文档文本内容
1
第10 讲用频率估计概率
课程标准
学习目标
①知道经历大量重复试验，随机事件发生的
频率具有稳定性，能用频率估计概率；
②体会数据的随机性以及概率与统计的
关系；
③能综合运用统计与概率的思维方法解决
简单的实际问题．
1、学会用试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率；
2、体会一些复杂的随机事件发生的概率．
知识点一：利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事
件发生的概率。
知识点二：模拟实验
在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟
2
实验。
题型01
求某事件的频率
1．近日，甘肃天水这座历史悠久的文化古城，因一碗麻辣烫而迅速走红网络，成为旅游新热点．自天水火
爆“出圈”以来，各级团组织迅速行动起来，全面承担起志愿服务工作，同时带领一大批青年志愿者积极响应
团组织号召投入志愿服务工作．根据实际需要，志愿者被陆续分配到四合院美味城网红麻辣烫店、机场、
火车站等区域开展志愿服务工作．某段时间内经过抽样调查，发现志愿者服务的区域主要有A，B，C，D，
E 五个．抽样调查的统计结果如下表，则下列说法不正确的是（
）
区域
A
B
C
D
E
人数
50
350
400
200
500
A．去A 区域服务的人数最少
B．去B 区域服务的人数的频率是7
30
C．若有6000 名志愿者参与服务，则约有1800人被分配到C 区域服务
D．这次抽样调查的样本容量是1500
【答案】C
【分析】本题考查了样本容量，频率，用样本估计总体．熟练掌握样本容量，频率，用样本估计总体是解
题的关键．
由表格可知，去A 区域服务的人数最少，可判断A 的正误；样本容量为50
350
400
200
500
1500
，
可判断D 的正误；去B 区域服务的人数的频率是350
7
1500
30
，可判断B 的正误；若有6000 名志愿者参与服
务，则约有
400
6000
1600
1500
人被分配到C 区域服务，可判断C 的正误．
【详解】解：由表格可知，去A 区域服务的人数最少，正确，故A 不符合要求；
样本容量为50
350
400
200
500
1500
，正确，故D 不符合要求；
去B 区域服务的人数的频率是350
7
1500
30
，正确，故B 不符合要求；
若有6000 名志愿者参与服务，则约有
400
6000
1600
1500
人被分配到C 区域服务，错误，故C 符合要求；
故选：C．
3
2．已知数据：1
3 ，
2 ，3
27
，，2
，其中无理数出现的频率是
．
【答案】0.4
【分析】此题考查了频率的求法以及无理数的定义，正确把握无理数的定义是解题关键．直接利用无理数
的定义结合频率的求法得出答案．
【详解】解：∵数据：1
3 ，
2 ，3
27
3
，，2
，其中无理数有：
2 ，π，
∴无理数出现的频率是：2
0.4
5
．
故答案为0.4．
3．暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这
句宣传语中，“水”字出现的频率为
．
【答案】1
9
【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是
解题的关键．
【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有18个字，其中“水”字出现的次数为2
次，
∴“水”字出现的频率为2
1
18
9
，
故答案为：1
9 ．
4．对某篮球运动员进行3 分球投篮测试结果如表所示：
投篮次数n
10
50
100
150
200
命中次数m
4
25
65
90
120
命中率
0.4
(1)计算表中投篮50 次、100 次、150 次、200 次相应的命中率；
(2)这个运动员3 分球投篮命中的概率约是多少？
(3)估计这个运动员3 分球投篮30 次能得多少分．
【答案】(1)0.5；0.65；0.6 ；0.6
(2)0.6
(3)54 分
4
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还
考查了频率的计算公式．
（1）用对应的m 除以n 即可求解；
（2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3 分球命中率约为0.6 ；
（3）根据（2）的估计得到投篮30 次命中30 0.6
18
次，然后用18 乘以3 即可．
【详解】（1）解：投篮50 次、100 次、150 次、200 次相应的命中率分别为：
25
0.5
50
；65
0.65
100
；90
0.6
150
；120
0.6
200
；
（2）解：由表格数据知，当投篮次数逐渐增加时，命中率稳定在0.6 附近，所以估计这个运动员3 分球投
篮0.6 ．
（3）解：由（2）的结论可知这个运动员投篮30 次，命中的次数约为30 0.6
18
（次），约能得到18 3
54
（分）．
5．一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个
球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据：
摸球次数
40
80
400
600
800
1000
1200
1500
摸出白球的频数
14
26
128
198
267
399
500
摸出白球的频率
0.325
0.320
0.330
0.334
0.332
0.333
0.333
(1)请将表补充完整；
(2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是；（精确到到0.01）
(3)若袋中共有200 个球，则袋中可能有个白球．
【答案】(1)见解析
5
(2)见解析，0.33
(3)66
【分析】本题考查了画折线统计图，频率估计概率，频数、频率与实验总次数的关系，掌握这些知识是关
键．
（1）由频数、频率与摸球次数的关系可求得摸球40 次，摸出白球14 的概率；也可求得摸球1000 次且频
率为0.332 时摸出白球的频数，因而可补充完整表格；
（2）按折线统计图的画法画图即可；根据统计图即可估计出概率；
（3）根据（2）中概率的近似值，即可计算出袋中白球可能的个数．
【详解】（1）解：14
0.350
40
，0.332 1000
332
；
补充完整表格如下：
摸球次数
40
80
400
600
800
1000
1200
1500
摸出白球的频数
14
26
128
198
267
332
399
500
摸出白球的频率
0.350
0.325
0.320
0.330
0.334
0.332
0.333
0.333
（2）解：折线统计图如下：
由图知，摸出白球的概率估计值是0.33；
故答案为：0.33．
（3）解：由（2）知，摸出白球的概率估计值是0.33，
则袋中200 个球，白球可能为：200 0.33
66
（个）
故答案为：66．
6．如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了如下方法：
6
①在此封闭图形内画出一个半径为2 米的圆．
②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似的看成点），记录如表：
掷小石子落在不规则图形内的总次数
300
150
300
500
…
小石子落在圆内（含圆上）的次数m
20
61
123
206
…
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n
30
89
177
294
…
m n
:
0.667
0.685
0.695
0.701
(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，m n
: 的值越来越接近___________（结果精确到0.1）；
(2)若以小石子所落的有效区域为总数（即m
n
），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的
频率值稳定在___________附近（结果精确到0.1）；
(3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π ）
