文档文本内容
1
第12 讲平行线分线段成比例
课程标准
学习目标
③掌握基本事实:两条直线被一组平行线所
截，所得的对应线段成比例．
1、拿握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能
用其解题；
2、掌握基本定理的推导过程并能以之解题．
知识点一：平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则AB
DE
BC
EF
.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB
2
∥CD，则OA
OB
OD
OC
.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
题型01
由平行判断成比例的线段
1．如图，直线AB
CD
EF
∥
∥
，则（
）
A．AC
BD
AE
BF
B．
AC
BD
AE
DF
C．AC
BD
CE
BF
D．AC
DF
CE
BD
【答案】A
【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行
线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：∵AB
CD
EF
∥
∥
，
∴AC
BD
AE
BF
，AC
BD
CE
DF
，
观察四个选项，选项A 正确，符合题意，
故选：A．
3
2．如图，已知AB
CD
EF
∥
∥
，它们依次与直线1
2
,l l 交于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，则DF 的对应线段
是（
）
A．AB
B．BC
C．CE
D．CD
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据夹在平行线中的线段是对应线段，即可求解．
【详解】解：依题意，DF 的对应线段是CE ，
故选：C．
3．如图，AB
CD
EF
∥
∥
，AF 与BE 相交于点G ，且
2
AG
，
1
GD ，
5
DF
，则下列结论错误的是（
）
A．
3
5
BC
CE
B．
1
2
CD
AB
C．
1
5
CD
EF
D．
1
4
BG
BE
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【详解】解：A．AB
CD
EF
∥
∥
，则
2 1
3
5
5
BC
AD
AG
GD
CE
DF
DF
，正确，故本选项不符合题意；
B．AB
CD
∥
，则
1
2
CD
GD
AB
AG
，正确，故本选项不符合题意；
C．CD
EF
∥
，则
1
1
1 5
6
CD
GD
GD
EF
GF
GD
DF
，错误，故本选项符合题意；
D．AB
EF
∥
，则
2
1
2 1 5
4
BG
AG
AG
BE
AF
AG
GD
DF
，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．如图，在ABC
中，D、E 分别为AB 、AC 边上的点DE
BC
∥
，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于
点G．则下列结论中一定正确的是（
）
4
A．AD
AE
AB
EC
B．AG
AE
GF
BD
C．BD
CE
AD
AE
D．AG
AC
GF
EC
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质解答即可．本题考查了平行线判定三角
形的相似和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【详解】A、∵DE
BC
∥
，
∴AD
AE
AB
AC
，错误，不符合题意；
B、∵DE
BC
∥
，
∴AG
AE
GF
EC
，错误，不符合题意；
C、∵DE
BC
∥
，
∴BD
CE
AD
AE
，正确，符合题意；
D、∵DE
BC
∥
，
∴AG
AE
GF
EC
，故Ｄ错误，不符合题意；
故选C．
5．如图所示，若3
4
5
l
l
l
∥
∥
，则AB
DE
BC
EF
．依据是
．
【答案】平行线分线段成比例定理
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解．掌握平行线分线段成
比例定理是关键．
5
【详解】∵3
4
5
l
l
l
∥
∥
∴AB
DE
BC
EF
．
∴依据是平行线分线段成比例定理．
故答案为：平行线分线段成比例定理．
题型02
由平行线分线段成比例求线段比值
6．如图，已知直线a
b
c
∥∥，直线m 分别交直线a
b
c
、、于点A
B
C
、、，直线n 分别交直线a
b
c
、、于点
D
E
F
、、，若
1
AB ，
2
AD
BC
，则BE
CF 的值（）
A．大于1
3
B．等于1
3
C．小于1
3
D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．作AH
n
∥
分
别交b 、c 于G 、H ，如图，易得
2
HF
GE
AD
，利用平行线分线段成比例得到
1
3
AB
BG
AC
CH
，所以
4
2
1
3
2
3
2
BE
BG
CF
CH
CH
，于是可判断
1
3
BE
CF
．
【详解】解：作AH
n
∥
分别交b 、c 于G 、H ，如图：
可得四边形AGED 、四边形AHFD 为平行四边形，
2
HF
GE
AD
，
直线a
b
c
∥
∥
，
6
AB
BG
AC
CH
，即
1
1
1 2
3
BG
CH
，
2
2
BE
BG
CF
CH
1
2
3
2
CH
CH
1
4
4
(
2)
1
3
3
3
2
3
2
CH
CH
CH
1
3
BE
CF
．
故选A．
7．如图，AD
BE
FC
∥
∥
，它们依次交直线1l ，2l 于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，若
2
AB
，
3
BC ，
则DE
DF 的值是
