第09 讲二次函数y=a(x-h)²+k 的图象和性质
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 二次函数y=ax²+k 的图象和性质
题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质
题型3 二次函数y=a(x-h)²+k 的图象和性质
题型4 二次函数的平移
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
顶点式、平移、左加右
减、上加下减、顶点坐
标、对称轴。
1. 掌握二次函数y=a(x-h)²+k 与y=ax²图象的平移关系（左加右减、上加下减）。
2. 能直接说出抛物线的顶点坐标(h,k) 、对称轴（直线x = h）及开口方向。
3. 能运用描点法或平移法画出y=a(x-h)²+k 的图象，并归纳其性质（增减性、
最值）。
4. 体会数形结合与转化的数学思想，提升从一般式到顶点式的化归意识。
学习重点：顶点坐标
(h,k) 与对称轴x = h 的确定，以及图象平移的规律。
学习难点：理解平移规律中“左加右减”为什么对x 的变化是反向的，以及灵活运用顶点式分析二次
函数的性质。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数y=ax²+k 的图象和性质
一、基本形式与顶点坐标
- 顶点坐标：(0, k)
- 对称轴：x = 0（即y 轴）
- 相当于将y = ax2 的图象上下平移|k|个单位
二、图象特征（取决于a 与k）
1. 开口方向
- a > 0：开口向上→有最小值k
- a < 0：开口向下→有最大值k
2. 开口大小（形状）
- 由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽
- 形状与y = ax2 完全相同，只是整体上移或下移
3. 顶点位置
- 始终在y 轴上：(0, k)
- k > 0：顶点在x 轴上方
- k = 0：顶点在原点(0,0)
- k < 0：顶点在x 轴下方
4. 与x 轴的交点（根的情况）
解方程ax2 + k= 0
⇒x2 = −
�
�
条件
交点个数
交点坐标
−
�
�> 0
2 个
(±
−
�
�,0)
−
�
�= 0（即k=0）
1 个（切点）
(0,0)
−
�
�< 0
0 个
无实数交点
5. 与y 轴的交点
- 令x = 0 ⇒y = k
- 交点：(0, k) —— 正好是顶点
三、函数性质
1. 定义域：全体实数
2. 值域:a > 0 ：y≥k;
a<0 ：y≤k
3. 单调性
当a > 0 时：在x≤0 上单调递减;在x≥0 上单调递增
当a < 0 时：在x≤0 上单调递增;在x≥0 上单调递减
4. 最值
- a > 0：最小值ymin= k（在x=0 处）
- a < 0：最大值ymax= k（在x=0 处）
四、与y = ax2 的平移关系
变换
函数
顶点
基础
y = ax2
(0,0)
向上平移k 单位（k>0 ）
y = ax2+ k
(0,k)
向下平移|k|单位（k<0）
y = ax2+ k
(0,k)
注意：只有上下平移，没有左右平移。
五、图象画法
方法（利用对称性）：
1. 确定顶点(0, k)
2. 确定对称轴x = 0
3. 取x = 1, 2, … 计算y
4. 利用对称性得到x = -1, -2,…的点
5. 平滑连线
【易错提醒】
图象由y=ax2 上下平移|k|个单位（k>0 上移，k<0 下移）。顶点(0,k)，对称轴y 轴。注意a 决定开口方向与大
小，勿忽略平移方向。
即时即练1．关于二次函数
2
4
y
x
，以下说法正确的是（
）
A．函数图像开口向上
B．y 的最大值为4
C．图像的对称轴为直线
0
y
D．y 随x 的增大而减小
2．已知函数
2
1
3
y
x
和
2
1
2
3
y
x
．
(1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
x
2
1
0
1
2
2
1
3
y
x
4
3
1
3
0
1
3
4
3
2
1
2
3
y
x
10
3
7
3
2
7
3
10
3
知识点02 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质
一、基本形式与顶点坐标
- 顶点坐标：(h, 0)
- 对称轴：直线x = h
- 相当于将y = ax2 的图象左右平移|h|个单位
二、图象特征（取决于a 与h）
1. 开口方向
- a > 0 ：开口向上→有最小值0
- a < 0 ：开口向下→有最大值0
2. 开口大小（形状）
- 由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽
- 形状与y = ax2 完全相同，只是整体左移或右移
3. 顶点位置
- 始终在x 轴上：(h, 0)
- h > 0：顶点在y 轴右侧
- h = 0：顶点在原点(0,0)
- h < 0：顶点在y 轴左侧
4. 与x 轴的交点
解方程a(x - h)2 = 0 ⇒(x - h)2 = 0
⇒x = h
- 只有一个交点（切点）：(h, 0)—— 正好是顶点
5. 与y 轴的交点
- 令x = 0 ⇒y = a(0 - h)2 = ah2
- 交点：(0, ah2)
三、函数性质
1. 定义域：全体实数
2. 值域:a > 0 ：y≥0;
a<0 ：y≤0
3. 单调性
当a > 0 时：在x≤h 上单调递减;在x≥h 上单调递增
