第14 讲反比例函数的图象和性质
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断(画)反比例函数图象
题型2 已知反比例函数的图象判断其解析式
题型3 判断反比例函数所在象限
题型4 判断反比例函数的增减性
题型5 已知反比例函数分布的象限求参数范围
题型6 已知反比例函数的增减性求参数
题型7 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
题型8 比较反比例函数值或自变量的大小
题型9 判断反比例函数的图象和性质
题型10 反比例函数的图象和性质综合
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
双曲线、象限、增减性、
k>0、k<0、每个象限
内、数形结合。
1. 会用描点法画出反比例函数y =
�
�（k≠0）的图象，知道其形状是双曲线。
2. 掌握反比例函数图象的性质：当k > 0 时，图象在一、三象限；当k < 0 时，
图象在二、四象限。
3. 理解反比例函数的增减性：在每个象限内，y 随x 的增大而减小（k>0）或
增大（k<0）。
4. 体会数形结合、分类讨论的数学思想，能根据图象比较函数值的大小。
学习重点:反比例函数图象的形状、位置及增减性，特别是k 的正负对图象的影响。
学习难点:理解“在每个象限内”这一前提条件，并能正确运用增减性比较不同象限内函数值的大小。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 反比例函数的图象与性质
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
【易错提醒】
图象为双曲线，分两支。\(k>0\) 在一三象限，k<0 在二四象限。每个象限内y 随x 增大而减小（或增大），
注意“每个象限内”前提，勿跨象限比较。
即时即练1．关于反比例函数
2025
y
x
，下列说法正确的是（
）
A．图象在第一、三象限
B．图象与x 轴有一个交点
C．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
D．如果点
1
1,
A
y
和点
2
3,
B
y
均在该函数的图象上，那么
1
2
y
y
【答案】D
【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限
函数
k
图象
所在象限
增减性
k
y
x
0
k
k
为常数，
0
k
一、三象限
,x y同号
在同一象限内，y
随x 的增大而减小
0
k
二、四象限
,x y异号
在同一象限内，y
随x 的增大而增大
k 越大，函数图象越远离坐标原点
【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质.根据反比例函数解析式为
2025
y
x
，
2025
0
k
，即
可得到反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y 随x 增大而增大，由此即可判断．
【详解】解：∵反比例函数解析式为y=−
2025
�，
2025
0
k
，
∴图象与x 轴无交点，故B 选项不符合题意；
∴反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y 随x 增大而增大，故A 选项不符合题意；
∴当
0
x
时，y 随x 的增大而增大，故C 选项不符合题意；
∴如果点
1
1,
A
y
和点
2
3,
B
y
均在该函数的图象上，那么
1
2
y
y
，
故选：D．
2．已知反比例函数
1
k
y
x
，k 为常数，
1
k ．
(1)若在这个函数图象的每一支上，y 随x 的增大而增大，求k 的取值范围；
(2)若
17
k
，试判断点
8,2
B
，
4,5
C
是否在这个函数图象上，并说明理由．
【答案】(1)
1
k
(2)点
8,2
B
在这个函数图象上，
4,5
C
不在这个函数图象上，理由见解析
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数值
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）根据在这个函数图象的每一支上，y 随x 的增大而增大，得到
1
0
k
，进行求解即可；
（2）根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，进行判断即可．
【详解】（1）解：在函数
1
k
y
x
的每一支上，y 随x 的增大而增大，
1
0
k
，
1
k
．
（2）点
8,2
B
在这个函数图象上，
4,5
C
不在这个函数图象上，
理由：
17
k
，
1 16
k
．
这个函数的表达式为
16
y
x
，
∵8 2
16
，
点
8,2
B
在这个函数图象上，
当
4
x
时，
4
y
，
点
4,5
C
不在这个函数图象上．
3．如图，点A 在反比例函数
0
k
y
k
x
的图象上，AB
y
轴于点B ，AC
x
轴于点C ，且矩形ABOC 的
面积为8．
(1)求k 的值；
(2)若点
1,
P
m ，
,
Q t n 是该反比例函数图象上的两点，若m
n
，求t 的取值范围．
【答案】(1)8
(2)
0
t
或
1
t
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、已知反比例函数的增减性求参数
【分析】（1）先根据反比例函数k 的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k 的值；
（2）先写出反比例函数的表达式，再求出P 点的坐标，然后分“点Q 在第一象限”、“点Q 在第三象限”两种
情况，分别求出当m
n
时t 的取值范围．
【详解】（1）解：∵点A 在反比例函数
0
k
y
k
x
的图象上，AB
y
轴于点B ，AC
x
轴于点C ，且矩
形ABOC 的面积为8，
∴
8
ABOC
S
k
矩形
，
8
k
，
反比例函数的图象位于第一、三象限，
0
k
，
8
k
；
（2）
8
k
，
∴反比例函数的表达式是
8
y
x
，
∵点
1,
P
m 在该反比例函数
8
y
x
的图象上，
8
8
1
m
，
1,8
P
，
点P 在第一象限．
分情况讨论：
①当点Q 在第一象限时，
y
随x 的增大而减小，
当m
n
时，
1
t ；
②当点Q 在第三象限时，
0
n ，
n
m
，符合题意，此时
0
t
．
综上所述，t 的取值范围是
0
t
或
1
t ．
题型1 判断(画)反比例函数图象
【例1】函数
5
y
x
的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案．
【详解】解：∵函数解析式为
5
y
x
，
∴该函数为反比例函数，图像为双曲线，