【答案】(1)0.7
(2)0.4
(3)10π
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求
情况数与总情况数之比．
（1）根据表格中m n
: 的值即可求解；
（2）根据表格中的数据计算
m
m
n
的值，进而求解即可；
（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出整个封闭图形面积．
【详解】（1）根据表格可得，
当投掷的次数很大时，则m n
: 的值越来越接近0.7；
故答案为：0.7；
（2）解：观察表格得：
7
20
0.4
20
30
，
61
0.4
61 89
，
123
0.41
123 177
，
206
0.412
206
294
∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，
故答案为：0.4；
（3）解：设封闭图形的面积为a，
根据题意得：
2
π
2
0.4
a
，
解得：
10π
a
，
答：封闭图形的面积为10π 平方米．
题型02
由频率估计概率
7．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，
当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的
频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角
AOB
的度数近似为（
）
A．90
B．72
C．54
D．20
【答案】B
【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆
心角度数即可．
【详解】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于0.2 ，
以频率估计概率，即
0.2
P
优胜奖
，
优胜奖区域的圆心角
360
0.2
72
AOB
，
故选：B．
8．在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的
可能是（
）
8
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2 点朝上
B．从一个装有大小相同的2 个蓝球和1 个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球
C．抛一枚1 元钱的硬币，出现反面朝上
D．从标有数字1 到10 的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数
【答案】B
【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率公式求出各选项的概率，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，某一结果的概率约为33%，
掷一枚质地均匀的骰子，出现2 点朝上的概率为1
6 ，故选项A 不符合题意；
从一个装有大小相同的2 个蓝球和1 个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球的概率为
1
1
2 1
3
；故选
项B 符合题意；
抛一枚1 元钱的硬币，出现反面朝上的概率为
1
2 ，故选项B 不符合题意；
从标有数字1 到10 的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数的概率为
1
2 ，故选项D 不符合题意；
故选B．
9．如表是小明做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖不着地”的概率为
．
抛掷次数
100
300
500
800
1000
针尖不着地的频数
64
180
310
488
610
针尖不着地的频率
0.4
0.60
0.62
0.61
0.61
【答案】0.61
【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能
结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳
定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
9
【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，钉尖不着地的频率逐渐稳定到0.61附近，
所以可估计“钉尖不着地”的概率为0.61，
故答案为：0.61．
10．在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5 个，黄球7 个，蓝
球a 个，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，摸到红球的频率稳定在25% 左右，则a 的值约为
．
【答案】8
【分析】此题是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．在同样条件下，大量反复试验时，随
机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得：
5
100%
25%
5
7
a
解得，
8
a
，
经检验：
8
a
是原方程的解，且符合题意，
则a 的值约为8．
故答案为8．
11．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格
数据的试验可能是
．①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上；②掷一枚质地均匀的骰子，掷得
朝上的点数是3 的整数倍；③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”；④将一副去掉大、小王的普
通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃．
试验总次数
100
200
300
500
800
1000
2000
3000
…
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
0.333
…
【答案】②③/③②
【分析】本题考查了概率的知识，熟练应用根据频率估计概率是解题的关键．根据图中信息得出，实验结
果在0.333 附近波动，即其概率
0.333
P
，判断各项中的概率即可．
【详解】解：根据图中信息得出，实验结果在附近波动0.333 ，利用频率估计概率得到实验的概率为0.333 ，
①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率为1
2 ，不符合题意；
②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3 的整数倍的概率为2
1
6
3
，符合题意；
10
③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”的概率为1
3 ，符合题意；
④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率为13
1
52
4
，不符合
题意．
∴符合表格数据的试验可能是②③．
故答案为：②③．
12．某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示．
根据试验结果回答下列问题．
(1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）．
(2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为90%，那么在相同条件下种10000 粒该种玉米种子大约可得到多少
棵玉米秧苗？
【答案】(1)0.9
(2)8100 棵
【分析】本题考查了由频率估计概率，正确得出这种玉米种子发芽的概率是解此题的关键．
（1）由统计图即可得出答案；
