第10 讲二次函数y=ax²+bx+c 的图象和性质
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 把y=ax²+bx+c 化成顶点式
题型2 画y=ax²+bx+c 的图象
题型3 y=ax²+bx+c 的图象与性质
题型4 利用y=ax²+bx+c 的性质求解
题型5 二次函数的图象与各项系数的符号
题型6 一次函数、二次函数图象的综合判断
题型7 二次函数图象的平移
题型8 y=ax²+bx+c 的图象与性质综合
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一般式、配方法、顶点
坐标、对称轴、最值、
−
�
2�。
1. 会用配方法将一般式化为顶点式y=a(x-h)²+k，确定顶点坐标和对称轴。
2. 能根据公式直接写出顶点坐标(−
�
2�,
4��−�2
4�) 和对称轴x =−
�
2�。
3. 掌握二次函数y=ax²+bx+c 的开口方向、顶点、对称轴、增减性、最值等性
质。
4. 体会转化思想（一般式化顶点式）和数形结合思想，提升代数运算与函数
分析能力。
学习重点:用配方法或公式法确定二次函数的顶点坐标和对称轴，并由此分析其性质。
学习难点:配方法的熟练运用（特别是二次项系数不为1 时的处理），以及理解顶点坐标公式的推导过
程。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数y=ax²+bx+c 的图象和性质
一、基本形式与系数含义
y = ax2+bx+c(a≠0)
系数
名称
作用
a
二次项系数
决定开口方向、开口大小
b
一次项系数
影响对称轴位置
c
常数项
决定与y 轴交点
二、图象特征
1. 开口方向
a > 0：开口向上→有最小值
a < 0：开口向下→有最大值
2. 开口大小
由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽
3. 顶点坐标：−
�
2�,
4��−�2
4�
4. 对称轴:直线x=−
�
2�，是一条竖直直线。
5. 与y 轴交点：(0, c)
6. 与x 轴交点（根的个数）
由判别式∆= b2-4ac 决定：
∆
交点个数
说明
∆>0
2 个
与x 轴交于两点
∆= 0
1 个
与x 轴相切（顶点在x 轴上）
∆<0
0 个
与x 轴无交点
三、函数性质
1. 定义域:全体实数
2. 值域
a > 0（开口向上）：y≥
4��−�2
4�
a < 0（开口向下）：y≤
4��−�2
4�
3. 单调性
a > 0
时：在x≤−
�
2�上单调递减;在x≥−
�
2�上单调递增
a < 0
时：在x≤−
�
2�上单调递增;在x≥−
�
2�上单调递减
4. 最值
a > 0 ：最小值ymin=
4��−�2
4�（在x=−
�
2�处）;无最大值.
a < 0 ：最大值ymax=
4��−�2
4�（在x=−
�
2�处）;无最小值.
四、图象画法（五点法）
步骤：
1. 求顶点：−
�
2�,
4��−�2
4�
2. 求对称轴：直线x = −
�
2�
3. 求与y 轴交点(0, c)
4. 求与x 轴交点（若存在）
5. 取对称点，平滑连线
五、系数a, b, c 的几何意义总结
系数
作用
判断方法
a
开口方向与大小
a>0 向上，a<0 向下；|a|越大越窄
c
与y 轴交点
(0,c)
b
影响对称轴
对称轴：直线x =−
�
2�
【易错提醒】
二次函数y = ax2+bx+c（a≠0），a>0 开口向上，a<0 向下。顶点公式−
�
2�,
4��−�2
4�
，对称轴：直线x = −
�
2�。
注意配方法求顶点时勿算错符号，c 是y 轴截距。
即时即练1．对于抛物线
2
4
1
y
x
x
，下列说法正确的是（
）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标为
2, 3
C．抛物线的对称轴为直线
2
x
D．当
2
x 时，y 随x 的增大而增大
2．已知二次函数
2
2
y
x
bx
的图象经过点(
)
1, 1
-
．
(1)求该函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数的图象向右平移3 个单位长度后经过点
2,m ，求m 的值．
3．已知二次函数
2
y
x
bx
c
的图象经过点
4,3
、
3,0
(1)求b 、c 的值；
(2)画出该函数的图象；
(3)若x
m
时，y 随x 的增大而增大，则m 的最小值为______；
(4)该函数图象向上平移______个单位长度后，所得函数的图象与x 轴只有一个公共点．
x
…..
4
3
2
1
0
…..
y
…..
3
0
1
0
3
…..
