第11 讲轴对称与坐标变换
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求点关于x 轴的对称点的坐标
题型2 求点关于y 轴的对称点的坐标
题型3 求点关于某直线的对称点的坐标
题型4 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题
题型5 坐标与图形变换--轴对称
题型6 轴对称的几何变换综合题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
轴对称、坐标变换、关
于x 轴对称、关于y 轴
对称、数形结合。
1. 经历图形坐标变化与轴对称之间关系的探索过程，掌握点关于x 轴、y 轴对
称的坐标变化规律。
2. 能在坐标系中，根据一个图形顶点坐标，写出其关于坐标轴对称的图形顶
点坐标。
3. 能根据坐标变化，判断新图形与原图形的位置关系，并体会“数”与“形”
之间的转换。
4. 经历观察、归纳、验证等数学活动，发展数形结合意识和空间观念。
学习重点：经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之
间的关系。
学习难点：由坐标的变化探索新旧图形之间的变化过程，发展形象思维能力和数形结合意识，实现“数”
与“形”之间的自由转换。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 坐标系中的轴对称
（1）点
( , )
P a b 关于x 轴的对称点是
( ,
)
P' a
b
，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）点
( , )
P a b 关于y 轴的对称点是
(
, )
P'
a b
，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
（3）点
( , )
P a b 关于坐标原点的对称点是
(
,
)
P'
a
b
，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
（4）点
( , )
P a b 关于点
( , )
Q m n 的对称点是
(2
, 2
)
P'
m
a
n
b
．
（5）点
( , )
P a b 关于x
m
的对称点是
(2
, )
P'
m
a b
．
（6）点
( , )
P a b 关于y
n
的对称点是
( , 2
)
P' a
n
b
．
（7）点( ,
)
x y 关于一三象限的平分线的对称点为( , )
y x ．
（8）点( ,
)
x y 关于二四象限的平分线的对称点为(
,
)
y
x
．
【易错提醒】
坐标系对称易错警示：关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数(x,-y)；关于y 轴对称，纵坐标不变，
横坐标变相反数(-x,y)；关于原点对称，横纵坐标均变相反数(-x,-y)。勿混淆对称规律。
即时即练1．点
2,3
P
关于x 轴的对称点的坐标是
．
【答案】
2, 3
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点关于对称轴对称时，坐标的变化规律问题．点
,a b 关于x 轴对
称点的坐标为
,a
b
，点
,a b 关于y 轴对称点的坐标为
,a b
，本题根据点关于x 轴、y 轴对称时，横纵
坐标变化规律解答即可．
【详解】解：∵坐标系中点关于x 轴对称点的坐标特征是：横坐标不变，纵坐标变为其相反数，
∴点
2,3
P
关于x 轴的对称点的坐标是
2, 3
．
故答案为：
2, 3
．
2．若点
1
,1
P
m
n
与点
4,3
Q
关于y 轴对称，则m
n
的值是
．
【答案】1
【分析】根据两点关于y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，列式计算即可．
本题考查了点的对称，有理数的加法，根据对称点的坐标特点，规范计算即可．
【详解】解：∵点
1
,1
P
m
n
与
4,3
Q
关于y 轴对称，
∴1
4,1
3
m
n
，
解得
3,
2
m
n
，
故
3
2
1
m
n
，
故答案为：1．
3．已知：如图，
ABC
三个点的坐标分别为
(0, 2)
A
，
(2, 4)
B
，
(4, 1)
C
．
(1)画出
ABC
关于y 轴对称的图形
1
1
1
A B C
△
；写出
1
1
1
A B C
△
各顶点坐标；
(2)求
ABC
的面积．
(3)在x 轴上找一点P，使得它到点A 和点C 的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析，点
1A 的坐标为
0, 2
，点
1B 的坐标为
2, 4
，点
1
C 的坐标为
4, 1
(2)5
(3)见解析
【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答
本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图，再根据
1
1
1
A B C
△
各顶点在坐标系中的位置写出顶点坐标即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）作点C 关于x 轴的对称点C,连接AC，交x 轴于点P，则点P 即为所求，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A B C
△
即为所求．
点
1A 的坐标为
0, 2
，点
1B 的坐标为
2, 4
，点
1
C 的坐标为
4, 1
；
（2）解：
ABC
的面积为
1
1
1
2
3
4
2
2
2 3
10
2
3
5
2
2
2
．
（3）解：如图，作点C 关于x 轴的对称点C,连接AC，交x 轴于点P，连接CP，
则PA
PC
PA
PC
AC
，此时点P 到点A 和点C 的距离和最小，故点P 即为所求作．
题型1 求点关于x 轴的对称点的坐标
【例1】点
4, 3
P
关于x 轴对称的点P的坐标为
．
【答案】
4,3
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数
进行求解即可．
【详解】解：点
4, 3
P
关于x 轴对称的点P的坐标为
4,3 ，
故答案为：
4,3 ．
【例2】在平面直角坐标系中，点
2, 6
A
关于x 轴的对称点为
,
A x y
，则x
y
的值为
．
【答案】8
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知字母的值，求代数式的值
