周长为4 5 cm ，一条对角线长为4cm ，则菱形的面积是
2
cm ．
题型04
用菱形的性质证明
1．如图，在菱形ABCD中，点E 是边AD 上一点，延长AB 至点F，使BF
AE
，连接BE 、CF ．求证：BE
CF
．
2．如图，BD 是菱形ABCD的对角线，P 为边AB 上的点，过点P 作PQ
AD
∥
，交BD 于点M ，交CD 边于
点Q ．求证：CQ
PM
．
3．如图，在菱形ABCD中，P 为对角线BD 上一点，点E 在边AD 上，连接PA ，PC ，PE ，且EP
AP
．求
证：CP
EP
．
6
题型05
菱形的判定与证明
1．已知，如图：在四边形ABCD中，如果AB
CD
BC
DA
，
，“华益必胜”，那么四边形ABCD是菱形．在
以上真命题中，“华益必胜”可以表示的条件是（
）
A．
A
C
B．AD
BC
∥
C．AB
BC
D．AB
DC
2．已知：在四边形ABCD中，AB
BC
CD
DA
，如图，求证，四边形ABCD是菱形．
证明：
AB
CD
，BC
DA
，
四边形ABCD是平行四边形，
又…………，
四边形ABCD是菱形
在以上证明过程中，“…………”可以表示的是（
）
A．
A
C
B．AD
BC
∥
C．AB
BC
D．AB
DC
3．如图，在菱形ABCD中，E、F 是对角线AC 上的两点，连接DE 、DF ，请你添加一个条件，使
DAE
DCF
≌
．（不再添加辅助线和字母）
(1)你添加的条件是______；
7
(2)添加条件后，请证明DAE
DCF
≌
．
题型05
菱形的性质与判定的综合应用
1．如图，以点A 为圆心，适当的长为半径画弧，交
A
两边于点M，N，再分别以M、N 为圆心，AM 的
长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB
NB
，
．若
40
A
，则
MBN
（
）
A．40
B．50
C．60
D．140
2．如图，四边形ABCD中，AB
BC
CD
DA
，
80
B
，连接AC ，那么
ACD
的度数为（
）
A．45
B．50
C．55
D．60
3．如图，已知
AOB
，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C ，D 两点，分别以
点C ，D 为圆心，大于1
2 CD 长为半径作圆弧，两条圆弧交于
AOB
内一点E ，作射线OE ．以点C 为圆心，
CO 长为半径作圆弧，恰好经点D ，与射线OE 交于点F ，连接CF ，DF ．若
4 3
OF
，则四边形COFD的
面积为
．
8
4．如图，在ABC
中，D，E 分别是AB
AC
，
的中点．
2
BE
DE
，延长DE 到点F，使得EF
BE
，连接CF ．
(1)求证：四边形BCFE 是菱形；
(2)若
4
120
CE
BCF
，
，求菱形BCFE 的面积．
（测试时间45 分钟）
1．在
ABCD
中，AC 、BD 是对角线，补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（
）
A．AC
BD
B．AC
BD
C．AB
AC
D．
90
ABC
2．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边
形，则下列结论中不一定成立的是（
）
9
A．
ABC
ADC
，
BAD
BCD
B．AB
BC
C．AB
CD
，AD
BC
D．
180
DAB
BCD
3．如图，在菱形ABCD中，作FE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于点F ，连接DF ，若
CDF
，则
CAB
等于（
）
A．2
B．45
C．30
2
D．60
3
4．如图是由5 个边长为1，且一个内角为60的小菱形拼成的图形，P 是其中4 个小菱形的公共顶点．佳佳
想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点
P 的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）
A．
3
B．13
C．13
3
D．2 7
3
5．如图，
ABCD
的对角线AC
BD
，
相交于点O，点E 为边BC 的中点，连接EO并延长交边AD 于点F，
60
ABC
，
2
BC
AB
．下列结论错误的是（
）
A．AB
AC
B．
4
AD
OE
C．四边形AECF 为菱形
D．
BOE
ABC
S
S
10
6．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC
BD
，
交于点O，
=60
ACB
，
1
1
3
AM
AN
AB
，点P 沿BD 从
点B 匀速运动到点D．设点P 的运动距离为x，PM
