1
第16 讲相似三角形常考综合题精练
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题型01 比例线段的应用
题型02 黄金分割
题型03 平行线分线段成比例定理
题型04 相似多边形的性质
题型05 相似三角形的性质与判定
题型06 相似三角形的实际应用
题型07 图形的位似
题型08 旋转背景下的相似三角形的性质与判定
题型09 折叠背景下的相似三角形的性质与判定
题型10 动点背景下的相似三角形的性质与判定
题型11 相似三角形的综合问题
2
题型01 比例线段的应用
1．定义一个运算
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
,
,
,
,
0
n
n
n
n
n
x
x
x
H x x
x
y y
y
y
y
y
y
y
y
，下列说法正确的有（
）
个
①
1,2 3
1
H
；
②若
2
4
, 4
1 , 2
1
H
x
H
x
，则= 1
x 或2；
③
2
2
2
175
11,2
1 2 ,4
1 3 ,6
110 ,20
264
H
H
H
H
；
④若
, ,
, ,
, ,
, ,
H a b c d
H b a c d
H c a b d
H d a b c
，则
1
c
d
a
b
．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知代数式
x
A
y
z
，
y
B
x
z
，
z
C
x
y
，下列结论中，正确的个数是（
）
①若
:
:
1: 2 :3
x y z
，则
:
:
2:5:10
A B C
；
②若A
B
C
a
，则一次函数
1
y
ax
的图像必过第一、三、四象限；
③若x ，y ，z 均为正整数，且x
y
z
，则A
B
C
；
④若
1
y ，
2
z ，且x 为方程
2
2023
1
m
m
的一个实数根，则
2
2
1
8
2023
y
A
B
C
．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，已知在
ABC
中，点D
E
F
、、分别为边AB
BC
AC
、
、
上的点，且AE
BF
CD
、
、
相交于点G ，如果
2014
AG
BG
CG
GE
GF
GD
，那么AG BG CG
GE GF GD
的值为
．
4．已知代数式
x
A
y
z
，
y
B
x
z
，
z
C
x
y
，下列结论中，正确的个数是（
）
①若
:
:
1: 2 :3
x y z
，则
:
:
2:5:10
A B C
；
②若
0
A
B
C
a a
，则一次函数
1
y
ax
的图象必定经过第一、三、四象限；
③若x，y，z 为正整数，且x
y
z
，则A
B
C
；
④若
1
y ，
2
z ，且x 为方程
2
2023
1
m
m
的一个实根，则
2
2
1
1
A
B
与8
2023
C
的值相等；
3
⑤若
2
2
2
7
5
x
y
zx
yz
xy
yz
zx
z
，
2
2
2
7
5
y
z
xy
zx
xy
yz
zx
x
，则
A A
B
B B
C
C C
A
的值为28．
A．1
B．2
C．3
D．4
题型02 黄金分割
5．我们把宽与长的比等于黄金比(
5
1
2
)的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形ABCD (
)
AB
BC
中,
ABC
的平分线交AD 边于点E , EF
BC
于点F ,则下列结论错误
．．的是（
）
A．AE
DE
AD
AE
B．CF
BF
BF
BC
C．AE
BE
BE
BC
D．DE
AB
EF
BC
6．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB 为边作正方
形ABCD ，取AD 的中点E，连接BE ，延长DA 至F，使得EF
BE
，以AF 为边作正方形AFGH ，则点H
即是线段AB 的黄金分割点．若
20
AD
，记正方形AFGH 的面积为
1S ，矩形BCIH 的面积为
2S ，则
1S 与
2S
的和为
．
7．如图①，点C 把线段AB 分成两部分(
)
AC
BC
，若AC
BC
AB
AC
，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．
类似的，可以定义“黄金分割线”：直线l 把一个面积为S 的图形分成面积为
1S 和
2S 的两部分
1
2
(
)
S
S
，如果
1
2
1
S
S
S
S
，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．
4
(1)如图②，在
ABC
中，若点D 是线段AB 的黄金分割点(
)
BD
AD
，线段CD 所在直线是
ABC
的黄金分割
线吗？为什么？
(2)在（1）的条件下，如图③，过点C 作一条直线交BD 边于点E ，过点D 作DF
EC
∥
交
ABC
的一边于点
F ，连接EF ，交CD 于点G ，回答问题．
①
CFG
S
______
EDG
S△
（填“＞”“＜”或“ ”）．
②EF 是
ABC
的黄金分割线吗？为什么？
8．（1）在图①中按下列步骤作图：
第一步：过点C 画CD
AC
，使
1
2
CD
AC
；
第二步：连接AD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径画弧，交AD 于点E；
第三步：以点A 为圆心，AE 的长为半径画弧，交AC 于点B．
（2）在所画图中，点B 是线段AC 的黄金分割点吗？为什么？
（3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②
中以线段AB 为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC ．（不写作法，保留作图痕迹）
9．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论
著．黄金分割（goldensection ）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与
较大部分的比值．
如图①，在线段AD 上找一个点C，C 把AD 分为AC 和CD 两段，其中AC 是较小的一段，如果
:
:
AC CD
CD AD
，那么称线段AD 被C 点黄金分割，点C 叫做线段AD 的黄金分割点，AC 与CD 的比值
叫做黄金分割数．
为简单起见，设
1,
AD
CD
x
，则
1
AC
x
．
∵
:
:
AC CD
CD AD
，∴……
5
任务：
(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．
(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：
①设AB 是已知线段，过点B 作BD
AB
且使
1
2
BD
AB
；
②连接DA ，在DA 上截取DE
DB
；
③在AB 上截取AC
AE
；
则点C 即为线段AB 黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
(3)已知线段
1
AB ，点C，D 是线段AB 上的两个黄金分割点，则线段CD 的长是
．
10．材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：
“如图
，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC，如果AC
