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专题 02 反比例函数与一次函数和几何综合
【思维导图】
◎考点题型1 一次函数与反比例函数图像综合判断
例．（2022·重庆一中八年级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 的图象与
反比例函数 的图象大致可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象所在象限，确定出a，b的符号，再根据反比例函数图象所在的象限，确定出
a，b的符号，至此找出一次函数和反比例函数a，b的符号一致的选项即可．
【详解】解：A.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b同号，故该选项错误，不符合题
意；
B.由一次函数图象知a，b同号，由反比例函数图象知a，b异号，故该选项错误，不符合题意；
C.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b异号，故该选项正确，符合题意；D.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b同号，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于确定出a，b的符号，明确
系数与函数图象的关系．
变式1．（2022·山东青岛·八年级期末）反比例函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图
象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象
限．
【详解】解：由反比例函数y= 与一次函数y=kx-3可知，
当k＞0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限，
当k＜0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过二、三、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质
是解题的关键．
变式2．（2022·河南南阳·八年级期中）已知m≠0，b＜0，则下列图中能正确表示一次函数y=mx+b和反比
例函数 的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的图象确定m和b的符号，进一步确定反比例函数的图象即可．
【详解】解：A．根据一次函数图象可知，m＞0，b＜0，∴反比例函数经过第一、三象限，
故A选项不符合题意；
B．根据一次函数图象可知，m＜0，b＜0，
∴反比例函数经过第二、四象限，
故B选项不符合题意；
C．根据一次函数图象可知，m＜0，b＞0，
与已知b＜0相矛盾．
故C选项不符合题意；
D．根据一次函数图象可知，m＞0，b＞0，
∴反比例函数经过第一、三象限，
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与参数的关系
是解题的关键．
变式3．（2022·湖南·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图像大
致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分 或 ，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：当 时，一次函数 经过第一、二、三象限，反比例函数 位于第一、三象限；
当 时，一次函数 经过第一、二、四象限，反比例函数 位于第二、四象限；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握 ，图像经过第一、三象限，
，图像经过第二、四象限是解题的关键．
◎考点题型2 一次函数与反比例函数的交点问题例．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝ （k为
常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞ 的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
【答案】D
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B（2， m），然后根据函数的图象的交点坐标即可得到
结论．
【详解】解：∵正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象相交
于A（-2，m）和B两点，
∴B（2， m），
∴不等式ax＞ 的解集为x＜ 2或0＜x＜2，
故选：D．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
变式1．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴交
于点A、与y轴交于点B，过点A作 轴，交反比例函数 的图象于点C，过点C作
轴于点D，与直线 交于点E，若 ，则k与a的关系正确的是( )A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出A坐标，可以得到C的坐标，由CE=DE，可以得E的坐标，把E的坐标代入直线即可得
出答案．
【详解】解：对于 ，
当x=0时，y=k；当y=0时， ，
∴点A的坐标为 ，
∵ 轴，且点C在反比例函数 的图象上，
∴点C的坐标为 ，
∵ ， 轴，
∴点E的坐标为 ，
把E 代入 得：
，解得： ．
故选：A
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用图象中各个点的坐标之间的关系是解此题的
关键．
变式2．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，反比例函数 和一次函数 图像交于A，B两点，
A点坐标为 ，当 时，x的取值范围为（ ）A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】把A点坐标代入 中求出k得到反比例函数解析式，把A点坐标代入 中求出b得到
一次函数解析式，然后把解析式联立成方程组，解方程组求得B的坐标，通过观察图像即可求得当
时，x的取值范围．
【详解】解：把A（1，2）代入 得k＝2，
∴反比例函数解析式为 ，
把A（1，2）代入 得2＝1＋b，解得b＝1，
∴一次函数解析式为 ，
联立 ，解得 或 ，
∴B（−2，−1），