（2）根据题意列式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由图可得：随实验次数增加，这种玉米种子发芽的频率逐渐稳定在为0.9 附近，故估计这
种玉米种子发芽的概率是0.9；
（2）解：由题意得：10000 0.9 90%
8100
（棵），
∴种10000 粒该种玉米种子大约可得到8100 棵玉米秧苗．
题型03
用频率估计概率的综合应用
13．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20 个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后
放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
11
下面有四个推断：
①当摸球次数是300 时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”
的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7 个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500 时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
所有合理推断的序号是（
）
A．①②
B．②③
C．①②③
D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件
发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性，据此即可求解．
【详解】解：①当摸球次数是300 时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的频率是0.33；故①
错误；
②根据频率的稳定性可知②正确；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球20 0.35
7
个；故③正确；
④由于每次试验的频率会发生变化，故若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500 时，“摸到红球”的频
率不一定是0.40．故④错误；
故选：B
14．二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为2cm 的正
方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定
在0.7 左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为
2
cm ．
12
【答案】2.8
【分析】
本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内
黑色部分的频率稳定值即可．
【详解】
解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为
2
2
2 0.7
2.8 cm
，
故答案为：2.8 ．
15．某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢恵顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地均匀），
下表是活动进行中的一组数据：
抽奖总次数
/
n 次
100
150
200
800
1000
抽到“中奖”卡片的次数
/
m 次
33
48
a
240
299
中奖的频率m
n
0.33
0.32
0.315
0.30
b
(1)填空：
a
_________，b ________．
(2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率．（精确到0.1）
【答案】(1)63；0.299
(2)估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率是0.3
【分析】本题考查了利用频率估计概率，频率的计算，利用频率估计概率求解即可．
（1）根据频率和总数求出a 的值即可；根据频数和总数求出频率b 即可；
（2）根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率即可．
【详解】（1）解：
200 0.315
63
a
，
299
0.299
1000
b
；
（2）解：根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率约是0.30 ．
13
16．经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．交管部门在汽车行驶高峰
时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为2
5 ，向左转和直行的频率均为3
10 ．
(1)假设平均每天通过该路口的汽车为1000 辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆；
(2)目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30 秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓
解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
【答案】(1)汽车在此左转、右转、直行的车辆各是300辆、400 辆、300辆
(2)左转、右转、直行的绿灯亮的时间为27 秒，36秒，27 秒
【分析】本题考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率之间的关系是解题的关键.
（1）用汽车总量乘以频率即可得出结果；
（2）由频率估计概率，即可得出结果.
【详解】（1）解：汽车在此左转的车辆数为：
3
1000
300
10
(辆)，
汽车在此右转的车辆数为：
2
1000
400
5
(辆)，
汽车在此直行的车辆数为：
3
1000
300
10
(辆)
答：汽车在此左转、右转、直行的车辆各是300辆、400 辆、300辆.
（2）根据频率估计概率的知识，得
∵汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，
∴可调整绿灯亮的时间如下：
左转绿灯亮的时间为
3
30 3
27
10
(秒)，
右转绿灯亮的时间为
2
30 3
36
5
(秒)，
直行绿灯亮的时间为
3
30 3
27
10
(秒).
17．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60 个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖
做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量
重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25，
(1)请估计摸到白球的概率将会接近___________；
(2)计算盒子里白球有多少个？
(3)如果要使摸到白球的概率为2
5 ，需要往盒子里再放入多少个白球？
14
【答案】(1)0.25
(2)15 个
(3)15 个
【分析】
本题主要考查了概率，熟练掌握用频率估计概率，概率的定义及计算公式，用概率还原事件，是解决问题
的关键，
（1）用频率稳定于0.25，估计概率就是0.25；
（2）用60 乘0.25，计算即得；
（3）设需要往盒子里再放入x 个白球；根据摸到白球的概率为2
5 建立方程，解方程检验，即得，
【详解】（1）
∵大量重复摸球实验，摸到白球的频率稳定于0.25，
∴摸到白球的概率接近0.25；
故答案为：0.25；
（2）
60 0.25
15
（个），
答：盒子里白球有15 个；
（3）
设需要往盒子里再放入x 个白球；
根据题意得：15
2
60
5
x
x
，
解得：
15
x
，
经检验得：
15
x
为所列方程的解，且符合题意，
∴
15
x
，
答：需要往盒子里再放入15 个白球．
