文档文本内容
1
第11 讲成比例线段
课程标准
学习目标
了解比例的基本性质、线段的比、成比例的
线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分
割．
1、学会用试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率；
2、体会一些复杂的随机事件发生的概率．
知识点一：比例线段
在四条线段a，b，c，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a
c
b
d
，那么这四条线段a，b，c，d 叫做
成比例线段，简称比例线段．
2
知识点二：比例的基本性质
(1)基本性质：a
c
b
d
⇔ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：a
c
b
d
⇔a
b
b
＝c
d
d
；（b、d≠0）
(3)等比性质：a
c
b
d
＝…＝m
n
＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔
...
...
a
c
m
b
d
n
＝.（b、d、···、n≠0）
知识点三：黄金分割
点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC，如果AC
AB＝= 5－1
2
≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点
C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．
题型01
比例的性质
1．如果
2
3
x
y
，则下列各式不成立的是（
）
A．
1
3
1
4
x
y
B．
5
3
x
y
y
C．
1
3
y
x
y
D．
1
2
3
x
y
【答案】A
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例性质，前项加（或减）后项等式成立，则可对A、B、C 进行判
断；利用后项都乘以2 可对D 进行判断．
【详解】解：A、如果
2
3
x
y
，则
1
3
1
4
x
y
，所以A 选项的等式不成立，符合题意；
B、如果
2
3
x
y
，则
2
3
5
3
3
x
y
y
，所以B 选项的等式成立，不符合题意；
C、如果
2
3
x
y
，则
3
2
1
3
3
y
x
y
，所以C 选项的等式成立，不符合题意；
D、如果
2
3
x
y
，则
2
1
2
3 2
3
x
y
，所以D 选项的等式成立，不符合题意；
故选：A．
2．若4
3
a
b
，则a
b 的值是（
）
3
A．3
4
B．4
3
C．12
D．1
12
【答案】B
【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可．
【详解】解：∵4
3
a
b
，
∴
4
3
a
b
，
故选：B．
3．已知
1
2
a
c
e
b
d
f
，则
3
2
3
2
a
c
e
b
d
f
（
）
A．
1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
5
【答案】A
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答．
【详解】解：
1 (
3
2
0)
2
a
c
e
b
d
f
b
d
f
，
，
3
2
1
3
2
2
a
c
e
b
d
f
，
3
2
1
3
2
2
a
c
e
b
d
f
，
故选：A．
4．如果
0
a
c
e
k b
d
f
b
d
f
，且
3
a
c
e
b
d
f
，那么k 的值是（
）
A．2
B．3
C．1
3
D．
1
2
【答案】B
【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得
,
,
a
bk c
dk e
fk
，
代入
3
a
c
e
b
d
f
，即可求解．
【详解】解：a
c
e
k
b
d
f
，
,
,
a
bk c
dk e
fk
，
3
a
c
e
b
d
f
．
3
bk
dk
fk
b
d
f
，
3
k
，
故选：B．
4
5．如果
:
10:15
a b
，且b 是a 和c 的比例中项，那么:
b c 等于（
）
A．4:3
B．3: 2
C．2:3
D．3: 4
【答案】C
【分析】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．
由b 是a、c 的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得
b
a
c
b ，又由
:
10:15
a b
，即可求得答案．
【详解】解：∵b 是a、c 的比例中项，
∴
2
b
ac
，
b
a
c
b
∵
:
10:15
a b
，
∴
10
2
15
3
b
a
c
b
，
故选：C．
6．若
0
2
3
4
x
y
z
，则
2
x
y
z
y
．
【答案】1
2 /0.5
【分析】本题考查了比例的性质，设2
3
4
x
y
z
k
，代入代数式进行计算，即可解答．
【详解】解：设2
3
4
x
y
z
k
∴
2
x
k
，
3
y
k
，
4
z
k
，
∴
2
3
4
3
1
2
6
6
2
x
y
z
k
k
k
k
y
k
k
故答案为：1
2 ．
7．已知
0
2
3
4
a
b
c
，且
2
a
b
c
，则
a
．
【答案】4
【分析】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键．设
=
2
3
4
a
b
c
k
，则
2 ,
3 ,
4
a
k b
k c
k
，代入
2
a
b
c
，求出k 的值即可得到a 的值．
【详解】解：设
=
2
3
4
a
b
c
k
，则
2 ,
3 ,
4
a
k b
k c
k
，
∴
2
3
4
2
a
b
c
k
k
k
，
∴
2
k
，
∴
2
2 2
4
a
k
，
5
故答案为：4．
8．盒中有x 枚黑棋和y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的
概率是3
8 ，则x
y 的值为
．
【答案】3
5
【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是3
8 ，可得
3
8
x
x
y
，
进而利用比例性质求解即可．
【详解】解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是3
8 ，
∴
3
8
x
x
y
，则
3
5
x
y
，
故答案为：3
5 ．
9．如图称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．在图2 的桔槔模型中，设支点O 离物体A
的桔槔端点距离为1l ，离物体B 的桔槔端点距离为2l ，若1
2
:
3:1
l
l
，且物体A 的质量为3kg ，则能汲起水
的质量B 为
kg ．
【答案】9
【分析】题目主要考查比例的性质及杠杆平衡原理，根据题意得出1
2
A
B
l m
l m
，然后确定
:
1:3
A
B
m
m
即可
求解，理解1
2
A
B
l m
l m
是解题关键．
【详解】解：根据题意得1
2
A
B
l m
l m
，
∵1
2
:
3:1
l
l
，
∴
:
1:3
A
B
m
m
，
∵物体A 的质量为3kg ，
∴
9kg
B
m
，
6
故答案为：9．
10．已知三条线段a ，b ，c 满足3
2
4
a
b
c
，且
18
a
b
c
.
