文档文本内容
1
第17 讲投影
课程标准
学习目标
通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影
的概念。
1、认识生活中的投影现象,了解中心投影、平行投影和正投
影的概念和性质；
2、学生经历探索中心投影、平行投影和正投影的规律的过程,
培养学生的转化能力和分类归纳的数学思想；
经过操作、观察、想象、思考、交流等活动,探索中心投影、
平行投影和正投影；
的规律,发展学生的空间观念和推理能力．
知识点一：平行投影
1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被
光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平
2
行投影.由此我们可得出这样两个结论：
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，
方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是
由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：
.
知识点二：中心投影
若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，
相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、
放映机的灯光等.
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向
也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
知识点三：正投影
正投影的定义：
如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图
(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情
形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.
题型01 平行投影
1．下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两棵树的影子方向应该相同，两棵树的树高与影长成正比，依次判断即可．
本题考查了阳光下物体的影子，太阳光是平行光，并且同一时刻物高与影长成正比，熟练掌握以上知识是
解题的关键．
3
【详解】A、影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项符合题意；
B、影子的方向不相同，故本选项不符合题意；
C、影子的方向不相同，故本选项不符合题意；
D、树高与影子长度不成正比，故本选项不符合题意．
故选A．
2．矩形窗框在太阳光下的影子不可能是（
）
A．平行四边形
B．矩形
C．梯形
D．线段
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的
影子就是平行投影．根据矩形的摆放方式与光线的夹角的不同，其投影的形状不同进行求解即可．
【详解】解：当太阳光斜射矩形窗框时，其投影为平行四边形，
当太阳光直射矩形窗框时，其投影为矩形，
当太阳光与矩形窗框平行时，其投影为线段．
故选：C．
3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有记载：“今有竿不知其长，量得影长百寸，立一标杆，
长二十寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意是：现在有一根不知道长度的竹竿，（把它竖立在太阳下）测量
得它的影子长100 寸，同时竖立一根长度为20 寸的标杆，测量得它的影子长5 寸，则竹竿的长度是（
）
A．25 寸
B．40 寸
C．200 寸
D．400 寸
【答案】D
【分析】本题考查了平行投影，掌握同一时刻物高与影长成正比是关键；根据同一时刻物高与影长成正比
可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度是x 寸，
根据同一时刻物高与影长成正比，得：
20
100
5
x
，
解得：
400
x
；
即竹竿的长度是400 寸；
故选：D．
4．在阳光下，身高1.6 米的小明在地面上的影长为0.4 米，同一时刻旗杆的影长为3 米，则旗杆的高度为
米．
【答案】12
4
【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，进行求解即可．
【详解】解：设旗杆的高度为x 米，由题意，得：1.6
0.4
3
x
，
解得：
12
x
；
故答案为：12．
5．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知
12m
CD
，
18m
DE
，小明和小华的身高都是1.5m，同一时刻小明站在E 处，影长为2m ，小华站在平地上，影长为1m ，
则塔高AB 是
米．
【答案】22.5
【分析】设塔影留在坡面DE 部分的塔高
1m
AF
h
，塔影留在平地BD 部分的塔高
2m
BF
h
，根据平行线分
线段成比例可知
118
1.5 2
h
：
：，
2 6
1.51
h
：
：进而解答即可．本题考查了相似三角形的相关应用，利用平底和斜
坡上的物高与影长比得到相应的塔高的长度是解题的关键．
【详解】解：过D 点作DF
AE
∥
，交AB 于F 点，
设塔影留在坡面DE 部分的塔高
1m
AF
h
、塔影留在平地BD 部分的塔高
2m
BF
h
，则铁塔的高��为
1
2 m
h
h
，
∵
118
1.5 2
h
：
：，
∴
1
13.5m
h
，
∵
12m
CD
，点B 是��的中点，
∴
1
6m
2
BD
CD
，
∵
2 6
1.51
h
：
：，
∴
2
9m
h
，
5
∴
13.5
9
22.5 m
AB
∴铁塔的高度为22.5m ．
故答案为：22.5 ．
6．【基础解答】如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱．
m
6
AB
，某一时刻AB 在阳光下的投影
2m
BC
，DE 在阳光下的投影长为3m ．根据题中信息，求立柱DE 的长．
【拓展拔高】如图，古树AB 在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即
4m
BC
，还有一部分影子在建