【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知关于x 轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相
反数是解题关键．根据关于x 轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出x 、y ，进而可得答案．
【详解】解：点
2, 6
A
关于x 轴的对称点为
,
A x y
，
2
x
，
6
y
，
2
6
8
x
y
．
故答案为：8 ．
【技巧归纳】
点关于x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变为相反数，即P(a,b)→P'(a,-b)。如(2,-3)关于x 轴对称得(2,3)。口
诀：横不变，纵相反。注意原点对称是横纵都变号，不要混淆。应用于图形轴对称问题。
【变式1-1】在平面直角坐标系中，若点
7,6
A
与点
,
B a b 关于x 轴对称，则a
b
．
【答案】13
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称
【分析】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
直接利用关于x 轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a ，b 的值，进而得出答案．
【详解】解：∵
7,6
A
与点
,
B a b 关于x 轴对称，
∴
7,
6
a
b
∴a
b
7
6
13
故答案为：13
．
【变式1-2】若点
2
,3
1
P
m m
在y 轴上，点Q 与点P 关于x 轴对称，则点Q 的坐标是
．
【答案】
0, 7
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据y 轴上的点横坐标为0 求出m 的值，即得点P 的
坐标，再根据关于x 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求出点Q 的坐标，掌握以上知识点是解
题的关键．
【详解】解：∵点
2
,3
1
P
m m
在y 轴上，
∴2
0
m
，
∴
2
m
，
∴3
1
3
2
1
7
m
，
∴点
0,7
P
，
∵点Q 与点P 关于x 轴对称，
∴点Q 的坐标是
0, 7
，
故答案为：
0, 7
．
题型2 求点关于y 轴的对称点的坐标
【例3】平面直角坐标系中，与点
2, 3
M
关于y 轴对称的点的坐标为
．
【答案】( 2, 3)
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于y 轴对称的点的坐标的特点，根据平面直角坐标系中任意
一点
( , )
P x y ，关于y 轴对称的点的坐标为(
, )
x y
，将M 的坐标代入从而得出答案．
【详解】解：根据关于x 轴、y 轴对称的点的坐标的特点，
点
2, 3
M
关于y 轴对称的点的坐标是( 2, 3)
．
故答案为：( 2, 3)
．
【例4】点
1, 5
A x
，
2
2,
B
y
，若A ，B 关于x 轴对称，则
1x
，
2y
；若A ，B 关
于y 轴对称，则
1x
，
2y
．
【答案】
2
5
2
5
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．
（1）关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，依此即可求解．
（2）关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可求解．
【详解】解：（1）若A 、B 关于x 轴对称，则
1
2
x
，
2
5
y
；
故答案为：2；5；
（2）若A 、B 关于y 轴对称，则
1
2
x ，
2
5
y ．
故答案为：2
，5
．
【技巧归纳】
点关于y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变为相反数，即P(a,b)→P'(-a,b)。如(-3,4)关于y 轴对称得(3,4)。口
诀：纵不变，横相反。关于坐标轴对称仅改变对应的坐标符号，与关于原点对称不同（都变）。
【变式2-1】已知点
,3
A x
和
4,
B
y 关于y 轴对称，则
2025
x
y
的值为
．
【答案】1
【知识点】已知字母的值，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了代数式求值，关于y 轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于y 轴对称的点的坐标特征是
解题的关键．利用关于y 轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，得出
4
x ，
3
y ，代入计算即可．
【详解】解：由题意得
4
x ，
3
y ，
∴
2025
2025
4
3
1
x
y
，
故答案为：1
．
【变式2-2】若点
(2
1,
3)
P
m
m
在x 轴上，则点P 关于y 轴对称的点Q 坐标是
．
【答案】(5,0)
【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，根据点
(2
1,
3)
P
m
m
在x 轴上求出
3
m ，得
5,0
P
，
再求出点Q 的坐标即可．
【详解】解：∵点
(2
1,
3)
P
m
m
在x 轴上，
∴
3
0
m
，
解得，
3
m ，
∴
5,0
P
,
∵点P 与点Q 关于y 轴对称，
∴点Q 坐标是(5,0) ，
故答案为：(5,0) ．
题型3 求点关于某直线的对称点的坐标
【例5】点
2, 3
P
关于直线
1
x 对称的点的坐标是
．
【答案】
0, 3
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了关于垂直坐标轴的直线对称的点坐标．设点
2, 3
P
关于直线
1
x 对称的点为
, 3
P a
，根据题意得出2
1
2
a
，即可求解．
【详解】设点
2, 3
P
关于直线
1
x 对称的点为
, 3
P a
，
∴2
1
2
a
，
解得，
0
a
，
∴
0, 3
P
．
故答案为：
0, 3
．
【例6】点(3,4) 关于直线
2
y
对称的点的坐标为
．
【答案】(3,0)
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】考查了平面直角坐标系中各种点对称的基本性质，解题的关键是对这些基本性质要有清晰的认识。
根据题意，设出相关点的坐标，依据相关性质入手即可
【详解】解：当所求的点与点
( , )
P x y 关于y
a
对称时，其对称点P的坐标为( 2
)
x a
y
，
.
