第02 讲一定是直角三角形吗
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 勾股树（数）的判定
题型2 判断三边能否构成直角三角形
题型3 在网格中判断直角三角形
题型4 利用勾股定理的逆定理求解
题型5 勾股定理逆定理的实际应用
题型6 勾股定理逆定理的拓展问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
勾股定理逆定理、勾股
数、直角三角形判定、
三边关系、数形结合。
1. 掌握勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a、b、c 满足a²+b²=c²，那么
这个三角形是直角三角形。
2. 理解勾股数的概念，能识别常见的勾股数（如3,4,5；5,12,13 等）。
3. 能运用逆定理由三边之长判断一个三角形是否为直角三角形，并解决简单
实际问题。
4. 经历“观察—归纳—猜想—验证”的探索过程，发展推理能力和数形结合
思想。
学习重点：通过三角形三边长度关系（a²+b²=c²）判断其是否为直角三角形，掌握几组常见的勾股数。
学习难点：证明“若三角形的三边长满足a²+b²=c²，则它是直角三角形”的推理过程（几何论证），
以及灵活运用逆定理解决实际问题。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 勾股数
像15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理
②三个正整数
【易错提醒】
勾股数是满足a2+b2=c2 的三个正整数。注意：一组勾股数扩大相同整数倍后仍是勾股数。勿将含无理数或
分数的数组称为勾股数。
即时即练1．下列数组中，是勾股数的是（
）
A．5，12，13
B．1，1，1
C．0.3 0.4 0.5
,
,
D．
6 ，8 ，10
【答案】A
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足
2
2
2
a
b
c
，则
ABC
是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、
2
2
2
5
12
13
是勾股数，故本选项符合题意；
B、
2
2
2
1
1
1
，不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、
2
2
2
0.3
0.4
0.5
，不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、
2
2
2
6
8
10
，不是勾股数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下列各组数中，是勾股数的是（
）
A．9，40，41
B．5，12，15
C．1.5，2，2.5
D．13，14，15
【答案】A
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题考查的是勾股数，满足
2
2
2
a
b
c
+
=
的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可．
【详解】解：A、∵
2
2
2
9
40
81 1600
1681 41
1681
，
，
∴
2
2
2
9
40
41
，
∴9，40，41 是勾股数，故本选项符合题意；
B、∵
2
2
2
5
12
25 144
16915
225
，
，
∴
2
2
2
5
12
15
，
∴5，12，15 不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、∵1.5 与2.5 不是正整数，
∴1.5，2，2.5 不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、∵
2
2
2
13
14
169
196
365 15
225
，
，
∴
2
2
2
13
14
15
，
∴13，14，15 不是勾股数，故本选项不符合题意；
故选：A．
知识点02
勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长a
b
c
，，，满足
2
2
2
a
b
c
，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如c ）.
（2）验证
2c 与
2
2
a
b
是否具有相等关系.若
2
2
2
c
a
b
，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若
2
2
2
c
a
b
，则△ABC 不是直角三角形.
注意：当
2
2
2
a
b
c
时，此三角形为钝角三角形；当
2
2
2
a
b
c
时，此三角形为锐角三角形，其中c 为
三角形的最大边.
【易错提醒】
先找最长边确定斜边c，再验证a²+b²=c²，缺一不可。勿忘记c 需为最大边，否则易错判直角位置。
即时即练1．在
ABC
中，BC
a
AB
c
AC
b
，
，
，则下列不能作为判定△ABC 是直角三角形的条件是
（
）
A．
B
A
C
∠
∠
∠
B．
2
2
2
a
c
b
C．
3 4 5
a b c
＝
D．
2
2
2
3
4
5
a
b
c
，
，
【答案】D
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、
B
A
C
，
180
A
B
C
，
90
B
A
C
，
能判定
ABC
是直角三角形，故A 选项不符合题意；
B、
2
2
2
a
b
c
，即
2
2
2
a
b
c
，
根据勾股定理逆定理可判定
ABC
是直角三角形，故B 选项不符合题意；
C、
3 4 5
a b c
＝
，设
3 ，
4 ，
5
a
x
b
x
c
x
，
2
2
2
2
25
a
b
x
c
，
根据勾股定理逆定理可判定
ABC
是直角三角形，故C 选项不符合题意；
D、
2
2
2
3
4
5
a
b
c
，
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
337
5
625
a
b
c
（）（
）
，
＝（）
，
337
625
2
2
2
a
b
c
，
不能判定
ABC
是直角三角形，故D 选项符合题意．
故选：D．
2．如图，在
ABC
中，
15
AC
，
25
BC
，点D 在边BC 上，且AD
BC
，
12
AD
．
(1)求AB 的长；
(2)判断
ABC
的形状，并说明理由．
【答案】(1) 20
(2)
ABC
是直角三角形，理由见解析
【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键．
（1）在直角
ADC
△
中利用勾股定理得
9
CD
，进而求得
16
BD
，在Rt
ABD
△
中，勾股定理即可求解．
（2）利用勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】（1）解：
AD
BC
，
ADC
是直角三角形，
90
ADC
ADB
．
2
2
2
2
15
12
9
DC
AC
AD
．
∴
25 9
16
BD
BC
CD
在Rt
ABD
△
中，
2
2
2
2
12
16
20
AB
AD
BD
（2）
ABC
是直角三角形，理由如下：
∵
20
AB
，
15
AC
，
25
BC
2
2
2
15
20
25
，
ABC
是直角三角形，
BAC
是直角．
题型1 勾股树（数）的判定
【例1】下列各组数中，是勾股数的是（
）
A．7，8，10
B．8，24，25
C．5，12，13
D．5，10，13
【答案】C
【分析】根据勾股数的定义，勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，利用勾
股定理的逆定理逐一判断即可得到答案．
【详解】解：选项A 中，
2
2
7
8
113
，
2
10
100
，
2
2
2
7
8
10
，故A 不符合题意．
选项B 中，
2
2
8
24
640
，
2
2 5
6 2 5
，
2
2
2
8
24
25
，故B 不符合题意．
选项C 中，
2
2
5
12
25
144
169
，
2
13
169
，即
2
2
2
5
12
13
，且三个数均为正整数，故C 符合题意．
选项D 中，
2
2
5
10
125
，
2
13
169
，
2
2
2
5
10
13
，故D 不符合题意．
【例2】下列几组数中，为勾股数的是（
）
A．3，4，5
B．6，8，12
C．8，10，12
D．5，12，17
【答案】A
【详解】解：∵勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的
平方，
对选项A：
2
2
2
3
4
9
16
25
5
，三个数都是正整数，是勾股数，符合题意；
对选项B：
2
2
6
8
36
64
100
，
2
12
144
，100
144
，不是勾股数，不符合题意；
对选项C：
2
2
8
10
64 100
164
，
2
12
144
，164
144
，不是勾股数，不符合题意；
对选项D：
2
2
5
12
25
144
169
，
2
17
289
，169
289
，不是勾股数，不符合题意.
