第13 讲反比例函数的概念
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 用反比例函数描述数量关系
题型2 根据定义判断是否是反比例函数
题型3 根据反比例函数的定义求参数
题型4 求反比例函数的值
题型5 由反比例函数值求自变量
题型6 求反比例函数的解析式
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
反比例函数、y =
�
�、
k≠0、三种形式、自变
量非零。
1. 理解反比例函数的概念，能识别形如y =
�
�（k 为常数，k≠0）的函数。
2. 掌握反比例函数的三种表达形式：y =
�
�、y = kx-1、xy = k （k≠0）。
3. 能根据实际问题中的数量关系列出反比例函数解析式，并确定自变量的取
值范围。
4. 体会反比例函数与正比例函数的区别，感受函数模型的多样性。
学习重点：反比例函数的概念及其三种表达形式，k≠0 和自变量x≠0 的规定。
学习难点：理解k 在反比例函数中的作用，以及从实际问题中抽象出反比例关系（例如：xy = k 的形
式）。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy
k
，
或表示为
k
y
x
，其中k 是不等于零的常数.
一般地，形如
k
y
x
( k 为常数，
0
k
)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变
量x 的取值范围是不等于0 的一切实数.
特别说明：（1）在
k
y
x
中，自变量x 是分式k
x
的分母，当
0
x
时，分式k
x
无意义，所以自变量x 的取
值范围是
，函数y 的取值范围是
0
y
.故函数图象与x 轴、y 轴无交点.
（2）
k
y
x
(
)可以写成
(
)的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问
题时应特别注意系数
这一条件.
（3）
k
y
x
(
)也可以写成
的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得
到反比例函数的解析式.
【易错提醒】
反比例函数定义易错警示：形如y=
�
�（k≠0）或xy=k。注意：自变量x 在分母，次数为1，且x≠0。k≠0 是
必要条件，勿忽略。避免与正比例函数混淆。
即时即练1．把
2
3
y
x
化为
k
y
x
的形式：
，其中k
；
【答案】
2
3
y
x
2
3
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据反比例函数的形式变形即可．
【详解】解：由
2
3
y
x
得
2
3
y
x
，所以
2
3
k
，
故答案为：
2
3
y
x
，
2
3
．
2．下列函数：①
2
1
y
x
；②
4
y
x
；③
6
y
x
；④
2
1
y
x
=
+ ；⑤
1
2
y
x
．其中，y 是x 的反比例函
数的有
（填序号）．
【答案】②⑤/⑤②
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题主要查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义解答即可．
【详解】解：y 是x 的反比例函数的有
4
y
x
，
1
2
y
x
．
故答案为：②⑤
3．若
3
2
a
y
a
x
是反比例函数，则a 的值为
．
【答案】2
【知识点】根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式
(
0)
k
y
k
x
转化为
1(
0)
y
kx
k
的形式．根
据反比例函数的定义．即
(
0)
k
y
k
x
，只需令
3
1
a ，
2
0
a
即可．
【详解】解：由题意得：
3
1
a 且，
2
0
a
；
解得
2
m ，又
2
m
；
2
m
．
故答案为：2
．
知识点02 确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数
k
y
x
中，只有一个待定系数k ，因
此只需要知道一对x
y
、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为：
k
y
x
(
0
k
)；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数k 的值；
（4）把求得的k 值代回所设的函数关系式
k
y
x
中.
【易错提醒】
确定反比例函数关系式易错警示：一般用待定系数法设y=
�
�，代入一组对应值求出k。注意k≠0，且x 与y
对应准确。也可用xy=k 直接计算，避免符号错误。
即时即练1．已知反比例函数
k
y
x
的图象经过点(3,4) ，则k 的值为
．
【答案】12
【知识点】求反比例函数解析式
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．根据题意将点
3,4 代入解析式，即可进行求解．
【详解】解：∵反比例函数
k
y
x
的图象经过点
3,4 ，
∴
3 4
12
k
；
故答案为：12．
2．已知y 与x 成反比例，且当
3
x
时，
4
y
．
(1)求函数的关系式；
(2)当
3
2
x
时，y 的值是多少？
【答案】(1)
12
y
x
(2)8
【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值
【分析】本题考查的是反比例的含义，求解反比例函数解析式；
（1）设解析式
k
y
x
，然后把一组对应值代入求出k 即可；