PN
y
，图2 是点P 运动时y 随x 变化的函数关系图
象，则图2 中最低点的横坐标a 的值为（
）
A．2 3
B．3
2
C．3 3
2
D．3
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 的坐标是
3,1 ．若顶点B 在第一象限的角平分线上，
则点B 的坐标是
．
8．如图，在菱形ABCD中，点E，F，G 分别在AC ，BC ，AB 上，EF
AB
∥
，EG
BC
∥
．若菱形ABCD
的边长为6，则EF
EG
的长为
．
9．如图，在边长为2 的菱形ABCD中，
120
B
，点M 是AD 的中点，连接MC ，将菱形ABCD翻折，使
点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N，则线段EC 的长为
．
11
10．如图，四边形ABCD是边长为2 的菱形，
120
B
，将菱形ABCD绕点A 逆时针旋转，使点B 的对应
点B落在对角线AC 上，则
DAB
，B C
交CD 于点E，则四边形DAB E
的面积等于
．
11．如图，点E ，F 分别在菱形ABCD的边BC ，CD上，连接AE 、AF ．请从以下两个选项中①BE
DF
；
②
AEB
AFD
，选择一个合适的选项作为已知条件，使
BAE
DAF
．
(1)你添加的条件是________；（填序号，填一个即可）
(2)根据你添加的条件进行证明．
12．如图，已知
ABCD AD
AB
，连接AC ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）
作AC 的垂直平分线
,
MN 分别交
,
,
AD BC AC于点M，N，O，连接CM 和AN ；
(2)在（1）的条件下，若四边形AMCN 的周长为16，求AM 的长．
13．如图，在
ABCD
中，CE 平分
BCD
，交AD 于点E，DF 平分
ADC
，交BC 于点F，CE 与DF 交
于点P，连接EF ．
12
(1)求证：四边形CDEF 是菱形；
(2)若
60
DCE
，
2
EC
，求菱形CDEF 的面积．
14．如图1，AE
BF
∥
，AC 平分
BAD
，且交BF 于点C ，BD 平分
ABC
，且交AE 于点D ，连接CD
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，若DM
BF
交BF 于点M ，且
6
AC
，
4
OM
，求菱形的边长．
15．如图1，两个全等的直角三角形ABC 和DEF 的斜边AC 和DF 在同一直线上，AB
DE
，将DEF
沿
直线AC 平移，并连结AE ，BD ．
(1)【基础巩固】
求证：在DEF
沿直线AC 平移过程中，四边形ABDE 是平行四边形；
(2)【操作思考】
如图2，已知
4
AB
，
2
BC
，当DEF
沿AC 平移到某一个位置时，四边形ABDE 为菱形，求此时AF 的
长；
(3)【拓展探究】
如图3，连结BE ，若四边形ABDE 为菱形，且BE
CD
，求
BAC
的度数．
16．如图，在四边形ABCD中，AB
CD
∥
，AB
AD
，对角线AC ，BD 交于点O，AC 平分
BAD
，过点
C 作CE
AB
交AB 的延长线于点E ，连接OE ．
13
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若
5
AB
，
2
BD ，求OE 的长；
(3)在（2）的条件下，已知点M 是线段AC 上一点，且
2
DM
，则CM 的长为_______．
17．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
Ð
=
°，
5 3
BC
，
30
C
．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2 个单位
长的速度向A 点匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动，当
其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E 运动的时间是t 秒
0
t
．过点D 作DF
BC
于点F，连接DE
EF
、
．
(1) AC 的长是_______，AB 的长是_______．
(2)在D、E 的运动过程中，线段EF 与AD 的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF 与AD 是何关系，
并给予证明．若变化，请说明理由．
(3)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．
(4)当t 为何值，CDF
的面积是2 3 ？