AB ＝BC
AC ，那么称线段AB
被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC
AB ＝
5
1
2
叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段
AB 另有一点D 把线段AB 分成两条线段AD 和BD，满足BD
AB ＝AD
BD ，所以点D 也是线段AB 的黄金分割点．
材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4
﹣a1）则称a3 为a1，a4 的黄金数，a2 为a1，a4 的白银数．
请根据以上材料，回答下列问题
（1）如图
，若AB＝4，点C 和点D 是线段AB 的黄金分割点，则AC＝
，
CD＝
．
（2）实数0＜a＜b＜1，且b 为0，1 的黄金数，a 为0，1 的白银数，求b﹣a 的值．
（3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n 分别为k，t 的黄金数和白银数，求m
n 的值．
11．根据以下素材，探索完成任务．
素
材
1
定义：如图1，点G 将线段AD 分成两部分，如果AG
GD
GD
AD
，那么点G 称为线段AD 的黄金分割点．
素
材
2
某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：
直线l 将一个面积为S 的图形分成面积分别为
1S ，
2
S 的两部分，如果
1
2
2
S
S
S
S
，那么直线l 称为该图形
的黄金分割线．
6
素
材
3
平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转180，其余两边与旋
转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图2 中的
ABD
△
绕BD 的中点旋转180后与原三角形
组成一个平行四边形
(
ABCD 如图3) ．
问题解决
任
务
1
问题1：如图3，AD 边上黄金分割点G 旋转后的对称点H 是否也是BC 边上的黄金分割点？请写出你
的判断结论，并说明理由．
问题2 ：直线GH 是不是四边形ABCD 的黄金分割线？请写出你的判断结论：______ ．
任
务
2
请在图3探索：BC 边上是否存在点M ，使得直线GM 是四边形ABCD 的黄金分割线？如果存在，请
说明点M 的位置；如果不存在，请说明理由．
任
务
3
兴趣小组探索图2 时猜想：在
ABD
△
中，若点G 为AD 边上的黄金分割点，连接BG ，则直线BG 是
ABD
△
的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
任
务
4
兴趣小组探索图2 时还发现：若点G 是
ABD
△
的边AD 的黄金分割点，过点B 任意作一条直线交GD 于
点E ，再过点G 作GF
BC
∥
交AB 于点F ，则直线EF 是
ABD
△
的黄金分割线，请你给出证明．
题型03 平行线分线段成比例定理
12．如图，在正方形ABCD 中，分别以点A 和B 为圆心，以大于1
2 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点E 和
F ，作直线EF ，再以点A 为圆心，以AD 的长为半径作弧交直线EF 于点G （点G 在正方形ABCD 内部），
连接DG 并延长交BC 于点K ．若
2
BK
，则正方形ABCD 的边长为（
）
7
A．
2
1
B．5
2
C．3
5
2
D．3
1
13．如图是一张矩形纸片ABCD，点E 为��中点，点F 在BC 上，把该纸片沿EF 折叠，点A ，B 的对应点
分别为A，B，A E
与BC 相交于点G ，B A
的延长线过点C ．若
2
3
BF
GC
，则AD
AB
．
14．如图，AB
CD
∥
、AD
CE
，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE
于点M 、N 、P 、Q ，求证：
2
MN
PQ
PN
．
15．如图，
OPQ
，点A 在PQ上，过点A 作PO的平行线，与
OPQ
的平分线交于点B ，M 为PB的中
点，点C 在PM 上，（不与点P
M
，
重合），连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转180
，得到线段AD ，
连接BD ．
8
(1)①直接写出线段AP 与AB 之间的数量关系；
②用等式表示线段BD ，BM ，MC 之间的数量关系，并证明；
(2)连接DC 并延长，分别交AB ，PO于点E
F
，
，过点M 作OP 的垂线，交DC 于点N ．依题意补全图形，
用等式表示线段CF ，CN ，NE 之间的数量关系．
16．四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O，
90
BAD
．
(1)如图1，已知AC
CD
．
①求证：
ACD
BAC
2
；
②若
2
5
OC
OA
，求OB
OD 的值；
(2)如图2，若
90
BCD
，AB
AD
，
3
CD
BC
，求AC
BD 的值．
题型04 相似多边形的性质
17．如图，已知在矩形ABCD 中，AB
2
，BC
6
，点E 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1 个单
位的速度向点A 运动，点F
从点B 出发，沿射线AB 以每秒3 个单位的速度运动，当点E 运动
到点A 时，E ，F
两点停止运动．连接BD ，过点E 作EH
BD
，垂足为H ，连接EF ，交BD 于
点G ，交BC 于点M ，连接CF．给出下列结论：
①
CDE
CBF
∽
；
②
DBC
EFC
；
③DE
HG
AB
EH
；
9
④GH 的值为定值
10
5
．
上述结论中正确的个数为（
）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
18．已知E、F、G、H 各点分别在四边形ABCD 的AB 、BC 、CD 、DA 边上（如图）．
(1)当
2
AE
BF
CG
DH
EB
FC
GD
HA
时，求证：
5
9
EFGH
ABCD
S
S
四边形
四边形
(2)当上述条件中比值为3，4，…，n 时（n 为自然数），那么
EFGH
S四边形
与
ABCD
S四边形
之比是多少？
19．如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：
4，矩形ABCO 的边AB=4，BC=4
3 ．
（1）求矩形ODEF 的面积；
（2）将图1 中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转一周，连接EC、EA，ACE 的面积是否存在最大值或最小
值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
20．如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形（宽与长的比为
5
1
2
的矩形），则称这条
直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形ABCD 中，直线EF
BC
，分别交AD 、BC 于点E 、F ，且
10
5 1
2
AE
AB
-
=
，显然直线EF 是矩形ABCD 的黄金线．
（1）如图，在矩形ABCD 中，