（2）把x 的值代入（1）中解析式即可得到对应的函数值．
【详解】（1）解：设解析式为：
k
y
x
，
把
3
x
，
4
y
代入得
3 4
12
k
，
所以函数解析式为
12
y
x
；
（2）当
3
2
x
时，
12
8
3
2
y
．
3．已知
2
y
与
3
x 成反比例，当
3
x
时，
4
y
．
(1)求y 与x 的函数解析式；
(2)当
2
y 时，求x 的值．
【答案】(1)
12
2
3
y
x
(2)
6
x
【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量
【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的关系式．
（1）根据
2
y
与
3
x
成反比例关系，且当
3
x
时，
4
y
求出k 的值，进而可得出反比例函数的解析式；
（2）把
2
y 代入求出x 的值即可
【详解】（1）解：∵
2
y
与
3
x 成反比例关系，
∴
2
3
k
y
x
，
∵当
3
x
时，
4
y
，即4
2
3
3
k
，
解得
12
k
，
∴y 与x 的关系式为
12
2
3
y
x
；
（2）解：∵由（1）知y 与x 的关系式为
12
2
3
y
x
，
∴当
2
y 时，
12
2
2
3
x
，
解得：
6
x ．
题型1 用反比例函数描述数量关系
【例1】下列成反比例关系的是（
）
A．圆的面积一定，它的半径与圆周率
B．平行四边形的面积一定，它的底与高
C．同学的年龄一定，他们的身高与体重D．三角形的高不变，它的底和面积
【答案】B
【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项
中的两个量是否满足该条件
【详解】解：A. 圆的面积公式为
2
S
r
，当面积S 一定时，是常数，r 也随之固定，二者无变化关系，
不成反比例；
B. 平行四边形的面积公式为S
底高，当面积S 一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义；
C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例；
D. 三角形面积公式为
2
S
底高，当高不变时，面积与底的比值为2
高（定值），二者成正比例；
故选：B
【例2】下列问题中的两个变量是成反比例的是（
）
A．被除数（不为零）一定，除数与商
B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长
D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间
【答案】A
【分析】形如
0
k
y
k
x
（k 为常数，
0
k
）的函数称为反比例函数．看两个变量是否具有反比例关系，
主要看它们的乘积是否为非零的常数．依据判断方法逐项分析即可．
【详解】解：A．被除数（不为零）一定，除数与商是反比例函数的关系，故此选项符合题意；
B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量是正比例函数的关系，故此选项不符合题意；
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长是一次函数的关系，故此选项不符合题意；
D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意．
故选：A．
【技巧归纳】
两个变量乘积为定值k，即y=k/x（k≠0）。先找出常量积，如矩形面积固定时长宽成反比。设未知数列式，
注意自变量的实际意义（如边长>0）。根据k 的正负判断图象所在象限。
【变式1-1】下面几组量不成反比例的是（
）
A．路程一定，时间和速度
B．长方形面积一定，长和宽
C．圆周长一定，圆的直径和圆周率
D．比的前项一定，比的后项和比值
【答案】C
【分析】根据两个变量之积为定值时，两个变量成反比例，进行判断即可．
【详解】A、路程等于速度乘以时间，路程一定，时间和速度成反比例关系，故此选项不符合题意；
B、长方形面积一定，长和宽成反比例关系，故此选项不符合题意；
C、圆的周长
2
C
r
，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项符合题意；
D、比的前项一定，比的后项和比值成反比例关系，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式1-2】下列说法正确的是（
）
A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系；
B．车辆行驶的速度v 一定时，行驶的路程s 与时间t 成反比例关系；
C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系；
D．圆的周长与直径成正比例关系．
【答案】D
【分析】分别利用反比例函数、正比例函数关系分别分析得出答案．
【详解】解：A、一个人的体重与他的年龄成正比例关系，错误，不符合题意；
B、车辆行驶的速度v 一定时，行驶的路程s 与时间t 成正比例关系，不符合题意；；
C、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系,错误，不符合题意；
D、圆的周长l
d
故与直径成正比例关系,符合题意．
故选：D
题型2 根据定义判断是否是反比例函数
【例3】下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（
）
A．
4
x
y
B．
1
4
y
x
C．
4
2
y
x
D．
4
y
x