∵2
2
2
4
0
a
y
，
∴对称点P的坐标为(3,0)，
故答案是：(3,0)．
【技巧归纳】
关于直线y=x 对称：交换横纵坐标，即(a,b)→(b,a)。关于直线y=-x 对称：横纵坐标都变相反数并交换，即(a,b)
→(-b,-a)。若直线平行坐标轴，可先平移再对称。注意对称点与已知点中点在该直线上，连线垂直。
【变式3-1】已知点
2,3
A
和点B 是坐标平面内的两个点，它们关于直线
1
x 对称
．
【答案】
4,3
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了坐标与图形变化-对称，熟记对称的性质并列出方程求出点B 的横坐标是解题的关键．根
据轴对称的定义列式求出点B 的横坐标，然后解答即可．
【详解】解：设点B 的横坐标为x，
∵点
2,3
A
与点B 关于直线
1
x 对称，
∴
2
1
2
x
，
解得
4
x
，
∵点A、B 关于直线
1
x 对称，
∴点A、B 的纵坐标相等，
∴点
4,3
B
．
故答案为
4,3 ．
【变式3-2】点
1,2 关于第一象限角平分线的对称点的坐标为
．
【答案】
2,1
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系；根据题意，关于第一象
限角平分线的对称的两点坐标的关系，纵横坐标交换位置易得答案．
【详解】解：根据关于第一象限角平分线的对称的两点坐标的关系，
即点( , )
a b 关于第一象限角平分线的对称点的坐标为( , )
b a ；
可得答案为
2,1 ．
故答案为：
2,1 ．
题型4 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题
【例7】坐标平面上点
3,2
A
，点
0,4
B
，点C 在x 轴上，则AC
BC
最小值为
．
【答案】3 5
【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题坐标与轴对称，勾股定理，作点B 过于x 轴的对称点D ，连接AD ，则：AC
BC
最小值即为
AD 的长，进行求解即可．
【详解】解：如图，作点B 过于x 轴的对称点D ，连接AD ，则：
0, 4
D
，AC
BC
AC
CD
AD
，
∴当
,
,
A C D 三点共线时，AC
BC
的值最小为AD 的长，
∵
3,2
A
，
∴
2
2
2
4
3
3 5
AD
；
故AC
BC
最小值为3 5 ．
【例8】如图，平面直角坐标系中，
, ,
A B P 三点的坐标分别为
4,0 ，
0,3 ，
0, 2
，AB
PB
，点M，N
是x 轴，线段AB 上的动点，则PM
MN
的最小值为
．
【答案】4
【知识点】坐标系中描点、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，过点P 作PH
AB
于H，交x 轴于点E，连接PA ．则PM
MN
的最小值为PH 的长，
根据
1
1
2
2
PAB
S
PB OA
AB PH
△
，AB
PB
，推出
4
PH
OA
．
【详解】解：过点P 作PH
AB
于H，交x 轴于点E，连接PA ，
点M，N 是x 轴，线段AB 上的动点，
PM
MN
的最小值为PH 的长，
1
1
2
2
PAB
S
PB OA
AB PH
△
，AB
PB
，
4
PH
OA
．
故对答案为：4．
【技巧归纳】
将军饮马型：作某点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点，与对称轴交点即为所求。最小值即为对
称后两点间距离（用勾股计算）。若对称轴为x 轴或y 轴，直接变符号求对称点。注意区分轴对称与平移。
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，
3,3
A
，
1,0
B
，点C 是y 轴上一点，连接AB
AC
BC
，
，
，则
ABC
周长的最小值为
．
【答案】5
13
/ 13
5
【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质找到对称点，然后利用勾股定理进行求解
即可．作AD
OB
于D，则
=90
ADB
，
3
OD ，
=3
AD
，
1
OB ，得出
=2
BD
，由勾股定理求出AB 即可；
由题意得出AC
BC
最小，作A 关于y 轴的对称点A，连接A B
交y 轴于点C，点C 即为使AC
BC
最小
的点，作BE
AA
轴于E，由勾股定理求出A B
，即可得出结果．
【详解】解：作AD
OB
于D，
则
=90
ADB
，
3
OD ，
=3
AD
，
1
OB ，
∴
=3 1=2
BD
，
∴
2
2
2 +3 = 13
AB=
；
要使
ABC
的周长最小，AB 一定，
则AC
BC
最小，
作A 关于y 轴的对称点A，连接A B
交y 轴于点C，
点C 即为使AC
BC
最小的点，
作BE
AA
轴于E，
由对称的性质得：
6
AA
，
3
BE
，
∴
6
2
4
A E
，
由勾股定理得：A B
＝
2
2
3
4
5
，
∴
ABC
的周长的最小值为5
13
．
故答案为：5
13
．
【变式4-2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知
(5,0)
A
，
(0,4)
B
，过点B 作y 轴的垂线l，P 为直线l 上
一动点，连接PO，PA ，则PO
PA
的最小值为
．
【答案】89
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．取点A 关于直线l 的对称点A，
连接OA交直线l 于点C，由轴对称的性质可得AC
A C
，PA
PA
，AA
l
，进而可得
PO
PA
PO
PA
OA
，可知当O，P，A三点共线时，PO
PA
的最小值为OA，再利用勾股定理求即
可．
【详解】解：如图，取点A 关于直线l 的对称点A，连接OA交直线l 于点C，连接AC ，PA，AA，
则可知AC
A C
，PA
PA
，AA
l
，
∴PO
PA
PO
PA
OA
，
即当O，P，A三点共线时，PO
PA
的最小值为OA，
∵直线l 垂直于y 轴，
∴AA
x
轴，
∵
(5,0)
A
，
(0,4)
B
，
∴
5
OA
，
2
4
8
AA
，
∴在Rt AOA
中，
2
2
2
2
5
8
89
OA
OA
A A
，
即PO
PA
的最小值为89 ，
故答案为：89 ．
题型5 坐标与图形变换--轴对称
【例9】如图，在平面直角坐标系中，
ABC
的三个顶点坐标为
3 4 ,
1 2 ,
51
A
B
C
，
，
，．
(1)画出
ABC
关于y 轴对称的
1
1
1
A B C
△
，并写出点
1
B 的坐标；
(2)求
ABC
的面积；
(3)x 轴上找一点P，使三角形PBC 周长最小，x 轴上画出P 点位置．
【答案】(1)见解析，
1,2
(2)5
(3)见解析
【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、网格中求三角形的面积，熟练掌握轴对称
的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质找出对应点的位置，再顺次连接即可作图；
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）取点B 关于x 轴的对称点
2
B ，连接
2
B C 交x 轴于点P，则点P 即为所求．
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A B C
△
即为所求；由图知，点
1B 的坐标为
1,2
；
（2）解：
ABC
的面积为
1
1
1
3 4
2 3
2
2
1 4
5
2
2
2
；
（3）解：如图，取点B 关于x 轴的对称点
2
B ，连接
2
B C 交x 轴于点P，连接BP ，
此时三角形PBC 周长
2
2
PC
PB
BC
PC
P
C
B
B
B
BC
C
最小，
则点P 即为所求．
【例10】如图，在由边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy ，格点（网格
线的交点）
, ,
A B C 的坐标分别为( 2,3)
，(1,3)，(2,0) ．
(1)画出
ABC
关于x 轴对称的
1
1
1
A B C
△
（点
, ,
A B C 的对应点分别为
1
1
1
,
,
A B C ）．
(2)连接
1
AB ，直接写出
1
AB C
△
的面积．
(3)在（1）的条件下，在线段AC 上找出点D，使得
1
AB D
△
的面积是
1
AB C
△
的面积的
1
2 ．
【答案】(1)见解析
(2)7.5
(3)见解析
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了轴对称的性质，网格中求三角形的面积．
（1）分别作出
ABC
关于x 轴对称的对应点
1A ，
1B ，
1
C ，再顺次连结得到
1
1
1
A B C
△
；
（2）利用割补法求解即可；
（3）根据三角形中线的意义，找出点D 即可．
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A B C
△
即为所求作；
（2）解：
1
AB C
△
的面积
1
1
1
6
4
6 3
1 3
3 4
7.5
2
2
2
；
（3）解：如图，点D 即为所求作．
【技巧归纳】
图形关于x 轴、y 轴或直线y=±x 对称时，找对应点坐标变化规律（横/纵变号或交换）。先求关键点对称坐
标，再连接成图形。注意对称前后图形全等，对应点连线被对称轴垂直平分。坐标系中画图更直观。
【变式5-1】在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1 个单位长度的正方形，
ABC
的顶
点在格点上.
