文档文本内容
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第18 讲多边形和圆的初步认识
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 多边形的概念与分类
题型2 多边形的对角线的条数问题
题型3 多边形截角后的边数问题
题型4 对角线分成的三角形个数问题
题型5 圆的基本概念辨析
题型6 圆心角概念辨析及简单运算
题型7 圆的周长和面积问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
多边形、正多边形、对
角线、圆、扇形、弧、
圆心角、顶点、边。
1. 在具体情境中认识多边形、正多边形、圆、扇形，能从现实世界中抽象出
平面图形。
2. 掌握多边形的顶点、边、内角、对角线等概念，了解n 边形的顶点、边、
内角个数。
3. 理解圆、弧、扇形、圆心角的概念，知道圆心角与扇形面积的关系。
4. 能根据扇形与圆的关系求扇形的圆心角的度数，在活动中发展有条理的思
考和表达能力。
学习重点：多边形、正多边形、圆、扇形等有关概念的理解。
学习难点：多边形对角线条数规律的探究（过n 边形一个顶点有n-3 条对角线，总条数为n(n-3)/2），
以及根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 多边形
1.定义：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。
2.相关概念：顶点是相邻两条边的公共端点；边是组成多边形的各条线段；内角是相邻两条边所组成的角；
对角线是连接不相邻两个顶点的线段。
3.性质：n 边形有n 个顶点、n 条边、n 个内角。从n 边形的一个顶点出发，可以引出（n-3）条对角线，n
边形对角线的总条数为n(n - 3)/2（n≥3，且n 为整数）。
4.正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。
【易错提醒】
多边形易错警示：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接的封闭图形。注意：凸多边形所有对角线
在内部，凹多边形有在外部的。n 边形有n 条边、n 个顶点、n 个内角。对角线总数݊
㯸݊െ͵ሻ
͵
，勿除以2 时漏
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项。三角形是最简单多边形。
即时即练1．过n 边形的一个顶点最多可以画出7 条对角线，则n 的值是
．
【答案】10
【分析】本题主要考查了过多边形的一个顶点作对角线的条数，过n 边形的一个顶点可以作
3
n
条对角线，
可得
3
7
n
，求出答案即可．
【详解】解：根据题意，得
3
7
n
，
解得
10
n
．
故答案为：10．
3．某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“ n 边形(
3)
n
共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表
格．请你完成探究过程并解决问题：
多边形的边数
4
5
6
…
n
从多边形的一个顶点出发
1
2
______
…
_____
多边形对角线的总条数
2
5
______
…
_____
(1)请在表格中的横线上填上相应的结果；
(2)十边形有__________条对角线；
(3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023 吗？
若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)3；9；
3
n
；(
3)
2
n n
(2) 35
(3)能，1014
【分析】（1）根据从n 边形(
3)
n
的一个顶点出发的对角线有(
3)
n
条，对角线的总条数为：(
3)
2
n n
进行
计算即可得：
（2）根据从n 边形对角线的总条数为：(
3)
2
n n
进行计算即可得：
（3）设这个多边形的边数为n ，则
3
2
2023
n
n
，进行计算即可得．
【详解】（1）解：如图所示，
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从六边形的一个顶点出发的对角线有：6
3
3
（条），
则从n 边形的一个顶点出发的对角线有：(
3)
n
条，
六边形对角线的总条数为：6
(6
3)
9
2
´
-
=
（条），
n 边形对角线的总条数为：(
3)
2
n n
，
多边形的边数
4
5
6
…
n
从多边形的一个顶点出发
1
2
3
…
9
多边形对角线的总条数
2
5
3
n
…
(
3)
2
n n
故答案为：3；9；
3
n
；(
3)
2
n n
；
（2）解：十边形对角线的总条数为：10 (10
3)
70
35
2
2
（条），
故答案为：35 ；
（3）能，理由：
解：设这个多边形的边数为n ，
3
2
2023
n
n
，
2
2028
n
，
解得：
1014
n
，
则这个多边形的边数为1014．
知识点02 圆
1.定义：平面上，一条线段OA 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形。
2.相关概念：圆心是固定的端点O；半径是线段OA；圆弧是圆上任意两点间的部分；扇形是由一条弧和经
过这条弧的端点的两条半径所组成的图形；圆心角是顶点在圆心的角。
3.扇形圆心角的度数：将一个圆分割成若干个扇形，这些扇形的圆心角度数之和等于360°，每一个扇形圆
心角的度数=360°×这个扇形的圆心角占周角的百分比。
【易错提醒】
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圆初步认识易错警示：圆是平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形（曲线）。注意：圆是封闭曲
线，不是圆面。半径、直径是线段，直径是半径的2 倍。弦不一定是直径，弧分优弧、劣弧。圆心确定位
置，半径确定大小。
即时即练1．下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确
的是（
）
A．②③
B．①②
C．①③
D．①
【答案】D
【分析】本题考查的是圆的认识．根据等圆、等弧的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．