【技巧归纳】
1. 核心结构：以直角三角形三边为边向外作正方形，重复于两小正方形外侧。
2. 面积关系：两小正方形面积和等于大正方形面积（a2+b2=c2）。
3. 识别生成规则：每层所有正方形面积总和等于底层大正方形面积乘层数。
【变式1-1】下列各组数中，不是勾股数的一组是（
）
A．7，24，25
B．4，5，6
C．5，12，13
D．8，15，17
【答案】B
【分析】根据勾股数的定义，满足两较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数是勾股数，逐一验证
各选项即可得到答案．
【详解】解：A、
2
2
2
7
24
49
576
625
25
，是勾股数，不符合要求；
B、
2
2
5
16
25
4
41
，
2
6
36
，41
36
，不满足条件，不是勾股数，符合要求；
C、
2
2
2
5
12
25
144
169
13
，是勾股数，不符合要求；
D、
2
2
2
8
15
64
225
289
17
，是勾股数，不符合要求．
【变式1-2】下列各组数中不是勾股数的是（
）
A．6，8，10
B．1，2 ，
3
C．5，12，13
D．33，44，55
【答案】B
【分析】勾股数需要同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的
平方，据此判断即可．
【详解】解：选项A：
2
2
2
6
8
36
64
100
10
+
=
+
=
=
，且三个数均为正整数，∴是勾股数；
选项B：2 和
3 不是正整数，∴不是勾股数；
选项C：
2
2
2
5
12
25
144
169
13
，且三个数均为正整数，∴是勾股数；
选项D：
2
2
2
33
44
1089
1936
3025
55
，且三个数均为正整数，∴是勾股数．
题型2 判断三边能否构成直角三角形
【例3】已知a ，b ，c 是
ABC
的三条边，则下列条件能判定
ABC
为直角三角形的是（
）
A．
:
:
1: 2 :3
a b c
B．
2
2
2
2
a
b
a
b
c
C．
:
:
2 :3: 4
A
B
C
D．
2
A
B
C
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理逆定理是解题的
关键．
根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐项分析判断即可解答．
【详解】解：A．由
:
:
1: 2 :3
a b c
，设
,
2 ,
3
a
k b
k c
k
，则
2
2
2
4
9
k
k
k
，即
2
2
2
a
b
c
，能判定
ABC
不是直角三角形，不合题意；
B．由
2
2
2
2
a
b
a
b
c
可得
2
2
2
a
b
c
，能判定
ABC
是直角三角形，符合题意；
C．由
:
:
2 :3: 4
A
B
C
可得
40
60
80
A
B
C
，
，
，不能判定
ABC
是直角三角形，不合题意；
D．由
2
A
B
C
可得
72
72
36
A
B
C
，
，
，不能判定
ABC
是直角三角形，不合题意．
故选：B．
【例4】已知
ABC
，AB
c
，AC
b
，BC
a
，则下列条件不能判定
ABC
是直角三角形的是（
）
A．
: :
3: 4:5
a b c
B．
A
B
C
+
C．
2
a
，
2
b
，
3
c
D．
1 2 3
A
B
C
:
:
: :
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一分析各选
项是否能判定
ABC
为直角三角形．
【详解】解：A ．设三边分别为3k 、4k 、5k ，则
2
2
2
2
2
2
3
4
9
16
25
5
k
k
k
k
k
k
，满足勾股定理，
ABC
是直角三角形，故该选项不符合题意；
B . A
B
C
．由三角形内角和为180，得
180
C
A
B
，即2
180
C
，故
90
C
，ABC
是直角三角形，故该选项不符合题意；
C ．
2
a
，
2
b
，
3
c （对应
2
BC
，
2
AC
，
3
AB ）．最长边为
3
AB ，若
ABC
为直角三角形，
则需满足
2
2
2
2
2
3
，即4
4
8
9
，不满足勾股定理，故不能判定为直角三角形，故该选项符合题意；
D ．
1 2 3
A
B
C
:
:
: : ．设角分别为k ，2k ，3k ，则
2
3
180
k
k
k
，解得
30
k
，最大角3
90
k
，
ABC
是直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：C．
【技巧归纳】
1. 排序：三边从小到大排序为a ≤b ≤c。
2. 验勾股：计算a2+b2 是否等于c2，相等则直角。
3. 先判三角形成立：满足两边和大于第三边。
【变式2-1】下列条件中，不能
．．判定
ABC
为直角三角形是（
）
A．
2
3
a
，
2
4
b
，
2
7
c
B．
: :
3: 4:5
a b c
C．
A
B
C
+
D．
:
:
3: 4 :5
A
B
C
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义
也可以利用勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理进行判定即可选项A；根据比值并结合勾股定理的逆
定理即可判断选项B；根据三角形的内角和为180度，计算出
C
的值即可判断选项C；根据角的比值和三
角形的内角和为180度求出各角的度数，即可判断选项D．
【详解】A、当
2
3
a
，
2
4
b
，
2
7
c
，
2
2
2
7
a
b
c
，故
ABC
是直角三角形，
B、当
: :
3: 4:5
a b c
时，设
3
a
x
，
4
b
x
=
，
5
c
x
，
则
2
2
2
2
2
2
3
4
5
a
b
x
x
x
c
，故
ABC
是直角三角形，
C、当
A
B
C
+
时，∵
180
A
B
C
，则
90
C
，故
ABC
是直角三角形，
D、当
:
:
3: 4 :5
A
B
C
时，∵
180
A
B
C
，则最大角为
5
180
75
3
4
5
C
，故
ABC
不
是直角三角形，
故选：D．
【变式2-2】满足下列条件的
ABC
，不是直角三角形的是（
）
A．
: :
3: 4:5
a b c
B．
:
:
9 :12 :15
A
B
C
C．
C
A
B
D．
2
2
2
b
a
c
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理
以及直角三角形的性质，即可得到结论．掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：A、由
: :
3: 4:5
a b c
得
2
2
2
c
a
b
符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由
:
:
9 :12 :15
A
B
C
，及
180
A
B
C
得
75
90
C
，故不是直角三角形；
C、由三角形三个角度数和是180及
C
A
B
解得
90
A
，故是直角三角形．
D、由
2
2
2
b
a
c
得
2
2
2
b
a
c
符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
故选：B．
题型3 在网格中判断直角三角形
【例5】如图，在边长为1 的小正方形网格中，点A ，B ，C 均在网格的格点上，下列结论不正确