(1)画出
ABC
关于y 轴对称的A B C
；并写出A；B；C的坐标.
(2)求
ABC
的面积.
(3)在y 轴上找出点Q ，使
QAC
△
的周长最小.
【答案】(1)作图见解析，
4,1 ,
3,3 ,
1,2
A
B
C
(2) 5
2
(3)见解析
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、利用网格求三
角形面积
【分析】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
（1）先根据根据点坐标关于y 轴对称的变换规律分别画出点
,
,
A B C
，再顺次连接即可得；
（2）利用割补法求解即可；
（3）连接AC，交y 轴于点Q 即为所求．
【详解】（1）解：由图可得
4,1 ,
3,3 ,
1,2
A
B
C
，
A B C
与
ABC
关于y 轴对称，
4,1 ,
3,3 ,
1,2
A
B
C
，
如图，A B C
即为所求．
（2）解：
ABC
的面积
1
1
1
5
2
3
1 2
1 2
1 3
2
2
2
2
；
（3）解：如图，点Q 即为所求．
理由：由轴对称的性质得：QC
QC
，
QAC
的周长为AC
AQ
QC
AC
AQ
QC
，
当AQ
QC
取最小值时，
QAC
△
的周长最小，
由两点之间线段最短可知，当点
,
,
A Q C共线时，AQ
QC
取得最小值，
则AC与y 轴的交点即为所求．
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为格点，
已知
ABC
的三个顶点都是格点．
(1)
ABC
的顶点坐标分别是A______，B______，C______；
(2)
ABC
与A B C
关于x 轴对称，A，B，C 的对应点分别是
,
,
A B C
，则C______；
(3)点D 是格点，且以点A，B，C，D 为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D 坐标为______．
【答案】(1) (2,4) ；(5,2) ；(3, 1)
(2)(3,1)
(3)
0,1 或
5,0
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形
【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标、作图—轴对称变换、轴对称的性质，熟练掌握以上
知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据图形写出坐标即可得解；
（2）根据轴对称的性质作出A B C
，再写出C的坐标即可得解；
（3）根据轴对称的性质画出图形，结合图形即可得解．
【详解】（1）解：由图可得：
2,4
A
，
5,2
B
，
3, 1
C
；
（2）解：如图：A B C
即为所作，
由图可得：
3,1
C
；
（3）解：如图，点D 、
1
D 即为所求，
所有符合条件的点D 坐标为
0,1 或
5,0
．
题型6 轴对称的几何变换综合题
【例11】在平面直角坐标系中，点��, 0 ，
0,
B
b ，a，b 满足
3
5 0
a
b
，点C 与点A 关于y 轴对
称．
(1)直接写出B，C 两点的坐标；
(2)如图，分别以��，��为直角边向右侧作等腰Rt BAD
和等腰Rt BCE
，求出D，E 两点的坐标．
【答案】(1)
0,5
B
；
3,0
C
(2)
2, 3
D
，
8,3
E
【分析】（1）根据题意，得
3
a ，�= 5，再利用轴对称性质求解即可；
（2）过点D 作DF
x
轴，过点E 作EH
x
轴，证明
AAS
AOB
DFA
≌
，求解即可；
【详解】（1）解：
3
5
0
a
b
，
3
0
a
，
5
0
b
，
3
0
a
，
5
0
b
，
解得
3
a ，�= 5，
∴点
3,0
A
，
0,5
B
．
∵点A，C 关于y 轴对称，
∴点�3,0 ．
（2）解：过点D 作DF
x
轴，过点E 作EH
x
轴，如图．
BAD
是等腰直角三角形，
∴��= ��，∠���= 90°，
90
DFA
AOB
BAD
，
90
FAD
OBA
BAO
，
AAS
AOB
DFA
≌
，
DF
AO
，AF
OB
．
∵点
3,0
A
，
0,5
B
，
3
DF
AO
，
5
AF
OB
，
2
OF
AF
OA
，
∴点
2, 3
D
；
同理可得点
8,3
E
．
【例12】阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点
1
1
2
2
M x
y
N x
y
，
，
，
，则由勾股定理可得，这两点间的距离
2
2
1
2
1
2
MN
x
x
y
y
．例如．如图1，
31
1
2
M
N
，，
，
，则
2
2
3 1
1 2
13
MN
．
【直接应用】
(1)已知
2
3
13
P
Q
，
，
，，求P、Q 两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中的两点
1, 3 ,
1, 1
A
B
，P 为x 轴上任一点，求PA
PB
的最小值；
(3)利用上述两点间的距离公式，求代数式
2
2
2
2
2
3
1
x
y
x
y
的最小值是多少？
【答案】(1)3 5
(2) PA
PB
的最小值为2 5
(3) 10
【知识点】已知两点坐标求两点距离、线段问题(轴对称综合题)
【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的
关键．
（1）由两点间的距离公式可求出答案；
（2）利用轴对称求最短路线方法得出P 点位置，进而求出PA