(1)求a ，b ，c 的值；
(2)若线段d 是线段a 和b 的比例中项，求d 的值.
【答案】(1)
6,
4,
8
a
b
c
(2)2 6
【分析】本题考查了比例的性质，比例线段；
（1）设3
2
4
a
b
c
k
=
=
=
，用含k 的代数式分别表示出a
b
c
，，，再由
18
a
b
c
，建立关于k 的方程，解方程
求出k 的值，从而可求出a
b
c
，，的值；
（2）由已知线段d
是线段a 和b 的比例中项，可得到
2
d
ab
，代入计算求出d 的值．
【详解】（1）解：设3
2
4
a
b
c
k
=
=
=
，则
3 ,
2 ,
4
a
k b
k c
k
，
∵
18
a
b
c
∴3
2
4
18
k
k
k
即9
18
k
，
解得：
2
k
，
∴
6,
4,
8
a
b
c
；
（2）解：∵线段d 是线段a 和b 的比例中项，
∴
2
d
ab
，
∵
6,
4
a
b
∴
6 4
2 6
d
ab
．
题型02
比例线段
11．一种精密零件长2 毫米，把它画在图纸上，图上零件长10厘米，这张图纸的比例尺是（
）
A．1:500
B．500:1
C．1:50
D．50:1
【答案】D
【分析】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算．
【详解】解：
10
厘米
100
毫米，
100
：2
50
：1，
7
这张图纸的比例尺是50：1．
故选：D．
12．比例尺为1: 2000的地图上，A
B
，两地间的图上距离为2cm ，则两地间的实际距离是（
）
A．10m
B．20m
C．40m
D．4000m
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段的比，设A
B
，两地间的实际距离为m
x
，由题意得：
1
20
2000
100x
，求解即可
得出答案，熟练掌握线段比的意义是解决问题的关键．
【详解】解：设A
B
，两地间的实际距离为m
x
，
由题意得：
1
20
2000
100x
，
解得：
40
x
，
A
B
，两地间的实际距离为40m ，
故选：C．
13．小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长4 毫米、宽2 毫米的零件画在一张
3
A 纸（42cm 29.7cm
）
上，适合的比例尺是（
）
A．
80
1∶
B．
1
80∶
C．1800
∶
D．
1
800∶
【答案】B
【分析】此题考查了比例尺的计算方法，图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离:实际距离”即可
求得适合的比例尺.，解题的关键要掌握比例尺的计算方法．
【详解】解：∵零件的实际长度为4mm ，零件的图上长度为42cm ，即420mm ，
∴适合的比例尺
420 4
1051
801
∶
∶
∶，
故选：B ．
14．如图，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，再以A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P ，
那么
:
AP AB 等于（
）
A．1:
2
B．1: 3
C．
2 :
3
D．2:3
【答案】A
8
【分析】根据题意可知ABC
是等腰直角三角形，设AC
BC
x
，可用含x 的式子表示AB 的长，再根据
以A 为圆心，AC 长为半径作弧，可知AP 的长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，ABC
是等腰直角三角形，设AC
BC
x
，
∴
2
2
2
2
2
AB
AC
BC
x
x
x
=
+
=
+
=
，
∵以A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P ，
∴AC
AP
x
=
=
，
∴
:
:
2
1:
2
AP AB
x
x
，
故选：A ．
【点睛】本题主要考查作图求线段的比值，理解题意，找出线段之间的大小关系是解题的关键．
15．若在比例尺为1:10000 的地图上，测得两地的距离为3.5厘米，则这两地的实际距离是
千米．
【答案】0.35
【分析】本题考查了比例尺的应用，设两地间的实际距离是cm
x
，根据题意可得方程1:10000
3.5: x
，解
方程即可求得x 的值，然后换算单位即可求得答案．
【详解】解：设两地间的实际距离是cm
x
，
∵比例尺为1:10000 ，量得两地间的距离为3.5cm ，
∴1:10000
3.5: x
，
解得：
35000
x
，
经检验，
35000
x
是原方程的解，
∵35000cm
0.35km
，
∴两地间的实际距离是0.35千米，
故答案为：0.35．
16．在比例尺为1:800000 的地图上，量得甲乙两地的距离约为2.5cm，则甲乙两地的实际距离约为
km ．
【答案】20
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离．
【详解】解：根据比例尺=图上距离：实际距离，
∴甲乙两地的实际距离为2.5 800000
2000000cm
20km
．
故答案为：20．
【点睛】考查了比例线段．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
9
17．为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰
路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为2.2km ，当地图
上比例尺由11000
∶
变为1500
∶
时，则地图上两个校区的路程增加了
cm ．
【答案】220
【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键．
根据
图上距离
比例尺
实际距离进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一．
【详解】解：实际路程为2.2
220000
km
cm
，
当比例尺为1:1000时，图示距离为220000
220
1000
cm
，
当比例尺为1:500时，图上距离为220000