【详解】解：①直径是弦，说法正确；
②半径相等的圆是等圆，不是同心圆，原说法错误；
③同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误．
综上，正确的只是①，
故选：D．
2．某中学原计划修一个半径为10 米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多
方案中最后选出两种方案：
方案A 如图1 所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；
方案B 如图2 所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3 的两部分，再以这两条线段为
直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）
(1)如果按照方案A 修，修的花坛的周长是．（保留π）
(2)如果按照方案B 修，与方案A 比，省材料吗？为什么？（保留π）
(3)如果按照方案B 修，学校要求在5 天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的1
15 ，他做了
1 天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2 倍，乙加入后，甲的速度也提高了
1
2 ，结果
正好按时完成任务，若修1 米花坛可得到10 元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3）
【答案】(1) 20米
(2)不能省材料，理由见解析
(3)甲得到280 元，乙得到320 元
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【分析】本题考查圆的周长公式，有理数混合运算解决实际问题．
（1）根据圆的周长公式：C
R
，把数据代入公式求此直径是10 米的两个圆的周长即可；
（2）求出B 方案中两个小花坛的直径，再根据圆的周长公式即可两个小花坛的周长之和，与（1）进行比
较即可；
（3）根据甲每天能完成工程的1
15 可求出甲原来每天的效率，进而可求出甲总共修花坛的工作量，进而求出
其所得钱数，同理求出乙总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数．
【详解】（1）解：∵大圆花坛的半径为10 米，则直径为20 米，
∴两个小圆花坛的直径为20
2
10
（米），
∴修两个花坛的周长为2
10
20
（米）．
故答案为：20米
（2）解：不能省材料，理由如下：
根据B 方案，两个小圆花坛的直径分别为：
2
20
8
2
3
（米），
3
20
12
2
3
（米），
它们的周长之和为
8
2
20
（米）
∴方案B 与方案A 修的花坛的周长相等，
∴按照方案B 修，与方案A 比，不能省材料．
（3）解：整项工程为20
20 3
60
（米），
甲原来每天可以修
1
60
4
15
（米），
甲总共修了
1
4
1
4
4
4
24
28
2
（米），
甲得到的工资为10 28
280
（元）；
乙总共修了2 4 4
32
（米），
乙得到的工资为10 32
320
（元），
答：甲得到280 元，乙得到320 元．
题型1 多边形的概念与分类
【例1】如图所示的图形中，多边形的个数为（
）
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A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】本题考查了多边形，关键是掌握多边形的定义．
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断．
【详解】解：题图中依次是扇形、八边形、半圆形、五边形和长方体，其中八边形和五边形是多边形，
所以多边形的个数为2 ，
故选：A．
【例2】下列多边形中，不是凸多边形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键．
根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则
即是凹多边形．
【详解】解：不是凸多边形的是选项C 中的多边形．
故选：C．
【技巧归纳】
多边形：由n 条线段首尾顺次连接组成的封闭图形，n≥3。分类：凸多边形（对角线均在内部）和凹多边形。
正多边形：各边相等、各角相等。
【变式1-1】下列图形中不是多边形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到
答案．
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【详解】
解：
是三边形，是多边形，故选项A 不符合题意；
是四边形，是多边形，故选项B 不符合题意；
不是多边形，故选项C 符合题意；
是六边形，是多边形，故选项D 不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】下列图形中，属于多边形的有（
）
A．2 个
B．3个
C．4 个
D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的定义，根据多边形的定义进行判断即可，正确理解多边形的定义，平面内不
在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．
【详解】解：根据多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形，
∴①③⑤是多边形，共3个，
故选：B ．
题型2 多边形的对角线的条数问题
【例3】若一个多边形从一个顶点出发可引出6 条对角线，则这个多边形是
边形．
【答案】九
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【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n
边形从一个顶点出发可引出
3
n
条对角线是解题的关键．据此求解即可；
【详解】解：一个多边形从一个顶点出发可引出6 条对角线，则这个多边形的边数为6
3
9
，
故答案为：九．
【例4】过某多边形的一个顶点可以引2024 条对角线，则这个多边形的边数是
条
【答案】2027