18．某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200 元，即有机会转动转盘一
次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）：
转动转盘的次数n
50
100
150
200
500
800
1000
2000
落在“减免20 元券”区域的次数m
19
39
55
81
b
318
403
800
15
落在“减免20 元券”区域的频率为m
n
a
0.390
0.367
0.405
0.39
0.398
0.403
0.400
请根据表格完成以下问题：
(1)
a
______；
(2)上表中，当转动转盘的次数为500 时，落在“减免20 元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b
的值是______（填写一个值）；
(3)落在“减免20 元券”区域的频率的变化有什么规律？
(4)请估计落在“减免20 元券”区域的概率是______．
【答案】(1)0.38
(2)195
(3)频率的变化稳定在0.40 附近
(4)0.40
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率．
（1）根据频率频数总数，计算即可得出答案；
（2）由频数乘以频率即可得到答案；
（3）利用频率估计概率求解即可．
（4）由稳定的频率可得概率
【详解】（1）解：
19
0.38
50
a
；
（2）解：500 0.39
195
；
（3）解：落在“减免20 元券”区域的频率的变化稳定在0.40 附近；
（4）解：估计落在“减免20 元券”区域的概率是0.40
16
19．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球
试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组
统计数据：
摸球的次数n
1000
2000
3000
5000
8000
10000
摸到黑球的次数m
650
1180
1890
3100
4820
6013
摸到黑球的频率m
n
0.65
0.59
0.63
0.62
a
0.6013
(1)表中a ；
(2)请估计：当n 很大时，摸到黑球的频率将会接近
（精确到0.1）；
(3)估计袋子中有白球个；
(4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为
1
2 ，则可在袋子中增
加相同的白球
个．
【答案】(1)0.6025
(2)0.6
(3)20
(4)10
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．
（1）摸到黑球的频率为m
n ，故a 为4820
0.6025
8000
．
（2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当n 很大时，观察摸到黑球的频率m
n ，其数值将会接近0.6 ．
（3）摸到黑球的频率m
n 约为0.6 ，故摸到白球的频率约为
1 0.6
，则估计袋子中有白球
50
1 0.6
20
（个）．
（4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为
1
2 时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋
子中增加相同的白球数：30
20
10
（个），
17
【详解】（1）解：
4820
0.6025
8000
m
a
n
，
故答案为：0.6025．
（2）当n 很大时，观察摸到黑球的频率m
n ，其数值将会接近0.6 ，
故答案为：0.6 ．
（3）摸到黑球的频率m
n 约为0.6 ，
故摸到白球的频率约为
1 0.6
，
则估计袋子中有白球
50
1 0.6
20
（个），
故答案为：20 ．
（4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为
1
2 时，
即黑球个数等于白球个数，
故可在袋子中增加相同的白球数：30
20
10
（个），
此时黑白球均为30 个，摸到黑白球的可能性大小均为
1
2 ．
故答案为：10．
20．某区七年级有3000 名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，
从中抽取了200 名学生的得分( 得分取正整数，满分为100分) 进行统计．
请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)若将得分转化为等级，规定得分低于59 5．分评为“ D ”，59 5
69 5
．
．分评为“C ”，69 5
89 5
．
．分评为“ B ”，
89.5
100.5
分评为“ A ”．这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“ D ”如果随机抽查
一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为“A ”、“ B ”、“C ”、“D ”哪一个等级的可能性大？请说
明理由．
【答案】(1)见解析
18
(2)“ B ”的可能性大，见解析
【分析】本题是统计图的基础应用题，难度一般，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统
计图，才能做出正确的判断和解决问题．
（１）根据频数、频率成正比例关系，可得：频数中应填入40 ，频率一栏中，顺次填入0.05，0.31；据此
可补全频数分布直方图．
（２）根据题意：依次求出个等级的概率，比较可得：“ B ”的概率最高，故是“ B ”的可能性大；
通过数学可以估计整体的数据的分布情况，让考生发现数学的“预测”功能．
【详解】（1）根据频数、频率成正比例关系，可得：频数中应填入40 ，频率一栏中，顺次填入0.05，0.31；
．
（2）由表知：评为“ D ”的频率是10
1
200
20
，
由此估计全区七年级参加竞赛的学生约有1
3000
150
20
（人）被评为“ D ”．
0.36
P A
，
0.51
P B
，
0.08
P C
，
0.05
P D
，
P B
P A
P C
P D
，
随机抽查一名参赛学生的成绩等级，“ B ”的可能性大．
21．阅读下列材料，回答问题：
任务1：估计不规则封闭图形的面积
如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5 米的正
方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆
落在该封闭图形内，含边界）：
有效丢掷绿豆总次数m
50
150
300
600
…
绿豆落在正方形内
（含正方形的边）的次数n
10
35
78
149
…
19
n
m
0.200
0.233
0.257
0.248
…
（1）当有效丢掷绿豆总次数
1000
m
时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n 最可能是________；
A．105
B．249
C．518
D．815
（2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰
好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为___________（精确到0.01）；
（3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积；
任务2：估计圆周率的大小
关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，请借鉴任务1 的探究思路，设计一个估算圆周率
的实验，写出相应的步骤，以及需要记录的数量（具体数值）或数据（用字母, ,
a b c ，…，表示），画出示
意图，并写出的计算公式．
【答案】任务1：（1）B；（2）0.25；（3）1 平方米
任务2：设计实验见解析，
4b
a
【分析】任务1：（1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可；