∵5
0
，
∴图像在一、三象限，
∴四个选项中，只有B 选项符合题意，
故选：B．
【例2】函数
3
y
x
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量x
y
，之间的对应关系可以
表示成
k
y
x
（k 为常数，
0
k
）的形式，那么称y 是x 的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当
0
k
时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当
0
k
时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟
练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定
3
y
x
为反比例函数，由
3
0
k
，即可得到答案．
【详解】解：根据定义，
3
y
x
为反比例函数
∵
3
0
k
∴两支曲线分别位于第二、四象限内
故选A．
【技巧归纳】
图象为双曲线，两支关于原点对称。k>0 时在一三象限，k<0 在二四象限。画草图：列表取点（如x=±1,±2,
±...），描点连线，渐近线为坐标轴。注意图象无限接近坐标轴但不相交。
【变式1-1】函数
2
y
x
在平面直角坐标系中的图形可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式可得反比例函数的图象在第二、四象限，即
可得解．
【详解】解：∵函数
2
y
x
，
2
0
k
，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，
故选：C．
【变式1-2】一个三角形花坛的面积是
2
6m ，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，
此函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的
面积公式，得到一边a 和高h 之间的关系式，再结合h 的范围逐项判断即可．
【详解】解：由题意得1
6
2 ah
，
∴a 与h 的函数关系式为
12
a
h
，
∴此函数是一个以h 为自变量的反比例函数，
边上的高为h ，
∴
0
h
，
故选：B．
题型2 已知反比例函数的图象判断其解析式
【例3】反比例函数
0
k
y
k
x
的图象如图所示，则k 的值可能是（
）
A．5
B．10
C．5
D．1
【答案】A
【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据
2 2
4
3
3
9
,
，且4
9
k
，即可作答．
【详解】解：∵
2 2
4
3
3
9
,
，
结合图象，得4
9
k
，
故选：A
【例4】如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（
）
A．
4
x
y
B．
4
y
x
C．
4
y
x
D．
2
4
y
x
【答案】C
【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式
【分析】本题考查了反比例函数的图象，了解反比例函数的图象与系数的关系是解答本题的关键．
根据函数的图象的形状和所处的位置判断即可．
【详解】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象，
∵图象位于第二、四象限，
∴对应的函数的解析式可能是
4
y
x
．
故选：C．
【技巧归纳】
根据图象所在象限判断k 的正负：一三象限k>0，二四k<0。取图象上一点坐标（非原点），代入y=k/x 得
k=xy。也可利用对称性，或由与坐标轴所围矩形面积|k|确定解析式。注意双曲线渐近线。
【变式2-1】如图所示，该函数表达式可能是（
）
A．
2
3
y
x
B．
3
y
x
C．
3
y
x
D．
3
y
x
【答案】C
【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式
【分析】本题考查了反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键，由图象可知，反比例
函数
0
k
，然后对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由图象可知，反比例函数
0
k
，
A 中
2
3
y
x
不是反比例函数，故不符合要求；
B 中
3
y
x
是反比例函数，但不经过第二、第四象限，故不符合要求；
C 中
3
y
x
是反比例函数，经过第二、第四象限，故符合要求；
D 中
3
y
x
不是反比例函数，故不符合要求；
故选：C．
【变式2-2】如图所示，其函数解析式可能是（
）
A．
2
2
y
x
B．
6
y
x
C．
6
y
x
D．
3
y
x
【答案】B
【知识点】判断（画）反比例函数图象
【分析】本题考查的是反比例函数的图象，根据反比例函数的图象进行解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∴
0
k
，
∴可能是
6
y
x
．
故选：B．
题型3 判断反比例函数所在象限
【例5】反比例函数
2
3
y
x
的图像在第
象限，经过点（4
，
）．
【答案】
二、四
1
6
【知识点】判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查了反比例函数的性质，
k
y
x
，当
0
k
时，图像在一、三象限，当
0
k
时，图像在二、
四象限，正确掌握该性质是解题的关键．
根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：∵反比例函数
2
3
y
x
中
2
0
3
k
，
∴其图像在二，四象限．
将
4
x 代入
2
3
y
x
得，
2
2
1
( 3) ( 4)
12
6
y
，
∴经过点
1
4, 6
．
故答案为：二、四；1
6 ．
【例6】反比例函数①
1
y
x
、②
4
y
x
、③
2
3
y
x
、④2
1
xy 的图像，在第一、三象限的是
，
在第二、四象限的是
．
【答案】
①④
②③
【知识点】判断反比例函数图象所在象限
【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键；由反
比例函数
0
k
y
k
x
的性质可知：当
0
k
时，图象分别位于第一、三象限；当
0
k
时，图象分别位于第
二、四象限，，然后问题可求解．
【详解】解：①
1
0
k
，图像在第一、三象限；
②
4
0
k
，图像在第二、四象限；
③
2
0
3
k
，图像在第二、四象限；
④
2
1
xy
，
1
2
y
x
，
1
0
2
k
，图像在第一、三象限．
答案是∶①④；②③．
