第13 讲认识一次函数
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 正比例函数的定义
题型2 一次函数的识别
题型3 根据一次函数的定义求参数
题型4 求一次函数自变量或函数值
题型5 列一次函数解析式并求值
题型6 根据正比例函数的定义求函数表达式
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一次函数、正比例函
数、y=kx+b、k≠0、
b=0、建模。
1. 理解一次函数的概念，能识别形如y = kx + b（k, b 为常数，k≠0 ）的函
数。
2. 掌握正比例函数是特殊的一次函数（b = 0），并能区分一次函数与正比例
函数。
3. 能根据实际问题中的数量关系列出一次函数表达式，并确定自变量的取值
范围。
4. 体会函数模型的广泛应用，感受数学与生活的紧密联系。
学习重点：一次函数的概念及其一般形式，正比例函数与一次函数的关系。
学习难点：理解一次函数中k 和b 的实际意义，以及从实际问题中抽象出一次函数模型并确定自变量
的取值范围。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 一次函数的定义
一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量，y 是x 的
函数.
【易错提醒】
一次函数定义易错警示：形如y=kx+b（k≠0），自变量x 次数为1。注意：b 可为0（正比例函数），但k
必须非零。若k=0，则为常函数，不是一次函数。表达式必须为整式。
即时即练1．下列函数中：①
3
4
y
x
；②
9
5
y
x
；③
6
y
x
；④
2
2
y
x
，其中y 是x 的一次函数有
（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义进行
判断作答即可．
【详解】解：①
3
4
y
x
，是一次函数，正确，故符合要求；
②
9
5
y
x
，是一次函数，正确，故符合要求；
③
6
y
x
，不是一次函数，错误，故不符合要求；
④
2
2
y
x
，不是一次函数，错误，故不符合要求；
综上可知，y 是x 的一次函数有2 个．
故选：B．
2．已知
2
(
1)
5
m
y
m
x
n
.
(1)当m，n 为何值时，y 是x 的一次函数？
(2)当m，n 为何值时，y 是x 的正比例函数？
【答案】(1)
1
m
(2)
1
m ，
5
n
【知识点】正比例函数的定义
【详解】解：（1）
y
是x 的一次函数，
1
0
m
且2
1
m
，n 为任意实数，解得
1
m .
（2）
y
是x 的正比例函数，
1
0
m
且2
1
m
，
5
0
n
，
解得
1
m ，
5
n
知识点02 正比例函数的定义
正比例函数：特别地，当b=0 时，y=kx（k 为常数，k≠0），y 叫做x 的正比例函数.
函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y 的值组成的，因此，若已知一个
点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立.
【易错提醒】
正比例函数定义易错警示：形如y=kx（k≠0），是特殊的一次函数。注意：x 的指数必须为1；k 为比例系数，
不能为0。勿将y=kx+b（b≠0）误认为正比例函数。比例系数带符号。
即时即练1．下列函数中，正比例函数是（
）
A．
2
y
x
B．
3
y
x
C．
2
3
y
x
D．
2
4
y
x
【答案】A
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查正比例函数的定义，由正比例函数的表达式为
0
y
kx k
，根据表达式特点对选项进行
判断即可．牢记正比例函数的定义形式是解题的关键．
【详解】解：A、
2
y
x
，是正比例函数，符合题意；
B、
3
y
x
，是反比例函数，不合题意；
C、
2
3
y
x
，是二次函数，不合题意；
D、
2
4
y
x
，是一次函数，不合题意；
故选：A．
2．写出下列各题中y 与x 之间的关系式，并判断y 是否为x 的一次函数，是否为x 的正比例函数．
①等边三角形的周长y 与边长x 之间的关系；
②汽车行驶前，油箱中有油65 升，已知汽车每行驶10 千米耗油2 升，油箱的余油量y （升）与已行驶的
距离x （千米）之间的关系；
③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3 千米以内（包括3 千米）付起步
价5 元，超过3 千米后，每多行驶1 千米加收1.8 元，另外每辆车加收3 元的燃油附加费，求乘车费用y（元）
与乘车距离x （千米）（
3
x
）之间的函数关系；
④设一长方体盒子高为10cm，底面是正方形，求这个长方体的体积y （
3
cm ）与底面边长x（cm）之间的
关系．
【答案】见解析
【知识点】识别一次函数、正比例函数的定义
【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关
