第07 讲二次函数的概念
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 二次函数的识别
题型2 根据二次函数的定义求参数
题型3 二次函数的一般形式
题型4 二次函数的各项系数
题型5 二次函数图象上点的坐标特征
题型6 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）
题型7 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
二次函数、一般形
式、a≠0、二次项
系数、函数模型。
1. 理解二次函数的概念，掌握其定义的三要素（整式、自变量的二次式、a≠0）。
2. 能识别二次函数的二次项、一次项、常数项及各项系数。
3. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并确定自变量的取值范围。
4. 体会二次函数与一次函数、反比例函数的区别，感悟函数模型的多样性。
学习重点：二次函数的概念及一般形式y = ax2 + bx + c（a≠0），能准确识别各项系数。
学习难点：从实际问题中抽象出二次函数模型，以及理解a≠0 的必要性（区分二次函数与一次函数）。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数的概念
1.形如
c
bx
ax
y
2
（其中
c
b
a
,
,
是常数，
0
a
）的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一
次项系数，c 为常数项.
注意：二次项系数
0
a
，而b
c
，可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．
【易错提醒】
形如y=ax2+bx+c，必须满足a ≠0。若a=0 则为一次函数。同时x 的最高次数必须为2，且是整式，分母中
不能有自变量。
即时即练1．下列函数属于关于x 的二次函数的是（
）
A．
2
1
2
y
x
x
B．
2
2
2
y
x
x
C．
2
3
2
1
y
x
x
D．
2
y
ax
bx
c
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义：形如
2
y
ax
bx
c
（a 、b 、c 是常数，
0
a
）是二次函数．直接
利用二次函数的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A、
2
1
2
y
x
x
中1
x 是分式，不是二次函数，选项错误；
B、
2
2
2
2
4
2
4
4
4
y
x
x
x
x
x
x
，是一次函数，不是二次函数，选项错误；
C、
2
3
2
1
y
x
x
是二次函数，选项正确；
D、当
0
a
时，
2
y
ax
bx
c
不是二次函数，选项错误；
故选：C．
2．若
2 2
2
3
m
y
m
x
x
是关于x 的二次函数，则m 的值为
．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据二次函数的定义可得
2
2
2
m
且
2
0
m
，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
2
2
2
m
且
2
0
m
，
解得：
2
m 且
2
m ，
2
m
，
故答案为：2 ．
知识点02
二次函数的一般形式
一般式：
2
y
ax
bx
c
（a ，b ，c 为常数，
0
a
）；
【易错提醒】
一般式为y=ax2+bx+c（a≠0）。注意各项系数a,b,c 要带前面的符号。化为一般式时需去括号、合并同类项，
并按x 降幂排列，右边为0。
即时即练1．二次函数
2
2
1
y
x
的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（
）
A．2，0，1
B．2，2，1
C．2，2，1
D．2，0，1
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键．
根据二次函数的一般式
2
y
ax
bx
c
（
0
a
，a
b
c
、、为常数）即可求解．
【详解】解：二次函数
2
2
1
y
x
的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，1
，
答案：A．
2．已知二次函数
2
1
y
x x
，则a
，b
，c
．
【答案】
1
2
1
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．形如：
2
0
y
ax
bx
c a
这样
的函数是二次函数，其中二次项系数为,a
一次项系数为,b
常数项为,c
根据定义逐一作答即可．
【详解】解：
2
2
1
2
1
y
x x
x
x
