文档文本内容
第08 讲二次根式及其乘除法
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断二次根式
题型2 根据二次根式有意义条件求范围
题型3 二次根式的乘法
题型4 二次根式的除法
题型5 二次根式的乘除混合运算
题型6 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
题型7 含隐含条件的参数范围化简二次根式
题型8 复杂的复合二次根式化简
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
二次根式、被开方数非
负、�2= |a|、乘法法
则、除法法则、最简二
次根式。
1. 理解二次根式的概念，掌握被开方数必须为非负数这一前提条件。
2. 掌握二次根式的基本性质：�≥0（a≥0），
�
2=a（a≥0），�2= |a|。
3. 掌握二次根式的乘法法则：�⋅
�= ��（a≥0, b≥0），除法法则：
�
�=
�
�
（a≥0, b>0）。
4. 能运用法则进行二次根式的乘除运算，并能将结果化为最简二次根式。
学习重点:二次根式的概念、基本性质，以及乘除法则的运用和最简二次根式的化简。
学习难点:理解�2= |a|中绝对值符号的必要性（区分a≥0 和a < 0 的情况），以及运用乘除法则时被
开方数非负的条件限制。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如
)
0
a
a
（
的式子的式子叫做二次根式，
”
“
称为称为二次根
号．如
3
2
1.0
,3
，
都是二次根式。
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号
”
“
；（2）被开方数必须是非负数.
3.二次根式有意义：被开方数为非负数，即
0
a
a
有意义
；
4.二次根式无意义：被开方数为负数，即
0
a
a
＜
无意义
；
【易错提醒】
二次根式概念易错警示：形如�(a≥)的式子。注意：被开方数必须非负；�表示算术平方根，结果非负。
若a<0，�无意义。勿与立方根混淆。
即时即练1．下列各式中，一定是二次根式的是（
）
A．
2a
B．
2
1
a
C．
2
1
a
D．3
a
2．若
3
x
在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是
．
3．如果
2
2
1
y
x
x
，那么xy
．
知识点02 二次根式的性质
1.二次根式
a （
0
a
）的非负性
a （
0
a
）表示a 的算术平方根，也就是说，
a （
0
a
）是一个非负数，即
0
a
（
0
a
）．
2.二次根式
2
a
的性质：
2
a
a
（
0
a
）
3.二次根式
2
a 的性质：
)
0
(
)
0
(
2
a
a
a
a
a
a
【易错提醒】
1.
�2=|a|，不是a（a 为负时易错）。
2.
�⋅
�= ��（a,b≥0），勿忽略范围。
3. 分母有理化时，注意分子分母同乘适当因式，结果化为最简。
即时即练1．已知
3
a
，化简
2
3
a
．
2．若
3
3
x
x
x
x
，则化简
2
1
|
4 |
x
x
的结果是
．
知识点03 二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则：
)
0
,0
(
ab
b
a
b
a
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广:
（1）
)
0
,0
,0
a
abc
c
b
a
c
b
（
（2）
)
0
,0
bd
d
b
a
d
b
ac
c
（
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进
行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
3.二次根式的乘法法则的逆用：
)
0
,0
(
a
ab
b
a
b
（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平
方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：
)
0
,0
,0
,0
a
c
b
a
abcd
d
c
b
d（
【易错提醒】
�⋅
�= ��（a,b≥0）。注意：系数分别相乘，根号内相乘。结果须化为最简（开得尽方的因数要移出根号）。
勿忽略a,b 非负条件。
即时即练设
0,
0
a
b
，计算下列各式：
(1)
2
10
5
(2)
2
48
3
(3)
3
b
ab
a
(4)
2
5 1
2
8
a
b
b
a
．
知识点04 二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则：
b
a
b
a
0
,0
b
a
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广：
)
0
,0
,0
(
c
b
a
c
b
a
c
b
a
.