键．
①根据三角形周长公式表示出y 与x 之间的关系式即可；②根据余油量耗油量原油量表示出y 与x 之
间的关系式即可；③根据乘车费起步价燃油附加费加收的乘车费表示出y 与x 之间的关系式即可；
④根据长方体的体积底面积高表示出y 与x 之间的关系式即可．
【详解】解：①
3
0
y
x x
，是一次函数，也是正比例函数．
②
0.2
65 0
325
y
x
x
，是一次函数，不是正比例函数．
③
1.8
2.6
3
y
x
x
是一次函数，不是正比例函数．
④
2
10
0
y
x
x
，既不是一次函数，也不是正比例函数．
题型1 正比例函数的定义
【例1】下列函数中，是正比例函数的是（
）
A．
8
y
x
B．
8
1
y
x
C．
8
y
D．
8
y
x
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的定义，理解什么是正比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义进
行判断：形如y
kx
（k 是常数，
0
k
）的函数叫作正比例函数．
【详解】A．
8
y
x
是正比例函数，故本选项符合题意；
B．
8
1
y
x
不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C．
8
y
是常值函数，故本选项不符合题意；
D．
8
y
x
，分母含有自变量，不是正比例函数，故本选项不符合题意．
故选：A．
【例2】下列函数关系式中，y 是x 的正比例函数的是（
）
A．
2
y
x
B．
2
y
x
C．
2
y
x
D．
2
y
x
=
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的定义，由y
kx
（
0
k
）进行判断即可．
【详解】解：A.
2
y
x
是正比例函数，故符合题意；
B.
2
y
x
中2
x 是分式，不是正比例函数，故不符合题意；
C.
2
y
x
是一次函数，含有常数项，故不符合题意；
D.
2
y
x
=
自变量的次数不是1，不是正比例函数，故不符合题意；
故选：A．
【技巧归纳】
正比例函数：y=kx（k≠0），自变量的指数为1。图象过原点(0,0)。判断时看是否可化为y=kx 形式，且k
不为0。k>0 图象过一三象限，k<0 过二四。实际问题中如单价固定总价与数量成正比。注意与其他函数区
分。
【变式1-1】下列函数中是正比例函数的是（
）
A．
2
y
x
B．
1
y
x
C．
2
2
1
y
x
D．
2
1
y
x
【答案】A
【分析】本题考查的是正比例函数的定义，形如
(
y
kx k
为常数且
0)
k
的函数是正比例函数，需满足：①
自变量x 的次数为1；②无常数项；③分母不含自变量．根据正比例函数的定义解答即可．
【详解】解：A．
2
y
x
是正比例函数，符合题意；
B．
1
y
x
，是反比例函数，不符合题意；
C．
2
2
1
y
x
，未知数的次数是二次，不符合题意；
D．
2
1
y
x
，是一次函数，不是正比例函数，不符合题意．
故选：A．
【变式1-2】下列各函数中，y 是x 的正比例函数的是（
）
A．
1
2
y
x
B．
2
y
x
=
C．y
x
D．
3
y
x
【答案】C
【分析】根据正比例函数的定义，形如y
kx
（k 为常数且
0
k
）的函数是正比例函数．据此逐一分析各
选项即可．
【详解】A．
1
2
y
x
含常数项1，不符合y
kx
的形式，故不是正比例函数．
B．
2
y
x
=
中x 的次数为2，不符合y
kx
的形式，故不是正比例函数．
C．y
x
符合y
kx
的形式，故是正比例函数
D．
3
y
x
中x 在分母，不符合y
kx
的形式，故不是正比例函数．
故选：C
题型2 一次函数的识别
【例3】下列函数为一次函数的有（
）
①
6
y
x
；②
2
1
y
x
x
；③
2
4
1
y
x
x
；④
4
y
x
．
A．①②④
B．①③
C．①②
D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如y
kx
b
（k
b
、是常数，且
0
k
）的函数是一
次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：①
6
y
x
是一次函数，符合题意；
②
2
1
y
x
x
，即
2
2
y
x
x
，则
2
y
x
是一次函数，符合题意；
③
2
4
1
y
x
x
不是一次函数，不符合题意；
④
4
y
x
是一次函数，符合题意；
∴一次函数的有①②④，
故选：A．
【例4】下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（
）
A．
2
15
y
x
B．
2
(
5)
y
x x
x
C．
1
2
y
x
D．
5
1
y
x
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据一次函数的定义，y
kx
b
（k ，b 为常数，
0
k
），当
0
b