2
AB
，
3
AD
．请在图中画出矩形ABCD 的其中一条黄金线MN ，其中
M 在AD 边上，N 在BC 边上，并标注出线段AM 的长度；
（2）将正方形纸片按图所示的方式折叠．
如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕GH 是否为正方形ABCD 的黄金线？请说明理由．
（3）在矩形ABCD 中，
1
AB ，
AD
a
，已知矩形ABCD 的黄金线EF 恰好将矩形ABCD 分割成两个黄金
矩形，则a ______（只要求直接写出其中三个答案）．
21．阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
11
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD
中，点E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA 边的中点，连接EG，HF 交于点O，易知分割成的四个四
边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD 均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）如图1 中正方形ABCD 分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；
（2）如图2，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC 也是“自相似图形”，他的思路
是：过点C 作CD⊥AB 于点D，则CD 将△ABC 分割成2 个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽
△ABC，则△ACD 与△ABC 的相似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD 是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B 两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD 纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b
的式子表示）；
②如图3﹣2 若将矩形ABCD 纵向分割成n 个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b 的
式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD 先纵向分割出2 个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3 个全等矩形，
且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b 的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD 先纵向分割出m 个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n 个全等矩形，且
分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b 的式子表示）．
题型05 相似三角形的性质与判定
22．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，以AB 为边向三角形外作正方形ABDE ，作EF
BC
于点F ，交
对角线AD 于点G ，连接BG ．要求BFG
的周长，只需知道（
）
12
A．AC 的长
B．BC 的长
C．BF 的长
D．FG 的长
23．如图，
ABC
DEF
≌△
△
，
5
AB
AC
，
6
BC
EF
，点E 在BC 边上运动（不与端点重合），边DE
始终过点A，EF 交AC 于点G，当
AEG
△
是等腰三角形时，
AEG
△
的面积是（
）．
A．8 或625
108
B．8
C．625
108
D．6 或625
107
24．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF 双向
延长，分别交边��，和边BC 的延长线于点G ，H ．若大正方形与小正方形的面积之比为5，
2 5
GH
，
则大正方形的边长为
．
25．如图，在正方形ABCD 中，E
F
，
为边AB 上的两个三等分点，点A 关于DE 的对称点为A，AA的延
长线交BC 于点G ．
(1)求证：DE
A F
∥
；
(2)求
GA B
的大小；
(3)求证：
2
A C
A B
．
13
26．如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 在边BC 的延长线上，点F 在边AB 上，且AF
CE
，连接EF 交
DC 于点P，连接AC 交EF 于Q，连接DE
DF
、
．
(1)求证：EQ
FQ
；
(2)连接BQ ，如图2，
①若
5 2
AQ DP
，求BQ 的长；
②若FP
FD
，则PE
PQ ．
27．平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略．
如图①，在正方形ABCD 中，E、F、G 分别是BC 、AB 、CD 上的点，FG
AE
于点Q．求证：
AE
FG ．
小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法：
方法一：平移线段FG 使点F 与点B 重合，构造全等三角形；
方法二：平移线段BC 使点B 与F 重合，构造全等三角形；
【尝试应用】
(1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明；
(2)如图②，点E、F、G、H 分别是矩形ABCD 边AB 、CD 、AD 、BC 上的点，且EF
GH
，若
3
AB ，
4
BC
，
求EF
GH 的值；
【拓展探究】
(3)如图③，点E、F 分别是平行四边形ABCD 边AB 、AD 上的点，连接CF 、DE 交于点G，若
180
B
EGC
，求证：DE
AD
CF
CD
．
28．如图，
90
BAC
AED
，AB
AC
，EA
ED
．
14
(1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形；
(2)如图2，若点E 落在BC 边上，求证：
2
2
2
2
AD
EF
BF EF
；
(3)如图3，若点H，I，J 分别为BC ，��，��中点，判断IJ 与HE 的数量关系及夹角度数（锐角）．
题型06 相似三角形的实际应用
29．将一本高为17cm（即
17cm
EF
）的词典放入高（AB）为16cm的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒
盖时，测得底部F 离收纳盒最左端B 处8cm ，若此时将词典无滑动向右倒，书角H 的对应点H 恰为CD 中
点．
（1）收纳盒的长BC
；
（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2 放置，则最多有
本书可与边BC 有公
共点．
30．【问题探究】
（1）如图①，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
