第12 讲实际问题与二次函数
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 利用二次函数解决拱桥问题
题型2 利用二次函数解决投球问题
题型3 利用二次函数解决喷水问题
题型4 利用二次函数解决销售问题
题型5 利用二次函数解决图形问题
题型6 利用二次函数解决图形运动问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
建模、最值、顶点、自
变量范围、最大利润、
最大面积、检验。
1. 能根据实际问题中的数量关系，建立二次函数模型，并确定自变量的取值
范围。
2. 掌握利用二次函数的顶点坐标求最值的方法，解决最大利润、最大面积等
优化问题。
3. 理解二次函数在实际问题中的增减性，能根据自变量范围判断函数的最值
（不一定在顶点处）。
4. 经历“问题—建模—求解—检验”的过程，体会数学建模思想，提升应用
意识和分析问题的能力。
学习重点:建立二次函数模型解决实际问题，利用顶点坐标求最值。
学习难点:准确找出实际问题中的等量关系并列出函数解析式，以及根据实际意义确定自变量的取值范
围，并能判断最值是在顶点处还是在端点处取得。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数的应用
1.
核心应用场景：
- 最值问题：解决利润最大、产量最优、用料最省、高度/距离最值等
- 实际建模：根据实际情境（如抛体运动、增长率、几何图形面积）建立二次函数关系式，转化为数学问
题求解。
2.
解题步骤：
- 审题：明确变量关系，确定自变量取值范围（需符合实际意义）。
- 建模：设合适的函数解析式（顶点式、一般式、交点式按需选择）。
- 求解：代入已知条件求参数，利用顶点或单调性求目标值。
- 检验：验证结果是否符合实际情境，舍去不合理解。
3.
关键技巧与思想：
- 解析式选择：最值问题优先用顶点式
y=a(x-h)2+k ，已知交点用交点式
y=a(x-x1)(x-x2) 。
- 数形结合：通过函数图像分析自变量取值范围与最值的合理性。
- 实际约束：忽略不符合实际的解（如负数、超出定义域的数值）。
【易错提醒】
审清题意（利润、面积、抛线等），正确建立函数模型。注意自变量实际范围（如边长>0），顶点处取最
值时需验证是否在取值范围内。单位要统一，结果合理取舍。
即时即练1．（25-26 九年级上·全国·期中）如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出
手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度
m
y
与水平距离m
x
之间的关系为
2
8
2
2
81
3
y
x
x
，则该运动员这次抛出的水平距离为（
）
A．7.5m
B．9m
C．11.25m
D．12m
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数的应用，正确求解方程是解题的关键．解方程
2
8
2
2
0
81
3
y
x
x
，求出
结果即可．
【详解】解：令
0
y
，则
2
8
2
0
2
81
3
x
x
，
解得：
1
9
4
x
（舍去），
2
9
x
，
则该运动员这次抛出的水平距离为9m ．
故选：B．
2．（25-26 九年级上·广东广州·阶段练习）如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y
（单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系
2
1
2
12
3
y
x
x
c
，已知铅球落地时的水平距
离OB 为10m．则铅球出手时离地面的高度OA是
m ．
【答案】5 m
3
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据铅球落地时的水平距离OB 为10m，可得点B 的坐标是
10,0 ，
把点B 的坐标
10,0 代入
2
1
2
12
3
y
x
x
c
，求出
5
3
c
，可得抛物线的解析式是
2
1
2
5
12
3
3
y
x
x
，当
0
x
时，对应的函数值就是高度OA．
【详解】解：铅球落地时的水平距离OB 为10m ，
点B 的坐标是
10,0 ，
把点B 的坐标
10,0 代入
2
1
2
12
3
y
x
x
c
，
可得：
2
1
2
10
10
0
12
3
c
，
解得：
5
3
c
，
抛物线的解析式是
2
1
2
5
12
3
3
y
x
x
，
当
0
x
时，可得：
5
3
y
，
铅球出手时离地面的高度OA是5 m
3
．
故答案为：5 m
3
．
3．（河南省安阳市第五中学教育集团2025-2026 学年九年级上学期11 月期中联考数学试题）网络销售已经
成为一种比较热门的销售方式，某电商购进一种单价30元的商品，为减少库存．未来30天，这种商品将开
展“每天降价1元”的促销活动，即从活动开始的第一天起每天的销售单价均比前一天降1元，通过市场调查
发现，该商品的销售单价每降1元，每天销售量增加3件，活动前的销售单价为100元，每天销售15件，设
活动开始后的第t 天（t 为正整数）所获的利润为w （元）
(1)求出w 与t 之间的函数关系式；
(2)哪一天所获利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)
2
3
195
1050
w
t
t
；
(2)
第30天所获利润最大，最大利润是4200 元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出二次函数的解析式，再利用二
次函数的性质解答．
1 活动第t 天的销售单价为
100
t
元，每天的销售量为
15
3t
件，根据利润销量单位利润，可得函数
关系式：
2
3
195
1050
w
t
t
；
2 根据二次函数的性质可知当
32.5
t
时，w 取最大值，又因为促销活动只有30天，所以当
30
t
时所获利
润最大，把
30
t
代入函数解析式计算即可求出最大利润．
【详解】（1）解：活动第t 天的销售单价为
100
t
元，每天的销售量为
15
3t
件，
可得：
100
30 15
3
w
t
t
，
整理得：
2
3
195
1050
w
t
t
；
（2）解：二次函数
2
3
195
1050
w
t
t
中
3
0
a
，
w
有最大值，
二次函数
2
3
195
1050
w
t
t
的对称轴为
195
32.5
2
2
3
b
t
a
，
当
32.5
t
时，w 取最大值，
由题意可知：
30
t
，
当
30
t
时，w 有最大值，
最大值为
2
2
3
195
1050
3 30
195 30
1050
4200
w
t
t
，
第30天所获利润最大，最大利润是4200 元．
题型1 利用二次函数解决拱桥问题
【例1】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中
的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B 的距离为8 米，桥拱最高点C 到水面的
距离为2.4 米．如图，以水面AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为DE ．若在桥拱最高点C 处有一个星形灯饰（大小忽略不计），
当灯饰C 与其水中倒影C之间的距离CC与水面宽度DE 比为1: 2时，形成的景色最美，求此时水面的宽度．
【答案】(1)
2
3
12
20
5
y
x
(2) 20 m
3
【分析】（1）由题意得出点
, ,
A B C 的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）设
2
DE
x
，则DF
EF
x
，得出纵坐标为：
2
3
12
20
5
y
x
，即
2
3
12
20
5
OF
x
，确定
2
3
2
10
CC
CF
x
，再根据题意得出CC
x
，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：
y
轴垂直平分AB ，
8
AB
，
4,0
A
，
4,0
B
，
由题意得
0,2.4
C
，
设该抛物线的函数表达式为
(
4)(
4)
0
y
a x
x
a
，将
0,2.4 代入，
2.4
16a
，
解得：
3
20
a
该抛物线的函数表达式为
2
3
3
12
(
4)(
4)
20
20
5
y
x
x
x
；
（2）解：如图所示：
设
2
DE
a
，
∴DF
EF
a
，
∴点E 的横坐标为x，
∴纵坐标为：
2
3
12
20
5
y
a
，即
2
3
12
20
5
OF
a
，
∴
2
2
3
12
3
2.4
20
5
20
CF
OC
OF
a
a
，
∵灯饰C 与其水中倒影C之间的距离CC，
∴
2
3
2
10
CC
CF
a
，
∵灯饰C 与其水中倒影C之间的距离CC与水面宽度DE 比为1: 2，
2
DE
a
，
∴CC
a
，
∴
2
3
10 a
a
，
解得：
10
3
a
或
0
a