，则
1,
2,
1
a
b
c
，
故答案为：1，2
，1．
题型1 二次函数的识别
【例1】下列各式中，y 是x 的二次函数的是（
）
A．
2
y
x
B．
3
1
y
x
=
+
C．
2
2
1
y
x
D．
2
1
y
x
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数，形如
2
0
y
ax
bx
c a
的函数是二次函数，据此判断即可求解，掌握二
次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：A 、
2
y
x
不是二次函数，该选项不合题意；
B 、
3
1
y
x
=
+
是一次函数，该选项不合题意；
C 、
2
2
1
y
x
是二次函数，该选项符合题意；
D 、
2
1
y
x
不是二次函数，该选项不合题意；
故选：C ．
【例2】在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（
）
A．
2
3
y
x
B．
2
3
y
x
C．
2
2
1
y
x
D．
2
y
ax
bx
c
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的定义，“一般地，形如
2
y
ax
bx
c
（, ,
a b c 是常数，
0
a
）的函数，叫
做二次函数”，据此进行分析即可．
【详解】解：A、
2
3
y
x
是二次函数，故选项A 符合题意；
B、
2
3
y
x
不是整式，不是二次函数，故选项B 不符合题意；
C、
2
2
1
y
x
不是整式，不是二次函数，故选项C 不符合题意；
D、当
0
a
时，
2
y
ax
bx
c
不是二次函数，故选项D 不符合题意；
故选：A．
【技巧归纳】
1. 看形式：y = ax2 + bx + c（a≠0），最高次为2，整式方程。
2. 判非零：确保二次项系数不为0。
3. 排除法：若可化为上述形式即为二次函数。
【变式1-1】下列函数中，是二次函数的是（
）
A．
2
1
4
y
x
B．
2
2
3
y
x
x
C．
2
1
4
2
y
x
D．
1
4
y
x
【答案】C
【分析】此题考查二次函数定义，形如
2
0
y
ax
bx
c a
的函数．选项A 和D 含有分式，不是整式；选
项B 简化后为一次函数；选项C 符合定义．
【详解】∵二次函数形式为
2
0
y
ax
bx
c a
，
对于A：
2
1
4
y
x
，
2
x 在分母，不是整式；
对于B：
2
2
3
y
x
x
，展开得
2
2
6
9
6
9
y
x
x
x
x
，为一次函数；
对于C：
2
1
4
2
y
x
，满足
1
0,
0,
4
2
a
b
c
，是二次函数；
对于D：
1
4
y
x
，x 在分母，不是整式；
故选C．
【变式1-2】下列函数是二次函数的是（
）
A．
1
y
x
x
B．
1
y
x
C．
2
6
7
y
x
x
D．y
x
【答案】C
【分析】此题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如
²
,
0
y
ax
bx
c a
），只有选项C 符合
条件；选项A 和D 不是整式，选项B 是一次函数
【详解】∵二次函数的标准形式为
²
0
y
ax
bx
c a
，
选项A：含有分式，不是整式函数；
选项B：最高次数为1，是一次函数；
选项C：满足
1
0
a
，符合二次函数定义，是二次函数；
选项D：是根式函数，不是整式函数
∴只有C 是二次函数
故选C
题型2 根据二次函数的定义求参数
【例3】已知
2
m
y
m
x
是关于x 的二次函数，那么m
．
【答案】2
【分析】利用二次函数定义可得：
2
m
，且
2
0
m
，再解出m 的值即可．
【详解】解：由题意得：
2
m
，且
2
0
m
，
解得：
2
m
，
故答案为：2 ．
【例4】若
2 1
1
1
m
y
m
x
是关于x 的二次函数，则m 的值是
．
【答案】1
【分析】本题考查了二次函数的定义，理解其定义是解题的关键．
根据二次函数的定义解题即可．
【详解】解：由题意知，
2
1
2
1
0
m
m
，
解得：
1
m ．
故答案为：1
．
【技巧归纳】
1. 化为标准式：整理成y = ax2 + bx + c。
2. 列条件：二次项系数a≠0，且x 最高次数为2。
3. 解参数：列方程或不等式求解，注意排除使a=0 的值。
【变式2-1】若函数
2
4
(
3)
k
k
y
k
x
是关于x 的二次函数，则k
．
【答案】2
【分析】此题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，函数需满足x 的指数为2 且二次项系数不为0．据
此进行解答即可．
【详解】解：由题意，得
2
4
2
k
k
且
3
0
k
．
解方程
2
4
2
k
k
得
2
6
0
k
k
，
即
3
2
0
k
k
，