【分析】本题可根据多边形对角线的相关性质来求解多边形的边数，即根据过n 边形的一个顶点可引出
3
n
条对角线这一关系建立方程求解．本题主要考查了多边形对角线的性质，熟练掌握过n 边形一个顶点
可引出
3
n
条对角线是解题的关键．
【详解】解：设这个多边形的边数为n ．
∵过n 边形的一个顶点可以引
3
n
条对角线，且过该多边形的一个顶点可以引2024 条对角线
∴
3
2024
n
∴
2024
3
2027
n
故答案为：2027 ．
【技巧归纳】
n 边形对角线总数=n(n-3)/2。从每个顶点可作(n-3)条对角线，不重复则总数除以2。已知对角线条数求边数：
解方程n(n-3)/2=d，取正整数解。如d=5 则n=5。注意三角形无对角线。若已知部分顶点连线，注意减去重
复或已算边。公式适用凸多边形。
【变式2-1】从一个多边形的任何一个顶点出发都只有4 条对角线，则这个多边形的对角线共有
条．
【答案】14
【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．先由n
边形从一个顶点出发可引出
3
n
条对角线，求出n 的值，再根据n 边形对角线的总条数为
3
2
n n
即可求
出这个多边形所有对角线的条数．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，由题意，得
3
4
n
，
解得
7
n
，
所以这个多边形共有对角线：
7
7
3
14
2
．
故答案为：14．
【变式2-2】过m 边形的一个顶点，有8 条对角线，n 边形没有对角线，五边形有p 条对角线，则
n
m
p
的
值为
．
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【答案】216
【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据n 边形从一个顶点出发可引出
3
n
条对角线．从n 个顶
点出发引出
3
n
条，而每条重复一次，所以n 边形对角线的总条数为：
3
3
2
n n
n
，且n 为整数，可
得到m、n、p 的值，进而可得答案．
【详解】解：∵过m 边形的一个顶点有8 条对角线，
∴
3
8
m
，
解得，
11
m
；
n 边形没有对角线，
3
n
；
∵五边形有p 条对角线，
∴
5 5
3
2
5
p
，
所以
3
11 5
216
n
m
p
．
故答案为：216．
题型3 多边形截角后的边数问题
【例5】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（
）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】D
【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三
角形或四边形或五边形．
【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或
五边形，不可能是六边形．
故选：D．
【例6】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（
）
A．5 或6
B．4 或5
C．3 或4 或5
D．4 或5 或6
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不
变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一
条，依此即可解决问题．
【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
则多边形的边数是4 或5 或6，
故选：D．
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【技巧归纳】
截去一个角，边数可能不变、增加1 或减少1，取决于截线是否经过顶点。经过一个顶点，边数不变；经过
两个顶点，边数减少1；不经过顶点，边数增加1。画出不同情况。如四边形截去一角可能为三角形、四边
形或五边形。分类讨论，根据图形变化判断。常见于拓展题。
【变式3-1】若一个四边形截去一个角后，可能为（
）边形
A．4 或5
B．3 或4
C．3 或4 或5
D．4 或5 或6
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1
条边，可能边的条数不变，也可能增加1 条边．
根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1 条边，可能边的条数不变，也可能增加1 条边；
据此求解即可．
【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3 或4 或5 边形．
故选：C．
【变式3-2】如图，四边形ABCD 去掉一个
D
后，剩下的新图形不可能是（
）边形．
A．三边形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】D
【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键．
【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形ABC ，②四边形ABEC ，③五边形ABFEC ，不可能
是六边形，
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故选：D．
题型4 对角线分成的三角形个数问题
【例7】如图所示的蜂巢由许多六边形构成，将六边形三角剖分，可以分割成三角形的个数为
．
【答案】4
【分析】本题主要考查了多边形对角线分三角形个数问题，根据n 边形最少可以分
2
n
个三角形即可得
到答案，
【详解】解：如图所示，过点A 的所有对角线，可分割六边形得到
,
AEF
ADE
ACD
ABC
,
,
，
∴每个六边形至少可以分割成三角形的个数为4 个，
故答案为：4．
【例8】若从这个n 边形的一边上任意取一点（不是顶点），分别连接这个点与其余各顶点，可以把n 边形
分成
个三角形．
【答案】
1
n
【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据在多边形内部得到的线段条数推出对应的三角形的个数．
【详解】解：从n 边形的一边上任取一点，分别连接这个点与其余各顶点，可以在多边形内部得到
2
n
条
线段，可把这个n 边形分成
1
n
个三角形．
故答案为：