（不符合题意，舍去）
∴
20 m
3
DE
．
【例2】赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比
赛，图1 是比赛途中经过的一座拱桥，图2 是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，
建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O 的水平距离x
（单位：m）近似满足函数关系
2
0.01
30
9
y
x
，据调查，龙舟最高处距离水面2m ，为保障安全，通
过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m ．
(1)水面的宽度OA ______m；
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为8m ，求最多可设计龙舟赛道的数量．
【答案】(1)60
(2)最多可设计赛道5 条．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）求出抛物线与x 轴的交点坐标即可得到答案；
（2）求出当
5
y
时，x 的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为8m 即可得到答案．
【详解】（1）解：令
0
y
，则
2
0.01
30
9
0
x
，
∴
2
30
900
x
，
解得
0
x
或
60
x
，
∴
60 0
A
，，
∴
60m
OA
，
（2）解：令
5
y
，得
2
0.01
30
9
5
x
，
∴
2
30
400
x
解得
1
10
x
，
2
50
x
．
可设计赛道的宽度为50 10
40m
，
∵每条龙舟赛道宽度为8m ，
最多可设计赛道5 条．
【技巧归纳】
以水面为x 轴，拱顶为y 轴建系，设y=ax²+c。代入已知点（如水面宽对应点）求解析式。再求给定高度处
宽度：代入y 解x，宽度=|x₁ -x₂ |。注意实际问题中变量正负与坐标系选择。
【变式1-1】西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是
西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用
大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如
图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点O，水平向右为x 轴，竖直向上为y 轴建立平面直角坐
标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度AB 为80m ，檐口离地高度AE 为36m ，拱檐
拱顶最高处离地高度OC 为48m．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于45m，求灯带两端水平距离
的最大长度．
【答案】(1)该抛物线的表达式为
2
3
48
400
y
x
(2)灯带两端水平距离的最大长度为40m
【分析】（1）设抛物线表达式为：
2
48
y
ax
，根据题意可得A 点坐标为( 40,36)
，代入求解即可；
（2）要求离地高度不低于45m ，即
45
y
，将
45
y
代入抛物线表达式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线对称轴为y 轴，顶点C 坐标为(0,48) ，
设该抛物线表达式为
2
48
y
ax
，
80
AB
m
，
36
AE
m
，
由对称性得A 点的坐标为( 40,36)
，
将
( 40,36)
A
代入表达式得：
2
36
40
48
a
，
解得
3
400
a
，
该抛物线的表达式为
2
3
48
400
y
x
．
（2）解：要求离地高度不低于45m ，即
45
y
，
令
45
y
代入抛物线表达式得
2
3
45
48
400 x
，
整理得
2
400
x
，
解得1
20
x
，
2
20
x
，
两个交点的水平距离为：
20
20
40m
，
因此灯带两端水平距离的最大长度为40m ．
【变式1-2】综合与实践
问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于
桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度
的城市景观，兼具工程美学与力学价值．
数学建模：图1 是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2 为其一桥拱的
示意图，以桥面OA所在直线为x 轴，桥墩立柱OC 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已
知桥拱的跨度
66
OA
米，桥拱最高点到桥面的距离为9 米．
问题解决：
(1)①求该桥拱抛物线的函数表达式；
②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5 米高的位置，搭建施工水平支架平台
MN （点
,
M N 均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台MN 的长度．
(2)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌DEFG ，其中点
,
D G 在
抛物线上，点
,
E F 在桥面OA 上，DE 边靠近桥墩OC 且到桥墩OC 的距离不小于11 米，为更好地筹备所需
材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可．
【答案】(1)①
2
1
33
9
121
y
x
；②44 米
(2)98 米
【分析】（1）①待定系数法求函数表达式；②根据题意可得点M 的纵坐标，代入解析式，解方程可得点
,
M N
的横坐标，即可求解；
（2）设点D 的横坐标为m ，表示出矩形的周长，根据二次函数的图象和性质求出最值．
【详解】（1）解：①由题意得抛物线的顶点为桥拱最高点，横坐标为
33
2
OA
，纵坐标为9，即顶点坐标
为
33,9 ．
设函数表达式为
2
33
9
y
a x
，
将原点
0,0 代入上式，得
2
0
33
9
0
a
，
解得
1
121
a
，
∴该桥拱抛物线的函数表达式为
2
1
33
9
121
y
x
；
②平台MN 距离桥面OA的垂直距离为5 米，即点M 的纵坐标
5
y
，
将其代入抛物线解析式
2
1
33
9
121
y
x
，
得
2
1
33
9
5
121 x
，
解得
1
2
11,
55
x
x
，
∴
55 11
44
MN
（米）．
答：该水平作业平台MN 的长度为44 米；
（2）解：设点D 的横坐标为m ，
由抛物线的对称性可知，点G 的横坐标为66
m
，
∴
66
66
2
DG
m
m
m
，
矩形的高DE 即为点D 的纵坐标，
2
1
6
121
11
DE
m
m
．
设矩形DEFG 的周长为C ，
∴
2
1
6
2
66
2
121
11
C
m
m
m
2
1
16
2
66
121
11
m
m
2
2
32
132
121
11
m
m
2
2
88
260
121 m
，
∴抛物线的对称轴为直线
88
m
，开口向下，
∴当
88
m
时，函数C 随m 的增大而减小，
根据题意，DE 边到桥墩距离不小于11 米，即
11
m
．
∴当m 取最小值11 时，周长C 取得最大值．
当
11
m
时，
2
2
11 88
260
98
121
C
（米）．
答：单块宣传牌的周长最大值为98 米．
题型2 利用二次函数解决投球问题
【例3】如图，小贤与小刚在进行篮球的传球训练，小贤在A 点处，小刚在B 点处，两人相距6 米，小贤给
小刚传球，篮球的飞行轨迹可看成是抛物线．已知小贤投出球时手离地面20
9 米，篮球飞行的水平速度为10
米/秒，篮球与小贤的水平距离x（单位：米）与离地高度y （单位：米）的数据如下表所示（水平距离水
平速度时间）：
x /米
…
1
2.5
4
5.5
7
…
y /米
…
3
3.75
4
3.75
3
…
(1)求y 关于x 的函数解析式．
(2)小刚在小贤传球瞬间就作出接球反应，当小刚位于篮球正下方时，若篮球离地高度不大于小刚的最大接
球高度，则视为接球成功．已知小刚面对篮球后退的过程中的速度为2 米/秒，最大接球高度为20
9 米．请
问小刚能否成功接球？并说明理由．
【答案】(1)
2
1
8
20
9
9
9
y
x
x
(2)小刚不能成功接球．理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意得，抛物线与y 轴的交点为
20
0, 9
，可设抛物线为
2
20
9
y
ax
bx
，又抛物线的对称轴是
直线
4
2
b
x
a
，且过点(1,3)，可得方程组
4
2
20
3
9
b
a
a
b
，求出a ，b 即可得解析式；