（2）大量试验时，频率可估计概率；
（3）利用概率，用正方形面积:封闭图形的面积概率建立方程求解；
任务2：仿造任务1，如图，地面上有一个边长为2 米的正方形，在此正方形内画出一个半径为1 米的圆．在
正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，根据频率可估计概
率即可求解．
【详解】解：任务1：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率
值稳定在0.25，
∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25；
当掷绿豆所落的总次数
1000
m
时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n 最可能为1000 0.25
250
，
只有249 比较接近，
故答案为：B；
（2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25，
20
故答案为：0.25；
（3）设封闭图形的面积为a ，
根据题意得：
2
0.5
0.25
a
，
解得：
1
a ，
即：估计整个不规则封闭图形的面积约是1 平方米．
任务2：如图，地面上有一个边长为2 米的正方形，在此正方形内画出一个半径为1 米的圆．
在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下：
有效丢掷绿豆总次数m
a
…
绿豆落在圆内
（含圆的边）的次数n
b
…
n
m
b
a
…
当a 很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在b
a ，
所以如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为b
a ；
则
4
b
a
，
∴
4b
a
．
22．某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，
则符合这一结果的实验最有可能的是（
）
21
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块
C．布袋中有1个红球和2 个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是4
【答案】D
【详解】此题考查了利用频率估计概率，根据统计图可知，试验结果在0.17 附近波动，即其概率
0.17
P
，
计算四个选项的概率，约为0.17 者即为正确答案，正确理解利用频率估计概率是解题的关键．
解：A 、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头“的概率为1
3 ，故A 选项不符合题意；
B 、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是13
1
52
4
；故B 选项不符
合题意．
C 、暗箱中有1个红球和2 个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为1
3 ，故C 选项不
符合题意；
D 、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 的概率为1
0.17
6
，故B 选项符合题意；
故选：D ．
23．如图1 所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，
她采取了以下的办法：用一个长为5m ，宽为4m 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地
向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），
她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2 所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（
）
22
A．
2
2m
B．
2
5m
C．
2
6m
D．
2
7m
【答案】C
【分析】
本题考查了几何概率和用频率估计概率．
根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.3，设不规则图案的面积为
2
m
x
，根据几何概率可得：
不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
【详解】根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.3，长方形的面积为
2
5 4
20m
，
设不规则图案的面积为
2
m
x
，
则
0.3
20
x
，
解得：
6
x
，
不规则图案的面积大约为
2
6m ．
故选：C．
24．地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为
2
200cm 的长方形卡片上绘制了如图1 所示的山西省地形
图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置
随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域
外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2 所示的折线统计图，由此估计该地形图的
面积大约为
2
cm ．
【答案】100
23
【分析】本题考查了几何概率，由频率估计概率，由题意可得小球落在该地形图上的概率为0.5，设该地形
图的面积为
2
cm
x
，则
0.5
200
x
，求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：根据题意可得：小球落在该地形图上的概率为0.5，
设该地形图的面积为
2
cm
x
，则
0.5
200
x
，
解得：
100
x
，
∴该地形图的面积大约为
2
100cm ，
故答案为：100．
25．一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4 个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱
子中随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表
摸球次数
100
400
600
700
1000
1300
1500
白球频率
0.702
0.724
0.731
0.746
0.749
0.751
0.750
(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于
（精确到0.01）左右，从箱子中摸一次估计摸
到蓝球的概率是
．
(2)从该箱子里随机摸出1个球，不放回，再摸出1个球．用列表法或树状图求摸到1个蓝球、1个白球率．
【答案】(1)0.75，0.25
(2)
1
2
【分析】本题考查了频率估计概率，画树状图法求概率，概率公式．
（1）根据统计数据，当n 很大时，摸到白球的频率接近0.75，根据利用频率估计概率，可估计摸到蓝球的
概率为1 0.75
0.25
；
（3）先画树状图法得出所有12种等可能的结果数，再找出摸到1个蓝球、1个白球的结果数，根据概率公式
求解即可．
【详解】（1）解：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75；则摸到蓝球的概率为1 0.75
0.25
；
故答案为：0.75，0.25．
（2）解：由（1）得摸到白球的概率率为0.75，
所以可估计口袋中白球有4 0.75
3
（个），蓝球的个数有1个；
将第一个口袋中3 个白球分别记为1
A ，
2
A ，
3
A ，蓝球记为B ，画树状图如下：
24
共有12种等可能的结果，其中摸到1个蓝球、1个白球的情况有6种．
∴摸到1个蓝球、1个白球的概率为6
1
12
2
．
26．在一个不透明的盒子里装有只有色不同的黑、白两种球共20 个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球