【技巧归纳】
由k 符号决定：k>0，图象在一三象限；k<0，在二四象限。注意|x|和|y|越大，点离轴越远。k 绝对值大小不
影响象限，只影响弯曲程度。实际问题中根据变量乘积正负判断。
【变式3-1】反比例函数①
2
y
x
、②
1
3
y
x
、③
10
7
y
x 、④
3
100
y
x 的图象中，在第一、三象限的
是
，在第二、四象限的是
；
【答案】
①②④
③
【知识点】判断反比例函数图象所在象限
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，对于反比例函数
0
k
y
k
x
来说，当
0
k
时，反比例函数
图象分别位于第一、三象限，当
0
k
时，反比例函数图象分别位于第二、四象限．据此进行判断即可．
【详解】解：反比例函数①
2
y
x
、②
1
3
y
x
、③
10
7
y
x 即
10
7
y
x
、④
3
100
y
x 的图象中，
∵
1
10
3
2
0,
0,
0,
0
3
7
100
，
∴在第一、三象限的是①②④，在第二、四象限的是③；
故答案为：①②④，③
【变式3-2】关于x 的方程
2
2
1
0
kx
x
无解，则反比例函数
k
y
x
的图象在第
象限．
【答案】一、三
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、判断反比例函数图象所在象限
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质．根据一元二次方程根的判别式，求得
1
k ，
再判断反比例函数
k
y
x
图象所在象限即可．
【详解】解：∵关于x 的方程
2
2
1
0
kx
x
无解，
4
4
0
k
，
解得：
1
k ，
∴反比例函数
k
y
x
图象在第一，三象限，
故答案为：一，三．
题型4 判断反比例函数的增减性
【例7】在函数
3
0
y
x
x
中，函数值y 随x 的增大而
．
【答案】减小
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据
0
k
y
k
x
在每一象限内，函数值y 随x 的增大而减小可
得答案．
【详解】解：在函数
3
0
y
x
x
中，函数值y 随x 的增大而减小，
故答案为：减小
【例8】函数
2
3
y
x
中，在每个象限内，y 随x 的增大而
．
【答案】增大
【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知对于反比例函数
0
k
y
k
x
，当
0
k
时，图象在每一象限内，y 随x 增大而减小，当
0
k
时，图象在每一象限内，y 随x 增大而增大．据此即可
求解．
【详解】解：∵函数
2
3
y
x
中，
2
0
3
k
，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．
故答案为：增大．
【技巧归纳】
在每个象限内：k>0 时，y 随x 增大而减小；k<0 时，y 随x 增大而增大。注意“在每个象限内”前提，跨
象限不能直接比较。比较函数值时，若两点同象限用增减性，异象限则负数<正数（k>0）。
【变式4-1】若点
1,3 在反比例函数
k
y
x
的图象上，在图象的每一支上，y 随x 的增大而
．（填
“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据解析式判断反比例函数的增减性，掌握反比例函数的图象
与性质是解题的关键．
待定系数法求反比例函数解析式可得k 的值，根据
0
k
即可得增减性．
【详解】解：∵点
1,3 在反比例函数= k
y
x 的图象上
∴3
1
k
，
即=3
k
；
又∵
3
0
k
∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小．
故答案为：减小．
【变式4-2】下列函数：①
2
1
y
x
；②
3
y
x
；③
0.5
xy
；④
2
2
5
0
m
m
y
x
x
；⑤
2
y
x
．随x 的
增大而减小的是
（填序号）．
【答案】①④
【分析】本题综合考查一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），分别根据一次函数的性
质、反比例函数及二次函数的性质对各小题进行逐一解答即可．
【详解】解：①
2
1
y
x
，是一次函数，
0
k
，故y 随着x 增大而减小，故符合题意；
②
3
y
x
，是正比例函数，
0
k
，故y 随着x 增大而增大，故不符合题意；
③
0.5
xy
即
1
2
y
x
，是反比例函数，1
0
2
，在一、三象限内，y 随x 的增大而减小，故不符合题意；
④
2
2
5
0
m
m
y
x
x
是反比例函数，
2
2
2
5
1
4
0
m
m
m
，在第三象限内，y 随x 的增大而减小，
故符合题意；
⑤
2
y
x
，是反比例函数，2
0
，在二、四象限内，y 随x 的增大而增大，故不符合题意．
故答案为：①④．
题型5 已知反比例函数分布的象限求参数范围
【例9】若反比例函数
| |
1
m
y
m
x
的图象经过第二、四象限，则m=
．
【答案】1
【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质根据反比例函数的定义和图像经过的象限
确定即可确定m 的值．
【详解】解：∵
| |
1
m
y
m
x
是反比例函数，
∴
1
m
，即
1
m ，
∵函数图像经过第二、四象限，
∴
1
0
m
，即
1
m ，
∴
1
m ．
故答案为1
．
【例10】若反比例函数
5
k
y
x
的图象位于第一、三象限，则实数k 的值可能为
（写出一个即
可）．
【答案】6（满足
5
k 即可）
【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数
0
k
y
k
x
的性质：
当
0
k
时，图象在一、三象限，；当
0
k
时，图象在二、四象限．
【详解】解：∵反比例函数
5
k
y
x
的图象位于第一、三象限，
∴
5
0
k
，
∴
5
k
，
∴符合题意的k 的值可以为6，
故答案为：6（满足
5
k
即可）．
【技巧归纳】
由分布象限确定k 的符号：一三象限k>0，二四k<0。若解析式为y=(m-1)/x，则m-1>0 得m>1。注意参数
也可能影响定义域或分母非零。解不等式，最终写出参数范围，可结合具体增减性。
【变式5-1】若反比例函数
2
m
y
x
的图象经过第二、四象限，则m 的取值范围是
．
【答案】
2
m
【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数
0
k
y
k
x
：当
0
k
时，图象位于第一、三象限；当
0
k
时，图象位于第二、四象限．
【详解】解：由题意得
2
0
m
，
解得
2
m
．
故答案为：
2
m
.