440
500
cm
，
∴440
220
220cm
，
故答案为：220 ．
题型03
成比例线段
18．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中
3
a
，
2
b
，
6
c ，则d 的值是（
）
A．6
B．4
C．8
D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查图形的相似，根据成比例线段的定义可得
:
:
a b
c d
，据此即可求得答案．
【详解】∵线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中
3
a
，
2
b
，
6
c
，
∴
:
:
a b
c d
．
∴
4
bc
d
a
．
故选：B
19．下列长度的四条线段中，不能成比例的是（
）
A．
3
6
2
4
a
b
c
d
，
，
，
B．
1,
2,
6,
3
a
b
c
d
C．
4
6
5
10
a
b
c
d
，
，
，
D．
2,
5,
15,
2 3
a
b
c
d
【答案】C
【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例的线段的定义逐一判断即可求解，熟记：“在四条线段中，如
果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段”是解题的关键．
【详解】解：A、
2 6
12
3 4
，则四条线段能成比例，故不符合题意；
10
B、
2
3
1
6
，则四条线段能成比例，故不符合题意；
C、
6 5
30
4 10
40
，则四条线段不能成比例，故符合题意；
D、
2
15
2 15
5
2 3
，则四条线段能成比例，故不符合题意．
故选：C．
20．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中
3
a
，
2
b
，
6
c ，则d 的值是
．
【答案】4
【分析】本题考查成比例线段（如果四条线段a ，b ，c ，d 成比例，则
:
:
a b
c d
，注意顺序，位置不能
随意颠倒），解题的关键是根据成比例线段列式计算即可．
【详解】解：∵线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，
3
a
，
2
b
，
6
c
，
∴
:
:
a b
c d
，
∴
2 6
4
3
bc
d
a
，
∴d 的值是4 ．
故答案为：4 ．
21．已知线段
4cm
a
，线段
9cm
b
，线段c 是线段a、b 的比例中项，则c
cm ．
【答案】6
【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义得到
2c
ab
，代值求解即可得到答案．
【详解】解：线段c 是线段a、b 的比例中项，
2c
ab
，
4cm
a
，
9cm
b
，
2
4 9
36
c =
´
=
，
6
c
或
6
c （舍），
故答案为：6．
22．小慧同学在学习“图形的相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，下图就是一个特殊化的
学习过程，图中横线上应填写的数值是
．
【答案】2
【分析】根据
2
a
b
b
c
得到a，b，c 之间的关系，再等量代换得到a，c 的关系．
11
本题考查与成比例线段相关的比例式的计算，根据比例相等得到等量关系是解决问题的关键．
【详解】
2
a
b
b
c
，
2
2
a
b
b
c
，
，
2
2
2
a
c
c
，
2
a
c
，
故答案为2．
23．ABC
与DEF
在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1．
(1)求AB
DE ，BC
EF ，AC
DF 的值；
(2)求ABC
的周长与DEF
的周长的比；
(3)在AB ，BC ，AC ，DE ，EF ，DF 这六条线段中，指出其中三组成比例的线段．
【答案】(1)
2
AB
BC
AC
DE
EF
DF
(2) ABC
的周长与DEF
的周长的比为2
(3) AB ，DE ，BC ，EF ，是成比例线段；AB ，DE ，AC ，DF 是成比例线段；BC ，EF ，AC ，DF 是
成比例线段
【分析】（1）根据图象，求出AB ，BC ，AC ，DE ，EF ，DF 的长度，即可求解，
（2）计算
ABC
DEF
C
AB
BC
AC
C
DE
EF
DF
，即可求解，
（3）根据成比例线段的定义，即可求解，
本题考查了成比例线段，解题的关键是：熟练掌握成比例线段概念．
【详解】（1）解：由图可知
4 2
AB
，
2 5
AC
，
6
BC
，
2 2
DE
，
5
DF
，
3
EF ，
∴
4 2
2
2 2
AB
DE
，
6
2
3
BC
EF
，
2 5
2
5
AC
DF
故答案为：
2
AB
BC
AC
DE
EF
DF
，
12
（2）解：
4 2
6
2 5
2
2 2
3
5
ABC
DEF
C
AB
BC
AC
C
DE
EF
DF
，
故答案为：ABC
的周长与DEF
的周长的比为2 ，
（3）AB : DE
BC
: EF ，
AB ，DE ，BC ，EF ，是成比例线段；
AB : DE
AC
: DF ，
AB ，DE ，AC ，DF 是成比例线段；
BC : EF
:
AC DF
，
BC ，EF ，AC ，DF 是成比例线段，
故答案为：AB ，DE ，BC ，EF ，是成比例线段；AB ，DE ，AC ，DF 是成比例线段；BC ，EF ，AC ，
DF 是成比例线段．
题型04
黄金分割
24．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，若舞台长20 米，主持
人从舞台一侧B 进入，设她至少走x 米时倍好站在舞台的黄金分割点上（BP 的长为x 米），则x 满足的方程
是（
）
A．
2
(20
)
20
x
x
B．
2
20(20
)
x
x
C．
2
(20
)
20
x
x
D．
2
20
20
x
x
【答案】A
【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关
键．
点P 是AB 的黄金分割点，且PB
PA
，PB