解得
3
k 或
2
k
又
3
0
k
，故
3
k ，
所以
2
k
．
故答案为：2
【变式2-2】若
2 2
(
2)
4
m
y
m
x
x
m
是关于x 的二次函数，则m 的值为
．
【答案】2
【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如
2
y
ax
bx
c
（a，b，c 为常数，且
0
a
）的函数是二
次函数．根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：∵
2 2
(
2)
4
m
y
m
x
x
m
是关于x 的二次函数，
∴
2
0
m
，
2
2
2
m
，
∴
2
m
．
故答案为：2．
题型3 二次函数的一般形式
【例5】将二次函数
1
3
y
x x
x
化为一般形式后，正确的是（
）
A．
2
3
y
x
x
B．
2
2
3
y
x
x
C．
2
2
y
x
x
D．
2
2
y
x
x
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可．
【详解】
2
2
1
3
3
2
y
x x
x
x
x
x
x
x
，
故选：D．
【例6】把二次函数
2
2
3
1
y
x
x x
化为一般形式，一次项系数为（
）
A．2
B．3
C．5
D．7
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把
2
(
2)
3
1
y
x
x x
化为一般形式，即可得到答案．
【详解】解：
2
2
2
2
(
2)
3
1
4
4
3
3
2
7
4
y
x
x x
x
x
x
x
x
x
；
其中二次项系数是2
、一次项系数是7
、常数项是4．
故选：D
【技巧归纳】
1. 标准形式：y = ax2 + bx + c（a≠0），按降幂排列。
2. 识别系数：a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
3. 注意缺项：缺项时系数为0，如y=ax2+c 则b=0。
【变式3-1】将二次函数
2
(
1)
2
y
x
整理为一般式得
【答案】
2
2
1
y
x
x
【分析】本题考查了将二次函数的顶点式化为一般式，注意打开括号变号即可；
【详解】解：
2
2
2
(
1
2
2
)
2
1
2
1
y
x
x
x
x
x
，
故答案为：
2
2
1
y
x
x
【变式3-2】将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)
2
1 2
4
y
x
x
；
(2)
1 3
2
6
y
x
x
．
【答案】(1)
2
4
1
y
x
，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1
(2)
2
2
3
y
x
x
，二次项系数为2
，一次项系数为1，常数项为3
【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案．
（1）将
2
1
2
4
y
x
x
化为
2
4
1
y
x
，即可求解；
（2）将
1 3
2
6
y
x
x
化为
2
2
3
y
x
x
，即可求解.
【详解】（1）解：
2
2
2
1
2
4
1
4
4
4
4
1
y
x
x
x
x
x
x
，
二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1；
（2）
2
2
1 3
2
6
3
2
3
2
6
2
3
y
x
x
x
x
x
x
x
，
二次项系数为2
，一次项系数为1，常数项为3
.
题型4 二次函数的各项系数
【例7】二次函数
2
5
2
y
x
x
的一次项系数是（
）
A．1
B．5
C．2
D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了求二次函数中某项的系数．先找出二次函数中的一次项，根据系数的定义即可解
答．
【详解】解：二次函数
2
5
2
y
x
x
的一次项为5x ，其系数为5．
故选：B．
【例8】二次函数
2
1 (
2)
3
2
y
x
的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
）
A．
1
2 ，2
，3
B．
1
2 ，2
，1
C．
1
2 ，4，3
D．
1
2 ，4
，1
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，
先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可.
【详解】解：∵二次函数
2
2
2
1
1
1
(
2)
3
(
4
4)
3
2
1
2
2
2
y
x
x
x
x
x
，
∴二次项系数为1
2 ，一次项系数为2
，常数项为1
.
故选：B.
