第09 讲二次函数y=a(x-h)²+k 的图象和性质
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 二次函数y=ax²+k 的图象和性质
题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质
题型3 二次函数y=a(x-h)²+k 的图象和性质
题型4 二次函数的平移
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
顶点式、平移、左加右
减、上加下减、顶点坐
标、对称轴。
1. 掌握二次函数y=a(x-h)²+k 与y=ax²图象的平移关系（左加右减、上加下减）。
2. 能直接说出抛物线的顶点坐标(h,k) 、对称轴（直线x = h）及开口方向。
3. 能运用描点法或平移法画出y=a(x-h)²+k 的图象，并归纳其性质（增减性、
最值）。
4. 体会数形结合与转化的数学思想，提升从一般式到顶点式的化归意识。
学习重点：顶点坐标
(h,k) 与对称轴x = h 的确定，以及图象平移的规律。
学习难点：理解平移规律中“左加右减”为什么对x 的变化是反向的，以及灵活运用顶点式分析二次
函数的性质。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数y=ax²+k 的图象和性质
一、基本形式与顶点坐标
- 顶点坐标：(0, k)
- 对称轴：x = 0（即y 轴）
- 相当于将y = ax2 的图象上下平移|k|个单位
二、图象特征（取决于a 与k）
1. 开口方向
- a > 0：开口向上→有最小值k
- a < 0：开口向下→有最大值k
2. 开口大小（形状）
- 由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽
- 形状与y = ax2 完全相同，只是整体上移或下移
3. 顶点位置
- 始终在y 轴上：(0, k)
- k > 0：顶点在x 轴上方
- k = 0：顶点在原点(0,0)
- k < 0：顶点在x 轴下方
4. 与x 轴的交点（根的情况）
解方程ax2 + k= 0
⇒x2 = −
�
�
条件
交点个数
交点坐标
−
�
�> 0
2 个
(±
−
�
�,0)
−
�
�= 0（即k=0）
1 个（切点）
(0,0)
−
�
�< 0
0 个
无实数交点
5. 与y 轴的交点
- 令x = 0 ⇒y = k
- 交点：(0, k) —— 正好是顶点
三、函数性质
1. 定义域：全体实数
2. 值域:a > 0 ：y≥k;
a<0 ：y≤k
3. 单调性
当a > 0 时：在x≤0 上单调递减;在x≥0 上单调递增
当a < 0 时：在x≤0 上单调递增;在x≥0 上单调递减
4. 最值
- a > 0：最小值ymin= k（在x=0 处）
- a < 0：最大值ymax= k（在x=0 处）
四、与y = ax2 的平移关系
变换
函数
顶点
基础
y = ax2
(0,0)
向上平移k 单位（k>0 ）
y = ax2+ k
(0,k)
向下平移|k|单位（k<0）
y = ax2+ k
(0,k)
注意：只有上下平移，没有左右平移。
五、图象画法
方法（利用对称性）：
1. 确定顶点(0, k)
2. 确定对称轴x = 0
3. 取x = 1, 2, … 计算y
4. 利用对称性得到x = -1, -2,…的点
5. 平滑连线
【易错提醒】
图象由y=ax2 上下平移|k|个单位（k>0 上移，k<0 下移）。顶点(0,k)，对称轴y 轴。注意a 决定开口方向与大
小，勿忽略平移方向。
即时即练1．关于二次函数
2
4
y
x
，以下说法正确的是（
）
A．函数图像开口向上
B．y 的最大值为4
C．图像的对称轴为直线
0
y
D．y 随x 的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口
方向、最值、对称轴及单调性．
【详解】解：∵二次函数为
2
4
y
x
，其中
1
a ，
0
b
，
4
c
，
∴对于A：∵
1
0
a
，∴开口向下，A 错误；
对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标
/ 2
0
x
b
a
，代入得
4
y
，∴y 的最大值为4，
B 正确；
对于C：对称轴为直线
0
2
b
x
a
，即
0
x
，而非
0
y
，C 错误；
对于D：∵开口向下，对称轴
0
x
，∴当
0
x
时，y 随x 增大而增大；当
0
x
时，y 随x 增大而减小，D
错误．
故选：B．
2．已知函数
2
1
3
y
x
和
2
1
2
3
y
x
．
(1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）由函数解析式，列表可得
x
2
1
0
1
2
2
1
3
y
x
4
3
1
3
0
1
3
4
3
2
1
2
3
y
x
10
3
7
3
2
7
3
10
3
描点、连线、画出这两个函数的图象，如下图所示：
(2)解：函数
2
1
3
y
x
：开口向下，对称轴为直线
0
x
，顶点坐标为
0,0 ；
函数
2
1
2
3
y
x
：开口向下，对称轴为直线
0
x
，顶点坐标为
0, 2
知识点02 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质
一、基本形式与顶点坐标
- 顶点坐标：(h, 0)
- 对称轴：直线x = h
- 相当于将y = ax2 的图象左右平移|h|个单位
二、图象特征（取决于a 与h）
1. 开口方向
- a > 0 ：开口向上→有最小值0
- a < 0 ：开口向下→有最大值0
2. 开口大小（形状）
- 由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽
- 形状与y = ax2 完全相同，只是整体左移或右移
3. 顶点位置
- 始终在x 轴上：(h, 0)
- h > 0：顶点在y 轴右侧
- h = 0：顶点在原点(0,0)
- h < 0：顶点在y 轴左侧
4. 与x 轴的交点
解方程a(x - h)2 = 0 ⇒(x - h)2 = 0
⇒x = h
- 只有一个交点（切点）：(h, 0)—— 正好是顶点
5. 与y 轴的交点
- 令x = 0 ⇒y = a(0 - h)2 = ah2
- 交点：(0, ah2)
三、函数性质
1. 定义域：全体实数
2. 值域:a > 0 ：y≥0;
a<0 ：y≤0
3. 单调性
当a > 0 时：在x≤h 上单调递减;在x≥h 上单调递增