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，形如
k
y
x
（k 为常数且
0
k
）的函
数是反比例函数，逐一分析选项即可判断．
【详解】解：A．
4
x
y
，不符合
k
y
x
的形式，y 不是x 的反比例函数；
B．
1
4
y
x
可变形为
4
y
x
，符合
k
y
x
的形式，y 是x 的反比例函数；
C．
4
2
y
x
，不符合
k
y
x
的形式，y 不是x 的反比例函数；
D．
4
y
x
，不符合
k
y
x
的形式，y 不是x 的反比例函数．
故选：B．
【例4】下列关系式中，y 是x 的反比例函数的是（
）
A．
8
xy
B．
2
y
x
C．
2
1
y
x
=
+
D．
2
1
y
x
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握“反比例函数解析式的一般式
(
0)
k
y
k
x
”是解题的关键．根
据反比例函数的定义，即可判断各函数类型是否符合题意．
【详解】解：A、
8
xy
可变形为
8 ,
y
y
x
是x 的反比例函数，符合题意；
B、
2 ,
y
x y
是x 的正比例函数，不符合题意；
C、
1,
2
y
x
y
不是x 的反比例函数，不符合题意；
D、
2
1
y
x
，y 不是x 的反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【技巧归纳】
形式：y=k/x（k≠0）或xy=k，x 指数为-1。注意变形后是否可化为上述标准式，如y=x/2 是一次函数，y=2/x
是反比例。排除其它函数形式，关注分母含自变量且分子为常数。
【变式2-1】下列式子：①
2
y
x
=
；②
2
y
x
；③xy
k
；④
1
y
x
；⑤
2
3
y
x
．其中能表示y 是x 的反比例
函数的有（
）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义分析即可得出答案．
【详解】解：①
2
y
x
，是二次函数不是反比例函数；故①不符合题意；
②
2
y
x
，是反比例函数，故②符合题意；
③xy
k
，不是反比例函数，故③不符合题意；
④
1
y
x
，是反比例函数，故④符合题意；
⑤
2
3
y
x
，是正比例函数不是反比例函数，故⑤不符合题意；
综上所述，能表示y 是x 的反比例函数的有2 个．
故选：C ．
【变式2-2】下列函数：①
2
y
x
；②
3
y
x
；③
1
y
x
；④
2
1
y
x
=
+ ；⑤
11
xy
；⑥y
kx
；⑦
5
y
x
；
⑧
1
y
x ．其中y 是x 的反比例函数的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定
义：形如
k
y
x
（其中
0
k
且k 为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可．
【详解】解：①
2
y
x
，y 不是x 的反比例函数；
②
3
y
x
，y 是x 的反比例函数；
③
1
1
y
x
x
，y 是x 的反比例函数；
④
2
1
y
x
=
+ ，y 不是x 的反比例函数；
⑤
11
xy
，即
11
y
x
，y 是x 的反比例函数；
⑥y
kx
，y 不是x 的反比例函数；
⑦
5
y
x
，y 是x 的反比例函数；
⑧
1
y
x ，y 不是x 的反比例函数；
综上所述，y 是x 的反比例函数的有②③⑤⑦，共4 个．
故选：D．
题型3 根据反比例函数的定义求参数
【例5】若
2 5
2
m
y
m
x
是反比例函数，那么m 的值是
．
【答案】2
【知识点】根据反比例函数的定义求参数、利用平方根解方程
【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到
2
0
m
，
且
2
5
1
m
，求解即可得到
2
m ，熟记反比例函数定义是解决问题的关键．
【详解】解：
2 5
2
m
y
m
x
是反比例函数，
2
0
m
，且
2
5
1
m
，
2
m
，
故答案为：2
．
【例6】已知函数
2 2
1
m
y
m
x
是反比例函数，则m 的值为（
）
A．1
B．1
C．1 或1
D．任意实数
【答案】B
【知识点】根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义
1
0
k
y
kx
k
x
的形式，可得
2
1
0
2
1
m
m
，
由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，
2
1
0
2
1
m
m
，
解得，
1
1
m
m
，
∴
1
m ，
故选：B ．
【技巧归纳】
将函数式化为y=kx⁻ ¹形式，指数为-1 且系数k≠0。列方程：自变量指数为-1，同时系数不为0。若为xy=k
形式，则k 为常数且非零。解出参数后代入验证，排除使分母为0 的情况。
【变式3-1】若函数
1
2
m
y
x
是反比例函数，则m 的值是
．
【答案】0
【知识点】根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，则
1
1
m 即可求解，解题关键是将一般
形式
0
k
y
k
x
转化为
1
0
y
kx
k
的形式．
【详解】解：∵函数
1
2
m
y
x
是反比例函数，
∴
1
1
m ，
∴
0
m
，
故答案为：0 ．
【变式3-2】已知
3
2
2
m
y
m
m x
是关于x 的反比例函数，则
2023
2
m
．
【答案】0
【知识点】已知字母的值，求代数式的值、根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是