．
【答案】2
5 /0.4
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
根据平行线分线段成比例可得DE
AB
DF
BC
，代入即可求得答案．
【详解】解：AD
BE
FC
∥
∥
，
2
5
DE
AB
AB
DF
AC
AB
AC
，
故答案为：2
5 ．
8．如图，直线AF ，BE 相交于点O，且AB
CD
EF
∥
∥
，若
3
AO
，
1
DO ，
3
DF
，则BC
CE
．
7
【答案】4
3 / 1
13
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【详解】AB
CD
EF
∥
∥
，
BC
AD
CE
DF
，
3
AO
，
1
DO ，
3
DF
，
3 1
4
3
3
BC
AD
AO
OD
CE
DF
DF
，
故答案为：4
3 ．
9．如图，已知直线1l 、2l 、3l 分别交直线m 于点A、B、C、交直线n 于点D、E、F，如果1
2
3
l
l
l
∥
∥
，
2
AB
BC
，
那么EF DF
:
．
【答案】1:3 / 1
3
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先由1
2
3
l
l
l
∥
∥
，运用平行线分线段成比例的内容可得
2
AB
DE
BC
EF
，再进行变形，即可求解．
【详解】解：∵1
2
3
l
l
l
∥
∥
，
2
AB
BC
，
∴
2
AB
DE
BC
EF
，
∴
1
2
EF
DE
，
8
∴
1
3
EF
DF
，
故答案为：1:3．
10．如图，已知在ABC
中，点D、E、F 分别是边AB
AC
BC
、
、
上的点，DE
BC
EF
AB
∥
，
∥
，且
:
3:5
AD DB
，
那么
:
CF CB 等于
．
【答案】5:8
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得
的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由DE
BC
∥
得到
:
:
3:5
AE EC
AD DB
，则利用比例
性质得到
:
5:8
CE CA
，然后利用EF
AB
∥
可得到
:
:
5:8
CF CB
CE CA
．
【详解】解：∵DE
BC
∥
，
∴
:
:
3:5
AE EC
AD DB
，
∴
:
5:8
CE CA
，
∵EF
AB
∥
，
∴
:
:
5:8
CF CB
CE CA
．
故答案为：5:8．
题型03
由平行线分线段成比例求线段长
11．如图，已知AB
CD
EF
，
4
AD
，
5
BC
，
6
CE
，则DF 的长为（
）
A．24
5
B．7
C．8
D．15
2
【答案】A
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例AD
BC
DF
CE
，即可求出结果．
【详解】解：∵AB
CD
EF
．
∴AD
BC
DF
CE
，
9
∴
4 6
24
5
5
AD CE
DF
BC
，
故选：A．
12．如图，在ABC
中，DE
AB
∥
，若
3
5
CE
CB
，
6
CD
，则AC 的长为（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理等知识点，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算
即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【详解】∵DE
AB
∥
，
∴CE
CD
CB
AC
，
∵
3
5
CE
CB
，
6
CD
，
∴3
6
5
AC
，
∴
10
AC
故选：D．
13．如图，直线a
b
c
∥∥，分别交直线m，n 于点A，B，C，D，E，F．若
:
5: 2
AC BC
，
4
EF
，则DE
的长为（
）
A．4
B．5
C．6
D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可．
【详解】解：
a
b
c
∥∥，
AB
DE
BC
EF
，
10
∵
:
5: 2
AC BC
，
∴
:
3: 2
AB BC
3
2
DE
EF
，
3
4
2
DE
，
6
DE
．
故选：C．
14．已知直线1l ，2l 被直线a，b，c 所截，截得线段的长度如图所示.若a
b
c
∥
∥
，则x 的值为（
）
A．12
7
B．11
3
C．21
4
D．28
3
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值，先根据a
b
c
∥
∥
，得
出3
4
7
x
，再计算即可作答．
【详解】解：∵a
b
c
∥
∥
∴3
4
7
x
∴
21
4
x
故选：C
15．如图，已知1
2
3
l
l
l
∥
∥
，4l 与1l ，2l ，3l 分别交于A ，B ，C 三点，5l 与1l ，2l ，3l 分别交于D ，E ，F 三
点．若
1
AB ，
2
BC
，
3
2
AD
DE
，则图中长度为3 的线段是（
）
A．EF
B．DF
C．BE
D．FC
11
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，由1
2
3
l
l
l
∥
∥得AB
DE
BC
EF
，然后代入即可求解，熟练掌
握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵1
2
3
l
l
l
∥
∥
，
∴AB
DE
BC
EF
，
∴
3
1
2
2
EF
，
∴
3
EF ，
故选：A ．
16．如图，ABC
中，AB
AC
，AD
BC
于点D ，E 在AD 上，
2
5
AE
AD
，CE 交AB 于点F ，DG
CF
．若
6cm
AB
，求GF 的长．
【答案】
9 cm
4
GF
【分析】本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到BD