当a < 0 时：在x≤h 上单调递增;在x≥h 上单调递减
4. 最值
- a > 0：最小值ymin= 0（在x=h 处）
- a < 0：最大值ymax= 0（在x=h 处）
四、与y = ax2 的平移关系
变换
函数
顶点
基础
y = ax2
(0,0)
向右平移h 单位( h>0）
y = a(x - h)2
(h,0)
向左平移h 单位( h>0
y = a(x - h)2
(h,0)
> 注意：只有左右平移，没有上下平移。
> 符号记忆：\( x - h = 0 \) ⇒\( x = h \)，顶点在正\( h \) 处。
五、图象画法
方法（利用对称性）：
1. 确定顶点(h, 0)
2. 确定对称轴x = h
3. 取x = h±1, h±2,…计算y
4. 平滑连线
【易错提醒】
图象由y=ax2 左右平移|h|个单位（h>0 右移，h<0 左移）。顶点(h,0)，对称轴x=h。注意平移方向易反（“左
加右减”指解析式内对x 的操作）。
即时即练1．对于二次函数
2
2
3
y
x
的图象，下列说法不正确的是（
）
A．开口向下
B．对称轴是直线
3
x
C．顶点坐标为
3,0
D．当
3
x 时，y 随x 的增大而减小
【答案】D
【分析】根据二次函数
2
y
a x
h
的顶点坐标为
0
h，，对称轴为x
h
，当
0
a
时，函数图象开口向上，
当
0
a
时，函数图象开口向下，即可进行解答．
【详解】解：A、∵
2
0
a
，
∴函数图象开口向下，故A 正确，不符合题意；
B、对称轴是直线
3
x ，故B 正确，不符合题意；
C、顶点坐标为
3 0
，，故C 正确，不符合题意；
D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线
3
x ，
∴当
3
x 时，y 随x 的增大而增大，故D 不正确，符合题意．
2．已知二次函数
2
1
2
2
y
x
．
(1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象；
(2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(3)若1
6
x
，求y 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)对称轴为直线
2
x
，顶点坐标为
2,0
(3)0
8
y
【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象；
（2）根据二次函数的图象及性质即可解答；
（3）求出当
1
x 和
6
x
时的函数值，结合函数图象即可解答．
【详解】（1）解：列表：
x
…
0
1
2
3
4
…
2
1
2
2
y
x
…
2
1
2
0
1
2
2
…
描点，连线
（2）解：该二次函数图象的对称轴为直线
2
x
，顶点坐标为
2,0 ．
（3）解：当
1
x 时，
2
1
9
1
2
2
2
y
，
当
6
x
时，
2
1 6
2
8
2
y
，
∴由图象可得1
6
x
时，0
8
y
．
知识点03 二次函数y=a(x-h)²+k 的图象和性质
一、基本形式与顶点坐标
- 顶点坐标：(h, k)
- 对称轴：直线x=h
- 这是二次函数的顶点式，能直接读出顶点位置。
二、图象特征（取决于a, h, k）
1. 开口方向
-
a > 0：开口向上→有最小值k
-
a < 0：开口向下→有最大值k
2. 开口大小（形状）
- |a|决定开口宽窄：|a| 越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽
- 与y = ax2 的形状完全相同，只是位置平移
3. 顶点位置
- h 控制左右平移：h>0 向右移，h<0 向左移
-k 控制上下平移：k>0 向上移，k<0 向下移
4.对称轴:始终是x=h，是一条竖直直线
三、函数性质
1. 定义域：全体实数
2. 值域:a > 0 ：y≥k;
a<0 ：y≤k
3. 单调性
当a > 0 时：在x≤h 上单调递减;在x≥h 上单调递增
当a < 0 时：在x≤h 上单调递增;在x≥h 上单调递减
4. 最值
- a > 0：最小值ymin= k（在x=h 处），无最大值
- a < 0：最大值ymax= k（在x=h 处），无最小值
【易错提醒】
顶点(h,k)，对称轴x=h。注意平移：h>0 右移，k>0 上移（“左加右减，上加下减”是对x 和y 的操作）。\(a\)
决定开口方向与大小。勿混淆顶点坐标符号。
即时即练1．对于抛物线
2
7
2
1
y
x
，下列说法正确的是（
）．
A．图象与y 轴无交点
B．当
0
x
时，y 随x 的增大而增大
C．当
2
x
时，y 有最小值1
D．图象的顶点坐标为
2, 1
【答案】C
【分析】根据二次函数的顶点式
2
y
a x
h
k
的性质，逐项分析，即可求解．
【详解】解：对于抛物线
2
7
2
1
y
x
，顶点坐标为
2, 1
，对称轴为直线
2
x
；
∵
7
0
a
，
∴抛物线的开口向上，
对A 选项：令
0
x
，则
2
7
2
1
27
y
，即抛物线与y 轴交点为
0,27 ，故A 选项说法错误，不符合
题意；
对B 选项：当
2
x
时，y 随x 的增大而增大，当
2
x
时，y 随x 的增大而减小，故B 选项说法错误，不符
合题意；
对C 选项：当
2
x
时，y 有最小值1
；故C 选项说法正确，符合题意；
对D 选项：抛物线
2
7
2
1
y
x
的顶点坐标为
2, 1
，故D 选项说法错误，不符合题意．
2．已知函数
2
1
2
y
x
，
2
1 (
2)
2
2
y
x
和
2
1 (
2)
3
2
y
x
．
(1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试讨论函数
2
1 (
2)
3
2
y
x
的性质．
【答案】(1)
解：列表：
x
…
2
1
0
1
2
…
2
1
2
y
x
…
2
1
2
0
1
2
2
…
列表：
x
…
4
3
2
1
0
…
2
1
2
2
2
y
x
…
4
5
2
2
5
2
4
…
列表：
x
…
4
3
2
1
0
…
2
1
2
3
2
y
x
…
1
5
2
3
5
2
1
…
如图所示为所求：
(2)
2
1
2
y
x
：开口向上，对称轴为直线
0
x
，顶点坐标为
0,0 ；
2
1 (
2)
2
2
y
x
：开口向上，对称轴为直线
2
x ，顶点坐标为
2,2
；
2
1 (
2)
3
2
y
x
：开口向上，对称轴为直线
2
x ，顶点坐标为
2, 3
.