【技巧归纳】
1. 化标准式：整理为y=ax2+bx+c。
2. 对应找系数：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
3. 注意符号：带符号移项，缺项系数为0。
【变式4-1】把
2
3
6
y
x
x
变成一般式，二次项系数为
，一次项系数为
，常数项为
．
【答案】
3
16
12
【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，熟练运用多项式乘法将表达式展开并整理
成一般形式是解题的关键．
根据多项式的乘法法则化简为一般式，再根据二次函数的一般式求出相应系数即可．
【详解】
2
3
6
y
x
x
2
12
2
18
3
x
x
x
2
3
16
12
x
x
所以二次项系数：3
，
一次项系数：16
，
常数项：12．
故答案为：3
；16
；12．
【变式4-2】二次函数
2
3
4
5
y
x
x
中，二次项系数是
，一次项系数是
．
【答案】
3
4
【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数
2
0
ax
bx
c
（a、b，c 是常数且
0
a
），其中a，b，
c 分别叫二次项系数、一次项系数、常数项．
根据二次函数的定义解答即可．
【详解】解：∵
2
3
4
5
y
x
x
，
∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是4
，常数项是5．
故答案是：3，4
．
题型5 二次函数图象上点的坐标特征
【例9】已知二次函数
²
3
1
y
x
x
，当
2
x
时，y 的值为（
）
A．1
B．3
C．3
D．11
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的值，将
2
x
代入二次函数解析式计算即可．
【详解】解：将
2
x
代入函数
²
3
1
y
x
x
中：
2
²
3
1
2
3 2 1
4 6 1
1
y
x
x
，
故选：A．
【例10】已知
2
2
(
2)
2
y
a
x
x
a
是关于x 的二次函数，其图象经过(0,4) ，则a 的值为（
）
A．
2
a
B．
2
a
C．
2
a
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出
2
0
a
，然后将点(0,4)
代入解析式，即可求解．
【详解】解：依题意，
2
4
a
，
2
0
a
，
解得：
2
a ，
故选：C．
【技巧归纳】
1. 代入验证：将点坐标代入解析式，满足则在图象上。
2. 利用对称轴：若两点纵坐标相等，则它们关于对称轴对称。
3. 求点坐标：已知横坐标代入求纵坐标，或设纵坐标列方程求横坐标。
【变式5-1】若二次函数
2
2
2
y
mx
x
m
m
的图象经过原点，则m 的值为（
）
A．0
B．2
C．2 或0
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不
为0 ．
把
0,0 代入
2
2
2
y
mx
x
m
m
求解，注意m 的取值范围．
【详解】解：把0,0
（
）代入
2
2
2
y
mx
x
m
m
得
2
2
0
m
m
，
解得
0
m
或
2
m
，
0
m
，
2
m
，
故选：B．
【变式5-2】已知二次函数
2
1
y
x
mx
m
，当m
时，图象经过原点．
【答案】1
【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟悉待定系数法．
根据函数过原点
0,0 ，代入求解即可．
【详解】由题知函数过原点
0,0 ，
1
0
m
，解得
1
m ．
故答案为：1．
题型6 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）
【例11】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了y 次手，那么y 与到会人数x 之间的函数关系式
是（
）
A．
2
1
2
y
x
x
B．
2
1
1
2
2
y
x
x
C．
2
y
x
x
=
-
D．
2
y
x
x
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人
两两彼此握手表示即可．
【详解】∵参加会议的人两两彼此握手，
∴
2
1
1
1
1
2
2
2
y
x x
x
x
．
故选：B．
【例12】某工厂七月份生产零件50 万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x ，如果第三季度共生产零
件y 万个，那么y 与x 满足的函数关系式是（
）
A．
2
50 1
y
x
B．
50
50 1
y
x
C．
2
50 1
50 1
y
x
x
D．
2
50
50 1
50 1
y
x
x
【答案】D
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生
产零件
50 1
x
万个，九月份生产零件
2
50 1
x
万个，根据第三季度共生产零件y 万个，即可列出y 与x 之
间的函数关系式．
【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件
50 1
x
万个，九月份生产零件
2
50 1
x
万个，根据题意得：
y 与x 满足的函数关系式是
2
50
50 1
50 1
y
x
x
．
故选：D
【技巧归纳】
1. 找等量关系：根据几何（面积）、利润（单利×销量）等列式。
2. 设自变量：选择影响结果的关键量，表示函数关系。
3. 定定义域：考虑实际限制（如边长>0、销量≥0），写出取值范围。
【变式6-1】中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022 年我国地铁运营里程约为0.8 万公里．若2024
年运营里程约为y 万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y 关于x 的函数表达式为
．
【答案】
2
0.8 1
y
x