DC
，再由
平行线分线段成比例定理得到
1
BG
BD
GF
DC
，BG
GF
，同理得到
2
5
AF
AE
AG
AD
，则
2
3
AF
GF
，则
2
6 cm
3 GF
GF
GF
，据此可得答案．
【详解】解：
AB
AC
，AD
BC
，
BD
DC
，
又
DG
CF
∥
，
1
BG
BD
GF
DC
，
BG
GF
，
2
5
AE
AD
，DG
CF
，
2
5
AF
AE
AG
AD
，
12
2
3
AF
GF
6cm
AB
，
6
AF
GF
BG
，即
2
6 cm
3 GF
GF
GF
．
解得，
9 cm
4
GF
．
题型04
平行线分线段成比例的应用
17．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A 、B 、C 都在横
线上．若线段
15
AC
，则线段AB 的长是（
）
A．5
B．4
C．3
D．10
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，作出适当的辅助线是解题关键．过点A 作五线谱的
垂线，分别交第三、四条直线于点D 、E ，由题意可得，
2
3
AD
AE
，再由平行线分线段成比例定理，得到
2
3
AB
AD
AC
AE
，即可求出线段AB 的长．
【详解】解：如图，过点A 作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点D 、E ，
由题意可知，
2
AD
DE
，
2
3
AD
AE
，
BD
CE
∥
，
2
3
AB
AD
AC
AE
，
15
AC
，
10
AB
，
故选：D．
13
18．“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等
分．如图，过线段AB 的一个端点A 任意画一条射线AP ，在AP 上依次取五段相等的线段
1
AA 、
1
2
A A 、
2
3
A A 、
3
4
A A 、
4
5
A A ，连结
5
BA ，再分别过点
1A 、
2
A 、
3
A 、
4
A 画
5
BA 的平行线，则这些平行线就恰好将线段AB 平
均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（
）
A．平行于同一条直线的两条直线互相平行
B．两点确定一条直线
C．两条直线被一组平行线所藏，所得的对应线段成比例
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【分析】此题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例．
根据平行线分线段成比例求解即可．
【详解】根据题意可得，
这些平行线就恰好将线段AB 平均分成五等份，
其中蕴含的数学道理是两条直线被一组平行线所藏，所得的对应线段成比例．
故选：C．
19．如图，在ABC
中，O是边AB 的中点．按下列要求作图：
①以点B 为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D ，交BC 于点E ；
②以点O为圆心、BD 长为半径画弧，交线段OA 于点F ；
③以点F 为圆心、DE 长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G 与点C 在直线AB 同侧；
④作直线OG ，交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（
）
14
A．
AOM
B
B．
180
OMC
C
C．AM
CM
D．
1
2
OM
AB
【答案】D
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的
关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出
AOM
B
，根据平行线的判定得出OM
BC
∥
，根据平行
线的性质得出
180
OMC
C
，根据平行线分线段成比例得出
1
AM
AO
CM
OB
，即可得出AM
CM
．
【详解】解：A．根据作图可知：
AOM
B
一定成立，故A 不符合题意；
B．∵
AOM
B
，
∴OM
BC
∥
，
∴
180
OMC
C
一定成立，故B 不符合题意；
C．∵O是边AB 的中点，
∴AO
BO
，
∵OM
BC
∥
，
∴
1
AM
AO
CM
OB
，
∴AM
CM
一定成立，故C 不符合题意；
D．
1
2
OM
AB
不一定成立，故D 符合题意．
20．一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行
的木条构成．已知
50cm
AC
，则BC 的长度为（
）
A．20cm
B．25cm
C．30cm
D．100 cm
3
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例并灵活运
15
用．由平行线分线段成比例可得出答案．
【详解】解：过点C 作CD
AM
交AM 于点D ，交BN 于点E ，
BE
AD
∥
，
3
5
BC
CE
AC
CD
，
50cm
AC
=
，
30cm
BC
．
故选：C
21．如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅
拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分
1
BD m，搅拌棍A 到底端D
处的长度为1.5m ，最后测量出桶的高AE 为1.2m ，圆桶内壁的底面直径为1m ．已知桶内的液面与桶底面平
行，其平面示意图如图2 所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π）
【答案】桶内所装液体的体积为1
5立方米．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据油面和桶底是一组平行线，利用平行线分线段成比例