筑物的墙上，墙上的影高CD 为1m ，同一时刻，竖直于地面上的1m 长的竹竿，影长为2m ，求这棵古树AB
的高．
【答案】立柱
9m
DE
，古树
3m
AB
．
【分析】本题主要考查了投影的性质，相似三角形的判定与性质，
基础解答：根据太阳光投影中，光线都是平行的，即可得DF
AC
∥
，据此判定
ABC
DEF
△
△
∽
，问题随之
得解；
6
拓展拔高：画出图形，根据光线都是平行的，根据“基础解答”的方法，同理可得：
ABG
MNH
△
△
∽
，
DCG
MNH
△
△
∽
，问题随之得解．
【详解】基础解答
如图，
∵DF
AC
∥
，
∴
ACB
DFE
，
又∵
90
ABC
DEF
，
∴
ABC
DEF
△
△
∽
，
∴AB
DE
BC
EF
，
∵
m
6
AB
，
2m
BC
，
3m
EF
，
∴6
2
3
DE
解得：
9m
DE
；
拓展拔高
如图，
根据题意有：
4m
BC
，
1m
CD
，
1m
MN
，
2m
NH
，
根据【基础解答】，同理可得：
ABG
MNH
△
△
∽
，
DCG
MNH
△
△
∽
，
∴AB
MN
BG
NH
，CD
MN
CG
NH
，
即有：
1
4
2
AB
CG
，1
1
2
CG
，
解得：
2
CG
，
7
即有
3
AB （m ），
即古树
3m
AB
．
题型02 中心投影
7．在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的长，那么晚上在同一路灯下（
）
A．小刚的影子比小红长
B．小红的影子比小刚长
C．小刚和小红的影子一样长
D．无法确定
【答案】D
【分析】本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体
的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体
它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，
影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．在同一路灯下由于位置不同，影长
也不同，所以无法判断谁的影子长．
【详解】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
故选：D．
8．如图，灯光与物体的影子的位置最合理的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】此题主要是考查了中心投影，能够掌握中心投影是点光源与物体，影子的对应点在同一直线上是
解题的关键．
根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上逐一进行判断可得结果．
【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断：
A、选项中的影子不符合题意；
B、选项中的影子符合题意；
C、选项中的影子不符合题意；
8
D、选项中的影子不符合题意．
故选：B．
9．如图，一块面积为
2
60 cm 的三角形硬纸板（记为
ABC
）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的
投影是
1
1
1
A B C
△
，若
1
2 3
OB BB
:
:
，则
1
1
1
A B C
△
的面积是（
）
A．
2
90 cm
B．
2
135 cm
C．
2
150 cm
D．
2
375 cm
【答案】D
【详解】解：∵一块面积为
2
60 cm 的三角形硬纸板（记为
ABC
）平行于投影面时，在点光源O的照射下
形成的投影是
1
1
1
A B C
△
，
1
2 3
OB BB
:
:
，
∴
1
2
5
OB
OB
，
∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5，
∵三角形硬纸板的面积为
2
60 cm ，
∴
1 1 1
2
2
4
5
25
ABC
A B C
S
S
，
∴
1
1
1
A B C
△
的面积为
2
375 cm ．
故选：D．
10．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A 处径直走到B 处这一过程中，他在地上的影子（
）
A．逐渐变短
B．先变短后变长
C．先变长后变短
D．逐渐变长
9
【答案】B
【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心
投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长．
【详解】解：在小亮由远处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再远离路灯
时，他在地上的影子逐渐变长，
∴小亮在地上的影子先变短后边长，
故选：B．
11．如图，在路灯下，AB 表示小明的身高，AC 表示他的影子，FG 表示小亮的身高，路灯灯泡在线段DE
上．
(1)请你画出灯泡的位置，并画出小亮在灯光下的影子；
(2)如果小明的身高
1.6m
AB
，他的影子
1.4m
AC
，且他到路灯的距离
2.1m
AD
，求路灯的高．
【答案】(1)见解析
(2) 4m
【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用；理解中心投影，掌握相似三角形的判定及性质是解题
的关键．
（1）连接CB ，延长CB 交DE 于点O，点O即为灯泡的位置，连接OG ，延长OG 交AF 与点H，线段FH 即
为所求；
（2）由相似三角形的判定方法得ABC
DOC
∽
，由相似三角形的性质得AB
CA
DO
CD
，即可求解；
【详解】（1）解：如图，
点O 为灯泡的位置，FH 为小亮在灯光下的影子；
（2）解：
AB
OD
∥
，
10
ABC
DOC
∽
，
AB
CA
DO
CD
，
1.6
1.4
1.4
2.1
DO
，
解得：
4
DO
，
路灯的高为4m ．
12．如图，一墙墩（用线段AB 表示）的影子是BC ，小明（用线段DE 表示）的影子是EF ，在M 处有一
棵大树，它的影子是MN ．
(1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置
（用点P 表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线；
(2)在图中画出表示大树高的线段；
(3)若小明的身高是1.8m ，他的影长
1 8m
EF .