题型1 把y=ax²+bx+c 化成顶点式
【例1】将二次函数
2
4
3
y
x
x
化成
2
y
a x
m
k
的形式为__________．
【例2】将二次函数
2
2
4
6
y
x
x
化为
2
y
a x
h
k
的形式，结果为_____．
【技巧归纳】
用配方法：提a，括号内配方，加一次项系数一半平方，再减去乘a。整理得y=a(x-h)²+k，h=-b/(2a)，k=(4ac-b
²)/(4a)。顶点(h,k)。
【变式1-1】把二次函数
2
2
4
y
x
x
变形为
2
(
)
y
a x
h
k
的形式，则h
k
的值为______ ．
【变式1-2】将二次函数
2
2
4
1
y
x
x
化成
2
y
a x
h
k
的形式，则h
k
的和为______．
题型2 画y=ax²+bx+c 的图象
【例3】已知二次函数
2
y
x
mx
n
经过
1, 2
和
4,1 两点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)当x 满足
5
t
x
时，y 的最大值为a ，最小值为b ，且
4
a
b
，直接写出t 的值．
【例4】在二次函数
2
3
y
ax
bx
中，图象经过点
3,0
和
1,0 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)将二次函数的图象向右平移n 个单位长度后，当2
4
x
时，若图象对应的函数最小值为3
，直接写出n
的值．
【技巧归纳】
先确定顶点、对称轴，再与y 轴交点(0,c)及与x 轴交点（判别式）。取对称点连线，五点法：顶点、左右各
取两点。a>0 开口向上，a<0 向下。草图反映最值、增减性。
【变式2-1】抛物线
2
1 :
L
y
ax
bx
c
经过点
1, 1
A
和点
5, 1
B
，且与y 轴交于点
0,4
C
．
(1)求抛物线
1L 的函数表达式．
(2)求抛物线
1L 的顶点坐标，并在给定的平面直角坐标系中画出抛物线
1L ．
(3)将抛物线
1L 向左平移
0
k k
个单位长度后得到抛物线
2L ，当1
4
x
时，抛物线
2L 的最大值为p ，最小
值为q ．若
3
p
q
，请直接写出k 的值．
x
0
1
3
5
6
y
4
1
5
1
4
【变式2-2】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示：
x
…
3
2
1
0
1
…
y
…
0
3
4
3
0
…
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)若图象与x 轴交点坐标为B 、C 、与y 轴的交点坐标为A ．求三角形ABC 的面积．
(4)当4
1
x
时，直接写出y 的取值范围．
题型3 y=ax²+bx+c 的图象与性质
【例5】已知二次函数
2
2
3
y
x
x
，下列关于这个函数图象性质的说法，正确的是（
）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是
1,3
C．图象与x 轴有唯一交点
D．当
1
x 时，y 随x 的增大而增大
【例6】关于二次函数
2
2
4
1
y
x
x
，下列说法正确的是（
）
A．图象开口向上
B．对称轴是直线
1
x
C．当
1
x 时，y 有最大值1
D．当
1
x 时，y 随x 的增大而增大
【技巧归纳】
a 定开口与增减，c 定y 轴交点。对称轴x=-b/(2a)，顶点坐标公式。判别式Δ=b²-4ac 决定与x 轴交点个数。
最值在顶点，对称轴两侧单调性相反。
【变式3-1】关于二次函数
2
2
2
y
x
x
描述错误的是（
）
A．对称轴是直线
1
4
x
B．对称轴右侧y 随x 增大而增大
C．与y 轴交点是
0, 2
D．与x 轴无交点
【变式3-2】已知二次函数
2
2
4
1
y
x
x
，则下列关于该函数的结论正确的是（
）
A．顶点坐标为1 , 1
2
B．函数的最大值为1
C．当
2
x
时，y 随x 的增大而减小
D．若
1
2
2
x
x
，则
1
2
y
y
题型4 利用y=ax²+bx+c 的性质求解
【例7】抛物线
2 2
y
x
x c
上有三点
1
2, y
，
2
1, y
，
3
2, y
，则
1y ，2y ，3y 的大小关系是
．（用
“＜”连接）
【例8】二次函数
2
2
2
y
x
x
的最小值为
．
【技巧归纳】
根据a 判断开口和最值；利用对称轴求顶点；利用Δ判定交点。由已知点代入得方程求系数。比较函数值时，
画草图或利用增减性，对称轴到点距离影响函数值大小。
【变式4-1】在平面直角坐标系中，设二次函数
6
y
x
a
x
a
，其中
0
a
．
（1）此二次函数的对称轴为直线x
；
（2）已知点
,
P t m 和
7,
Q
n 在此函数的图象上，若m
n
，则t 的取值范围是
．
【变式4-2】已知二次函数
2
2
4
y
x
ax
a
，当1
2
x
时，y 的最大值为3，则a 的值为
．
题型5 二次函数的图象与各项系数的符号
【例9】已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的部分图象如图所示，其对称轴为直线
2
x
，现有下列结论，
其中错误的是（