时，函数为正比例函数，据此进行逐项
分析，即可作答．
【详解】解：A、
2
15
y
x
不是一次函数，故该选项不符合题意；
B、
2
(
5)
y
x x
x
，变形为
5
y
x
，是正比例函数，故该选项不符合题意；
C、
1
2
y
x
，不是一次函数，故该选项不符合题意；
D、
5
1
y
x
是一次函数但不是正比例函数，故该选项符合题意；
故选：D．
【技巧归纳】
一次函数：y=kx+b（k≠0），自变量的指数为1。判断依据：可化为该标准式，且k≠0。若b=0 则为正比例
函数。注意系数含参数时要保证k 不为0。如y=2x+1 是一次；y=3/x 不是。分母含自变量或指数非1 则不是。
【变式2-1】在下列函数解析式中，①
3
y
x
；②
3
y
x
；③
3
2
x
y
；④
2
2
1
y
x
，一定是一次函数
的有（
）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解．
【详解】解：一次函数的为：
3
y
x
，
3
2
x
y
，共有2 个，
故选：C．
【变式2-2】有下列五个式子：①
2
3
x
y
；②
2
3
y
x
；③
1
y
x
；④
1 (
3)
2
y
x
；⑤
2
2
1
y
x
．其中，
表示y 是x 的一次函数的有（
）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y
kx
b
的定义条件是：k，b 为常数，
0
k
，自变量
次数为1．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：①
2
3
x
y
，变形为
2
0
3
y
x
，符合一次函数的定义，
②
2
3
y
x
不符合一次函数的定义，
③
1
y
x
符合一次函数的定义，
④
1 (
3)
2
y
x
，变形为
1
3
2
2
y
x
，符合一次函数的定义，
⑤
2
2
1
y
x
不符合一次函数的定义，
综上，表示y 是x 的一次函数的有①③④，共3 个，
故选：C．
题型3 根据一次函数的定义求参数
【例5】已知函数
2
1
1
y
m
x
m
．
（1）当m
时，y 是x 的一次函数；
（2）当m
时，y 是x 的正比例函数．
【答案】
1
1
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y
kx
b
的定义条件是：k、b 为常数，
0
k
，自变量
次数为1．
（1）根据一次函数的定义可知
1
0
m
，求出m 的取值范围即可；
（2）根据正比例函数的定义可知
1
0
m
且
2
1
0
m
，从而可求得m 的值．
【详解】解：（1）根据一次函数的定义可知：
1
0
m
，
解得：
1
m ．
（2）∵函数
2
1
1
y
m
x
m
是正比例函数，
∴
1
0
m
且
2
1
0
m
，
解得：
1
m ．
故答案为：
1
；
1
．
【例6】若
1
3
6
k
y
x
是关于x 的一次函数，则k
．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义可得
1 1
k ，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
1 1
k ，
解得：
2
k
，
故答案为：2．
【技巧归纳】
化为y=kx+b 形式，令自变量指数为1 且系数k≠0。如y=(m-1)x+2 是一次函数，则m-1≠0 得m≠1。若还要
求正比例，则b=0。列方程或不等式，解出参数，排除使k=0 或分母为零的值。注意多个条件联立。
【变式3-1】当m
时，函数
2 3
2
m
y
m
x
是一次函数．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．注意自变量的指数为1，系
数不为0 的条件．
根据一次函数要求
2
3
1
m
且
2
0
m
，联立解答．
【详解】解：∵
2 3
2
m
y
m
x
是一次函数，
∴
2
3
1
2
0
m
m
，
解得
2
m
．
故答案为：2．
【变式3-2】若函数
1
2
4
k
y
k
x
是一次函数，则k 的值是
．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如
(
0
y
kx
b k
，k 、b 是常数）的函
数，叫做一次函数．
根据一次函数的定义得到
1 1
k 且
2
0
k
，然后求解即可．
【详解】解：根据题意得
1 1
k 且
2
0
k
，
解得
2
k
．
故答案为：2．
题型4 求一次函数自变量或函数值
【例7】已知点
,
P a b 在一次函数
2
3
y
x
的图象上，则
3 2
6
a
b
b
的值为
．
【答案】9
【分析】本题考查了一次函数图像与性质、代数式的化简与求值等知识点，解题的关键在于利用点在函数
图像上的条件将未知数之间的关系建立起来．根据点在函数图象上，将b 用a 表示，再代入代数式化简即
可．
【详解】解：将点
,
P a b 坐标代入
2
3
y
x
得，
2
3
a
b
，
则2
3
a
b
，
所以
3 2
6
6
3
6
6
3