．大树的高度为7.2m，它的影长
7.2m
MN
．且大树与小明
之间的距离
16.2m
ME
，求路灯的高度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)路灯的高度为12.6m．
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握中心投影的性质是解题的关键．
（1）延长CA 和FD 交于点点P，即为路灯的位置，再确定是什么光线；
（2）根据中心投影的性质作图；
（2）根据直角三角形的性质求解．
【详解】（1）解：影子是路灯照射形成的，点P 的位置如图所示；
11
；
（2）解：MQ 即为树高如图所示；
（3）解：过P 点作PG
NF
，垂足为G，则PG 的长即为路灯的高度
由题意知：
7.2m
MN
MQ
，
1.8m
DE
EF
，
所以
45
QNM
DFB
，
90
NPF
，即
PNF
△
为等腰直角三角形，
所以
1
1
1 7.2
16.2
1.8
12.6 m
2
2
2
PG
NF
NM
ME
EF
即路灯的高度为12.6m．
题型03 正投影
13．物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（
）
A．一条线段
B．一个与原正方形全等的正方形
C．一个邻边不等的平行四边形
D．一个等腰梯形
【答案】D
【分析】本题考查了投影，根据投影的含义进行判断即可；
【详解】解：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；正方形纸板所在平面与光
线垂直时，得到一个与原正方形全等的正方形；正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，得到一个
平行四边形；正投影不可能得到等腰梯形；
故选：D．
14．把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（
）
A．
B．
12
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行投影，当投射线由正前方射到后方时，它们在该投影面上的投影积聚成一直线，
结合正六棱柱的特点即可得到答案．
【详解】解：根据投影的性质可得，该物体为正六棱柱，则正投影与主视图一致．
故选：B．
15．下列投影一定不会改变
ABC
的形状和大小的是（
）
A．中心投影
B．平行投影
C．当
ABC
平行于投影面时的正投影
D．当
ABC
平行于投影面时的中心投影
【答案】C
【分析】此题主要考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别．根据正投影、平行投影、
中心投影的定义即可得答案．
【详解】解：一定不会改变
ABC
的形状和大小的是当
ABC
平行投影面时的正投影，
故选：C
16．一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可．
【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是
13
故选：B．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同．
17．如图，一块含30角的直角三角形木板ABC ，将它的直角顶点C 放置于直线上，点A ，点B 在直线l 上
的正投影分别是点P ，点Q ，若
20
AB
，
6 3
BQ
，则AB 在直线l 上的正投影的长是（
）
A．10 3
B．8 3
C．6
8 3
D．8
8 3
【答案】C
【分析】根据30角所对的直角边等于斜边的一半，可得
5
AC
，求出BC 的长，再根据勾股定理可得CQ的
长；通过证明
ACP
CBQ
△
∽△
，再根据相似三角形的性质可得CP 的长，进而得出PQ的长．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
30
ABC
，
20
AB
，
1
10
2
AC
AB
，
3
3
20
10 3
2
2
BC
AB
，
在Rt CBQ
中，
2
2
2
2
(10 3)
(6 3)
8 3
CQ
CB
BQ
，
90
CAP
ACP
，
90
BCQ
ACP
，
CAP
BCQ
，
ACP
CBQ
△
∽△
，
CP
AC
BQ
BC
，
10
6 3
6
10 3
CP
，
6
8 3
PQ
CP
CQ
，
即AB 在直线l 上的正投影的长是6
8 3
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行投影，掌握相似三角形的判断与性质以及勾股定理是解答本题的关键．
18．如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面ABCD 平行于投影面P ，圆柱下底面的中心正
14
对正方体上底面的中心，圆柱的高等于AB ，底面圆的直径为1
3 AB ，若
4cm
AB
．
(1)画出该立体图形在投影面P 上的正投影；