（2）依据题意，设t 秒时，篮球位于小刚正上方，从而可得球飞行的水平距离为10
6
2
t
t
，求出t ，进而
可得
3
15
10
4
2
x
，再代入解析式，结合题意即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线与y 轴的交点为
20
0, 9
，
可设抛物线为
2
20
9
y
ax
bx
，
又抛物线的对称轴是直线
4
2
b
x
a
，且过点(1,3)，
4
2
20
3
9
b
a
a
b
．
1
9
8
9
a
b
．
所求函数的解析式为
2
1
8
20
9
9
9
y
x
x
；
（2）解：小刚不能成功接球．
理由：设t 秒时，篮球位于小刚正上方，
球飞行的水平距离为10
6
2
t
t
．
3
4
t
．
3
15
10
4
2
x
．
2
1
15
8
15
20
95
(
)
9
2
9
2
9
36
y
．
95
20
36
9
，
小刚不能成功接球．
【例4】一次足球训练中，小明从球门正前方8m 的A 处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水
平距离为6m 时，球达到最高点，此时球离地面3m ．已知球门高OB 为2.4m ，现以O 为原点建立如图所示
直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少
米射门，才能让足球经过点O 正上方2.25m处？
【答案】(1)
2
1 (
2)
3
12
y
x
，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动1 米射门，才能让足球经过点O 正上方2.25m处
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键．
（1）先确定抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据抛物线平移规律，设出移动后抛物线的解析式，再将(0,2.55) 代入，即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意，可知抛物线的顶点坐标为(2,3) ，
设抛物线的函数表达式为
2
(
2)
3
y
a x
，
把
(8,0)
A
的坐标代入，得36
3
0
a
，
解得
1
12
a
，
抛物线的函数表达式为
2
1 (
2)
3
12
y
x
，
当
0
x
时，
8
2.4
3
y
，
球不能射进球门；
（2）解：设小明带球向正后方移动m
b
，则移动后的抛物线的函数表达式为
2
1 (
2
)
3
12
y
x
b
，
把(0,2.25) 代入得
2
1
2.25
( 2
)
3
12
b
，
解得
1
1
b 或
2
5
b （不合题意，舍去），
当小明带球向正后方移动1m 射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
【技巧归纳】
建立坐标系，以抛出点为原点或地面为x 轴，抛物线设为y=ax²+bx+c。代入出手点、最高点、落地点坐标
求解析式。最大高度即顶点纵坐标，水平距离由落地点横坐标确定。注意系数正负与实际意义。
【变式2-1】杂技演员抛球表演时，t 秒后该球离起点的高度为h 米，已知
1
2
h
d
d
，其中
1d 与t 成正比，
2
d
与
2t 成正比．当
1
t 时，
5
h
，当
0.1
t
时，
0.95
h
．
(1)求h 与t 的函数解析式；并求小球达到最高点时t 的值；
(2)求经过多少秒球回到起点的高度？
(3)杂技演员在表演空中抛球时，当把球抛出后，演员必须在球距离起点不小于1．8 米的上空完成其他表演
动作，否则就容易出现失误，求演员完成其他表演动作的时间最多有多少秒？
【答案】(1)
2
10
5
h
t
t
，
1
t 时小球达到最高点
(2)经过2 秒球回到起点的高度
(3)完成其他表演动作的时间最多有1.6 秒
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，正确求出函数解析式是解此题的关键．
（1）根据题意设
2
h
kt
at
，然后利用待定系数法求出函数解析式，再根据函数的性质求出最值即可；
（2）令
2
10
5
0
t
t
，求解即可得解；
（3）令
2
10
5
18
t
t
．，求解即可得解．
【详解】（1）解：根据题意设
2
h
kt
at
，
把
1
t ，
5
h
；
01
t ．，
0 95
h ．代入解析式得：
5
01
0 01
0 95
k
a
k
a
．
．
．
解得：
10
5
k
a
h
与t 的函数解析式为
2
10
5
n
t
t
；
2
2
10
5
5
1
5
h
t
t
t
，
5
0
，
当
1
t 时，h有最大值5，即
1
t 时小球达到最高点；
（2）解：令
2
10
5
0
t
t
，
解得1
0
t
，2
2
t
．
因为是回到起点的高度，所以
2
t
，
答：经过2 秒球回到起点的高度；
（3）解：令
2
10
5
18
t
t
．，
解得1
0 2
t ．，2
18
t ．，
18
0 2
16
．
．
．（秒），
完成其他表演动作的时间最多有1.6 秒．
【变式2-2】乒乓球被誉为我国的“国球”，备受人们喜爱．已知标准乒乓球台（如图1）OA长为2.8m，小
明购买了一台发球机辅助练习乒乓球，抛球口B 距离台面0.5m，如图2，以OA所在直线为x 轴，OB 所在
直线为y 轴建立平面直角坐标系，收球口C 距离台面0.32m，乒乓球从抛球口落到左台OM 上的点
,0
D n
处
弹起越过球网（标准高度MN 为0 1525m
.
），落在球台右侧点E 处并弹起，则发球成功，乒乓球在空中的轨
迹分别由三条抛物线的一部分BD ，DE ，EF 组成，反弹后的抛物线与原抛物线关于过反弹点垂直于x 轴
的直线成轴对称，其中BD 段抛物线的对称轴是y 轴．
(1)求DE 所在抛物线的解析式；（用含n 的代数式表示）
(2)若发球成功，求n 的取值范围；
(3)若乒乓球从点E 处弹起后运动到点A 的正上方F 处，且F 处的高度与C 处的高度相同．
①求n 的值；
②若小明在F 处击球，使球落在球台左侧的台面上点
,0
G t
处后弹起，正好进入收球口，若球在球网正上
方距台面的高度h 满足0.16
0.32
h
，直接写出t 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
1
2
3
2
2
y
x
x
n
n
(2) 560 14 278
14
661
15
n
(3)①14
23 或14
17
②7
7
7 3
10
5
t
【分析】（1）先利用待定系数法求出BD 所在抛物线的解析式，再根据题意可知DE 所在抛物线与BD 所在
抛物线关于直线x n
对称，求出其顶点坐标，即可求出DE 所在抛物线的解析式．
（2）由题意得
1.4,0
M
，在DE 所在的抛物线上，求出
1.4
x
时y 的值为
2
49
14
3
50
5
2
n
n
．根据题意可得，
若发球成功，则n 应满足
2
0
1.4
49
14
3
0.1525
50
5
2
1.4
3
2.8
n
n
n
n
，求出不等式的解集即可．
（3）①由EF 所在抛物线与DE 所在抛物线关于直线
2
x
n
对称，可求出EF 所在抛物线的解析式，再将F
点的坐标2 8 0 32
( . , .
) 代入表达式中，即可求出n 的值．
②设CG 所在抛物线的解析式为
2
(
)
(
0)
y
a x
m
k a
，则可得FG 所在的抛物线的解析式为
2
2
0
(
)
(
)
y
a x
t
m
k a
，将
0 0 32
( , .
)
C
、
( ,0)
D t
代入
2
(
)
y
a x
m
k
中，将
2 8 0 32
( . , .
)
F
代入
2
2
(
)
y
a x
t
m
k
中，将m、a、k 都用含有t 的代数式表示出来，即可得到FG 所在的抛物线的解析式．将
1.4
x
代入解析式中，求出h 的表达式，最后根据0
1.4
t
，且0.16
0.32
h
列不等式组，即可求出t 的
范围．
【详解】（1）解：由题知：BD 所在抛物线的顶点为
0 0 5
( , . )
B
，对称轴为y 轴．
设BD 所在抛物线的解析式为
2
0 5
0
. (
)
y
ax
a
，
将
,0
D n
代入
2
0 5
0
.
an
，
得
2
1
2
a
n
∴BD 所在抛物线的解析式为
2
2
2
2
1
1
1
0 5
2
2
2
.
y
x
x
n
n
．
由题知：DE 所在抛物线与BD 所在抛物线关于直线x n
对称，
∴其顶点为
1
2 , 2
n
，
∴DE 所在抛物线的解析式为：
2
2
2
2
1
1
1
2
3
2
2
2
2
2
y
x
n
x
x
n
n
n
．
（2）∵E 点和
,0
D n
关于直线
2
x
n
对称，
∴
3 ,0
E
n
，
∵
2.8m
OA
，M 是OA的中点，
∴
1 4m
.
OM
，
∴
1.4,0
M
．
由
2
2
1
2
3
2
2
y
x
x
n
n
得，
1.4
x
时，
2
2
2
1
2
3
49
14
3
1 4
1 4
2
2
50
5
2
.