【变式5-2】已知反比例函数
3
k
y
x
（k 为常数，且
3
k
）的图象在第一、三象限．
(1)求k 的取值范围；
(2)若点
2,5 在该反比例函数的图象上，求k 的值．
【答案】(1)
3
k
(2)
13
k
【知识点】求反比例函数解析式
【分析】本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，
掌握函数图象与系数的关系是解题的关键．
（1）由反比例函数图象和性质尽快求出k 的取值范围；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出k 的值．
【详解】（1）解：∵反比例函数
3
k
y
x
（k 为常数，且
3
k
）的图象在第一、三象限，
∴
3
0
k
，
解得，
3
k ；
（2）∵点
2,5 在该反比例函数的图象上，
∴
3
2 5
k
，
解得，
13
k
．
题型6 已知反比例函数的增减性求参数
【例11】反比例函数
3
k
y
x
的图象在每个象限内的函数值y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是
．
【答案】
3
k
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图象在每个象限内的函数值y 随自变量x 的增大
而减小，得出
3
0
k
，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数
3
k
y
x
的图象在每个象限内的函数值y 随x 的增大而减小，
∴
3
0
k
，
解得
3
k ，
故答案为：
3
k ．
【例12】已知点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
为反比例函数
1
m
y
x
图象上的两点，当
1
2
0
x
x
时，
1
2
y
y
，则m
的取值范围为
．
【答案】
1
m
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数
【详解】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m 的不等式，
从而可以求得m 的取值范围．
【点睛】解：∵反比例函数
1
m
y
x
的图象上两点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，当
1
2
0
x
x
时，
1
2
y
y
，
∴
1
0
m
，
解得
1
m ，
故答案为：
1
m ．
【技巧归纳】
增减性：在每个象限内，y 随x 增大而减小→k>0；增大而增大→k<0。若解析式含参数，列不等式（如y=(m-2)/x，
减小则m-2>0→m>2）。注意参数可能出现在分母或被开方数，需额外限制。
【变式6-1】已知点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
为反比例函数
1
2m
y
x
图象上的两点，当
1
2
0
x
x
时，
1
2
y
y
，则
m 的取值范围为
．
【答案】
1
2
m
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数
【分析】根据
1
2
0
x
x
，且
1
2
y
y
，得到
0
k
，解答即可．
本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据
1
2
0
x
x
，且
1
2
y
y
，
∴
0
k
即1 2
0
m
，
解得
1
2
m
，
故答案为：
1
2
m
．
【变式6-2】已知反比例函数
2
k
y
x
．
(1)若该函数经过
1,3 ，求k 的值；
(2)若该函数图象的每一支上，y 都随x 的增大而减小，求k 的取值范围．
【答案】(1)
5
k
(2)
2
k
【知识点】求反比例函数解析式、已知反比例函数的增减性求参数
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题．
（1）利用待定系数法求解；
（2）构建不等式求解即可．
【详解】（1）解：由题意，把
1,3 代入解析式
2
k
y
x
，
得，
2
3
1
k
，
解得，
5
k
；
（2）解：函数图象的每一支，y 随x 的增大而减小，
2
0
k
，
解得，
2
k
．
题型7 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
【例13】已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点
5
1, 3
，那么这两个函数图象必都经过另一个点
的坐标为
．
【答案】
5
1,
3
【知识点】正比例函数的性质、由反比例函数图象的对称性求点的坐标
【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例
函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键．
根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可．
【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称，
∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为
5
1,
3
，
故答案为：
5
1,
3
．
【例14】在平面直角坐标系xOy 中，若点
2,4 是函数
1
1
0
y
k x k
和
2
2
0
k
y
k
x
的图象的一个交点，
则这两个函数图象的另一个交点的坐标是
．
【答案】
2, 4
【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数
1
1
0
y
k x k
和反比例函数
2
2
0
k
y
k
x
的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案．
【详解】解：∵正比例函数
1
1
0
y
k x k
和反比例函数
2
2
0
k
y
k
x
的图象的两个交点关于原点对称，
∴由一个交点的坐标是
2,4 ，可得另一个交点的坐标是
2, 4
，
故答案为：
2, 4
．
【技巧归纳】
反比例函数关于原点中心对称，若点(a,b)在图象上，则(-a,-b)也在。也关于直线y=x 和y=-x 对称。利用对称
性可求未知点坐标：如已知一点，关于原点对称得另一点；关于y=x 对称则交换坐标。
【变式7-1】如图，直线
0
y
mx m
＜
与双曲线
k
y
x
交于A，B 两点，AH
y
轴于点H，若AHB
的面积
为5，则k 的值为
．
【答案】5
【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】此题主要考查反比例函数的图像和性质，直接根据反比例函数的对称性和k 的几何意义即可求解.
【详解】解：根据反比例函数的对称性可知
AOH
BOH
S
S
，
∵AHB
是面积为5，
∴AOH
的面积是2.5，
∴1 |
| 2.5
2 k
，
∵双曲线位于二、四象限，
∴k＝5
．
故答案为：5
.