(2)计算正投影的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
2
64 cm
3
【分析】本题考查了立体图形的有关知识，正投影的面积等于正方形和长方形的面积和是解本题的关键．
（1）根据题中说明，画出立体图形在投影面P 上的正投影即可；
（2）正投影的面积是由正方形和长方形组成，计算它们的面积和即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）正投影的面积正方形面积长方形面积
2
1
64
4
4
4
4
(cm )
3
3
．
题型04 视图视角和盲区
19．如图，在房子屋檐E 处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（
）
A．
ACE
△
B．
ADF
△
C．
ABD
△
D．四边形BCED
15
【答案】C
【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，E 是视点，
找到在E 点处看不到的区域即可．
【详解】解：由图知：在视点E 的位置，看不到AB 段，因此监视器的盲区在
ABD
△
所在的区域，
故选：C．
【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判
断．
20．“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（
）
A．增大盲区
B．减少盲区
C．改变光点
D．增加亮度
【答案】B
【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可．
【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误；
选项B，减少盲区，正确；
选项C，不可能改变光点，错误；
选项D，不是增加亮度，选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野
盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区．
21．下列几项设计不是为了减少盲区的是（）
A．较大的会场设计成阶梯状
B．城市许多路口设计得都十分宽阔
C．城市设计了许多高层住宅
D．汽车上，司机前的玻璃窗面积设计的尽量大
【答案】C
【分析】根据盲区定义，盲区是指看不见的区域，仰视时越向前视野越小盲区越大，俯视时越向前视野越
大，盲区越小，逐一判断即可．
【详解】解：A、较大会场的座位都呈阶梯形状，是为了使后面的观众有更大的视野，从而减小盲区；
B、越靠近路口视野越大，盲区越小；
C、越靠近高楼视野越小，盲区增大；
D、汽车上，司机前的玻璃窗面积设计的越大视野越广，盲区越小；
故选C
【点睛】本题主要考查了学生对视点，视角和盲区的理解能力，掌握盲区定义是判别的关键．
16
22．如图1 为五角大楼的示意图，图2 是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两
个侧面，则小红应站的区域是（
）
A．A 区域
B．B 区域
C．C 区域
D．三区域都可以
【答案】C
【分析】根据视点，视角和盲区的定义，观察图形，选出答案．
【详解】由图可知，A 区域可以看到一个侧面，B 区域可以看到三个侧面，C 区域可以看到两个侧面.故选
C.
【点睛】本题考查的是视点，视角和盲区在实际中的应用，比较基础，难度不大．
23．如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P 处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现(
)
A．M，R，S，F
B．N，S，E，F
C．M，F，S，R
D．E，S，F，M
【答案】D
【分析】凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P 处，P 处为视点，凯凯只有藏在盲区才不会被发现．
【详解】只有在P 点的盲区内才不容易被发现．由图可知：P 视点的盲区中有E，S，F，M 点，因此在这
四点时不容易被发现．
故选D．
【点睛】本题考查了视点，视角和盲区的定义．
17
24．如图，一墙墩（用线段��表示）的影子是BC ，小明（用线段��表示）的影子是EF ，在M 处有一颗
大树，它的影子是MN ．
1 试判断是路灯还是太阳光，如果是路灯确定路灯的位置（用点P 表示）．如果是太阳光请画出光线．
2 在图中画出表示大树高的线段．
(3)若小明的眼睛近似地看成是点D ，试画图分析小明能否看见大树．
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【分析】（1）根据光线相交于一点得出确定路灯的位置；（2）利用AB，DE，确定大树的高，（3）运用视
角连接AD，即可得出能否看见大树．
【详解】解：
1 根据光线相交于一点，即可得出路灯确定路灯的位置；
2 如图所示：(3)如图所示，小明
的眼睛近似地看成是点D ，小明不能看见大树．
【点睛】本题考查平行投影，视点、视角和盲区.
