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第 03 讲 二次函数 y=a(x-h)²与 y=a(x-h)²+k 的图像和性质
知识点1：二次函数y=a(x-h)²的图像和性质
知识点2：二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质
【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象.
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象:
根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减
开口向上 y轴 （0,0） 小；当x＞0时，y随x的增大而
增大。
当x＜2时，y随x的增大而减
开口向上 x=2 （2,0） 小；当x＞2时，y随x的增大而
增大。【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数 、 与
的图象．
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象:
根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
当x＜0时，y随x的增大而减
大；
开口向下 y轴 （0,0）
当x＞0时，y随x的增大而增
小。
当x＜－1时，y随x的增大而
减大；
开口向下 x=－1 （－1,0）
当x＞－1时，y随x的增大而
增小。
当x＜1时，y随x的增大而减
大；
开口向下 x=1 （1,0）
当x＞1时，y随x的增大而增
小。总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
当x＜h时，y随x的增大 当x＜h时，y随x的增大
增减性 而减小；当x＞h时，y随 而增大；当x＞h时，y随
x的增大而增大。 x的减小而减小。
注意： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²（a≠0）之间的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到.
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变
【题型1二次函数y=a(x-h)²的性质】
【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）对于函数y=−2(x−3) 2，下列说法不正确的
是（ ）
A．图象的开口向下 B．图象的对称轴是直线x=3
C．最大值为0 D．图象与y轴不相交
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数y=a(x−ℎ) 2的图象性质，直接按照性质进行判断即可
【详解】解：∵a=−2＜0
∴图象开口向下，A选项正确，不符合题意由题意，该二次函数的顶点坐标为(3,0)
∴图象的对称轴是直线x=3，最大值y=0，B选项和C选项正确，不符合题意
∵当x=0时，y=−2×9=−18
∴函数图象与y轴相交，交点坐标为(0，−18)，D选项不正确，符合题意
故选：D ．
【变式1】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数y=−2(x−3) 2的图象，下列说
法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线x=3
C．当x>−4时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为(−2,−3)
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线顶点式y=a(x−ℎ) 2
的性质．
根据抛物线的性质由a=−2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为(3,0)，对
称轴为直线x=3，x≤3时y随x增大而增大，当x>3时，y随的增大而减小，判定即可．
【详解】解：∵y=−2(x−3) 2
∴−2<0
∴抛物线开口向下，故A选项不符合题意；
∴对称轴为直线x=3，故B选项符合题意；
∴顶点坐标为(3,0)，故D选项不符合题意；
∴x≤3时y随x增大而增大，x>3时y随x增大而减小．故C选项不符合题意；
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·吉林松原·期末）抛物线y=6(x+8) 2的顶点坐标是 ．
【答案】(−8,0)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据y=a(x−ℎ) 2的顶点坐标为(ℎ,0)，
进行作答即可．
【详解】解：依题意，y=6(x+8) 2的顶点坐标是(−8,0)，
故答案为：(−8,0)【变式3】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）已知二次函数y=−2(x−a) 2（a为常数），
当x>3时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 ．
【答案】a≤3
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，能够将增减性与对称轴及开口方向联
系起来是解题关键．根据二次函数的图象和性质即可得解．
【详解】∵二次函数y=−2(x−a) 2开口向下，对称轴为直线x=a，
∴当x>a时，y随x的增大而减小，
∵当x>3时，y随x的增大而减小，
∴a≤3，
故答案为：a≤3．
【题型2：二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】
【典例2】（2025·广东肇庆·二模）若点A(−3,y )，B(−2,y )，C(2,y )在二次函数
1 2 3
y=a(x+1) 2 (a>0)的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是 ．
1 2 3
【答案】y 0)，则它的对称轴为x=−1，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则y的值越大，
∵|−3−(−1))=2，|−2−(−1))=1，|2−(−1))=3，
∴1<2<3，
∴y y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 3 2 3 2 1 1 2 3 3 1 2【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，当a>0时，函数图象的点到对称轴的距离越
远，函数值越大，当a<0时，函数图象的点到对称轴的距离越远，函数值越小．
先求得函数图象的开口方向和对称轴，再根据各点离对称轴的距离大小即可判断．
【详解】解：由y=(x+2) 2得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=−2，
∵点(−3,y )，(0,y )，(1,y )都在二次函数y=(x+2) 2的图象上，且
1 2 3
|−3−(−2))<|0−(−2))<|1−(−2))，
∴y 0，
∴开口向上，故B正确．
故选：B．
【问题1】画出函数y＝－ (x+1)2－1的图象, 指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴
先列表再描点、连线.