题型8 比较反比例函数值或自变量的大小
【例15】已知点
1
1
,
P x y
、
2
2
,
Q x
y
、
3
3
,
M x y
在反比例函数
9
y
x
的图象上，并且
1
2
3
0
x
x
x
，则
1y 、
2y 、
3y 的大小关系为
（用<号表示）
【答案】
3
1
2
y
y
y
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟悉掌握反比例函数的增减性是解题关键．
在反比例函数
9
y
x
中，
9
0
k
，根据反比例函数的增减性即可确定．
【详解】∵在反比例函数
9
y
x
中，
9
0
k
，
∴在每一个象限内，y 随着x 增大而增大，
∵
1
2
3
0
x
x
x
，
∴P 、Q 两点在第二象限，M 在第三象限，
∴
1
2
0
y
y
，
3
0
y
，
∴
3
1
2
y
y
y
．
故答案为：
3
1
2
y
y
y
．
【例16】若
2
1
a
y
x
图象上有三个点
1
2
3
1
1
3,
,
,
,
,
4
4
y
y
y
，则
1,
2,
3
y y y 大小关系是（
）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
3
2
1
y
y
y
C．
3
1
2
y
y
y
D．
2
1
3
y
y
y
【答案】C
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵
2
0
a
，
∴
2
1
0
a
，
∴
2
1
0
a
，
∴反比例函数
2
1
a
y
x
的图象过二，四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，
∵点
1
2
3
1
1
3,
,
,
,
,
4
4
y
y
y
在反比例函数图象上，且
1
1
3
0
4
4
，
∴
3
1
2
0
y
y
y
；
故选C．
【技巧归纳】
先判断两点是否在同一象限，同象限用增减性比较；异象限时，若k>0，负函数值<正函数值；若k<0，正
函数值<负函数值。也可直接计算y 值比较，注意x≠0。数形结合更直观。
【变式8-1】反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
2,a
，
1,b
，
3,c ，则a ，b ，c 的大小关系
为
．
【答案】c
a
b
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可．
【详解】解：由题意，反比例函数
0
k
y
k
x
的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y 随x 的增大
而减小，
∵反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
2,a
，
1,b
，
3,c ，2
1
0
3
，
∴
0
c
a
b
，
故答案为：c
a
b
．
【变式8-2】已知点
1
2, y
，
2
1, y
，
3
3, y
在函数
6
y
x
的图象上，比较
1y ，
2y ，
3y 大小
（用
“”连接）．
【答案】
2
1
3
y
y
y
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征．函数图像上点坐标都满足该函数解析式．把点的坐
标分别代入函数解析式，代入函数解析式，求得
1y 、
2y 、
3y 的值，然后比较它们的大小即可．
【详解】解：点
1
2, y
，
2
1, y
，
3
3, y
在函数
6
y
x
的图象上，
1
6
3
2
y
，
2
6
6
1
y
，
3
6
2
3
y
2
1
3
y
y
y
故答案为：
2
1
3
y
y
y
．
题型9 判断反比例函数的图象和性质
【例17】关于反比例函数
5
y
x
，下列说法中正确的是（
）
A．图象位于第一、三象限
B．图象与坐标轴没有交点
C．图象是一条直线
D．y 的值随x 的值增大而减小
【答案】B
【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限
【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据反比例函数解析式得到反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限y
随x 的增大而增大，由此即可求解．
【详解】解：反比例函数
5
y
x
，
∵5
0
，
∴反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限y 随x 的增大而增大，
∴只有B 选项符合题意，
故选：B ．
【例18】关于反比例函数
2
y
x
，下列说法错误的是（
）
A．图像经过点
1,2
B．图像位于第一、三象限
C．当
0
x
时，y 随x 的增大而增大
D．当
1
x 时，0
2
y
【答案】C
【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解并掌握反比例函数的图像及性质是解题关键．根
据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：对于反比例函数
2
y
x
，当
1
x 时，可有
2
y
，
即图像经过点
1,2 ，
因为
2
0
k
，所以图该函数像位于第一、三象限，当
0
x
时，y 随x 的增大而减小，
当
1
x 时，0
2
y
，
故选项A、B、D 正确，不符合题意，选项C 错误，符合题意．
故选：C．
【技巧归纳】
k 定象限：k>0 在一三，k<0 在二四；k 定增减：一三象限减，二四增。图象无限接近轴但不相交，关于原
点对称。|k|决定弯曲程度：|k|越大，离轴越远。解题结合草图。
【变式9-1】已知反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
3,4 ，则下列描述正确的是（
）
A．图象位于第二、四象限
B．y 的值随x 的值增大而增大
C．当
0
y
时，
0
x
D．点
6,2 在该图象上
【答案】D
【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，
先求出关系式，再根据反比例函数图象的性质逐个分析即可.
【详解】解：∵反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图象经过点(3,4) ，
∴
3 4
12
k
，
∴反比例函数的关系式为
12
y
x
.
所以反比例函数的图象位于第一，三象限；在每一个象限内，函数值y 随着x 的增大而减小；当
0
y
时，
0
x
；
当
6,
2
x
y
时，
6 2
12
k
，可知点(6,2) 在反比例函数
12
y
x
的图象上，
所以正确的是D，
故选：D.
【变式9-2】已知反比例函数
(
0)
k
y
k
x
，则下列结论不正确的是（
）
A．反比例函数的图象分别位于第二、四象限
B．图象关于原点
0,0 成中心对称
C．若
1
1
,
x
y
、
2
2
,
x
y
为函数图象上两点，且
1
2,
x
x
则
1
2
y
y
D．图象关于直线y
x
成轴对称
【答案】C
【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可，掌握反比
例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：A 、∵反比例函数
(
0)
k
y
k
x
，
∴反比例函数的图象分别位于第二、四象限，原选项正确，不符合题意；
B 、图象关于原点
0,0 成中心对称，原选项正确，不符合题意；
C 、若
1
1
,
x y
、
2
2
,
x
y
为函数图象上两点，当
1
2
0
x
x
，则
1
2
0
y
y
，当
1
2
0
x
x
，则
1
2
0
y
y
；当
1
2
0
x
x
，则
2
1
0
y
y
，原选项不正确，符合题意；
D 、图象关于直线y
x
成轴对称，原选项正确，不符合题意；
故选：C ．
题型10 反比例函数的图象和性质综合
【例19】已知反比例函数
2
6
a
y
x
（a 为常数）．
(1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a 的取值范围；
