文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题01 不等式综合问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数 的图像如图所示，则不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题可根据图像得出结果.
【详解】结合图像易知，
不等式 的解集 ，
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出
不符合题意， 符合题意．【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合题
意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以其最
小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取等
号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不符合
题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性
质即可解出．
3．（2021·全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最
大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即可
得到答案．
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
4．（2008·四川·高考真题（理））已知等比数列 中 ，则其前 项的和 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ，由等比数列的通项表示 （即 的代数式），然后根据 的正负性进行
分类，分别求出 的范围即可.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
等比数列 中 ，
，
当 时， ；
当 时， ；
.
故选：D.
5．【多选题】（2022·全国·高考真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为 （ R），由 可变形为， ，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A错误，B正
确；
由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所以C
正确；
因为 变形可得 ，设 ，所以
，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D错误．
故选：BC．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.简单不等式的解法是高考数学的基本要求，在许多题目中起到工具作用.
2.解答求最值和不等式恒成立问题，常用到基本不等式，往往与函数、立体几何、解析几何等交汇命题.
3.独立考查不等式问题，题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度．
（二）本专题考向展示考点突破 典例分析
考向一 不等式的性质与解法
【核心知识】
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a>b，ab>0 <.
(2)a<0b>0,0.
⇒
(4)0b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)．
(2)>；<(b－m>0)．
3.一元二次不等式的解法: 先将不等式化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应的一元二次方程ax2＋bx＋
c=0(a≠0)的根，最后根据相应的二次函数的图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的ax2＋bx＋c>0(a≠0)
解集.
【典例分析】
典例1.（2018·全国·高考真题（理））设 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：求出 ，得到 的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.典例2. 若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D. ∪{2}
【答案】B
【解析】当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，
当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不
成立，解集为空集．
当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，
则有 解得－2a对一切x∈I恒成立⇔f(x) >a，x∈I；f(x)g(x)对一切x∈I恒成立⇔当x∈I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．解题时一定要搞清谁是变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，
谁就是变量；求谁的范围，谁就是参数.利用分离参数法求解时，常用到函数的单调性、基本不等式等知识.
【典例分析】
典例4.（2019·浙江·高考真题）已知 ，函数 ，若存在 ，使得 ，则实
数 的最大值是____.
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究
入手，令 ，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，
观察得解.
【详解】使得 ，
使得令 ，则原不等式转化为存在 ，
由折线函数，如图
只需 ，即 ，即 的最大值是
【点睛】
对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
典例5.（2018·天津·高考真题（文））已知 ，函数 若对任意x∈［–3，+
），f(x)≤ 恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分类讨论 和 两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】
分类讨论：①当 时， 即： ，
整理可得： ，
由恒成立的条件可知： ，
结合二次函数的性质可知：当 时， ，则 ；
②当 时， 即： ，整理可得： ，
由恒成立的条件可知： ，
结合二次函数的性质可知：
当 或 时， ，则 ；
综合①②可得 的取值范围是 ，故答案为 .
点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.有关
二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有⇔效方法．一般从：①开口方向⇔；②对称轴位置；
③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
典例6.（2020·江苏省太湖高级中学高一期中）已知函数 ，关于 的不等式 的解集
为 .
（1）求实数 ， 的值；
（2）求关于 的不等式 的解集；
（3）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，（2）当 时，解集为 ，当 时，不等式无解，当 时，解集为
，（3）
【解析】
（1）由题意得不等式 的解集为 ，由根与系数的关系得 ，从而可求出实数 ，的值；
（2）由 ，得 ，即 ，然后分
， ， 求解即可；
（3）令 （ ），则 在 上恒成立，即 ，即
，令 ，然后分对称轴在 轴左侧和右侧两种情况求解即
可
【详解】
（1）因为关于 的不等式 的解集为 ，即不等式 的解集为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
（2）由 ，得 ，
即 ， ，
若 ，则 ，若 ，则不等式无解，若 ，则 ，
所以当 时，解集为 ，当 时，不等式无解，当 时，解集为
（3）令 （ ），则 在 上恒成立，
即 ，即 ，令 ，
当 ，即 ，对称轴在 轴左侧，所以 ，即 ，所以 ，
当 时，即对称轴在 轴右侧，则 ，解得 ，
综上
【规律方法】
1.解决不等式恒成立问题的两种思路
(1)转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式(组),求得参数范
围.
(2)分离参数,通过求函数的最值,进而确定参数的范围.
2.策略方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解
参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x) ≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立
min
⇒f(x) ≤a，即n≤a.
max
考向三 基本不等式及其应用
【核心知识】
基本不等式求最值的常用解题技巧
1.凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
2.凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．
3.“１”的代换:先把已知条件中的等式变形为“１”的表
达式ꎬ再把“１”的表达式与待求最值的表达式相乘ꎬ通过变形
构造和或积为定值的代数式求最值.
4.换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开（化为部分分式），
即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
【典例分析】
典例7.（2019·浙江·高考真题）若 ，则“ ”是 “ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取 的值，推
出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当 时， ，则当 时，有 ，解得 ，充分性成立；当
时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述，“ ”是“ ”的充分不
必要条件.
典例8.（2020·全国·高考真题（理））设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近
线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得 ，
两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为 ，可得 值，根据 ，结合均值不等式，即
可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
典例9.（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的
球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 ，
进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其
高的值.
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为 ，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又设四棱锥的高为 ，则 ，
当且仅当 即 时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则 ，
所以该四棱锥的高 ，
(当且仅当 ，即 时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高 .
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则 ，
所以该四棱锥的高 ， ，令 ， ，设 ，则
，
， ，单调递增， ， ，单调递减，所以当 时， 最大，此时 ．
故选：C.
【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
典例10. （2020·江苏·高考真题）已知 ，则 的最小值是_______．
【答案】
【分析】根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
典例11.（2022·全国·高考真题（理））已知 中，点D在边BC上， ．当
取得最小值时， ________．
【答案】 ##
【分析】设 ，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设 ，
则在 中， ，在 中， ，
所以
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 取最小值时， .
故答案为： .
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1， ），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
， ，
， ，
令 ，则 ，
，
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
[方法四]：判别式法
设 ，则
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，记 ，
则
由方程有解得：
即 ，解得：
所以 ，此时
所以当 取最小值时， ，即 .
典例12.（2022·广东深圳·高三阶段练习）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一
种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．(1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，
该饮料每瓶售价最多为多少元？
(2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价 元，并投入 万元作为调整
营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少 万瓶，则当每瓶售价 为
多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润 月销售总收人 月总成本)
【答案】(1)20元
(2)当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元
【分析】（1）设提价 元，根据“下月总利润不低于原来的月总利润”列不等式，求得 的取值范围，从而
求得最高售价.
（2）求得下月总利润的表达式，利用基本不等式求得下月总利润的最大值以及此时的售价.
【详解】（1）设提价 元，由题意，每瓶饮料的利润为 元，月销售量为 万瓶，
所以提价少月销售总利润为 万元．
因为原来月销售总利润为 (万元)，月利润不低于原来月利润，
所以 ，即 ，
所以 ，所以售价最多为 (元)，
故该饮料每瓶售价最多为20元．
（2）由题意，每瓶利润为 元，月销售量为 万瓶，设下月总利润为
，
整理得
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取到等号，
故当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元．
【总结提升】
1.运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．
2.将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，
求得目标函数的最值．
3.易错提醒:运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指
“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若
连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