观察图像，当 时，x的取值范围为x＜−2或0＜x＜1，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函
数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系
数法求函数解析式．
变式3．（2022·河南南阳·八年级期中）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ 上在同一直角坐标系
1 1 2
中的图象如图所示，则当kx十b＜ 时，x的取值范围是（ ）
1A．x＜1成0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或x＞3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3
【答案】B
【分析】根据图象知，两个函数的图象的交点是（-1，3），（3，-1）．由图象可以直接写出当y＜y 时所
1 2
对应的x的取值范围．
【详解】解：根据图象知，一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的交点是（-1，3），（3，-1），
1 2
∴当y＜y 时，-1＜x＜0或x＞3；
1 2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思
想．
◎考点题型3 一次函数与反比例函数的实际应用
例．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与 的图象交于A，B两
点，过点B作y轴的平行线，交函数 的图象于点C，连接AC，则△ABC的面积为（ ）
A．2.5 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【分析】由 可得A，B的坐标，再求解C的坐标，再直接利用三角形的面积公式进行计算即可．【详解】解：
解得： 或 经检验符合题意；
，
=5
故选B．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，坐标与图形的面积，二次根式的运算，一元二次方
程的解法，求解A，B的坐标，再表示C的坐标是解本题的关键．
变式1．（2021·山东·禹城市龙泽实验学校九年级阶段练习）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物
实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度 （微克/毫升）与服药时间 小时之间函
数关系如图所示（当 时， 与 成反比例）．血液中药物浓度不低于 微克毫升的持续时间为
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案．
【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx，
将（4，8）代入得：8＝4k，
解得：k＝2，
故直线解析式为：y＝2x，
当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝ ，
将（4，8）代入得：8＝ ，
解得：a＝32，
故反比例函数解析式为：y＝ ；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4），
下降阶段的函数关系式为y＝ （4≤x≤10）．
当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3，
当y＝6，则6＝ ，解得：x＝ ，
∵ −3＝ （小时），
∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间 小时
故选A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
变式2．（2022·贵州遵义·二模）小亮为了求不等式 >x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y= 与
一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（ ）A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】解：观察函数图像，发现：
当x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数图像在一次函数图像的上方，
∴不等式 >x+2的解集为x＜-3或0＜x＜1．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函
数解析式．
变式3．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，反比例函数 （k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像
交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D， ，则k＝__．
【答案】-2
【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得 ，最后根据k
的几何意义可得答案．
【详解】解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点，
∴点A和点B关于原点对称，∴OA＝OB，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∵ ，
∴ ，
∵反比例函数图像位于第二象限，
∴k＝-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解
题的关键．
◎考点题型4 一次函数与反比例函数的其它综合应用
例．（2022·重庆市第七中学校一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 图象与反比
例函数 图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知点 ，点B的横坐标为 ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式，
(2)若点D是x轴上一点，且 ，求点D坐标；
(3)当 时，直接写出自变量x的取值范围．【答案】(1)一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为
(2)（-2，0）或（6，0）；
(3) 或