x
，则
20
PA
x
，则BP
AP
AP
AB
，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P 是AB 的黄金分割点，且PB
PA
，PB
x
，则
20
PA
x
，
BP
AP
AP
AB
，
2
AP
BP AB
，
2
20
20
x
x
．
故选：A．
25．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB 的黄金分割点
13
(
)
AP
PB
，则下列结论中正确的是（
）
①
2
2
2
AB
AP
BP
；②
2
BP
AP BA
；③
5
1
2
AP
BP
；④
5
1
2
BP
AP
．
A．1个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】此题考查了黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC
AC
BC
，且使AC 是AB 和BC 的
比例中项（即AB
AC
AC
BC
=
），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段的黄金分割点．
由黄金分割的定义分别进行判断．
【详解】解：∵P 为AB 的黄金分割点(
)
AP
PB
，
∴
2
AP
BP BA
，
5
1
2
BP
AP
AP
AB
，
①、②、③错误，④正确，不符合题意，
故选：A．
26．如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果
5
1
2
AC
AB
，则称线段AB 被点C 黄金分割，
点C 叫做线段AB 的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段AB 上另有一点D 把线段AB 分成两条线段AD
和BD ，若
5
1
2
BD
AB
，则称点D 是线段AB 的黄金“左割”点，若
2
AB
，则CD （
）
A．5
1
B．
5
2
C．2 5
4
D．5
2 5
【答案】C
【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是理解题意，先根据
5
1
2
AC
AB
，
5
1
2
BD
AB
，求
出
5
1
BD
AC
，再求出
3
5
BC =
-
，再根据CD
BD
BC
求出结果即可．
【详解】解：根据题意得：
5
1
5
1
2
5
1
2
2
BD
AC
AB
，
14
∴
2
5
1
3
5
BC
AB
AC
，
∴
5
1
3
5
2 5
4
CD
BD
BC
，
故选：C．
27．20 世纪70 年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，
利用黄金分割法，所作EF 将矩形窗框ABCD分为上下两部分，BE
AE
．已知AB 为2 米，则线段BE 的长
为
米．
【答案】
5
1
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为
5
1
2
进行求解即可．
【详解】解：∵E 为边AB 的黄金分割点，BE
AE
，
∴
5
1
5
1
2
BE
AB
米，
故答案为：
5
1
．
28．已知点P 是线段AB 的黄金分割点(
)
AP
PB
，如果
2cm
AP
，那么线段AB
cm ．
【答案】
5
1
/
1
5
【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义可得
5
1
2
AP
AB
，代入数据求值即可．
【详解】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点(
)
AP
PB
，即
5
1
2
AP
AB
，
∴
5
1
2
2
AB
，
∴
5
1
AB
cm
故答案为：
5
1
．
29．研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳．如图，主持人现站在10 米舞台
PQ 的左边端点P 处，那她要站在最佳位置处时至少要走
米（黄金分割比近似值为0.618，结果精确到
小数点后1 位）．
15
【答案】3.8
【分析】本题考查黄金分割及近似数和有效数字，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
设主持人站的位置距离点Q 的距离为x 米，根据黄金分割的定义，建立关于x 的方程即可解决问题．
【详解】解：设主持人站的位置与点Q 的距离为x 米，
则
0.618
10
x
，
解得
6.18
x
，
所以10
6.18
3.82
3.8
（米)，
故主持人站的最佳位置时至少要走3.8 米．
故答案为：3.8．
30．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB 的黄金分割点
（AP
PB
），如果AB 的长度为10cm，那么AP 的长度为
cm ．（结果保留根号）
【答案】5 5
5
/ 5
5 5
【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算AP 即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段
AB 分成两条线段AC 和
BC
AC
BC
，且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即
:
:
AB AC
AC BC
），叫做把
线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，黄金分割的比值是
5
1
2
，即
5
1
2
AC
BC
AB
AC
．
【详解】解：∵P 为AB 的黄金分割点（AP
PB
），AB 的长度为10cm，
∴
5
1
2
AP
AB
，
∴
5
1
5
1 10
5
5
1
5 5
5
cm
2
2
AP
AB
，
∴AP 的长度为
5 5
5
cm ．
16
故答案为：5 5
5
．
31．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，
兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离的比值约为
5
1
2
，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离
约为1
3 m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为
m．
【答案】
5
1
6
【分析】本题考查了黄金分割，根据比例关系列式计算即可．
【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为m
x
，
则
5
1
1
2
3
x
，
解得：
5
1
6
x
，
故答案为：
5
1
6
．
32．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP
PB
．若
4
AB
，则AP
．（结果保留根
号）
【答案】2 5
2
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段
5
1
2
AB
，代入计算即可；此题考查了黄金分割点的
概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段
5
1
2
．
【详解】解：点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP
PB
，
4
AB
，
5
1
4
2 5
2
2
AP
，
故答案为：2 5
2
．
33．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上
有一根弦
90 cm
AB
，支撑点C 是靠近点A 的一个黄金分割点，则BC
cm ．（结果保留根号）
【答案】
45 5
45
17
【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC
AC
，
5
1
45 5
45 cm
2
BC
AB
，
故答案为：
45 5
45
．
34．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯系统研究了黄金分割，其定义为：如图①，点C 将线段AB 分成
两部分（AC
BC
），若AC
BC
AB
AC
，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．如图②，在ABC
中，点D 是边BC
的黄金分割点（BD
CD
），且
B
BAD
．若
2
AD
，则BC 的长为
．
【答案】
5
1
/1
5
【分析】本题考查黄金分割以及等角对等边，根据点D 是边BC 的黄金分割点，可得出
5
1
2
BD
BC
，再
根据等角对等边可得出
2
BD
AD
，代入求解即可．
【详解】解：∵点D 是边BC 的黄金分割点（BD
CD
），
∴
5
1
2
BD
BC
，
∵
B
BAD
，
∴
2
BD
AD
，
∴
5
1
2
2
BC
，
∴
5
1
BC
故答案为
5
1
．
35．某品牌的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB 与从轮子
底部到拉杆顶部的高度CD 之比满足黄金分割（即
5
1
2
AB
CD
），已知
25
5
1 cm
CD
，则AB 的长为
cm．
18
【答案】50
【分析】本题考查了比例问题，根据题意正确列出方程是解题的关键．
根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：∵
5
1
2
AB
CD
，
25
5
1 cm
CD
，
∴
5
1
2
25
5
1
AB
，解得：
50cm
AB
故答案为50．
36．如果
3
4
0
x
y y
，那么下列比例式中成立的是（
）
A．4
3
x
y
B．3
4
x
y
C．
3
4
x
y
D．
4
3
x
y
【答案】A
【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质4
3
x
y
，
4
3
x
y
，据此可得答案．
【详解】解：由比例的性质可得4
3
x
y
，
4
3
x
y
，则四个选项中，只有A 选项符合题意，
故选：A．
37．在20 世纪70 年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，
取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF 将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E 为边AB 的
黄金分割点，即
2
BE
AE AB
．已知AB 为2 米，则线段BE 的长为（
）．
19
A．
5
1
2
米
B．
5
1
米
C．
5
1
2
米
D．
5
2
2
米
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设BE
x
，则
2
AE
x
，根据
2
BE
AE AB
求出x 的
值，即可求解．
【详解】解析：∵
2
BE
AE AB
，
设BE
x
，则
2
AE
x
，
∵
2
AB
，
∴
2
2 2
x
x
，
即
2
2
4
0
x
x
，
解得：
1
1
5
x
，
2
1
5
x
（舍去），
∴线段BE 的长为
5
1
米．
故选：B．
38．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形ABCD是黄金矩形（AB
BC
），点E、
F 分别在边AD 、BC 上，将矩形沿直线EF 折叠，使点B 的对应点B落在CD 边上，点A 的对应点为A，
过点E 作EG
BC
于点G，当矩形ABGE 也是黄金矩形（AE
AB
）时，则BF
BC （
）
A．3
5
2
-
B．
5
1
2
C．3
5
D．5
2 5
【答案】D
【分析】本题考查黄金比，矩形与折叠，勾股定理．
20
连接B E
，根据黄金矩形的定义设
5
1
CD
AB
a
，
2
AD
BC
a
，则
5
1
3
5
2
AE
AB
a
，证明
Rt
Rt
HL
A B E
DEB
≌
得到
3
5
B D
A E
a
，从而
2 5
4
B C
CD
B D
a
，设BF
B F
x
，
则
2
CF
BC
