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第 03 讲 勾股定理的逆定理
【题型1：判断三边能否构成直角三角形】
【题型2：在网格中判断直角三角形】
【题型3：利用勾股定理的逆定理求解】
【题型4：勾股定理逆定理的实际应用】
知识点：勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三
角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否
为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1） 首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的
c2 a2 b2
直角三角形；若 ，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2
注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐
c
角三角形，其中 为三角形的最大边.
【题型1：判断三边能否构成直角三角形】
【典例1】（24-25八年级上·江苏南通·期末）下列由a、b、c组成的三角形中，是直角三
角形的是（ ）
A．a=40，b=50，c=60 B．a=2，b=3，c=4
C．a=b=c=2 D．a=b=1，c=❑√2【变式1-1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不
能构成直角三角形的是（ ）
A．a=5，b=6，c=7 B．a=3，b=4，c=5
C．a=7，b=24，c=25 D．a=5，b=12，c=13
【变式1-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）以下列各组数为边，其中能构成直角三角
形的是（ ）
A．2，3，4 B．6，7，8 C．8，15，17 D．9，24，25
【变式1-3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边
分别是a，b，c．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．c2=a2−b2 B．a:b:c=3:4:5
C．∠C=∠B−∠A D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
【题型2：在网格中判断直角三角形】
【典例2】（24-25八年级上·广东河源·期中）如图，6×6网格中每个小正方形的边长都为1，
△ABC的顶点均在网格的格点上．
(1)AB= ，BC= ，AC= ；
(2)△ABC是直角三角形吗？请作出判断并说明理由．
【变式2-1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上．点A、B、C的坐标分别为A(1,1)，
B(4,2)，C(3,5)．
(1)若△A′B′C′与△ABC关于x轴成轴对称，画出△A′B′C′；
(2)①判断△ABC的形状，并说明理由．
②计算△ABC的面积为 ．
【变式2-2】（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的6×8
网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)在网格中，画线段CD∥AB，且使CD=AB，连结AD；
(2)线段AD的长为______，AC的长为______，CD的长为______；
(3)△ACD为______三角形，点A到CD的距离为______．
【变式2-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，△ABC的顶点在格点上．
(1)直接写出AB2=______，BC2=______，AC2=______；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
【题型3：利用勾股定理的逆定理求解】
【典例3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点A、B是直线l上两点，且
5
CA=❑√5,CB= ，在线段AB上取一点H，经测量，CH=2,AH=1．
2
(1)CH长是否为点C到直线l的最短距离？请说明理由；
(2)求点H和点B的距离．
【变式3-1】（24-25七年级上·江西萍乡·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=1，
CD=❑√3，AD=1，且∠B=90°．求：
(1)∠BAD的度数；
(2)四边形ABCD的面积．【变式3-2】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在△ABC中，
AB=15,AC=20,BC=25,AD⊥BC，求AD的长是多少？
【变式3-3】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点E在正方形ABCD内，正方
形边长为13，AE=5，BE=12，求阴影部分的面积是多少？
【题型4：勾股定理逆定理的实际应用】
【典例4】（24-25八年级上·陕西西安·期末）劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强
壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳
动基地（四边形ABCD）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长
13m(AC=13m)的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的AB边长5m，
BC边长12m，蔬菜区的AD边长7m，∠D=90°．
(1)求蔬菜区边CD的长；
(2)求花卉区的面积．【变式4-1】（24-25八年级上·海南海口·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳
动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情
感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状
的劳动试验基地．
(1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为5m,12m,13m时,小明很快就给
出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程；
(2)如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为
AB=15m,BC=14m,AC=13m,请帮助他们求出该实验基地的面积．
【变式4-2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一
村庄C，河边原有两个取水点A,B，且AB=AC，由于某种原因，从取水点C到A的
路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（点A,H,B
在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=3km，CH=2.4km，BH=1.8km．
(1)CH是否是村庄C到河边最近的路？请说明理由；
(2)求原来的路线AC的长．【变式4-3】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）为了强化实践育人，有效开展劳动教
育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学
校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：
∠BAD=90°，AD=3m，AB=4m，BC=13m，CD=12m．根据你所学过的知识，
求四边形ABCD的面积．
1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，
b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A:∠B:∠C=3:4:5 B．∠B+∠C=90°
C．∠A=∠B−∠C D．a:b:c=5:12:13
2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为
1，点A,B, C, D均在格点上，E是AB与网格线的交点，则DE的长是（ ）
3 ❑√5
A．❑√3 B． C．❑√2 D．
2 2
3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（
）
A．1，2，2 B．1，2，❑√3 C．4，5，6 D．1，1，❑√3
4．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地
ABCD，测得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且∠ABC=90°，则这块菜地的面积是（ ）
A．48m2 B．114m2 C．12m2 D．158m2
5．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5，且周长
为48cm．点M从点A开始沿AB边向点B以每秒2cm的速度移动；点N从点B开始沿
BC边向点C以每秒3cm的速度移动．如果两点同时出发，则过4秒时，△BMN的面积
为（）
A．20cm2 B．24cm2 C．28cm2 D．30cm2
6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）一个三角形的三边长的比为3:4:5，且其周长为
36cm，则其面积为 ．
7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示的网格每个正方形的边长是1，则点A到
BC的距离等于 ．
8．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将三边长分别为3，4，5的△ABC沿最长边AB翻
转180°成△ABC ，则CC 的长= ．
1 19．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公
路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠点A、B
之间的距离为25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路
到C处，且CD⊥AB．则修建公路CD长度为 km
10．（24-25八年级上·云南昆明·期末）某校利用课后服务时间开设创意编程、3D模型设
计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活
动，现有一个模型设计的任务需要完成．
生活中的数学：确定模型零件平面图的面积
素材一 素材二
如图所示，四边形DABC是模型零 通过相应仪器扫描测量：已知∠ABC=90°，
件平面图． AB=2，BC=2❑√3，CD=4❑√2，AD=4．
问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积．