.
y
n
n
n
n
．
若发球成功，则n 应该满足
2
0
1.4
49
14
3
0.1525
50
5
2
1.4
3
2.8
n
n
n
n
①
②
③
，
由②得560 14 278
560
14 278
661
661
n
，
由③得7
14
15
15
n
，
∴n 的取值范围为560 14 278
14
661
15
n
．
（3）解：①由题意得EF 所在抛物线与DE 所在抛物线关于直线
3
x
n
对称，
∴其顶点为
1
4
2
(
, )
n
，
∴EF 所在抛物线的解析式为：
2
2
2
2
1
1
1
4
15
4
2
2
2
2
y
x
n
x
x
n
n
n
．
由题意得
2 8 0 32
( . , .
)
F
，
∴
2
2
1
4
15
2 8
2 8
0 32
2
2
.
.
.
n
n
，
整理得
2
391
560
196
0
n
n
，
解得
1
14
23
n
，
2
14
17
n
，
∴n 的值为14
23 或14
17 ．
②设CG 所在抛物线的解析式为
2
(
)
(
0)
y
a x
m
k a
，顶点为( , )
m k ，
由题知，FG 所在的抛物线与CG 所在的抛物线关于直线x
t
对称，
∴其顶点为
2
.
t
m k
，
∴FG 所在的抛物线的解析式为
2
2
0
(
)
(
)
y
a x
t
m
k a
．
由题知，
2
(
)
y
a x
m
k
经过
0 0 32
( , .
)
C
、
( ,0)
D t
，
2
2
(
)
y
a x
t
m
k
经过
2 8 0 32
( . , .
)
F
，
∴
2
2
2
0.32
(
)
0
2.8
2
0.32
am
k
a t
m
k
a
t
m
k
，
解得
1 4.
m
t
，
2
0 32
2 8
.
.
a
t
t
，
2
1 96 0 32
2 8
.
.
.
k
t
t
．
∴FG 所在的抛物线的解析式为
2
2
2
0 32
1 96 0 32
2
1 4
2 8
2 8
.
.
.
(
. )
.
.
y
x
t
t
t
t
t
t
2
2
2
0 32
1 96 0 32
1 4
2 8
2 8
.
.
.
(
. )
.
.
x
t
t
t
t
t
，
当
1.4
x
时，
2
2
2
2
2
0 32
1 96 0 32
0 32
1 96 0 32
2 8
2 8
2 8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
t
t
h
t
t
t
t
t
t
，
由题意得
2
2
2
2
2
2
0
1.4
0.32
1.96 0.32
0.32
2.8
0
2.8
0.32
1.96 0.32
0.16
2.8
0
2.8
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
①
②
③
，
由①得0
1.4
t
，
由②得
7
10
t
，
由③得7
7 3
7
7 3
5
5
t
，
∴t 的范围是7
7
7 3
10
5
t
．
题型3 利用二次函数解决喷水问题
【例5】某公司为城市广场上一雕塑AB 安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B 处，距离地面3m ，喷
出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹BC 上，任意一点与支柱AB
的水平距离x（单位：m ）与广场地面的垂直高度为y（单位：m ）满足关系式
1
1
2
3
28
y
x
b x
c
，且点
36
2, 7
D
在抛物线BC 上
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求水柱落地点与雕塑AB 的水平距离；
(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为
2
2
2
2
3
28
y
x
b x
c
，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C 到AB 的距离）控制在7 m 到14 m 之间，请探
究改建后喷水池水柱的最大高度
【答案】(1)
2
1
3
9
3
28
7
y
x
x
(2)14 米
(3) 48
7 米
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可；
（2）求出抛物线
2
1
3
9
3
28
7
y
x
x
与x 轴正半轴交点的横坐标即可；
（3）利用待定系数法求出抛物线
2y 的表达式，化为顶点式，求出最大值，与（2）中水柱喷水的半径为14m
时的最大高度比较后即可得到答案．
【详解】（1）解：把
0,3 ，
36
2, 7
代入
2
1
1
1
3
28
y
x
b x
c
，
得
1
1
1
3
3
36
4
2
28
7
c
b
c
，解得
1
1
9
7
3
b
c
，
∴
2
1
3
9
3
28
7
y
x
x
；
（2）在
2
1
3
9
3
28
7
y
x
x
中，
令
1
0
y
，得
2
3
9
3
0
28
7
x
x
，
解得
14
x
或
2
x （舍去），
∴水柱落地点与雕塑AB 的水平距离是14 米；
（3）当水柱喷水的半径为7m 时，抛物线经过
7,0 ，
0,3 ，代入
2
2
2
2
3
28
y
x
b x
c
，得
2
2
2
3
49
7
0
28
3
b
c
c
，
解得
2
2
9
28
3
b
c
．
∴
2
2
2
3
9
3
3
363
3
28
28
28
2
112
y
x
x
x
，
∴当
3
2
x
时，喷水池水柱的最大高度是363
112 米；
由（2）知，当水柱喷水的半径为14m 时，
2
2
1
3
9
3
48
3
6
28
7
28
7
y
x
x
x
，
∴当
6
x
时，喷水池水柱的最大高度是48
7 米．
∵48
363
7
112
，
∴喷水池水柱的最大高度是48
7 米．
【例6】一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员
离水面OB 的高度
m
y
与离起跳点A 的水平距离
m
x
之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平
距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．
(1)求y 关于x 的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．
【答案】(1)y 关于x 的函数表达式为
2
2
10
y
x
x
；
(2)运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长为
1
11 m
．
【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为
1
x ，经过点
010
，，
3 7
，，利用待定系数法即可求解；
（2）令
0
y
，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为
1
x ，经过点
010
，，
3 7
，，
设抛物线的表达式为
2
y
ax
bx
c
，
∴
1
2
10
9
3
7
b
a
c
a
b
c
，解得
1
2
10
a
b
c
，
∴y 关于x 的函数表达式为
2
2
10
y
x
x
；
（2）解：令
0
y
，则
2
2
10
0
x
x
，
解得
1
11
x
（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长为
1
11 m
．
【技巧归纳】
以喷水口为原点或地面为x 轴建系，设y=ax²+bx+c。代入水流经过的点求解析式。最远距离为y=0 时的正
根，最大高度为顶点纵坐标，注意喷口高度c。根据实际取舍负根。
【变式3-1】如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H 离地竖直高度为
1.5
h
米．如图2 ，可以把灌溉车
喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，
其水平宽度
3
DE 米，竖直高度
0.5
EF
米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线
最高点A 离喷水口的水平距离为2 米，高出喷水口0.5米，灌溉车到绿化带的距离OD 为d 米．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC ；
(2)求下边缘抛物线与x 轴交点B 的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d 的取值范围．
【答案】(1)
2
1 (
2)
2
8
y
x
，喷出水的最大射程OC 为6m
(2)点B 的坐标为
2 0
，
(3) 2
2 3
1
d
【分析】（1）由顶点
2,2
A
得，设
2
(
2)
2
y
a x
，再根据抛物线过点(0,1 )
5. ，可得a 的值，从而解决问
题；
（2）由对称轴知点(0,1 )
5. 的对称点为(4,1.5) ，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm 得到的，可
得点B 的坐标；
（3）根据
0.5
EF
，求出点F 的坐标，利用灌溉车行驶时距离绿化带的增减性可得d 的最大值和最小值，
从而得出答案．
【详解】（1）解：如图2 ，由题意得
2 2
A
，是上边缘抛物线的顶点，
设
2
(
2)
2
y
a x
，
又抛物线过点(0,1 )
5. ，
∴1.5
4
2
a
，
1
8
a
，
上边缘抛物线的函数解析式为
2
1 (
2)
2
8
y
x
，
当
0
y
时，
2
1
0
(
2)
2
8 x
，
解得
1
6
x
，
2
2(
x
舍去) ，
喷出水的最大射程OC 为6m；
（2）解：∵对称轴为直线
2
x
，
点
01.5
，
的对称点为
41.5
，
，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的，
点B 的坐标为
2 0
，；
（3）解：∵
0.5
EF
，
点F 的纵坐标为0.5，
2
1
0.5
(
2)
2
8 x
，
解得
2
2 3
x
，
0
x
>
，
2
2 3
x
，
当
2
x
时，y 随x 的增大而减小，
当2
6
x
时，要使
0.5
y
，
则
2
2 3
x
，
当0
2
x
时，y 随x 的增大而增大，且
0
x
时，
1.5
0.5
y
，
当0
6
x
时，要使
0.5
y
，则0
2
2 3
x
，
3
DE
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
d
的最大值为2
2 3
3
2 3
1
，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d
OB
，
d
的最小值为2 ，
综上所述，d 的取值范围是2
2 3
1
d
．
【变式3-2】如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头
到水平地面的距离为1 米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线
10
x
．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水
柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为
2
y
ax
bx
c
，
