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1
第14 讲相似三角形的判定定理与应用
课程标准
学习目标
①了解相似三角形的判定定理:两角分别相
等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相
等的两个三角形相似；三边成比例的两个三
角形相似．
②*了解相似三角形判定定理的证明．
1、经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形
的含义．
2.在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学
生观察、操作、归纳、类比、反思、交流等多方面的能
力,提高学生的数学思维水平，体会反例的作用．
知识点一：两角对应相等的两个三角形相似(AA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
2
知识点二：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似（SAS）．
如图，若∠A＝∠D，AC
AB
DF
DE
，则△ABC∽△DEF.
知识点三：三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）．
如图，若AB
AC
BC
DE
DF
EF
，则△ABC∽△DEF.
题型01
用合适的方法判定相似三角形
1．已知在Rt
ABC
△
和Rt A B C
中，
90
C
C
，则不能使两直角三角形相似的条件为（
）
A．
A
A
B．AC
BC
A C
B C
C．AC
A C
AB
A B
D．AC
B C
AB
A C
2．已知P 是ABC
的边AC 上一点，连接BP ，则下列不能判定ABP
ACB
∽
的是（
）
A．
ABP
C
B．
APB
ABC
C．AB
AC
AP
AB
D．AB
AC
BP
BC
=
3．下列条件中，不能判定
ACD
ABC
△
∽△
的是（）
3
A．
ACD
B
B．AD
CD
AC
BC
C．
ADC
ACB
D．AC
AB
AD
AC
4．如图，下列条件中能判定DAC
ABC
∽
的是（
）
A．
2
AC
BC CD
B．
2
CD
AD DB
C．AC
AB
CD
BC
D．CD
BC
DA
AC
5．如图，已知
1
2
，那么添加下列一个条件后，仍无法判定
ABC
ADE
∽
△
△
的是（
）
A．
C
E
B．
B
ADE
C．AB
AC
AD
AE
D．AB
BC
AD
DE
6．如图，点P 在ABC
的边AC 上，添加一个条件可判定ABP
ACB
∽
，其中添加不正确的是(
)
A．
ABP
C
B．
APB
ABC
C．AP
AB
AB
AC
D．AB
AC
AP
CB
7．如图，下列条件不能判定
ABC
ADE
△
△
∽
的是（
）
A．1
2
，
B
D
B．AB
AC
BC
AD
AE
DE
4
C．
1
2
，AB
BC
AD
DE
D．
1
2
，AB
AC
AD
AE
8．如图，点D 在ABC
的边AC 上，添加一个条件，使得ADB
ABC
∽
．以下是天翼和往琛的做法．下列
说法不正确的是（
）
天冀的做法：添加条件
ABD
C
．
证明：∵
ABD
C
，
A
A
．
∴ADB
ABC
∽
（两组角对应相等的两个三
角形相似）
往琛的做法：添加条件AB
BD
AC
CB
．
证明：∵
A
A
, AB
BD
AC
CB
．
∴ADB
ABC
∽
（两组对应边成比例及一组对应角相等的两
个三角形相似）
A．天翼的做法证明过程没有问题
B．往琛的做法证明过程没有问题
C．天翼的做法添加的条件没有问题
D．往琛的做法添加的条件有问题
题型02
补充条件判定相似三角形
9．如图，线段BE
CD
、
相交于点A ，连接DE
BC
、
，请添加一个条件，使
ADE
与ABC
相似，且点B 的
对应点为点D ，这个条件可以是
．（写出一个条件即可）
10．如图，点D 是边AB 上一点，
A
E
，连接BE ．若添加一个条件使得ABC
与BDE
相似，你添加
的条件是
．（只填写一个你认为正确的答案）
11．如图，AB
BC
BD
CD
，
，要使ABC
CDB
∽
，需添加的一个条件是
．
5
12．如图，在ABC
中，点D，E 分别在AB
AC
，
边上，要使
ABC
AED
∽
△
△
，则需要添加的一个条件
是
．（写出一个即可）
13．如图，点B，F，C，E 在同一条直线上，AB
DE
∥
，若使
ABC
DEF
∽
△
△
，则还需添加一个条件
是
．（只需填一个）
14．如图，已知
CAE
BAD
，添加一个条件使ABC
ADE
∽
，你添加的条件是
．(写出一个
即可)
15．如图，AB 与CD 相交于点O，连接AC ，BD ，添加一个条件，使
ACO
BDO
△
∽△
．你添加的条件
是
．
16．如图，
ADE
、ABC
和3 张都标注一个条件的卡片．从这3 张卡片中随机一次性抽取2 张的结果，能
判断
ADE
ABC
△
△
∽
的概率为
．
6
题型03
用SSS 判定三角形相似
17．如图，在3 2
的正方形网格中，ABC
和EDF
的顶点都在正方形的格点处，则ABC
与EDF
的周长
之比是（
）
A．11：
B．1
2
：
C．1 2
：
D．
2
5
：
18．如图，在4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是（
）