【易错提醒】
b
a
b
a
0
,0
b
a
。注意：分母不能为0，结果要化简（分母不含根号，被开方数不含分母）。勿忽
略b>0 条件。
即时即练计算：
(1)
75
15
(2)
80
2
(3) 108
3 6
(4)
1
1
3
1
3
2
(5)
9
54
6
12
12
(6)
4
4 5
5 1 5
题型1 判断二次根式
【例1】下列式子中，不属于二次根式的是（
）
A．
3
B．
2
1
a
C．
π
D．
0
【例2】下列式子中：
1
2
，
5000
，3 27 ，8 ，
2
2025
，二次根式的个数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【技巧归纳】
二次根式定义为形如�（a≥0）的式子。判断关键：被开方数非负，根指数为2（通常省略）。注意区分�
与
��，化简后仍为二次根式如4是常数不是根式。
【变式1-1】给出下列式子：①
8 ；②
4
；③
2
1
a ；④
2a ；⑤3
3x ，其中一定是二次根式的有
（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1-2】下列各式中，是二次根式有（
）
①
7 ；②
3
；③3 10 ；④
3
x
；⑤
2
9
a
；⑥
2
1
1
x
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
题型2 根据二次根式有意义条件求范围
【例3】使二次根式
x 有意义的x 的值为
（写出一个符合题意的值即可）．
【例4】若代数式
3
x
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是
．
【技巧归纳】
二次根式有意义：被开方数≥0；分母中有根式时，分母≠0；奇次根式被开方数为全体实数。多个条件联立
取交集。注意隐含着平方、绝对值等非负条件，化简前先依原式列式。
【变式2-1】若二次根式
2026
x
有意义，则x 的取值范围是_______．
【变式2-2】已知
8
16
2
9
y
x
x
，则
xy 的值为
．
题型3 二次根式的乘法
【例5】计算：
(1) 2 5
3 6
；
(2)8 2
2 8
；
(3)4
1
xy
y
；
(4)3
5
2 10
a
b
．
【例6】计算：
(1)
2
5
；
(2)
1
9
3
；
(3) 14
7
；
(4)3 5
2 10
．
【技巧归纳】
�⋅
�= ��（a,b≥0）。先确定被开方数非负，再合并根号内相乘，最后化简（提平方因子）。系数相乘放
在根号外。注意负号处理，如\(\sqrt{-a}\) 无意义时不可直接乘。
【变式3-1】计算：
(1) 30
5
；
(2)
2
12
3
；
(3)2 3
4 6
；
(4)
2
1
12
6 xy
x
．
【变式3-2】计算：
(1)
1
75
3
；
(2)
5 27
3 3
；
(3)
5
9
3
3
125
；
(4)
1
3 ab
b
（
0
a
，
0
b
）．
题型4 二次根式的除法
【例7】计算：
(1)
48
6
(2)
3
3
27
10
8
【例8】计算：
(1)
18
6
；
(2)
2
5
13
54
；
(3)
2
6 3
3
3
x
x
．
【技巧归纳】
b
a
b
a
0
,0
b
a
。先保证被开方数非负且分母不为0，再合并根号内相除，化简为最简二次根式（分
母不含根号）。系数相除放外，结果可分母有理化。
【变式4-1】计算：
(1)
5 14
7
(2) 2 18
3 2
(3)
3
6
2 3
2
(4)
8
16
5
5
【变式4-2】计算：
(1)
54
6
；
(2)
2
1
9
18
；
(3) 2 6
24
；
(4)
2
1
25
ab
a
．
题型5 二次根式的乘除混合运算
【例9】计算：
(1)
27
14
6
2
；
(2)
27
50
2 6
．
【例10】计算：
(1)
1
2 3
2
2
．
(2)
2
1
1
1
2
1
3
3
5
【技巧归纳】
统一为
形式，系数乘除放外，根号内乘除合并。先化简每个根式，再乘除。注意运算顺序：从左到右，
除法变乘法（乘倒数）。最后化为最简二次根式（分母有理化，开尽方）。
【变式5-1】计算：
(1)
3
2 12
5 2
4
；
(2) 6 8
2 6
4 27
；
(3)
4
3
4
3 5
10
5
4
；
(4)
3
2 12
5 2
4
；
(5)
1
1
6
6
24
3
6
．
【变式5-2】计算：
(1)
3
6
18
2
；
(2) 3
2
24
32
9 2
4
3
；
(3)
1
3
2