(2)当
0
x
时，y 随x 的值增大而减小，求a 的取值范围．
【答案】(1)
3
a ；
(2)
3
a ．
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）由反比例函数
2
6
a
y
x
的图象位于第二、四象限，得到2
6
0
a
，即可求解；
（2）当
0
x
时，y 随x 的值增大而减小，得到2
6
0
a
，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数
2
6
a
y
x
的图象位于第二、四象限，
2
6
0
a
，
解得：
3
a ，
∴a 的取值范围是：
3
a ；
（2）解：∵当
0
x
时，y 随x 的值增大而减小，
2
6
0
a
，
解得：
3
a ，
∴a 的取值范围是：
3
a ．
【例20】（1）画出函数
6
0
y
x
x
的图象．
①列表：
x
…
6
5
4
3
2
1
…
y
…
…
②描点并连线．
（2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当x 由小变大时
6
0
y
x
x
随之
______．（填“变大”或“变小”）
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）上升；变大
【知识点】判断反比例函数的增减性、判断（画）反比例函数图象
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，画反比例函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性
质．
（1）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象；
（2）根据反比例函数的性质进行求解即可．
【详解】解：（1）列表：
x
…
6
5
4
3
2
1
…
y
…
1
6
5
3
2
2
3
6
…
函数图象如答图：
（2）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当x 由小变大时
6
0
y
x
x
随之变大．
故答案为：上升；变大．
【技巧归纳】
综合应用：由一点坐标求k；利用面积定k；由增减性、象限求参数；比较函数值；与一次函数综合求交点、
面积。常用数形结合，注意自变量的取值范围（实际意义或分母≠0），利用对称性简化。
【变式10-1】探究函数
4
2
y
x
的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究．请补充完
整：
(1)函数
4
2
y
x
的自变量x 的取值范围是______；
(2)取几组y 与x 的对应值，填写在表中，其中m ______；
x
…
7
6
4
3
1
0
2
3
…
y
…
0.8
1
2
4
4
m
1
0.8
…
(3)如图，根据（2）中表里各组对应值
x
y
，
，请把图象补充完整；
(4)若
P a
t
Q b
t
，，
，
是函数
4
2
y
x
图象上的两点，则a
b
______．
【答案】(1)
2
x
(2)2
(3)见解析
(4) 4
【分析】（1）只需要求出分母不为0 时自变量的取值范围即可；
（2）把
0
x
代入函数解析式求出y 的值即可；
（3）先描点，再连线，画出函数图象即可；
（4）根据函数图象可得P、Q 关于直线
2
x 对称，由此可得答案．
【详解】（1）解：由题意得，函数
4
2
y
x
的自变量x 的取值范围是
2
0
x
，即
2
x ，
故答案为：
2
x ；
（2）解：在
4
2
y
x
中，当
0
x
时，
4
4
2
0
2
2
y
，
∴
2
m
，
故答案为：2；
（3）解：如图所示，即为所求；
（4）解：由函数图象可知，函数
4
2
y
x
的函数图象关于直线
2
x 对称，
∵
P a
t
Q b
t
，，
，
是函数
4
2
y
x
图象上的两点，
∴P、Q 关于直线
2
x 对称，
∴
2
2
a
b
，
∴
4
a
b
，
故答案为：4
．
【变式10-2】学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数
性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数
4
1
y
x
的图象性质．
(1)列表：y 与x 的部分对应值如表，则a _____，b _____；
x
．．．
4
3
2
．．．
0
1
2
3
．．．
y
．．．
4
3
a
4
．．．
4
2
b
1
．．．
(2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数
4
1
y
x
的图象；
(3)根据函数图象，发现：
①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称；
②函数
4
1
y
x
的图象可由
4
y
x
的图象向_____平移_____个单位长度得到，想象函数
1
4
2
1
y
x
的图
象，直接写出
1
2
y
时，x 的取值范围_____．
【答案】(1) 2 ，
4
3
(2)见解析
(3)①
1,0
；②左，1，
2
x 或
1
x
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，描点法画函数图象，函数图象的平移规律，与不等式的关
系等知识点．
（1）将
3
x ，
2
x
分别代入
4
1
y
x
，即可求解,a b ；
（2）由函数图象平移规律可求解该函数图象的对称中心，以及函数
4
y
x
平移的平移方式，
1
2
y
的解集
转化为
4
1
y
x
的图象在直线
4
y
下方时，对应的x 的取值范围，再结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：当
3
x 时，
4
2
3 1
a
；
当
2
x
时，
4
4
2 1
3
b
，
故答案为：2 ，
4
3
；
（2）解：作图如下：
（3）解：∵函数
4
1
y
x
的图象可由
4
y
x
的图象向左平移1 个单位长度得到，而
4
y
x
的对称中心为
0,0 ，
∴平移后的函数
4
1
y
x
图象的对称中心为
1,0
，
如图：
当
1
2
y
时，
4
2
2
1
x
，
解得：
2
x ，
∴
1
2
y
，
即
4
2
2
1
x
，
∴
4
4
1
x
，
∴不等式
4
4
1
x
的解集为函数
4
1
y
x
的图象在直线
4
y
下方时，对应的x 的取值范围，
∵对称中心为
1,0
，
∴由函数图象可得：不等式
4
4
1
x
的解集为
2
x 或
1
x ，
∴
1
2
y
时，x 的取值范围
2
x 或
1
x ，
故答案为：①
1,0
；②左，1，
2
x 或
1
x ．
一、单选题
1．若反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
3,4
，则它的图象所在的象限为（
）
A．第一、三象限B．第一、四象限
C．第二、四象限
D．第二、三象限
【答案】C
【详解】解：∵反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
3,4
∴
3
4
12
k
∵
12
0
k
∴该反比例函数的图象位于第二、四象限
2．已知反比例函数
3
m
y
x
的图象位于第二、四象限，则m 的值可能为（
）
A．0
B．
3
C．2
D．
5
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象所在象限得到比例系数的取值范围，再结合选项判断即可得到答案
【详解】解：∵反比例函数
3
m
y
x
的图象位于第二、四象限
∴反比例函数的比例系数满足
3
0
m
解得
3
m
∵
3
1.732
，选项中只有0
3
，其余选项均满足
3
m
∴m 的值可能为0
3．下列关于函数
6
y
x
的说法正确的是（
）
A．函数图象位于第一、第三象限
B．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
C．当
2
x 时，
3
y
D．点
2,3
和点
3, 2
都在函数图象上
【答案】D
【分析】根据反比例函数
k
y
x
的图象与性质，结合点在函数图象上的判断方法，逐一判断各选项即可.