搅匀后从中随机摸出一个球记下色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折
线统计图．
(1)请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近______；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
(3)在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为3
5 ，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】(1)0.50
(2)白球有10个，黑球有10个
(3)5个
【分析】本题主要考查的是频率折线统计图，频率与总体的关系及分式方程的实际应用，解题的关键是看
懂频率折线统计图，再根据频率与总体的关系作答．
（1）看折线图最后趋于直线，即可写出摸到白球的频率；
（2）根据第一小题算出的白球的概率，再利用频率与总体的关系即可求出白球、黑球的个数；
（3）设加进去的白球个数为x ，再利用频率与总体的关系列分式方程作答即可．
【详解】（1）解：由折线统计图可知：当摸球次数很大时，摸到白球的频率稳定在0.50 左右，
故答案为：0.50 ；
（2）20 0.5
10
（个），
25
20 10
10
（个），
答：白球有10 个，黑球有10 个；
（3）解：设再放x 个白球，
10
3
20
5
x
x
，
50
5
60
3
x
x
，
5
3
60
50
x
x
，
2
10
x
，
5
x
，
经检验，
5
x
是原分式方程的解，且符合题意，
答：再放入5 个白球．
27．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6 个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：
转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下：
转动转盘的次数
200
300
400
1000
1600
2000
转到黄色区域的频数
72
93
130
334
532
667
转到黄色区域的频率
0.36
m
0.325
n
0.3325
0.3335
(1)下列说法错误的是______（填写序号）．
①转动转盘8 次，指针都指向绿色区域，所以第9 次转动时指针一定指向绿色区域；
②转动15 次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数；
③转动60 次，指针指向蓝色区域的次数一定为10．
(2)求表中m ，n 的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）；
(3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可．
【答案】(1)①③
(2)估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率约为0.3
26
(3)将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同
【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案；
（2）根据频率可得
,
m n 的值，再利用频率来估计概率即可；
（3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
【详解】（1）解：①转动转盘8 次，指针都指向绿色区域，所以第9 次转动时指针不一定指向绿色区域，
故本选项说法错误；
②转动15 次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确；
③转动60 次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；
故答案为：①③．
（2）解：
93
334
0.31,
0.334
300
1000
m
n
，
故
(
)
0.3
P
指针指向黄色区域
．
（3）解：将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
28．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60 只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红
球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记
下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据：
摸球的次数n
50
100
300
500
800
1000
2000
摸到红球的次数m
14
a
95
155
241
298
602
摸到红球的频率m
n
0.28
0.33
0.317
0.31
0.301
0.298
b
(1)补全表格中的数据：
a
______，b ______．
(2)请估计：当次数n 足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到0.1）
(3)小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认
为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平．
【答案】(1)33，0.301
(2)0.3
(3)这个游戏不公平，调整见解析
27
【分析】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目
总体数目相应频率．
（1）根据频率、频数与总数之间的关系即可求解；
（2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的概率逐渐靠近于0.3，即可求解；
（3）根据摸到摸到红球和黑球的概率相等则游戏公平求解即可．
【详解】（1）解：
100 0.33
33
a
，
602
2000
0.301
b
，
故答案为：33，0.301；
（2）当次数n 足够大时，摸到红球频率将会接近0.3，
故答案为：0.3；
（3）你认为这个游戏不公平，
调整：应该在盒子里分别装上30个红球和黑球，这样摸到红球和黑球的概率相等都是
1
2 ，从而使得游戏公
平．
29．某工厂接到制作2000 件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，
经测算，如果平均每天比原计划多加工20 件，那么能提早5 天完成任务．
(1)求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数；
(2)在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产
品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求．
下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计：
抽取模型数累计m（件）
50
100
150
200
250
300
400
报废模型数累计n（件）
0
3
4
5
5
6
8
模型报废的频率n
m （精确到0.001）
0
0.03
0.027
0.025
0.02
0.02
0.02
请估计这批物理实验模型成品的报废率约为_______（精确到0.01）；结合你的估计帮助工厂计算，至少还
需生产_______件产品才能完成订单的需求．
【答案】(1)工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为80 件
(2)0.02；41
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，用频率估计概率，解题的关键是理解
28
题意，根据等量关系列出方程．