．．．的是（
）
A．
5
BC
B．
5
AB
C．
90
ACB
D．
10
ABC
S
△
【答案】D
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、三角形的面积，利用勾股定理求线段长度
是解题的关键．根据勾股定理求出BC 、AB 、
2
AC ，利用勾股定理的逆定理推出
90
ACB
，再利用割补
法求出
ABC
S
，结合选项即可得出答案．
【详解】解：
2
2
1
2
5
BC
，
2
2
3
4
5
AB
，
2
2
2
2
4
20
AC
，
2
2
2
AC
BC
AB
，
90
ACB
，
1
1
1
4
4
4
3
4
2
1
2
5
2
2
2
ABC
S
=
ਮ
创
-
创
-
创
=
．
结合选项可得，A、B、C 选项结论正确，D 选项结论不正确．
故选：D．
【例6】如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 在小正方形的格点上，连接AB ，BC ，AC ，则
ACB
的度数是（
）
A．45
B．30
C．90
D．60
【答案】A
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断
ABC
是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点
三角形中利用勾股定理．在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB ，BC ，AC 的长度，继而可得出
ABC
的度数．
【详解】解：根据勾股定理可得：
2
2
2
1
5
AB
BC
，
2
2
3
1
10
AC
，
2
2
2
( 5)
( 5)
( 10)
，即
2
2
2
AB
BC
AC
，
ABC
是等腰直角三角形．
45
ACB
．
故选：A．
【技巧归纳】
1. 算三边平方：利用格点间横纵距离求各边平方。
2. 验勾股：若较小两平方和等于最大平方，则为直角三角形。
3. 也可看垂直：检查是否有边水平、竖直，或利用斜率乘积为-1。
【变式3-1】如图，在4 4
的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则下列结论
错误的是（
）
A．
2
20
AB
B．
90
BAC
C．
ABC
的面积为10
D．点A 到直线BC 的距离是2
【答案】C
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握
勾股定理及其逆定理是解题的关键．
利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可．
【详解】解：A、
2
2
2
2
4
20
AB =
+
=
，本选项结论正确，不符合题意；
B、
2
2
2
1
2
5
AC
，
2
2
2
2
4
20
AB =
+
=
，
2
2
2
3
4
25
BC
，
2
2
2
AC
AB
BC
，
90
BAC
，本选项结论正确，不符合题意；
C、
1
1
1
4
4
1 2
2
4
3 4
5
2
2
2
ABC
S
，本选项结论错误，符合题意；
D、点A 到BC 的距离
2
2
5
5
2
ABC
S
BC
，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
【变式3-2】如图所示的网格是正方形网格，点A 、B 、C 、D 、E 都是网格线交点，则
ACB
DCE
（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
【答案】B
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三
角形
【分析】本题主要考查勾股定理与网格，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，理解图示，掌握
勾股定理与网格，全等三角形的判定和性质是关键．
如图，连接CG 、AG ，由勾股定理逆定理得到CAG
是等腰直角三角形，
CAF
BCA
，再证明
AFG
CDE SAS
≌
，得到
FAG
DCE
，由
45
ACB
DCE
CAF
FAG
CAG
即可求解．
【详解】解：如图，连接CG 、AG ，
由勾股定理得：
2
2
2
2
1
2
5
AG
CG
，
2
2
2
1
3
10
AC
，
2
2
2
AG
CG
AC
，
90
CGA
，
CAG
是等腰直角三角形，
45
CAG
，
AF
BC
，
CAF
BCA
，
在AFG
和CDE
中，
90
AF
CD
AFG
CDE
FG
DE
，
AFG
CDE SAS
≌
，
FAG
DCE
，
45
ACB
DCE
CAF
FAG
CAG
．
故选：B．
题型4 利用勾股定理的逆定理求解
【例7】如图，在四边形ABCD 中，
5
AB
，
3
BC ，
5
3
AD
，
13
3
DC
，AC
BC
，判断AC 与AD 的
位置关系，并说明理由．
【答案】AC
AD
，理由见解析
【分析】先利用勾股定理求出
2
AC ，在ACD
中，利用勾股定理逆定理求出ACD
是直角三角形，则
90
DAC
，从而得出结论．
【详解】解：AC
AD
，理由如下：
AC
BC
，
90
ACB
，
在Rt
ACB
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
2
5
3
16
AC
AB
BC
，
在ACD
中，
2
2
5
25
3
9
AD
、
2
2
13
169
3
9
DC
，
25
25
144
169
16
9
9
9
9
，
2
2
2
AD
AC
DC
，
90
DAC
，
AC
AD
．
【例8】用一根长为24m 的绳子围成
ABC
，已知
10m,
6m
AB
BC
．
(1) AC 的长为_____ m．
(2)求点A 到BC 的距离．
【答案】(1)8
(2)8m
【分析】（1）由题意得
ABC
的周长为24m ，再根据
10m,
6m
AB
BC
即可求解；
（2）先证明
ABC
是直角三角形，且
90
ACB
，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得
ABC
的周长为24m ，
∵
10m,
6m
AB
BC
，
∴
24
8 m
AC
AB
BC
；
（2）解：在
ABC
中，
10m,
6m,
8m
AB
BC
AC
，且
2
2
2
100,
100
AC
BC
AB
，
2
2
2
AC
BC
AB
，
ABC
是直角三角形，且
90
ACB
，
点A 到BC 的距离为8m ．
【技巧归纳】
1. 排序：三边a≤b≤c，验证a2+b2 是否等于c2。
2. 列方程：已知某两边关系设未知数，利用等式求边长或参数。
3. 得直角：满足则c 边对角为90°，用于证垂直或角度。
【变式4-1】如图，在
ABC
中，CD
AB
于点D，已知
25
AB
，
15
BC
，
9
DB
．
(1)求AC ，CD 的长；
(2)求证：
ABC
是直角三角形．
【答案】(1) AC 20 ；
12
CD
(2)见解析
【分析】（1）利用勾股定理先求解
12
CD
，进一步利用勾股定理求解AC 即可．
（2）证明
2
2
2
AC
BC
AB
即可．
【详解】（1）解：
CD
AB
，
90
BDC
ADC
，
2
2
12
CD
BC
BD
．
25
AB
，
9
DB
