文档文本内容
第13 讲反比例函数的概念
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 用反比例函数描述数量关系
题型2 根据定义判断是否是反比例函数
题型3 根据反比例函数的定义求参数
题型4 求反比例函数的值
题型5 由反比例函数值求自变量
题型6 求反比例函数的解析式
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
反比例函数、y =
�
�、
k≠0、三种形式、自变
量非零。
1. 理解反比例函数的概念，能识别形如y =
�
�（k 为常数，k≠0）的函数。
2. 掌握反比例函数的三种表达形式：y =
�
�、y = kx-1、xy = k （k≠0）。
3. 能根据实际问题中的数量关系列出反比例函数解析式，并确定自变量的取
值范围。
4. 体会反比例函数与正比例函数的区别，感受函数模型的多样性。
学习重点：反比例函数的概念及其三种表达形式，k≠0 和自变量x≠0 的规定。
学习难点：理解k 在反比例函数中的作用，以及从实际问题中抽象出反比例关系（例如：xy = k 的形
式）。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy
k
，
或表示为
k
y
x
，其中k 是不等于零的常数.
一般地，形如
k
y
x
( k 为常数，
0
k
)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变
量x 的取值范围是不等于0 的一切实数.
特别说明：（1）在
k
y
x
中，自变量x 是分式k
x
的分母，当
0
x
时，分式k
x
无意义，所以自变量x 的取
值范围是
，函数y 的取值范围是
0
y
.故函数图象与x 轴、y 轴无交点.
（2）
k
y
x
(
)可以写成
(
)的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问
题时应特别注意系数
这一条件.
（3）
k
y
x
(
)也可以写成
的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得
到反比例函数的解析式.
【易错提醒】
反比例函数定义易错警示：形如y=
�
�（k≠0）或xy=k。注意：自变量x 在分母，次数为1，且x≠0。k≠0 是
必要条件，勿忽略。避免与正比例函数混淆。
即时即练1．把
2
3
y
x
化为
k
y
x
的形式：
，其中k
；
2．下列函数：①
2
1
y
x
；②
4
y
x
；③
6
y
x
；④
2
1
y
x
=
+ ；⑤
1
2
y
x
．其中，y 是x 的反比例函
数的有
（填序号）．
3．若
3
2
a
y
a
x
是反比例函数，则a 的值为
．
知识点02 确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数
k
y
x
中，只有一个待定系数k ，因
此只需要知道一对x
y
、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为：
k
y
x
(
0
k
)；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数k 的值；
（4）把求得的k 值代回所设的函数关系式
k
y
x
中.
【易错提醒】
确定反比例函数关系式易错警示：一般用待定系数法设y=
�
�，代入一组对应值求出k。注意k≠0，且x 与y
对应准确。也可用xy=k 直接计算，避免符号错误。
即时即练1．已知反比例函数
k
y
x
的图象经过点(3,4) ，则k 的值为
．
2．已知y 与x 成反比例，且当
3
x
时，
4
y
．
(1)求函数的关系式；
(2)当
3
2
x
时，y 的值是多少？
3．已知
2
y
与
3
x 成反比例，当
3
x
时，
4
y
．
(1)求y 与x 的函数解析式；
(2)当
2
y 时，求x 的值．
题型1 用反比例函数描述数量关系
【例1】下列成反比例关系的是（
）
A．圆的面积一定，它的半径与圆周率
B．平行四边形的面积一定，它的底与高
C．同学的年龄一定，他们的身高与体重D．三角形的高不变，它的底和面积
【例2】下列问题中的两个变量是成反比例的是（
）
A．被除数（不为零）一定，除数与商
B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长
D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间
【技巧归纳】
两个变量乘积为定值k，即y=k/x（k≠0）。先找出常量积，如矩形面积固定时长宽成反比。设未知数列式，
注意自变量的实际意义（如边长>0）。根据k 的正负判断图象所在象限。
【变式1-1】下面几组量不成反比例的是（
）
A．路程一定，时间和速度
B．长方形面积一定，长和宽
C．圆周长一定，圆的直径和圆周率