25．如图所示是一种液面微变监视器的基本原理图，光束发射器从点P 处始终以一定角度向被监视的液面
发射一束细光，光束在液面1l 的
1
O 处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点
1S ，光电
转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来．当液面上升至2l 时，入射点就沿着入射光线的方向平
移至
2
O 处，反射光线也跟着向左平移至
2S 处，
1
1
O S 交2l 于点Q ，在
1
O 处的法线交2l 于点
2
,
N O 处的法线为
2
O M ．若
1
2
5.2cm
S S
，
45
，则液面从1l 上升至2l 的高度为（
）
18
A．5.2cm
B．2.6cm
C．13
3cm
5
D．13
2cm
5
【答案】B
【分析】本题考查了平行光线，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．先证明四边形
1
2
2
S S O Q是平行四边形，求得
2
1
90
O OQ
，据此求解即可．
【详解】解：由题意得
1
1
2
2
O S
O S
∥
，
1
2
2
S S
O Q
∥
，
∴四边形
1
2
2
S S O Q是平行四边形，
∴
2
1
2
5.2cm
O Q
S S
，
∵
45
，
∴
2
1
90
O OQ
，
1
2
1
2
45
OO Q
OQO
，
∴
1
2
1
OO
OQ
，
∵
1
2
O N
O Q
，
∴
1
2
1
2.6cm
2
O N
O Q
，
故选：B．
26．如图，在直角坐标系中，点
2 2
P
，
是一个光源．木杆AB 两端的坐标分别为
01，、
31，．则木杆AB
在x 轴上的投影长为（
）
A．3
B．5
C．6
D．7
【答案】C
19
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影；利用中心投影，延长PA 、PB 分别交x 轴于A
B
，
，
作PE
x
轴于E ，交��于D ，如图，证明PAB
PA B
∽
，然后利用相似比可求出A B
的长．
【详解】解：延长PA
PB
、
分别交x 轴于A
B
，
，作PE
x
轴于E ，交AB 于D ，如图
∵
2,2
0,1
3,1
P
A
B
，
，
．
∴
1
PD ，
2
PE
，
3
AB
，
∵AB
A B
∥
，
∴PAB
PA B
∽
，
∴AB
AD
A B
AE
，即
3
1
2
A B
∴
6
A B
，
故选：C．
二、填空题
27．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10 米的旗杆AB 和一根高7 米的电线杆CD ，它们都与
地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子BF 的长为10 米，落在围墙上的影子EF 的
长度为2 米，而电线杆落在地面上的影子DH 的长为5 米，则落在围墙上的影子GH 的长为
米．
【答案】3
【分析】本题主要考查了平行投影、矩形的判定与性质等知识点，根据平行投影的对应边成比例列出方程
成为解题的关键．
如图：过点E 作EM
AB
于M，过点G 作
GN
CD于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比
例式
AM
CN
ME
NG ，即
7
10
5
8
GH
，然后求出GH 即可．
20
【详解】解：如图：过点E 作EM
AB
于M，过点G 作
GN
CD于N．
由题意得：四边形
,
EFBM GHDN 是矩形，
则
2m
MB
EF
，ND
GH
，
10m
ME
BF
，
5m
NG
DH
．
∵
10m,
7m
AB
CD
，
∴
10
2
8m
7
AM
AB
MB
CN
CD
DN
GH
，
，
由平行投影可知：
AM
CN
ME
NG ，即
7
10
5
8
GH
，
解得：
3
GH
．
故答案为：3．
28．某学校旁有一根电线杆AB 和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A 的影
子刚好落在长方形广告牌的上边中点G 处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E 点（如图），已知
5
BC
米，长方形广告牌的长
4
HF
米，高
3
HC
米，
4
DE
米，则电线杆AB 的高度是
米．
【答案】33
4 /
1
8 4 /8.25
【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度
不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G 作GQ
BE
于点Q，GP
AB
于
点P，得出四边形BQGP 是矩形，由题意得APG
FDE
∽
，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解
即可．
【详解】如图，过点G 作GQ
BE
于点Q，GP
AB
于点P，
21
根据题意得出，四边形BQGP 是矩形，
3
BP
GQ
米，
根据实际高度和影长成正比例，得出APG
FDE
∽
，
∴AP
PG
DF
DE
，
∴
5
2
3
4
AP
，
∴
21
4
AP
，
∴
21
33
3
4
4
AB
米．
故答案为：33
4 ．
三、解答题
29．如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点A 处安装了360 度旋转摄像头，