）
A．
0
abc
B．4
0
a
b
C．
3
0
c
a
D．16
4
0
a
b
c
【例10】二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的部分图象如图所示，图象过点
1,0
，对称轴为直线
1
x ，下列
结论：
0
c
①
；
2
0
a
b
②
；
4
2
0
a
b
c
③
；④当
0
y
时，1
3
x
，其中正确的结论有（
）
A．①②
B．①④
C．①②④
D．①③④
【技巧归纳】
a 正开口向上，负向下；c 为y 轴交点；b 符号由对称轴位置判定：左同右异（对称轴在y 轴左侧，a、b 同
号；右侧异号）。Δ正与x 轴两交点，Δ零一交点。
【变式5-1】如图是二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
图象的一部分．对称轴是
1
x ，且过点(
)
1,0
-
，下列说
法：①
0
abc
，②2
0
a
b
，③4
2
0
a
b
c
，④当
1
x 时，y 随x 的增大而减小，⑤
3
2
0
a
b
c
，其
中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式5-2】抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
的部分图象如图所示，其顶点P 的坐标为
1,n ，抛物线与x 轴的
一个交点A 在
3,0 和
4,0 之间，有以下结论：
①
0
abc
；
②3
0
a
c
；
③n
c
a
；
④关于x 的一元二次方程
2
ax
bx
c
n
有两个相等的实数根．
其中，正确结论的个数为（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型6 一次函数、二次函数图象的综合判断
【例11】在同一个平面直角坐标系中，二次函数
2
y
x
b
，y
x
b
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【例12】在同一平面直角坐标系内，一次函数y
ax
c
与二次函数
2
4
y
ax
x
c
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
先确定各自系数的符号范围，再检验公共交点是否一致。假设一个成立，推导参数符号，验证另一个图象
是否可能共存。常用排除法，如开口方向与一次函数增减性矛盾则错。
【变式6-1】如图，抛物线
2
y
ax
bx
与直线y
mx
n
相交于点
4, 5
A
，
1, 2
B
，则关于x 的方程
2
ax
bx
mx
n
的解为
．
【变式6-2】如图所示，二次函数
2
1
3
y
ax
bx
的图像与一次函数
2y
x
m
的图像交于
1,0
A
，
2, 3
B
两点，当
2
3
ax
bx
x
m
时，自变量x 的取值范围是
．
题型7 二次函数图象的平移
【例13】将抛物线
2
2
1
y
x
向下平移2 个单位长度，再向左平移1 个单位长度后，得到的新抛物线的
表达式为（
）
A．
2
1
1
y
x
B．
2
2
y
x
C．
2
1
3
y
x
D．
2
3
1
y
x
【例14】如果将某一抛物线向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位后所得新抛物线的表达式是
2
2
2
1
y
x
，那么原抛物线的表达式是（
）
A．
2
2
3
3
y
x
B．
2
2
1
3
y
x
C．
2
2
1
1
y
x
D．
2
y
2 x
3
1
【技巧归纳】
平移口诀：左加右减（对x），上加下减（对整体）。从y=ax²开始，先平移h 再平移k。注意符号：y=a(x-h)
²+k 中，h>0 向右，k>0 向上；反之向左向下。直接写解析式。
【变式7-1】将抛物线
2
2
1
3
y
x
向右平移2 个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为
．
【变式7-2】将抛物线
2
2
12
12
y
x
x
先向右平移2 个单位长度再向下平移1 个单位长度，得到的新抛物
线的顶点为
．
题型8 y=ax²+bx+c 的图象与性质综合
【例15】已知二次函数
2
1
2
3
2
y
x
mx
m
（m 为常数）．
(1)若该函数图象上有两个点
1
2,
A m
y
、
2
1,
B m
y
，试比较
1y 与
2y 的大小；
(2)当2
4
x
时，函数有最小值为2
，请直接写出m 的值．
【例16】在平面直角坐标系中，已知二次函数
2
y
x
bx
c
的图象经过点
3,0
A
和点
0,3
C
．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)已知点
,
M m n 在该二次函数的图象上，当2
2
m
时，求n 的取值范围；
(3)当
1
t
x
t
时，二次函数的最大值为2t ，求出t 的值．
【技巧归纳】
综合应用：a、b、c 决定开口、对称轴、交点及最值。配方法求顶点；Δ判定交点；求面积用交点坐标；比
较大小利用到对称轴距离。图象信息题从开口、对称轴、特殊点突破。
【变式8-1】已知二次函数
2