D．比的前项一定，比的后项和比值
【变式1-2】下列说法正确的是（
）
A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系；
B．车辆行驶的速度v 一定时，行驶的路程s 与时间t 成反比例关系；
C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系；
D．圆的周长与直径成正比例关系．
题型2 根据定义判断是否是反比例函数
【例3】下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（
）
A．
4
x
y
B．
1
4
y
x
C．
4
2
y
x
D．
4
y
x
【例4】下列关系式中，y 是x 的反比例函数的是（
）
A．
8
xy
B．
2
y
x
C．
2
1
y
x
=
+
D．
2
1
y
x
【技巧归纳】
形式：y=k/x（k≠0）或xy=k，x 指数为-1。注意变形后是否可化为上述标准式，如y=x/2 是一次函数，y=2/x
是反比例。排除其它函数形式，关注分母含自变量且分子为常数。
【变式2-1】下列式子：①
2
y
x
=
；②
2
y
x
；③xy
k
；④
1
y
x
；⑤
2
3
y
x
．其中能表示y 是x 的反比例
函数的有（
）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【变式2-2】下列函数：①
2
y
x
；②
3
y
x
；③
1
y
x
；④
2
1
y
x
=
+ ；⑤
11
xy
；⑥y
kx
；⑦
5
y
x
；
⑧
1
y
x ．其中y 是x 的反比例函数的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型3 根据反比例函数的定义求参数
【例5】若
2 5
2
m
y
m
x
是反比例函数，那么m 的值是
．
【例6】已知函数
2 2
1
m
y
m
x
是反比例函数，则m 的值为（
）
A．1
B．1
C．1 或1
D．任意实数
【技巧归纳】
将函数式化为y=kx⁻ ¹形式，指数为-1 且系数k≠0。列方程：自变量指数为-1，同时系数不为0。若为xy=k
形式，则k 为常数且非零。解出参数后代入验证，排除使分母为0 的情况。
【变式3-1】若函数
1
2
m
y
x
是反比例函数，则m 的值是
．
【变式3-2】已知
3
2
2
m
y
m
m x
是关于x 的反比例函数，则
2023
2
m
．
题型4 求反比例函数的值
【例7】已知反比例函数
12
y
x
的图象经过点
4
P
m
，
，则m
．
【例8】已知函数
2
y
x
．当
2
x 时，y
；当
2
x
时，y
．
【技巧归纳】
已知反比例解析式y=k/x，代入x 得y 值。若已知y，解x=k/y。也可利用xy=k 直接求积。注意x 和y 非零，
k 为定值。实际问题中需考虑取值范围，如边长、时间为正数。
【变式4-1】若反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
1,2
A
和点
1,
B
m
，则m 的值为
．
【变式4-2】已知
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
两点都在反比例函数
8
y
x
的图像上，若
1
2
2
y y ，则
1
2
2
1
y
y
x
x
的值
为
．
题型5 由反比例函数值求自变量
【例9】若反比例函数
6
y
x
的图象经过点
, 3
a
，则a 的值为
．
【例10】在平面直角坐标系xOy 中，若函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
,3
A a
和
, 3
B b
，则a
b
的值
为
．
【技巧归纳】
根据反比例函数y=k/x，若已知y，则x=k/y（y≠0）。若已知xy=k，直接代入求另一变量。注意k 为定值，
且x、y 均不为0。解出后检验是否符合定义域（如实际问题中非负等）。
【变式5-1】若函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
1,2
A
和
, 1
B a
，则a 的值为
．
【变式5-2】已知y 与
2
3
x
成反比例，且当
1
x 时，
5
y
，那么当
0
x
时，y
．
题型6 求反比例函数的解析式
【例11】若y 与x 成反比例关系，且
1
x 时，
2
y
，求y 与x 的函数表达式．
【例12】一个反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
4 2
P
，．
(1)求该反比例函数的解析式．
(2)当
1
x 时，求y 的值．
【技巧归纳】
设y=k/x，代入一对已知对应值（x,y）求出k，得解析式。若已知面积或矩形条件，利用k 的几何意义：|k|=
矩形面积。也可由xy 乘积为定值得k。注意k≠0。
【变式6-1】函数