当a < 0 时：在x≤h 上单调递增;在x≥h 上单调递减
4. 最值
- a > 0：最小值ymin= 0（在x=h 处）
- a < 0：最大值ymax= 0（在x=h 处）
四、与y = ax2 的平移关系
变换
函数
顶点
基础
y = ax2
(0,0)
向右平移h 单位( h>0）
y = a(x - h)2
(h,0)
向左平移h 单位( h>0
y = a(x - h)2
(h,0)
> 注意：只有左右平移，没有上下平移。
> 符号记忆：\( x - h = 0 \) ⇒\( x = h \)，顶点在正\( h \) 处。
五、图象画法
方法（利用对称性）：
1. 确定顶点(h, 0)
2. 确定对称轴x = h
3. 取x = h±1, h±2,…计算y
4. 平滑连线
【易错提醒】
图象由y=ax2 左右平移|h|个单位（h>0 右移，h<0 左移）。顶点(h,0)，对称轴x=h。注意平移方向易反（“左
加右减”指解析式内对x 的操作）。
即时即练1．对于二次函数
2
2
3
y
x
的图象，下列说法不正确的是（
）
A．开口向下
B．对称轴是直线
3
x
C．顶点坐标为
3,0
D．当
3
x 时，y 随x 的增大而减小
2．已知二次函数
2
1
2
2
y
x
．
(1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象；
(2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(3)若1
6
x
，求y 的取值范围．
x
…
0
1
2
3
4
…
2
1
2
2
y
x
…
2
1
2
0
1
2
2
…
知识点03 二次函数y=a(x-h)²+k 的图象和性质
一、基本形式与顶点坐标
- 顶点坐标：(h, k)
- 对称轴：直线x=h
- 这是二次函数的顶点式，能直接读出顶点位置。
二、图象特征（取决于a, h, k）
1. 开口方向
-
a > 0：开口向上→有最小值k
-
a < 0：开口向下→有最大值k
2. 开口大小（形状）
- |a|决定开口宽窄：|a| 越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽
- 与y = ax2 的形状完全相同，只是位置平移
3. 顶点位置
- h 控制左右平移：h>0 向右移，h<0 向左移
-k 控制上下平移：k>0 向上移，k<0 向下移
4.对称轴:始终是x=h，是一条竖直直线
三、函数性质
1. 定义域：全体实数
2. 值域:a > 0 ：y≥k;
a<0 ：y≤k
3. 单调性
当a > 0 时：在x≤h 上单调递减;在x≥h 上单调递增
当a < 0 时：在x≤h 上单调递增;在x≥h 上单调递减
4. 最值
- a > 0：最小值ymin= k（在x=h 处），无最大值
- a < 0：最大值ymax= k（在x=h 处），无最小值
【易错提醒】
顶点(h,k)，对称轴x=h。注意平移：h>0 右移，k>0 上移（“左加右减，上加下减”是对x 和y 的操作）。\(a\)
决定开口方向与大小。勿混淆顶点坐标符号。
即时即练1．对于抛物线
2
7
2
1
y
x
，下列说法正确的是（
）．
A．图象与y 轴无交点
B．当
0
x
时，y 随x 的增大而增大
C．当
2
x
时，y 有最小值1
D．图象的顶点坐标为
2, 1
2．已知函数
2
1
2
y
x
，
2
1 (
2)
2
2
y
x
和
2
1 (
2)
3
2
y
x
．
(1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试讨论函数
2
1 (
2)
3
2
y
x
的性质．
x
…
2
1
0
1
2
…
2
1
2
y
x
…
2
1
2
0
1
2
2
…
x
…
4
3
2
1
0
…
2
1
2
2
2
y
x
…
4
5
2
2
5
2
4
…
列表：
x
…
4
3
2
1
0
…
2
1
2
3
2
y
x
…
1
5
2
3
5
2
1
…
知识点04
二次函数y=a(x-h)²+k 与y = ax2 的平移关系
1. 左右平移h 个单位：
- h > 0：向右平移h
- h < 0：向左平移|h|
- 得到y = a(x - h)2
2. 上下平移k 个单位：
- k > 0：向上平移k
- k < 0：向下平移|k|
- 最终得到y = a(x - h)2 + k
> 注意顺序：先左右，后上下。
【易错提醒】
y=ax2 向右平移h 单位得y=a(x-h)2（h>0），向上平移k 单位得y=ax2+k。注意“左加右减”是x 替换为x+h；“上
加下减”直接加在常数项。勿反方向。
即时即练1．将二次函数
2
2(
3)
1
y
x
的图象向左平移2 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，所得
图象的函数解析式为__________．
2．把抛物线
2
y
a x
h
k
先向左平移3 个单位，再向上平移4 个单位，得到抛物线
2
1
1
1
2
y
x
．
(1)试确定a，h，k 的值；
(2)若以x 轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式．
题型1 二次函数y=ax²+k 的图象和性质
【例1】对于抛物线
2
2
1
y
x
，下列结论不．正确的是（
）
A．对称轴是y 轴
B．与x 轴没有交点
C．有最小值1
D．当
1
x 时，y 随x 增大而增大