（1）设工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为x 件，根据平均每天比原计划多加工20 件，那么能提早
5 天完成任务，列出方程，解方程即可；
（2）根据频率估计概率即可，设还需生产y 件产品才能完成订单的需求，根据题意列出不等式，求出至少
还要生产的件数即可．
【详解】（1）解：设工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为x 件，根据题意得：
2000
2000
5
20
x
x
，
解得：
1
80
x
，
2
100
x
，
经检验
80
x
是原方程的解，
答：工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为80 件；
（2）解：根据表格中的数据可知：模型报废的频率稳定在0.02，
∴这批物理实验模型成品的报废率约为0.02，
设还需生产y 件产品才能完成订单的需求，根据题意得：
1
0 02
2000
0 02
.
.
y
，
解得：
2000
49
y
，
∵y 必须取整数，
∴至少还需生产41 件产品才能完成订单的需求．
30．在一个不透明的口袋里装有n 个相同的红球，为了用估计绕中红球的数量，八（1）学生在数学实验分
组做摸球试验：将10 个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，
再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s
150
300
600
900
1260
1500
摸到白球的频数n
60
126
247
369
484
609
摸到白球的频率n
s
0.400
0.42
0.412
a
0.403
0.406
(1)按表格数据格式，表中的
a
______；
(2)请估计：当次数s 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
(3)请推算：摸到红球的概率是______（精确到0.1）；
(4)根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量n 的值．
29
【答案】(1)0.41
(2)0.4
(3)0.6
(4)15
【分析】本题考查了利用大量重复性实验得到的频率可以估计事件发生的概率．解题的关键是根据摸到白
球的频率得到相应的等量关系．
（1）直接根据
a
摸球的次数×摸到白球的频率计算即可；
（2）直接根据表中摸到白球的频率这一数据观察，看在何数附近摆动即可；
（3）先根据摸到白球的频率估计摸到白球的概率，再计算摸到红球的概率；
（4）用白球的个数÷摸到白球的频率求出球的总数，再减去白球的个数就得到红球的个数．
【详解】（1）解：
369
0.41
900
a
，
故答案为：0.41；
（2）通过表中的数据可以看出，随着实验次数的增多，摸到白球的频率越来越接近0.400，
所以当次数s 很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，
故答案为：0.4；
（3）∵当次数s 很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，
∴根据频率与概率的关系可得，摸到白球的概率为0.4，
∵袋子中只有白球，红球两种不同颜色的球．
∴摸到红球的概率为1 0.4
0.6
，
故答案为：0.6；
（4）∵白球一共有10 个，且摸到白球的频率是0.4．
∴袋中球的总个数为10
0.4
25
．
∴袋中红球的个数为25 10
15
．
即口袋中有红球15 个．
31．中华民族有种折纸玩具“东南西北”，每每想起都会带给我们美好的童年回忆．此玩具的制作方法：通过
折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南
西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．如图1 是小浩制作的一个“东南西北”玩具，
展开后如图2 所示：
30
(1)随机挑选出的一面写有“文具”是_______；（填写选项）
A．必然事件
B．随机事件
C．不可能事件
(2)转动一次获得奖励“图书”的概率为______
(3)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品，经过多次实
验后得到数据如下：
试验次数
8
24
40
80
160
获得“钢笔”的次数
2
10
16
28
60
根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为______．
【答案】(1)B
(2) 3
8
(3)3
【分析】此题考查了频率估计概率、事件的分类、概率公式等知识，熟练掌握频率估计概率是解题的关键．
（1）根据事件的分类进行解答即可；
（2）根据概率公式进行解答即可；
（3）利用频率估计概率进行解答即可．
【详解】（1）解：随机挑选出的一面写有“文具”是随机事件，
故选：B
（2）转动一次共有8 中等可能的结果，转动一次获得奖励“图书”的情况数为3 种，故转动一次获得奖励“图
书”的概率为3
8 ，
故答案为：3
8
31
（3）根据表格估算，随着试验次数的增加，八面中写有奖品“钢笔”的面数的频率稳定在3
8 左右，则八面中
写有奖品“钢笔”的面数为3．
故答案为：3
32．数学兴趣小组为探究事件A 发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表
试验总次数n
100
200
300
400
500
600
事件A 出现的次数m
24
48
b
104
125
150
事件A 发生的频率m
n
a
0.24
0.25
0.26
0.25
0.25
(1)上表中
a
，b
；
(2)根据上表，完成图2 的折线统计图；
(3)请你举出一个事件，使它发生的概率符合事件A 发生的概率．
【答案】(1)0.24；75
(2)见解析
(3)有四张扑克牌，分别写有1、2、3、4 四个数据，随意拿出一张，正好是1 的概率（答案不唯一）
【分析】本题考查了频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键．
（1）根据题意，得
24
0.24
100
a
，
0.25
300
b
，解答即可．
（2）根据题意，画出图即可；
（3）答案不唯一，只要事件的概率为0.25即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
24
0.24
100
a
，
0.25
300
b
，
解得
75
b
，
故答案为：0.24；75．
（2）根据题意，折线图画图如下：
32
（3）有四张扑克牌，分别写有1、2、3、4 四个数据，随意拿出一张，正好是1 的概率．
33．某网络约车公司近期推出了“520 专享”服务计划，即要求公司员工做到“5 星级服务、2 分钟响应、0 客
户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况，老王收集了本公司
的5000 个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200 个数据作为一
个样本，整理、统计结果如下表．
组别
“单次营运里程x”（公里）
频数
第一组
0
5
x
72
第二组
5
10
x
a
第三组
10
15
x
26
第四组
15
20
x
24
第五组
20
25
x
30
根据统计表提供的信息，解答下面的问题：
(1)①表中
a
______：②样本中“单次营运单程”不超过15 公里的频率为______；
(2)请估计该公司这5000 个“单次营运里程”超过20 公里的次数；
(3)为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4 名网约车司机（2 男2 女）成立交通秩序，请用列
举法（画树状图或列表）求出至少有1 名男司机的概率．
【答案】(1)①48；②0.73；
(2)超过20 公里的次数是750 次；
(3)图形见解析，P （至少有1 名男生
5
)
6
．
【分析】本题考查了列表法与树状图法∶利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合