其图像如图②所示．已知坡地OB 所在直线经过点(10,1) ．
(1)c 的值为______；
(2)若
1
20
a
，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；
(3)若点B 横坐标为18，水柱能超过点B，则a 的取值范围为______；
(4)若
1
20
a
时，到喷水头水平距离为16 米的A 处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置
水平向后移动4 米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．
【答案】(1)1
(2)水柱与坡面之间的最大铅直高度为5.05米
(3)
1
45
a
(4)水平向后移动4 米，不能灌溉到这棵树，理由见解析
【分析】（1）代入抛物线与y 轴的交点(0,1)的坐标即可求解；
（2）根据已知条件求出抛物线解析式及直线OB 解析式，设抛物线上一点P 点横坐标为t，作作PQ
x
轴
交OB 于点Q，用t 表示P 点和Q 点的坐标，并计算PQ的长度，建立关于t 的二次函数，在取值范围内求
最大值即可；
（3）代入B 点横坐标到一次函数解析式，求出对应纵坐标；代入(0,1)点、抛物线对称轴及B 点横坐标到
二次函数解析式，建立不等式进行求解；
（4）根据平移求得平移后的抛物线解析式，代入
16
x
到抛物线解析式和直线OB 解析式进行对比即可．
【详解】（1）代入(0,1)到抛物线解析式，得：
1
c ；
故答案为：1；
（2）设抛物线的解析式为
2
1
10
20
y
x
k
将点(0,1)代入，得
6
k
抛物线的解析式为
2
1
10
6
20
y
x
即
2
1
1
20
y
x
x
坡地OB 经过点(10,1)
OB 的解析式为
1
10
y
x
如解图，
设抛物线上一点
2
1
,
1
20
P t
t
t
，过点P 作PQ
x
轴交OB 于点Q，
则
1
,10
Q t
t
，PQ的长为
2
2
1
1
1
9
1
1
20
10
20
10
d
t
t
t
t
t
1
0
20
，
函数图像开口向下，d 有最大值
根据顶点公式当
9
t
时，有最大值
2
1
9
9
9
1
5.05
20
10
d
最大值
水柱与坡面之间的最大铅直高度为5.05米；
故答案为：水柱与坡面之间的最大铅直高度为5.05米；
（3）由（2）知，直线OB 的解析式为
1
10
y
x
，
18
x
时
9
5
y
，
10
2
b
x
a
，
20
b
a
抛物线的解析式为
2
20
1
y
ax
ax
，即
2
10
100
1
y
a x
a
，
当
18
x
时，
36
1
y
a
，要使水柱能超过点B 则
9
36
1
5
a
，
解得
1
45
a
故答案为：
1
45
a
；
（4）不能；
当灌溉装置水平向后移动4 米时，由（2）可得平移后的抛物线解析式为
2
1
6
6
20
y
x
．
将
16
x
代入抛物线解析式，得
2
1 10
6
6
1
20
，
将
16
x
代入直线OB 解析式，得1
16
1.6
10
1.6
1
水平向后移动4 米，不能灌溉到这棵树．
题型4 利用二次函数解决销售问题
【例7】育新书店发售一套儿童绘本，成本价40 元/套，经市场调查，绘本售价每套50 元/套，每天可以销
售200 套．若每套绘本涨价1 元，日销量将减少10 套．育新书店预计每天的销售量不少于100 套．
(1)问每套绘本售价应不高于多少元？
(2)为了回报社会，育新书店决定每销售一套儿童绘本，就为市儿童基金会捐赠m 元，捐赠后，该书店每天
的最大利润能否达到1690 元？若能，求m 的值；若不能，说明理由．
【答案】(1)60
(2)能，
4
m
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意建立函数模型，利用二次函数的性质求解．
（1）根据销售量的限制条件列出不等式，求解得出每套绘本的最高售价；
（2）建立利润的函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润，进而确定m 的值．
【详解】（1）解：设每套绘本售价为x 元．由题意可得不等式方程，
200 10(
50)
100
x
解得
60
x
，
故每套绘本售价应不高于60 元；
（2）解：设每天的利润为w 元．
每套的利润为(
40
)
x
m
元，日销量为200 10(
50)
700 10
x
x
套．
则利润函数为：
(
40
)(700 10 )
w
x
m
x
2
10
(700 10(40
))
700(40
)
x
m x
m
2
10
(1100 10 )
28000
700
x
m x
m
在此函数中，
10,
1100
10
a
b
m
，所以顶点横坐标为：
1100 10
55
0.5
2 ( 10)
m
x
m
因为
60
x
，且
10
0
a
，该函数图象为开口向下的抛物线，
所以当
55
0.5
x
m
时，w 取得最大值．
将
55
0.5m
x
代入利润函数：
max
(55
0.5
40
)(700 10(55
0.5 ))
w
m
m
m
2
2.5
150
2250
m
m
令
1690
max
w
，则：
2
2.5
150
2250
1690
m
m
2
2.5
150
560
0
m
m
解得
4
m
或
56
m
，
当
56
m
时，每套利润为
40
56
96
x
x
，因为售价
60
x
，所以
96
0
x
，不符合实际，舍去，
当
4
m
时，每套利润为
40
4
44
x
x
，售价
55
0.5 4
57,57
44
13
0
x
，符合实际．
所以能，m 的值为4．
【例8】直播带货已成为一种热门的销售方式，某商家在网络平台上直播销售芒果．已知该芒果的成本为4
元/ kg ，销售价格不高于18 元/ kg ，且每售卖1 kg 需向网络平台支付1 元的相关费用，经过一段时间的直
播销售发现，每日销售量y （kg ）与销售价格x （元/kg ）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y 与x 的函数解析式；
(2)当每千克芒果的销售价格定为多少元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)
50
1250
y
x
(2)当每千克芒果的销售价格定为15 元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为5000 元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用和二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设y 与x 的函数解析式为
0
y
kx
b k
，然后结合题意，利用待定系数法求解即可；
（2）设销售这种芒果日获利w 元，可得w 与x 的二次函数解析式，结合二次函数的图像与性质，即可获得
答案．
【详解】（1）解：设y 与x 的函数解析式为
0
y
kx
b k
，
将
6,950 ，
12,650 代入，
可得
6
950
12
650
k
b
k
b
，解得
50
1250
k
b
，
所以，y 与x 的函数解析式为
50
1250
y
x
；
（2）设销售这种芒果日获利w 元，根据题意，
可得
2
2
(
4 1)( 50
1250)
50
1500
6250
50(
15)
5000
w
x
x
x
x
x
，
因为50
0
，且销售价格不高于18 元/ kg ，
所以当
15
x
时，w 有最大值，为5000 元．
答：当每千克芒果的销售价格定为15 元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为5000 元．
【技巧归纳】
设降价（或涨价）x 元，利润=（单件利润）×销量。单件利润=原利润±x，销量=原销量±kx，得二次函数。
求顶点横坐标得最佳定价，注意定义域（销量非负、价格非负）。开口向下有最大值。
【变式4-1】某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式
1
8
2
p
x
，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满
足一次函数关系，如下表：
销售价格x（元/千克）
2
4
10
市场需求量q/（百千克）
12
10
4
已知按物价部门规定销售价格x 不低于2 元/千克且不高于10 元/千克
(1)求q 与x 的函数关系式；
(2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x 的取值范围；
(3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废
弃，若该半成品食材的成本是2 元/千克．
①求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x 的函数关系式；
②当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x 的上涨而增加时，直接写出x 的取值范围．（利润售价成
本）
【答案】(1)
14
q
x
(2) 2
4
x
(3)①
2
13
105
2
4
y
x
；②
13
4
2
x
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，正确得出二次函数解析
式是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）由题意可得p
q
，进而得出x 的取值范围；
（3）①利用顶点式求出函数最值得出答案；②利用二次函数的增减性得出答案即可．
【详解】（1）解：设q
kx
b
（k，b 为常数且
0
k
），当
2
x
时，
12
q
，当
4
x
时，
10
q
，代入解
析式得：
2
12
4
10
k
b
k
b
，
解得：
1
14
k
b
，
∴q 与x 的函数关系式为：
14
q
x
．
（2）解：当产量小于或等于市场需求量时，有p
q
，
1
8
14
2 x
x
，
解得：
4
x
，
又2
10
x
，
∴2
4
x
；
（3）解：①当产量大于市场需求量时，可得4
10
x
，由题意得：厂家获得的利润是：
2
2
13
105
2
13
16
2
4
y
qx
p
x
x
x
；
②∵当
13
2
x
时，y 随x 的增加而增加．
又∵产量大于市场需求量时，有4
10
x
，
∴当
13
4
2
x
时，厂家获得的利润y 随销售价格x 的上涨而增加．
【变式4-2】宜昌某农副加工厂2023 年年初投入80 万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平
台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20 元/件，经市场调查发现，该产品的销售单
价定为25 元到30 元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关
系，售价x（元/件）与y（万件）的对应关系如表：
x
…
20
26
28
31
35
…
y
…
20
14
12
9
5
…
(1)求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式；
(2)2023 年年底该工厂共盈利16 万元，2024 年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产
的成本平均每件减少了1 元．
①求2023 年该特产的售价；
②该产品2024 年售价定为多少时，工厂利润最大? 最大利润是多少?