k
y
x
（k 为常数，
0
k
），
先根据反比例函数的定义求出m 的值，再代入计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：
2
2
0
m
m
，
3
1
m
，
解得：
2
m
，
∴
2023
2023
2
2
2
0
m
，
故答案为：0 ．
题型4 求反比例函数的值
【例7】已知反比例函数
12
y
x
的图象经过点
4
P
m
，
，则m
．
【答案】3
【知识点】求反比例函数值
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据题意，将
4
P
m
，
代入函数表达式解方程即可得到答案．熟
记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：反比例函数
12
y
x
的图象经过点
4
P
m
，
，
4
12
m
，解得
3
m
，
故答案为：3 ．
【例8】已知函数
2
y
x
．当
2
x 时，y
；当
2
x
时，y
．
【答案】
1
1
【知识点】求反比例函数值
【分析】本题主要考查了求反比例函数的函数值，直接把
2
x 和
2
x
分别代入
2
y
x
中，求出对应的y
的值即可得到答案．
【详解】解：在
2
y
x
中，当
2
x 时，
2
1
2
y
；
当
2
x
时，
2
1
2
y
；
故答案为：1；1
．
【技巧归纳】
已知反比例解析式y=k/x，代入x 得y 值。若已知y，解x=k/y。也可利用xy=k 直接求积。注意x 和y 非零，
k 为定值。实际问题中需考虑取值范围，如边长、时间为正数。
【变式4-1】若反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
1,2
A
和点
1,
B
m
，则m 的值为
．
【答案】2
【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，先由待定系数
法求得k ，再把B 点代入反比例函数解析式即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
1,2
A
，
∴
1 2
2
k
，
∴反比例函数解析式为：
2
y
x
，
把
1,
B
m
代入得：
2
2
1
m
，
故答案为：2
．
【变式4-2】已知
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
两点都在反比例函数
8
y
x
的图像上，若
1
2
2
y y ，则
1
2
2
1
y
y
x
x
的值
为
．
【答案】
1
2
【知识点】求反比例函数值
【分析】本题考查反比例函数的有关计算，根据
8
y
x
得到
2
2
8
x y
，
1
1
8
x y
，根据
1
2
2
y y 得到
2
1x x ，代
入式子即可得到答案．
【详解】解：∵
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
两点都在反比例函数
8
y
x
的图像上，
∴
2
2
8
x y
，
1
1
8
x y
，
∵
1
2
2
y y ，
∴
1
2
64
2
x x ，即
1
2
32
x x
，
∴
1
1
2
2
2
1
2
2
1
1
16
1
32
2
y
x y
x
x x
y
x
y
x
，
故答案为：
1
2
．
题型5 由反比例函数值求自变量
【例9】若反比例函数
6
y
x
的图象经过点
, 3
a
，则a 的值为
．
【答案】2
【知识点】由反比例函数值求自变量
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，把点
, 3
a
代入反比例函数解析式即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数
6
y
x
的图象经过点
, 3
a
，
∴3
6
a
，
解得：
2
a
，
故答案为：2
【例10】在平面直角坐标系xOy 中，若函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
,3
A a
和
, 3
B b
，则a
b
的值
为
．
【答案】0
【知识点】求反比例函数值、由反比例函数值求自变量
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，将点
,3
A a
和
, 3
B b
代入
0
k
y
k
x
之中得
3
k
a
，
3
k
b
，由此可得a
b
的值．
【详解】解：∵函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
,3
A a
和
, 3
B b
，
∴3
k
a
，3
k
b
，
∴
3
k
a
，
3
k
b
，
∴
0
3
3
a
k
b
k
．
故答案为：0．
【技巧归纳】
根据反比例函数y=k/x，若已知y，则x=k/y（y≠0）。若已知xy=k，直接代入求另一变量。注意k 为定值，
且x、y 均不为0。解出后检验是否符合定义域（如实际问题中非负等）。
【变式5-1】若函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
1,2
A
和
, 1
B a
，则a 的值为
．
【答案】2
【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式．先将
1,2
A
代入
0
k
y
k
x
，求得该函数的解析式，再求
得
1
y 时，x 的值即可得到答案．
【详解】解：
0
k
y
k
x
的图象经过点
1,2
A
和
, 1
B a
，
1
2
2
k
，
该函数的解析式为