k
y
x
（k 为常数）的图象过点
4 2
1
A
B
m
, ,
,
．
(1)求,k m 的值；
(2)小明说：“该函数图象上的任意一点
,a b ，若
4
a
，则
2
b
”，你赞同小明的说法吗？请说明理由．
【变式6-2】已知
2
1
y
y
y
，其中
1y 与x 成反比例，
2y 与
2
x
成正比例，当
1
x 时，
2
y ，当
2
x
时，
10
y
．
(1)求y 与x 的函数表达式；
(2)当
4
x
时，求y 的值
一、单选题
1．若
2
m
y
x
是反比例函数，则m 的值为（
）
A．2
B．1
C．0
D．1
2．下列各点中，不在反比例函数
16
y
x
的图象上的是（
）
A．
4,4
B．
2, 8
C．
4, 4
D．
16, 1
3．物体匀速下落过程中，下落高度h 与下落时间t 成函数关系，下列变量对应关系中，属于反比例函数的是
（
）．
A．路程一定，速度与时间
B．圆的面积与半径
C．正方形周长与边长
D．匀速行驶路程与时间
4．有下列函数：①y
x
π ；②
3
y
x
；③
5
2
y
x
；④
2
xy ；⑤
2
1
y
x
=
- ；⑥
1
3
y
x
，y 是x 的反比
例函数的有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
5．已知点
2,5
A
在反比例函数
3
m
y
x
（m 为常数）的图象上，则m 的值为（
）
A．7
B．9
C．10
D．15
二、填空题
6．已知点
2,k 在反比例函数
6
y
x
的图象上，则k 的值为_________．
7．已知点
,
m n 在反比例函数
4
y
x
的图象上，则mn 的值为_________．
8．下列函数：①
7
2
y
x
：②
1
y
x
；③
5
2
x
y
；④
5
3
y
x
；⑤
5
7
y
x
．其中y 是x 的反比例函数的
有______（填序号）．
9．已知点
1
1,
A a
y
，
2
4,
B a
y
是反比例函数
0
k
y
k
x
图象上的两点，且满足
1
2
1
1
1
3
y
y
，则k 的值
为_________．
10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为
,a b ．当a
b
时，点P的坐标为
,a b
；当a
b
时，点P
的坐标为
,b a
，这样的点P叫做点P 的“调和点”．若点
2,
P
p
是反比例函数
8
y
x
图象上点P 的“调和
点”，则点P 的坐标为______．
三、解答题
11．下列y 关于x 的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成
k
y
x
的形式，
并指出k 的值．
①
m
y
x
；②
2
3
y
x
；③
2
1
m
y
x
x
；④
1
1
y
x
．
12．已知反比例函数
1 m
y
x
的图象经过点
2, 4
A
，求m 的值．
13．写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围：
(1)在60
/ h
km
的匀速运动中，运动路程
s km 是时间
h
t
的函数；
(2)某学校要在校园中辟出一块面积为
2
64m 的长方形土地做花圃，这个花圃的长
m
y
是宽
m
x
的函数．
14．已知
2 5
2
m
y
m
x
．
(1)当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？
(2)当m 为何值时，y 是x 的反比例函数？当
8
y
时，求x 的值．
15．已知
2
a
b
a
b
a
ab
T
b
b
(1)化简T ；
(2)若在平面直角坐标系xoy 中，点
,
P a b 为反比例函数
12
y
x
上一点，且
5
OP
，求T 的值．
16．已知反比例函数
8
3
y
x
，求：
(1)自变量x 的取值范围．
(2)当
2
3
x
时，函数y 的值．
(3)当
8
y
时，自变量x 的值．
17．已知
1
2
y
y
y
，若
1y 与
2x 成正比例关系，2y 与x 成反比例关系，且当
1
x 时，
3
y ；
1
x 时，
5
y ．
(1)求y 与x 的函数关系式：
(2)求
2
x 时，y 的值．
18．定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2 的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例
如：点
3,1
P
是正比例函数
1
3
y
x
的图像上的“亮点”．
(1)一次函数
5
y
x
的图像上的“亮点”是______；
(2)若点M 是反比例函数
3
y
x
图像的“亮点”，一次函数
2
y
x
b
的图像经过点M，求b 的值；
(3)若二次函数
2
3
0
y
ax
x
c a
的图像经过点
2,0
A
，试说明无论a 取何值，该二次函数的图像上一
定存在“亮点”．