BF
a
x
，在Rt
B CF
△
中，根据
2
2
2
B C
CF
B F
构造方程，求解得到
10
4 5
BF
a
，从
而
10
4 5
5
2 5
2
a
BF
BC
a
．
【详解】连接B E
，
∵矩形ABCD是黄金矩形，AB
BC
，
5
1
2
AB
BC
，
∴设
5
1
CD
AB
a
，
2
AD
BC
a
，
∵矩形ABGE 是黄金矩形，AE
AB
，
∴
5
1
2
AE
AB
-
=
，
∴
2
5
1
5
1
3
5
2
2
AE
AB
a
a
，
∵四边形A B FE
是四边形ABFE 翻折得到，
∴
3
5
A E
AE
a
，
90
EA B
EAB
，
2
3
5
5
1
DE
AD
AE
a
a
a
，
∴DE
AB
A B
，
∵在矩形ABCD中，
90
D
Ð
=
°，
又B E
EB
∴
Rt
Rt
HL
A B E
DEB
≌
，
∴
3
5
B D
A E
a
，
21
∴
5
1
3
5
2 5
4
B C
CD
B D
a
a
a
，
设BF
B F
x
，则
2
CF
BC
BF
a
x
，
∵在Rt
B CF
△
中，
2
2
2
B C
CF
B F
，
∴
2
2
2 5
4
2
a
a
x
x
解得：
10
4 5
x
a
，
∴
10
4 5
BF
a
，
∴
10
4 5
5
2 5
2
a
BF
BC
a
．
故选：D
二、填空题
39．已知三个数1、2、5 ，请你再添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是
．（只
填一个）
【答案】2 5 （答案不唯一）
【分析】本题考查成比例线段．根据外项积等于内项积，求解即可．
【详解】解：由题意，得：可以添加的数为2 5 ；
∵1 2 5
2
5
，
∴1、2、
5 、2 5 ，能构成一个比例式．
故答案为：2 5 （答案不唯一）．
40．点P 是线段AB 上的一点，如果
2
AP
BP AB
，
5
1
BP
，那么AP
．
【答案】2
【分析】本题考查了黄金分割，由题意得出点P 是AB 的黄金分割点，得到
5
1
2
AP
AB
，结合
AB
AP
BP
，
5
1
BP
，代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵
2
AP
BP AB
，
22
∴
AP
BP
AB
AP ，
∴点P 是AB 的黄金分割点，
∴
5
1
2
AP
AB
，
∵AB
AP
BP
，
5
1
BP
，
∴
5
1
5
1
2
AP
AP
，
解得：
2
AP
，
故答案为：2 ．
41．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中
6
a
，
3
b
，
2
c
，则d 的值是
.
【答案】1
【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到
:
:
a b
c d
，即可得到答案．
【详解】解：由于线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，
故
:
:
a b
c d
，
即6 :3
2 : d
解得
1
d
故答案为：1．
42．如果
3
1
2
2
3
4
x
y
z
，且
18
x
y
z
，则2x
y
z
的值为
．
【答案】15
【分析】此题考查了比例的性质，设
3
1
2
2
3
4
x
y
z
k
，得出
2
3
x
k
，
3
1
y
k
，
4
2
z
k
，再根据
18
x
y
z
，求出k 的值，从而得出x ，y ，z 的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【详解】解：设
3
1
2
2
3
4
x
y
z
k
，
则
2
3
x
k
，
3
1
y
k
，
4
2
z
k
，
18
x
y
z
，
2
3
3
1
4
2
18
k
k
k
，
2
k
，
1
x
，
7
y
，
10
z
，
2
2
7
10
15
x
y
z
；
23
故答案为15
．
43．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC 取中点O，以O
为圆心，线段OD 为半径作圆，其与边BC 的延长线交于点E ，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF ，
若
4
CE
，则AB
．
【答案】2
2 5
/ 2 5
2
【分析】
本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设AB
x
，根据正方形的性质可得
AB
BC
x，则
4
BE
x
，然后根据黄金矩形的定义可得
5
1
2
AB
BE
，从而可得
5
1
4
2
x
x
，最后进行计算即可解答，
熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.
【详解】解：设AB
x
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
AB
BC
x，
∵
4
CE
，
∴
4
BE
BC
CE
x
，
∵四边形ABEF 是黄金矩形，
∴
5
1
2
AB
BE
，
∴
5
1
4
2
x
x
，
解得：
2 5
2
x
，
经检验：
2 5
2
x
是原方程的解，
∴
2 5
2
AB
，
故答案为：2 5
2
．
44．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多
24
边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4 个结论：①
36
A
，②
5
1
2
PB
PE
，③
3
5
2
PA
AD
，④
3
5
2
PT
PA
．
请填写你认为正确的结论序号：
．
【答案】①②③
【分析】先讨论顶角为36和108的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为36
和108的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分
割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键．