2
y
x
，
当
1
y 时，
2
x
，即
2
a
故答案为：2．
【变式5-2】已知y 与
2
3
x
成反比例，且当
1
x 时，
5
y
，那么当
0
x
时，y
．
【答案】25
3 / 1
8 3
【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了反比例关系，设
2
3
k
y
x
，根据
1
x 时，
5
y
，求出k ，即可求解，掌握相关知识是
解题的关键．
【详解】解：设
2
3
k
y
x
，
当
1
x 时，
5
2 1 3
k
，
解得：
25
k
，
∴
25
2
3
y
x
，
当
0
x
时，
25
25
2
3
3
y
x
，
故答案为：25
3 ．
题型6 求反比例函数的解析式
【例11】若y 与x 成反比例关系，且
1
x 时，
2
y
，求y 与x 的函数表达式．
【答案】
2
y
x
【知识点】求反比例函数解析式
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据题意，设反比例函数的解析式为
k
y
x
，把
1
x ，
2
y
，
代入解析式进行求解即可．
【详解】解：设
k
y
x
，
把
1
x ，
2
y
代入，得：2
1
k
，
∴
2
k ，
∴
2
y
x
．
【例12】一个反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
4 2
P
，．
(1)求该反比例函数的解析式．
(2)当
1
x 时，求y 的值．
【答案】(1)
8
y
x
(2) 8
【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值
【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式及通过解析式求函数值，解题的关键是掌握待定系数法．
（1）将
4 2
P
，代入
k
y
x
利用待定系数法求解即可；
（2）将
1
x 代入
8
y
x
求解即可．
【详解】（1）解：将
4 2
P
，代入
k
y
x
得
4
2
8
k
∴该反比例函数的解析式为
8
y
x
；
（2）解：当
1
x 时，代入
8
y
x
得
8
y ．
【技巧归纳】
设y=k/x，代入一对已知对应值（x,y）求出k，得解析式。若已知面积或矩形条件，利用k 的几何意义：|k|=
矩形面积。也可由xy 乘积为定值得k。注意k≠0。
【变式6-1】函数
k
y
x
（k 为常数）的图象过点
4 2
1
A
B
m
, ,
,
．
(1)求,k m 的值；
(2)小明说：“该函数图象上的任意一点
,a b ，若
4
a
，则
2
b
”，你赞同小明的说法吗？请说明理由．
【答案】(1)
8
m
，
8
k =
(2)不赞同，理由见解析
【知识点】求反比例函数解析式
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键．
（1）将
4,2 ,
1,
A
B
m 代入
k
y
x
求解即可．
（2）取特殊值判断即可．
【详解】（1）解：根据题意将
4,2 ,
1,
A
B
m 代入
k
y
x
，
则
4 2
1
k
m
，
解得：
4
2
8
k
，
8
m
．
（2）解：不赞同
根据（1）可得
8
y
x
，该函数图象上的任意一点
,a b ，则
8
ab
，
当
2
a 时，则有
4
2
b
，
故小明说法不正确．
【变式6-2】已知
2
1
y
y
y
，其中
1y 与x 成反比例，
2y 与
2
x
成正比例，当
1
x 时，
2
y ，当
2
x
时，
10
y
．
(1)求y 与x 的函数表达式；
(2)当
4
x
时，求y 的值
【答案】(1)
4
2
2
y
x
x
(2)13
【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程，求函数值，熟悉正比例函数的定义，
根据题意列出方程组是解本题的关键．
（1）设
1
1
1
0
k
y
k
x
，
2
2
2
2
0
y
k
x
k
，则
1
2
2
k
y
k
x
x
，根据题意列出二元一次方程组，求出
1k ，
2k 即可得出答案；
（2）把
4
x
代入（1）所求函数解析式，即可求解．
【详解】（1）解：
1y
与x 成反比例，
设
1
1
1
0
k
y
k
x
2y
与
2
x
成正比例，
设
2
2
2
2
0
y
k
x
k
2
1
y
y
y
，
1
2
2
k
y
k
x
x
当
1
x 时，
2
y ，当
2
x
时，
10
y
．
2
1
1
2
2
4
10
2
k
k
k
k
，解得
1
2
4
2
k
k
y
与x 的函数表达式为
4
2
2
y
x
x
；
（2）解：当
4
x
时，
4
2
4
2
4
y
13
．
一、单选题
1．若
2
m
y
x
是反比例函数，则m 的值为（
）
A．2
B．1
C．0
D．1
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键．
反比例函数的标准形式为
k
y
x
或
1
y
kx -
=
，其中k 为常数且
0
k
，据此对选项进行判断．
【详解】解：反比例函数的标准形式为
k
y
x
或
1
y
kx-
=
，其中k 为常数且
0
k
，
∵
2
m
y
x
是反比例函数，2
0
，
∴
1
m ．
故选：D ．
2．下列各点中，不在反比例函数
16
y
x
的图象上的是（
）
A．
4,4
B．
2, 8
C．
4, 4
D．
16, 1
【答案】C
【详解】解：反比例函数为
16
y
x
，可得
16
xy
．
A 选项：点
4,4
，
4
4
16
xy
，满足等式，点在图象上，不符合题意；
B 选项：点
2, 8