(3)
函数
2
1 (
2)
3
2
y
x
开口向上，对称轴为直线
2
x ，当
2
x 时，y 随x 的增大而减小，当
2
x 时，y 随
x 的增大而增大.函数有最小值，最小值为3
．
【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可；
（2）利用顶点式二次函数的特征，可直接得到开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）观察图象即可解决问题．
【详解】（1）略
（2）解：对于顶点形式的二次函数
2
(
)
y
a x
h
k
，a 决定开口方向，对称轴为直线x
h
，顶点坐标为( , )
h k ．
对于
2
1
2
y
x
，
1
0
2
a
，
0
h
，
0
k
，因此开口向上，对称轴为直线
0
x
，顶点坐标为(0,0) ．
对于
2
1 (
2)
2
2
y
x
，
1
0
2
a
，
2
h ，
2
k
，因此开口向上，对称轴为直线
2
x ，顶点坐标为
2,2
．
对于
2
1 (
2)
3
2
y
x
，
1
0
2
a
，
2
h ，
3
k ，因此开口向上，对称轴为直线
2
x ，顶点坐标为
2, 3
．
（3）解：函数
2
1 (
2)
3
2
y
x
开口向上，对称轴为直线
2
x ，
因此当
2
x 时，y 随x 的增大而减小，当
2
x 时，y 随x 的增大而增大，当
2
x 时，y 有最小值3
．
知识点04
二次函数y=a(x-h)²+k 与y = ax2 的平移关系
1. 左右平移h 个单位：
- h > 0：向右平移h
- h < 0：向左平移|h|
- 得到y = a(x - h)2
2. 上下平移k 个单位：
- k > 0：向上平移k
- k < 0：向下平移|k|
- 最终得到y = a(x - h)2 + k
> 注意顺序：先左右，后上下。
【易错提醒】
y=ax2 向右平移h 单位得y=a(x-h)2（h>0），向上平移k 单位得y=ax2+k。注意“左加右减”是x 替换为x+h；“上
加下减”直接加在常数项。勿反方向。
即时即练1．将二次函数
2
2(
3)
1
y
x
的图象向左平移2 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，所得
图象的函数解析式为__________．
【答案】
2
2(
1)
2
y
x
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解.
【详解】解：将二次函数
2
2(
3)
1
y
x
的图象向左平移2 个单位长度，根据平移规律可得：
2
2
2(
3
2)
1
2(
1)
1
y
x
x
再将所得图象向下平移3 个单位长度，可得：
2
2
2(
1)
1 3
2(
1)
2
y
x
x
，即
2
2(
1)
2
y
x
2．把抛物线
2
y
a x
h
k
先向左平移3 个单位，再向上平移4 个单位，得到抛物线
2
1
1
1
2
y
x
．
(1)试确定a，h，k 的值；
(2)若以x 轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式．
【答案】(1)
1
2
a
，
2
h ，
5
k
(2)
2
1
2
5
2
y
x
【分析】本题考查抛物线的平移与翻折，掌握平移与翻折规律是解题的关键．
（1）根据抛物线平移规律，向左平移3 个单位则x 替换为
3
x ，向上平移4 个单位则函数值加4，比较平
移后的抛物线方程可得a，h，k 的值；
（2）求出原抛物线顶点关于x 轴的对称点，沿x 轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线
相反，由此可解．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线
2
1
1
1
2
y
x
向下平移4 个单位，再向右平移3 个单位，可得
2
y
a x
h
k
，
抛物线
2
y
a x
h
k
为：
2
2
1
1
1 3
1 4
2
5
2
2
y
x
x
，
1
2
a
，
2
h ，
5
k ；
（2）解：抛物线
2
1
2
5
2
y
x
的顶点坐标为
2, 5
，
点
2, 5
关于x 轴的对称点为
2,5 ，沿x 轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线相反，
所得抛物线的函数表达式为
2
1
2
5
2
y
x
．
题型1 二次函数y=ax²+k 的图象和性质
【例1】对于抛物线
2
2
1
y
x
，下列结论不．正确的是（
）
A．对称轴是y 轴
B．与x 轴没有交点
C．有最小值1
D．当
1
x 时，y 随x 增大而增大
【答案】B
【分析】本题主要考查抛物线的性质，根据题意，抛物线
2
2
1
y
x
的对称轴为y 轴，有最小值1
，且在
0
x
时单调递增；但与x 轴有两个交点，故B 选项错误．
【详解】∵抛物线
2
2
1
y
x
，
2
0
0
1
a
b
c
，
，
，
∴对称轴
0
2
b
x
a
，即y 轴，A 正确，不符合题意；
令
0
y
，得
2
2
1
0
x
，解得
2
2
x
，故与x 轴有两个交点，B 错误，符合题意；
∵
0
a
，对称轴
0
x
，且
0
x
时，
1
y ，
抛物线
2
2
1
y
x
的顶点为
0, 1
，故抛物线有最小值1
，C 正确，不符合题意；
∵
0
a
，对称轴
0
x
，
∴当
0
x
时，y 随x 增大而增大，
故当
1
x 时，y 随x 增大而增大，故D 正确，不符合题意．
故选：B．
【例2】抛物线
2
2
y
x
，
2
2
1
y
x
，
2
3
y
x
共有的性质是(
)
A．开口向上
B．顶点坐标都是
0,0
C．对称轴是y 轴
D．在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；分别分析
每个二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，找出共同点即可．
【详解】解：对于
2
2
y
x
：
∵
2
0
a
，
∴开口向上，顶点
0,0 ，对称轴为y 轴，在
0
x
时y 随x 增大而增大；
对于
2
2
1
y
x
：
∵
2
0
a
，
∴开口向下，顶点
0, 1
，对称轴为y 轴，在
0
x
时y 随x 增大而减小；
对于
2
3
y
x
：
∵
1
0
a
，
∴开口向下，顶点
0,3 ，对称轴为y 轴，在
0
x
时y 随x 增大而减小；
综上，三条抛物线对称轴均为y 轴；
故选C．
【技巧归纳】
抛物线y=ax²+k 以y 轴为对称轴，顶点(0,k)。a 决定开口方向与大小，a>0 开口向上，a<0 向下；k 决定上
下平移。利用顶点坐标直接分析最值、单调性、平移规律。
【变式1-1】对于抛物线
2
2
4
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．该函数图象开口向上；
B．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小；
C．当
0
x
时，取得最小值
4
y
；
D．当2
1
x
时，y 的取值范围是4
2
y
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：∵2
0
，
∴该函数图象开口向下，故A 选项错误，不符合题意；
∵抛物线
2
2
4
y
x
的对称轴为直线
0
x
，
∴当
0