3 2
9
a
b
b
a
b
b
a
b
a
b
，
故答案为：9
．
【例8】已知点
( , )
P m n 在一次函数
4
3
y
x
的图象上，则4
3
m
n
的值是
．
【答案】0
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握性质是本题的关键．
直接把点
( , )
P m n 代入一次函数解析式得到4
3
m
n
，再整体代入求值即可．
【详解】解；∵点
( , )
P m n 在一次函数
4
3
y
x
的图象上，
∴
4
3
n
m
∴4
3
m
n
∴4
3
3 3
0
m
n
故答案为：0．
【技巧归纳】
已知解析式y=kx+b，求函数值：代入x；求自变量：解方程y=kx+b。注意x 的取值应在定义域内（实际问
题有范围）。若给出图象，直接读取坐标。多个函数值比较时，直接代入计算或利用增减性（k>0 增，k<0
减）。
【变式4-1】若点
,
m n 在直线
2
3
y
x
上，则代数式2
1
m
n
的值是
．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．将点
,
m n
代入直线解析式，得到2
3
m
n
，再整体代入计算求值即可．
【详解】解：点
,
m n 在直线
2
3
y
x
上，
2
3
m
n
，
2
3
m
n
，
2
1
3 1
2
m
n
，
故答案为：2 ．
【变式4-2】已知函数
2
3
y
x
．
(1)求当
4
x
时，函数y 的值；
(2)求当
5
y 时，自变量x 的值．
【答案】(1)
5
y
(2)
1
x
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了求自变量值或函数值，已知自变量值或求函数值或自变量，是基础题，准确计算是解
题的关键．
（1）把x 的值分别代入函数关系式计算即可得解；
（2）把函数值代入函数关系式，解关于x 的一元一次方程即可．
【详解】（1）解：当
4
x
时，
2
4
3
8
3
5
y
；
（2）解：当
5
y 时，2
3
5
x
，
解得：
1
x ．
题型5 列一次函数解析式并求值
【例9】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA 的面积为S．
(1)求出S 关于x 的函数解析式，并求出x 的取值范围；
(2)当S=12 时，求P 的坐标．
【答案】(1)S=-4x+40，0<x<10
(2)P（7，3）
【分析】（1）首先把x+y=10，变形为y=10-x，再利用三角形的面积求法：S=底×高÷2，可以得到S 关于x
的函数表达式，P 在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面积S＞0，可得到x 的取值范围；
（2）把S=12 代入函数解析式即可．
【详解】（1）根据题意，得A（8，0），P（x，y），且x+y=10，
∴y=10-x，
∴OA=8，P（x，10-x）
∴S= 1
2 ×8(10-x)=-4x+40．
又∵x>0，且10-x>0，
∴0<x<10．
（2）当S=12 时，即12=40-4x，
解得x=7，
∴y=10-7=3，
∴S=12 时，P 点坐标（7，3）．
【例10】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h 的速度向甲地行驶．设x（h）表
示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y 与x 之间的关系式，并判断y 是否为x 的一次函数；
（2）当x=0.5 时，求y 的值．
【答案】（1）
120
80
0
1.5
y
x
x
，y 是x 的一次函数；（2）80
【分析】（1）根据题意，首先计算得出y 与x 之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，将x=0.5 代入到一次函数并计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距120km
∴火车与甲地的距离表示为：
120
80x
（km），即
120
80
y
x
；
当火车到达甲地时，即80
120
x
∴
1.5
x
，即火车行驶1.5h 到达甲地
∴
120
80
0
1.5
y
x
x
y 是x 的一次函数；
（2）根据（1）的结论，得：
120
80
120
80 0.5
80
y
x
．
【技巧归纳】
先根据题意找等量关系，设y=kx+b。代入两组对应值，解方程组求k、b。写出解析式并注明自变量范围。
求值时代入x 或y。注意实际问题中变量关系可能为正比例（b=0），需代入验证。单位要统一。
【变式5-1】如图，甲、乙两地相距100km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h 的速度向丙地行驶．
设
h
x
表示火车行驶的时间，
km
y
表示火车与甲地的距离．
（1）写出y 与x 之间的关系式，并判断y 是否为x 的一次函数；
（2）当
0.5
x