【分析】（1）把点 代入 可得反比函数解析式，从而得到点B的坐标为（-2，-2），
再把点 ，B（-2，-2）代入 ，可求出一次函数解析式，即可求解，
（2）设直线AB交x轴于点E，根据 ，即可求解；
（3）根据图象即可求得．
（1）
解：把点 代入 得： ，
∴反比例函数解析式为 ；
∵点B的横坐标为 ，
∴ ，
∴点B的坐标为（-2，-2），
把点 ，B（-2，-2）代入 ，得：
，解得： ，
∴一次函数解析式为 ；
（2）
解： 如图，设直线AB交x轴于点E，对于 ，当y=0时，x=2，
1
∴点E（2，0），
设点D的坐标为（a，0），则 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得：a=-2或6，
∴点D的坐标为（-2，0）或（6，0）；
（3）
解：观察图象得：当 或 时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方或两图象相交，
∴当 时，自变量x的取值范围为 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点
的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
变式1．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，已知反比例函数 （ ，k为常数）的图象与一次函
数 的图象交于 、 两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)已知点 ，过点P作平行于y轴的直线，交一次函数图象于点M，且点M第一象限内，交反比例函
数图象于点N．若点P到点M的距离小于线段 的长度，结合函数图象直接写出n的取值范围．【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）由反比例函数图象过点A，可求出反比例函数的表达式，再求出点B的坐标，然后将两点坐
标代入 ，可求一次函数的表达式；
（2）根据题意找出一次函数落在反比例函数图象下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
（1）
解：∵反比例函数 图象经过 ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式是 ，
∵反比例函数 的图象过点 ，
∴ ，
∴ ，
把 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
∴一次函数的表达式是 ；
（2）
若 ，根据图象，可得n的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问
题是本题的关键．
变式2．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图，直线y＝2x﹣1与双曲线y＝ 相交于点A（ ，2），B
1 2
（﹣1，﹣3）．(1)根据图象直接写出 的解集为_____；
(2)过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC，求△ABC的面积；
(3)过点C的直线交AB与点D，若直线CD将△ABC分成了面积相等的两个三角形，求出直线CD的解析式．
【答案】(1) ＞ 或-1＜ ＜0
(2)
(3)
【分析】（1）根据一次函数与反比例函数图象交点确定不等式的解集即可求解；
（2）根据题意求得 ，进而根据三角形面积公式进行计算即可求解；
（3）根据三角形中线的性质以及中点坐标公式求得点 的坐标，继而待定系数法求解析式即可求解．
（1）
直线y＝2x﹣1与双曲线y＝ 相交于点A（ ，2），B（﹣1，﹣3）
1 2
的解集为： ＞ 或-1＜ ＜0
（2）
轴， ， ，
， 上的高
（3）
当D为AB的中点时，直线CD符合题意．∵ ，
∴AB的中点D的坐标为
即D 又∵C（0，2）
设 ， 则
解得
∴直线CD的解析式为：
【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，求直线围成的三角形的面积，待定系数法求一次函数
解析式，掌握以上知识是解题的关键．
变式3．（2022·河北石家庄·九年级期末）如图，在直角坐标系中，点A(3,a)和点B是一次函数y＝x﹣2和
反比例函数y 图像的交点．
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2)利用图像，直接写出当x﹣2 时x的取值范围；
(3)C为线段AB上一点，作CD∥y轴与反比例函数图像交于点D，与x轴交于点E，当 3时，直接写出
点C的坐标．【答案】(1)反比例函数表达式为y= ，B(-1，-3)；
(2)当x-2＞ 时，-1＜x＜0或x＞3；
(3)点C的坐标(1+ ，-1+ )或(1- ，-1- )或(1，-1)．
【分析】(1)由一次函数y=x-2求得A的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，解析式联立
成方程组，解方程组求得B的坐标；
(2)根据图象即可求得；
(3)设C(x，x-2)则D(x， )，根据题意列方程即可得到结论．
（1）
解：把A(3，a)代入y=x-2可得，
a=1，即A(3，1)，
∴1= ，解得m=3，
∴反比例函数表达式为y= ，
联立 ，得 或 ，
∴B(-1,-3)；
（2）
解：由图象可得，
当x-2＞ 时，-1＜x＜0或x＞3；
（3）
解：设E(x，0)，则C(x，x-2)，D(x， )，
∵ =3，
∴| |=3|x-2|，当 ＝3(x−2)时，
解得x=1± ，
∴点C的坐标(1+ ，1+ )或(1- ，-1- )，
当 =3(2-x)时，
解得x=x2=1，
1
∴点C的坐标(1，-1)，
综上所述，点C的坐标(1+ ，-1+ )或(1- ，-1- )或(1，-1)．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数、
反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
◎考点题型5 反比例函数与几何综合
例．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，已知点 在正比例函数 图像上，过点 作 轴于
点B，四边形ABCD是正方形，点D在反比例函数 图像上．
(1)若点 的横坐标为－2，求 的值；
(2)若设正方形ABCD的面积为m，试用含m的代数式表示k值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出 的横坐标，就可以得到 的坐标，即可求 的值；
