文档文本内容
第15 讲实际问题与反比例函数
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断
题型2 一次函数与反比例函数的交点问题
题型3 一次函数与反比例函数的其他综合应用
题型4 反比例函数的实际应用
题型5 一次函数与反比例函数的实际应用
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
反比例函数、建模、
k≠0、自变量范围、图
象、变化趋势、检验。
1. 能根据实际问题中的反比例关系，建立反比例函数模型（y =
�
�，k≠0）。
2. 掌握利用反比例函数的图象和性质解决实际问题，如面积、体积、工程、
行程等问题。
3. 能根据实际问题背景确定自变量的取值范围，并分析函数值的变化趋势。
4. 经历“问题—建模—求解—检验”的过程，体会数学建模思想，培养应用
意识。
学习重点：建立反比例函数模型解决实际问题，利用反比例函数的性质分析问题中的变量关系。
学习难点：准确找出实际问题中的反比例关系（如乘积为定值），以及根据实际意义确定自变量的取
值范围，并能结合图象解释问题的解。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定
①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点。
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况
【易错提醒】
一次函数与反比例函数交点坐标易错警示：联立解析式得方程，解出x 后需代回验算，确保分母不为0 且
满足两方程。注意：交点个数由判别式或图象判断，可能无交点、一个或两个。勿漏解。
即时即练1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y
kx
b
的图象与反比例函数
m
y
x
的图象交于
点
1, 2
A
，
2,
B
n 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)观察图象，请直接写出不等式
m
kx
b
x
的解集；
(3)若P 是x 轴上一点，且满足PAB
的面积是6，直接写出点P 的坐标．
知识点02 利用反比例函数解决实际问题
1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问
题.
2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系
数用字母表示.
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
【易错提醒】
利用反比例函数解实际问题易错警示：正确建立y=
�
�模型，注意自变量范围（如数量、时间>0）。求函数值
时勿忘单位统一，结果需符合实际意义（如人数取整数）。注意图象是两支，但实际问题通常只有一支。
即时即练1．如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数y（度）
与镜片的焦距x （米）是反比例函数关系，图象如图所示：
(1)写出这一函数表达式；
(2)小妮原来佩戴200 度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调
整到了0．25 米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？
知识点03 反比例函数在其他学科中的应用
1.当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.
【易错提醒】
反比例函数跨学科应用易错警示：物理（压强与面积、电压与电阻）、化学（气体体积与压强）中，注意
变量是否为反比关系，同时单位要统一。利用xy=k 计算时，勿混淆变量对应关系，且k 为常数。
即时即练1．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72
欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R 为12 欧姆时，电流I 为12 安培．
(1)求电流I （安培）关于电阻R （欧姆）的函数表达式；
(2)若4
72
R
，求电流I 的变化范围．
题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断
【例1】在同一直角坐标系中，函数
k
y
x
和
4
y
kx
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【例2】函数
k
y
x
与y
kx
k
(
0
k
)在同一平面直角坐标系中的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
先分别根据已知条件确定各自系数符号，再检验它们是否在同一直角坐标系中相符（如一次函数增减性与
反比例所在象限）。常用假设法：假设一个成立，推导参数范围，验证另一个是否矛盾。也可通过交点代
入联立验证。
【变式1-1】如图，在同一个平面直角坐标系中，函数
ab
y
x
与y
ax
b
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】函数
0
a
y
a
x
与
0
y
ax
a a
在同一平面直角坐标系中的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
题型2 一次函数与反比例函数的交点问题
【例3】已知反比例函数
0
k
y
k
x
与一次函数
6
2
y
x
的图象的一个交点的横坐标为4 ，则k 的值为（
）
A．6
B．2
C．8
D．4