定理求得
0.8
CE
，再利用圆柱的体积公式计算即可解答．
【详解】解：由题意得，BC
DE
∥
，
BD
CE
AD
AE
\
=
，
1
1.5
1.2
CE
，解得：
0.8
CE
，
∴桶内所装液体的体积
2
1
1
0.8
2
5
（立方米）．
答：桶内所装液体的体积为1
5立方米．
16
22．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，点A 、B 、C 均在格点上，只用无刻度的直尺按要求画出图
形．
(1) ABC
的面积为______；
(2)图1 中，ABC
绕点A 逆时针旋转90，画出旋转后的
AB C
△
；
(3)图2 中，在CB 上找一点Q ，使得AQ 平分ABC
的面积；
(4)图3 中，点P 是格点，点M 非格点，在MP 的延长线上找一点Q ，使PQ
MP
．
【答案】(1)6
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题主要考查了作图-旋转变换及三角形的面积计算，熟知图形旋转的性质以及三角形面积的计算
公式是解题的关键．
（1）根据所给图形可知ABC
是直角三角形，分别求出AB 和AC 的长即可；
（2）根据题意，画出旋转后的图形即可；
（3）找出BC 的中点即可解决问题；
（4）将BC 向右平移3 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到AE ，即AE
BC
∥
，再根据平行线分
线段成比例计算即可求解；
【详解】（1）由勾股定理可得：
2
2
2
2
2 2
AB
，
2
2
3
3
3 2
AC
，
2
2
5
1
26
BC
，
17
2
2
2
AB
AC
BC
，
ABC
是直角三角形，
1
2 2
3 2
6
2
ABC
S
\
=
创
=
．
故答案为：6 ．
（2）
AB C
△
即为所求作的三角形．
（3）
点Q 即为所求作的点．
（4）
AE
BC
∥
，
PQ
AP
PM
BP
，
由勾股定理可得，
2
2
1
1
2
AP
BP
，
1
PQ
AP
PM
BP
，
PQ
PM
．
点Q 即为所求作的点．
18
23．如图，AD 是ABC
的中线，点E 在AC 上，BE 交AD 于点F，若
2
5
AF
FD
，则AE
AC 为（
）
A．1
6
B．1
5
C．2
7
D．1
11
【答案】A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．过点D 作DG
BE
∥
，交AC 于点G ，根据平行线分线段成比例可得点G 是CE 的中点，从而可得
1
2
CG
EG
EC
，然后再利用平行线分线段成比例可得
2
5
AF
AE
DF
EG
，从而可得
1
5
AE
EC
，即可解答．
【详解】解：过点D 作DG
BE
∥
，交AC 于点G ，
DG
BE
∥
，点D 是BC 的中点，
1
BD
EG
CD
CG
，
EG
CG
，
点G 是CE 的中点，
1
2
CG
EG
EC
，
EF
DG
，
19
2
5
AF
AE
DF
EG
，
5
2
1
1
0
AE
EC
，
1
6
AE
AC
，
故选：A
24．如图，已知点
0 6
A
，在y 轴上，点B 为x 轴正半轴上一动点，连接AB ，将线段AB 绕点A 逆时针旋转
90得到线段AC ，连接BC ，取BC 中点D，连接OD ，移动点B，若OD
AC
∥
，则此时点B 横坐标
为（）
A．3
B．5
C．6
D．8
【答案】C
【分析】本题考查图形与坐标，平行线分线段成比例，线段垂直平分线得到性质和判定．
设AB 与OD 相较于点F ，则AF
FB
，
90
DFB
，得到AE
OB
,则OD 垂直平分AB ，得到
6
OB
OA
即可解题．
【详解】如图,设AB 与OD 相较于点F ，
∵点D 是BC 的中点,OD
AC
,
20
∴
1
BF
BD
FA
DC
，
90
DFB
CAB
，
∴AF
FB
，
∴OD 垂直平分AB ，
∴
6
OB
OA
,
∴点B 的横坐标为6.
故选C.
25．如图，在ABC
中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E，若
31
BF
FD
：
：，
=10
BC
，
则CE 的长为（
）
A．3
B．4
C．5
D．10
3
【答案】B
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D 作DH
AE
∥
，交BC 于H，根据平行线分线段成
比例定理得到
3
2
BE
EC
，计算即可．
【详解】解：过点D 作DH
AE
∥
，交BC 于H，
则
1
CH
CD
HE
DA
，
3
BE
BF
EH
FD
，
∴
3
2
BE
EC
，
∵
=10
BC
，
∴
=4
CE
，
故选：B．
26．在Rt
ABC
△
中，
3
5
BC
AB
，
．分别以B、C 为圆心，以大于1
2 BC 的长为半径作弧，两弧分别交于
E、F 两点，连接直线EF ，分别交BC
AB
、
于点M、N，连接CN ，则CMN
的周长为（
）
21
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识，先由勾股定理求出
2
2
2
2
5
3
4
AC
AB
BC
，再由平行线分线段成比例和直角三角形的性质求出
1
2
2
MN
AC
，
1
5
2
2
CN
AB
，即可得到答案．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，∵
90 ,
3,
5
ACB
BC
AB
，
∴
2
2
2
2
5
3
4
AC
AB
BC
，
由作图可知，MN 垂直平分线段BC ，
∴
3
2
BM
CM
，MN
AC
∥
，
∴
1
BM
BN
CM
AN
∴BN
AN
，
∴
1
2
2
MN
AC
，
1
5
2
2
CN
AB
，
∴MNC
的周长
3
5
2
6
2
2
+ 5
2 +2＝6，
故选：B．