【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，解题的关键是要读懂题目的意思，找到等量关
系．先用x 表示出2023 年我国高铁的运营总里程，再表示出2024 年我国高铁的运营总里程，然后根据已
知条件列函数解析式即可．
【详解】解：2023 年我国高铁的运营总里程：
0.8 1
x
，
2024 年我国高铁的运营总里程：
2
0.8 1
1
0.8 1
x
x
x
，
根据题意，可列函数解析式为：
2
0.8 1
y
x
．故选
2
0.8 1
y
x
．
【变式6-2】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50 元．调查发现，当销售价为120 元时，
平均每天能售出80 个；而当销售价每降低1 元时，平均每天就能多售出5 个．设每个宁萌公仔降价x 元时，
每天获得的利润为y 元，则y 关于x 的函数关系式为
(化为一般式)
【答案】
2
5
270
5600
y
x
x
【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式．
根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可．
【详解】由题意，可列y 关于x 的函数关系式为：
2
120
50
80
5
5
270
5600
y
x
x
x
x
．
故答案为：
2
5
270
5600
y
x
x
．
题型7 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）
【例13】用一段44 米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x 米，面积为y 平方米，则y 关
于x 的函数关系式为（
）
A．
2
44
y
x
x
B．
2
44
y
x
x
C．
2
22
y
x
x
D．
2
22
y
x
x
【答案】D
【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，矩形的周长为44 米，矩形的
一边长为x 米，则另一边长为
22
x
米，根据矩形的面积列函数关系式即可．
【详解】解：由题意，矩形的周长为44 米，矩形的一边长为x 米，则另一边长为
22
x
米，
2
22
22
y
x
x
x
x
．
故选：D．
【例14】如图，点
,
,
,
E F G H 分别在正方形ABCD 边
,
,
AB BC CD ，AD 上，且
,
8
AE
BF
CG
DH AB
；
设线段AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数表达式为（
）
A．
2
64
y
x
B．
2
2
64
y
x
C．
2
16
64
y
x
x
D．
2
2
16
64
y
x
x
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，
先证明
AEH
BFE
CGF
DHG
△
≌△
≌△
≌△
，可说明四边形EFGH 是正方形，再根据勾股定理可得
2
2
2
EH
AH
AE
，
则此题可解.
【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴
90 ,
A
B
C
D
AB
BC
CD
DA
.
∵AE
BF
CG
DH
，
∴BE
CF
DG
AH
，
∴
AEH
BFE
CGF
DHG
△
≌△
≌△
≌△
，
∴EH
EF
FG
HG
AEH
EFB
，
，
∴四边形EFGH 是菱形.
∵
90
BEF
BFE
，
∴
90
BEF
AEH
，
∴
90
HEF
，
∴四边形EFGH 是正方形.
∵
8,
AB
AE
x
，
∴
(8
)
BE
AH
x
.
在Rt
AEH
△
中，
2
2
2
EH
AH
AE
，
∴
2
2
2
2
2
2
(8
)
64 16
2
16
64
EH
x
x
x
x
x
x
x
，
即
2
2
16
64
y
x
x
.
故选：D.
【技巧归纳】
1. 设关键线段：用未知数x 表示边长、高或距离。
2. 用面积公式：三角形、矩形、梯形面积公式列S 关于x 的表达式。
3. 化简整理：化为S = ax2+bx+c 形式，注意自变量范围由几何约束确定。
【变式7-1】如果圆的半径是4cm ，当半径增加
cm
x
，圆的面积增加
2
cm
y
，则y 关于x 的函数关系式
是
．
【答案】
2
π
8π
y
x
x
【分析】本题考查的是列二次函数关系式，解决本题的关键是找到增加的圆的面积的等量关系，注意半径
增加后圆的面积的求法．圆增加的面积=新圆的面积半径为1 的圆的面积，把相关数值代入即可．
【详解】解：新圆的面积为
2
π
4
x
，
∴
2
2
2
π
4
π
4
π
8π
y
x
x
x
．
故答案为
2
π
8π
y
x
x
．
【变式7-2】相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长26cm ，宽22cm ，相框边的宽为
cm
x
，
相框内的面积是
2
cm
y
，则y 与x 之间的函数关系式为
．
【答案】
2
4
96
572 0
11
y
x
x
x
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出x 的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，得
26
2
22
2
y
x
x
展开得：
2
572
52
44
4
y
x
x
x
整理得：
2
4
96
572
y
x
x
根据题意，得
0
26
2
0;
22
2
0
x
x
x
解得：0
11
x
．
∴y 与x 之间的函数关系式为
2
4
96
572 0
11
y
x
x
x
，
故答案为：
2
4
96
572 0
11
y
x
x
x
一、单选题
1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（
）
A．
2
3
y
x
B．
2
5
13
y
x
x
C．
2
y
ax
bx
c
D．
2
1
2
y
x
x
【答案】B
【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可.