，
16
AD
AB
DB
，
2
2
20
AC
AD
CD
．
（2）证明：
20
AC
，
15
BC
，
25
AB
，
2
2
2
AC
BC
AB
．
ABC
是直角三角形．
【变式4-2】如图，在四边形ABCD 中，
9
12
17
8
90
AB
BC
CD
AD
B
，
，
，
，
．
(1)连接AC ，求AC 的长；
(2)求四边形ABCD 的面积．
【答案】(1)15
(2)114
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明
90
CAD
，再根据
ABC
ADC
ABCD
S
S
S
△
△
四边形
列式求解即可．
【详解】（1）解：∵在
ABC
中，
9
12
90
AB
BC
B
，
，
，
∴
2
2
2
2
12
9
15
AC
AB
BC
；
（2）解：∵
17
8
15
CD
AD
AC
，
，
，
∴
2
2
2
2
2
2
8
15
64
225
289
17
289
AD
AC
CD
，
，
∴
2
2
2
AD
AC
CD
，
∴
90
CAD
，
∴
ABC
ADC
ABCD
S
S
S
△
△
四边形
1
1
2
2
AB BC
AD AC
1
1
9 12
8 15
2
2
114
．
题型5 勾股定理逆定理的实际应用
【例9】如图，一架无人机旋停在空中点A 处，点A 与地面上点B 之间的距离
20
AB
米，点A 与地面上
点C（点B，C 处于同一水平面上）的距离
25
AC
米，且
15
BC
米．
(1)求
ABC
的度数；
(2)现这架无人机沿AB 所在直线向下飞行至点D 处，若点D 恰好在边AC 的垂直平分线上，连接CD ，求这
架无人机向下飞行的距离（AD 的长）．
【答案】(1)
90
ABC
(2)125
8 米
【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和
线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理即可解答；
（2）设AD
x
米，则BD
20
x
米，由线段垂直平分线的性质得到CD
AD
x
米，在Rt BDC
中，
根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
20
15
625
AB
BC
，
2
2
25
625
AC
，
2
2
2
AB
BC
AC
，
∴
90
ABC
；
（2）解：设AD
x
米，则BD
20
x
米，
∵点D 恰好在边AC 的垂直平分线上，
∴CD
AD
x
米，
在Rt BDC
中，由勾股定理得
2
2
2
DC
BD
BC
，
2
2
2
20
15
x
x
，
解得
125.
8
x
答：这架无人机向下飞行的距离AD 的长）为125
8 米．
【例10】劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场
地，在校园规划了一片劳动基地（四边形ABCD）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一
条小路AC 隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区
ABC
的AB 边长为24 米，BC 边长为7 米，蔬
菜区ACD
的AD 边长为20 米，CD 边长为15 米，
90
B
．
(1)求小路AC 的长；
(2)求
D
的度数和蔬菜区ACD
的面积．
【答案】(1)小路AC 的长为25 米
(2)
D
的度数为90，蔬菜区ACD
的面积为150 平方米
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）由勾股定理的逆定理求
D
的度数，再根据三角形面积求解．
【详解】（1）解：∵
90
B
Ð
=
°，
24
AB
米，
7
BC
米，
∴
2
2
2
2
24
7
25
AC
AB
BC
(米)，
答：小路AC 的长为25 米．
（2）解：∵
2
2
2
2
20
15
625
AD
CD
，
2
2
25
625
AC
，
∴
2
2
2
AD
CD
AC
，
∴
90
D
Ð
=
°，
∴
1
1
20 15
150
2
2
ACD
S
AD CD
(平方米) ．
答：
D
的度数为90，蔬菜区ACD
的面积为150 平方米．
【技巧归纳】
1. 构造三角形：测量三边长度，判断是否为直角三角形。
2. 判定垂直：若三边满足勾股定理，则边c 所对角为90°。
3. 选材定位：用于建直角、测距、方位判断等实际问题。
【变式5-1】如图，某景区内有一个露营区C ，湖边AB 上原有两个观景台A 和B ，且AB
BC
，为了方便
游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台P （A 、P 、B 在同一直线上），并铺设了步道CP ，同时测量了
260m
AC
，
100m
AP
，
240m
CP
，请解决以下问题：
(1)试判断步道CP是否是露营区C 到湖边AB 的最短路径，并说明理由；
(2)求观景台P 与观景台B 之间距离PB 的长．
【答案】(1)是，见解析；
(2)观景台P 与观景台B 之间距离PB 的长为238m．
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定
理的逆定理．
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）在
APC
△
中，∵
260 m
AC
，
100 m
AP
，
240 m
CP
2
2
2
2
100
240
10000
57600
67600
AP
CP
2
2
260
67600
AC
∴
2
2
2
AP
CP
AC
∴
90
APC
，即CP
AB
根据垂线段最短，
∴CP是露营区C 到湖边AB 的最短路径；
（2）∵AB
BC
∴
100
BC
PB
∴在Rt
CPB
△
中，由勾股定理得
2
2
2
2
2
100
240
BP
BC
PC
BP
解得：
238
BP
答：观景台P 与观景台B 之间距离PB 的长为238 m ．
【变式5-2】如图，四边形ABCD为某工厂的平面图，经测量
80m
AB
BC
AD
，
80 3m
CD
，且
90
ABC
．
(1)求
DAB
的度数．
(2)若直线AB 为工厂的车辆进出道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D 处安装一个摄像头观
察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为80m ，求被监控到的道路长度为多少米？（精确
到1m，参考数据
2
1.414
，
3
1.732
）
【答案】(1)135
(2)被监控到的道路长度为113m ．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性
质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质得出AC ，进而利用勾股定理逆定理解答即可；
（2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：连接AC ，
80m
AB
BC
AD
，
90
ABC
，
ABC
是等腰直角三角形，
2
2
2
2
80
80
80 2(m)
AC
AB
BC
，
45
CAB
，
80 3m
CD
，