1
n
．
【技巧归纳】
从n 边形一个顶点出发可作(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形。若从不同顶点分，总数仍为n-2
（对角线互不交叉时）。若所有对角线全画，三角形总数更多，需用组合计数。基本公式：分割成n-2 个
三角形。用于面积计算。注意对角线不交叉的分法。
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【变式4-1】若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7 个三角形，则该多
边形的总对角线条数为
．
【答案】27
【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握n 边形的总对角线条数公式是解题的关键．
经过n 边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成
2
n
个三角形，由此求出多边形的边数，再根据n 边
形的总对角线条数公式
3
2
n n
计算即可．
【详解】解：若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7 个三角形，
则这个多边形的边数为7
2
9
，
所以该多边形的总对角线条数为9 (9
3)
2
＝27（条），
故答案为：27．
【变式4-2】如图所示，按某种方法将多边形分割成若干个三角形．图①中的三角形可分割出2 个三角形，
图②中的四边形可分割出3 个三角形，图③中的五边形可分割出4 个三角形，……．以此类推，n 边形可分
割出
个三角形．
【答案】
1
n
【分析】通过观察三角形、四边形、五边形分割成三角形的个数，分析多边形的边数n 与分割出的三角形个
数之间的数量关系，进而归纳出一般规律．
【详解】解：观察图形可知：
当多边形为三角形
3
n
时，可分割出2 个三角形，此时3 1
2
；
当多边形为四边形
4
n
时，可分割出3个三角形，此时4 1
3
；
当多边形为五边形
5
n
时，可分割出4 个三角形，此时5 1
4
；
以此类推，对于n 边形，分割出的三角形个数为
1
n ．
故答案为：
1
n
．
题型5 圆的基本概念辨析
【例9】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直
径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（
）
A．①③④
B．①③⑤
C．②③⑤
D．③④⑤
14 / 28
【答案】B
【分析】本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个说法进行判断，然后作出
选择．
【详解】解：①直径是弦，故原说法正确；
②弦不一定是直径，故原说法错误；
③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确；
④在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故原说法错误；
⑤直径是圆中最长的弦，故原说法正确．
综上所述，正确的说法有①③⑤．
故选：B．
【例10】下列说法正确的是（
）
A．直径是弦，弦是直径
B．半圆是弧
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．长度相等两条弧是等弧
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，根据圆的基本概念逐一分析选项．
【详解】解：A．直径是弦，但弦不一定是直径（只有过圆心的弦才是直径），故A 错误．
B．半圆是圆周的一部分，属于弧，且为180的弧，故B 正确．
C．过圆心可以作无数条直径，过圆内非圆心的点不能作直径，故C 错误．
D．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定为等弧，故D 错误．
故选：B
【技巧归纳】
圆：到定点距离等于定长的点的集合。定点为圆心，定长为半径。直径=2 半径。弦是连接圆上两点的线段，
直径是最长弦。弧用符号⌒表示，半圆、优弧、劣弧。等圆半径相等，同心圆圆心相同。扇形由弧和两半
径围成。注意圆是曲线，不是多边形。理解直径与弦关系。
【变式5-1】下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P 的直径仅有一条；④
弧是圆的一部分．其中正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题主要考查圆的基本概念，包括弦、直径、弧的定义和性质，掌握这些知识是解题的关键．
逐一分析各说法是否正确：①弦是线段而非直线；②直径过圆心，被圆心平分；③过圆内非圆心的点有且
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只有一条直径，过圆心则有无数条；④弧是圆的一部分．
【详解】解：①：弦是圆上两点间的线段，而非直线，故错误；
②：直径是过圆心的弦，圆心是直径的中点，因此被圆心平分，故正确；
③：若点P 为圆心，过P 的直径有无数条；若P 非圆心，则有且只有一条直径过P ，故错误；
④：弧是圆上两点间的部分，属于圆的一部分，正确．
故选：B．
【变式5-2】说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧
不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，解决本题的关键是掌握相关的概念．先回忆弦、直径、弧、半圆、
等弧等相关的概念，然后根据相关概念来逐个判断即可．
【详解】①直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，错误；
②半径相等的两个半圆是等弧，正确；
③半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；
④在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误；
⑤如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，错误；
综上，正确的有：②③，共2 个，
故选：B．
题型6 圆心角概念辨析及简单运算
【例11】如图，在
O 中，劣弧AB 的度数为75，则圆心角
AOB
.