【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线
0
y
ax
b a
与双曲线
0
k
y
k
x
交于点
2,3
A
，
3, 1
B
．则
满足不等式
k
ax
b
x
的x 的取值范围是（
）
A．0
3
x
B．1
0
x
或
3
x
C．2
0
x
或
3
x
D．
2
x 或0
3
x
【技巧归纳】
联立方程：令一次函数y=k₁ x+b 与反比例y=k₂ /x 相等，得k₁ x²+bx-k₂ =0。判别式Δ决定交点个数，Δ>0
两交点，Δ=0 相切，Δ<0 无交点。求交点坐标即解方程。注意反比例定义域x≠0。
【变式2-1】已知直线
4
y
x
与双曲线
(
0)
k
y
x
x
只有一个交点，将直线
4
y
x
向上平移1个单位后与
双曲线
(
0)
k
y
x
x
相交于A ，B 两点，如图，则A 点的坐标为（
）
A．
1,4
B．
1,5
C．
2,3
D．
2,4
【变式2-2】如图，一次函数
1
1
y
x
的图象与反比例函数
2
2
y
x
的图象交于A、B 两点，过点A 作AC
x
轴于点C，过点B 作BD
x
轴于点D，连接AO
BO
、
，下列说法正确的有(
)
①A 和点B 关于原点对称；②当
1
x 时，
1
2
y
y
；③
AOC
BOD
S
S
△
△
；④当
0
x
时，
1
2
y
y
、
都随x 的增大而
增大．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型3 一次函数与反比例函数的其他综合应用
【例5】如图，在平面直角坐标系中，双曲线
m
y
x
与直线
2
2
y
x
交于点
1,
A
a
．
(1)求a ，m 的值；
(2)设直线
2
2
y
x
与x 轴交点为C ，连接AO ，求
AOC
△
的面积．
【例6】如图，直线
1
3
2
y
x
与y 轴交于A ，与双曲线
(
0)
k
y
x
x
交于
( ,4)
B m
．将直线AB 平移，与x 轴交
于C ，与双曲线交于D ．
(1)求双曲线的解析式．
(2)当CD
AB
时，求点C，D 的坐标．
【技巧归纳】
综合题常见：求交点及面积（用割补法或坐标差求三角形面积）；根据图象位置写不等式解集；利用函数
值大小比较。巧用k 的几何意义（矩形面积|k|）。注意自变量取值范围，分类讨论交点所在象限。
【变式3-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
AB
y
kx
：
与y 轴相交于点A ，与反比例函数
8
y
x
在第一象限内的图象相交于点
,2
B m
．
(1)求直线AB 的表达式；
(2)将直线AB 沿y 轴方向向上平移n 个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点C ，若
18
ABC
S
，请
求出n 的值．
【变式3-2】已知正比例函数y
x
与反比例函数
k
y
x
的图象在第一象限交于点
(2, )
M
a ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图，将直线y
x
向上平移b 个单位后与
k
y
x
的图象交于点
(1,
)
A
m 和点
( , 1)
B n
，
①求
AOB
的面积；
②直接写出不等式
k
x
b
x
的解集．
题型4 反比例函数的实际应用
【例7】光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度Lux
（
），智能玻璃可以通过自动调节其
透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度y Lux
（
）是透明度
%
x
的反比例函数，
其图象如图所示．
(1)求出y 与x 之间的函数表达式；
(2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为2000
5000
y
的室内生长，那么智能玻璃的
透明度x 应控制在什么范围内？请说明理由．
【例8】“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体重量的简易衡器、由
木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成，人们可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤盘中物体
的重量．小华仿照古人制作秤的方法制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长1 米的质地均匀木杆，用细绳绑
在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个重物，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆
保持平衡，根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数y（单位：N ）是x（弹簧秤与中点O的距离）
（单位：cm ）的反比例函数，当
20
x =
时，
30
y
．
(1)求y 关于x 的函数表达式；
(2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y 的最小值；
(3)若弹簧秤的最大量程是100N ，求x 的取值范围．
【技巧归纳】
实际问题中，若两变量乘积为定值，则成反比例。根据已知数据求k，得解析式。利用解析式求未知量，注
意自变量的实际限制（如长度>0、人数为正整数）。结合图象分析变化趋势，如当x 增大时y 减小。
【变式4-1】小明用定值电阻探究电压不变时电路中的电流强度I（单位：A）和电阻R（单位：）的数量
关系．通过滑动电阻保持电阻R 两端电压恒定，把不同阻值的电阻R 接入电路，观察电流表中的数据，得
