第08 讲二次函数y=ax²的图象和性质
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 二次函数y=ax²中a 值决定开口
题型2 求二次函数y=ax²中开口、顶点坐标、最值
题型3 利用二次函数y=ax²中增减性比较大小
题型4 二次函数y=ax²的图象和性质
题型5 利用二次函数y=ax²的性质求参数
题型6 画二次函数y=ax²的图象
题型7 二次函数y=ax²的图象和性质综合
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
抛物线、顶点、对称轴、
开口方向、开口大小、
a 的作用、增减性。
1. 会用描点法画出二次函数y=ax² 的图象，归纳出其图象特征（抛物线、顶
点、对称轴）。
2. 掌握二次项系数a 对抛物线开口方向、开口大小的影响：a > 0 开口向上，
a < 0 开口向下，|a| 越大开口越小。
3. 理解二次函数y=ax²的增减性：当a > 0 时，在对称轴左侧y 随x 增大
而减小，右侧增大；当a < 0 时相反。
4. 体会从特殊到一般、数形结合的数学思想，发展观察、归纳和几何直观能
力。
学习重点：二次函数y=ax²的图象特征（顶点在原点，对称轴为y 轴）及其性质，特别是a 对开口
方向和大小的决定作用。
学习难点：理解a 的正负与开口方向的关系，以及|a| 大小与开口宽窄的关系；掌握函数增减性（特
别是对称轴两侧的不同变化趋势）并能用语言准确描述。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数y = ax2（其中a ≠0）图象和性质
一、基本形式
图象是抛物线，顶点在原点(0,0)。
二、图象特征（取决于a 的符号与大小）
1. 开口方向
a > 0 ：开口向上，有最小值（在顶点）
a < 0：开口向下，有最大值（在顶点）
2. 顶点
顶点坐标：(0,0)
是抛物线的最低点(a>0）或最高点(a<0）
3. 对称轴
对称轴：x = 0（即y 轴）
4. 开口大小（形状）
开口大小由|a|决定：
|a|越大，抛物线越窄（靠近y 轴）
|a|越小，抛物线越宽（扁平）
三、函数性质（a > 0 为例，a<0 则增减性相反）
1. 定义域：全体实数
2. 值域
当a > 0 ：y≥0；
当a < 0：y≤0；
3. 单调性
a >0 时：在x<0 上单调递减;在x>0 上单调递增
a < 0 时：在x<0 上单调递增;在x>0 上单调递减
4. 最值
-
a > 0 ：最小值ymin= 0 （在x=0
处），无最大值
-
a < 0：最大值ymax = 0 （在x=0
处），无最小值
【易错提醒】
即时即练1．关于二次函数
2
y
x
=
的图象，下列说法错误的是（
）
A．它的形状是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y 轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它的顶点在原点处，坐标为
0,0
2．关于抛物线
2
y
x
，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当
1
x 时，y 随x 的增大而减小；
③当1
2
x
时，4
1
y
；
④若
,
m p ，
,n p 是该抛物线上两点，则
0
m
n
．
其中正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．（1）在同一直角坐标系中，画出函数
2
2
y
x
，
2
1
2
y
x
，
2
2
y
x
与
2
1
2
y
x
的图象．
（2）观察（1）中所画的图象，回答下列问题：
①由图象可知抛物线
2
2
y
x
与抛物线___________的形状相同，且两抛物线关于___________轴对称；同样，
抛物线
2
1
2
y
x
与抛物线___________的形状相同，也关于___________轴对称．
②当a 相同时，抛物线开口大小___________；当a 变大时，抛物线的开口___________；当a 变小时，抛
物线的开口___________．
应用：抛物线
2
2
y
x
与
2
y
x
=
中，开口较小的抛物线是___________．
题型1 二次函数y=ax²中a 值决定开口