【答案】75
【分析】AB 的度数即为AB 所对圆心角的度数；
【详解】解：AB 的度数即为AB 所对圆心角的度数；
∴
75
AOB
故答案为：75
16 / 28
【例12】如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？
【答案】
180 ,
72 ,
108
BOC
AOB
AOC
．
【分析】根据扇形所占的百分比即可求出圆心角．
【详解】∵周角是360°，
∴
360
50%
180
BOC
，
360
20%
72
AOB
，
360
30%
108
AOC
．
【技巧归纳】
圆心角：顶点在圆心的角，对应一段弧。度数等于所对弧的度数。计算弧长：l=(nπr)/180，扇形面积：S=(n
πr²)/360。若知道弧长或面积，可反求圆心角。注意度数与弧度制（初中通常用度数）。圆心角越大弧越长。
同圆中，相等圆心角所对弦相等。常用比例关系。
【变式6-1】如图，圆心角
90
AOD
BOC
．
(1)判断
AOC
和
BOD
的数量关系，并说明理由；
(2)若
30
COD
，求
AOB
的度数．
【答案】(1)
AOC
BOD
，见解析
(2)
150
AOB
【分析】（1）根据条件和
AOD
AOC
COD
，
BOC
BOD
COD
即可求解；
（2）根据第（1）问的结论和
30
COD
即可求解．
【详解】（1）解：
AOC
BOD
；
∵
AOD
AOC
COD
，
BOC
BOD
COD
，
90
AOD
BOC
，
17 / 28
∴
AOC
BOD
（2）解：∵
AOD
AOC
COD
，
BOC
BOD
COD
，
90
AOD
BOC
，
30
COD
，
∴
60
AOC
BOD
，
∴
60
30
60
150
AOB
AOC
COD
BOD
；
题型7 圆的周长和面积问题
【例13】一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形．这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方
米？
【答案】这个运动场的周长是388.4 米，面积是8826 平方米．
【分析】本题考查了长方形，圆的周长和面积，运动场的周长是中间长方形的两条长加上圆的周长，运动
场的面积是中间长方形的面积加上圆的面积，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：这个运动场的周长是：100
2
2 3.14 30
388.4
（米），
这个运动场的面积是：
2
100 30 2
3.14 30
8826
（平方米），
答：这个运动场的周长是388.4 米，面积是8826 平方米．
【例14】如图所示，半径为1 厘米的小圆盘（娃娃脸）沿着长方形内壁，从A 点出发不停滚动（无滑动），
最后到原来的位置．小圆盘在
B 、C 、D 位置是怎样的，请你计算一下并画出示意图．
【答案】见解析
【分析】本题考查了圆的周长公式，熟记公式并灵活运用是解题的关键．
根据圆的周长公式计算即可．
【详解】解：A 到B 转了
8.28 1 2
2 3.14
1
（圈），
B 到C 转了
5.14 1 2
2 3.14
0.5
（圈），
作图如下：
18 / 28
．
【技巧归纳】
周长C=2πr，面积S=πr²。已知半径求周长/面积，已知周长求半径r=C/(2π)。半圆周长=πr+2r，半圆面积
=πr²/2。组合图形中，用加减法求阴影面积。注意π取3.14 或分数。单位要统一。若给直径，先化半径。
常见于环形、跑道等实际问题。利用割补法转化。
【变式7-1】如图，AB 是
O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设
2
AB
r
，
那么
O 的周长
2
L
r
，
O 的面积
2
S
r
．
(1)探究：①把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长
2
1
1
2
2
2
2
2
r
L
r
L
；
②把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作
3L ，
③把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长
4L ，…
④把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长
nL ．
分别求出
3L ，
4L ，
nL ；
(2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成n 等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个
小圆的面积
n
S 与大圆面积S 之间的关系．
【答案】(1)
3
1
3
L
L
，
4
1
4
L
L
，
1
nL
L
n
(2)
2
1
n
S
S
n
【分析】本题考查了圆的周长、面积．正确求出小圆的半径是解题的关键．
（1）把AB 分成三条相等的线段，则小圆半径为2
3 2
3
r
r
，每个小圆的周长为
3
1
1
2
2
3
3
3
r
L
r
L
；
同理，把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长为
4
1
1
2
2
4
4
4
r
L
r
L
；把AB 分成n 条相等的线
19 / 28
段，每个小圆的周长为
1
1
2
2
n
r
L
r
L
n
n
n
；
（2）由题意知，把大圆直径平均分成n 等分时，小圆半径为2
2
r
r
n
n
，则每个小圆的面积
2
2
2
2
1
1
n
r
S
r
S
n
n
n
．
【详解】（1）解：由题意知，把AB 分成三条相等的线段，则小圆半径为2
3 2
3
r
r
，
∴每个小圆的周长为
3
1
1
2
2
3
3
3
r
L
r
L
；
把AB 分成四条相等的线段，则小圆半径为2
4 2
4
r
r
，
∴每个小圆的周长为
4
1
1
2
2
4
4
4
r
L
r
L
；
把AB 分成n 条相等的线段，则小圆半径为2
2
r
r