PB
的最小值．
（3）把
2
2
2
2
2
3
1
x
y
x
y
看成点
,x y 到两点0,2 和
3,1 的距离之和，求出两点0,2 和
3,1
的距离便是
2
2
2
2
2
3
1
x
y
x
y
的最小值．
【详解】（1）解：∵
2
3
13
P
Q
，
，
，，
∴
2
2
2 1
3 3
3 5
PQ
；
（2）如图，作点B 关于x 轴对称的点C，连接AC
CP
AP
BP
，
，
，
，则
11
C ，，
由轴对称的性质可得PC
PB
，
∴PA
PB
PC
PA
，
∴当A、P、C 三点共线时，PC
PA
最小，即此时PA
PB
最小，最小值为AC 的长，
∵
1
3
11
A
C
，
，
，，
∴
2
2
1 1
3 1
2 5
AC
，
∴PA
PB
的最小值为2 5 ；
（3）∵把
2
2
2
2
2
3
1
x
y
x
y
看成点
,x y 到两点0,2 和
3,1 的距离之和，
∴两点0,2 和
3,1 的距离便是
2
2
2
2
2
3
1
x
y
x
y
的最小值，
∴最小值为：
2
2
0
3
2 1
10
．
【技巧归纳】
综合题结合折叠、旋转、最值等。先确定对称轴，找对应点坐标关系。利用轴对称性质：对应点连线被对
称轴垂直平分，距离相等。设未知点坐标，列方程求解。注意多情况讨论（如对称轴位置不定）。数形结
合。
【变式6-1】在平面直角坐标系中，已知长方形ACDB ，其中点
2,4
A
，点
(6, 1)
D
．
(1)填空：点�的坐标为______，点�的坐标为______；
(2)若点�是�轴上的动点，连接��．
①如图1，当点�在�轴正半轴时，线段��与线段��相交于点�，用等式表示三角形PEC 的面积与三角形ECD
的面积之间的关系，并说明理由；
②当��将四边形ACDB 分成面积相等的两部分时，求点�的坐标．
【答案】(1)
6,4 ，
2, 1
(2)①
1
2
PEC
ECD
S
S
△
△
，理由见解析；②
0,6.5
P
【分析】（1）根据长方形的性质，结合坐标系，即可求解；
（2）①先求出
2
PF
，再用三角形的面积公式得出
PEC
S
CE
，
2
ECD
S
CE
，即可得出结论；
②当��将四边形ACDB 分成面积相等的两部分时，��经过点�，则
,
A E 重合，连接��并延长交�轴于点�，
连接��，延长��交�轴于点�，则
0, 1
M
，根据①得出
5
1
2
PEC
ECD
S
S
△
△
，则
15
PCD
PEC
ECD
S
S
S
，
设
0,
P
p ，则
1
PM
p
，得出
1
4
1
15
2
p
，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵已知长方形ACDB，其中点
2,4
A
，点
(6, 1)
D
．
∴
6
2
4,
4
1
5
AB
CD
AC
BD
∴
6,4
B
，
2, 1
C
；
（2）①
1
2
PEC
ECD
S
S
△
△
，理由如下：
如图1，过�点作PF
AC
于�，
由平移知，AC
y
∥
轴，
∵
2,4
A
，
∴��= 2，
∵
4
AB
CD
，
∴
1
1
2
2
2
PEC
S
CE PF
CE
CE
，
1
1
4
2
2
2
ECD
S
CE CD
CE
CE
，
∴
2
ECD
PEC
S
S
，即：
1
2
PEC
ECD
S
S
△
△
；
②如图，∵四边形ACDB 是长方形，
∴当��将四边形ACDB 分成面积相等的两部分时，��经过点�，则
,
A E 重合，
连接��并延长交�轴于点�，连接��，延长��交�轴于点�，则
0, 1
M
，
∵
1
1
10
2
2
ACD
ACDB
S
S
AC
BD
长方形
设
0,
P
p
∴
1
PM
p
由①可得
5
1
2
PEC
ECD
S
S
△
△
∴
15
PCD
PEC
ECD
S
S
S
∴1
15
2 CD
PM
即
1
4
1
15
2
p
解得：
6.5
p
∴
0,6.5
P
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点��, 0 、��, 0 和�0,3 ，
2
1
4
0
a
b
，将线段��
平移到��的位置．
(1)求点�的坐标；
(2)点�为�轴正半轴上一动点，连接��，��．
①当点�在线段��上时，求证：
DPB
PDC
PBA
；
②当
3
5
PBD
ABDC
S
S
四边形
时，求点�的坐标，此时
DPB
、
PDC
和
PBA
有何数量关系？请直接写出它们的
关系，不需证明．
【答案】(1)
5,3
D
(2)①证明：如图，作PM
AB
∥
，
由平移的性质得：��∥��，
AB
PM
CD
，
∴
PDC
DPM
，
PBA
MPB
．
∵
DPB
DPM
MPB
，
∴
DPB
PDC
PBA
．
②点�的坐标为0,6 ，
DPB
PBA
PDC
【分析】（1）由平方和算术平方根的非负性可求得�，�的值，即可求出点�，�的坐标，再根据平移的性质
即可求得点�的坐标；
（2）①作PM
AB
∥
，则AB
PM
CD
∥
∥
，可得
PDC
DPM
，
PBA
MPB
，根据
DPB
DPM
MPB
即可求证；②设点�的坐标为
0,m ，
·
5 3
15
ABDC
S
AB OC
四边形
，则
3
9
5
PBD
ABDC
S
S
四边形
，分两种情况讨论：当点�在线段��上时，
PBD
OPB
PCD
OBDC
S
S
S
S
梯形
，求出点�
的值，不符合题意，舍去；当点�在线段��的延长线上时，
PBD
OPB
O
C
PCD
BD
S
S
S
S
梯形
，求出点�的值，
即可得出点�的坐标；过点�作PN
CD
，则AB
PN
CD
∥
∥
，可得
PDC
DPN
，
PBA