【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如
2
y
ax
bx
c
（a ，b ，c 是常数，
0
a
）的函数，叫做
二次函数.
∵选项A 中
2
3
y
x
是一次函数，
∴A 不符合题意；
∵选项B 中
2
5
13
y
x
x
，符合二次函数的定义，
∴B 符合题意；
∵选项C 中
2
y
ax
bx
c
，未说明
0
a
，当
0
a
时不是二次函数，
∴C 不符合题意；
∵选项D 中
2
1
2
y
x
x
里，1
x 是分式，不是整式，不符合二次函数定义，
∴D 不符合题意.
2．函数解析式
2 2
1
y
x
x
的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
）
A．1，2 ，1
B．1，2 ，1
C．0 ，2 ，1
D．0 ，2
，1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式
2
y
ax
bx
c
（
0
a
）中各系数的定义来确定
对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的一般形式为
2
y
ax
bx
c
（
0
a
，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常
数项），
∴函数解析式
2 2
1
y
x
x
中二次项系数是1，一次项系数是2 ，常数项是1
，
故选：B ．
3．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7 月份售出1500
个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x ，请问9 月份的销售量y 关于每月增加的百分率x 的函
数解析式是（
）
A．
2
1500 1
y
x
B．
2
1500
1
y
x
C．
2
1
1500
y
x
D．
2
1500
y
x
【答案】A
【分析】本题考查根据题意列函数关系式．
根据每月的增长百分率，依次推导8 月、9 月的销售量，从而得到9 月销售量y 关于x 的函数解析式．
【详解】解：∵7 月份销售量为1500 个，每月销售量的增长百分率为x，
∴8 月份的销售量为
1500 1
x
个，
∴9 月份的销售量
2
1500 1
1
1500 1
y
x
x
x
．
故选：A．
4．若
2
4
7
5
a
y
a
x
x
是二次函数，则a 的值为（
）
A．4
B．4
C．4
D．2
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为
2
y
ax
bx
c
(
0
a
)，根据定义列出关于a 的
方程与不等式，进而求解a 的值．
【详解】解：∵函数
2
4
7
5
a
y
a
x
x
是二次函数，
∴
2
2
a
，且
4
0
a
．
由
2
2
a
，得
4
a
，解得
4
a
或
4
a ．
又∵
4
0
a
，即
4
a
，
∴
4
a ．
故选：A．
5．如图，矩形绿地的长、宽分别为30m, 20m ,现将矩形绿地的长、宽各增加xm.设新绿地的周长为ym ,面积
为
2
Sm ，当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与x , S 与x 满足的函数关系分别是
（
）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系
D．正比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【分析】从图形中提取边长信息，用含x 的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型．
【详解】解：由图可知：周长：
2 30
20
4
100
y
x
x
x
，符合一次函数
0
y
kx
b k
的形式，故
y 与x 是一次函数关系；
大矩形的长为30
x
，宽为20
x
，因此面积：
2
30
20
50
600
S
x
x
x
x
符合二次函数
2
0
S
ax
bx
c a
的形式，故S 与x 是二次函数关系．
综上，y 与x 是一次函数关系，S 与x 是二次函数关系．
二、填空题
6．二次函数
2
1 1
y
x
x
的二次项系数是______，常数项是_____．
【答案】
2
1
【分析】本题考查的是二次函数的一般形式．通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，
即可求解．
【详解】解：∵
2
1 1
y
x
x
变形为
2
2
3
1
y
x
x
，
二次项系数为2
，常数项是1
．
故答案为：2
，1
．
7．若
2 2
1
3
2
a
a
y
a
x
是二次函数，则a _______．
【答案】1
【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2，
即
2
3
0
2
1
2
a
a
a
，
整理，得
2
2
1
2
a
a
，
∴
2 2
3
0
a
a
-
-
，
∴
3
1
0
a
a
，
解得
3
a
或
1
a ，
结合
3
a
，
可得
1
a ．