x
时，y 随x 的增大而减小，当
0
x
时，y 随x 的增大而增大，当
0
x
时，取得最大值
4
y
，故B
选项正确，符合题意；C 选项错误，不符合题意；
∵
0
2
1 0
，
∴当2
1
x
时，
2
x 时，取得最小值，最小值为4
，
∴当2
1
x
时，y 的取值范围是4
4
y
，故D 选项错误，不符合题意；
故选：B
【变式1-2】【探究】如图，已知抛物线
2
4
y
x
．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）：
(2)该抛物线
2
4
y
x
可由抛物线
2
y
x
向______平移______个单位得到；
(3)当1
3
y
时，x 的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)上，4
(3)
5
1
x
或1
5
x
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解
题的关键．
（1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为
0,4 ，经过点
1,3
，
1,3 ，
2,0
，
2,0 ，即可
画出大致图象；
（2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可；
（3）先求得
1
y 和
3
y 时，x 的值，然后结合（1）中图象即可得出结论．
【详解】（1）解：
2
4
y
x
，
该抛物线的顶点坐标为
0,4 ，开口向下，
令
0
y
，则
2
x ，即该抛物线经过点
2,0
，
2,0 ，
令
3
y ，则
1
x ，即该抛物线经过点
1,3
，
1,3 ，
所以此抛物线的大致图象如下图即为所求：
（2）解：由上加下减的原则可得，
2
y
x
向上平移4 个单位可得出
2
4
y
x
．
故答案为：上，4．
（3）解：当
1
y 时，
2
4
1
x
，解得
5
x
，
当
3
y 时，
2
4
3
x
，解得
1
x ，
结合（1）中图象可知，当1
3
y
时，x 的取值范围为：
5
1
x
或1
5
x
．
故答案为：
5
1
x
或1
5
x
．
题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质
【例3】已知抛物线
2
3
y
x
，下列结论错误的是（
）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线
3
x
C．抛物线的顶点坐标为
3,0
D．当
10
x
时，y 随x 的增大而减小
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可.
【详解】解：∵
2
3
y
x
，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线
3
x ，顶点坐标为
3,0
，
∴当
3
x 时，y 随x 的增大而减小，
∴当
10
x
时，y 随x 的增大而减小；
综上，只有选项C 错误.
【例4】对于二次函数
2
2
3
y
x
的图象，下列说法正确的是（
）
A．开口向上
B．当
3
x 时，y 的值随x 值的增大而减小
C．对称轴是直线
3
x
D．顶点坐标为
2, 3
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式
2
y
a x
h
k
，分析开口方向、对称轴、
顶点坐标和增减性逐一排除即可，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵
2
2
2
3
2
3
y
x
x
，
∴2
0
，即开口向下，对称轴为
3
x ，顶点坐标为
3,0
，
A 、开口向下，原选项错误，不符合题意；
B 、由于
0
a
，则当
3
x 时，y 的值随x 值的增大而减小，原选项正确，符合题意；
C 、对称轴为
3
x ，原选项错误，不符合题意；
D 、顶点坐标为
3,0
，原选项错误，不符合题意；
故选：B ．
【技巧归纳】
抛物线y=a(x-h)² 顶点(h,0)，对称轴x=h。a 决定开口方向与大小，h 决定左右平移。函数在x=h 处取最值
0；增减性以对称轴为界。平移规律：左加右减（对x）。
【变式2-1】对于二次函数
2
3
3
y
x
的图象，下列说法错误的是（
）
A．顶点坐标为
3,0
B．
3
x 时，y 的值随x 值的增大而减少
C．对称轴为
3
x
D．函数的最小值为0
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵
2
3
3
y
x
，
∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线
3
x ，顶点坐标为
3,0
，
∴
3
x 时，y 的值随x 值的增大而减少，当
3
x 时，函数的最大值为0；
综上，只有选项D 说法错误；
故选D．
【变式2-2】已知二次函数
2
1
y
x
，函数值y 和自变量x 的部分对应取值如表所示：
x
…
1
0
1
2
3
…
y
…
4
1
0
m
n
…
(1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________．
(2)在图中画出二次函数的图像．
(3)当x___________时，y 随x 增大而减小，当x___________时，y 随x 增大而增大．
【答案】(1)1，4 ，
1,0
(2)图像见解析
(3) <1；>1
【分析】（1）将
2
x
，
3
x
分别代入
2
1
y
x
即可得到m 、n 的值，然后根据二次函数的顶点式得出顶
点坐标；
（2）用描点法画出二次函数的图像即可；
（3）由二次函数
2
1
y
x
的解析式可知，对称轴为直线：
1
x ，然后根据图像利用二次函数的性质解决
问题即可．
【详解】（1）解：当
2
x
时，
2
2 1
1
y
，即
1
m ；
当
3
x
时，
2
3 1
4
y
，即
4
n
，
由二次函数
2
1
y
x
得，顶点坐标为：
1,0 ，
故答案为：1，4 ，
1,0 ；
（2）如图，
（3）观察问题（2）图像可知：
当<1
x
时，y 随x 增大而减小，当>1
x
时，y 随x 增大而增大．
故答案为：<1；>1．
题型3 二次函数y=a(x-h)²+k 的图象和性质
【例5】对于二次函数
2
3
1
7
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．当
1
x 时，y 有最大值为7
B．图象的对称轴是直线
1
x
C．图象的对称轴是直线
1
x
D．当
1
x 时，y 随x 的增大而增大
【答案】B
【详解】解：∵二次函数
2
3
1
7
y
x
，3
0
，
∴当
1
x 时，y 有最大值为7，故A 选项说法错误，不符合题意；
图象的对称轴是直线
1
x ，故B 选项说法正确，符合题意；C 选项说法错误，不符合题意；
当
1
x 时，y 随x 的增大而减小，故D 选项说法错误，不符合题意．
【例6】关于二次函数
2
2
3
y
x
，下列结论错误的是（
）．
A．图象开口向下
B．最小值为3
C．对称轴为直线
2
x
D．顶点为
2, 3
【答案】B
【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质，逐一判断各选项即可．
【详解】解：∵
2
2
3
y
x
，
∴顶点坐标为
2, 3
，故D 正确；二次函数的对称轴为直线