，
2
8
16
xy
，满足等式，点在图象上，不符合题意；
C 选项：点
4, 4
，
4
4
16
16
xy
，不满足等式，点不在图象上，符合题意；
D 选项：点
16, 1
，
16
1
16
xy
，满足等式，点在图象上，不符合题意．
3．物体匀速下落过程中，下落高度h 与下落时间t 成函数关系，下列变量对应关系中，属于反比例函数的是
（
）．
A．路程一定，速度与时间
B．圆的面积与半径
C．正方形周长与边长
D．匀速行驶路程与时间
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的定义，根据题意写出各选项变量的函数关系式，结合反比例函数定义
k
y
x
（k 为常数，
0
k
）判断即可．
【详解】首先明确反比例函数定义，形如
k
y
x
（k 为常数，
0
k
）的函数是反比例函数，
选项A 中，设路程为s ，s为定值且
0
s
，速度为v ，时间为t ，由s
vt
变形得
s
v
t
，符合反比例函数定
义，是反比例函数，A 符合题意；
选项B 中，圆面积
2
S
r
，是二次函数，不是反比例函数，B 不符合题意；
选项C 中，正方形周长
4
C
a
，是正比例函数，不是反比例函数，C 不符合题意；
选项D 中，匀速行驶时，设速度v 为定值，路程s
vt
，是正比例函数，不是反比例函数D 不符合题意．
4．有下列函数：①y
x
π ；②
3
y
x
；③
5
2
y
x
；④
2
xy ；⑤
2
1
y
x
=
- ；⑥
1
3
y
x
，y 是x 的反比
例函数的有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如
k
y
x
（k 为常数，
0
k
）或xy
k
（k 为常数，
0
k
）的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可．
【详解】解：∵反比例函数的定义为
k
y
x
（k 为常数，
0
k
）或可变形为该形式，
①y
x
，符合
k
y
x
（
0
k
），是反比例函数；
②
- 3
y
x
，是正比例函数，不是反比例函数；
③
5
5
2
2
y
x
x
，符合
k
y
x
（
5
0
2
k
），是反比例函数；
④xy -2可变形为
2
y
x
，符合
k
y
x
（
2
0
k
），是反比例函数；
⑤
2
1
y
x
，分母为
-1
x
不是x ，不符合反比例函数定义，不是反比例函数；
⑥
1
3
y
x
，不是
k
y
x
的形式，不是反比例函数；
∴是反比例函数的有①③④，共3 个．
故选：B．
5．已知点
2,5
A
在反比例函数
3
m
y
x
（m 为常数）的图象上，则m 的值为（
）
A．7
B．9
C．10
D．15
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．
利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入函数式求解即可
【详解】解：∵点
2,5
A
在反比例函数
3
m
y
x
的图象上，
∴将
2
x
，
5
y
代入解析式得：
3
5
2
m
，
解得：
7
m
．
故选：A．
二、填空题
6．已知点
2,k 在反比例函数
6
y
x
的图象上，则k 的值为_________．
【答案】3
【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的横坐标代入反比例函数解析式，即可
求出k 的值．
【详解】解：点
2,k 在反比例函数
6
y
x
的图象上，
6
3
2
k
．
7．已知点
,
m n 在反比例函数
4
y
x
的图象上，则mn 的值为_________．
【答案】4
【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出mn
的值．
【详解】解：点
,
m n 在反比例函数
4
y
x
的图象上，
将x
m
，y
n
代入
4
y
x
得：
4
n
m
，
则
4
mn
．
8．下列函数：①
7
2
y
x
：②
1
y
x
；③
5
2
x
y
；④
5
3
y
x
；⑤
5
7
y
x
．其中y 是x 的反比例函数的
有______（填序号）．
【答案】②⑤
【分析】根据反比例函数的定义，若两个变量y 与x 的关系可以表示为
k
y
x
（k 为常数，
0
k
）的形式，
则y 是x 的反比例函数，据此对各函数逐一判断即可．
【详解】解：①
7
2
y
x
是一次函数，不是反比例函数．
②
1
y
x
符合反比例函数定义，是反比例函数．
③
5
2
x
y
是正比例函数，属于一次函数，不是反比例函数．
④
5
3
y
x
分母为
3
x
，不符合
k
y
x
的形式，不是反比例函数．
⑤
5
5
7
7
y
x
x
，符合反比例函数定义，是反比例函数．
符合题意的有②⑤．
9．已知点
1
1,
A a
y
，
2
4,
B a
y
是反比例函数
0
k
y
k
x
图象上的两点，且满足
1
2
1
1
1
3
y
y
，则k 的值
为_________．
【答案】
9
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，表示出
1
1
y 与
2
1
y ，代入已知等式化简计算，即可求出k 的值．
【详解】解：点
1
1,
A a
y
，
2
4,
B a
y
是反比例函数
0
k
y
k
x
图象上的点，
1
1
k
y
a
，
2
4
k
y
a
，
变形得
1
1
1
a
y
k
，
2
1
4
a
y
k
，
将上述结果代入
1
2
1
1
1
3
y
y
得
1
4
1
3
a
a
k
k
，
1
4
1
3
a
a
k
，
3
1
3
k