【例1】抛物线
2
2
2
1
3
2
3
2
y
x
y
x
y
x
，
，
的图象开口最大的是（
）
A．
2
1
3
y
x
B．
2
2
y
x
C．
2
3
2
y
x
D．无法确定
【例2】已知三个二次函数的图象如图所示，那么
1a ，
2a ，
3a 的大小关系是（
）
A．
1
2
3
a
a
a
B．
3
1
2
a
a
a
C．
1
3
2
a
a
a
D．
3
2
1
a
a
a
【技巧归纳】
【变式1-1】如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①
2
y
ax
；②
2
y
bx
；③
2
y
cx
；④
2
y
dx
，
则a，b，c，d 的大小关系是（
）
A．a
b
c
d
B．b
a
c
d
C．a
b
d
c
D．b
a
d
c
【变式1-2】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①
2
y
ax
；②
2
y
bx
；③
2
y
cx
；④
2
y
dx
．则
a、b、c、d 的大小关系为（
）
A．a
b
c
d
B．d
c
b
a
C．d
b
c
a
D．c
d
b
a
题型2 求二次函数y=ax²中开口、顶点坐标、最值
【例3】抛物线
2
2
3
y
x
开口______，顶点坐标是______．
【例4】函数
2
6
y
x
的图象开口方向是___________，顶点坐标是___________，对称轴是___________．
【技巧归纳】
【变式2-1】抛物线
2
3
y
x
，开口_____，顶点坐标为__，对称轴为__；抛物线
2
1
3
y
x
，开口____，顶
点坐标为______，对称轴为____．相比之下，抛物线_____的开口程度较大．
【变式2-2】二次函数
2
2024
y
x
的图象开口____________（填“向上”或“向下”），有最____________
（填“大”或“小”）值2024．
题型3 利用二次函数y=ax²中增减性比较大小
【例5】已知点
1
2
( 2,
)
( 1,
)
A
y
B
y
，
是函数
2
y
x
图象上两点，则
1y ______
2y （填“>”“=”或“<”）．
【例6】已知抛物线
2
3
y
x
经过
1
2
3
2,
, 0,
, 1,
y
y
y
三点，则
1
2
3
,
,
y y
y 的大小关系是______．
【技巧归纳】
【变式3-1】已知
1
2
3
1,
1,
,
,
,
1,
a
A a
y
B a y
C a
y
三点都在二次函数
2
1
2
y
x
的图象上，则
1
2
3
,
,
y y
y 的
大小关系是_________（用“<”连接）．
【变式3-2】已知点
1
1,
A
y
，
2
2,
B
y
，
3
2,
C
y
在函数
2
1
4
y
x
的图象上，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系
是______．（用“<”连接）
题型4 二次函数y=ax²的图象和性质
【例7】下列关于二次函数
2
4
y
x
的说法正确的是( )
A．它的图象经过点
1, 4
B．当
0
x
时，y 有最大值为0
C．它的图象的对称轴是直线
4
x
D．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
【例8】关于二次函数
2
3
y
x
的图象，下列说法错误的是（
）
A．它是一条抛物线
B．它的开口向下，且关于y 轴对称
C．它的顶点是抛物线的最低点
D．它与
2
3
y
x
的图象关于x 轴对称
【技巧归纳】
【变式4-1】关于抛物线
2
y
x
，给出下列说法，其中正确的说法有（
）
①抛物线开口向下，顶点是原点；②当
2
x
时，y 随x 的增大而减小；③当2< <1
x
时，4
1
y
；④若
( , ),( , )
m q
n q 是该抛物线上两点，则
0
m
n
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式4-2】下列关于抛物线
2
1
2
y
x
和
2
1
2
y
x
的关系的说法中，正确的是（
）
A．它们的形状相同，开口方向也相同；
B．它们都关于y 轴对称；
C．它们的顶点不相同；
D．点
2,2
既在抛物线
2
1