在ACD
中，
2
2
2
2
2
2
80
(80 2)
(80 3)
AD
AC
CD
，
ACD
是直角三角形，
90
CAD
，
90
45
135
DAB
；
（2）解：过点D 作DE
AB
于E ，作点A 关于DE 的对称点F ，连接DF ，
，
由轴对称的性质，得：
80m
DF
DA
，AE
EF
，
由（1）知，
135
BAD
，
45
DAE
，
ADE
是等腰直角三角形，AE
DE
，
∴
2
2
2
AE
DE
AD
，
2
40 2(m)
2
AE
DE
AD
，
2
80 2
113
AF
AE
，
被监控到的道路长度为113m ．
题型6 勾股定理逆定理的拓展问题
【例11】阅读下列内容：
设a ，b ，c 是一个三角形的三条边的长，且a 是最长边，我们可以利用a ，b ，c 三边长间的关系来判断这
个三角形的形状：①若
2
2
2
a
b
c
，则该三角形是直角三角形；②若
2
2
2
a
b
c
，则该三角形是钝角三角
形；③若
2
2
2
a
b
c
，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4 ，5 ，6 ，则最长
边是6 ，由于
2
2
2
6
36
4
5
，由结论③可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是6 ，7 ，8 ，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)若一个三角形的三边长分别是5 ，12，x ，且这个三角形是直角三角形，则x 的值为________．
【答案】(1)锐角；
(2)13或119
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理逆定理的拓展问题
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据阅读材料中提供的思路进行判断即可．
1 根据题意，三角形的三边长分别是6 ，7 ，8 ，其中最长边是8 ，计算出
28 和
2
2
6
7
的大小，从而可以判
断三角形的形状；
2 当x 是最长边时，可得方程
2
2
2
5
12
x
，解方程求出x 即可，当12是最长边时，可得方程
2
2
2
12
5
x
，
解方程求出x 即可．
【详解】（1）解：三角形的三边长分别是6 ，7 ，8 ，其中最长边是8 ，
2
2
2
8
6
7
，
该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）解：三角形的三边长分别是5 ，12，x ，且这个三角形是直角三角形，
当x 是最长边时，
可得：
2
2
2
5
12
x
，
解得：
13
x
，
当12是最长边时，
可得：
2
2
2
12
5
x
，
解得：
119
x
，
故答案为：13或119 ．
【例12】定义：如图，点M，N（点M 在N 的左侧）把线段AB 分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，
NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N 是线段AB 的勾股分割．
(1)已知M、N 把线段AB 分割成AM，MN，BN，若
1.5
AM
，
2.5
MN
，
2.0
BN
，则点M、N 是线段
AB 的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N 是线段AB 的勾股分割点，且AM 为直角边，若
30
AB
，
5
AM
，求BN 的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)BN＝12 或13
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的拓展问题
【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N 是线段AB 的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM 为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，
②当MN 为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN 为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分
别列出方程即可解决问题．
【详解】（1）是．理由如下：
∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB 为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N 是线段AB 的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，
①当MN 为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，
即（25−x）2＝x2＋25，
解得x＝12；
②当BN 为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（25−x）2，
解得x＝13，
综上所述，BN＝12 或13．
【技巧归纳】
1. 分数或根号边：三边平方后化为整数再比较。
2. 非整数比：若a:b:c = m:n:p，验证m2+n2=p2 即为直角。
3. 多条件：结合面积或周长列方程组，用逆定理列等式求参数。
【变式6-1】定义：a，b，c 为正整数，若
2
2
2
c
a
b
，则称c 为“完美勾股数”，a，b 为c 的“伴侣勾股数”．如
2
2
2
13
5
12
，则13 是“完美勾股数”，5，12 是13 的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知
ABC
的三边a，b，c 满足
2
2
2
6
8
10
50
0
a
b
c
a
b
c
．求证：c 是“完美勾股数”．
(3)已知m，
0
n
且m
n
，
2
2
2
2
2
c
m
mn
n
，
2
2
4
a
m
mn
n
，
3
b
m
n
，c 为“完美勾股数”，a，
b 为c 的“伴侣勾股数”．多项式
3
2
3
x
x
p
有一个因式x
m
n
，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
2
2
2
x
x
【知识点】新定义下的实数运算、整式的混合运算、因式分解的应用、勾股定理逆定理的拓展问题
【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n 的关系式，将m，n 的关系式代入x
m
n
，根据多项式
3
2
3
x
x
p
有一个因式
x
m
n
，求解即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
10
6
8
，
数10 是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：
2
2
2
6
9
8
16
10
25
0
a
a
b
a
c
c
2
2
2
(
3)
(
4)
(
5)
0
a
b
c
\
-
+
-
+
-
=
2
2
2
(
3)
0;(
4)
0;(
5)
0.