到如表的数据：
Ω
R
20
30
40
50
60
A
I
0.6
0.4
0.3
0.24
0.2
(1)请写出适当的函数表达式表示变量I 与变量R 的数量关系．
(2)当电阻的阻值为
1R 时，电路中的电流强度为
1I ，若要使得该电路中的电流强度增大为原来的3 倍，接入
电路的电阻阻值应该怎样变化？请说明理由．
【变式4-2】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔
的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现
2L 的长
度cm
y
和重物B 的质量xN 之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
/ N
x
…
10
16
20
25
40
50
…
/ cm
y
…
8
5
4
3.2
2
1.6
…
(1)在图1 中描出表中数据对应的点
,x y ；
(2)根据表中数据，从
0
y
ax
b a
和
0
k
y
k
x
中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物B 的质量
为xN 和
2L 的长度为cm
y
的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x 的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，若点A 的坐标为
20,0 ，点B 的坐标为
0,2 ，在（2）中所求函数的图象上存在点C ，
使得
40
ABC
S
△
，请求出所有满足条件的点C 的坐标．
题型5 一次函数与反比例函数的实际应用
【例9】某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，
消毒效果y （单位：效力）与时间x （单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB 段为渐消毒阶段，BC 段
为深消毒阶段，CD 段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)第10 分钟时消毒效果为________效力；
(2)当
10
x
时，求y 与x 之间的函数关系式；
(3)若消毒效果持续28 分钟达到4 效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
【例10】为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含
药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y 与x 成反比例（如图所示）．现测得药物10 分钟
燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题：
(1)求药物燃烧时y 与x 的函数关系式；
(2)求药物燃烧后y 与x 的函数关系式；
(3)当每立方米空气中含药量不低于5mg 时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？
【技巧归纳】
先确定变量关系：若和为定值用一次，积为定值用反比例。根据实际条件列方程组求解析式，再求交点（如
平衡点）。注意定义域须符合实际，如价格>0、时间>0。结果要检验合理性。
【变式5-1】如图1 是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25 C
，加热到100 C
时，停止加热，水
温开始下降，此时水温( C)
y
是通电时间(min)
x
的反比例函数．若在水温为20 C
时开始加热，水温y 与通
电时间x 之间的函数关系如图2 所示．
(1)将水从20 C
加热到100 C
需要min ；
(2)在水温下降的过程中，求水温y 关于通电时间x 的函数表达式；
(3)加热一次，水温不低于40 C
的时间有多长？
【变式5-2】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段
的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度(
)
y ℃与时间(h)
x
之间的函数关系，其中线段AB 、BC 表示
恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少C
；
(2)求全天的温度( C)
y
与时间(h)
x
之间的函数关系式；
(3)若大棚内的温度低于12 C
时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免
水果生长受到影响？
一、单选题
1．在平面直角坐标系xOy 中，过点O的直线与
(
0)
k
y
k
x
的图象交于
2,
A
a 和
1
B b,
两点，则a
b
的值
为（
）
A．1
B．1
C．3
D．3
2．在同一直角坐标系中，函数
3k
y
x
和
5
8
y
kx
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，一次函数
1
1
y
k x
b
（
1
0
k
）的图象与反比例函数
2
2
k
y
x
（
2
0
k
，
0
x
）的图象交于
6
5, 5
A
，
1,6
B
两点．当
1
2
y
y
时，自变量x 的取值范围是（
）
A．
5
x
B．
5
x 或
1
x
C．5
1
x
D．
5
x 或1
0
x
4．某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从20 C
匀速升至100 C
，加热时间为10 分钟；然
后自动转为恒温沸腾模式，保持100 C