时，求y 的值．
【答案】（1）
100
80
y
x
，y 是x 的一次函数；（2）140
【分析】（1）根据题意，首先计算得出y 与x 之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，将x=0.5 代入到一次函数并计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距100km
∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km
∴y=100+80x
∴y 是x 的一次函数；
（2）当
0.5
x
时，得：y=100+80×0.5=140．
【变式5-2】尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某
班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多
于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15 元，每本笔
记本定价为4 元．该班班长准备购买x 支钢笔和
10
x
本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为
1y 元，
选择第二种方案购买所需费用为
2y 元．
(1)请分别写出
1y ，
2y 与x 之间的关系式；
(2)若该班班长准备购买10 支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优
惠．
【答案】(1)
1y 与x 之间的关系式为
1
15
40
y
x
，
2y 与x 之间的关系式为
2
15.2
32
y
x
(2)选择方案②更为优惠
【分析】（1）分别根据方案①和方案②列出关系式即可；
（2）将
10
x
分别代入
1y 、
2y 求出结果比较大小即可．
【详解】（1）解：方案①：
1
15
4
10
15
40
y
x
x
x
x
，
方案②：
2
15
4
10
80%
15.2
32
y
x
x
x
，
1y
∴
与x 之间的关系式为
1
15
40
y
x
，
2y 与x 之间的关系式为
2
15.2
32
y
x
；
（2）当
10
x
时，
1
15 10
40
190
y
；
2
15.2 10
32
184
y
.
190
184
，
选择方案②更为优惠．
题型6 根据正比例函数的定义求函数表达式
【例11】已知y 与x 成正比例，且当
2
x 时，
6
y
．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若点( ,3)
m
在这个函数的图象上，求m 的值．
【答案】(1)
3
y
x
(2)
1
m
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值：
（1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可；
（2）把
,3
m
代入（1）所求解析式中进行求解即可．
【详解】（1）解：设y
kx
，
∵当
2
x 时，
6
y
，
∴2
6
k
，
∴
3
k ，
∴
3
y
x
；
（2）解：∵点
,3
m
在这个函数的图象上，
∴3
3
m
，
∴
1
m ．
【例12】已知
3
y - 与4
2
x
成正比例，且当
1
x 时，
5
y
．
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)设点
, 2
a
在（1）中函数的图象上，求a 的值．
【答案】(1)
4
1
y
x
；
(2)
3
4
a
．
【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关
键；
（1）根据题意设设
3
4
2
y
k
x
，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把点
, 2
a
代入（1）中的函数解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设
3
4
2
y
k
x
，
当
1
x 时，
5
y
5
3
4 1 2
k
，
解得：
1
k ，
y
与x 的函数关系式为
3
4
2
y
x
，
即
4
1
y
x
；
（2）把
, 2
a
代入
4
1
y
x
得4
1
2
a ，
∴
3
4
a
．
【技巧归纳】
正比例函数y=kx（k≠0）。若已知一对对应值（除原点），代入得k=y/x。也可由实际意义中“成正比”直
接设，再通过已知条件求k。注意k 的符号与图象象限对应。若题中给出比例系数，直接写出式。验证时过
原点。
【变式6-1】已知y 与
2
x
成正比例，当
2
x
时
5
y ；
(1)求y 关于x 的函数解析式；
(2)当
2
3
y
时，求x 的值．
【答案】(1)
5
5
4
2
y
x
(2)
38
15
x
【分析】本题考查了正比例函数定义，一次函数自变量等知识，熟练掌握求解析式的方法，一次函数的相