a
b
c
3,
4,
5
a
b
c
，
2
2
2
c
a
b
，
c
是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得：
2
2
2
c
a
b
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3(
)
m
mn
n
m
mn
n
m
n
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3(
)
m
mn
n
m
mn
n
m
n
，
2
2
2
2
2
3
6
3
2
3(
)
m
mn
n
m
mn
n
m
n
，
2
2
2
(
) (
)
(
)
m
n
m
n
m
n
，
2
2
(
)
(
)
1
0
m
n
m
n
，
又
,
0;
m n
m
n
，
2
0
(
)
1
m
n
，即
1
m
n
，
1
m
n
，
3
2
3
x
x
p
有一个因式为
1
x
m
n
x
，
3
2
2
3
1
2
2
x
x
P
x
x
x
，
∴另一个因式为
2
2
2
x
x
．
【变式6-2】在
ABC
中，
,
,
BC
a AC
b AB
c
，设c 为最长边，当
2
2
2
a
b
c
时，
ABC
是直角三角形；
当
2
2
2
a
b
c
时，利用代数式
2
2
a
b
和
2c 的大小关系，探究
ABC
的形状（按角分类）．
(1)当
ABC
三边分别为6、8、9 时，
ABC
为________三角形；当
ABC
三边分别为6、8、11 时，
ABC
为________三角形；
(2)猜想：当
2
2
a
b
________
2c 时，
ABC
为锐角三角形；当
2
2
a
b
________
2c 时，
ABC
为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当
5,
12
a
b
时，
当
ABC
为直角三角形时，则c 的取值为________；
当
ABC
为锐角三角形时，则c 的取值范围________；
当
ABC
为钝角三角形时，则c 的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)
；
(3)①
13
c
；②12
13
c
；③13
17
c
【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8 时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，
反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出
2
2
13
c
a
b
，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8 时，斜边
2
2
6
8
10
当
ABC
三边分别为6、8、9 时，
ABC
为锐角三角形
当
ABC
三边分别为6、8、11 时，
ABC
为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当
2
2
2
a
b
c
时，
ABC
为锐角三角形；
当
2
2
2
a
b
c
时，
ABC
为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时，
2
2
13
c
a
b
；
当
ABC
为锐角三角形时，
2
2
2
a
b
c
，
12
13
c
；
当
ABC
为钝角三角形时，
2
2
2
a
b
c
，
则c 的取值范围为
13
c
，
两边之和大于第三边，
13
17
c
．
一、单选题
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组
数中，是“勾股数”的是（
）
A．0.3，0.4，0.5
B．1，3，2
C．4，5，6
D．9，40，41
【答案】D
【分析】勾股数的定义为：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方的三个正整数，称为勾股
数. 根据定义逐一验证各选项即可得到答案．
【详解】解：勾股数要求三个数均为正整数，选项A 中三个数均为小数，因此不是勾股数；
对其余选项从小到大排序后验证：
B、1
2
3
，不能构成三角形，不符合题意；
C、
2
2
2
4
5
16
25
41
36
6
，故选项C 的三个数不是勾股数；
D、
2
2
2
9
40
81
1600
1681
41
+
=
+
=
=
，且三个数均为正整数，故选项D 的三个数是勾股数．
2．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，若三角形中，两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，
那么这个三角形是直角三角形，据此判断出对应图形中直角三角形的个数即可得到答案．
【详解】解：A、
2
2
2
7
24
49
576
625
25
，
2
2
2
15
20
225
400
625
24
576
，
∴图中只有一个直角三角形，不符合题意；
B、
2
2
2
7
24
49
576
625
25
，
2
2
2
15
20
225
400
625
25
，
∴图中有两个直角三角形，符合题意；
C、
2
2
2
7
20
49
400
449
25
625
，
2
2
2
15
24
225
576
801
25
625
，
∴图中没有直角三角形，不符合题意；
D、
2
2
2
7
15
49
225
274
20
400
，
2
2
2
20
24
400
576
976
25
625
，
∴图中没有直角三角形，不符合题意；
故选：B．
3．如图是5 5
的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A 和点B 在格点上，在网格中的格点
上另找一点C，使A，B，C 三点构成一个直角三角形，则这样的点C 共有（
）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】A
【分析】此题考查了直角三角形的判定，网格的性质，
根据题意分别作出以A，B，C 三点为顶点的直角三角形，进而求解即可．
【详解】如图所示，
∴这样的点C 共有5 个．
故选：A．
4．已知
ABC
的三边长分别为a ，b ，c ，且满足
2
2
(
15)
17
(
8)
0
a
b
c
，则
ABC
是（
）
A．以a 为斜边的直角三角形
B．以b 为斜边的直角三角形
C．以c 为斜边的直角三角形
D．非直角三角形
【答案】B
【分析】利用非负数的性质求出a、b、c 的值，再应用勾股定理逆定理判断三角形形状.
本题考查了非负数的性质和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，利用非负数的性质解得各边的长是解
题关键．
【详解】解：∵
2
2
15
17
8
0
a
b
c
，且每项非负，
∴
15
0
a
，
17
0
b
，
8
0
c
，
∴
15
a
，
17
b
，
8
c ，
∴
2
2
2
2
15
8
225
64
289
a
c
，
2
2
17
289
b
，
∴
2
2
2
a
c
b
，
∴
ABC
是以b 为斜边的直角三角形．
故选：B．
5．已知a、b、c 是
ABC
的三边长，则下列说法中不成立的一项是（
）．
A．若
2
2
2
a
c
b
，则
ABC
一定是直角三角形
B．若
2
2
2
a
b
c
，则
ABC
一定是钝角三角形
C．若
2
2
2
a
b
c
，则
ABC
一定是锐角三角形
D．若
2
2
2
a
b
c
，则
ABC
可能是直角三角形
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，可根据勾股定理及其逆定理分析选项A，通过举例子，例如
3,
4,
5
a
b
c
，可判断D 成立，若
2
2
2
a
b
c
，即
2
2
2
a
b
c
，不妨设
2
2
2
d
c
b
，那么, ,
d b c 三边构成
直角三角形，且d 为斜边，以b 为半径画圆，通过移动边b 在圆上的端点位置可判断选项C，选项B．
【详解】解：当
2
2
2
a
c
b
时，即
2
2
2
a
b
c
，
∴
ABC
一定是直角三角形，故A 正确；
当
3,
4,
5
a
b
c
时，
2
2
2
9,
16,
25
a
b
c
，
此时
2
2
2
a
b
c
，但
2
2
2
a
b
c
，
∴当
3,
4,
5
a
b
c
时，
ABC
是直角三角形，故D 正确；
当
2
2
2
a
b
c
，即
2
2
2
a
b
c
，不妨设
2
2
2
d
c
b
，
那么, ,
d b c 三边构成直角三角形，且d 为斜边，
如图所示：
当
2
2
a
d
，即
2
2
2
a
b
c
，
则
ABC
一定是钝角三角形，故B 正确；
同理，如图所示：
当
2
2
2
a
b
c
，
则
ABC
不一定是锐角三角形．
故选：C．
二、填空题
6．给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，
25，24．以每组数据为三边长，可构成三角形的有____________；可构成直角三角形的有____________．（填
序号）
【答案】
①③④⑥⑦
①④⑥⑦
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的三边关系定理的应用，注意：如果一个三角形的两边a 、
b 的平方和等于第三边c 的平方，那么这个三角形是直角三角形．
根据三角形三边关系定理和勾股定理逐一判断每组数据．
【详解】解：根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，可判断：
①3
4
5
，3 5
4
，4
5
3
，能构成三角形；
②1 3
4
，不大于，不能构成三角形；
③4
4
6
，4
6
4
，4
6
4
，能构成三角形；
④6
8
10
，6 10
8
，8 10
6
，能构成三角形；
⑤5
2
7
，不大于，不能构成三角形；
⑥5 12
13
，5 13
12
，12 13
5
，能构成三角形；
⑦7
24
25
，7
25
24
，24
25
7
，能构成三角形.
故可构成三角形的有①③④⑥⑦.