由函数y＝－ (x+1)2－1的图象，观察其特点是：开口方向向下；顶点坐标是(-1,-1)；对称
轴是直线x=-1。
【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
通过列表、描点、连线得到如下图像
图像特点是：开口方向向上； 对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。
由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是：
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k
当x＜h时，y随x的增大而减
当x＜h时，y随x的增大而增大；
增减性 小；当x＞h时，y随x的增大而
当x＞h时，y随x的减小而减小。
增大。
图象形状 抛物线形状
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
【题型4：二次函数y=a(x-h)²+k的性质】
【典例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知二次函数y=−3(x−2) 2−3，下列
说法正确的是（ ）
A．对称轴为x=−2
B．顶点坐标为(2,3)
C．函数的最大值是−3
D．当x>−2时，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题
的关键．根据二次函数的图象与性质，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、对称轴为x=2，故此选项说法错误，不符合题意；
B、顶点坐标为(2,−3)，故此选项说法错误，不符合题意；
C、函数的最大值是−3，故此选项说法正确，符合题意；
D、当x>2时，y随x的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
1
【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线y=−(x+2) 2+ 的顶点坐标是（ ）
3
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
A． 2, B． −2, C． −2,− D． 2,−
3 3 3 3【答案】B
【分析】本题考查二次函数的顶点式形式，通过将给定的抛物线方程与顶点式对比，
即可直接得出顶点坐标．
1
【详解】解：∵抛物线的解析式为y=−(x+2) 2+ ，
3
( 1)
∴顶点坐标为 −2, ．
3
故选B．
【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）对于二次函数y=(x−1) 2+2的图象，下列
叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为(−1,2) B．与x轴有两个交点
C．函数y有最大值2 D．当x<0时，y随x增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可．
【详解】解：A、二次函数y=(x−1) 2+2的图象的顶点为(1,2)，故本选项说法错误；
B、令y=0，则(x−1) 2+2=0，该方程没有实数解 ，
∴二次函数y=(x−1) 2+2的图象与x轴没有交点，故本选项说法错误；
C、∵二次函数y=(x−1) 2+2的图象开口向上，顶点为(1,2)，
∴函数y有最小值，为y=2，本选项说法错误；
D、∵二次函数y=(x−1) 2+2的图象开口向上，故对称轴为x=1，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大，
∴当x<0时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确．
故选：D
【题型5：二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】
【典例5】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知点A(−3,y )，B(2,y )，C(3,y )
1 2 3在抛物线y=2(x−1) 2+c上，则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先得到抛物线的对
称轴为直线x=1，根据二次函数的性质，比较函数值的大小即可．
【详解】解：由抛物线y=2(x−1) 2+c可知对称轴为直线x=1，开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大．
∵1−(−3)=4,2−1=1,3−1=2，
∴y >y >y ．
1 3 2
故选B．
【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）若二次函数y=−(x−3) 2+2的图象经过
A(−1,y )，B(1,y )，C(4,y )三点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y
3 2 1 2 3 1
C．y >y >y D．y >y >y
2 1 3 3 1 2
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解
题的关键；由题意可把A(−1,y )，B(1,y )，C(4,y )三点分别代入函数解析式进
1 2 3
行求解即可．
【详解】解：由题意得：
y =−(−1−3) 2+2=−14，y =−(1−3) 2+2=−2，y =−(4−3) 2+2=1，
1 2 1
∴y >y >y ；
3 2 1
故选A．
【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知A(−3,y )，B(1,y )，C(2,y )在函数
1 2 3