由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体AB 上重新设计摄像头安装的位置，画
出示意图，并说明理由．
【答案】（1）3
20 ；（2）见详解
【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；
22
（2）把摄像头安装在AB 的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB 的其他位置，表达出
监控盲区的面积，即可得到结论．
【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，
∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2- 1
2 ×2×1=3，
∴站在监控盲区的概率=3÷20= 3
20 ；
（2）如图所示：摄像头安装在AB 的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2× 1
2 ×1×2=2，
若摄像头不安装在AB 的中点处，则监控盲区面积= 1
2 ×(CM+2)×2＞2．
【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．
30．如图，王琳同学在晚上由路灯A 走向路灯B ，当他行到P 处时发现，他在路灯B 下的影长为2 米，且恰
好位于路灯A 的正下方，接着他又走了6.5 米到Q 处，此时他在路灯A 下的影子恰好位于路灯B 的正下方（已
知王琳身高1.8米，路灯B 高9米）
(1)标出王琳站在P 处在路灯B 下的影子；
(2)计算王琳站在Q 处在路灯A 下的影长；
(3)计算路灯A 的高度．
【答案】(1)线段CP
(2)1.5米
23
(3)12米
【分析】本题考查相似三角形的应用，
（1）影子为光线与物高相交得到的阴影部分；
（2）证明Rt
Rt
CBD
CEP
△
∽
△
，利用对应边成比例可得QD 长；
（3）证明Rt
Rt
DAC
DFQ
△
∽
△
，利用对应边成比例可得AC 长，也就是路灯A 的高度；
解题的关键是掌握：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
【详解】（1）解：线段CP 为王琳在站在P 处路灯B 下的影子；
（2）根据题意知：AC
CD
，BD
CD
，EP
CD
，FQ
CD
，
9
BD
，
1.8
EP
FQ
，
6.5
PQ
，
2
CP
∴
90
CDB
CPE
，
90
DCA
DQF
，
∵
BCD
ECP
，
∴Rt
Rt
CBD
CEP
△
∽
△
，
∴BD
CD
EP
CP
，
∴9
2
6.5
1.8
2
QD
，
解得：
1.5
QD
，
答：王琳站在Q 处在路灯A 下的影长为1.5米；
（3）由（2）知：
90
DCA
DQF
，
∵
ADC
FDQ
，
∴Rt
Rt
DAC
DFQ
△
∽
△
，
∴AC
CD
FQ
QD
，
∴
1.5
6.5
2
1.8
1.5
AC
，
解得：
12
AC
，
答：路灯A 的高度为12米．
31．综合与实践．
现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关
数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱AB ，在灯柱AB
上有一盏路灯P，在路灯下，人站在点D 和点G 的位置都有影子，B、D、G 三点在同一水平线上．根据
上述内容，解答下列问题：
24
(1)已知人站在点D 时路灯下的影子为DE，请画出路灯P 及人站在点G 时路灯下的影子GH ；
(2)如图，若身高为1.7 米的小明站在点D 影长DE 为3m ，沿BD 方向走5m 到点G，
5m
DG
，此时影
长GH 为4m ，求路灯P 到地面的高度PB；
【答案】(1)见解析
(2)路灯P 离地面的高度为10.2m
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用以及中心投影的性质：
（1）利用中心投影的性质进而得出P 点和H 点位置；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出EPB
ECD
∽
，同理可得HFG
HPB
∽
，进而得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，点P、线段GH 即为所求，
延长EC 于点P，找到路灯P 的位置，连接PF 并延长，交射线BD 于点H，即为人FG 在路灯下的影子．
（2）解：∵CD
AB
∥
，
∴EPB
ECD
∽
，
CD
DE
PB
BE
，即1.7
3
3
PB
BD
①
∵FG
AB
∥
，
∴HFG
HPB
∽
，
FG
HG
PB
HB
，即1.7
4
4
5
PB
BD
②
25
由①②得
3
4
3
4
5
BD
BD
，
解得
15
BD
1.7
3
3 15
PB
，
解得
10.2
PB
．
答：路灯P 离地面的高度为10.2m ．
32．如图，点P 的对面是一面东西走向的墙，某人在点P 观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6
米，根据图中标示的数据解决下列问题：
(1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积；
(2)当汽车行驶到CD 位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？
【答案】(1)盲区的面积为75 m2；(2)盲区的面积不变．
【分析】（1）根据已知画出形成的盲区为梯形AEFB，再利用梯形面积求法得出答案即可；