2
y
x
上也在
2
1
2
y
x
上．
题型5 利用二次函数y=ax²的性质求参数
【例9】若抛物线
2
(
1)
y
a
x
（a 为常数），不经过第二象限，则a 的取值范围是_______．
【例10】已知二次函数
2 3
2
k
y
k x
，在对称轴的右侧部分，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则
k ________．
【技巧归纳】
【变式5-1】已知抛物线
2
2
y
m
x
与
2
3
2
y
x
的形状相同，并且
0
x
时，y 随x 的增大而减小，抛物
线的解析式为__________．
【变式5-2】已知
2
4
(
2)
k
k
y
k
x
是二次函数，且当
0
x
时，y 随x 的增大而增大．
（1）k 的值是_________．
（2）若
( , )
P m n 是此二次函数的图象上一点，且2
1
m
，则n 的取值范围是_________．
题型6 画二次函数y=ax²的图象
【例11】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象．
①
2
1
4
y
x
；
②
2
4
y
x
；
③
2
1
4
y
x
；
④
2
4
y
x
．
x
……
2
1
0
1
2
……
y
……
1
1
4
0
1
4
1
……
图象如下所示：
【例12】在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象：
①
2
1
2
y
x
；②
2
1
2
y
x
；③
2
2
y
x
；④
2
2
y
x
．
2
1
0
1
2
①
2
1
2
y
x
2
1
2
0
1
2
2
②
2
1
2
y
x
2
1
2
0
1
2
2
③
2
2
y
x
8
2
0
2
8
④
2
2
y
x
8
2
0
2
8
【技巧归纳】
【变式6-1】分别在同一坐标系内作出下列函数的图象．
(1)
2
1
2
y
x
，
2
1
2
y
x
；
(2)
2
3
y
x
，
2
2
y
x
，
2
1
3
y
x
．
x
4
2
0
2
4
2
1
2
y
x
8
2
0
2
8
2
1
2
y
x
8
2
0
2
8
x
2
1
0
1
2
2
3
y
x
12
3
0
3
12
2
2
y
x
8
2
0
2
8
x
6
3
0
3
6
2
1
3
y
x
12
3
0
3
12
【变式6-2】在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数
2
2
y
x
和
2
1
2
y
x
的图象，并根据图象
回答下列问题(设小方格的边长为1)：
(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2)抛物线
2
2
y
x
，当x ______时，抛物线上的点都在x 轴的上方，它的顶点是图象的最______点；
(3)函数
2
1
2
y
x
，对于一切x 的值，总有函数y ______0；当x ______时，y 有最______值是______．
题型7 二次函数y=ax²的图象和性质综合
【例13】已知抛物线
2
y
ax
经过点
1,2
，
2,m ．
(1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(2)求m 的值；
【例14】已知抛物线
2
y
ax
经过点
2, 8 .
A
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点
1, 4
B
是否在此抛物线上；
(3)求出抛物线上纵坐标为18
的点的坐标．
【技巧归纳】
【变式7-1】已知函数
2 3
2
3
m
m
y
m
x
是关于x 的二次函数．
(1)求m 的值；
(2)当m 为何值时，该函数图象的开口向下？
(3)当m 为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？
【变式7-2】如图，点
2,1
A
、
4,
B
m 在
2
y
ax
的图象上.直线AB 与y 轴交于点C，连接OA、OB .
(1)a ；m ；
(2)直线AB 的函数表达式；
(3)求
AOB
的面积；
(4)观察图象，当2
4
x
时，y 的取值范围；当3
6
x
时，y 的取值范围.