8．若二次函数
2
2
2
1
y
x
ax
a
的图象经过点
1,4
，则a 的值为___________．
【答案】1
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点
1,4
代入二次函数解析式，得到关于a 的一元一
次方程，解方程即可求出a 的值．
【详解】解：∵二次函数
2
2
2
1
y
x
ax
a
的图象经过点
1,4
，
∴将
1
x ，
4
y
代入解析式得
2
4
2 ( 1)
1
2
1
a
a
，
即4
2
3
1
a
，
解得
1
a ．
故答案为：1．
9．用一根长为100cm的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为
cm
x
，面积为
2
cm
y
，则y 关于x
的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围）
【答案】
2
50
y
x
x
【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为
50
cm
x
，再根据长方形的面积公式可得答案．
【详解】解：由题意得：长方形的长为
50
cm
x
，
∴
2
50
50
y
x
x
x
x
，
故答案为：
2
50
y
x
x
．
10．二次函数
2
2
y
ax
bx
与x 轴的一个交点是(1,0) ，则2023 a
b
的值是________．
【答案】2025
【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值．
将交点坐标代入函数解析式，得到关于a 和b 的方程，进而求出a
b
的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：二次函数
2
2
y
ax
bx
与x 轴的一个交点是
1,0
∴将
1
x ，
0
y
代入解析式，得
2
0
1
1
2
a
b
即0
2
a
b
∴
2
a
b
则
2023
2023
2023
2
2025
a
b
a
b
故答案为：2025 ．
三、解答题
11．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)
2
1 2
4
y
x
x
；
(2)
1 3
2
6
y
x
x
．
【答案】(1)
2
4
1
y
x
，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1
(2)
2
2
3
y
x
x
，二次项系数为2
，一次项系数为1，常数项为3
【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案．
（1）将
2
1
2
4
y
x
x
化为
2
4
1
y
x
，即可求解；
（2）将
1 3
2
6
y
x
x
化为
2
2
3
y
x
x
，即可求解.
【详解】（1）解：
2
2
2
1
2
4
1
4
4
4
4
1
y
x
x
x
x
x
x
，
二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1；
（2）
2
2
1 3
2
6
3
2
3
2
6
2
3
y
x
x
x
x
x
x
x
，
二次项系数为2
，一次项系数为1，常数项为3
.
12．若函数
1
3
2
1
k
y
k
x
x
是二次函数．
(1)求k 的值；
(2)当
1
x 时，求y 的值．
【答案】(1)
3
k
(2)
5
y
【分析】本题主要考查二次函数的定义及求函数值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）根据二次函数的定义列式求解即可；
（2）把
1
x 代入函数解析式即可．
【详解】（1）解：依题意有
1
2
3
0
k
k
，
解得：
3
k ，
∴k 的值为3
；
（2）解：把
3
k 代入函数解析式中得：
2
6
2
1
y
x
x
，
当
1
x 时，
2
6 1
2 1 1
5
y
．
∴y 的值为5
．
13．已知函数
2 2
2
m
y
m
x
（m 为常数），求当m 为何值时：
(1)y 是x 的一次函数？
(2)y 是x 的二次函数？并求出此时纵坐标为64 的点的横坐标．
【答案】(1)
3
m
(2)
2
m
，纵坐标为64 的点的横坐标4
【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键．
（1）由一次函数定义得出
2
2
1
m
，且
2
0
m
，求出m 的值；（2）由二次函数定义得出
2
2
2
m
，且
2
0
m
，求出m 的值．
【详解】（1）解：（1）由题意，得
2
2
1
m
，且
2
0
m
，
解得
3
m
，
当
3
m
时，y 是x 的一次函数；
（2）由题意，得
2
2
2
m
，且
2
0
m
，
解得
2
m
，
当
2
m
时，y 是x 的二次函数，
当
64
y
时，
64
4
2
x
，
解得
4
x ，
纵坐标为64 的点的横坐标4
．
14．某种商品的标价为200 元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128 元/件，