（2）根据△PCD 与△PMN 仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变，所以MN 的长不
变，所以梯形CMND 的面积不变，即盲区的面积不变．
【详解】(1)形成的盲区为梯形AEFB，
∵AB∥EF，
∴△PAB∽△PEF，
∴AB
EF ＝20
30 ，
∴EF＝9，
∴盲区的面积为(6＋9)×10÷2＝75 m2；
26
(2)当汽车行驶到CD 位置时，盲区的面积不会发生变化，
∵△PCD 与△PMN 仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变．
所以MN 的长不变，所以梯形CMND 的面积不变，即盲区的面积不变．
【点睛】此题主要考查了盲区的确定方法以及梯形面积求法，根据已知得出MN 的长不变，进而得出梯形
CMND 的面积不变是解题关键．
33．如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊AB ，文化长廊上伫立着三座名人塑像
,
,
CD EF GH ，点A，D，F，H，B 在同一条直线上，且．AD
DF
FH
HB
．在明德楼的楼顶有一照明
灯P，塑像CD 的影子为DM ，塑像EF 的影子为FN ．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊．
32
AB
米，塑像的高
3
CD
EF
GH
米，塑像CD 的影长
2
DM
米．
(1)求明德楼的高PA ；
(2)求塑像EF 的影长FN ．
【答案】(1)15 米；
(2)4 米．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据已知易得
1
8
4
AD
DF
FH
HB
AB
米，证明CDM
PAM
∽
，从而利用相似三角形的性质
可解答；
（2）根据题意可得
90
PAN
EFN
，证明EFN
PAN
∽
，从而利用相似三角形的性质进行计算即可
解答．
27
【详解】（1）∵AD
DF
FH
HB
，
32
AB
米，
1
8
4
AD
DF
FH
HB
AB
米．
由题意，得
90
CDM
PAM
．
∵
CMD
PMA
，
∴CDM
PAM
∽
，
CD
DM
PA
AM
，
3
2
2
8
AP
，
解得
15
AP
．
答：明德楼的高PA 为15 米．
（2）由题意，得
90
PAN
EFN
．
∵
ENF
PNA
，
∴EFN
PAN
∽
，
EF
FN
PA
AN
，
3
15
8
8
FN
FN
，
解得
4
FN
．
答：塑像EF 的影长FN 为4 米．
34．操作与研究∶如图，
ABC
被平行于CD 的光线照射，CD
AB
于D ，AB 在投影面上．
(1)指出图中AC 的投影是什么，CD 与BC 的投影呢？
(2)探究∶如图1，Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，CD
AB
，我们可以利用
ABC
与ACD
相似证明
2
AC
AD AB
，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理．
(3)【结论运用】如图2，正方形ABCD 的边长为15，点O是对角线
,
AC BD 的交点，点E 在CD 上，过点C 作
CF
BE
，垂足为F ，连接OF ，
①试利用射影定理证明BOF
BED
∽
；
28
②若
2
DE
CE
，求OF 的长．
【答案】(1) AC 的投影是AD ，CD 的投影是点D ，BC 的投影是BD
(2)证明过程见详解
(3)①证明过程见详解；②
3 5
OF
【分析】（1）根据投影的定义，即可求解；
（2）根据Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，CD
AB
，可得
ACD
B
，
A
是公共角，由三角形相似的判定
及性质即可求证；
（3）①根据射影定理可得
2
·
BC
BO BD
，
2
·
BC
BF BE
，且
OBF
EBD ，根据三角形相似的判定方法
即可求解；②先计算DE ，CE ，BE ，OB 的长度，在根据①中的结论即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，AC 的投影是AD ，CD 的投影是点D ，BC 的投影是BD ．
（2）证明：∵Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，CD
AB
，
∴
A
B
+
90 ，
90
A
ACD
，
∴
ACD
B
，且
A
是公共角，
∴
ACD
ABC
△
∽△
，
∴AC
AD
AB
AC
，
∴
2
AC
AD AB
．
（3）解：①证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴
,
90
OC
BO
BCD
，
∴
2
·
BC
BO BD
，
Rt BCE
中，
∵CF
BE
，
90
BCE
，
∴
2
·
BC
BF BE
，
∴
·
·
BO BD
BF BE
，即BO
BF
BE
BD
，且
OBF
EBD （公共角），
∴BOF
BED
∽
；
29
②∵
15
BC
CD
，且
2
DE
CE
，
∴
2
15
10
3
DE
，
5
CE
，
在Rt BCE
中，
2
2
2
2
15
5
5 10
BE
BC
CE
，
在Rt
OBC
△
中，
2
2
15 2
15
2
2
2
OB
BC
，
∵BOF
BED
∽
，
∴OF
BO
DE
BE
，即
15 2
2
10
3 5
5 10
BO
OF
DE
BE
，
∴
3 5
OF
．