NPB
，根
据
DPB
NPB
DPN
，即可得出结论．
【详解】（1）解∵
2
1
4
0
a
b
，
∴
1
0
a
，
4
0
b
．
∴�=−1，�= 4．
1,0
A
，�4,0 ．
∴��= 5．
由平移的性质得：
5
AB
CD
，��∥��，
0,3
C
，
5,3
D
．
（2）解：①略
②∵
·
5 3
15
ABDC
S
AB OC
四边形
，
∴
3
9
5
PBD
ABDC
S
S
四边形
．
设点�的坐标为
0,m ，
当点�在线段��上时，即0
3
m
＜
，
则
1
1
1
4
5
3
4
5 3
9
2
2
2
PBD
OPB
PCD
OBDC
S
S
S
S
m
m
梯形
，
解得
6
m
，
∵0
3
m
＜
，
∴此种情况不成立．
如图，当点�在线段��的延长线上时，即
3
m＞，
则
1
1
1
5
3
4
5
3
4
9
2
2
2
PBD
PCD
OPB
OBDC
S
S
S
S
m
m
梯形
，
解得
6
m
，
0,6
P
．
此时，
DPB
PBA
PDC
．
如图，过点�作PN
CD
，
∵��∥��，
AB
PN
CD
，
∴
PDC
DPN
，
PBA
NPB
．
∵
DPB
NPB
DPN
，
∴
DPB
PBA
PDC
．
一、单选题
1．点
3,2
A
关于y 轴对称的点�′的坐标是（
）
A．
3,2
B．
3,2
C．
3, 2
D．
3, 2
【答案】B
【分析】根据平面直角坐标系中点关于�轴对称的坐标变化规律，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，
求解即可．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点�, �关于�轴对称的点的坐标为
,x y
，
又∵点�的坐标为
3,2 ，
∴对称点�′的横坐标变为−3，纵坐标保持2 不变，
∴�′的坐标为
3,2
．
2．在平面直角坐标系中，点
3,2
A
与点
, 2
B m
关于�轴对称，则�的值为（
）
A．2
B．−3
C．2
D．3
【答案】D
【详解】解：∵点
3,2
A
与点
, 2
B m
关于�轴对称，关于�轴对称的点的横坐标相等，
∴�= 3.
3．已知平面内不同的两点，点
,
A a b ，点
,
B a
b
，关于直线��叙述一定正确的是（
）
A．直线��∥�轴
B．直线��⊥�轴
C．直线AB
y
∥
轴
D．直线AB
y
轴
【答案】B
【分析】根据两点坐标特征结合平行、垂直的定义判断即可，需注意重合不满足平行关系．
【详解】∵点
,
A a b ，点
,
B a
b
是平面内不同的两点，
∴两点横坐标相等，纵坐标不相等，可得直线��上所有点的横坐标都为�，
∴直线��一定垂直于�轴，
当�= 0 时，直线��与�轴重合，不满足平行于�轴，因此C 不一定正确，
综上，一定正确的是B 选项．
4．如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴
对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点F 的坐标为
,2
n
，其关于�轴的对称点E 坐标为
4,2
n
，
则3 1
n
值为（
）
A．1
B．3 2
C．3 3
D．1
【答案】A
【分析】根据关于y 轴对称的点的性质，得
4
n
n
，求出n 值代入3 1 n
计算即可．
【详解】解：∵
4,2
,2
E n
F n
，
关于y 轴对称，
∴
4
n
n
，
解得，�= 2，
∴
3
3 1
1
1
n
．
5．如图，在平面直角坐标系中，对△���进行循环往复的轴对称变换，若原来点�的坐标是
,
m n ，经过
2025 次变换后所得的点�的坐标是（
）
A．
,
m n
B．
,
m
n
C．
,
m
n
D．
,
m n
【答案】A
【分析】根据题意可知点A 的坐标每4 次变换为一个循环周期，然后根据轴对称的性质，分别写出前4 次
变换后的坐标，结合2025
4
的余数确定最终坐标即可．
【详解】解：根据题意，
( , )
A m n
第1 次变换（关于�轴对称）：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得
,
m n
；
第2 次变换（关于�轴对称）：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得(
,
)
m
n
；
第3 次变换（关于�轴对称）：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得
,
m
n
；
第4 次变换（关于�轴对称）：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得( , )
m n ；
∴点�的坐标每4 次变换循环一次，
2025
4
506
1
，
∴经过2025 次变换后所得的点�的坐标与第1 次变换后的坐标相同，即为
,
m n
．
二、填空题
6．在平面直角坐标系���中，点
3, 5
P
关于y 轴对称的点的坐标为_____．
【答案】
3, 5
【分析】关于�轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可．
【详解】解：在平面直角坐标系���中，点
3, 5
P
关于�轴对称的点的坐标为
3, 5
．
7．点
,2
A m
与点
3,
B
n 关于y 轴对称，则
2026
(
)
m
n
________．
【答案】1
【详解】解：∵点
,2
A m
与点
3,
B
n 关于�轴对称，
3
m
，�= 2，
2026
2026
2026
3
2
1
1
m
n