9 45
3
2
5
20
3
；
(4)
2
2
1
2
3
2
2
y
x
x
y
y
x
．
题型6 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
【例11】当
0
a
时，化简
2
9a
．
【例12】已知2
3
x
，化简
2
2
3
x
x
．
【技巧归纳】
先由条件确定参数范围，判断根号内表达式符号。利用�2=|a|去掉根号，根据范围去掉绝对值。再合并同
类项化简。注意被开方数为完全平方时直接开方，结果为非负。
【变式6-1】当1
3
x
时，
2
1
6
9
x
x
x
．
【变式6-2】若
0
a
，
0
b
，化简
3
3
2
3
ab
a b
____________________．
题型7 含隐含条件的参数范围化简二次根式
【例13】化简
2
3
4a b 结果为（
）
A．2ab b
B．4ab b
C．2ab
D．2ab ab
【例14】化简
3
a
-
的结果是（
）
A．a
a
-
B．a
a
C．
a a
-
D．a a
【技巧归纳】
挖掘隐含条件：如�−2+ 2 −�有意义得a=2。先根据被开方数非负、分母非零推出参数具体值或范围，
再判断根号内其他表达式的符号，最后利用�2=|a|化简，去掉绝对值。
【变式7-1】化简
1
m
m
的结果是（
）
A．
m
B．
m
C．m
D．
m
【变式7-2】已知x
y
，则化简二次根式
3x y
的结果是（
）
A．x
xy
B．x xy
C．x
xy
D．x xy
题型8 复杂的复合二次根式化简
【例15】形如
2
m
n
的化简，只要找到两个正数a，b，使a
b
m
，ab
n
，即
2
2
(
)
(
)
a
b
m
，
a
b
n
，那么便有
2
2
(
)
(
)
m
n
a
b
a
b a
b
．
例如：化简
7
4 3
．
解：
7
4 3
7
2 12
，这里
7
m
，
12
n
，由于4
3
7,4 3
12
，
∴
2
7
4 3
7
2 12
4
3
2
3
．
请仿照上例解下列问题：
(1)填空：
4
2 3
________，9
4 5
________，
8
60
________；
(2)化简：
3
5
（请写出计算过程）；
(3)化简：
1
1
1
1
1
3
8
5
24
7
48
9
80
11
120
【例16】有这样一类题目：将
2
a
b
化简，如果你能找到两个数m、n，使
2
2
m
n
a
且mn
b
，则可
将
2
a
b
将变成
2
2
2
m
n
mn
，即变成
2
(
)
m
n
，从而使得
2
a
b
化简．例如，
2
2
2
5
2 6
3
2
2 6
3
2
2 2
3
3
2
，∴
2
5
2 6
3
2
3
2
．这种
方法叫做配方法，换一种思路，假设化简5
2 6
的结果是
0
(
)
x
y x
y
，可知
2
5
2 6
x
y
．整
理，得5
2 6
2
x
y
xy
，比较等式两边的组成，可得
5
x
y
，
6
xy
，即
3
x
，
2
y
，所以
5
2 6
3
2
．
尝试化简下列各式：
(1)
7
4 3
；
(2)
8
60
．
【技巧归纳】
尝试配方法：将根号内化为( �±
�)2，即m+n 为有理数，2 ��为根式部分。也可设
�+
�= �+ �
平方求解，注意x,y 为有理数，检验非负。
【变式8-1】阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例
如：
2
2
2
5
2 6
3
2
2 6
3 )
2
2
2
3
3
2
3
2
3
2
；
2
2
2
3
2 2
3
2 1
2
1
( 2)
2 1
2
1
2
1
2
1
2
．
解决下列问题：
(1)化简：
9
4 5
；
(2)化简并求出：
52 14 3
7
4 3
的值．
(3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4 米，现增种鲜花面积为4 15 平方米，形成新正
方形花圃ABCD ，求出新正方形花圃ABCD 的边长．
【变式8-2】阅读材料：把根式
2
x
y
进行化简，若能找到两个数
,
m n ，使
2
2
m
n
x
，mn
y
，即把
2
x
y
变成
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
，从而可以对根式
2
x
y
进行化简．
例如：化简：
5
2 6
．
解：
2
2
2
5
2 6
3
2 6
2
3
2
3
2
2
3
2
，
2
5
2 6
3
2
3
2