27．如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A 在数轴上表示的数是2
，则
点B 在数轴上表示的数是
．
【答案】4
【分析】本题考查的是数轴，熟练掌握两点间的距离公式和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
根据题意，设点B 在数轴上表示的数为x ，再根据平行线分线段成比例定理，可得
8
5
3
( 2)
3
0
x
x
，即
24
3
2
4
x
x
，求解即可．
22
【详解】解：由图可知，A 点在直尺的0 刻度上，点B 在直尺的3 刻度上，直尺的5 刻度表示的数为8，图
中的虚线相互平行，
点A 在数轴上表示的数是2
，
设点B 在数轴上表示的数为x ，
8
5
3
( 2)
3
0
x
x
，即24
3
2
4
x
x
，
解得：
4
x
，
即点B 在数轴上表示的数为4，
故答案为：4．
28．如图，在
ABCD
中，点E 为AB 的中点，点F 为AD 上一点，EF 与AC 相交于点H．若
3
FH
，
6
EH
，
4
AH
，则CH 的长为
．
【答案】20
【分析】延长FE 交CB 的延长线于点G．证明
AAS
AFE
BGE
≌
，得出EF
EG
，求出
9
EG
，根据平
行线分线段成比例定理，得出AH
FH
CH
GH
，代入求出结果即可．
【详解】如图，延长FE 交CB 的延长线于点G．
四边形ABCD为平行四边形，
AD
BC
∥
．
EAF
EBG
，
AFE
G
．
点E 为边AB 的中点，
AE
BE
．
在
AFE
△
和
BGE
△
中，
EAF
EBG
AFE
G
AE
BE
，
AAS
AFE
BGE
≌
，
23
EF
EG
．
3
FH
，
6
EH
，
9
EF
EH
FH
．
9
EG
，
9
6
15
GH
EG
EH
．
AD
BC
∥
，
AH
FH
CH
GH
，即4
3
15
CH
，
解得
20
CH
．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关
键是作出辅助线，证明
AFE
BGE
△
≌△
．
29．如图，在ABC
中，延长AC 至点D ，使CD
CA
，过点D 作DE
CB
∥
，且DE
DC
，连接AE 交BC 于
点F ．若
CAB
CFA
，
1
CF ，则BF
．
【答案】3
【分析】先根据平行线分线段成比例证AF
EF
，进而得
2
2
DE
CD
AC
CF
，
4
AD
，再证明
CAB
DEA
≌
，得
4
BC
AD
，从而即可得解．
【详解】解：∵CD
CA
，过点D 作DE
CB
∥
，CD
CA
，DE
DC
，
∴
1
FA
CA
FE
CD
，CD
CA
DE
，
∴AF
EF
，
∴
2
2
DE
CD
AC
CF
，
∴
4
AD
AC
CD
，
∵DE
CB
∥
，
∴
CFA
E
，
ACB
D
，
∵
CAB
CFA
，
∴
CAB
E
，
∵CD
CA
，DE
CD
，
∴CA
DE
，
24
∴CAB
DEA
≌
，
∴
4
BC
AD
，
∴
3
BF
BC
CF
，
故答案为：3 ，
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判
定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关
键．
30．如图，已知ABC
为等腰三角形，且AB
AC
，延长AB 至D，使得AB
BD
m
n
：
：，连接CD ，E 是BC
边上的中点，连接AE ，并延长AE 交CD 与点F，连接FB ，则BF
FD
：
．
【答案】
m m
n
：
/
m n
m
：
【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准
对应关系是解题的关键．
如图：过点B 作BH
AF
∥
交CD 于H，根据平行线分线段成比例定理得到DH
BD
n
HF
AB
m
，根据等腰三角形
的性质得到AE
BC
，根据线段垂直平分线的性质得到BF
CF
，再根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：过点B 作BH
AF
∥
交CD 于H，
∴BDH
ADF
∽
∴DH
BD
n
HF
AB
m
，
∵AB
AC
，E 是BC 边上的中点，
∴AE
BC
，
∴AF 是线段BC 的垂直平分线，
∴BF
CF
，
∵EF
BH
CE
EB
∥
，
，即
1
2
BE
CE
25
∴CEF
CBH
∽
,
∴
1
2
2
CF
CE
CE
CH
BC
CE
，
∴
1
2
CF
HF
，即CF
HF
，
∴
CF
FD
m m
n
：
：
，
∴
BF
FD
m m
n
：
：
．
故答案为：
m m
n
：
．
31．如图，等边ABC
的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若
2
AE
，
当EF
CF
取得最小值时，则
ECF
．
【答案】30
【分析】过E 作EM
BC
∥
，交AD 于N ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，推出M 为AB 中点，求出E 和M
关于AD 对称，根据等边三角形性质求出
ACM
，即可求出答案．
【详解】解：过E 作EM
BC
∥
，交AD 于N ，
4
AC
，
2
AE
，
2
EC
AE
，
2
AM
BM
，
AM
AE
，
AD
是BC 边上的中线，ABC
是等边三角形，
AD
BC
，
26
EM
BC
∵
，
AD
EM
，
AM
AE
，
E
和M 关于AD 对称，
连接CM 交AD 于F ，连接EF ，
则此时EF
CF
的值最小，
∵ABC
是等边三角形，
60
ACB
∴
，AC
BC
，
AM
BM
，
1
30
2
ECF
ACB
．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例