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．无法确定
19．如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为
．
20．如图，已知AB
AD
AC
AE
，下列添加的条件不能使
ABC
ADE
△
△
∽
的是（
）
7
A．
BAD
CAE
B．AB
AD
BC
DE
C．AB
AD
BD
CE
D．
ABD
ACE
21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，ABC
和
EFD
△
的顶点都在格
点上，则ABC
与
EFD
△
相似吗？请说明理由．
题型04
用SAS 判定三角形相似
22．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC
相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
23．如图，在ABC
中，
80
A
，
8
AB
，
6
AC
，将ABC
沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形
与ABC
不相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
24．如图，已知ABC
，
=60
B
，
6
AB
，
8
BC ．将ABC
沿图中的DE 剪开，剪下的阴影三角形与ABC
8
不相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
25．下列各组条件中，不能判定三角形ABC 与三角形A B C
相似的是（
）
A．
A
A
，
C
C
B．
A
A
，AB
BC
A B
B C
C．
90
A
A
，AB
BC
A B
B C
D．AB
BC
AC
A B
B C
AC
26．如图，点E ，F 分别在正方形ABCD的边BC ，CD 上，
3
BE
，
6
EC
，
2
CF
．求证：
ABE
ECF
△
△
∽
．
27．如图，点D 为ABC
边AB 上一点，
2
AD
，
6
BD
，
4
AC
．求证：
ACD
ABC
△
△
∽
．
28．如图，在平面直角坐标系内有两点
2,0
A
，
1 ,0
2
B
，CB 所在直线的方程为
2
y
x
b
，连接AC ．
(1)求b 的值；
(2)求证：
AOC
COB
△
∽△
．
题型05
用AA 判定三角形相似
29．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为6、8、10 的三角形按图1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三
9
角形与原三角形相似．
乙：将邻边为6 和10 的矩形按图2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形
与原矩形也相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（
）
A．甲对，乙不对
B．甲不对，乙对
C．两人都对
D．两人都不对
30．如图，在
ABCD
中，E 为AB 边上一点，连接
,
CE F 为CE 上一点，连接DF ，且
DFE
A
．求证：
DCF
CEB
△
∽△
．
31．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，CD
AB
，垂足为D ，E 为BC 上一点，连接AE ，作EF
AE
交AB 于F ．求证：
AGC
EFB
△
∽△
．
32．如图，AC 为平行四边形ABCD的对角线，且AC 平分
BCD
；点E 在AC 的延长线上，
E
ABC
．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)求证：ACD
BAE
∽
．
33．如图，四边形ABCD是正方形，点G 为边CD 上一点，连接AG 并延长，交BC 的延长线于点F，连接BD
交AF 于点E，连接EC ．求证：
10
(1)
DAE
DCE
；
(2)
EGC
ECF
△
∽△
．
34．如图，ABC
和DEF
是两个全等的等腰直角三角形，
90
BAC
EDF
，DEF
的顶点E 与ABC
的斜边BC 的中点重合，将DEF
绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射
线CA 相交于点Q ．
(1)如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP
AQ
时，求证：
BPE
CQE
△
≌△
；
(2)如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：
BPE
CEQ
△
∽△
．
1．如图，ABC
的高BD 、CE 相交于H ，连结DE ，则图中相似三角形的对数是（
）
A．5 对
B．6 对
C．7 对
D．8 对
2．如图，在Rt ABC
中，
90
ABC
E
F
，、
分别为AC
BC
、
的中点，连接EF
H
，
为AE 的中点，过点H
作HD
AC
，交BC 于点D，连接DE ，则与ABC
相似（不含ABC
）的三角形个数为（
）
11
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，在Rt ABC