n
n
，
∴每个小圆的周长为
1
1
2
2
n
r
L
r
L
n
n
n
；
∴
3
1
3
L
L
，
4
1
4
L
L
，
1
nL
L
n
；
（2）解：由题意知，把大圆直径平均分成n 等分时，小圆半径为2
2
r
r
n
n
，
∴每个小圆的面积
2
2
2
2
1
1
n
r
S
r
S
n
n
n
，
∴
2
1
n
S
S
n
．
一、单选题
1．下列图形中的角是圆心角的是（
）
20 / 28
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意；
B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意；
C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下列说法正确的是（
）
A．任意两点之间的部分叫做弦
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧
D．圆上任意两点之间的部分叫做弧
【答案】D
【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误．
【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A 选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定
义，故此选项错误，不符合题意；
B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重
合，故此选项错误，不符合题意；
C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相
等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意；
D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D 选项表述一致，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
3．一个扇形的圆心角是90 ，（
）个这样的扇形可以拼成一个圆
A．ʹ
B．4
C．8
【答案】B
【详解】解：∵一个完整的圆的圆心角是360，单个扇形的圆心角是90，
∴需要的扇形个数为360
90
4
，
∴4 个这样的扇形可以拼成一个圆．
4．从݊
边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此݊
边形分成2023个三角形，则n （
）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】C
21 / 28
【分析】从݊
边形的一个顶点出发作对角线，可将此݊
边形分成
2
n
个三角形．
【详解】解：从݊
边形的一个顶点出发作对角线，则最多可将该݊
边形分成
2
n
个三角形，
由题意可得
2
2023
n
，则
2025
n
．
5．小明把一个半圆平均分成12 份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（
）
A．半圆周长更长
B．新图形的周长更长
C．一样长
D．无法比较．
【答案】C
【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12 份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之
和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长．
二、填空题
6．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分
成_______个三角形．
【答案】
五
5
2
3
【分析】此题考查了多边形的边、对角线的知识，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题是
解题的关键．多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n 边形有n 个顶点，和它不相邻的顶
点有
3
n
个，因而从n 边形
3
n
的一个顶点出发的对角线有
3
n
条，把n 边形分成
2
n
个三角形．
【详解】解：如图，图中的图形是五边形，有5 条边，从一个顶点出发的对角线有2 条，把该多边形分成3
个三角形．
故答案为：五；5；2；3．
7．某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形
顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需
要额外建立的连接通道数量为______条．
22 / 28
【答案】20
【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正
八边形顶点上，相当于一个8 个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接
（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键．
【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5 个传感器，故需额外建立5 条连接通
道，
∴一共需要额外建立的连接通道数量为8 5
2
20
（条）．
故答案为：20 ．
8．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平
行四边形的底是15.7cm ，那么圆形茶杯垫片的面积是_______
2
cm ．（取3.14）
【答案】78.5
【分析】先求出圆的直径，再根据圆的面积公式求解即可．
【详解】解：根据题意可得，圆的直径为：
15.7
2
10
3.14
cm
，
∴圆的半径为
1 10
5
2
cm
，
∴圆形茶杯垫片的面积为