，
4
AB
，
2
AC
，将
ABC
绕点C 逆时针旋转到DEC
的
位置，点A 的对应点D 落在BC 上，则BD 的长为；
（2）如图②，在矩形ABCD 中，
2
AB
，
6
AD
，点O是矩形ABCD 的对称中心，点E 在AD 边上，且
2
AE
，
点F 是BC 边上的动点，连接EF 与OF ，求EF
OF
的最大值；
【问题解决】
（3）有一块三角形草地ABC ，其示意图如图③所示，
24cm
AB
BC
，
90
ABC
，DE 是一条小道（宽
15
度不计），点D 是BC 的中点，点E 在
ABC
内，B 、E 两点之间的距离为13cm ，DE
BC
．市政府为丰富
市民的业余生活，计划将部分草地改建，在BC 、BA 上分别找点M 、N ，在M 、N 处栽种梧桐树，BM
BN
，
连接EM 、EN ，在EN 上截取EP
EM
．根据规划，现要沿线段PN 修建一段文化长廊（宽度不计），为
容纳更多的市民在文化长廊内活动，要求文化长廊PN 的长度尽可能的长，当文化长廊PN 的长最大时，请
求出此时点N 的位置（即BN 的长）．
31．
探究不同裁剪方式的面积大小问题
素
材
1
图1 是一张直角三角形纸板，两直角边分别为
15cm
BC
，
20cm
AC
，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样
的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．
素
材
2
小华同学按图2 的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3 的方式裁
剪，且
8cm
AH
．
16
素
材
3
小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4，
步骤1：在直角
ABC
纸板上裁下一个矩形CDEF ，矩形的四个顶点
都在
ABC
的边上；
步骤2：取剩下的纸板
ADE
裁下一个正方形GHJI ，正方形的四个
顶点都在
ADE
边上；且满足矩形CDEF 的CF 边长是正方形GHJI 边
长的两倍小0.9cm ．
问题解决
任
务
1
请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明．
任
务
2
请求出小富同学裁下的矩形CDEF 各边长．
32．在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜EF 的焦距
为f，主光轴l
EF
，A，B，C，D 都在l 上，其中O 是光心，
2
OB
OD
f
，蜡烛PQ
l
（蜡烛可移动，
且OQ
f
），光线PG
l
∥，其折射光线GC 与另一条经过光心的光线PP相交于点P（P Q
l
）即为蜡烛
在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高
PQ 为h，像高
P Q
为h，物距
OQ ，像距
OQ为v．
(1)若
10cm
f
，
10cm
h
，
15cm
u
，
v
cm．
(2)求证1
1
1
u
v
f
．
17
(3)当f 一定时，画出v 与u 之间的函数图象
u
f
，并结合图象描述v 是怎么随着u 的变化而变化的？
33．阅读理解：如图1，在△ABC 中，当DE∥BC 时可以得到三组成比例线段：①
AD
AE
DE
AB
AC
BC
；②
AD
AE
BD
CE
；③BD
CE
AB
AC
．反之，当对应线段成比例时也可以推出DE∥BC．
理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形．
（1）如图2，已知矩形DEFG 是△ABC 的一个内接矩形，将矩形DEFG 沿CB 方向向左平移得矩形PBQH，
其中顶点D、E、F、G 的对应点分别为P、B、Q、H，在图2 中画出平移后的图形；
（2）在（1）所得的图形中，连接CH 并延长交BP 的延长线于点R，连接AR．求证：AR∥BC；
（3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC 空地的边AB＝400 米，BC＝600 米，∠ABC＝45°；准
备在△ABC 内建一个内接矩形广场DEFG（点E、F 在边BC 上，点D、G 分别在边AB 和AC 上），三角形
其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG 的对角线EG 最短，请在备用图中画出使对角线EG 最短距
离（不要求证明）．
34．阅读理解：
如图1，AD 是△ABC 的高，点E、F 分别在AB 和AC 边上，且EF / / BC，可以得到以下结论：AH
EF
AD
BC
．
拓展应用：
(1)如图2，在△ABC 中，BC＝3，BC 边上的高为4，在△ABC 内放一个正方形EFGM，使其一边GM 在BC
上，点E、F 分别在AB、AC 上，则正方形EFGM 的边长是多少？
(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm 的等腰三角形展台．现需将
展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm 分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，
要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3 所示，将底边BC 的长度看作是0 排隔板的长度．
18
①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单
位：排）的变化而变化．请完成下表：
排数/排
0
1
2
3
…
隔板长度/厘米
160
______
______
______
…
若用n 表示排数，y 表示每排的隔板长度，试求出y 与n 的关系式；
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？
35．阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3 名同学选择了测量学校里
的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1 米的竹竿的影长为0.8 米，甲树的影长为4.08 米（如1 图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2 图），墙壁上的影长为1.2
米，落在地面上的影长为2.4 米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4 米，落在坡面上影长为3.2 米（如3 图）．身高是1.6 米的小明站在
坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2 米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔
（2）请求出丙树的高度．
36．【问题背景】
人教版九年级下册教材第58 页第11 题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边
120mm
BC
，高
80mm
AD
．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB
AC
，
上，这个正
方形零件的边长是多少?