【答案】(1)每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为
40
y
x
；
(2)①2023 年该特产的售价为28 元；②该产品2024 年售价定为29 或30 元时，工厂利润最大，最大利润
是108 万元．
【分析】本题主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，学会构
建方程或函数解决问题是关键．
（1）用待定系数法求出一次函数关系式即可；
（2）①由题意列出一元二次方程
20
40
80
16
x
x
，并求解即可；②设2024 年售价定为x 元，工
厂利润为w 元，根据题意列出二次函数
19
40
w
x
x
，并求解即可．
【详解】（1）设该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为y
kx
b
，
由题意得：
20
20
26
14
k
b
k
b
，解得
1
40
k
b
，
每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为
40
y
x
，
（2）①由题意得：
20
40
80
16
x
x
，
解得：
1
2
28,
32
x
x
，
销售单价定为25 元到30 元之间，
28
x
，
2023 年该特产的售价为28 元；
②设2024 年售价定为x 元，工厂利润为w 元，根据题意得：
19
40
w
x
x
2
59
760
x
x
2
441
29.5
4
x
，
1
0
且25
30
x
，
当
29
x
或30 时，w 的值最大，最大值为
28 19
28
40
108
（万元），
该产品2024 年售价定为29 或30 元时，工厂利润最大，最大利润是108 万元．
题型5 利用二次函数解决图形问题
【例9】在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20 米长的栅栏
围成一个矩形花园ABCD （栅栏只围AB ，BC 两边）．
(1)若BC 比AB 长6 米，求AB 、BC 的长；
(2)若在墙角P 处有一棵树与墙CD、AD 的距离分别是12米和6 米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考
虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？
【答案】(1) AB 长7 米，BC 长13米
(2)花园可以围出的最大面积是
2
96m
【分析】（1）设AB 长x 米，依据BC 比AB 长6 米表示出BC 的代数式，再结合栅栏总长20 米列一元一次
方程，解方程得到AB 长后算出BC 长度；
（2）先设AB 为m 米，用总长表示BC ，根据树木位置列出m 的取值不等式确定取值范围，列出面积二次
函数，根据函数性质即可求出最大面积．
【详解】（1）解：设AB 长x 米，则BC 长
6
x
米，
根据题意，得：
6
20
x
x
，
解得
7
x
；
∴
6
13
x
；
答：AB 长7 米，BC 长13米；
（2）解：设AB 长m 米，则BC 长
20
m
米，
由题意得
6
20
12
m
m
，
解得6
8
m
，
∵花园面积
2
20
10
100
S
m
m
m
1
0
，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为
10
m
，
∴当6
8
m
时，S 随m 的增大而增大，
∴当
8
m
时，花园的面积取得最大值，
2
2
8 10
100
96
S
m
花园
，
答：花园可以围出的最大面积是
2
96m ．
【例10】某景区要建一个游乐场（如图所示），其中AD
CD
、
分别靠现有墙DM
DN
、
（墙DM 长为27 米，
墙DN 足够长），其余用篱笆围成．篱笆DE 将游乐场隔成等腰直角
CED
△
和长方形ADEB 两部分，并在三
处各留2 米宽的大门．已知篱笆总长为54 米．设AB 的长为x 米．
(1)则BE 的长为
米（用含x 的代数式表达）；
(2)当AB 多长时，游乐场的面积为320 平方米？
(3)直接写出当AB 为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？
【答案】(1)
60
3x
(2)当AB 长为16 米时，游乐园的面积是320 平方米；
(3)当AB 为12 米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360 平方米．
【分析】（1）根据BE 的长=篱笆总长
2 3
AB
DE
EC
得出结论；
（2）根据矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和=320 列出方程，解方程即可，并根据BE 的取值范围得
出结论；
（3）根据游乐场的面积=矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和列出函数解析式，由函数的性质求出最
大．
【详解】（1）解：由题意知，DE
CE
AB
BE
AD
，
，
设AB 的长为x 米，则BE 的长为54
3
6
60
3
x
x
米，
故答案为：
60
3x
；
（2）解：由题意得：
2
1
(60
3 )
320
2
x
x
x
，
解得
1
2
8
16
x
x
，
，
∵
0
60
3
27
60
3
2
x
x
x
，
解得
58
11
3
x
，
∴
16
x
，
答：当AB 长为16 米时，游乐园的面积是320 平方米；
（3）解：设游乐场的面积为y 平方米，
由题意得：
2
2
2
1
5
5
60
3
60
12
360
2
(
2
)
(
)
2
y
x
x
x
x
x
x
，
∵
58
11
3
x
，
∴当
12
x
时，y 有最大值，最大值为360，
答：当AB 为12 米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360 平方米．
【技巧归纳】
设未知边长或坐标，根据面积、周长等几何关系列二次函数。求最值时，用配方法或顶点公式，注意自变
量范围（边长>0，三角形两边和大于第三边）。开口方向决定最大或最小值。
【变式5-1】在开封古城墙遗址旁，考古队要保护一段城墙MN （长约80m ），他们想用200m 的围栏围出
一个矩形保护区域ABCD ，如图所示，一面利用现存城墙，设垂直于城墙的边长AB 为m
x
，并在边CD上留
一个宽为2m 的门．
(1)若矩形区域ABCD 长比宽多10m ，求此时长方形的长．
(2)设长方形区域的长BC 为m
y
，请写出y 与x 的函数关系式，并求出x 的最小值．
(3)求长方形区域ABCD 的面积S 的最大值．
【答案】(1)此时长方形的长为74m ；
(2)y 与x 的函数关系式为
202
2
y
x
，x 的最小值为61；
(3)长方形区域ABCD 的面积S 的最大值为
2
4880m ．
【分析】（1）根据题意列式
2
10
2
200
x
x
，据此计算即可求解；
（2）根据题意得
202
2
y
x
，再根据MN 长为80m ，求得61
101
x
，据此计算即可求解；
（3）得到二次函数
2
2
202
S
x
x
，结合61
101
x
，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设长方形的宽AB 为m
x
，则长BC 为
10 m
x
，
由题意得：
2
10
2
200
x
x
，
解得：
64
x
,
所以长
10
64 10
74 m
BC
x
，
答：此时长方形的长为74m ；
（2）解：由题意得：2
2
200
x
y
，
所以
202
2
y
x
，
因为城墙MN 长为80m ，
所以0
80
y
，即0
202
2
80
x
，
解得：61
101
x
，
所以x 的最小值为61，
答：y 与x 的函数关系式为
202
2
y
x
，x 的最小值为61；
（3）解：由题意得：
2
202
2
2
202
S
xy
x
x
x
x
2
101
10201
2
2
2
x
，
∵2
0
，61
101
x
，
∴当