定理等知识点的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
32．如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，
按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水
平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直
线①和直线③的距离）设为b，a 与b 的比例为黄金分割比
5
1
2
；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某
同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为2cm ，则眼梢到鼻翼的距离为
cm ．（
5
2.236
，结果保留两位小数）
【答案】3.24
【分析】本题考查的是黄金分割的含义，平行线分线段成比例的含义，先画出图形，可得AB
DE
BC
EF
，再建
立方程求解即可．
【详解】解：如图，
27
由题意可得：AD
BE
CF
∥
∥
，BC
a
，AC
b
，
∴AB
DE
BC
EF
，而
2
DE
，
5
1
2
a
b
，
∴2
2
5
1
1
1
2
5
1
b
a
b
EF
a
a
，
∴
4
5
1
3.24
5
1
EF
，
经检验符合题意；
∴眼梢到鼻翼的距离约为3.24cm ，
故答案为3.24
33．已知，点E 是正方形ABCD边BC 上一点，连接AE ，延长BC 至F ，使EF
AE
，连接AF 交CD于
点G ．
（1）若
2
AF
AB
，则
BAE
° ；
（2）连接BG ，EG ，AE 与BG 交于O，若EG
AF
^
，则AO
OE
．
【答案】
30
8
3 /
2
2 3
【分析】（1）由正方形的性质，结合
2
AF
AB
，可推出
30
F
，得到
60
BAF
，由EF
AE
可得
30
EAF
F
，再根据角的和差即可求解；
（2）作EM
BC
交BG 于点M ，则EM
CD
AB
∥
∥
，证明ADG
FCG
≌
，得到
1
1
2
2
DG
CD
CD
AB
，
AD
CF
BC
AB
，推出
2
EF
AE
AB
BE
，根据勾股定理可推出
3
4
BE
BE
AB
BC
，由EM
CD
可得
BEM
BCG
∽
得出
3
4
EM
CG
，根据EM
AB
∥
得出AOB
EOM
∽
，即可求解．
28
【详解】解：(1)在正方形ABCD 中，
90
B
Ð
=
°，
∵
2
AF
AB
，
1
sin
2
AB
AFB
AF
，
30
F
，
60
BAF
，
EF
AE
，
30
EAF
F
，
30
BAE
BAF
EAF
；
(2)作EM
BC
交BG 于点M ，则EM
CD
AB
∥
∥
，
EF
AE
，EG
AF
^
，
AG
GF
，
90
D
DCF
，
AGD
CGF
，
ADG
FCG AAS
≌
，
1
1
2
2
DG
CD
CD
AB
，AD
CF
BC
AB
，
2
EF
AE
BF
BE
AB
BE
，
90
ABC
，
2
2
2
AE
AB
BE
，即
2
2
2
2AB
BE
AB
BE
，
3
4
BE
BE
AB
BC
，
EM
CD
，
∴BEM
BCG
∽
3
4
BE
EM
BC
CG
，
3
8
EM
AB
，
EM
AB
∥
，
∴AOB
EOM
∽
8
3
AO
AB
OE
EM
；
故答案为：30 、8
3 ．
29
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角函数等知识，
解题的关键是灵活运用这些知识．
34．如图，AB
AC
，AD
BC
于点D，
3
4
AM
MD
，CM 交AB 于点P，DN
CP
∥
．若
6cm
AB
，求PN 的
长．
【答案】24 cm
11
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例的应用，证明BD
DC
，结合DN
CM
∥
，
可得BN
NP
，
3
4
AP
AM
PN
MD
，从而得到
4
11
PN
AB
，据此可得答案．
【详解】解：∵AB
AC
，AD
BC
，
∴BD
DC
，
∵DN
CP
∥
，
∴
1
BN
BD
PN
DC
，
∴BN
NP
，
∵
3
4
AM
MD
，DN
PM
∥
，
∴
3
4
AP
AM
PN
MD
，
∴
4
7
PN
AN
，
∴
4
11
PN
AB
，
∵
6cm
AB
，
30
∴
4
4
11
1
24
6
cm
1
1
1
PN
AB
．
35．如图，点A，F，C，D 在同一直线上，AF
CD
，且AB
DE
∥
，
B
E
．
(1)求证：
ABC
DEF
≌
△
△
．
(2)延长EF 交AB 于点G，当
2
FC
AF
，
2
GF
时，求BC 的值．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、平行线分线段定理、平行线的性质等知
识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键．
（1）根据平行线的性质可得
A
D
，然后根据AAS证明三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得BC
EF
ACB
DFE
、
，进而得到GE
BC
∥
，根据平行线等分线段定理
可得
GF
AF
BC
AC ，再根据
2
2
FC
AF
GF
、
可得
3
AC
AF
，最后代入比例式即可解答．
【详解】（1）证明：∵AB
DE
∥
，
∴
A
D
，
∵
B
E
AF
CD
，
，
∴AC
DF
∴
AAS
ABC
DEF
≌
．
（2）解：∵
ABC
DEF
≌
△
△
，
∴BC
EF
ACB
DFE
，
，
∴GE
BC
∥
，
∴
GF
AF
BC
AC ，
∵
2
2
FC
AF
GF
，
，
∴
2
3
AC
AF
FC
AF
AF
AF
，
∴
1
3
GF
AF
BC
AC
，解得：
6
BC
.