关知识是解题的关键
（1）设解析式为
2
y
k x
，把
2
x
，
5
y 代入，可求
5
4
k
，进而可得解析式；
（2）将
2
3
y
代入（1）的关系式，计算求解即可．
【详解】（1）解：设解析式为
2
y
k x
，
把
2
x
，
5
y 代入得：
5
2
2
k
，
解得：
5
4
k
，
∴解析式为
5
5
4
2
y
x
；
（2）解：将
2
3
y
代入得：2
5
5
3
4
2
x
，
解得
38
15
x
．
∴x 的值为
38
15
．
【变式6-2】已知
1
y 与
3
x 成正比例，当= 1
x 时，
3
y ．
(1)求出y 与x 的函数关系式；
(2)设点
, 2
a
在这个函数的图象上，求a 的值．
(3)试判断点
2,5
是否在此函数图像上，说明理由．
【答案】(1)
4
y
x
(2)
6
a
(3)点
2,5
不在此函数的图象上，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，
熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．
（1）设
1
3
y
k x
，将x、y 值代入求出k 值即可求解；
（2）将点
, 2
a
代入（1）中函数关系式中求解即可；
（3）将
2
x 代入（1）中函数关系式中求解判断即可．
【详解】（1）根据题意，设
1
3
y
k x
，
∵当= 1
x 时，
3
y ，
∴
3 1
1 3
k
，
解得：
1
k ，
∴
1
3
y
x
，即
4
y
x
，
∴y 与x 的函数关系式为
4
y
x
；
（2）将点
, 2
a
代入
4
y
x
得：2
4
a
，
解得：
6
a ；
（3）当
2
x 时，
2
4
2
5
y
，
则点
2,5
不在此函数的图象上．
一、单选题
1．下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的是（
）
A．�=
�
3；
B．�=
3
�；
C．
3
y
x
=
+
；
D．�=
�+1
3 ．
【答案】A
【分析】本题根据正比例函数的定义判断各选项即可，正比例函数的定义为：形如�= ��（k 为常数，且�≠0）
的函数是�关于�的正比例函数．
【详解】首先明确正比例函数定义：形如�= ��（k 为常数，�≠0）的函数叫做正比例函数，
∵选项A 中，�=
�
3 =
1
3 �，符合�= ��的形式，且�=
1
3 ≠0，∴A 是正比例函数；
∵选项B 中，�=
3
�是反比例函数，不符合正比例函数形式，∴B 错误；
∵选项C 中，�= �+ 3 是一次函数，常数项为3 ≠0，不是正比例函数，∴C 错误；
∵选项D 中，整理得�=
1
3 �+
1
3，常数项为
1
3 ≠0，是一次函数，不是正比例函数，∴D 错误．
因此选A．
2．一次函数�=−�+ 1 的图像经过点A，则点A 的坐标可能是（）
A．(2,4)
B．( 1,2)
C．( 2, 1)
D．(1, 2)
【答案】B
【分析】一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到对应�
值后，和点的纵坐标对比即可判断．
【详解】∵若点在一次函数�=−�+ 1 的图象上，则点的坐标满足该解析式，
对选项A，当�= 2 时，
2
1
1
4
y
，∴A 错误；
对选项B，当�=−1 时，
1
1
2
y
，与点的纵坐标相等，符合要求，∴B 正确；
对选项C，当�=−2 时，
2
1
3
1
y
，∴C 错误；
对选项D，当�= 1 时，
1 1
0
2
y
，∴D 错误．
3．函数①�= ��+ �；②
3
y
x
；③�=−
2
�；④
1
3
3
y
x
；⑤
2 2
1
y
x
x
，其中是一次函数的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【详解】解：逐一判断各函数：
①�= ��+ �中未说明
0
k
，因此不一定是一次函数；
②
3
y
x
，符合�= ��+ �（
3
0
k
，
0
b
）的形式，是一次函数；
③�=−
2
�的自变量在分母上，不符合一次函数定义，不是一次函数；
④
1
3
3
y
x
，符合�= ��+ �（
1
0
3
k
，
3
b
）的形式，是一次函数；
⑤
2 2
1
y
x
x
中自变量�的最高次数为2，不是一次函数；
综上，一次函数共有2 个．
4．已知y 是x 的正比例函数，且当�= 2 时，y 6 ，当�=−3 时，y 的值为（
）
A．6
B．−6
C．9
D．−9
【答案】C
【分析】先根据正比例函数定义设出函数解析式，再利用已知条件求出比例系数，最后代入x 的值计算y
即可．
【详解】解：∵y 是x 的正比例函数，
∴设函数解析式为
0
y
kx k
，
将
2
6
x
y
，
代入解析式得：6
2k
，
解得
3
k ，
∴函数解析式为
3
y
x
，
当�=−3 时，
3
3
9
y
．
5．弹簧原长（不挂重物）12cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：当重物质量为
7 5kg
.