3
2
y
ax
ax
（a 为常数且
0
a
）．
(1)当点
2,0
P
在该函数图象上时，求a 的值．
(2)当x
m
和x n
时（m
n
），函数值相等，求m，n 之间的关系式．
(3)若
1
a 时，当
1
t
x
t
时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t 的值．
【变式8-2】如图，二次函数
2
3
y
ax
bx
的图象经过点
( 1,0)
A
，点
(
)
2,3
B
．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当5
3
x
时，求二次函数
2
3
y
ax
bx
的最值；
(3)点M 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点M 作MN
x
∥
轴，点N 的横坐标为
3
m
．已知点
M 与点N 不重合，且线段MN 的长度随m 的增大而减小，求m 的取值范围．
一、单选题
1．抛物线
2
6
2
y
x
x
的顶点坐标为(
)
A．
3, 7
B．
3,7
C．
3, 7
D．
3,7
2．已知
1
2
3
1,
, 2,
, 4,
y
y
y
是抛物线
2
4
y
x
x
m
上的点，则
1y 、
2y 、
3y 的大小关系为（
）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
2
3
1
y
y
y
C．
1
3
2
y
y
y
D．
3
1
2
y
y
y
3．已知二次函数
2
2
3
y
x
x
，下列说法错误的是（
）
A．开口向上
B．对称轴为直线
1
x
C．顶点坐标为
1, 4
D．当
1
x 时，y 随x 的增大而增大
4．二次函数
2
y
x
bx
c
的图象如图所示，对称轴为直线
2
x
，下列说法正确的是（
）
A．
2
b
B．当
3
x
时，y 随x 的增大而增大
C．
5
c
D．当
4
c 时，抛物线的顶点坐标为
2, 8
5．已知二次函数
2
2
2
2
y
x
ax
a
，当自变量x 满足
1
2
a
x
a
时，函数y 的最小值为2，则a 的值
为（
）
A．0 或2
B．1 或3
C．任意实数
D．2 或4
二、填空题
6．
2
2
2
y
x
x
的开口方向是__________；最大值是_______________．
7．已知点
1
2, y
，
2
3, y
在二次函数
2
2
y
x
x
m
的图象上，比较
1y ______
2y ．（填
、或）．
8．已知抛物线
2
4
1
y
x
x
，当1
4
x
时，函数y 的最大值是_____．
9．已知点
1,
P
m ，
3,
Q
m 都在抛物线
2
1
y
ax
bx
上，则b ______（用含a 的代数式表示）．
10．如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
的对称轴是直线
1
x ．有下列结论：①
0
abc
；②4
2
a
c
b
；③若
1
1
,
x y
和
2
2
,
x
y
是抛物线上的两点，则当
1
2
1
1
x
x
时，
1
2
y
y
；④抛物线的顶点为
1,m
，则关于x 的方程
2
1
ax
bx
c
m
无实数根．其中正确结论是________．（只需填写序号）
三、解答题
11．通过配方，写出函数
2
2
3
5
y
x
x
的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标．
12．已知二次函数
2
2
4
3
0
y
ax
ax
a
．
(1)求该函数图象的对称轴；
(2)当
0
a
时，点
3,
M
m
，
2,
N
n
在该函数图象上，比较m，n 的大小并说明理由．
13．在直角坐标系中，抛物线
2
1
y
ax
bx
（a ，b 是常数，
0
a
）与y 轴相交于点A ．
(1)若抛物线经过点
1,6 ，
2,3
，求a ，b 的值；
(2)已知3
0
a
b
，若1
2
x
，y 有最大值9，求a 的值．
14．已知二次函数
2
y
ax
bx
c
（
0
a
）中的x 和y 满足下表：
x
…
2
1
0
1
…
y
…
0
1
0
3
…
(1)根据表格内容，求该二次函数的表达式和顶点坐标；
(2)在图中平面直角坐标系中画出上述二次函数的图象，并在图象上标出
2,0
A
，
1,3
B
；
(3)将（2）中二次函数的图象向右平移
0
n n
个单位长度，当2
1
x
时，新函数的最大值为2，请直接
写出n 的值．
15．在平面直角坐标系中，平移抛物线
2
1 :
2
Q
y
x
hx
c
的图象，若其顶点P 始终都在直线y
kx
b
（k ，
b 均为常数）上，则称直线y
kx
b
为抛物线
1
Q 的“ k
b
型亲密线”．
(1)当抛物线
1
Q 满足
2
1
c
h
时，
①若此时抛物线
1
Q 的图象恰好经过原点，求顶点P 的坐标；
②求该抛物线
1
Q 的“ k
b
型亲密线”的表达式；
(2)将抛物线
1
Q 进行平移，得到抛物线
2
Q ，设抛物线
2
Q 与y 轴交点的纵坐标为n ，顶点P 的横坐标为m ，当
2
1
m
时，n 有最小值1，若此时抛物线
2
Q 有“
3
k 型亲密线”，求k 的值．