2
x ，故C 正确；
∵
1
0
a
，
∴二次函数的图象开口向下，故A 正确；
∴二次函数在顶点处取得最大值3
，故B 错误．
【技巧归纳】
顶点式：顶点(h,k)，对称轴x=h。a 决定开口方向与大小，a>0 开口向上有最小值k，a<0 向下有最大值k。
平移：h 左右，k 上下。增减性以对称轴为界，可直接得最值。
【变式3-1】已知二次函数
2
1
2
y
a x
（其中a 是常数，且
0
a
），下列叙述中正确的是（
）
A．当
0
a
时，二次函数图象开口向下
B．二次函数图象与y 轴的交点的坐标为
0,2
C．顶点坐标是
1,2
D．当
0
a
时，顶点是二次函数图象的最低点
【答案】C
【分析】二次项系数大于0，则函数图象开口向上，二次项系数小于0，则函数图象开口向下，且函数图象
有最高点，据此可判断A、D；求出
0
x
时，y 的值可判断B；根据解析式可得顶点的坐标，则可判断C．
【详解】解：A、当
0
a
时，二次函数图象开口向上，原说法错误，不符合题意；
B、当
0
x
时，
2
0
1
2
2
y
a
a
，则二次函数图象与y 轴的交点的坐标为
0,
2
a
，
∵
0
a
，
∴
2
2
a
，
∴二次函数图象与y 轴的交点的坐标不是
0,2 ，原说法错误，不符合题意；
C、由解析式可得顶点坐标为
1,2
，原说法正确，符合题意；
D、当
0
a
时，顶点是二次函数图象的最高点，原说法错误，不符合题意；
【变式3-2】已知抛物线L：
2
2
y
a x
m
经过点
1, 1
m
，其顶点为M．
(1)用含m 的式子表示；
①直接写出顶点M 的坐标；
②直接写出点
1, 1
m
关于抛物线L 的对称轴对称的点的坐标；
③求抛物线L 的表达式．
(2)当
1
m 时，求与抛物线L 关于直线
2
y
成轴对称的抛物线T 的表达式（结果用二次函数的一般式表示）．
(3)规定：抛物线L 与直线l：
2
y
m
所围成的封闭图形的边界上，纵坐标为整数的点叫做“美点”．当1
1
2
m
时，直接写出封闭图形边界上“美点”的个数．
【答案】(1)①
, 2
m
；②
1, 1
m
；③
2
2
y
x
m
(2)
2
2
5
y
x
x
(3)无数或1
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，
（1）①根据顶点式
2
y
a x
h
k
对应的顶点坐标为
,h k ，直接写出结果即可；
②根据顶点式
2
y
a x
h
k
对应的对称轴为直线x
h
，先求出对称轴，再利用点关于平行于y 轴的直线
对称的坐标特征求解即可；
③代入点
1, 1
m
，求出a 的值即可；
（2）先求出抛物线L 的顶点关于直线
2
y
对称的点的坐标，从而得到抛物线T 的顶点式，再将顶点式转
化为一般式即可；
（3）由m 的范围求出直线l 的位置，根据图象判断封闭图形的特征，找出“美点”的个数即可．
【详解】（1）解：①由抛物线的顶点式，可知点M 的坐标为
, 2
m
；
②由抛物线的顶点式，可知抛物线的对称轴为直线x
m
，
故
1, 1
m
关于直线x
m
对称点的坐标为
1, 1
m
；
③将点
1, 1
m
的坐标代入
2
2
y
a x
m
，得
2
1
1
2
a m
m
，
解得
1
a ，
故抛物线的表达式为：
2
2
y
x
m
；
（2）解：当
1
m 时，抛物线L 的顶点坐标为
1, 2
，
∴点
1, 2
关于直线
2
y
的对称点为
1,6 ，
由抛物线关于平行于x轴的直线对称的变化规律可知，对称后的得到的抛物线T的表达式为
2
1
6
y
x
，
∴抛物线T 的表达式为
2
2
1
6
2
5
y
x
x
x
；
（3）解：由题意，可知，当1
1
2
m
时，2
1
y
，
作示意图如下：
由图，顶点
, 2
m
一定在封闭图形的边界上，且符合“美点”的定义，
由图，封闭图形的边界上的点的纵坐标的范围为2
1
y
，故只存在
1
y 和
2
y 两种纵坐标为整数的
情况，
由图，当
1
2
m
时，
2
1
y
m
，此时封闭图形由直线
1
y 被抛物线所截部分线段的纵坐标均为1
，均
符合“美点”的定义，有无数个“美点”，
故“美点”的个数为无数或1．
题型4 二次函数的平移
【例7】将抛物线
2
3
y
x
先向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，则平移后抛物线的顶点
坐标为_______．
【答案】
1, 1
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”求得平移后的函数解析式，再根据二次函数顶点
式的性质确定顶点坐标即可．
【详解】解：将抛物线
2
3
y
x
先向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，可得平移后抛物线
解析式为
2
1
3
2
y
x
，
整理得
2
1
1
y
x
，
所以平移后抛物线的顶点坐标为(
)
1, 1
-
．
【例8】将抛物线
2
2
3
3
y
x
向右平移2 个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的顶点坐标为
______．
【答案】
5, 2
【分析】根据抛物线
2
2
3
3
y
x
顶点坐标为
3,3 ，然后通过向右平移2 个单位后，再向下平移5个单位
进行解答即可．
【详解】解：∵抛物线
2
2
3
3
y
x
顶点坐标为
3,3 ，
∴把
3,3 向右平移2 个单位后，再向下平移5个单位得到
5, 2
，
∴所得抛物线的顶点坐标为
5, 2
．
【技巧归纳】
平移口诀：左加右减（对x），上加下减（对整体）。从y=ax²变为y=a(x-h)²+k，即先平移h 单位（左正右
负），再平移k 单位（上正下负）。注意符号与平移方向。
【变式4-1】抛物线
2
2
1
y
x
向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位，则平移后的抛物线的顶点坐标为
______．
【答案】
1, 4
【分析】先求出
2
2
1
y
x
的顶点坐标，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线的顶点坐
标即可．
【详解】解：抛物线
2
2
1
y
x
的顶点坐标为：
0, 1
，
抛物线
2
2
1
y
x
向左平移1 个单位，向下平移3 个单位，
则抛物线的顶点
0, 1
也先向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位，
∴平移后的抛物线的顶点的坐标为
1, 4
．
【变式4-2】将抛物线
2
y
a x
h
k
先向右平移5 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，得到抛物线
2
2
y
x
．
(1)求a，h，k 的值；
(2)指出抛物线
2
y
a x
h
k
的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值．
【答案】(1)
2,
5,
2
a
h
k
；
(2)开口方向向下，对称轴为
5
x ，顶点坐标为
5, 2
；
(3)当
5
x 时，y 随x 的增长而增大，当
5
x 时，y 随x 的增长而减小，当
5
x 时，y 的最大值是2
．
【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加
右减、上加下减是解题的关键．