（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（cm）是（
）
弹簧总长L（cm）
13
14
15
16
17
重物质量x（kg）
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
A．27
B．27.5
C．20
D．19.5
【答案】A
【分析】先从表格中找出弹簧伸长量和重物质量的变化规律，得到�与�的函数关系式后，代入�的值计算即
可．
【详解】解：由表格数据可得，重物质量每增加0.5kg ，弹簧总长�增加1cm，
∴重物质量每增加1kg ，弹簧伸长2cm ，
∵弹簧原长为12cm，
∴可得�与�的关系式为
12
2
L
x
，
将�= 7.5 代入得，
12
2 7.5
27
L
．
二、填空题
6．已知点
1,
A
a 在一次函数�=−�+ 3 的图象上，则�的值为_____．
【答案】2
【详解】解：∵点
1,
A
a 在一次函数�=−�+ 3 的图象上，
得
1 3
2
a
．
7．函数�= �−1 ��+ 2 是一次函数，则m 的值为______．
【答案】1
【分析】根据一次函数的定义，列出关于m 的方程和不等式，即可求解m 的值．
【详解】解：∵函数
1
2
m
y
m
x
是一次函数，
∴
1
m 且
1
0
m
，
由
1
m 可得�=± 1，
由
1
0
m
可得�≠1，
∴�=−1．
8．点
,a b 在直线�=−2�−1 上，则代数式4
2
3
a
b
的值为________．
【答案】1
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入直线解析式，得到�与�的关系式，再整体代
入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵点
,a b 在直线�=−2�−1 上，
2
1
b
a
，
移项整理得2
1
a
b
，
等式两边同乘2 得4
2
2
a
b
，
4
2
3
2
3
1
a
b
．
9．定义：对于函数�= ��+ �（
0
k
），将k
b
的值叫做该函数的特征值．若函数�= 2�+ �的特征值为
1
，则m ______．
【答案】−3
【分析】根据题目给出的函数特征值的定义，列出关于m 的一元一次方程，求解即可得到m 的值．
【详解】解：对于函数�= 2�+ �，可得
2,
k
b
m
，
∵其特征值为1
，
∴由题意得，2
1
m
，解得
3
m ．
10．新定义：
,a b 为一次函数�= ��+ �（
0，，
a
a
b 为实数）的“关联数”．若“关联数”
3
5
m
,
所对应
的一次函数是正比例函数，则m 的值是___________．
【答案】5
【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为0，列方程求解即可得到m 的
值．
【详解】解：根据新定义可知，“关联数”
3
5
m
,
对应的一次函数为
3
5
y
x
m
，其中
3
0
a
，符合
一次函数定义．
∵该一次函数是正比例函数，
∴
5
0
m
，
解得：
5
m
．
三、解答题
11．写出下列各题中y 与x 之间的关系式，并判断：y 是否为x 的一次函数？是否为正比例函数？
(1)正方形的面积
2
cm
y
与它的边长
cm
x
之间的关系；
(2)某地居民用电收费标准是0.53 元/（kW h
），应缴电费y（元）与用电量x（kW h
）之间的关系；
(3)小华用50 元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2 元，小华剩余的费用y（元）与购买的
黑色签字笔x（支）之间的关系．
【答案】(1)�= �2，y 不是x 的一次函数，也不是x 的正比例函数
(2)
0.53
y
x
，y 是x 的一次函数，也是x 的正比例函数
(3)
50
2
y
x
，y 是x 的一次函数，但不是x 的正比例函数
【详解】（1）解：由正方形的面积
2
cm
y
是边长
cm
x
的平方得，�= �2，y 不是x 的一次函数，也不是
x 的正比例函数．
（2）解：由应缴电费y（元）是收费标准0.53 元/（kW h
）与用电量x（kW h
）的乘积得，
0.53
y
x
，y