19
【提出问题】
在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，
加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？
【分析问题】
小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以
通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以
结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决
问题．
【解决问题】
为了简化探索过程，小敏取边长分别为5
5
6
cm cm cm
，
，
的三个等腰三角形（其中AB
AC
，
为腰）木块进行研究．
如图2，正方形EFGH 的顶点E
H
，
分别在AB
AC
，
上，边FG 在BC 上．如图3，正方形MNPQ的顶点M
N
，
分别在AB
BC
，
上，边PQ在AC 上．
请你完成下面两个问题：
（1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小；
（2）在图4 中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其
余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）．
【学以致用】
定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题：
在如图5 所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半
20
径上？
你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由．
题型07 图形的位似
37．如图是由小正方形组成的8
8
网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C 三点是格点，点P 在BC
上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图（1）中，将线段AB 沿BC 的方向平移，使点B 与点C 重合，画出平移后的线段CD ；再将PC 绕AC
的中点顺时针旋转180，得到GA，画出线段GA；
(2)在图（2）中，连接AP ，将
APC
△
以C 为位似中心缩小为原来的1
2 得到EFC
，画出EFC
；
(3)在图（3）中，在AC 上画一点M，在��上画一点N，使得PM
PN
最小．
21
38．（1）在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图，△ABC 是一个格
点三角形，点A 的坐标为（－2，2）．
①△ABC 的面积为______；
②在所给的方格纸中，请你以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半；（仅用直尺完成作图）
③在（2）中，若P（a，b）为线段AC 上的任一点，则缩小后点P 的对应点P1 的坐标为______．
（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交
于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．
①如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，作BC 的中点F．
22
②如图2，在由小正方形组成的4×3 的网格中，△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC 的高AH．
39．如图①，在Rt
ABC
△
中，
9
AB
，
12
BC
，点D 是AB 上一点，且
2
AD
BD
．动点F 从点C 出发沿
CB 方向以每秒2 个单位长度的速度向经点B 运动，以DF 为边构造等腰直角三角形DEF ，其中F 为直角
顶点，且点E 与点B 位于线段DF 两侧．设点F 的运动时间为t（秒）．
AI
(1)求线段AC 的长度；
(2)当点E 落在Rt
ABC
△
的中位线上时，求出t 的值：
(3)连接CE ，则线段CE 的最小值是______．
(4)如图②．以点B 为位似中心，将DEF
缩小后得到
D E F
△
，且
3
DF
D F
．连接E C
，当E C
与Rt
DEF
△
的某条边平行时，直接写出t 的值．
题型08 旋转背景下的相似三角形的性质与判定
40．定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转
后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形
的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在
ABC
中，
4
6
5
AB
AC
BC
，
，
，
AB C
△
是
ABC
以点A 为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A 为
转似中心的逆时针的另一个转似三角形
AB C
△
（点B
C
，
分别与B
C
、
对应），其中B C
边的长为
41．在矩形ABCD 中，点O是对角线AC 、BD的交点，直角
EPF
的顶点P 与O重合，OE 、OF 分别与AB 、
BC 边相交于E 、F ，连接EF ，BC
k AB
（k 为常数）．
23
（1）发现问题：如图1，若
1
k ，猜想：OE
OF ________；
（2）类比探究：如图2，
1
k ，探究线段OE ，OF 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若FO
FC
，
2
k
，
2 6
OD
，求EF 的长．
42．综合与实践．
问题情境：