对于能构成三角形的组，应用勾股定理判断：
①
2
2
2
3
4
5
，是直角三角形；
③
2
2
2
4
4
6
，不是直角三角形；
④
2
2
2
6
8
10
，是直角三角形；
⑥
2
2
2
5
12
13
，是直角三角形；
⑦
2
2
2
7
24
25
，是直角三角形，
故可构成直角三角形的有①④⑥⑦.
故答案为：①③④⑥⑦；①④⑥⑦．
7．如图，在正方形网格中有两条直线AC 与BC ，则
BAC
的度数为__________．
【答案】45/45 度
【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，利用勾股定理及其逆定理得
ABC
是直角三角形，
90
ACB
，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理得：
2
2
2
1
3
10
AC
，
2
2
2
1
3
10
BC
，
2
2
2
2
4
20
AB =
+
=
，
2
2
2
AB
AC
BC
，AC
BC
，
ABC
是直角三角形，
90
ACB
，
45
BAC
，
故答案为：45．
8．如图，
4
AB
，
3
BC ，
12
DC
，
13
AD
，
90
B
Ð
=
°，则四边形DABC 的面积是______．
【答案】24
【分析】连接AC ，根据勾股定理求出AC ，再根据勾股定理的逆定理证明ACD
是直角三角形，再根据四
边形DABC 的面积
ACD
ABC
S
S
△
△
求解即可．
【详解】解：连接AC ，
4
AB
，
3
BC ，
90
B
Ð
=
°，
2
2
3
4
5
AC
，
2
2
2
2
2
2
5
12
169,
13
169
AC
CD
AD
，
2
2
2
AC
CD
AD
，
ACD
是直角三角形，且
=90
ACD
，
四边形DABC 的面积
1
1
5 12
3 4
24
2
2
ACD
ABC
S
S
．
9．若ABC
的三边长分别为a，b，c，且满足
2
7
24
1
0
a
b
c
b
，则ABC
的面积为___．
【答案】84
【分析】根据非负数的性质求出三角形三边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后计算直
角三角形的面积即可．
【详解】解：∵
2
7
24
1
0
a
b
c
b
，且
2
7
0,
24
0,
1
0
a
b
c
b
，
∴
7
0,
24
0,
1
0
a
b
c
b
，
∴
7,
24
a
b
，则
1
25
c
b
，
∵
2
2
2
2
7
24
49
576
625
a
b
，
2
2
25
625
c
，
∴
2
2
2
a
b
c
，
∴ABC
是直角三角形，直角边为a 和b ，
∴ABC
的面积
1
1
7
24
84
2
2
S
ab
．
10．阅读下列内容，设a ，b ，c 是一个三角形的三条边的长，且a 是最长边，我们可以利用a ，b ，c 三边
长间的关系来判断这个三角形的形状：①若
2
2
2
a
b
c
，则该三角形是直角三角形；②若
2
2
2
a
b
c
，则该
三角形是钝角三角形；若③
2
2
2
a
b
c
，则该三角形是锐角三角形．
例如：若一个三角形的三边长分别是4 ，5 ，6 则最长边是6 ，由于
2
2
2
6
36
4
5
，故由上面③可知该三
角形是锐角三角形，请解答以下问题．
（1）若一个三角形的三条边长分别是6 ，7 ，8 则该三角形是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
（2）若一个三角形的三条边长分别是5 ，12，x 且这个三角形是直角三角形，则x 的值为_____．
【答案】
锐角
13或119
【分析】（1）先确定最长边，计算最长边的平方与另外两边平方和的大小，根据材料中的规则判断三角形
形状；
（2）分“ x 是最长边” 和“12 是最长边” 两种情况，利用勾股定理列方程求解x ．
【详解】解：（1）由
2
2
2
6
7
85,8
64
，
可知
2
2
2
8
6
7
，
∴该三角形是锐角三角形；
故答案为：锐角；
（2）∵三边长分别为512
x
，，，且这个三角形是直角三角形，
∴
2
2
2
5
12
x
或
2
2
2
5
12
x
，
解得
13
x
或
119
x
.
故答案为：13或119 .
【点睛】本题考查三角形形状的判断（勾股定理的拓展），涉及的知识点是勾股定理、三角形三边关系．解
题中用到的方法是分类讨论法（第二问需考虑最长边的不同情况）．解题关键是准确确定最长边，避免漏
解（第二问易忽略“12 是最长边” 的情况）．易错点是第二问漏算其中一种情况，导致答案不完整．
三、解答题
11．如图，在
ABC
中，AD
BC
，
12
AD
，
16
BD
，
9
CD
．求：
(1)
ABC
的周长；
(2)判断
ABC
是否是直角三角形？为什么？
【答案】(1)60
(2)直角三角形，原因见详解
【分析】（1）先由勾股定理分别求出AB
AC
、
长度，再求
ABC
的周长即可；
（2）由（1）中求出的
ABC
的三边长度，由勾股定理的逆定理判定即可．
【详解】（1）解：
AD
BC
，
90
ADB
ADC
，
在Rt
ABD
△
中，
90
ADB
，
12
AD
，
16
BD
，则由勾股定理可得
2
2
20
AB
AD
BD
；
在Rt
ACD
△
中，
90
ADC
，
12
AD
，
9
CD
，则由勾股定理可得
2
2
15
AC
AD
CD
；
ABC
的周长为
20 15 16
9
60
AB
AC
BC
AB
AC
BD
DC
；
（2）解：
ABC
是直角三角形，
原因如下：
由（1）知，
20,
15,
25
AB
AC
BC
，
2
2
2
400,
225,
625
AB
AC
BC
，
即
2
2
2
625
400
225
BC
AB
AC
，
ABC
是直角三角形．
12．如图，在四边形ABCD 中，
90
B
Ð
=
°，AC 为四边形ABCD 的对角线，已知
8
AB
，
6
BC
，
2 15
CD
，
2 10
AD
．
(1)请判断ACD
的形状，并说明理由；
(2)过点D 作DE
AC
于点E ，求线段CE 的长．
【答案】(1) ACD
是直角三角形，理由见解析
(2)6
【分析】（1）先在Rt
ABC
△
中用勾股定理求AC 的长；再计算
2
2
AD
CD
与
2
AC 的关系，判断ACD
的形
状；
（2）利用ACD
的面积法求DE ，再结合勾股定理求CE 的长．
【详解】（1）解：∵在Rt
ABC
△
中，
90
B
Ð
=
°，
8
AB
，
6
BC
，
∴
2
2
2
2
2
8
6
100
AC
AB
BC
，
∴
10
AC
，
又∵
2 10
AD
，
2 15
CD
，
∴
2
2
2
2
2 10
2 15
40
60
100
AD
CD
，
∴
2
2
2
AD
CD
AC
，
∴ACD
是直角三角形；
（2）解：∵ACD
是直角三角形，
90
ADC
，DE
AC
，
∴
1
1
2
2
ACD
S
AD CD
AC
DE
，
即1
1
2 10
2 15
10
2
2
DE
，
化简得2 150
5DE
，即10 6
5DE
，
∴
2 6
DE
在Rt
CDE
△
中，
2
2
2
2
2
2 15
2 6
60
24
36
CE
CD
DE
，
∴
6
CE
．
13．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、