101
2
x
时，S 随x 的增大而减小，
∴当
61
x
时，S 有最大值，最大值为4880．
答：长方形区域ABCD 的面积S 的最大值为
2
4880m ．
【变式5-2】蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一
般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空
间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED 构成，其中
3m
AB
，
4m
BC
，取BC
中点O，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E，若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，
OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线AED 的顶点
0,4
E
，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT ，SMNR ，若
0.75m
FL
NR
，求两个正方形装置的间距GM 的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A 点恰好照射到C 点，此时大棚截面的阴影为BK ，求BK 的长．
【答案】(1)
2
1
4
4
y
x
(2)0.5m
(3) 97 m
12
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为
2
4
y
ax
，求出A 点坐标，待定系数法求出函数解析式即
可；
（2）求出
3.75
y
时对应的自变量的值，得到FN 的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线AC 的解析式，进而设出过点K 的光线解析式为
3
4
y
x
m
，利用光线与抛物线相切，求出m
的值，进而求出K 点坐标，即可得出BK 的长．
【详解】（1）解：∵抛物线AED 的顶点
0,4
E
，
设抛物线的解析式为
2
4
y
ax
，
∵四边形ABCD为矩形，OE 为BC 的中垂线，
∴
4m
AD
BC
，
2m
OB
，
∵
3m
AB
，
∴点
2,3
A
，代入
2
4
y
ax
，得：
3
4
4
a
，
∴
1
4
a
，
∴抛物线的解析式为
2
1
4
4
y
x
；
（2）∵四边形LFGT ，四边形SMNR 均为正方形，
0.75m
FL
NR
，
∴
0.75m
MG
FN
FL
NR
，
延长LF 交BC 于点H ，延长RN 交BC 于点J ，则四边形FHJN ，四边形ABFH 均为矩形，
∴
3m,
FH
AB
FN
HJ
，
∴
3.75m
HL
HF
FL
，
∵
2
1
4
4
y
x
，当
3.75
y
时，
2
1
3.75
4
4 x
，解得：
1
x ，
∴
1,0
H
，
1,0
J
，
∴
2m
FN
HJ
，
∴
0.5m
GM
FN
FG
MN
；
（3）∵
4m
BC
，OE 垂直平分BC ，
∴
2m
OB
OC
，
∴
2,0 ,
2,0
B
C
，
设直线AC 的解析式为y
kx
b
，
则：
2
0
2
3
k
b
k
b
，解得：
3
4
3
2
k
b
，
∴
3
3
4
2
y
x
，
∵太阳光为平行光，
设过点K 平行于AC 的光线的解析式为
3
4
y
x
m
，
由题意，得：
3
4
y
x
m
与抛物线相切，
联立
2
1
4
4
3
4
y
x
y
x
m
，整理得：
2
3
4
16
0
x
x
m
，
则：
2
3
4 4
16
0
m
，解得：
73
16
m
；
∴
3
73
4
16
y
x
，当
0
y
时，
73
12
x
，
∴
73 ,0
12
K
，
∵
2,0
B
，
∴
73
97
2
m
12
12
BK
．
题型6 利用二次函数解决图形运动问题
【例11】如图所示，在
ABC
中，
90
B
Ð
=
°，
8cm
BC
，
6cm
AB
，动点P 从A 出发沿边AB 向点B 以1cm / s
的速度运动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm / s 的速度运动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时
出发，在运动过程中，求PBQ 的最大面积．
(1)当P ，Q 同时出发后经过st 时，BQ _____cm，BP _____cm．
(2)在运动过程中，求PBQ
的最大面积．
【答案】(1)2t ；6
t
(2)
2
9cm
【分析】
（1）根据“路程=速度×时间”得P ，Q 同时出发后经过st 时，
cm
AP
t
，
2 cm
BQ
t
，根据BP
AB
AP
可求出BP ；
（2）设P、Q 同时出发后经过st ，PBQ
的面积为
2
cm
S
，则
cm
AP
t
，
2 cm
BQ
t
，
6
cm
BP
AB
AP
t
，
进而得到S 的表达式；由于S 的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t 的取值范围就能得出
PBQ
面积的最大值．
【详解】（1）解：当P ，Q 同时出发后经过st 时，
cm
AP
t
，
2 cm
BQ
t
，
又
6cm
AB
，
∴
6
cm
BP
AB
AP
t
；
（2）解：设P、Q 同时出发后经过st ，PBQ
的面积为
2
cm
S
，则
cm
AP
t
，
2 cm
BQ
t
，
6
cm
BP
AB
AP
t
，
则
2
2
1
6
3
9
2
S
BP BQ
t
t
t
．
∵
8cm
BC
，
6cm
AB
，动点P 从A 出发沿边AB 向点B 以1cm / s 的速度运动，动点Q 从点B 开始沿边BC
向点C 以2cm / s 的速度运动，
∴0
4
t
，
∴
2
3
9 0
4
S
t
t
，
∴
3
t
时，S 有最大值，最大值为9，即PBQ
的最大面积为
2
9cm ．
【例12】如图①，在等腰直角三角形ABC 中，
90
ACB
，
4 2
AC
BC
．动点P 从点A 出发向终点C
运动（不与点A 、C 重合），速度为每秒2 个单位长度．过点P 作PQ
AB
于点Q ，以PQ为边向右侧作
矩形PQMN ，且
2
PN
PQ
．设点P 运动时间为t 秒．
(1)用含t 的代数式表示线段PN 的长________；
(2)当点N 落在边BC 上时，求t 的值；
(3)当点M 在线段AB 上时（不与点B 重合），设矩形PQMN 与
ABC
重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的
函数关系式．
【答案】(1)
2
PN
t
；
(2)点N 落在边BC 上时，t 的值为2；
(3)
2
2
2
0
2
8
6
32
32 2
3
t
t
S
t
t
t
．
【分析】（1）先得出
45
A
B
，又四边形PQMN 是矩形，则PQ
MN
，
90
PQM
，从而有
45
A
APQ
，所以AQ
PQ
，然后通过勾股定理得PQ
t
，再代入即可求解；
（2 ）可得
ABC
、
APQ
△
、BNM
都是等腰直角三角形，又四边形PQMN 是矩形，则
AQ
PQ
BM
MN
t
，
2
PN
QM
t
，
8
AB
，所以AQ
QM
BM
AB
，即
2
8
t
t
t
，然后
求出t 的值即可；
（3）分当0
2
t
时，当
8
2
3
t
时，两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵
90
ACB
，AC
BC
，
∴
45
A
B
，
∵四边形PQMN 是矩形，
∴PQ
MN
，
90
PQM
，
∴
90
AQP
，
∴
45
A
APQ
，
∴AQ
PQ
，
∵
2
2
2
AQ
PQ
AP
，
∴
2
2
2
2
PQ
PQ
t
，
∴PQ
t
，
∴
2
2
PN
PQ
t
，
故答案为：2t ；
（2）解：当点N 落在边BC 上时，如图，
同（1）理可得
ABC
、