事件A 或B 的结果数目，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率，也考查了统计图和统计表，要熟练从统
计图表中得出解题所需数据．
33
(1)①用总数减去其他的频数就能直接得出a 的值；②用第一、二、三组的频数和除以总数量可得；
(2)用总数量乘以样本中“单次营运里程”超过20 公里的次数所占比例即可得；
(3)画列表法或树状图展示所有12 种等可能的结果数，找出抽到至少有1 名男司机的结果数，然后根据概率
公式求解．
【详解】（1）解：①
200
72
26
24
30
48
a
；
②72
48
26
0.73
200
，
故答案为①48；②0.73
（2）
30
5000
750
200
（次）
（3）列表法如下：
男1
男2
女1
女2
男1
男1，男2
男1，女1
男1，女2
男2
男2，男1
男2，女1
男2，女2
女1
女1，男1
女1，男2
女1，女2
女2
女2，男1
女2，男2
女2，女1
总共有12 种等可能性结果，其中符合条件的有10 种．
P
（至少有1 名男生
10
5
)
12
6
．
34．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20 个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑
球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上
述过程，得到下表中的一组统计数据：
摸球的次数n
50
100
300
500
800
1000
2000
摸到白球的次数m
14
33
95
155
241
298
602
摸到白球的频率m
n
0.28
0.33
0.317
0.31
0.301
0.298
0.301
(1)请你估计，当n 很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）；
34
(2)若先从袋子中取出
1
x x
个黑球，再从袋子中随机摸出1 个球，若“摸出白球”为必然事件，则x ；
(3)若先从袋子中取出x 个白球，再放入x 个一样的黑球并摇匀，随机摸出1 个白球的概率为1
4 ，求x 的值．
【答案】(1)0.3
(2)14
(3)1
【分析】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体
数目=总体数目×相应频率．
（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到白球的频率逐渐靠近于0.3，
（2）根据白球的频率逐渐靠近于0.3，从而得出摸到白球的概率，再用总球的个数乘以白球的概率即可得
出盒子里白球的数量；根据盒子里有14 个黑球，再根据“摸出白球”为必然事件，从而得出
14
x
；
（3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近0.3，
故答案为：0.3；
（2）由（1）得白球的概率为0.3，
故盒子里白球的数量为：20 0.3
6
(个)，
∴盒子里有20
6
14
个黑球，
∵若先从袋子中取出
1
x x
个黑球，再从袋子中随机摸出1 个球，盒子里有14 个黑球，“摸出白球”为必
然事件，
14
x
，
故答案为：14；
（3）由（2）知白球6 个，黑球14 个，
根据题意得：
6
1,
6
14
4
x
x
x
解得：
1
x ，
则x 的值为1．
35．某校开展生物项目式实践研究活动，老师带领同学们通过动手实验和查阅资料相结合的方式认识植物，
下表记录了某种植物种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数
100
400
900
1500
2500
4000
6000
10000
35
发芽种子个数
92
352
818
1336
2255
3604
5406
9011
发芽种子频率（结果保留小数点后三位）
0.920
0.880
0.909
0.891
0.902
0.901
0.901
0.901
实践活动结束，该校组织七、八年级学生开展了一次学习成果竞赛，成绩分别为A、B、C、D 四个等级，
其中相应等级的得分依次记为10 分、9 分、8 分、7 分．学校分别从七、八年级各抽取25 名学生的竞赛成
绩整理并绘制成如下统计图表．
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
8.76
a
9
1.06
八年级
8.76
8
b
1.38
七年级竞赛成绩统计图
八年级竞赛成绩统计图
(1)
a
__________，b __________．
(2)请用数据分析哪个年级学生的成绩比较稳定？
(3)本次竞赛规定9 分及以上的成绩为优秀，请估计八年级700 名学生中成绩为优秀的学生人数有多少？
(4)根据表中的数据，可估计该植物种子发芽的概率为__________．（结果保留小数点后三位）
【答案】(1)9，10
(2)七年级成绩比较稳定
(3)336人；
(4)0.901
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体和利用频
率估计概率．
（1）根据中位数和众数的定义进行解答即可；
（2）根据平均数和方差进行分析即可；
36
（3）用总人数乘以优秀的百分比即可；
（4）用发芽种子频率的平均数估计概率即可．
【详解】（1）七年级成绩由高到低排在第13位的是B 等级9分，
9
a
，
八年级A 等级人数最多，
10
b
，
故答案为：9，10
（2）七、八年级平均分相同，七年级方差小于八年级，说明七年级成绩波动较小，故七年级成绩比较稳定；
（3）本次竞赛规定9分及以上的成绩为优秀，估计八年级700 名学生中成绩为优秀的学生约
700
44%
4%
336
（人），
答：估计八年级700 名学生中成绩为优秀的学生人数有336人；
（4）根据表中数据，该植物种子发芽的概率为
0.920
0.880
0.909
0.891 0.902
0.901 0.901 0.901
0.900625
8
结果保留小数点后三位，
0.900625
0.901
，
即估计该植物种子发芽的概率为0.901．
故答案为：0.901
36．在一个不透明的箱子里装有若干张无奖卡，现将20 张有奖卡放入箱子（所有卡片形状、大小、材质均
相同）．搅匀后从中随机摸出一张卡，记下是否有奖，再将它放回箱子中，不断重复此过程，获得如下频数
表：
摸卡的次数n
20
50
80
120
200
300
摸到有奖卡的次数m
3
5
9
11
21
31
摸到有奖卡的频率m
n
0.150
0.100
0.113
0.092
0.105
0.103
(1)若从箱子里随机摸一张卡，估计有奖的概率为______（精确到0.1）；
(2)请估算出箱子里无奖卡的数量；
(3) A
B
，两位同学各抽得一张有奖卡，两人均获得一张文艺演出的入场券，如图所示，他们各要在编号为
①②③的三个座位上选一个坐下，请求出A
B
，坐到相邻座位的概率．（画树状图或列表分析问题）
37
①
②
③
【答案】(1)0.1；
(2)180张；
(3) 2
3 ．
【分析】（1）用频率估计概率即可求解；
（2 ）设箱子里无奖卡的数量为x 张，由题意可得
20
0.1
20
x
，解方程即可求解；
（3 ）根据题意，列出表格，求出总的结果数和A
B
，坐到相邻座位的结果数，利用概率公式计算即可求解；
本题考查了用频率估计概率，利用概率求总量，用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法是解
题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，随着实验次数的增加，摸到有奖卡的频率稳定在0.1附近，
∴从箱子里随机摸一张卡，估计有奖的概率为0.1，
故答案为：0.1；
（2）解：设箱子里无奖卡的数量为x 张，
由题意可得，
20
0.1
20
x
，
解得
180
x
，
经检验，
180
x
是原方程的解，
∴箱子里无奖卡的数量为180张；
（3）解：由题意得，列表如下：
①
②
③
①
,
②①
,
③①
②
①,②
,
③②
③
,
①③
,
②③
由表可得，共有6种结果，其中的结果有4 种，
38
∴A
B
，坐到相邻座位的概率
4
2
6
3
．