失衡等风险，该模型一条大腿支架AB 与小腿支架BC 需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架
实施固定，其示意图如图2 所示，实际测得数据如下：
8dm,
6dm,
10dm
AB
BC
AC
，
90
CAD
．
(1) AB 与BC 垂直吗？请说明理由；
(2)据设计人员介绍，支架的CD 比AD 长2dm ，求支架AD 的长度．
【答案】(1)垂直，理由见解析
(2)24dm
【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理列出方程，求出解即可．
【详解】（1）解：AB 与BC 垂直，理由如下：
∵
8dm
6dm
10dm
AB
BC
AC
，
，
，
∴
2
2
2
2
2
8
6
100
AB
BC
AC
，
∴
90
ABC
，即AB
BC
；
（2）解：由题意设
dm
AD
x
，则
(
2)dm
CD
x
，根据勾股定理，得
2
2
2
AC
AD
CD
，
即
2
2
2
10
(
2)
x
x
，
解得
24
x
，
所以
24dm
AD
．
14．已知a 、b 、c 为直角三角形三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高．
(1)下列说法正确的是_________．
A．
2
a 、
2
b 、
2c 能组成三角形；B．
a 、b 、
c 能组成直角三角形三边；
C．a
b
、c
h
、h 能组成直角三角形三边；D．
2
1
a 、
2
1
b 、
2
1
c 能组成直角三角形三边．
(2)请选择一个正确选项进行证明．
【答案】(1)C；
(2)见详解．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可；
（2）根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系证明即可．
【详解】（1）解：A、
2
2
2
a
b
c
+
=
，不符合三角形的两边之和大于第三边；
不能组成三角形，错误；
B 、
2
2
a
b
a
b
，( )
2
c
c
=
，
由题意得a
b
c
，
2
2
2
a
b
c
a
、b 、
c 不能组成直角三角形三边，错误；
C、
a
、b 、c 为直角三角形三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高，
2
2
2
a
b
c
\
+
=
，且ab
ch
，
又(
)
2
2
2
2
2
2
a
b
h
a
ab
b
h
+
+
=
+
+
+
，
将
2
2
2
a
b
c
，ab
ch
，代入得：
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
a
b
h
c
ch
h
c
h
+
+
=
+
+
=
+
，
根据勾股定理逆定理，a
b
、c
h
、h 能组成直角三角形三边，正确；
D、
2
2
4
4
2
2
4
4
1
1
a
b
a
b
a b
，
2
2
2
4
2
2
1
1
1
c
c
a
b
，二者不相等，
同理证
2
2
2
2
2
2
1
1
1
a
c
b
，
2
2
2
2
2
2
1
1
1
b
c
a
，可知均不满足勾股定理逆定理，
2
1
a
、
2
1
b 、
2
1
c 不能组成直角三角形三边，错误；
（2）证明C 选项：
a
、b 、c 为直角三角形三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高，
2
2
2
a
b
c
\
+
=
，且ab
ch
，
又(
)
2
2
2
2
2
2
a
b
h
a
ab
b
h
+
+
=
+
+
+
，
将
2
2
2
a
b
c
，ab
ch
，代入得：(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
a
b
h
c
ch
h
c
h
+
+
=
+
+
=
+
，
根据勾股定理逆定理，a
b
、c
h
、h 能组成直角三角形三边．
15．如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的高．
(1)若
2
CD
，
4
AD
，
8
BD
，求证：AB
AC
；
(2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足
2
AD
BD CD
时，
ABC
一定为直角三角形．小明的判断正确
吗？为什么？
(3)如图2 是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3 所示的图形，已
知斜梁BD
AC
于点D．经测量，斜梁
5m
AC
，
2.4m
BD
，横梁
4m
BC
．若横梁BC 与竖梁AB 垂直
则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)正确，理由见解析
(3)这个房梁安全，理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可；
（2）根据勾股定理得
2
2
2
AD
AC
CD
①，
2
2
2
AD
AB
BD
②，
①
②得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2AD
AC
CD
AB
BD
AC
AB
CD
BD
，结合
2
AD
BD CD
，化简得
2
2
2
BD
CD
AC
AB
，即
2
2
2
BC
AC
AB
，即可得出结论；
（3）根据勾股定理得
3.2 m
CD
，再得到
3 m
AC
，再进一步即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在
ABC
中，AD 为BC 边上的高，
∴
90
ADB
ADC
，
∵
2
CD
，
4
AD
，
8
BD
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
20,
4
8
80
AC
AD
CD
AB
AD
BD
，
10
BC
CD
BD
，
∴
2
2
2
2
100
10
AC
AB
BC
，
∴
90
BAC
，
∴AB
AC
；
（2）解：正确，理由如下：
AD
BC
，
∴在Rt
ACD
△
中，由勾股定理得
2
2
2
AD
AC
CD
①，
在Rt
ABD
△
中，由勾股定理得
2
2
2
AD
AB
BD
②，
①
②得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2AD
AC
CD
AB
BD
AC
AB
CD
BD
，
2
AD
BD CD
，
2
2
2
2
2BD CD
AC
AB
CD
BD
，
∴
2
2
2
2
2
BD
BD CD
CD
AC
AB
，
∴
2
2
2
BD
CD
AC
AB
，即
2
2
2
BC
AC
AB
，
ABC
为直角三角形；
（3）解：安全，理由如下：
4m
BC
，
2.4m
BD
，BD
AC
，
在Rt
BCD
△
中，根据勾股定理得
2
2
2
2
4
2.4
3.2 m
CD
BC
BD
，
∴
5 3.2
1.8
AD
，
∴
2
2
3
AB
AD
BD
，
∴
2
2
2
2
2
3
4
25
AB
BC
AC
，
ABC
是直角三角形，
∴这个房梁安全．