综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．
实践操作：
如图1，将等腰Rt△AEF 绕正方形ABCD 的顶点A 逆时针方向旋转，其中∠AEF＝90，EA＝EF，连接CF，
点H 为CF 的中点，连接HD，HE，DE，得到△DHE．
应用探究：
（1）勤奋组：
如图2，当点E 恰好落在正方形ABCD 的对角线AC 上时，判断△DHE 的形状，并说明理由；
（2）善思组：
如图3，当点E 恰好落在正方形ABCD 的边AB 上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
深入探究：
（3）创新小组：
发现若连接BE，在旋转Rt△AEF 的过程中，BE
CF 为定值，请你直接写出其值
．
24
43．数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知
ABC
中，AB=AC=m，BC=n，
0
180
BAC
，点P 为平面内不与点A、C 重合的任
意一点，将线段CP 绕点P 顺时针旋转a，得线段PD，E、F 分别是CB、CD 的中点，设直线AP 与直线
EF 相交所成的较小角为β，探究EF
AP 的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并
完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】
小明研究了
60
时，如图1，求出了EF
PA ___________，___________；
小红研究了
90
时，如图2，求出了EF
PA ___________，___________；
【类比探究】
他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了EF
PA ；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：EF
PA __________(用含m、n 的式子表示)；___________ (用含α的式
子表示)．
（2）求出
120
时EF
PA 的值和的度数．
44．在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究．
25
(1)【问题初探】
如图1，在
ABC
中，点D 在边AB 上，DE
BC
∥
交AC 于点E．ADE
绕点A 逆时针旋转得到
AD E
△
（点
D 的对应点为点D¢，点E 的对应点为点E），连接BD，CE，得到
ABD
△
和ACE
，如图2，数学小组
的同学们发现
ABD
ACE
△
∽△
．
请你帮助他们证明这一发现．
(2)【问题应用】
如图3，Rt ABC
中，
90
ACB
，
6
AC
，
8
BC ，M，N 分别为边AC 与BC 的中点．CMN
绕点C 旋
转，点M 的对应点为点E，点N 的对应点为点F，直线EF 与直线BC 交于点G．
①如图4，当点E 落在线段AF 上时，求证：
90
BFE
；
②当点A，E，F 三点在同一条直线上时，直接写出BG 的长．
(3)【问题拓展】
如图5，在（2）条件下，连接AF ，取AF 中点K，取EB中点H，请直接写出HK 的最大值为___________．
题型09 折叠背景下的相似三角形的性质与判定
45．在边长为4 的正方形ABCD 中，E 是AD 边上一动点(不与端点重合)，将ABE
沿BE 翻折，点A 落在点
H 处，直线EH 交CD 于点F，连接BF ，BE ，BF 分别与AC 交于点P、Q，连接PD ，PF ．则以下结论中
正确的有________ (写出所有正确结论的序号)．
①
PB
PD ；②
2
EFD
FBC
；③PQ
AP
QC
；④
BPF
△
为等腰直角三角形；⑤若连接DH ，则DH 的
最小值为4 2
4
．
26
46．如图，正方形ABCD 的边长为6，点P 是BC 边上的动点，将ABP
沿AP 折叠得到APB
，射线AB与
边DC 和射线BC 的延长线交于F，E 点．
(1)如图①，若四边形APED 是平行四边形，求证：DF
EF
；
(2)如图②，当DF
2CF
时，求BP 的长；
(3)如图③，当FB
CF
时，求
DFE
△
的面积．
47．如图①，在Rt
ABC
△
中，
90
15
9
ABC
AC
AB
，
，
，动点D 从点C 出发沿CA 以每秒5 个单位长
度的速度向终点A 运动，同时动点E 从点A 出发沿AB 以每秒3 个单位长度的速度向终点B 运动．设点D
运动的时间是t 秒
0
3
t
．过点D 作DF
BC
于点F，连结DE
EF
、
．
(1) AE
，AD
；（用含t 的代数式表示）
(2)当四边形AEFD 是菱形时，t 的值为
；
27
(3)当DE 垂直于
ABC
的一边时，求t 的值；
(4)如图②，将
DEA
△
沿DE 翻折，点A 的对应点为点A，直接写出点A在
ABC
外部时t 的取值范围．
48．在矩形ABCD中，点E，F 分别在边��，BC 上，将矩形ABCD沿EF 折叠，使点A 的对应点P 落在边
��上，点B 的对应点为点G，PG 交BC 于点H．
(1)如图1，求证：
DEP
CPH
△
∽△
；
(2)如图2，当P 为��的中点，
2
AB
，
3
AD
时，求GH 的长；
(3)如图3，连接BG ，当P，H 分别为��，BC 的中点时，探究BG 与��的数量关系，并说明理由．
49．（1）【动手操作】如图1，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD 上（点M
不与点A，D 重合），点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P，折痕分别与边AB ，CD 交于点E ，F ，连接
BM ．求证：BM
EF
；
（2）【问题探究】在图1 中，若正方形ABCD 的边长为3，当点P 运动到CD的中点时，求MD 的长；
（3）【拓展延伸】如图2，若把（1）【动手操作】中的正方形ABCD 改成矩形ABCD ，且AB
mAD