（1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为
2
5
2
y
a x
h
k
，从而即可得到
2
a ，
5
0
h
，
2
0
k
，进行计算即可；
（2）根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
a x
h
k
先向右平移5 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，得到抛
物线
2
2
y
x
，
∴抛物线
2
y
a x
h
k
平移后的解析式为
2
5
2
y
a x
h
k
，
∴
2
a ，
5
0
h
，
2
0
k
，
∴
2,
5,
2
a
h
k
；
（2）解：由（1）知，抛物线
2
y
a x
h
k
为抛物线
2
2
5
2
y
x
，
∴抛物线
2
y
a x
h
k
的开口方向向下，对称轴为
5
x ，顶点坐标为
5, 2
；
（3）解：∵
0
a
，
∴当
5
x 时，y 随x 的增长而增大，当
5
x 时，y 随x 的增长而减小，当
5
x 时，y 的最大值是2
．
一、单选题
1．抛物线
2
3
1
2
y
x
的顶点坐标是（
）
A．
1,2
B．
1,2
C．
3,2
D．
3,1
【答案】B
【详解】解：抛物线
2
3
1
2
y
x
的顶点坐标是
1,2
．
2．已知点
1
2
1
4
y
y
,
，,
都在二次函数
2
1
y
x
c
的图象上，则
1
2
y
y
，
的大小关系是（
）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
C．
1
2
y
y
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与性质．
由二次函数图象开口向下可得离对称轴越近的点y 值越大，进而求解．
【详解】解：∵
2
1
y
x
c
，
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线
1
x ，离对称轴越近的点，y 值越大，
∵
4 1
3,1
1
2,3
2
，
∴
1
1, y
离对称轴近，
∴
1
2
y
y
．
故选C．
3．已知抛物线
2
2
2
y
x
，下列说法不正确的是（
）
A．开口向上
B．对称轴是直线
2
x
C．顶点坐标为
2,0
D．当
2
x
时，y 随x 的增大而减小
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点式
2
0
y
a x
h
k a
，当
0
a
时，
开口向上；当
0
a
时，开口向下，对称轴是直线x
h
，顶点坐标为
,h k ；当
0
a
时，在对称轴左侧( x
h
)，
y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧( x
h
)，y 随x 的增大而增大，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，
解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【详解】解：由题意，根据抛物线顶点式
2
0
y
a x
h
k a
，
∴
2,
2,
0
a
h
k
，
∴
0
a
抛物线开口向上，选项A 正确；
对称轴是直线
2
x
，选项B 错误；
顶点为
2,0 ，选项C 正确；
∵
0
a
，对称轴是直线
2
x
，
∴当
2
x
时，y 随x 的增大而减小，当
2
x
时，y 随x 的增大而增大，选项D 正确；
故A、C、D 均不符合题意，B 符合题意．
4．下列关于抛物线
2
1
y
x
的说法正确的是（
）
A．开口向上
B．对称轴为
1
x
C．顶点坐标为
1, 1
D．由抛物线
2
y
x
向上平移一个单位得到
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和平移变换，解题的关键是熟练
掌握二次函数的图象与性质．
根据二次函数的图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线
2
1
y
x
-
的二次项系数
1
0
a
，
抛物线开口向下，故A 错误；
对称轴为直线
0
0
2
1
x
，故B 错误；
当
0
x
时，
1
y ，
顶点坐标为
0,1 ，故C 错误；
抛物线
2
y
x
=-
向上平移一个单位得到
2
1
y
x
-
，与给定抛物线一致，故D 正确；
故选：D．
5．抛物线
2
3
y
x
向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的
是（
）
A．抛物线开口向上
B．顶点坐标为
1,2
C．若点
1
3, y
和点
2
1, y
都在抛物线上，则
1
2
y
y
D．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
【答案】B
【分析】先根据抛物线平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”，得到平移后的抛物线解析式，再
根据二次函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可．
【详解】解：抛物线
2
3
y
x
向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，平移后的抛物线解析式为
2
3(
1)
2
y
x
．
∵
3
0
a
，
∴抛物线开口向上，A 说法正确；
抛物线
2
3(
1)
2
y
x
的顶点坐标为
1, 2
，不是
1,2
，B 说法错误；
抛物线对称轴为直线
1
x ，点
1
3, y 到对称轴的距离为3 1
2
，点
2
1, y
到对称轴的距离为
1 1
2
，
两点到对称轴距离相等，因此
1
2
y
y
，C 说法正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线
1
x ，
∴当
1
x 时，y 随x 的增大而减小，
又∵
0
x
满足
1
x ，
∴当
0
x
时，y 随x 的增大而减小，D 说法正确．
二、填空题
6．二次函数
2
1
2
y
x
图象的顶点坐标是_______，开口方向_______，当x_______时，y 随x 的增大
而增大；
【答案】
1,2
向下
1
【分析】本题主要考查了二次函数
2
y
a x
h
k
的图象性质，准确分析判断是解题的关键．
通过二次函数的顶点形式，确定顶点坐标、开口方向和增减性．
【详解】二次函数
2
1
2
y
x
可写为顶点形式
2
y
a x
h
k
，
1
a
，
1
h ，
2
k
，
顶点坐标为
1,2
，对称轴为
1
x ，
1
0
a
，
开口向下，
当
1
x 时，y 随x 的增大而减小；当
1
x 时，y 随x 的增大而增大；
故答案是：
1,2
；向下；
1
．
7．二次函数
2
(
1)
6
y
a x
，当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，写出一个符合条件的a 的值_______．
【答案】1
（答案不唯一，任意负数均可）
【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断a 的取值范围，即可写出符合条件的a 的值．
【详解】解：二次函数解析式为
2
1
6
y
a x
，
∴对称轴为直线
1
x ，