2
2
3.14 5
78.5 cm
．
9．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．20 世纪，数学家乌尔班发现并证明了
下面的公式：
1
4
6
n
n
D
n
D
n
（其中
n
D 表示凸n 边形的三角剖分数）．如图，凸四边形ܣ形的三，有两种剖分
方式（即：
4
2
D
），请你用上面的公式计算
6
D ______．
【答案】14
【分析】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现
4
2
D
．根据
4
2
D
，可得出
5
D ，由
5
D 可得
23 / 28
出
6
D ．
【详解】解：∵
4
2
D
，
5
4
4 4
6
5
2
4
D
D
，
∴
5
5
D
，
∵
6
5
4 5
6
14
5
5
D
D
，
∴
6
14
D
；
故答案为14．
10．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为
1
O 、
2
O ，且
2
O 恰好在大量
角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P ，点P 在小量角器对应的刻度为67，则点P 在大量角器上对应的
刻度为_______．（只考虑小于90的角）
【答案】46
【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，
并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键．
连接
1
2
,
O P O P ，由点P 在小量角器对应的刻度，可知
1
2
O O P
大小，再由
1
2
1
O O
O P
，可求得
1
2
PO O
即为点
P 在大量角器上对应的刻度．
【详解】解：连接
1
2
,
O P O P ，如图所示：
点P 在小量角器对应的刻度为67，
1
2
67
O O P
，
1
2
1
O O
O P
，
1
2
1
2
67
O O P
O PO
，
1
2
180
2 67
46
PO O
，
点P 在大量角器上对应的刻度为46．
故答案为：46．
三、解答题
24 / 28
11．圆的有关概念：
(1)圆的两种定义方式：
（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点ܣ随之旋转所形成的图形叫做圆，
固定的端点O叫做
．线段OA叫做
．
（b）圆是所有点到定点O的距离
定长ݎ的点的集合．
(2)弦：连接圆上任意两点的
叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的
弦）；
(3)弧：圆上任意两点间的部分叫
（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所
对圆周角的两倍）
(4)等弧：在同圆与等圆中，能够
的弧叫等弧．
(5)等圆：能够
的两个圆叫等圆，半径
的两个圆也叫等圆．
【答案】(1)圆心半径
等于
(2)线段
(3)弧
(4)完全重合
(5)完全重合相等
【分析】本题主要考查了圆、弦、弧的定义，牢记相关定义是解答本题的关键．
根据圆、弦、弧、等弧、等圆的定义即可作答．
【详解】（1）解：（a ）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点ܣ随之旋转
所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心．线段OA叫做半径；
（ܾ）圆是所有点到定点O的距离等于定长ݎ的点的集合；
（2）解：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；
（3）解；弧：圆上任意两点间的部分叫弧（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆
周角的两倍）；
（4）解：等弧：在同圆与等圆中，能够完全重合的弧叫等弧；
（5）解：等圆：能够完全重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆．
12．如图所示，分别以AB，BC 和AC 为直径作弧．已知
8
AB
，
16
BC
．
(1)比较①②两条从点A 到点C 的路线，走哪条路更近？
(2)如果AB
a
，形的㌷ܾ
，那么①②两条从点A 到点C 的路线的长度相比，有什么变化呢？你得到了什么样
的结论？
25 / 28
【答案】(1)走两条路一样近
(2)①②两条路线的长度相比，没有变化，仍然相等；结论：不论AB
BC
，
的长度怎么变化，①②两条路线
的长度都相等
【分析】（1）利用圆的弧长公式（半圆的弧长为1
2
d
，d 为直径）计算两条路线的长度；
（2）用字母a
b
、表示直径，同样根据弧长公式计算并比较，进而得出结论．
【详解】（1）解：路线①的长度
1
1
8 16
12
2
2
AC
，
路线②的长度
1
1
1
1
12
2
2
2
2
AB
BC
AB
BC
AC
．
故走两条路一样近．
（2）解：路线①的长度
1
1
2
2
2
AC
a
b
a
b
，
路线②的长度
1
1
1
2
2
2
2
AB
BC
AB
BC
a
b
．
故①②两条路线的长度相比，没有变化，仍然相等．
结论：不论AB
BC
，
的长度怎么变化，①②两条路线的长度都相等．
【点睛】本题考查了圆的弧长计算，掌握半圆的弧长公式，通过分别计算两条路线的弧长并比较，得出路
线长度的关系是解题的关键．
13．古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O 为中心，共有
内外两圈，均可以绕着点O 旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H 8 个点将圆八等分，内圈仅有J，K
两个点，且点A，K，O，J 四点共线，连接AO
OD
，
．
(1)求
AOD
的度数；