，其中
1
m ，
其他条件不变，若
2
AD
，直接写出折痕EF 的长度的取值范围是______．（用含m 的式子表示）
题型10 动点背景下的相似三角形的性质与判定
50．如图，在矩形ABCD 中，
12
AB
厘米，
6
BC
厘米．点P 沿��边从A 开始向点B 以2 厘米/秒的速度
移动；同时点Q沿DA边从点D 开始向点A 以1厘米/秒速度移动，用t （秒）表示移动的时间（0
6
t
）．
28
(1)当t 为何值时，QAP
为等腰直角三角形？
(2)求四边形QAPC 的面积；
(3)当t 为何值时，以点Q
A
P
，，
为顶点的三角形与
ABC
相似？
51．如图，Rt
ABC
△
中，
90
C
，
10
AB
，
6
BC
，动点P 从点A 出发，沿折线AC
CB
以每秒2 个单
位长度的速度向终点B 运动．D 是AB 的中点，以PA
AD
、
为邻边作平行四边形APED ．设点P 的运动时间
为t 秒．（
0
t
）
(1)用含t 的代数式表示线段PC 的长．
(2)当点E 落在边BC 上时，求t 的值．
(3)当点P 在线段AC 上运动时，平行四边形APED 与
ABC
重叠部分图形的周长为y ，求y 与t 之间的函数
关系式．
(4)当点E 到
ABC
的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出t 的值．
52．已知：如图，在四边形ABCD 中，AD
BC
∥
，
90
D
Ð
=
°，
9cm
AD
，
25cm
BC
，
12cm
CD
，连接
AC ，点E 从点B 出发沿BC 方向匀速运动，速度为4cm / s；同时，点F 从点C 出发沿CA 方向匀速运动，
速度为3cm / s；过点E 作EG
AB
交AB 于点G ，连接EF ，当一点停止运动时，另一点也停止运动，设运
动时间为s (0
4)
t
t
．
29
(1)当点F 在线段EC 的垂直平分线上时，求t 的值；
(2)当四边形AGEF 是矩形时，求t 的值；
(3)设四边形AGEF 的面积为
2
cm
S
，求S 与t 的函数关系式；
(4)取CD 的中点Q，是否存在某一时刻t ，使得点E 、F 、Q在同一条直线上？若存在，请求出t 的值；若
不存在，请说明理由．
53．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
，
8
AB
，
6
BC
，点D 为AC 中点，动点P 从点A 出发，沿边AB
以每秒5 个单位长度的速度向终点B 运动，连结DP ，将线段DP绕点D 逆时针旋转90得线段DE ，连结
PE ．设点P 运动的时间为t 秒．
(1)用含t 的代数式表示点P 到AC 的距离为________；
(2)当点E 落在
ABC
内部（不包括边界）时，求t 的取值范围；
(3)当PE 与
ABC
的一边平行时，求线段PE 的长度；
(4)当经过点E 与
ABC
的一个顶点的直线平分
ABC
面积时，直接写出t 的值．
54．如图，在
ABC
中，
90 ,
8cm,
6cm
ABC
AB
BC
，点M 从点A 出发，沿折线AB
BC
以2cm / s 速
度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 方向以1cm / s 的速度向点A 运动，点M 到达点C 时，点
,
M D 同
时停止运动，当点M 不与
,
A C 重合时，作点M 关于直线AC 的对称点N ，连接MN 交AC 于点E ，连接
,
DM DN ．设运动时间为
s
0
7
t
t
．
30
备用图
(1)当t 为何值时，MD
BC
∥
？
(2)设DMN
的面积为S ，求s与t 的函数关系式并写出t 的取值范围；
(3)当t 为何值时，DMN
为直角三角形？
55．如图（1），在四边形ABCD 中，AB
DC
，CB
AB
，
16cm
AB
，
6cm
BC =
，
8cm
CD
，动点P 从
点D 开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P 和点Q
同时出发，设运动的时间为(s)
t
，0
5
t
．
(1)用含t 的代数式表示AP ；
(2)当以点A ，P ，Q为顶点的三角形与
ABD
△
相似时，求t 的值；
(3)如图（2 ），延长QP ，BD ，两延长线相交于点M ，当QMB
为直角三角形时，求t 的值．
56．【问题探究】
（1）如图1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E 在同一直线上，
连接AD，BD．
①请探究AD 与BD 之间的位置关系？并加以证明．
②若AC＝BC＝10 ，DC＝CE＝2 ，求线段AD 的长．
【拓展延伸】
（2）如图2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝
21 ，BC＝
7 ，CD＝
3 ，
CE＝1．将△DCE 绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD 为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，
当点B，D，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．
31
57．如图1 和2，在矩形ABCD 中，
6,
8
AB
BC
，点K 在CD边上．且
7
3
CK
．点M
N
，
分别在
,
AB BC
边上，且
2
AM
CN
．点P 从点M 出发沿折线MB
BN
匀速运动，点E 在CD边上随P 移动，且始终保持
PE
AP ；点Q从点D 出发沿DC 匀速运动，点P
Q
，
同时出发，点Q的速度是点P 的一半，点P 到达点N
时停止，点Q随之停止．设点P 移动的路程为x．
(1)当点Q 与点K 重合时，通过计算确定点P 的位置；
(2)若点P 在BN 上，当BP
CE
时，如图2，求x 的值；
(3)在点P 沿折线MB
BN
运动过程中，求点Q，E 的距离（用含x 的式子表示）；
