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1
第12 讲平行线分线段成比例
课程标准
学习目标
③掌握基本事实:两条直线被一组平行线所
截，所得的对应线段成比例．
1、拿握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能
用其解题；
2、掌握基本定理的推导过程并能以之解题．
知识点一：平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则AB
DE
BC
EF
.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB
2
∥CD，则OA
OB
OD
OC
.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
题型01
由平行判断成比例的线段
1．如图，直线AB
CD
EF
∥
∥
，则（
）
A．AC
BD
AE
BF
B．
AC
BD
AE
DF
C．AC
BD
CE
BF
D．AC
DF
CE
BD
2．如图，已知AB
CD
EF
∥
∥
，它们依次与直线1
2
,
l l 交于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，则DF 的对应线段
是（
）
3
A．AB
B．BC
C．CE
D．CD
3．如图，AB
CD
EF
∥
∥
，AF 与BE 相交于点G ，且
2
AG
，
1
GD ，
5
DF
，则下列结论错误的是（
）
A．
3
5
BC
CE
B．
1
2
CD
AB
C．
1
5
CD
EF
D．
1
4
BG
BE
4．如图，在ABC
中，D、E 分别为AB 、AC 边上的点DE
BC
∥
，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于
点G．则下列结论中一定正确的是（
）
A．AD
AE
AB
EC
B．AG
AE
GF
BD
C．BD
CE
AD
AE
D．AG
AC
GF
EC
5．如图所示，若3
4
5
l
l
l
∥
∥
，则AB
DE
BC
EF
．依据是
．
题型02
由平行线分线段成比例求线段比值
4
6．如图，已知直线a
b
c
∥∥，直线m 分别交直线a
b
c
、、于点A
B
C
、、，直线n 分别交直线a
b
c
、、于点
D
E
F
、、，若
1
AB ，
2
AD
BC
，则BE
CF 的值（）
A．大于1
3
B．等于1
3
C．小于1
3
D．不能确定
7．如图，AD
BE
FC
∥
∥
，它们依次交直线1l ，2l 于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，若
2
AB
，
3
BC ，
则DE
DF 的值是
．
8．如图，直线AF ，BE 相交于点O，且AB
CD
EF
∥
∥
，若
3
AO
，
1
DO ，
3
DF
，则BC
CE
．
9．如图，已知直线1l 、2l 、3l 分别交直线m 于点A、B、C、交直线n 于点D、E、F，如果1
2
3
l
l
l
∥
∥
，
2
AB
BC
，
那么EF DF
:
．
5
10．如图，已知在ABC
中，点D、E、F 分别是边AB
AC
BC
、
、
上的点，DE
BC
EF
AB
∥
，
∥
，且
:
3:5
AD DB
，
那么
:
CF CB 等于
．
题型03
由平行线分线段成比例求线段长
11．如图，已知AB
CD
EF
，
4
AD
，
5
BC
，
6
CE
，则DF 的长为（
）
A．24
5
B．7
C．8
D．15
2
12．如图，在ABC
中，DE
AB
∥
，若
3
5
CE
CB
，
6
CD
，则AC 的长为（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
13．如图，直线a
b
c
∥∥，分别交直线m，n 于点A，B，C，D，E，F．若
:
5: 2
AC BC
，
4
EF
，则DE
的长为（
）
6
A．4
B．5
C．6
D．10
14．已知直线1l ，2l 被直线a，b，c 所截，截得线段的长度如图所示.若a
b
c
∥
∥
，则x 的值为（
）
A．12
7
B．11
3
C．21
4
D．28
3
15．如图，已知1
2
3
l
l
l
∥
∥
，4l 与1l ，2l ，3l 分别交于A ，B ，C 三点，5l 与1l ，2l ，3l 分别交于D ，E ，F 三
点．若
1
AB ，
2
BC
，
3
2
AD
DE
，则图中长度为3 的线段是（
）
A．EF
B．DF
C．BE
D．FC
16．如图，ABC
中，AB
AC
，AD
BC
于点D ，E 在AD 上，
2
5
AE
AD
，CE 交AB 于点F ，DG
CF
．若
6cm
AB
，求GF 的长．
题型04
平行线分线段成比例的应用
17．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A 、B 、C 都在横
线上．若线段
15
AC
，则线段AB 的长是（
）
7
A．5
B．4
C．3
D．10
18．“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等
分．如图，过线段AB 的一个端点A 任意画一条射线AP ，在AP 上依次取五段相等的线段
1
AA 、
1
2
A A 、
2
3
A A 、
3
4
A A 、
4
5
A A ，连结
5
BA ，再分别过点
1A 、
2
A 、
3
A 、
4
A 画
5
BA 的平行线，则这些平行线就恰好将线段AB 平
均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（
）
A．平行于同一条直线的两条直线互相平行
B．两点确定一条直线
C．两条直线被一组平行线所藏，所得的对应线段成比例
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
19．如图，在ABC
中，O是边AB 的中点．按下列要求作图：
①以点B 为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D ，交BC 于点E ；
②以点O为圆心、BD 长为半径画弧，交线段OA 于点F ；
③以点F 为圆心、DE 长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G 与点C 在直线AB 同侧；
④作直线OG ，交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（
）
A．
AOM
B
B．
180
OMC
C
C．AM
CM
D．
1
2
OM
AB
20．一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行
8
的木条构成．已知
50cm
AC
，则BC 的长度为（
）
A．20cm
B．25cm
C．30cm
D．100 cm
3
21．如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅
拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分
1
BD m，搅拌棍A 到底端D
处的长度为1.5m ，最后测量出桶的高AE 为1.2m ，圆桶内壁的底面直径为1m ．已知桶内的液面与桶底面平
行，其平面示意图如图2 所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π）
22．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，点A 、B 、C 均在格点上，只用无刻度的直尺按要求画出图
形．
(1) ABC
的面积为______；
(2)图1 中，ABC
绕点A 逆时针旋转90，画出旋转后的
AB C
△
；
(3)图2 中，在CB 上找一点Q ，使得AQ 平分ABC
的面积；
(4)图3 中，点P 是格点，点M 非格点，在MP 的延长线上找一点Q ，使PQ
MP
．
9
23．如图，AD 是ABC
的中线，点E 在AC 上，BE 交AD 于点F，若
2
5
AF
FD
，则AE
AC 为（
）
A．1
6
B．1
5
C．2
7
D．1
11
24．如图，已知点
0 6
A
，在y 轴上，点B 为x 轴正半轴上一动点，连接AB ，将线段AB 绕点A 逆时针旋转
90得到线段AC ，连接BC ，取BC 中点D，连接OD ，移动点B，若OD
AC
∥
，则此时点B 横坐标
为（）
A．3
B．5
C．6
D．8
25．如图，在ABC
中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E，若
31
BF
FD
：
：，
=10
BC
，
则CE 的长为（
）
10
A．3
B．4
C．5
D．10
3
26．在Rt
ABC
△
中，
3
5
BC
AB
，
．分别以B、C 为圆心，以大于1
2 BC 的长为半径作弧，两弧分别交于
E、F 两点，连接直线EF ，分别交BC
AB
、
于点M、N，连接CN ，则CMN
的周长为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
27．如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A 在数轴上表示的数是2
，则
点B 在数轴上表示的数是
．
28．如图，在
ABCD
中，点E 为AB 的中点，点F 为AD 上一点，EF 与AC 相交于点H．若
3
FH
，
6
EH
，
4
AH
，则CH 的长为
．
29．如图，在ABC
中，延长AC 至点D ，使CD
CA
，过点D 作DE
CB
∥
，且DE
DC
，连接AE 交BC 于
点F ．若
CAB
CFA
，
1
CF ，则BF
．
30．如图，已知ABC
为等腰三角形，且AB
AC
，延长AB 至D，使得AB
BD
m
n
：
：，连接CD ，E 是BC
11
边上的中点，连接AE ，并延长AE 交CD 与点F，连接FB ，则BF
FD
：
．
31．如图，等边ABC
的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若
2
AE
，
当EF
CF
取得最小值时，则
ECF
．
32．如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，
按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水
平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直
线①和直线③的距离）设为b，a 与b 的比例为黄金分割比
5
1
2
；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某
同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为2cm ，则眼梢到鼻翼的距离为
cm ．（
5
2.236
，结果保留两位小数）
33．已知，点E 是正方形ABCD边BC 上一点，连接AE ，延长BC 至F ，使EF
AE
，连接AF 交CD于
点G ．
12
（1）若
2
AF
AB
，则
BAE
° ；
（2）连接BG ，EG ，AE 与BG 交于O，若EG
AF
^
，则AO
OE
．
34．如图，AB
AC
，AD
BC
于点D，
3
4
AM
MD
，CM 交AB 于点P，DN
CP
∥
．若
6cm
AB
，求PN 的
长．
35．如图，点A，F，C，D 在同一直线上，AF
CD
，且AB
DE
∥
，
B
E
．
(1)求证：
ABC
DEF
≌
△
△
．
(2)延长EF 交AB 于点G，当
2
FC
AF
，
2
GF
时，求BC 的值．
36．如图，在ABC
中，AD 平分
BAC
交BC 于点D ，E 为边AB 上一点，AE
DE
．
(1)求证：AC
DE
∥
．
(2)若
2
DE
，
4
BE
，
3
2
CD
，求BC 的长．
37．如图，在ABC
中，AB
AC
AD
，
是BC 边上的高线，点E，F 分别在AC
CD
，
上，且1
2
，
13
(1)求证：AD
EF
∥
．
(2)当
3 5
6
CE AE
CF
:
: ，
时，求BC 的长．
38．如图，某架线构件设计充分运用了数学原理，主架构利用了“三角形的稳定性”，由垂直于地面MN 的立
柱AB 、垂直于立柱AB 的横杆AC 以及支撑杆CD 组成，其中
6
AB
m，
2
AD
m，
4
CD
m．调节架构利
用了“四边形的不稳定性”，由长度均为1.5 m 的连接杆EF 、CG 、架线杆FG 组成，连接点E 、F 、G 在一
定范围内移动，移动时始终保持FG
EC
，且
FEC
的度数不超过90．
(1)求证：FG
MN
；
(2)若架线杆FG 到地面的距离为5 m，求连接点E 到点A 的距离（结果精确到0.01 m，参考数据：3
1.732
，
5
2.236
）．
39．如图①、图②、图③均是6 6
的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格
点，ABC
的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，过点C 作AB 的平行线CE ．
(2)在图②中，在AB 边上找一点F ，使
2
B
ACF
．
(3)在图③中，找一点G ，使点C 和点G 关于AB 对称．
14
40．定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
(1)探究说理
如图1，已知ABC
中，AD 平分
BAC
，求证：BD
AB
CD
AC
．
请根据提示完成证明．
证明：显然
ABD
ACD
S
BD
S
CD
，
作DE
AB
于点E，DF
AC
于点F，…
(2)问题解决
①如图2，已知正方形ABCD的边长为1，E 为AB 边上的一点，
1
4
ADE
ADC
，求AE 的长．
②如图3，在矩形ABCD中，AE 平分
BAC
，将AE 沿直线EF 折叠，使点A 落在边AD 上的点A处，
,
EF A E
分别交AC 于点G、H，若
2,
8
GH
HC
，则BE ．