持续2 分钟；之后自动断电，温度开始自然下降．下降过程中，锅内
温度y
C
与启动加热后通电时间x
min 成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）．当温
度降至60 C
时，自动启动保温功能．如图是开始启动加热过程中，锅内温度y
C
与通电时间x
min 的函
数关系图象，则下列说法中错误的是（
）
A．启动后5 分钟时，锅内温度为60 C
B．加热阶段，y 与x 的函数关系式为
8
20
y
x
C．启动后15 分钟时，锅内温度为80 C
D．从启动到启动保温功能，锅内温度不低于80 C
的总时长为8 分钟
5．有氧运动的心率与人的年龄、运动时间及运动强度有直接的关系．如图1 是人的最大心率x 与年龄a 的
关系，如图2 是有氧运动的适宜心率y（即从安静心率到运动时心率）与最大心率x 的关系，如图3 是有氧
运动的实际心率与最大心率比值s 同运动时间t 的关系．根据图象判断，下列说法中错误的是（
）
A．45 岁的健康人最大心率约为175次/分
B．有氧运动的适宜心率范围在117 ~153的人年龄约为40 岁
C．将有氧运动的实际心率与最大心率比值s 同运动时间t 的关系图象向下平移若干单位长度后，近似可
以看成一个反比例函数图象的一部分
D．30岁的健康人进行有氧运动一个小时的心率约为148次/分
二、填空题
6．若双曲线
k
y
x
与直线
1
y
x
的一个交点的横坐标为2
，则k 的值为_____．
7．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω ）是反比例函数关
系，它的图象如图所示，当电阻为4 Ω
时，电流I 为______ A ．
8．如图，过原点的直线与反比例函数
0
k
y
k
x
的图象交于
,
,
2,
8
A m n
B m
n
两点，则k 的值为______．
9．某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量
1y （单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函
数，其图像如图所示．该产品的月供应量
2y （单位：万件）是销售单价x 的一次函数，若销售单价为20 元，
则月供应量为10 万件；若销售单价为40 元，则月供应量为30 万件．当该产品的月需求量和月供应量相等
时，其销售单价为______元．
10．如图，一次函数y
ax
b
的图象与反比例函数
k
y
x
的图象交于
1,3
A
，
, 2
B m
两点，与y 轴交于点
C ，点P 在坐标轴上，且PAC
是以AC 为底的等腰三角形，则P 点的坐标是________．
三、解答题
11．如图，反比例函数
k
y
x
（
0
k
）与正比例函数y
mx
（
0
m
）的图象交于点
2,3
A
和点B，点C
是点A 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ．
(1)求该反比例函数和正比例函数的解析式；
(2)求
ABC
的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式k
mx
x
的解集．
12．为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中
的含药量y（mg ）与燃烧时间x（min ）成正比例．燃烧完毕后，y 与x 成反比例（如图）．根据图中信息
解答下列问题：
(1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y 与x 函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当每立方米空气中含药量低于1.6mg 时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长
时间后学生才可以回教室．
13．如图，已知一次函数
1
y
x
的图像与坐标轴交于点C ，D ，与反比例函数
k
y
x
的图像交于点
1,
A
m ，
, 1
B n
．
(1)直接写出点C ，D 的坐标；
(2)直接写出m ，n 的值，并求反比例函数的表达式；
(3)连接OA ，求
AOC
△
的面积．
14．同学们通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m ）会随着电磁波的频率f （单位：
MHz ）的变化而变化．已知波长与频率f
0
f
是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
频率
/ MHz
f
…
10
20
30
40
50
60
…
波长/m
…
60
30
20
15
12
10
…
(1)求波长关于频率f 的函数解析式，并在平面直角坐标系中画出反比例函数
0
f
的图象；
(2)当
4
时，求电磁波的频率f ．
15．如图1．在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，
可使得仪器左右平衡．改变托盘B 与点O的距离，记录相应的托盘B 中的砝码质量，得到如下表：
托盘B 与点O
的距离
/ cm
x
10
15
20
25
30
托盘B 中的砝
码质量
/ g
y
30
20
15
12
10
(1)把表中x，y 的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲
线连接起来；
(2)观察所画的图象，猜测y 与x 之间的函数关系，求出该函数表达式；
(3)当砝码质量为24g 时，求托盘B 与点O的距离；
(4)当托盘B 向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B 中的砝码质量需增加至移动
前的两倍，求在移动前托盘B 中的砝码质量．