(4)已知点P 从点M 到点B 再到点N 共用时20 秒，请直接写出点K 在线段QE 上（包含端点）的总时长．
题型11 相似三角形的综合问题
58．【探究证明】
（1）如图1，矩形ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交AB、CD 于点E、F，GH 分别交AD、BC 于点G、H，
求证：EF
AD
GH
AB
；
【模型应用】
（2）如图3，四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N 分别在边BC、
AB 上，求DN
AM 的值．
【变式拓展】
32
（3）如图3，平行四边形ABCD ，
2
AB
，
6,
60
AD
BAD
，直线l 与平行四边形相交，将平行四边形
沿直线l 折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度．
59．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．
（1）矩形垂等四边形（填“是”或“不是”）；
（2）如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别在AD 、AB 、BC 上，四边形DEFG 是垂等四边形，
且
90
EFG
，AF
CG
．
①求证：EG
DG
；
②若BG
n BC
，求n 的值；
（3）如图2，在Rt ABC
中，
2
AC
BC
2 5
AB
，以AB 为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D 作CB 的
延长线的垂线，垂足为E ，且ACB
与DBE
相似，则四边形ACBD的面积是．
60．如图，在矩形ABCD 中，
6
AB
，
3
AD
．点M，N 分别是BD ，CD 边上的动点，连接AM 、MN ．请
你解答下列问题：
33
(1)如图1，若M 是BC 边上的中点且
90
AMN
，求CN
DN 的值；
(2)如图2，若M 是BC 边上的三等分点且
45
AMN
，连接AN ，求AMN
的面积．
61．张老师在讲“图形的对称”时，进行了如下教学设计．
【观察发现】
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，OABC
的顶点O与坐标原点重合，点A 在x 轴的正半轴上，点,
B C
均在第一象限，
2
OC
，分别作点C 关于x 轴，y 轴的对称点
1
2
,
C C ，连接
1
2
C C ，则
2
OC 可看作是由
1
OC 绕
点O顺时针旋转______ 得到的；
1
2
C C ______．
【迁移探究】
（2）在
AOB
中，
29,
45 ,
OA
AOB
AB
边上的高
5
OC
，求AB 的长．
①小明利用（1）中的方法解决此问题，过程如下：
根据要求作出
AOB
，如图2 所示，再分别作OC 关于
,
OA OB 的对称线段
,
OC OC ，连接
1
2
,
C A C B并延长交
于点D ，请补全图形并求出AB 的长．
②小明发现根据要求还可以作出钝角三角形AOB ，如图3 所示，请直接写出此时AB 的长．
【拓展应用】
（3）在
AOB
中，
10,
60 ,
OA
AOB
AB
边上的高
3
OC
，请直接写出AB 的长．
62．在
ABC
和
CEF
△
中，AC
BC
，CE
EF
，
90
CEF
ACB
，D 是AB 的中点，连接CD，点E
在线段AB 上移动（不与点D 重合），连接BF ，CF 始终在AC 的右侧．
34
(1)发现问题
如图1，当点E 与点A 重合时，BF
DE ________，
EBF
________．
(2)探究问题
如图2，当E 是AD 上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)解决问题
当
3
BC
BF
时，请直接写出AE
BE 的值．
63．如图
(1)【问题情境】如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是��边上的一个动点，以��为边在��的右侧作正方
形CEFG ，连接DG
BE
、
，则DG 与BE 的数量关系是
；
(2)如图2 ，四边形ABCD 是矩形，
2
AB
，
4
BC
，点E 是��边上的一个动点，以��为边在��的右侧作矩
35
形CEFG ，且
12
CG CE
∶
∶，连接DG
BE
、
，判断线段DG 与BE 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理
由；
(3)【拓展提升】如图3 ，在（2 ）的条件下，连接BG ，则2BG
BE
的最小值为
．
64．探究与证明
已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，AD 边上的点，DM 与CN 交于点Q．
【图形认知】
（1）如图1，若四边形ABCD 是正方形，且DM
CN
于点Q，求证：DM
CN
；
【探究证明】
（2）如图2，若四边形ABCD 是矩形，且DM
CN
，求证：DM
AD
CN
CD
；
【拓展运用】
（3）如图3，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使得点D 落在AB 边上的点G 处，点C 落在点P 处，得到四边形EFPG ，
若
2
AB
，
3
BC ，
2 10
3
EF
，求三角形DEG 的面积．
65．在四边形ABCD 中，AB
CD
∥
且AB
BC
，AB
BC
．将AB 绕点A 顺时针旋转一定角度得线段AE ，
点E 在四边形ABCD 内部，连接DE ，
90
AED
，连接BE 并延长交CD 于点F ．
(1)如图1，若AE
BE
，过点A 作CD 延长线的垂线，垂足为G ，求
DAG
的度数；
(2)如图2，若E 为BF 的中点，求AB
AD 的值；
(3)如图3，若
2
3
CD
AB
，连接CE 并延长交AD 于点G ，
3 5
EG
，求AB 的长．