当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，
二次函数图象开口向下，
0
a
，
1
a
（答案不唯一）．
8．将抛物线
2
2
y
x
的图像先向上平移3 个单位再向右平移1 个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为
__________
【答案】
1,5
【分析】本题主要考查了根据平移确定点的坐标，二次函数的性质，根据二次函数图像平移规律，向上平
移改变y 坐标，向右平移改变x 坐标，先确定原顶点坐标再依次平移即可．
【详解】解：原抛物线
2
2
y
x
的顶点坐标为
0,2 ，先向上平移3 个单位，顶点坐标变为
0,5 ，再向右
平移1 个单位，顶点坐标变为
1,5 ．
故答案为：
1,5 ．
9．已知点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
在二次函数
2
1
1
y
x
的图象上，若
1
2
1
x
x
，则
1y ___
2y （填“ ”、“”
或“ ”）．
【答案】<
【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合
1
2
1
x
x
比较
1y 与
2y 的大
小．
【详解】二次函数
2
1
1
y
x
中，二次项系数
1
0
a
，因此抛物线开口向上，
该抛物线的对称轴为直线
1
x ，
根据二次函数的性质，当
1
x
时，y 随x 的增大而减小，
已知
1
2
1
x
x
，所以
1
2
y
y
．
10．如图，在平面直角坐标系中，A，B 是x 轴上方抛物线
2
y
x
c
上的两个点，C，D 是x 轴上的两个点．若
四边形ABCD 是边长为4 的正方形，则c 的值为_______
【答案】8
【分析】根据二次函数的对称性及正方形的性质求出点A 的坐标，代入
2
y
x
c
计算即可．
【详解】解：如图，
∵A，B 是x 轴上方抛物线
2
y
x
c
上的两个点，抛物线
2
y
x
c
的对称轴为直线
0
x
，
∴A，B 关于y 轴对称，
∵四边形ABCD 是边长为4 的正方形，
∴
4
AD
，
1
2
2
AE
AB
，
即
2,4
A
，
将
2,4
A
代入
2
y
x
c
得：
2
4
2
c
，
解得：
8
c
．
三、解答题
11．把二次函数
2
y
a x
h
k
的图像先向左平移2 个单位，再向上平移4 个单位，得到二次函数
2
1
1
1
2
y
x
的图像．
(1)试确定a 、h 、k 的值；
(2)指出二次函数
2
y
a x
h
k
的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)
1
2
a
，
1
h ，
5
k
(2)开口向上，对称轴为直线
1
x ，顶点坐标为
1, 5
【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握平移的规律：左加右
减，上加下减．
（1）根据平移规律，可得答案；
（2）根据二次函数的图像性质，可得答案．
【详解】（1）解：二次函数
2
1
1
1
2
y
x
的图像的顶点坐标为
1, 1
，
把点
1, 1
先向右平移2 个单位，再向下平移4 个单位得到点的坐标为
1, 5
，
所以原二次函数的解析式为
2
1
1
5
2
y
x
，
所以
1
2
a
，
1
h ，
5
k ；
（2）二次函数
2
y
a x
h
k
，即
2
1
1
5
2
y
x
的开口向上，对称轴为直线
1
x ，顶点坐标为
1, 5
．
12．已知函数
2
1
1
2
2
y
x
(1)指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______；
(2)当x______时，y 随x 的增大而增大；
(3)怎样移动抛物线
2
1
2
y
x
就可以得到抛物线
2
1
1
2
2
y
x
．
【答案】(1)向下，直线
1
x ，
1, 2
(2)
1
(3)向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移规律，解答本题的关键是明确题意，利
用二次函数的性质解答．
（1）根据二次函数的图象与系数的关系得出开口方向，根据顶点式得出对称轴及顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质可以解答本题；
（3）根据平移的规律：左加右减，上加下减，可以解答本题．
【详解】（1）解：∵函数
2
1
1
2
2
y
x
，
1
0
2
，
∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线
1
x ，顶点坐标是
1, 2
，
故答案为：向下，直线
1
x ，
1, 2
；
（2）解：∵函数
2
1
1
2
2
y
x
，
∴当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，
故答案为：
1
；
（3）解：将抛物线
2
1
2
y
x
向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度就可以得到抛物线
2
1
1
2
2
y
x
．
13．在平面直角坐标系中，将点
1
,
P a b
a
定义为点
,
P a b 的“关联点”．如图，点
,
A x y 在函数
2
y
x
=
的
图象上，点A 的“关联点”是点
1A ．
(1)如果点
1A 在函数
2
2
y
x
的图象上，求点
1A 的坐标；
(2)将点
2
,
P a b
na
称为点
,
P a b 的“待定关联点”( 其中
0)
n
．如果点
,
A x y 的“待定关联点”
2
A 在函数
2
y
x
n
的图象上，试用含n 的代数式表示点
2
A 的坐标．
【答案】(1)
1 2,2
A
(2)
2 1,1
A
n
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规则与函数图象上点的坐标满足函数解析式等知识，
解题关键是依据“关联点”“待定关联点”的定义确定新点坐标，再利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这
一性质列等式求解．
（1）根据关联点的定义和图象上点的坐标特征得到
2
1
,
A x x
x
，然后代入
2
2
y
x
, 得到
2
2
2
x
x
x
，
解得
2
x
，即可求得点
1A 的坐标；
（2）根据待定关联点的定义和图象上点的坐标特征得到
2
2
,
,
A
x x
nx
然后代入
2
y
x
n
, 得到
2
2
x
nx
x
n
, 解得
1
x , 即可求得点
2
A 的坐标．
【详解】（1）解：由题意，得点
,
A x y 的关联点为
1
,
A x y
x
，
由点
,
A x y 在抛物线
2
y
x
上，可得
2
,
A x x
2
1
,
,
A x x
x
又
2
1
,
A x x
x
在抛物线
2
2
y
x
上，
2
2
2
x
x
x
，
解得
2
x
，
将
2
x
代入
2
1
,
,
A x x
x
得
1 2,2
A
，
点
1A 的坐标为
2,2 ；
（2）点
,
A x y 的待定关联点为
2
2
,
,
A
x x
nx
2
2
,
A
x x
nx
在抛物线
2
y
x
n
的图象上，
2
2
x
nx
x
n
，
1
0
n
x
，
又
0
n
，
1
x
，
当
1
x 时，
2
1
x
nx
n
，
点
2
A 的坐标为
1,1 n
.