【详解】解：对于函数
6
y
x
，
6
0
k
，
函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大；
对A，函数图象位于第二、四象限，不在第一、三象限，A 错误；
对B，当
0
x
时，y 随x 的增大而增大，不是减小，B 错误；
对C，当
2
x 时，包含
0
x
，此时
6
0
3
y
x
，因此
3
y
不成立，C 错误；
对D，将
2
x 代入解析式，得
6
3
2
y
，
点
2,3
在函数图象上；
将
3
x
代入解析式，得
6
2
3
y
，
点
3, 2
在函数图象上，D 正确.
4．已知点
1
,
A m y
，
2
1,
B m
y
都在反比例函数
2
1
k
y
x
（k 为常数）的图象上，当1
0
m
时，则下
列结论一定正确的是（
）
A．
1
2
0
y
y
B．
1
2
0
y
y
C．
1
2
0
y
y
D．
1
2
0
y
y
【答案】C
【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限和增减性，再结合m 的范围判断两个
点的位置，进而得到
1y 和
2y 的符号关系．
【详解】解：∵对任意实数k ，都有
2
0
k
，
∴
2
1
0
k
，
∴反比例函数
2
1
k
y
x
的图象位于第一、三象限，
∵1
0
m
，可得
0
1
m
m
，
∴点A 在第三象限，点B 在第一象限，
∴
2
1
0,
0
y
y
<
>
，
∴
1
2
0
y
y
，
故选C．
5．在同一直角坐标系中，函数y
kx
k
与
2k
y
x
（
0
k
）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分两种情况当
0
k
或
0
k
时，函数图象所经过的象限进行判断即可.
【详解】解：当
0
k
时，y
kx
k
的图象经过一、三、四象限，
2k
y
x
的图象经过一、三象限，B 符合题
意；
当
0
k
时，y
kx
k
的图象经过一、二、四象限，
2k
y
x
的图象经过二、四象限，A,C,D 不符合题意.
二、填空题
6．已知反比例函数
5
y
x
，当
1
x 时，y 的取值范围是_______．
【答案】
0
5
y
【分析】本题考查反比例函数的性质．根据反比例函数的系数确定出增减性，然后结合x 的范围即可求解y
的取值范围．
【详解】解：将
1
x 代入
5
y
x
，得
5
5
1
y
．
5
0
k
，
反比例函数的图象位于第二，四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大．
当
1
x 时，函数图象位于第二象限，此时
0
y
，
y 的取值范围是0
5
y
．
7．已知反比例函数
1
2k
y
x
（k 为常数），在各象限内y 的值随x 的值增大而增大，则k 的值可以是_____．
（只
写一个）
【答案】1（大于
1
2 的数均可）
【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数
0
m
y
m
x
的性质，当
0
m
时，在各象限内y 随x
的增大而增大是解题关键，根据题意列出关于k 的不等式，求解得到k 的取值范围，任取范围内一个值即可．
【详解】解：反比例函数
1
2k
y
x
（k 为常数），在各象限内y 的值随x 的值增大而增大，
1 2
0
k
，解得：
1
2
k
，
k
的值可以是1（大于
1
2 的数均可）．
8．反比例函数
2
3
k
y
x
的图象在第二、四象限，则点
2,k
在第________象限．
【答案】
三
【分析】根据反比例函数图象所在象限确定比例系数的符号，求出k 的取值范围，再根据点的横纵坐标符号
判断点所在象限.
【详解】解：反比例函数
2
3
k
y
x
的图象在第二、四象限，
2
3
0
k
，
解得
3
2
k
，
点
2,k
的横坐标2
0
，纵坐标
0
k
，
点
2,k
位于第三象限.
9．已知点
, 2
A a
、
4,
B
b 在反比例函数
k
y
x
（k 为常数，且
0
k
）的图象上，且
2
a
b
，则k 的值
为______．
【答案】8
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A 、B 的坐标代入反比例函数解析式，得到a 、b 与k
的关系，结合已知
2
a
b
，即可求出k 的值．
【详解】解：∵点
, 2
A a
，
4,
B
b 在反比例函数
k
y
x
的图象上，
∴
2
2
k
a
a
，
4
4
k
b
b
，
∴2
4
a
b
，
化简得
2
a
b
，
把
2
a
b
代入
2
a
b
得2
2
b
b
，
解得
2
b ，
把
2
b 代入
4
k
b
得
4
2
8
k
．
10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCO的顶点A 的坐标为
3, 2
，BC 与反比例函数
0
k
y
x
x
的图象交于点C，D，则k 的值为______．
【答案】6
【分析】分别过点A 和点C 作y 轴的垂线，垂足分别为F、E，证明
ECO
FOA
△
≌△
得到
3
2
OE
AF
CE
OF
，
，则
2,3
C
，可知k 的值．
【详解】解：如图所示，分别过点A 和点C 作y 轴的垂线，垂足分别为F、E，
∴
90
OEC
AFO
，
∵四边形ABCO是正方形，
∴
90
OC
OA
AOC
，∠
，
∴
90
EOC
ECO
EOC
FOA
∠
∠
∠
∠
，
∴
ECO
FOA
∠
∠
，
∴
AAS
ECO
FOA
≌
，
∴OE
AF
CE
OF
，
，
∵
3, 2
A
，
∴
3
2
OE
AF
CE
OF
，
，
∴
2,3
C
，
∵点C 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上，
∴
2 3
6
k
．
三、解答题
11．已知反比例函数
m
y
x
图象经过点
2,3
A
．
(1)求函数解析式；
(2)判断点
3, 2
B
是否在该函数图象上；
(3)当
0
x