y=−(x+2) 2+m的图象上，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y
1 3 2 1 2 3C．y >y >y D．y >y >y
3 2 1 3 1 2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的
关键掌握二次函数图象的性质．
【详解】解：由二次函数y=−(x+2) 2+m，得它的对称轴为x=−2，开口向下，
则图象上的点离对称轴越远则y的值越小，
∵|−3−(−2))=1，|1−(−2))=3，|2−(−2))=4，
∴1<3<4，
∴y >y >y ，
1 2 3
故选：B．
【变式3】（2025·山东威海·中考真题）已知点(−2,y ),(3,y ),(7,y )都在二次函数
1 2 3
y=−(x−2) 2+c的图象上，则y ,y ,y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1
【答案】C
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴
为直线x=2，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得
到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=−(x−2) 2+c，
∴二次函数y=−(x−2) 2+c的图象开口向下，对称轴为x=2，
∴离对称轴越近，函数值越大，
点(−2,y )的横坐标−2与2的距离为|−2−2)=4；点(3,y )的横坐标3与2的距离为
1 2
|3−2)=1；点(7,y )的横坐标7与2的距离为|7−2)=5．
3
∵1<4<5，
∴y >y >y ，
2 1 3
故选C．【题型6：二次函数y=a(x-h)²+k的图像】
【典例7】（23-24九年级下·全国·课后作业）二次函数 y=−2(x−1) 2的图像大致是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，y=a(x−ℎ) 2+k的顶点坐标为(ℎ，k)，
a>0，开口方向向下；a<0，开口方向向上；据此即可作答．
【详解】解：二次函数y=−2(x−1) 2的图象开口向下，对称轴是x=1，顶点坐标为
(1，0)，
故选B．
【变式1】（2023·陕西宝鸡·三模）二次函数y=(x+m) 2+n的图像如图所示，则点(m,n)
所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据函数解析式得出顶点为（−m,n），根据图像可得−m>0，n<0，即
可得出m<0，则点(m,n)所在的象限即可判定．
【详解】解：∵二次函数y=(x+m) 2+n，∴顶点为（−m,n），
由函数图像可知，抛物线的顶点在第四象限，
∴−m>0，n<0，
∴m<0，
∴点(m,n)在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的性质，先分析信息，
再进行判断是解题的关键．
【变式2】（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）二次函数y=(x+1) 2−3的图像大致是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一
分析判断即可．
【详解】解：在y=(x+1) 2−3中由a=1>0可知抛物线的开口向上，故选项A错误；
其对称轴为直线x=−1，在y轴的左侧，故选项B错误；
二次函数y=(x+1) 2−3，当x=0时，y=−2，即该抛物线与y轴的交点坐标为（0，-
2），在y轴负半轴上，故选项D错误；
该抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1，与y轴的交点在y轴负半轴上，符合以上
条件的只有选项C．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对二次函数的图像和性质的应用，运用数形结合思想的分析问题是解题关键．
【变式3】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，关于抛物线y=(x−1) 2−2，下列
说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为(1,−2) B．对称轴是直线x=1
C．开口方向向上 D．当x>1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．由
二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】解：∵y=(x−1) 2−2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1,−2)，对称轴为直线x=1，
∴x>1时，y随x的增大而增大．
故A、B、C说法正确，D说法错误．
故选：D．
【题型7：二次函数y=a(x-h)²+k图像变换问题】
【典例7】（24-25八年级下·福建福州·期末）若将抛物线y=−x2−1向左平移1个单位，
则所得抛物线对应的函数关系式为（ ）
A．y=−(x−1) 2−1 B．y=−(x+1) 2−1
C．y=−x2−2 D．y=−x2
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加
右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据图象的平移规律，可得答案．
【详解】解：原抛物线为y=−x2−1，其顶点为(0,−1)；向左平移1个单位后，顶点变为(−1,−1)，平移后的函数解析式为：y=−(x+1) 2−1对应选项B；
选项A为向右平移的结果，C和D改变了常数项，属于上下平移，与题意不符．
故选：B．