一、单选题
1．二次函数
2
y
ax
的图象经过点
2, 2
，则a 的值为（
）
A．
1
2
B．1
C．1
D．2
2．抛物线
2
2
4
4
y
x
y
x
、
不相同的是（
）
A．形状大小
B．开口方向
C．对称轴
D．顶点坐标
3．关于函数
2
3
y
x
，下列说法正确的是（
）
A．无论x 取何值，
0
y
B．其图象的对称轴是y 轴
C．y 随x 的增大而减小
D．其图象在第二、四象限
4．如图，四边形OABC 是正方形，且点A 、C 恰好在抛物线
2
y
x
=
上，点B 在y 轴上，则OB 的长为（
）
A．2
B．2 2
C．4
D．
2
2
5．如图，
ABC
的三个顶点的坐标分别为
1,1
A
，
3,1
B
，
,4
C a
将
ABC
进行平移，平移后的
ABC
的
三个顶点都在抛物线
2
y
x
=
上，则a 的值是（
）
A．2
B．2
C．2 或2
D．0 或4
二、填空题
6．根据函数图象填空：
（1）抛物线
2
3
y
x
的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x 轴
的上方；
（2）抛物线
2
1
3
y
x
的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x 轴的________方，它的顶点是抛
物线上的最________点．
7．已知点
1
1, y
，
2
2, y
，
3
3, y
都在函数
2
2
y
x
的图象上，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系为______．
8．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数
2
1
3
y
x
与
2
1
3
y
x
的图
像，则阴影部分的面积是_____．
9．已知抛物线
2
1
4
y
x
的顶点为坐标原点O，过O作两条互相垂直的直线分别与抛物线交
2
1
4
y
x
于点A 、
B ，连接AB ．求AB 边上的高的最大值为___________．
10．二次函数
2
y
x
=
的图象如图所示，点
0
B 位于坐标原点，点
1
B ，
2
B ，…，
n
B 在y 轴的正半轴上，点
1A ，
2
A ，…，n
A ，点
1
C ，2
C ，…，n
C 在二次函数的图象上，四边形
0
1
1
1
B A B C ，四边形
1
2
2
2
B A B C ，…，四边形
1
n
n
n
n
B
A B C
－
都是正方形，则正方形
1
n
n
n
n
B
A B C
－
的周长为______．
三、解答题
11．已知二次函数
2
y
ax
图像经过点
2 3
P ，．
(1)判断这个函数图像的开口方向；
(2)点
2,
Q
m 在这个函数图像上，求m 的值．
12．如图，二次函数
2
0
y
ax
a
的图象经过点
4,4
，过点
0,1
F
作x 轴的平行线交该二次函数的图象
于M
N
、
两点．
(1)求二次函数的解析式；
(2) P 为平面内一点，当PMN
是等边三角形时，求点P 的坐标．
13．已知函数
2
4
2
m
m
y
m
x
是y 关于x 的二次函数.
(1)求满足条件m 的值；
(2)当m 为何值时，此抛物线有最低点？这时，当x 取何值时，y 随x 的增大而减小；
(3)当m 为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大.
14．如图，点A，B 在抛物线
2
1
4
y
x
上．已知点A，B 的横坐标分别为2
，4，直线AB 与y 轴交于点C ．
(1)求直线AB 的函数解析式；
(2)在x 轴上找一点P，使PA
PC
的值最小，请求出此时点P 的坐标及PA
PC
的最小值．
15．用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点
法画函数
2
1
2
y
x
的图象，并按照要求回答下列问题：
x
…
3
2
1
0
1
2
3
…
y
…
4.5
0.5
0
2
4.5
…
(1)补齐上表；
(2)在所给坐标系内描出表格中的点；
(3)将上述各点用平滑曲线连线．
(4)由图象可知：当
4
x
时，y ；当
2
y
时，x 的取值范围是．
16．在平面直角坐标系中，对于点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，若满足
1
2
1
2
y
y
t x
x
，则称A ，B 两点互为“t
倍点”．
(1)已知直线
2
3
y
x
上的点B 是点A 的“2 倍点”，
①若点A 在x 轴上，求点A 的横坐标．
②若点A 在抛物线
2
y
x
=
上，求点A 的坐标．
(2)已知
2,0
A
，若在抛物线
2
2
8
y
x
x
上存在唯一的点B 是点A 的“t 倍点”，求t 的值．