14．如图，以A 为顶点的抛物线交y 轴于点B，已知A，B 两点的坐标分别为
3,0 , 0,4 ，连接AB ．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)若将y 轴向右平移6 个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式．
(3)抛物线上是否存在一点P，使得AB
AP
？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
4 (
3)
9
y
x
(2)
2
4 (
3)
9
y
x
(3)存在．点P 的坐标为(6,4) 或
0,4
【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可设抛物线解析式为
2
3
y
a x
，
然后把点B
0,4 代入进行求值即可；
（2）根据题意求得平移后抛物线的顶点坐标，然后写出平移后抛物线的解析式；
（3）设
,
P x y 利用两点间的距离公式得到关于y 的方程，通过解方程求得y 的值，
进而由抛物线上点的坐标特征得到点P 的横坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为：
2
3
y
a x
，
0
a
.
把点B 的坐标
0,4 代入，得
2
4
0
3
a
，解得
4
9
a
．
所以该抛物线的解析式为：
2
4
3
9
y
x
；
（2）解：将y 轴向右平移6 个单位长度后该抛物线的顶点坐标为
3,0
，
则平移后抛物线的解析式为：
2
4
3
9
y
x
.
（3）解：存在，理由如下：
设
,
P x y ，
AB
AP
，
3,0
A
、
0,4
B
.
2
2
AB
AP
，即
2
2
2
2
3
4
3
x
y
.
2
4
3
9
y
x
，
2
9
3
4
x
y
.
2
9
25
4 y
y
，即
4
4
25
0
y
y
，
解得
4
y
或
25
4
y
（舍去）.
则
2
4
4
3
9 x
，
解得
6
x
或
0
x
．
综上所述，点P 的坐标是
6,4 或
0,4 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象的几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，
两点间距离公式，以及待定系数法求二次函数解析式.
15．探究下列问题：
(1)写出下列二次函数的顶点坐标．
①
2
1
5
2
y
x
的顶点坐标为；
②
2
4
3
y
x
的顶点坐标为．
若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”．
(2)继续研究发现，对于
2
y
a x
h
k
，因为
0
a
，当
0
时，
2
y
a x
h
k
的顶点在x 轴上；当
0
时，
2
y
a x
h
k
的顶点在y 轴上．请你写出一个顶点在x 轴上的二次函数解析式：．
(3)与x 轴平行的直线与
2
4
3
y
x
交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若
8
MN
，请直接写出M
点横坐标
M
x 的取值范围．
【答案】(1)①
0, 5
；②(
)
3,0
(2)k ；h ；
2
1
y
x
（答案不唯一）
(3) 1
3
M
x
【分析】（1）①根据二次函数的顶点式，即可得到顶点坐标．
②同①解答即可．
（2）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，根据在x 轴上和y 轴上的坐标特征，得到此时的顶点坐标，即
可得出答案，当顶点在x 轴上时根据
0
k
写出满足条件的解析式即可．
（3）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，对称轴和开口方向，根据已知条件得出当
8
MN
时，此时
1
M
x
，继而得到当
8
MN
时，
M
x 的取值范围．
【详解】（1）解：①∵二次函数解析式为
2
1
5
2
y
x
，变为顶点式为：
2
1
0
5
2
y
x
，
∴此二次函数的顶点坐标为
0, 5
；
②∵二次函数解析式为
2
4
3
y
x
，变为顶点式为：
2
4
3
0
y
x
，
∴此二次函数的顶点坐标为(
)
3,0 ；
故答案为：①
0, 5
；②(
)
3,0 ；
（2）解：∵二次函数
2
y
a x
h
k
，因为
0
a
，此二次函数的顶点坐标为
,h k ，
∴当顶点在x 轴上时，
0
k
，即顶点坐标为
, 0
h
，
此时二次函数的解析式为
2
y
a x
h
，
当
1
1
a
h
，
时，此时二次函数的解析式为
2
1
y
x
，（答案不唯一）
当顶点在y 轴上时，
0
h
，即顶点坐标为
0,k ，
故答案为：k ；h ；
2
1
y
x
（答案不唯一）；
（3）解：∵二次函数解析式为
2
4
3
y
x
，
∴二次函数的对称轴为直线
3
x
，开口向下，顶点坐标为(
)
3,0 ，
∵与x 轴平行的直线与
2
4
3
y
x
交于M ，N 两点，
∴该直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，M
N
、
到对称轴的距离相等，
当
8
MN
时，M 到对称轴的距离为8
2
4
，
∵点M 在左侧，
∴点M 的横坐标
M
x 为3
4
1
，
∴当
8
MN
时，点M 到对称轴的距离不超过4 ，且点M 在对称轴左侧，
∴
M
x 的取值范围为1
3
M
x
.