并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为80 元/件，若以128 元/件售出，平均每天能售出20 件，另外每天需支付其他各种费用
100 元，若每件降价1 元，则每天可多售出5 件，如果将售价定为x 元，每天盈利y 元，请写出y 与x 之间
的函数关系式．
【答案】(1) 20%
(2)
2
5
1060
52900 80
128
y
x
x
x
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列函数关系式等知识点，根据每天的盈利得到相应的等量
关系是解题的关键．
（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的
一元二次方程，求解并取符合题意的x 的值即可；
（2）根据每件商品的盈利
原来的销售量增加的销售量100
列出函数关系式即可．
【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x，
依题意，得：
2
200 1
128
x
，
解得：
1
0.2
20%
x
，
2
1.8
x
（不合题意，舍去），
∴该种商品每次降价的百分率为20% ；
（2）解：如果将售价定为x 元，每天盈利y 元，
80
20
5 128
100
y
x
x
，
80
5
660
100
x
x
2
5
1060
52800 100
x
x
2
5
1060
52900
x
x
，
∵该种商品进价为80 元/件，售价128 元/件，然后降价，
∴80
128
x
，
∴
2
5
1060
52900 80
128
y
x
x
x
．
15．如图，要建一个矩形养殖场ABCD ，养殖场的长边靠墙（墙长45 米），并在与墙平行的一边开一道1
米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75 米，设养殖场的宽AD 为x 米，面积为y 平方米．
(1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)若要建成的矩形养殖场的面积为690 平方米，则养殖场的宽AD 为多少米？
【答案】(1)
2
31
76
2
76
2
3
y
x
x
x
(2)23 米
【分析】本题考查列二次函数关系式、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确
求得函数关系式是解答的关键．
（1）先用x 表示出矩形养殖场的长为
76
2x
米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式；
（2）由
690
y
列方程求解即可．
【详解】（1）解：设养殖场的宽为x 米，则养殖场的长为
75 1 2
76
2
x
x
米，
根据题意，养殖场的面积
2
76
2
2
76
y
x x
x
x
，
∵墙长45 米，宽AD 长AB ，
∴
76
2
76
2
0
76
2
45
x
x
x
x
，
解得31
76
2
3
x
，
∴y 与x 的函数关系式为
2
31
76
2
76
2
3
y
x
x
x
；
（2）解：当
690
y
时，由
2
690
2
76
x
x
得
2
38
345
0
x
x
，
解得
1
23
x
，
2
15
x
（舍去），
答：养殖场的宽为23 米．
16．【定义】对于函数，若存在自变量
0x
t
时，函数值
0
2
y
t
，则称该函数为“倍动点函数”，点
,2
t
t 为
该函数的一个倍动点．
探究1（一次函数）
（1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）；
①
3
2
y
x
是“倍动点函数”，倍动点为
1, 2
；
②
2
y
x
是“倍动点函数”，且有无数个倍动点；
③
6
y
x
是“倍动点函数”，倍动点为
2,4 ．
探究2（二次函数）
（2）若二次函数
2
4
y
x
x
c
有一个倍动点为
3,6 ，求c 的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，
求出这个点．
【答案】（1）②③，（2）
9
c
，没有其他倍动点
【分析】本题考查了倍动点函数的定义．
（1）根据倍动点的定义，检查每个一次函数是否存在自变量t 使得函数值等于2t ，从而判断结论正误；
（2）将给定的倍动点
3,6 代入二次函数求出c，再解方程
2
4
2
x
x
c
x
判断是否有其他倍动点即可．
【详解】解：（1）对于①：设存在t 使得3
2
2
t
t
，解得
2
t ，此时
3
2
2
4
y
，2
4
t ，
∴倍动点为
2, 4
，但结论中给出的倍动点为
1, 2
，故①错误；
对于②：
2
y
x
，对于任意t，当x
t
时，
2
y
t
，
∴有无数个倍动点，故②正确；
对于③：当
2
x
时，
2
6
4
y
，2 2
4
，
∴
2,4 是倍动点，故③正确，
故答案为：②③．
（2）将
3,6 代入
2
4
y
x
x
c
，得
2
6
3
4
3
c
，解得
9
c
，
将
9
c
代入
2
4
y
x
x
c
，得
2
4
9
y
x
x
，
令
2
y
x
，则
2
4
9
2
x
x
x
，
即
2
6
9
0
x
x
，解得
3
x
，
∴该函数没有其他倍动点．