（2）由正方形 的面积为 ，求出边长为 ，再表示出 和 的纵坐标为 ，进而求出 的坐标，代入反比例函数 即可．
（1）
解： 当 时， ，
的坐标为 ，
， ，
的坐标为 ，
点 在反比例函数 图象上，
，
；
（2）
解： 正方形 的面积为 ，
，
和 的纵坐标为 ，
的坐标为 ， ，
，
的坐标为 ， ，
代入 得
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握利用正方形的边长相
等来表示出各个点坐标．
变式1．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，矩形 的边 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点
在反比例函数 的图象上，且 ．将矩形 以点 为旋转中心，顺时针旋转 后得
到矩形 ，函数 的图象刚好经过 的中点 ，交 于点 ．(1)求该反比例函数关系式；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得出点B的坐标为（2， ），进一步求得N（2+ ，2），代入曲线方程中即可
得出k的值，便可得出反比例函数的解析式；
（2）根据k的值可得出点M、点B的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义得出S OBM=S AOB+S
梯形
ABMD-S DOM=S ABMD，故可得出 OBM的面积． △ △
梯形
（1） △ △
矩形 的边 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 在反比例函数 的图象上，且
，
点 的坐标为 ，
，
将矩形 以点 为旋转中心，顺时针旋转 后得到矩形 ，
， ，
，
函数 的图象刚好经过 的中点 ，
， ，，
解得 ，
反比例函数的解析式为 ；
（2）
，
， ，
把 代入 得， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，坐标与图形的变化-旋转，反比例函
数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，求得B、M的坐标是解题的关键．
变式2．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，菱形ABCD的顶点A、B分别在y轴与x轴正半轴上，C、D
在第一象限， 轴，反比例函数 的图象经过顶点D．
(1)若 ，
①求反比例函数的解析式；
②证明：点C落在反比例函数 的图象上；
(2)若 ， ，求菱形ABCD的边长．【答案】(1)① ；②见解析
(2)
【分析】（1）①过点D做y轴垂线交于点F，由 为菱形得 ， ，进而求得
，从而求得 即可求出反比例函数的解析式；②过点C做x轴垂线交于点G，先求
得 ，即可判断C落在反比例函数 的图象上；
（2）设 ，则 ， ，从而求得BD=2BE=2 ，得 进而有 ，
解得 ，即可求解．
（1）
①解：过点D做y轴垂线交于点F，
∵ 为菱形，
∴ ， ，
易证四边形AOBE、AEDF为矩形
∴ ，
∴ ，
∴
②证明：过点C做x轴垂线交于点G，
易证四边形AEBO、ACGO为矩形
∴ ，∴ ，
∴C落在反比例函数 的图象上；
（2）
解：∵ ， ，DB=2BE，AC=2AE，
∴设 ，则 ， ，
∴BD=2BE=2 ，
∴
∵D在反比例函数上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形ABCD的边长为6．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，求反比例函数的解析式以及反比例函数的性质，熟练
掌握菱形的性质是解题的关键．
变式3．（2022·江苏泰州·八年级期末）对于平面直角坐标系 中的图形 和点 ，给出如下定义：将
图形 绕点 顺时针旋转 得到图形 ，图形 称为图形 关于点 的“直 图形”．例如，图中点
为点 关于点 的“直V图形”．
(1) 的图像关于原点 的“直 图形”的表达式为__________；
(2) 为 的图像上一点，其横坐标为 ，点 的坐标为 ．点 关于点 的“直 图形”
为点 ．
①若 ，试说明：不论 为何值，点 始终在直线 上；②若 ，试判断点 能否在直线 上？若能，请求出 的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析；②不能，见解析
【分析】（1）如图所示，点A是函数 上的一点，点B是 的图像关于原点 的“直 图形”
上与点A对应的点，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，设点A的坐标为（a，b）则AC=b，
OC=-a，证明△CAO≌△DOB得到OD=AC=b，BD=OC=-a，则点B的坐标为（b，-a），由此即可得到答案；
（2）①分别过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 由题意得点M的坐标为（-1，3），同理可证
，求出N 即可得到答案；②同①求解即可．
（1）
解：如图所示，点A是函数 上的一点，点B是 的图像关于原点 的“直 图形”上与点A
对应的点，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，设点A的坐标为（a，b）则AC=b，OC=-a
∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠CAO+∠COA=90°，
由旋转的性质可得，AO=OB，∠AOB=90°，
∴∠COA+∠DOB=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△CAO≌△DOB（AAS），
∴OD=AC=b，BD=OC=-a，
∴点B的坐标为（b，-a），
∵点A在函数 上，
∴ ，∴ ，即 ，
∴点B在反比例函数 上，
故答案为： ；
（2）
解：①分别过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 由题意得点M的坐标为（-1，3），
同理可证 ，
∴PE=NP，ME=PF，
∵点P的坐标为（a，0），
∴N ，
∵把 代入 ，得 ，
∴ 点 始终在直线 上；
②不能，
理由：分别过点 作 轴的垂线，垂足为 ，
同理可得 ，得点 ，
将点 代入 ，解得 ，因为 ，故两解都不符合，所以点 不在直线
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，求一次函数的函数值，旋转
的性质等等，熟知正确作出辅助线是解题的关键．