．
8．如图，在平面直角坐标系中，△���与△�′�′�′关于x 轴对称，其中点A，B，C 的对应点分别为点�′，�′，
�′，若点
(3,2)
P
在△���的边上，则点P 在△�′�′�′上的对应点�′的坐标是________．
【答案】(3, 2)
【分析】根据关于�轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【详解】解：∵△���与△�′�′�′关于�轴对称，
点
3,2
P
在△���的边上，
∴点P 在△�′�′�′上的对应点�′的坐标是
3, 2
．
9．如图，在平面直角坐标系中，Rt △���的直角边��，��分别在x 轴和y 轴上，其中
12,0 ,
0,5 ,
0,0
A
B
O
，
E 是��上一点，将△���以��为轴翻折，点A 刚好落在y 轴的点D 处，则点E 的坐标是______．
【答案】10 ,0
3
【分析】先在Rt △���中，由勾股定理得
2
2
12
5
13
AB
，根据翻折性质，
13
BD
AB
，DE
AE
，
算出
8
OD
．设(
)
,0
E x
，在Rt
ODE
△
中，由
2
2
2
OE
OD
DE
列方程，解得
10
3
x
，得到点�坐标．
【详解】解：在Rt △���中，
12
OA
，
5
OB
，
∴
2
2
2
2
12
5
13
AB
OA
OB
，
由翻折性质得：
13
BD
AB
，DE
AE
．
0,5
B
，�在�轴上，
13
5
8
OD
BD
OB
，即
0, 8
D
．
设(
)
,0
E x
，则OE
x
，
12
AE
x
，
∴
12
DE
x
．
在Rt
ODE
△
中，
2
2
2
OE
OD
DE
即
2
2
2
8
12
x
x
解得
10
3
x
，
∴点E 的坐标为10 ,0
3
．
10．如图，在平面直角坐标系���中，四边形����关于�轴对称，
60
AOC
，
90
2
ABC
OA
，
，将
四边形����沿直线�= �翻折后得到四边形
1
1
1
OA B C ，接着将四边形
1
1
1
OA B C 沿直线y
x
翻折后得到四边形
2
2
2
OA B C ，第三次将四边形
2
2
2
OA B C 沿直线�= �翻折后得到四边形
3
3
3
OA B C ，第四次将四边形
3
3
3
OA B C 沿直
线y
x
翻折后得到四边形
4
4
4
OA B C
依此方式
（1）点�1的坐标是___________，
（2）翻折2026 次得到四边形
2026
2026
2026
OA
B
C
，则点
2026
A
的坐标是___________
【答案】
0,
3 + 1 / 0,1 +
3
3,1
【分析】（1）根据轴对称的性质求出点�和点�的坐标，利用关于直线�= �对称的点的坐标特征求出�1的
坐标；
（2）通过计算前几次变换后点�的坐标，发现坐标变化的循环规律，根据规律求出
2026
A
的坐标；
【详解】（1）∵四边形����关于�轴对称，
60
AOC
，
1
30
2
AOB
AOC
，
1
45
2
OBA
ABC
，
过点�作AD
x
轴，
在Rt
OAD
△
中，��= 2，
30
AOD
，
1
1
2
1
2
2
AD
OA
，
∴
2
2
2
1
4 1
3
OD
，
∴点�的坐标为
3, 1
，
在Rt △���中，∠���= 45°，
1
AD ，
1
BD
AD
，
3
1
OB
OD
BD
，
∴点�的坐标为
3
1,0
；
∵点�1与点�关于直线�= �对称，
∴点�1的坐标为
0, 3
1
；
（2）由题意可知：第一次翻折，点
3, 1
A
关于直线�= �对称得到
1
1, 3
A
，
第二次翻折，点
1
1, 3
A
关于直线y
x
对称得到
2
3,1
A
，
第三次翻折，点
2
3,1
A
关于直线�= �对称得到
3 1,
3
A
，
第四次翻折，点
3 1,
3
A
关于直线y
x
对称得到
4
3, 1
A
，
∴点�的坐标每4 次翻折为一个循环周期，
2026
4
506
2
，
∴点
2026
A
的坐标与点�2的坐标相同，
∴点
2026
A
的坐标为
3,1
．
三、解答题
11．如图，在平面直角坐标系中，△���的三个顶点坐标分别为
(0,5)
A
、
( 3,2)
B
、
( 1,1)
C
．
(1)画出△���关于�轴对称的△��1�1，并写出�1的坐标；
(2)求△���的面积．
【答案】(1)画图见解析；(3,2)
(2)
9
2
【分析】（1）分别作出点B，C 关于y 轴的对称点�1，�1，顺次连接A，�1，�1得到△��1�1，根据点�1
的位置即得�1的坐标；
（2）根据割补法列式计算即可．
【详解】（1）解：如图，△��1�1就是所求作的三角形；
点�1的坐标是(3,2)；
（2）解：△���的面积为
1
1
1
9
3
4
1 2
1 4
3
3
2
2
2
2
．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知
1,4
A
，
4,2
B
，
2,1
C
．
(1)请画出△���关于�轴对称的△�1�1�1；并写出�1的坐标．
(2)若点P 为�轴上一点，连接BP
CP
，
，当BP
CP
最小时，请在图中画出点P 的位置．
【答案】(1)见详解；
1 4,2
B
(2)见详解
【分析】本题考查轴对称作图，最短路径问题，熟练掌握轴对称作图是解题的关键；
（1）根据轴对称的定义直接画图，写出�1坐标即可；
（2）作点C 关于�轴的对称点�′，连接�与�′交x 轴交于一点，即为P 点．
【详解】（1）解：△�1�1�1如下图所示：
∴
1 4,2
B
（2）解：如下图：点P 即为所求：
13．如图，在平面直角坐标系���中，△���的顶点坐标分别为