．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)化简：11 6 2
．
(2)化简：
2
1
m
m
．
(3)计算：12
6 3
16
8 3
．
一、单选题
1．下列式子①
1
3
：②
5
；③
2
1
x
；④3 3 ：⑤
2
1
3
中，二次根式的个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．下列说法不正确的是（
）
A．
a （
0
a
）是二次根式
B．当
0
a
时，
2
a
a
C．
2
a
b
（
0
b
）是最简二次根式
D．
2
3
3
x
x
成立的条件是
3
x
3．实数a，b 在数轴上的位置如图所示，化简
2
2
1
1
a
b
的结果是（
）
A．
2
a
b
B．a
b
C．a
b
D．
2
a
b
4．若
0,
0
x
y
，则化简
x
y
x xy
y
y
x
所得结果为（
）
A．y
xy
x
B．x
xy
y
C．
xy
D．xy xy
5．一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：
3 、6
3
、3
2 2
都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：
3
2 2
2
2
21
2
2 1
2
1
2
1
2
．请你利用上述方法化简复合二次根式：8
2 15
（）
A．
6
2
B．5
3
C．15
1
D．
7
1
二、填空题
6．若二次根式
4
x
有意义，任写一个满足条件的x 的值是__________．
7．化简：
2
3
__________．
8．化简
2
3
1
12
1
3
2
x y
x
xy
的结果为__________．
9．对于任意不相等的两个非负实数,a b ，新定义一种运算“ # ”如下：
#
a
b
a b
b
a
b
a
，则3#7 ______．
10．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：
3 ，6
3
，
6
2 5
等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：
2
2
2
6
2 5
1
2 5
5
1
2 1
5
5
1
5
1
5
．请利用上述运算法则化简：
7
4 3
_____．
三、解答题
11．运算能力计算：
(1)
3
1
2
3 18
3
4
2
3
；
(2)
2
1
2
1
2
2
3
3
5
．
12．计算：
(1)
3
1
1
2 3
10
5
2
；
(2)
3
1
2
2
a
b
b
a
b
；
(3)
3
5
2
3
3
5
2
x
y
xy
y
x
．
13．观察下列各式：
1
1
1
2
3
3
；
1
1
2
3
4
4
；
1
1
3
4
5
5
……，请你猜想：
(1)
1
4
6
________，
1
5
7
________；
(2)计算（请写出推导过程）：
1
15
17
；
(3)请你将猜想到的规律用含有自然数
1
n n
的代数式表达出来：_____________．
14．有这样一类题目：将
2
a
b
化简，如果你能找到两个数m 、n ，使
2
2
m
n
a
且mn
b ，则将
2
a
b
变成
2
2
2
m
n
mn
，即变成
2
m
n
，从而使得
2
a
b
得以化简．
例如：
2
2
2
5
2 6
3
2
2 6
3
2
2 2
3
3
2
2
2
2
2
8
2 7
1 7
2 7
1
7
2 1
7
1
7
1
7
(1)请仿照上例化简：12
2 35
=
，9
4 5
．
(2)请运用上述方法化简11 2 30
．（写出计算过程）
(3)若
2
2 15
a
m
n
，且a 、m 、n 均为整数，求a 的值．
15．阅读下列解题过程：
第1 个等式：
1 2 3 4 1
1 4
2 3
1
4 6 1
25
5
；
第2 个等式：
2 3 4 5 1
2 5
3 4
1
10 12 1
121
11
；
第3 个等式：
3 4 5 6 1
3 6
4 5
1
18 20 1
361
19
；
⋯
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出第4 个等式
4 5 6 7 1
__________；
(2)利用上面的规律，则
2
2025 2026 2027 2028 1
2026
__________；
(3)写出你猜想的第(
n n 为正整数）个等式：__________（用含n 的等式表示），并证明．