时，y 随x 增大如何变化．
【答案】(1)
6
y
x
(2)点B 在该函数图象上
(3)当
0
x
时，y 随x 增大而减小
【分析】（1）利用待定系数法求出m 的值即可；
（2）利用函数图象上点的坐标特点判断即可；
（3）利用反比例函数的性质判断即可．
【详解】（1）解：把点
2,3
A
代入得
3
2
m
，解得
6
m
，
反比例函数解析式为
6
y
x
；
（2）解：当
3
x 时，
2
3
6
y ，
点
3, 2
B
在该函数图象上；
（3）解：
6
0
，
当
0
x
时，y 随x 增大而减小．
12．在平面直角坐标系中，点
,9
A a
，
12,
B
b 在反比例函数
36
0
y
x
x
的图象上．
(1)求a、b 的值；
(2)若一次函数
0
y
kx
m k
的图象也经过点A 和点B，求这个一次函数的表达式．
【答案】(1)4，3
(2)
3
12
4
y
x
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：∵点A，B 都在反比例函数
36
0
y
x
x
的图象上，
∴把x
a
，
9
y 代入
36
y
x
，得
36
9
a
，
解得
4
a
，
把
12
x
，y
b
代入
36
y
x
，得
36
12
b
，
解得
3
b
；
（2）解：由（1）得点
4,9
A
，
12,3
B
，
把
4
x
，
9
y 和
12
x
，
3
y 代入
0
y
kx
m k
，
得
9
4
3
12
k
m
k
m
解得
3
4
12
k
m
∴这个一次函数的表达式为
3
12
4
y
x
．
13．如图，在平面直角坐标系中，AB
x
∥轴，反比例函数
k
y
x
（
0
x
）的图象经过
1,3
B m
，
,6
C m
两
点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)若AC
AB
，求点A 的坐标．
【答案】(1)
6
y
x
，见详解
(2)
3,3
，见详解
【分析】（1）将B 、C 两点坐标代入反比例函数解析，利用k 值相等列方程求出m ，进而求解即可；
（2）由（1）得
B 、C 坐标，由AB
x
∥
轴设点A 坐标，然后分别表示AB 、AC 的长度，根据AC
AB
列
方程即可求得点A 的坐标．
【详解】（1）解：反比例函数
k
y
x
经过
(
1,3)
B m
，
( ,6)
C m
，
3(
1)
6
k
m
m
，
解得
1
m ，
6 1
6
k
，
反比例函数的解析式为
6
y
x
；
（2）解：由（1）得
1
m ，
(2,3)
B
，
(1,6)
C
．
AB
x
∥
轴，
点A 纵坐标为3．
如图，过点C 作CD
AB
于点D，设点A 的坐标为( ,3)
a
，则
2
AB
a
，
2
2
2
2
1
6
3
1
9
AC
a
a
．
AC
AB
，
∴
2
2
AC
AB
，
2
2
1
9
2
a
a
，
解得
3
a ，
点A 的坐标为(
)
3,3
．
14．如图，将等腰直角三角板
90
ABC
BAC
放在平面直角坐标系上，点A 的坐标为(
)
3,0 ，
5
AB
AC
，
点B 在y 轴的正半轴上，点C 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上．
(1)求直线AB 的函数解析式．
(2)求反比例函数
0
k
y
x
x
的解析式．
【答案】(1)
4
4
3
y
x
；
(2)
3
0
y
x
x
．
【分析】（1）求出B 点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作CD
x
轴于点D ，证明AOB
CDA
≌
，求出C 点坐标，进而求出函数解析式即可.
【详解】（1）解：∵点A 的坐标为(
)
3,0 ，
∴
3
OA ，
∵
5
AB
，
∴
2
2
4
OB
AB
OA
，
∴
0,4
B
，
设直线AB 的解析式为
4
y
kx
，把(
)
3,0 代入，得
4
3
k
，
∴
4
4
3
y
x
；
（2）解：作CD
x
轴于点D ，
则
90
CDA
AOB
BAC
，
∴
90
CAD
OBA
OAB
，
又∵
5
AB
AC
，
∴
AOB
CDA AAS
≌
，
∴
3,
4
CD
OA
AD
OB
，
∴
1
OD
AD
OA
，
∴
1, 3
C
，
∵点C 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上，
∴
1
3
3
k
，
∴
3
0
y
x
x
．
15．如图，点A 在反比例函数
3
0
y
x
x
的图象上，点B 在反比例函数
0,
0
k
y
k
x
x
的图象上，AB
x
轴于点M ．
(1)若点A 的横坐标为3，
2
BM
AM
，直接写出k 的值______；
(2)若
:
2: 3
AM MB
，求出此时k 的值．
【答案】(1) 6
(2) 4.5
【分析】（1）根据A 点的横坐标求出其纵坐标，结合已知条件即可求出B 点的横纵坐标，从而求出k 值．
（2）利用A 点和B 点与各自函数的关系可求出其横纵坐标的乘积，将其转化成线段关系，利用三角形的面
积公式，表示出AOM
和BOM
的面积，利用等底关系和结合
:
2: 3
AM MB
，将其面积比转化为线段比，
即可求出k 的值．
【详解】（1）解：A 横坐标是3，A 在反比例函数
3
0
y
x
x
上，
A
的纵坐标为
3
1
3
y
，
1
AM
，
2
BM
AM
2
BM
，
B
在第四象限，
B
的纵坐标为2
，
AB
x
，
A
和B 的横坐标相等，
B
的横坐标为3，
3, 2
B
，
2
3
6
k
．
（2）解：连接OA ，OB ，如图所示，
AB
x
轴，A 在反比例函数
3
0
y
x
x
上，
3
xy
，
3
AM OM
，
1
1
S
3
2
2
2
3
AOM
AM OM
，
同理，
2
BOM
k
S
，
3
:
:
3:
2
2
AOM
BOM
k
S
S
k
:
2 :3
AM MB
S
:S
:
2:3
AOM
BOM
AM MB
，
3:
2:3
k
，
4.5
k
．
0
k
，
4.5
k
．