【例2】抛物线
2
2
y
x
，
2
2
1
y
x
，
2
3
y
x
共有的性质是(
)
A．开口向上
B．顶点坐标都是
0,0
C．对称轴是y 轴
D．在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大
【技巧归纳】
抛物线y=ax²+k 以y 轴为对称轴，顶点(0,k)。a 决定开口方向与大小，a>0 开口向上，a<0 向下；k 决定上
下平移。利用顶点坐标直接分析最值、单调性、平移规律。
【变式1-1】对于抛物线
2
2
4
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．该函数图象开口向上；
B．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小；
C．当
0
x
时，取得最小值
4
y
；
D．当2
1
x
时，y 的取值范围是4
2
y
【变式1-2】【探究】如图，已知抛物线
2
4
y
x
．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）：
(2)该抛物线
2
4
y
x
可由抛物线
2
y
x
向______平移______个单位得到；
(3)当1
3
y
时，x 的取值范围是______．
题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质
【例3】已知抛物线
2
3
y
x
，下列结论错误的是（
）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线
3
x
C．抛物线的顶点坐标为
3,0
D．当
10
x
时，y 随x 的增大而减小
【例4】对于二次函数
2
2
3
y
x
的图象，下列说法正确的是（
）
A．开口向上
B．当
3
x 时，y 的值随x 值的增大而减小
C．对称轴是直线
3
x
D．顶点坐标为
2, 3
【技巧归纳】
抛物线y=a(x-h)² 顶点(h,0)，对称轴x=h。a 决定开口方向与大小，h 决定左右平移。函数在x=h 处取最值
0；增减性以对称轴为界。平移规律：左加右减（对x）。
【变式2-1】对于二次函数
2
3
3
y
x
的图象，下列说法错误的是（
）
A．顶点坐标为
3,0
B．
3
x 时，y 的值随x 值的增大而减少
C．对称轴为
3
x
D．函数的最小值为0
【变式2-2】已知二次函数
2
1
y
x
，函数值y 和自变量x 的部分对应取值如表所示：
x
…
1
0
1
2
3
…
y
…
4
1
0
m
n
…
(1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________．
(2)在图中画出二次函数的图像．
(3)当x___________时，y 随x 增大而减小，当x___________时，y 随x 增大而增大．
题型3 二次函数y=a(x-h)²+k 的图象和性质
【例5】对于二次函数
2
3
1
7
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．当
1
x 时，y 有最大值为7
B．图象的对称轴是直线
1
x
C．图象的对称轴是直线
1
x
D．当
1
x 时，y 随x 的增大而增大
【例6】关于二次函数
2
2
3
y
x
，下列结论错误的是（
）．
A．图象开口向下
B．最小值为3
C．对称轴为直线
2
x
D．顶点为
2, 3
【技巧归纳】
顶点式：顶点(h,k)，对称轴x=h。a 决定开口方向与大小，a>0 开口向上有最小值k，a<0 向下有最大值k。
平移：h 左右，k 上下。增减性以对称轴为界，可直接得最值。
【变式3-1】已知二次函数
2
1
2
y
a x
（其中a 是常数，且
0
a
），下列叙述中正确的是（
）
A．当
0
a
时，二次函数图象开口向下
B．二次函数图象与y 轴的交点的坐标为
0,2
C．顶点坐标是
1,2
D．当
0
a
时，顶点是二次函数图象的最低点
【变式3-2】已知抛物线L：
2
2
y
a x
m
经过点
1, 1
m
，其顶点为M．
(1)用含m 的式子表示；
①直接写出顶点M 的坐标；
②直接写出点
1, 1
m
关于抛物线L 的对称轴对称的点的坐标；
③求抛物线L 的表达式．
(2)当
1
m 时，求与抛物线L 关于直线
2
y
成轴对称的抛物线T 的表达式（结果用二次函数的一般式表示）．
(3)规定：抛物线L 与直线l：
2
y
m
所围成的封闭图形的边界上，纵坐标为整数的点叫做“美点”．当1
1
2
m
时，直接写出封闭图形边界上“美点”的个数．
题型4 二次函数的平移
【例7】将抛物线
2
3
y
x
先向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，则平移后抛物线的顶点
坐标为_______．
【例8】将抛物线
2
2
3
3
y
x
向右平移2 个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的顶点坐标为
______．
【技巧归纳】
平移口诀：左加右减（对x），上加下减（对整体）。从y=ax²变为y=a(x-h)²+k，即先平移h 单位（左正右
负），再平移k 单位（上正下负）。注意符号与平移方向。
【变式4-1】抛物线
2
2
1
y
x
向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位，则平移后的抛物线的顶点坐标为