【变式1】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）将抛物线y=2(x+2) 2−1向右平移1个单位，再
向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=2(x−1) 2−2B．y=2(x+1) 2+3C．y=2(x+1) 2−3 D．y=2(x+2) 2+1
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加
右减，上加下减．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y=2(x+2) 2−1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得
到的抛物线的解析式为y=2(x+2−1) 2−1−2=2(x+1) 2−3，
故选：C．
【变式2】（2025·贵州遵义·二模）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
得到抛物线的解析式为（ ）
A．y=(x−2) 2−3 B．y=(x+3) 2−2 C．y=(x+2) 2−3
D．y=(x−3) 2+2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规则是关键．
根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可．
【详解】解：将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
∴平移后的解析为y=(x−2) 2−3，
故选：A ．
【变式3】（2025·云南临沧·模拟预测）抛物线y=−7(x+3) 2+1可以由抛物线y=−7x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数平移问题，解题的关键是掌握“左加右减，”，“上加
下减”的方法，直接根据y=−7x2通过向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到即
可求解．
【详解】解：由题知，将抛物线y=−7x2先向左平移3个单位，再向上平移1个单位可
得抛物线y=−7(x+3) 2+1，
所以只有A选项符合题意．
故选：A．
一、单选题
1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）对于抛物线y=−(x−2) 2+1，下列判断不正确
的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x=2时，y有最大值1
C．对称轴为直线x=−2
D．当x<2时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
根据解析式y=−(x−2) 2+1，可判定抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，当x=2时，
y有最大值1，当x<2时，y随x的增大而增大，解答即可．
【详解】解：∵y=−(x−2) 2+1中a=−1<0，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，y有最大值1，当x<2时，y随x的增大而增大，
故A，B，D正确，C错误，
故选：C．
2．（2025·安徽阜阳·二模）已知抛物线y=x2−2x−2，当0≤x≤3时，函数的最大值为
（ ）
A．1 B．−2 C．−3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，首先把二次函数的解析式整理成顶点坐
标式，从而可得抛物线开口向上，对称轴是x=1，根据二次函数的性质可知当
0≤x≤3时，函数的最大值为1.
【详解】解：整理：y=x2−2x−2，
可得：y=(x−1) 2−3，
∴抛物线开口向上，对称轴是x=1，
∴当0≤x<1时，y随x的增大而减小，
当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
当x=0时，y=(0−1) 2−3=−2，
当x=3时，y=(3−1) 2−3=1，
∴当0≤x≤3时，函数的最大值为1.
故选：A．
3.（25-26九年级上·全国·课后作业）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，那么所得
新抛物线的解析式是（ ）
A．y=x2+1 B．y=x2−1 C．y=(x+1) 2 D．y=(x−1) 2
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进
行求解即可．
【详解】解：由题意可得，平移后的新抛物线的解析式为：y=(x−1) 2
故选：D ．1
4．（23-24九年级上·广东惠州·期中）对于抛物线y=− (x+1) 2+3，下列结论：①抛物
2
线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(−1,3)；④x>−1时，y随x的
增大而减小；⑤函数的最大值为3；其中正确结论的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了y=a(x−ℎ) 2+k的图象与性质，二次函数的图象与系数的关
系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由二次函数的图象与系数的关系即可判断结论①；由y=a(x−ℎ) 2+k的图象与性质即
可判断结论②、③、④；由二次函数的最值即可判断结论⑤．
1
【详解】解：对于抛物线y=− (x+1) 2+3，
2
1
∵a=− <0，
2
∴抛物线开口向下，
故结论①正确；
对称轴为直线x=−1，
故结论②错误；
其顶点坐标为(−1,3)，
故结论③正确；
当x>−1时，y随x的增大而减小，
故结论④正确；
当x=−1时，函数取得最大值，最大值为3，