(2)固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过6s ．求外圈只转一周且当JK 与
AOD
一边垂直时，经过多
少时间？
【答案】(1)135
(2)外圈只转一周且当JK 与
AOD
一边垂直时，经过1.5s 或4.5s 或
21s
4
或9 s
4 ．
26 / 28
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，正确地识别图形是解题的关键．
（1）由题意得将圆8 等分，
AOD
占其中的3 份，然后列式计算即可；
（2）分JK
AO
和JK
DO
两种情况，分别根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：将圆8 等分，
AOD
占其中的3 份，
∴
3
360
135
8
AOD
．
（2）解：由题意得，外圈转动速度为：360
6
60 / s
,
①当JK
AO
时，点A 在右侧半圆上，时间
90
1.5s
60
t
，
点A 在左侧半圆上，时间
90
180
4.5s
60
t
；
②当JK
DO
时，点D 在右侧半圆上，时间
360
135
90
21s
60
4
t
；
点D 在左侧半圆上，时间
360
90 135
9 s
60
4
t
．
综上所述，外圈只转一周且当JK 与
AOD
一边垂直时，经过1.5s 或4.5s 或21s
4
或9 s
4 ．
14．观察、探究及应用．
(1)观察如图所示的图形并填空．
一个四边形有条对角线；
一个五边形有条对角线；
一个六边形有条对角线；
一个七边形有条对角线；
(2)分析探究：由n 边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n 个顶点，若允许重复计数，共可作条
对角线；
(3)结论：一个n 边形有条对角线；
(4)应用：一个十二边形有多少条对角线？
【答案】(1)2；5；9；14
(2)
3
n
；
3
n n
(3)
3
2
n n
(4)54 条
27 / 28
【分析】本题考查的是多边形的对角线的数量的探究；
（1）根据多边形的边数计算多边形的对角线的数量即可；
（2）根据从1 个顶点出发的对角线的数量，可得答案；
（3）由（1）的计数总结规律，再归纳即可；
（4）利用（3）的规律，把
12
n
代入计算即可．
【详解】（1）解：一个四边形有4 1
2
2
条对角线；
一个五边形有5 2
5
2
条对角线；
一个六边形有6 3
9
2
条对角线；
一个七边形有7
4
14
2
条对角线；
（2）解：由（1）归纳总结可得：
由n 边形的一个顶点出发，可作
3
n
条对角线，多边形有n 个顶点，若允许重复计数，共可作
3
n n
条
对角线；
（3）解：由（1）归纳总结可得：
一个n 边形有
3
2
n n
条对角线．
（4）解：当
12
n
时，
一个十二边形有
12
12
3
6 9
54
2
条对角线．
15．阅读与思考
连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线．
如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面
的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数/个
4
5
6
7
8
……݊
从一个顶点出发的对角
线的条数/条
1
2
3
4
5
……
①_____
28 / 28
分割成的三角形个数/个
2
3
4
5
6
……
②_____
(1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含݊
的代数式填写表格①______，②______；
(2)n 边形有n 个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______；
(3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请
问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
【答案】(1)①
3
n
，②
2
n
(2)
1
3
2 n n
(3)44 个
【分析】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用．
（1）根据所给图形总结规律解答即可；
（2）当多边形的顶点数为n 时，从一个顶点可以引出
3
n
条对角线，则n 个顶点可以引出
3
n n
条对角
线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为
1
3
2 n n
．
（3）根据（2）的结论求解即可．
【详解】（1）∵4 边形从一个顶点出发的对角线有1
4
3
条，分割成的三角形有2
4
2
个，
5 边形从一个顶点出发的对角线有2
5
3
条，分割成的三角形有3
5
2
个，
6 边形从一个顶点出发的对角线有3
6
3
条，分割成的三角形有4
6
2
个，
7 边形从一个顶点出发的对角线有4
7
3
条，分割成的三角形有5
7
2
个，
8 边形从一个顶点出发的对角线有5
8
3
条，分割成的三角形有6
8
2
个，
…，
∴n 边形从一个顶点出发的对角线有
3
n
条，分割成的三角形有
2
n
个，
故答案为：①
3
n
，②
2
n
；
（2）当多边形的顶点数为n 时，从一个顶点可以引出
3
n
条对角线，则n 个顶点可以引出
3
n n
条对角
线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为
1
3
2 n n
．
故答案为：
1
3
2 n n
；
（3）11 名学生看成是顶点数为11 的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形
的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话
1 11
11 3
44
2
（个）．
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