，
解得
9
k ，
经检验
9
k 符合题意．
10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为
,a b ．当a
b
时，点P的坐标为
,a b
；当a
b
时，点P
的坐标为
,b a
，这样的点P叫做点P 的“调和点”．若点
2,
P
p
是反比例函数
8
y
x
图象上点P 的“调和
点”，则点P 的坐标为______．
【答案】
4, 2
或
2, 4
【分析】根据调和点的定义，分两种情况讨论，得到点P 坐标与点P坐标的关系，再利用点P 在反比例函
数图象上的性质求出未知参数，验证条件后得到点P 的坐标．
【详解】解：设点P 的坐标为
,x y ，根据“调和点”的定义，分两种情况讨论：
情况1：当x
y
时，P的坐标为
,x y
，
已知
2,
P
p
，
因此可得
2
x
，y
p
，
解得
2
x ，
即
2,
P
p
，
∵点P 在
8
y
x
上，
∴将
2, p
代入解析式得
8
4
2
p
，
此时
2
x ，
4
y ，满足x
y
，因此
2, 4
符合题意；
情况2 ：当x
y
时，P的坐标为
,y x
，
已知
2,
P
p
，
因此可得x
p
，
2
y
，
解得
2
y ，
即
, 2
P p
，
∵点P 在
8
y
x
上，
∴将
, 2
p
代入解析式得
8
2
p
，
解得
4
p ，
此时
4
x ，
2
y ，满足x
y
，因此
4, 2
符合题意；
综上，点P 的坐标为
4, 2
或
2, 4
．
三、解答题
11．下列y 关于x 的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成
k
y
x
的形式，
并指出k 的值．
①
m
y
x
；②
2
3
y
x
；③
2
1
m
y
x
x
；④
1
1
y
x
．
【答案】见解析
【详解】解：②
2
3
y
x
一定是反比例函数，
2
3
y
x
，k 的值是
2
3
；
③
2
1
m
y
x
x
一定是反比例函数，
2
1
m
y
x
，k 的值是
2
1
m ．
12．已知反比例函数
1 m
y
x
的图象经过点
2, 4
A
，求m 的值．
【答案】
7
【详解】解：将点
2, 4
A
代入反比例函数
1
m
y
x
，得，
1
4
2
m
，
解得
7
m
．
13．写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围：
(1)在60
/ h
km
的匀速运动中，运动路程
s km 是时间
h
t
的函数；
(2)某学校要在校园中辟出一块面积为
2
64m 的长方形土地做花圃，这个花圃的长
m
y
是宽
m
x
的函数．
【答案】(1)
60
s
t
，是正比例函数，自变量取值范围为
0
t
(2)
64
y
x
，是反比例函数，自变量取值范围为
0
x
【分析】（1）根据“路程=速度乘时间”即可得出运动路程
s km 是时间
h
t
的函数关系式，再根据正比例
函数的定义解答即可；
（2）根据长方形的面积公式即可得出花圃的长
m
y
是宽
m
x
的函数关系式，再根据反比例函数的定义解
答即可．
【详解】（1）解：根据路程=速度×时间，可得
60
s
t
，该式符合正比例函数
0
y
kx k
的形式，
因此s 是t 的正比例函数，
运动时间为非负数，因此自变量的取值范围是
0
t
．
（2）解：∵长方形面积=长×宽，可得
64
xy
，
变形得
64
y
x
，该式符合反比例函数
0
k
y
k
x
的形式，
因此y 是x 的反比例函数，
长方形的宽为正数，因此自变量的取值范围是
0
x
．
14．已知
2 5
2
m
y
m
x
．
(1)当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？
(2)当m 为何值时，y 是x 的反比例函数？当
8
y
时，求x 的值．
【答案】(1)
6
m
(2)
2
m ；
1
2
x
【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义：
（1）根据正比例函数的定义可得
2
5
1
m
且
2
0
m
，即可求解；
（2）根据反比例函数的定义可得
2
5
1
m
且
2
0
m
，即可求解．
【详解】（1）解：∵
2 5
2
m
y
m
x
是正比例函数，
∴
2
5
1
m
且
2
0
m
，
解得：
6
m
；
（2）解：∵
2 5
2
m
y
m
x
是反比例函数，
∴
2
5
1
m
且
2
0
m
，
解得：
2
m ；
∴该反比例函数的解析式为
4
y
x
，
当
8
y
时，
4
8
x
，
解得：
1
2
x
．
15．已知
2
a
b
a
b
a
ab
T
b
b
(1)化简T ；
(2)若在平面直角坐标系xoy 中，点
,
P a b 为反比例函数
12
y
x
上一点，且
5
OP
，求T 的值．
【答案】(1) a
b
(2) 7
【分析】本题考查了分式的运算，反比例函数的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据同分母相加减的运算法则计算即可；
（2）根据反比例函数的性质求出
12
ab
，根据两点间距离公式求出
2
2
25
a
b
，然后根据完全平方公式求
解即可。
【详解】（1）解：
2
a
b
a
b
a
ab
T
b
b
2
2
2
a
ab
a
b
b
b
2
2
2
a
ab
a
b
b
2
ab
b
b
a
b
；
（2）解：∵点
,
P a b 为反比例函数
12
y
x
上一点，
∴
12
ab
，
∵
5
OP
，
∴
2
2
25
25
a
b
，
∴
2
2
2
2
25
2 12
49
a
b
a
b
ab
，
∴
7
a
b
，即
7
T .