31
36．如图，在ABC
中，AD 平分
BAC
交BC 于点D ，E 为边AB 上一点，AE
DE
．
(1)求证：AC
DE
∥
．
(2)若
2
DE
，
4
BE
，
3
2
CD
，求BC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
9
2
BC
【分析】本题考查了平行线的判定，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握相关性质定理．
（1）先根据角平分线的定义得出
CAD
DAE
，再根据等边对等角得出DAE
ADE
，则
ADE
CAD
，
即可求证；
（2）根据平行线分线段成比例得出
4
2
BD
BE
CD
AE
，进而求出
2
3
BD
CD
，即可解答．
【详解】（1）证明：∵AD 平分
BAC
，
∴
CAD
DAE
，
又∵AE
DE
，
∴DAE
ADE
，
∴
ADE
CAD
，
∴AC
DE
∥
；
（2）解：∵
2
DE
AE
，AC
DE
∥
，
∴
4
2
BD
BE
CD
AE
，
∴
2
3
BD
CD
，
∴
3
9
3
2
2
BC
CD
BD
．
32
37．如图，在ABC
中，AB
AC
AD
，
是BC 边上的高线，点E，F 分别在AC
CD
，
上，且1
2
，
(1)求证：AD
EF
∥
．
(2)当
3 5
6
CE AE
CF
:
: ，
时，求BC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定及平行线分线段成比例性质，关键是熟练掌握等
腰三角形的性质，平行线的判定及平行线分线段成比例性质．
（1）根据等腰三角形的性质可得
1
CAD
，再证明
2
CAD
，根据平行线的判定即可得出结论；
（2）由平行线分线段成比例性质可得CE
CF
AE
DF
，求出DF ，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：
AB
AC
AD
，
是BC 边上的高线，
1
CAD
，
1
2
，
2
CAD
，
AD
EF
∥
；
（2）
AD
EF
，
CE
CF
AE
DF
，
3
6
5
DF
，
10
DF
，
6
10
16
CD
CF
DF
，
AB
AC
AD
，
是BC 边上的高线，
2
32
BC
CD
．
38．如图，某架线构件设计充分运用了数学原理，主架构利用了“三角形的稳定性”，由垂直于地面MN 的立
柱AB 、垂直于立柱AB 的横杆AC 以及支撑杆CD 组成，其中
6
AB
m，
2
AD
m，
4
CD
m．调节架构利
用了“四边形的不稳定性”，由长度均为1.5 m 的连接杆EF 、CG 、架线杆FG 组成，连接点E 、F 、G 在一
33
定范围内移动，移动时始终保持FG
EC
，且
FEC
的度数不超过90．
(1)求证：FG
MN
；
(2)若架线杆FG 到地面的距离为5 m，求连接点E 到点A 的距离（结果精确到0.01 m，参考数据：3
1.732
，
5
2.236
）．
【答案】(1)详见解析
(2)连接点E 到点A 的距离约为0.61m
【分析】（1）证明四边形CEFG 为平行四边形，得到FG
AC
，根据
,
AC
AB AB
MN
，得到AC
MN
，
即可得出结果；
（2）延长GF 交AB 于点H，作EI
FH
，垂足为I，求出
,
AH DH 的长，平行线分线段成比例，求出DF 的
长，勾股定理求出FH 的长，证明四边形AEIH 为矩形，求出FI 的长，进而求出AE 的长即可．
【详解】（1）解：∵
,
FG
EC EF
CG
，
∴四边形CEFG 为平行四边形
∴FG
AC
．
∵
,
AC
AB AB
MN
，
∴AC
MN
．
∴FG
MN
．
（2）延长GF 交AB 于点H，作EI
FH
，垂足为I，则FH
AB
，且
5
BH
．
34
∴
2
4
5
1,
2 1 1
AH
AD
BD
BH
DH
AD
AH
．
∵FH
AC
∥
∴
1
DH
DF
AH
CF
．
∴
1
2
2
DF
CF
CD
，
∴
2
2
2
2
2
1
3
FH
DF
DH
，
∵
,
,
AC
AB EI
FH FH
AB
，
∴四边形AEIH 为矩形
∴
1
EI
AH
∴
2
2
2
2
5
1.5
1
2
FI
EF
EI
∴
5
3
0.61
2
AE
HI
FH
FI
．
答∶连接点E 到点A 的距离约为0.61m．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例，
勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
39．如图①、图②、图③均是6 6
的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格
点，ABC
的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，过点C 作AB 的平行线CE ．