______．
【变式4-2】将抛物线
2
y
a x
h
k
先向右平移5 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，得到抛物线
2
2
y
x
．
(1)求a，h，k 的值；
(2)指出抛物线
2
y
a x
h
k
的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值．
一、单选题
1．抛物线
2
3
1
2
y
x
的顶点坐标是（
）
A．
1,2
B．
1,2
C．
3,2
D．
3,1
2．已知点
1
2
1
4
y
y
,
，,
都在二次函数
2
1
y
x
c
的图象上，则
1
2
y
y
，
的大小关系是（
）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
C．
1
2
y
y
D．无法确定
3．已知抛物线
2
2
2
y
x
，下列说法不正确的是（
）
A．开口向上
B．对称轴是直线
2
x
C．顶点坐标为
2,0
D．当
2
x
时，y 随x 的增大而减小
4．下列关于抛物线
2
1
y
x
的说法正确的是（
）
A．开口向上
B．对称轴为
1
x
C．顶点坐标为
1, 1
D．由抛物线
2
y
x
向上平移一个单位得到
5．抛物线
2
3
y
x
向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的
是（
）
A．抛物线开口向上
B．顶点坐标为
1,2
C．若点
1
3, y
和点
2
1, y
都在抛物线上，则
1
2
y
y
D．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
二、填空题
6．二次函数
2
1
2
y
x
图象的顶点坐标是_______，开口方向_______，当x_______时，y 随x 的增大
而增大；
7．二次函数
2
(
1)
6
y
a x
，当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，写出一个符合条件的a 的值_______．
8．将抛物线
2
2
y
x
的图像先向上平移3 个单位再向右平移1 个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为
__________
9．已知点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
在二次函数
2
1
1
y
x
的图象上，若
1
2
1
x
x
，则
1y ___
2y （填“ ”、“”
或“ ”）．
10．如图，在平面直角坐标系中，A，B 是x 轴上方抛物线
2
y
x
c
上的两个点，C，D 是x 轴上的两个点．若
四边形ABCD 是边长为4 的正方形，则c 的值为_______
三、解答题
11．把二次函数
2
y
a x
h
k
的图像先向左平移2 个单位，再向上平移4 个单位，得到二次函数
2
1
1
1
2
y
x
的图像．
(1)试确定a 、h 、k 的值；
(2)指出二次函数
2
y
a x
h
k
的开口方向、对称轴和顶点坐标．
12．已知函数
2
1
1
2
2
y
x
(1)指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______；
(2)当x______时，y 随x 的增大而增大；
(3)怎样移动抛物线
2
1
2
y
x
就可以得到抛物线
2
1
1
2
2
y
x
．
13．在平面直角坐标系中，将点
1
,
P a b
a
定义为点
,
P a b 的“关联点”．如图，点
,
A x y 在函数
2
y
x
=
的
图象上，点A 的“关联点”是点
1A ．
(1)如果点
1A 在函数
2
2
y
x
的图象上，求点
1A 的坐标；
(2)将点
2
,
P a b
na
称为点
,
P a b 的“待定关联点”( 其中
0)
n
．如果点
,
A x y 的“待定关联点”
2
A 在函数
2
y
x
n
的图象上，试用含n 的代数式表示点
2
A 的坐标．
14．如图，以A 为顶点的抛物线交y 轴于点B，已知A，B 两点的坐标分别为
3,0 , 0,4 ，连接AB ．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)若将y 轴向右平移6 个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式．
(3)抛物线上是否存在一点P，使得AB
AP
？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
15．探究下列问题：
(1)写出下列二次函数的顶点坐标．
①
2
1
5
2
y
x
的顶点坐标为；
②
2
4
3
y
x
的顶点坐标为．
若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”．
(2)继续研究发现，对于
2
y
a x
h
k
，因为
0
a
，当
0
时，
2
y
a x
h
k
的顶点在x 轴上；当
0
时，
2
y
a x
h
k
的顶点在y 轴上．请你写出一个顶点在x 轴上的二次函数解析式：．
(3)与x 轴平行的直线与
2
4
3
y
x
交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若
8
MN
，请直接写出M
点横坐标
M
x 的取值范围．