【点睛】本题主要考查正方形，直角三角形，相似三角形的综合，掌握正方形的性质，直角三角形中判定
三角形的相似，以及相似三角形的性质是解题的关键．
35．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M，N，P 分别为AD，BC，CD 的中点．现从点P 观察线段AB，
当长度为1 的线段l(图中的黑粗线)以每秒1 个单位长的速度沿线段MN 从左向右运动时，l 将阻挡部分观察
视线，在△PAB 区域内形成盲区．设l 的右端点运动到M 点的时刻为0，用t(秒)表示l 的运动时间．
(1)请你针对图(1)(2)(3)中l 位于不同位置的情形分别画出在△PAB 内相应的盲区，并在盲区内涂上阴影．
(2)设△PAB 内的盲区面积是y(平方单位)，在下列条件下，求出用t 表示y 的函数关系式．
①1≤t≤2；
②2≤t≤3；
③3≤t≤4．
30
根据①～③中得到的结论，请你简单概括y 随t 变化而变化的情况．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】(1)根据题意涂上阴影即可；
(2)根据正方形的性质得AM＝2，盲区为梯形，且上底为下底的一半，高为2，然后分段计算：梯形的上底、
下底，然后根据梯形的面积分别计算出三种情况下的梯形的面积即可；根据一次函数的性质求解．
【详解】(1)如图：
(2)①当1≤t≤2 时，△PAB 内的盲区是梯形AEFG．
FG 是△PAE 的中位线，FG＝t－1，AE＝2(t－1)．而梯形AEFG 的高为2，
∴y＝1
2 [(t－1)＋2(t－1)]×2＝3t－3．
②当2≤t≤3 时，△PAB 内的盲区是梯形QRST．
易知TS＝1，QR＝2，而梯形QRST 的高为2，
∴y＝1
2 (1＋2)×2＝3．
③当3≤t≤4 时，△PAB 内的盲区是梯形WBUV．
31
易知UV＝1－(t－3)＝4－t，WB＝2(4－t)，而梯形的高为2，
∴y＝1
2 [(4－t)＋2(4－t)]×2＝12－3t．
当1≤t≤2 时，盲区的面积由0 逐渐增大到3；
当2≤t≤3 时，盲区的面积y 为定值3；
当3≤t≤4 时，盲区的面积由3 逐渐减小到0．
【点睛】此题主要考查中心投影的性质与应用，解题的关键是正确理解好盲区的定义，及梯形面积的求法．
36．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF 恰好等于自己的身高DE ．此时，小组同学测得旗
杆AB 的影长BC 为11.3m ，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E 点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小
李的眼睛距地面高度
1.5m
DE
，小李到镜面距离
2m
EC
，镜面到旗杆的距离
16m
CB
．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3 的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显
提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N 两点始终处于同一水平
线上．
如图5，在支架上端P 处，用细线系小重物Q，标高线PQ 始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E 点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B 处于同一水平线的D，G 两点，并标
记观测视线DA 与标高线交点C，测得标高
1.8m
CG
，
1.5m
DG
．将观测点D 后移24m 到D¢处，采用同
样方法，测得
1.2m
C G
，
2m
D G
．求雕塑高度（结果精确到1m ）．
32
【答案】(1)11.3
(2)旗杆高度为12m ；
(3)雕塑高度为29m ．
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．
（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；
（2）根据镜面反射性质，可求出
ACB
ECD
，得出ACB
DCE
∽
，最后根据三角形相似的性质，即可
求出答案；
（3）
m
BG
x
，由题意得：
DGC
DBA
∽
△
△
，
D G C
D BA
∽
△
△
，利用相似三角形的性质列出式子，计算
即可求解．
【详解】（1）解：由题意得DE
DF
，由题意得：DE
EF
AB
BC
，
∴
11.3m
AB
BC
，
故答案为：11.3；
（2）解：如图，由题意得，
1.5m
2m
16m
DE
EC
BC
，
，
，
根据镜面反射可知：
ACB
ECD
，
AB
BE
，DE
BE
，
90
ABC
DEC
∴
，
ACB
DCE
∽
△
△
，
AB
CB
DE
CE
，即
16
1.5
2
AB
，
12
AB
，
答：旗杆高度为12m ；
（3）解：设
m
BG
x
，
由题意得：
DGC
DBA
∽
△
△
，
D G C
D BA
∽
△
△
，
∴CG
DG
AB
DG
x
，C G
D G
AB
D D
DG
x
，
33
即1.8
1.5
1.5
AB
x
，1.2
2
24 1.5
AB
x
，
∴
1.5
1.8
1.5
1.2
2
24 1.5
x
AB
AB
x
，
整理得
3.6 1.5
1.8 25.5
x
x
，
解得
22.5
x
，经检验符合他
∴
1.8
1.5
22.5
1.5
28.8
29 m
AB
，
答：雕塑高度为29m ．