【详解】解：如图1，ABC
中，
36
A
，AB
AC
，BD 平分
ABC
，
36
DBC
ABD
，
72
C
BDC
，
ABC
和
BCD
△
为相似的等腰三角形，
设
1
AC ，AD
BD
BC
x
，
1
CD
x
，
由相似得：1
1
x
x
x
，
5
1
2
x
（负值舍去），
点D 是线段AC 的黄金分割点，
即：
5
1
2
CD
AD
AD
AC
，
3
5
2
CD
AD
，
25
BC
AD
，
5
1
2
BC
AC
；
如图2，ABC
中，
108
BAC
，AB
AC
，
36
BAC
，
36
B
C
，
72
CAD
CDA
，
ABD
和ABC
为相似的等腰三角形，
设
1
BC ，CD
AC
AB
x
，则
1
BD
AD
x
，
由相似得：1
1
x
x
x
，
5
1
2
x
（负值舍去），
点D 是线段BC 的黄金分割点，
即：
5
1
2
BD
CD
CD
BC
，
3
5
2
BD
BC
，
CD
AB
，
5
1
2
AB
BC
；
如图，连接AB 、BC 、CD 、DE 、AE ，
五边形ABCDE 为正五边形，
108
ABC
BAE
AED
，
AB
BC
AE
DE
，
36
BAC
EAD
，
26
36
CAD
，故①正确；
易证：
36
ABP
BAP
，
72
EAP
EPA
，
ABP
和ABE
为相似的等腰三角形，
由图2 得：
5
1
2
PB
PE
，
5
1
2
PB
PE
，故②正确；
由题得
AET
△
和
AED
△
为相似的等腰三角形，
由图2 得：
3
5
2
AT
AD
，
3
5
2
AT
AD
，
PA
AT
，
3
5
2
AP
AD
，故③正确；
在
APT
△
中，
36
PAT
，AT
AT
，
由图1 得：
5
1
2
PT
PA
，
即：
5
1
2
PT
PA
，故④错误，
故答案为：①②③．
三、解答题
45．如图，我们知道，如果点P 是线段AB 上的一点，将线段分割成AP
BP
，
两条线段
AP
BP
，且满足
:
:
BP AP
AP AB
，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段AP 与AB 的比值或线段BP 与AP 的比值叫做
黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为a
b
c
d
，，，
的四条线段，如果
:
:
a b
c d
，则ad
bc
．求
黄金分割数（结果保留根号）．
【答案】
1
5
2
【分析】本题考查了黄金分割的概念和性质，根据题意列出比例式即可，熟练掌握把线段AB 分成两条线段
AC 和
BC
AC
BC
，且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割是解题的关键．
【详解】解：设线段
1
AB ，AP 的长为x ，则
1
:
:1
x
x
x
，
即
2
1
x
x
，整理得
2
1
0
x
x
，
27
解得
1
1
5
2
x
，
2
1
5
0
2
x
（不合题意舍去），
∴黄金分割数为：
1
5
:
2
AP AB
x
．
46．已知a，b，c，d 为四个不为0 的数．
(1)如果
3
a
b
，求a
b
b
与a
b
a
b
的值；
(2)如果
,
a
c a
b c
d
b
d
，求证
a
c
b
a
d
c
；
(3)如果a
c
a
b
d
b
，求证a
c
b
d
．
【答案】(1)
4
a
b
b
，
1
2
a
b
a
b
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质：
（1）先根据已知条件得到
1
4
a
b
a
b
b
，
3
a
b
，再把
3
a
b
代入a
b
a
b
中进行求解即可；
（2）设a
c
k
b
d
，则a
kb
，c
kd
，再分别计算出
a
b
a
和
c
d
c
的值即可证明结论；
（3）求出bc
ad
，进而可得a
c
b
d
。
【详解】（1）解：∵
3
a
b
，
∴
1
4
a
b
a
b
b
，
3
a
b
，
∴
3
1
3
2
a
b
b
b
a
b
b
b
；
（2）证明：设a
c
k
b
d
，则a
kb
，c
kd
，
∴
1
a
kb
k
b
a
b
kb
k
，
1
c
kd
k
d
c
d
kd
k
，
∴
a
c
b
a
d
c
；
（3）证明：∵a
c
a
b
d
b
，
∴ab
bc
ab
ad
，
∴bc
ad
，
∴a
c
b
d
．
28
47．（1）我们把邻边之比为
5
1
2
的矩形叫做黄金矩形．如图，已知正方形ABCD，请用无刻度直尺和圆
规作出黄金矩形ABPQ ，使得点P 、Q 分别在线段BC 、AD 上．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，若以AQ 为边作正方形AMNQ ，使得点M 、N 分别在线段AB 、PQ 上，则矩形MBPN
是黄金矩形吗？为什么？
【答案】（1）见解析；（2）矩形MBPN 是黄金矩形，理由见解析．
【分析】本题考查作图- 复杂作图，尺规作图，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题，属于中考常考题型．
（1）作CD的垂直平分线交CD于点F ，连接AF ，在AF 上取FE
DF
，然后在AD 上取AQ
AE
，过Q
作垂线交BC 于点P ，四边形ABPQ 即为所求；
（2 ）由正方形的性质AM
MN
QN
AQ
，AB
BC
CD
AD
，由（1）得
5
1
2
BP
BP
MN
AB
AM
BM
MN
BM
，从而
5
1
2
BM
MN
，即可得解．
【详解】（1）如图，四边形ABPQ 即为所求．
（2）解：矩形MBPN 是黄金矩形，理由如下：
如下图，
29
∵四边形ABCD和四边形AMNQ 是正方形，
∴AM
MN
QN
AQ
，AB
BC
CD
AD
，
由（1）得，四边形ABPQ 是矩形，
∴
5
1
2
BP
BP
MN
AB
AM
BM
MN
BM
，
∴
5
1
2
BM
MN
，
∴矩形MBPN 是黄金矩形，．
48．已知a，b，c，d，e，f 六个数，如果
0
a
c
e
k b
d
f
b
d
f
，那么a
c
e
k
b
d
f
．
理由如下：