16．已知反比例函数
8
3
y
x
，求：
(1)自变量x 的取值范围．
(2)当
2
3
x
时，函数y 的值．
(3)当
8
y
时，自变量x 的值．
【答案】(1)
0
x
(2)4
(3)
1
3
x = -
【分析】本题考查了反比例函数自变量的取值范围、反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图
象上点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答；
（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答．
【详解】（1）由反比例函数的定义和分式的意义可知，
0
x
．
（2）将
2
3
x
代入
8
3
y
x
中，得
8
4
2
3
3
y
．
（3）将
8
y
代入
8
3
y
x
中，得
8
8
3x
，解得
1
3
x = -
．
17．已知
1
2
y
y
y
，若
1y 与
2x 成正比例关系，2y 与x 成反比例关系，且当
1
x 时，
3
y ；
1
x 时，
5
y ．
(1)求y 与x 的函数关系式：
(2)求
2
x 时，y 的值．
【答案】(1)
2
4
y
x
x
；
(2)
2
x 时，
2
y ．
【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正
确理解图象上的点与函数解析式的关系．
（1）由
1y 与
2x 成正比例关系，
2y 与x 成反比例关系．分别设
2
2
1
1
2
,
k
y
k x
y
x
，并把
1y 、
2y 代入
1
2
y
y
y
中，然后把所给两组数分别代入求出
1k 、
2k ，即可求出y 与x 的函数关系式．
（2）把
2
x 代入（1）中的解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设
2
2
1
1
2
,
k
y
k x
y
x
，
则
2
2
1
k
y
k x
x
，
依题意得
1
2
1
2
3
5
k
k
k
k
，
解得
1
2
1
4
k
k
，
2
4
y
x
x
；
（2）解：当
2
x 时，
2
4
2
4
2
2
2
y
．
18．定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2 的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例
如：点
3,1
P
是正比例函数
1
3
y
x
的图像上的“亮点”．
(1)一次函数
5
y
x
的图像上的“亮点”是______；
(2)若点M 是反比例函数
3
y
x
图像的“亮点”，一次函数
2
y
x
b
的图像经过点M，求b 的值；
(3)若二次函数
2
3
0
y
ax
x
c a
的图像经过点
2,0
A
，试说明无论a 取何值，该二次函数的图像上一
定存在“亮点”．
【答案】(1) 7 3
( , )
2 2 ；
(2)
7
b
或
5
b ；
(3)理由见解析．
【分析】本题考查了函数图像上的“亮点”，一次函数图像上点坐标的特征，反比例函数图像上点坐标的特
征，二次函数图像上点坐标的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）不妨设点( ,
2)
b b
在一次函数
5
y
x
上，代入求值即可得到答案；
（2）不妨设( ,
2)
c c
在反比例函数
3
y
x
图像上，求得点M ，然后再将点M 代入一次函数
2
y
x
b
，求
得b 即可；
（3）由二次函数
2
3
0
y
ax
x
c a
的图像经过点
2,0
A
，得到
4
6
c
a
，推出
2
2
3
3
4
6
y
ax
x
c
ax
x
a
，由(
2)(
2)
3
6
a x
x
x
y
，推导出无论a 取何值，当
2
x
时，
(
2)(
2)
0
a x
x
，3
6
0
x
y
，此时
0
y
；当
2
x 时，(
2)(
2)
0
a x
x
，3
6
0
x
y
，此时
12
y
；
其中(2,0) 是该函数的亮点，得证．
【详解】（1）解：不妨设点( ,
2)
b b
在一次函数
5
y
x
上，
2
5
b
b
，
7
2
b
，
7
3
2
2
2
2
b
，
一次函数
5
y
x
的图像上的“亮点”是7 3
,
2 2
；
故答案为：7 3
,
2 2
；
（2）解：设( ,
2)
c c
在反比例函数
3
y
x
图像上，
3
2
c
c
，
1
3
c
，
2
1
c ，
反比例函数
3
y
x
图像的“亮点”有：
(3,1)
M
，
( 1, 3)
M
，
一次函数
2
y
x
b
的图像经过点M，
代入
(3,1)
M
，有1
2 3
b
，
7
b
；
代入
( 1, 3)
M
，有3
2 ( 1)
b
，
5
b ；
7
b
或
5
b ；
（3）解：二次函数
2
3
0
y
ax
x
c a
的图像经过点
2,0
A
，
0
4
6
a
c
，
4
6
c
a
，
2
2
3
3
4
6
y
ax
x
c
ax
x
a
，
2
(
4)
3
6
a x
x
y
，
(
2)(
2)
3
6
a x
x
x
y
，
无论a 取何值，当
2
x
时，(
2)(
2)
0
a x
x
，3
6
0
x
y
，此时
0
y
；
当
2
x 时，(
2)(
2)
0
a x
x
，3
6
0
x
y
，此时
12
y
；
无论a 取何值，
2
3
4
6
y
ax
x
a
一定过(2,0) 和( 2,12)
，
2
0
2
，
该二次函数的图像上一定存在“亮点”，亮点坐标为(2,0) ．