中，
90
ABC
，E、F 分别为AC 、BC 的中点，连接EF ，H 为AE 的中点，过点H
作HD
AC
，交BC 于点D，连接DE ，则与ABC
相似(不含ABC
)的三角形个数为（
）
A．1
B．4
C．8
D．2
4．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似
三角形的是（
）
A．①与③
B．①与④
C．②与③
D．②与④
5．如图，在ABC
中，点D、E 分别在边AB
AC
、
上，则下列条件中：①
B
AED
；②DE
BC
∥
；③AD
AE
AC
AB
；
④AD BC
DE AC
，能使得以A，D，E 为顶点的三角形与ABC
相似的条件有（
）
12
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．如图，点P 、Q 分别是等边三角形ABC 的两边AC 、BC 上两点，AQ 、BP 相交于点O，连结OC ．若
AP
CQ
，则下列结论错误的是(
)
A．
2
OQ
OA
B．ABP≌CAQ
C．
60
BOQ
D．AOP∽BAP
7．数学课上，老师提出下面的问题：如图，在ABC
中，
90
ABC
，请用直尺和圆规在AC 上确定点D，
使
ABD
△
与ABC
相似．下面是四个学生的不同作法，根据作图痕迹可以判断，作法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知在ABC
与A B C
中，点D
D
、
分别在边BC
B C
、
上，
（点D 不与点B
C
、
重合，点D¢不与点B
C
、
重合）．如果
ADC
△
与
A D C
△
相似，点A
D
、
分别对应点A
、D ，那么添加下列条件可以证明ABC
与
A B C
相似的是（
）
①AD
A D
、
分别是ABC
与A B C
的角平分线；
②AD
A D
、
分别是ABC
与A B C
的中线；
③AD
A D
、
分别是ABC
与A B C
的高．
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
13
9．要在已知ABC
上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原ABC
相似．以下是甲、乙两人的作
法：
甲：如图1，分别以点A，C 为圆心，同样长度为半径画弧，交
,
,
AB BC AC 于点F，D，E；以F 点为圆心，
以D、E 间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线AG ，交BC 边与点H．则HBA
即为所求；
乙：如图2，分别以点A，B，C 为圆心，大于1
2
AC 的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D，E，F，
G；分别作直线DE 和FG ，直线DE 和FG 分别交
,
AB AC 于点M，N；连接MN ．则AMN
即为所求．对于
甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（
）
A．甲、乙两人的作法都正确
B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．甲的作法错误，乙的作法正确
10．如图，在ABC
中，点E 在AB 边上，已知AC
BD
∥
，添加一个条件，使BDE
ABC
∽
．你添加的条
件是
．
11．如图，在等腰直角ABC
中，
4
AB
BC
，D 为BC 上一点，E 为BC 延长线上一点，且
45
DAE
∠
，
2
AE
AD
，则BD
．
12．如图，在ABC
中，D 为边AB 上任意一点，利用尺规作图法，在边AC 上找一点E ，使得DEA
BCA
∽
.
（不写作法，保留作图痕迹）
14
13．如图，已知
A
A
，AB
BC
A B
B C
，
ABC
A B C
∽
△
△
吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，
使这两个三角形一定相似．
14．如图，在由若干个小正方形组成的网格图中，ABC
的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺完成以下
作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中ABC
的外部作FEC
，使ABC
FEC
∽
；
(2)在图②中，作ABC
绕点A 顺时针旋转一定角度后，各个顶点仍在格点上的
AB C
△
．
15．如图，在平行四边形ABCD中，过点A 作AE
BC
，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且
90
AFE
BAE
．
求证：
ADF
DEC
∽
△
△
．
16．如图，矩形ABCD中，
2
BC
AB
，点M 是BC 的中点，连接AM ．将ABM
沿着AM 折叠后得APM
，
延长AP 交CD 于E ，连接ME ．
15
(1)求证：ME 平分
PMC
．
(2)求证：EMC
MAB
∽
．
17．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，CD 是ABC
的中线，作AE
CD
于点E．
(1)求证：
ACE
BAC
∽
△
△
；
(2)若
5
AC
，
1
CE ，求CD 的长．