∵
0
a
c
e
k b
d
f
b
d
f
∴a
bk
，c
dk
，e
fk
（第一步）
∴
k b
d
f
a
c
e
bk
dk
fk
k
b
d
f
b
d
f
b
d
f
（第二步）
(1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，
k b
d
f
k
b
d
f
应用了______的基
本性质；
(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
①如果2
2
5
6
7
a
b
c
，则2
18
a
b
c
______；
②已知
0
3
4
5
x
y
z
，求
2
3
x
y
z
x
y
z
的值．
【答案】(1)比例，比例
(2)①2，②
4
11
30
【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键：
（1）根据比例的基本性质解答；
（2）①根据比例的性质得到2
10,
12,
14
a
b
c
，代入计算即可；
②设3
4
5
x
y
z
k
，则
3 ,
4 ,
5
x
k y
k z
k
，代入化简可得答案
【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，
k b
d
f
k
b
d
f
应用
了比例的基本性质
（2）①∵2
2
5
6
7
a
b
c
，
∴2
10,
12,
14
a
b
c
，
∴2
10 12 14
2
18
18
a
b
c
故答案为2；
②设3
4
5
x
y
z
k
，则
3 ,
4 ,
5
x
k y
k z
k
，
∴
3
4
5
4
3
2
4
3 5
11
k
k
k
k
k
k
49．如图，以长为2 的线段AB 为边作正方形ABCD，取AB 的中点P ，连接PD ．在BA 的延长线上取点F ，
使PF
PD
．以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．
(1)求线段AM 、DM 的长；
(2)求证：
2
AM
AD DM
；
(3)请指出图中的黄金分割点．
【答案】(1)
5
1
AM
，
3
5
DM
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．
31
（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF
PF
AP
，
4
1
5
PF
PD
，则
5
1,
3
5
AM
AF
DM
AD
AM
；
（2）根据（1）所求分别求出
2
AM
AD DM
，
的值即可证明结论；
（3）根据（1）中的数据得：
5
1
2
AM
AD
，根据黄金分割点的概念，则点M 是AD 的黄金分割点．
【详解】（1）解：在Rt APD
中，
1,
2
AP
AD
，由勾股定理知：
2
2
4
1
5
PD
AD
AP
，
∴
5
1
AM
AF
PF
AP
PD
AP
，
∴
3
5
DM
AD
AM
；
（2）证明：由（1）得
2
2
5
1
6
2 5
2
3
5
6
2 5
AM
AD DM
，
，
∴
2
AM
AD DM
；
（3）解：∵
5
1
2
AM
AD
，
∴点M 是AD 的黄金分割点．
50．【背景知识】
宽与长的比等于
5
1
2
的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，
为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．
（1）经测量帕特农神庙的长约为30 米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号）
【实验操作】
折一个黄金矩形
第一步：在矩形纸片的一端利用图1 的方法折出一个正方形MNCB ，然后把纸片展平；
第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线AB ，并将AB 折到图3 所示的AD 处；
第四步：展平纸片，按照所得的点D 折出DF ，得到矩形BCDF （如图4）．
32
【问题思考】
（2）若MN 的长为2，请证明：矩形BCDF 是黄金矩形；
（3）在（2）的条件下，以图3 中的折痕AQ 为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积．
【答案】（1）15 5
15
（米）；（2）见详解；（3）4 5 或6 5
10
．
【分析】（1）由题意得帕特农神庙宽的与长的比等于
5
1
2
，已知长为30，则可以求出宽．
（2）若MN 的长为2，由折纸的过程可知
2
NC
，
2
EA
BC
，
1
1
2
AC
NC
．求得
5
AB
，则
5
AD
，
则可得
5
1
CD
，进而可求得
5
1
2
CD
BC
，即可得证．
（3）分AQ 为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可．
本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键．
【详解】（1）由题意得帕特农神庙宽与长的比等于
5
1
2
，
∴它的宽为：
5
3
1
0
5
1
15 5
2
（米）．
（2）证明：
2
MN
，
由题意得
2
NC
，
2
EA
BC
，
1
1
2
AC
NC
，
2
2
2
2
1
2
5
AB
AC
BC
，
5
AD
AB
，
5
1
CD
AD
AC
，
5
1
2
CD
BC
，
∴矩形BCDF 是黄金矩形．
（3）由折叠的性质可得
BAQ
DAQ
，
又
BQ
AD
∥
，
BQA
DAQ
，
∴
BAQ
BQA
33
5
BQ
BA
，
又
1
EB
AC
，
5
1
EQ
，
2
2
2
2
2
5
1
10
2 5
AQ
AE
EQ
．
当AQ 为黄金矩形的长时，则宽为
5
1
2
AQ
，
则面积为
2
5
1
5
1
5
1
4 5
2
10
2
2
5
2
AQ AQ
AQ
．
当AQ 为黄金矩形的宽时，则长为
5
1
2
5
1
2
AQ
AQ
，
则面积为
2
5
10
5
1
5
1
1
6 5
2 5
10
2
2
2
AQ
AQ
AQ
．
综上，矩形的面积为：4 5 或6 5
10
．