35
(2)在图②中，在AB 边上找一点F ，使
2
B
ACF
．
(3)在图③中，找一点G ，使点C 和点G 关于AB 对称．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）取网格点E，即有AC
BE
，AC
BE
，可得四边形ABEC 是平行四边形，问题得解；
（2）过点C 作AB 的垂线，交AB 于点F，根据ABC
是等腰三角形，即可知点F 满足要求；
（3）结合（1）（2）的结果，先点C 作AB 的垂线，再在AB 下方作
∥
MN
AB ，结合平行线分线段成比例，
使得点C 到AB 的距离与直线MN 与AB 的距离相等，问题即可得解．
【详解】（1）作图如下：
CE 即为所作；
（2）作图如下：
点F 即为所作；
（3）作图如下：
点G 即为所作．
36
证明：先证明CG
AB
，再结合平行线分线段成比例可证明点G、点C 到直线AB 的距离相等即可．
【点睛】本题是一道作图题，涉及平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，
轴对称的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，灵活运用网格图，是解答本题的关键．
40．定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
(1)探究说理
如图1，已知ABC
中，AD 平分
BAC
，求证：BD
AB
CD
AC
．
请根据提示完成证明．
证明：显然
ABD
ACD
S
BD
S
CD
，
作DE
AB
于点E，DF
AC
于点F，…
(2)问题解决
①如图2，已知正方形ABCD的边长为1，E 为AB 边上的一点，
1
4
ADE
ADC
，求AE 的长．
②如图3，在矩形ABCD中，AE 平分
BAC
，将AE 沿直线EF 折叠，使点A 落在边AD 上的点A处，
,
EF A E
分别交AC 于点G、H，若
2,
8
GH
HC
，则BE ．
【答案】(1)见解析
(2)①
2
1
AE
；②20 2
9
【分析】此题考查了角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、正方形的性质、矩形的折叠等知识，熟
练掌握相关判定和性质是解题的关键．
（1）由底不等高相等的三角形可得
ABD
ACD
S
BD
S
CD
，作DE
AB
于点E，DF
AC
于点F，由角平分线性质得
到DE
DF
，由三角形面积公式可得
ABD
ACD
S
AB
S
AC
，即可得到结论；
（2）①连接BD ，求出
2
BD
，证明DE 平分
ADB
，由（1）的结论可知，
B
AD
BD
AE
E
，代入数值即可
得到答案；②推导出2AG
AH
GC
HC
，四边形AFEB 是矩形，则2
2
10
8
AG
AG
，AF
BE
，求出
10
3
AG
，得
37
到
10
3
AG
EG
，由勾股定理求出
20 2
3
CE
，由
:
:
:
1:3
BE EC
AF EC
AG CG
即可得到答案．
【详解】（1）证明：显然
ABD
ACD
S
BD
S
CD
，
作DE
AB
于点E，DF
AC
于点F，
∵AD 平分
BAC
，
∴DE
DF
，
∵
1
1
,
2
2
ABD
ACD
S
AB DE S
AC DF
，
∴
1
2
1
2
ABD
ACD
AB DE
S
AB
S
AC
AC DF
，
∴BD
AB
CD
AC
；
（2）①如图2，连接BD ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
1,
90
AB
AD
A
ADC
，AB
CD
，
∴
2
2
2
BD
AB
AD
，
45
ABD
ADB
，
∵AB
CD
，
∴
45
ABD
CDB
，
∴
1
2
ADB
CDB
ADC
，
∵
1
4
ADE
ADC
∴
1
2
ADE
ADB
，
38
即DE 平分
ADB
，
由（1）的结论可知，
B
AD
BD
AE
E
，
∴1
2
1
AE
AE
，
解得
2
1
AE
②∵四边形ABCD是矩形，
∴AD
BC
∥
，
90
BAC
B
，
∴
,
AF
AG AA
AH
EC
GC EC
HC
，
由折叠可知，
2
AA
AF
，EF 垂直平分AA，
∴2AF
AA
EC
EC
，
∥
∥
EF
AB
CD ，
90
BAC
B
AFE
，
∴2AG
AH
GC
HC
，四边形AFEB 是矩形，
∴2
2
10
8
AG
AG
，AF
BE
，
解得
10
3
AG
，
∵AE 平分
BAC
，
∴
BAE
CAE
，
∵EF
AB
∥
，
∴
BAE
AEG
，
∴
AEG
CAE
，
∴
10
3
AG
EG
，
2
2
2
2
10
20 2
10
3
3
CE
CG
GE
∴
:
:
:
1:3
BE EC
AF EC
AG CG
，
∴
1
20 2
3
9
BE
EC
，
故答案为：20 2
9