故结论⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①③④⑤，共4个，
故选：C．
二、填空题
5．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数y=2(x+1) 2−5，当−41−(−1)=2，且当x=−4时，y=13，
∴−5≤ y<13，
故答案为：−5≤ y<13．
6．（24-25九年级上·山东聊城·期末）若二次函数y=−(x−3) 2+2的图象过A(−1,y )，
1
B(2,y )，C(5,y )，三点，则y ，y ，y 的大小关系是 （用“＜”连接）．
2 3 1 2 3
【答案】y ”或“=”）
1 2 1 2
【答案】>
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，依据题意，求出抛物线y=(x−1) 2+5
的对称轴x=1，根据抛物线开口向上，故当x<1时，y随x的增大而减小，进而判断得
解．
【详解】解：由题意得抛物线y=(x−1) 2+5的对称轴x=1，又∵a=1>0，
∴抛物线y=(x−1) 2+5开口向上．
∴当x<1时y随x的增大而减小．
∴对于A、B当x y ．
1 2 1 2
故答案为：>．
10．（2025·广东广州·一模）定义运算：a⊗b=(a+2b)(a−b)，例如，
4⊗3=(4+2×3)×(4−3)，则函数y=(x+1)⊗2的对称轴为直线 ．
【答案】x=−2
【分析】本题考查二次函数对称轴，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二
次函数的性质，求对称轴．
【详解】解：∵ a⊗b=(a+2b)(a−b)，
∴ y=(x+1)⊗2
=(x+1+2×2)(x+1−2)
=(x+5)(x−1)
=x2+4x−5
=(x+2) 2−9，
即y=(x+2) 2−9，
∴对称轴为直线x=−2，
故答案为：x=−2．
三、解答题
11．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数y=3(x−4) 2−27．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？
(3)当x取何值时，函数取得最值？求出这个最值．
【答案】(1)开口方向向上，对称轴x=4，顶点坐标为(4,−27)；
(2)当x>4时，y随x的增大而增大；
(3)当x=4时，y有最小值为−27．【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的
关键．
（1）依据题意，根据所给解析式可以得解；
（2）依据题意，根据二次函数的增减性可以判断得解；
（3）依据题意，由开口向上，函数有最小值，进而可以得解．
【详解】（1）解：由抛物线的解析式为y=3(x−4) 2−27，
∴开口方向向上，对称轴x=4，顶点坐标为(4,−27)；
（2）解：∵抛物线y=3(x−4) 2−27开口向上，
∴当x>4时，y随x的增大而增大；
（3）解：∵抛物线y=3(x−4) 2−27开口向上，
∴当x=4时，y有最小值为−27．
1
12．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）已知二次函数y=− (x+3) 2−1．
2
(1)指出函数的开口方向是__________，对称轴是__________；
(2)当x__________时，y随x增大而减小；
(3)若点A(1,y )，B(2,y )是函数图象上的两点，则y __________y ．（填“>”“
1 2 1 2
<”或“=”）
【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴为直线x=−3
(2)>−3
(3)>
【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟记性质是解本题的关键；
1 1
（1）利用a=− <0确定出开口方向，结合y=− (x+3) 2−1可得对称轴；
2 2
（2）由对称轴和开口方向得出增减性即可；
（3）分别计算y ,y ，再比较大小即可．
1 2
1 1
【详解】（1）解：∵二次函数y=− (x+3) 2−1，a=− <0，
2 2
∴抛物线开口向下，顶点坐标为(−3,−1)，对称轴为直线x=−3；
（2）解：∵对称轴为直线x=−3，
∴当x>−3时，y随x的增大而减小．1
（3）y=− (x+3) 2−1
2
解：∵点A(1,y )，B(2,y )是函数图象上的两点，
1 2
1 1
∴y =− ×42−1=−9，y =− ×52−1=−13.5，
1 2 2 2
∴y >y ．
1 2
13．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线y=a(x−ℎ) 2的对称轴为直线x=−2，
且过点(1,−3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标．
1
【答案】(1)y=− (x+2) 2
3
(2)抛物线的开口向下，顶点为(−2,0)．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，
利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键．
（1）由对称轴可求得h的值，再把(1,−3)代入可求得a的值即可求得抛物线解析式；
（2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=a(x−ℎ) 2的对称轴是直线x=−2，
∴ℎ =−2，
∴抛物线解析式为y=a(x+2) 2，
∵抛物线过(1,−3)，
∴−3=9a，
1
解得a=− ，
3
1
∴抛物线解析式为y=− (x+2) 2 ．
3
1 1
（2）解：∵抛物线为y=− (x+2) 2 ，− <0，
3 3
∴抛物线的开口向下，顶点为(−2,0)．