是x 的一次函数，也是x 的正比例函数．
（3）解：由剩余的费用y（元）是总钱数减去用去的钱得，
50
2
y
x
，y 是x 的一次函数，但不是x 的正
比例函数．
12．已知函数
2
1
y
x
，
(1)当�= 2 时，求函数的值；
(2)当x 取何值时，函数的值为0．
【答案】(1)−3
(2)
1
2
【详解】（1）解：将�= 2 代入
2
1
y
x
，得
2
2
1
3
y
；
（2）解：令
2
1
0
y
x
，解得�=
1
2．
13．已知y 关于x 的函数表达式为
2
3
y
x
m
．
(1)若y 是x 的正比例函数，求m 的值；
(2)若�= 4，通过计算判断点
2 8
,
3 3
A
是否在该函数的图象上．
【答案】(1)3
(2)点
2 8
,
3 3
A
不在该函数的图象上
【分析】（1）根据正比例函数的定义可得
3
0
m
，即可求解；
（2）把�=
2
3代入函数解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵y 是x 的正比例函数，
∴
3
0
m
，
∴�= 3；
（2）解：当�= 4 时，该函数解析式为
2
1
y
x
，
当�=
2
3时，
2
7
8
2
1
3
3
3
y
，
∴点
2 8
,
3 3
A
不在该函数的图象上．
14．已知
1
y 与�+ 2 成正比例，且当�= 3 时，
11
y
；
(1)求出�与�之间的函数关系式；
(2)当�=−1 时，求�的值；
(3)当�= 0 时，求�的值．
【答案】(1)
2
5
y
x
；
(2)�= 3；
(3)
2.5
x
．
【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）把�=−1 代入解析式，便可求出�的值；
（3）把�= 0 代入解析式，便可求出�的值．
【详解】（1）解：∵
1
y 与�+ 2 成正比例，
∴设
1
2
y
k x
，
∴
11 1
3
2
k
，解得：�= 2，
∴
1
2
2
y
x
，
∴�与�之间的函数关系式
2
5
y
x
；
（2）解：把�=−1 代入
2
5
y
x
得，
2
1
5
3
y
；
（3）解：把�= 0 代入
2
5
y
x
得，0
2
5
x
，
∴
2.5
x
．
15．在平面直角坐标系中，对于点
( , )
P a b 和点
( , )
Q m n ，若满足：
2
2
1
m
a
n
b
，则称点�的“美好点”为点�．例
如，点(2,1) 的美好点是(4,1)．
(1)点
( 3,2)
P
的美好点坐标是______，若点�的美好点为(5, 4)
，则点�的坐标是______；
(2)若点
( ,3)
P a
的美好点在直线
3
2
y
x
上，求�的值；
(3)点�在直线
2
1
y
x
上且点�的横坐标为k ，点�为点�的美好点，点�______直线
2
1
y
x
（填“在”或“不
在”），请说明理由．
【答案】(1)
6,3
，5
3
,
2
2
(2) 7
6
(3)在，理由见解析
【分析】（1）根据“美好点”的定义进行求解即可；
（2）若点
,3
P a
的“美好点”在直线
3
2
y
x
上，可得方程，解之可得；
（3）先根据点Q 为点P 的“美好点”，求得点Q 的坐标，再代入
2
1
y
x
，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
3 2
6
m
，
2
3
2
1
n
，
∴点
3,2
P
的“美好点”坐标是
6,3
；
若点P 的“美好点”为
5, 4
，
则2
5,2
1
4
a
b
，
解得
5
2
a
，
3
2
b
，
∴点P 的坐标是5
3
,
2
2
；
（2）解：点
,3
P a
的“美好点”为
2 ,2 3 1
Q
a
，即
2 ,5
Q
a
，
若点
,3
P a
的“美好点”在直线
3
2
y
x
上，
得3 2
2
5
a
，
解得：
7
6
a
，
所以�的值为7
6 ；
（3）解：∵点�在直线
2
1
y
x
上且点�的横坐标为k ，
,2
1
P k
k
，
∵点Q 为点P 的“美好点”，
2 ,4
1
Q
k
k
，
将
2
x
k
代入
2
1
y
x
中，得
2
2
1
4
1
y
k
k
，
与点�的纵坐标相等，
Q
在直线
2
1
y
x
上．