1, 1
A
，
4,1
B
，
2,2
C
，��为��边上
的高．
(1)请画出△���关于y 轴的对称图形△�1�1�1；
(2)请填出下列线段的长度：
��= ，BC ，AC ，CD ．
【答案】(1)见解析
(2) 13 ，5，10，7 13
13
【分析】（1）利用轴对称的性质作出A，B，C 的对应点�1，�1，�1即可；
（2）利用勾股定理以及三角形的面积求解即可．
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A B C
即为所求；
（2）解：��=
22 + 32 =
13，
2
2
1
2
5
BC
，
2
2
1
3
10
AC
，
∵
1
1
1
1
3 3
1 3
1 2
2
3
2
2
2
2
ABC
S
AB
CD
，
∴
7 13
13
CD
．
14．如图，在长方形����中，O 为平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为( ,0)
a
，点C 的坐标为(0, )
b ，且
a，b 满足
4
6
0
a
b
，点B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着
O
C
B
A
O
的线路移动．
(1)�= ________，�= ________，点B 的坐标为__________；
(2)当点P 移动4s时，点P 的坐标为_______________；
(3)在移动过程中，当点P 到x 轴的距离为4 个单位长度时，点P 移动的时间为________；
(4)在移动过程中，当三角形PAB 的面积等于6 时，求点P 的坐标．
【答案】(1)4，6，
4,6
(2)
2,6
(3)2 秒或6 秒
(4)
2,6
P
或
2,0
P
【分析】（1）先利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出
4,
6
a
b
，再得到
4,
6
OA
OC
，即可
求解．
（2）求出点P 移动的路程，再除以时间即可求解．
（3）确定出当点P 到x 轴的距离为4 个单位长度时的坐标，再利用路程除以速度即可求解．
（4）求出��边上的高为2 时即可求解．
【详解】（1）解：∵�−4 + �−6 = 0，且
4
0,
6
0
a
b
，
∴
4,
6
a
b
，
∵点A 的坐标为( ,0)
a
，点C 的坐标为(0, )
b ，
∴
4,0 ,
0,6
A
C
，
∴
4,
6
OA
OC
，
∴点B 的坐标为4,6 ；
（2）解：点P 移动4s 时，运动路程为2 4
8
个单位，
∵��= 6，8
6
2
，
∴点P 在��上，距离点C 两个单位长度，
∴
2,6
P
；
（3）解：在移动过程中，当点P 到x 轴的距离为4 个单位长度时，则
0,4
P
或
4,4
P
，
当运动到
0,4
P
时，时间为
4
2
2 s
，
当运动到
4,4
P
时，时间为
6
4
6
4
2
6 s
，
∴点P 移动的时间为2s或6s；
（4）解：∵点B 的坐标为4,6 ，
∴��= 6，
∴当三角形���的面积等于6 时，��边上的高为6
2
2
6
，4
2
2
，此时，点P 在��上或��上，
∴
2,6
P
或
2,0
P
．
15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(6,0) ，点B 是第一象限的点，且BA
x
轴，点B
到x 轴的距离是4，过点B 作x 轴的平行线a，与y 轴交于点C．动点P 从点B 出发，以2 个单位长度/s 的
速度沿直线a 向左移动，动点Q 从原点O 同时出发，以1 个单位长度/s 的速度沿x 轴向右移动．
(1)点B 的坐标为________；
(2)当
3
2
t
时，点P 的坐标为________，点Q 的坐标为________；
(3)当点P，Q 满足PQ
y
∥
轴时，求t 的值．
(4)当点P 移动到y 轴左侧，且四边形POQC 的面积为10 时，求点P 的坐标．
【答案】(1)(6,4)
(2)(3,4) ，3 ,0
2
(3)�= 2
(4)点P 的坐标为
4 ,4
3
【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的求解，解题的关键是理解平面直角坐标系，以及正确列
出一元一次方程．
（1）根据题意，直接求得点�的坐标即可；
（2）根据平移方式以及时间，求得�、�坐标即可；
（3）根据PQ
y
∥
可得�、�两点的横坐标相等，列出方程求解即可；
（4）设移动时间为�秒，根据四边形POQC 的面积为10，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：点A 的坐标为(6,0) ，点B 是第一象限的点，且BA
x
轴，
可得�的横坐标为6，
由点B 到x 轴的距离是4 可得�的纵坐标为4，
则点�的坐标为(6,4) ，
故答案为：(6,4) ；
（2）解：由题意可得，
6
BC
AO
当
3
2
t
时，
3
BP
，则
3
CP
BC
BP
，可得
3,4
P
，
3
2
OQ
，可得
3 ,0
2
Q
，
故答案为：(3,4) ，3 ,0
2
；
（3）设经过t 秒后，PQ
y
∥
，此时�、�两点的横坐标相等，
�、�两点的横坐标分别为6
2t
，�，
则6
2t
t
，解得�= 2；
（4）解：设经过t 秒后，四边形POQC 的面积为10，
由点P 移动到y 轴左侧可得，
3
t
，此时
2
6
CP
t
，
则四边形POQC 的面积为
1 2
6
4
10
2
t
t
，
解得
11
3
t
，
4
2
6
3
CP
t
，则点P 的坐标为
4 ,4
3
．