APQ
△
、BNM
都是等腰直角三角形，
∵四边形PQMN 是矩形，
∴AQ
PQ
BM
MN
t
，
2
PN
QM
t
，
∵
90
ACB
，
4 2
AC
BC
，
∴
2
2
2
2
4 2
4 2
8
AB
AC
BC
，
∴AQ
QM
BM
AB
，即
2
8
t
t
t
，
∴
2
t
，
∴点N 落在边BC 上时，t 的值为2 ；
（3）解：当点M 与点B 重合时，
2
8
t
t
，
8
3
t
，
当0
2
t
时，
重叠部分的面积S 就是矩形PQMN 的面积，此时，
2
2
2
S
t
t
t
；
当
8
2
3
t
时，如图，
∵四边形PQMN 是矩形，
∴
90
N
，QM
AB
∥
，
∴
45
A
B
MFB
EFN
MEF
，
∴
APQ
△
、BMF
、NEF
都是等腰直角三角形，
∵AQ
PQ
t
，
2
PN
QM
t
，
∴
8
3
BM
MF
t
，
∴
8
3
4
8
NF
MN
MF
t
t
t
，
∴
2
2
2
1
2
4
8
6
32
32
2
S
t
t
t
t
，
综上所述：
2
2
2
0
2
8
6
32
32 2
3
t
t
S
t
t
t
．
【技巧归纳】
设运动时间t，用t 表示线段长、面积等变量，建立关于t 的二次函数。根据运动过程确定t 的定义域。求最
值或特定值时，利用顶点公式或解方程。注意点运动方向导致分段函数可能不同。
【变式6-1】如图，在矩形ABCD 中，
6cm
AB
，
12cm
BC
，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点
B 匀速移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s的速度向点C 匀速移动．设点P 运动的时间为
s 0
6
t
t
．
(1) AP ___________cm，CQ ___________cm（用含t 的代数式表示）
(2)记BQP
的面积为
1S ，
DPQ
的面积为
2S ．
①试判断
1
2
S
S
是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
②求
2
1
S
S
的最小值．
【答案】(1) AP
t
，
12
2
CQ
t
(2)①是，
2
36cm ；②
2
18cm
【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键．
（1）根据题意列出相关代数式即可；
（2）分别计算出
1S 和
2S ，①求得
1
2
36
S
S
是定值；②求得
2
2
1
2
3
18
S
S
t
，运用二次函数的性质
可得结论．
【详解】（1）解：∵点P 的速度是1cm/s ，运动时间为st ，所以
cm
AP
t
；
点Q 的速度是2cm/s，运动时间为st ，所以
2 cm
BQ
t
；
∵
12cm
BC
，
∴
12
2 cm
CQ
BC
BQ
t
；
故答案为：t，12
2t
；
（2）解：①
6cm
AB
，
12cm
BC
，
∴
6
BP
AB
AP
t
；
2
BQ
t
；
∴
2
1
1
1
6
2
6
6
2
2
S
BP BQ
t
t
t
t
t
t
；
又矩形ABCD 的面积为
2
6 12
72
AB BC
cm
，
1
1
12
6
2
2
ADP
AP AD
t
t
S
；
1
1
6
12
2
3(12
2 )
36
6
2
2
DCQ
CD CQ
t
t
t
S
；
∴
2
1
72
ADP
DCQ
S
S
S
S
2
72
6
6
36
6
t
t
t
t
2
72
6
6
36
6
t
t
t
t
2
6
36
t
t
∴
2
2
2
2
2
1
2
6
6
36
6
6
36
36cm
S
S
t
t
t
t
t
t
t
t
，是定值；
②
2
2
2
1
6
36
6
S
S
t
t
t
t
2
2
6
36
6
t
t
t
t
2
2
12
36
t
t
2
2
6
9
18
t
t
2
2
3
18
t
∵2
0
，
∴当
3
t
时，
2
1
S
S
取得最小值
2
18cm ．
【变式6-2】综合与实践：
【问题提出】如图（1）在
ABC
中，
90
A
，D 为AB 的中点，点P 沿折线D
A
C
运动（运动到点C
停止），以DP 为边在DP 上方作正方形DPEF ．设点P 运动的路程为x ，正方形DPEF 的面积为y ．
【初步感悟】（1）当点P 在AD 上运动时，①若
5
x
，则y
；
②y 关于x 的函数关系式为
；
（2）当点P 从点A 运动到点C 时，经探究发现y 是关于x 的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，
直线
4
x
是其图象所在抛物线的对称轴，求y 关于x 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】（3）当
12
y
x
时，AP 的长为
，此时y 关于x 的函数图象上点的坐标
为
；
（4）连接正方形DPEF 的对角线DE
PF
，
，两对角线的交点为M ，求点A 在DFM
内部时x 和y 的取值范
围．
【答案】（1）①5；②
2
y
x
=
；（2）
2
8
32 4
12
y
x
x
x
；（3）0 或1；
4,16 或
5,17 ；（4）点A
在DFM
内部时x 的取值范围为8
12
x
，y 的取值范围为32
80
y
．
【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可；
（2）当
4
x
时，点P 与点A 重合，求得
4
AD
，由题图（2）可知点P 与点C 重合时，
20
y
，即
2
20
CD
，
在Rt
ACD
△
中，利用勾股定理即可求解；
（3）分当0
4
x
和当4
12
x
时，即可求解；
（4）取AC 的中点N ，连接DN ，分析点P 的运动规律可求得，点A 在DFM
内部时x 的取值范围为8
12
x
，
y 的取值范围为32
80
y
．
【详解】解：（1）①若
5
x
，则
2
5
5
y
；
②y 关于x 的函数关系式为
2
y
x
=
；
故答案为：5；
2
y
x
=
；
（2）由题意可知，当
4
x
时，点P 与点A 重合，
∴
4
AD
，此时
2
4
16
y
，
连接CD，
由题图（2）可知点P 与点C 重合时，
80
y
，即
2
80
CD
，
在Rt
ACD
△
中，
2
2
2
AD
AC
CD
，即
2
2
4
80
AC
，
∴
8
AC
（负值已舍），
当点P 在AC 上运动时，
4
x
AD
AP
AP
，
∴
4
AP
x
，
∴在Rt ADP
中，
2
2
2
2
2
2
4
4
8
32
DP
AD
AP
x
x
x
，
∴
2
8
32
y
x
x
，
即当点P 在AC 上运动时，y 关于x 的函数关系式为
2
8
32 4
12
y
x
x
x
；
（3）当0
4
x
时，
2
y
x
=
，
则
12
y
x
时，
2
12
0
x
x
，
解得
3
x （舍去）或
4
x
（舍去）；
当4
12
x
时，
2
8
32
y
x
x
，
则
12
y
x
时，
2
9
20
0
x
x
，
解得
4
x
或
5
x
；
当
4
x
时，
16
y
，此时
0
AP
，
当
5
x
时，
17
y
，此时
1
AP ，
∴当
12
y
x
时，AP 的长为0 或1，此时y 关于x 的函数图象上点的坐标为
4,16 或
5,17 ；
故答案为：0 或1；
4,16 或
5,17 ；
（4）由（2）知，
4
AD
，
8
AC
，
又∵D 为AB 的中点，
∴
8
AB
AC
，
取AC 的中点N ，连接DN ，
∴
1
4
2
AN
AC
AD
，DN 是
ABC
的中位线，
∴
∥
DN
BC ，
又∵
90
A
，
∴
ADN
△
是等腰直角三角形，
∵四边形DPEF 是正方形，
∴MDP
是等腰直角三角形，
分析点P 的运动规律可知，当点P 运动到DP
BC
∥
，即点P 运动到点N 处时，点A 与点M 重合，
点P 在线段CN (不含点N )上运动时，点A 在DFM
内部，
当点P 运动到点N 处时，
4
4
8
x
，此时
2
8
32
32
y
x
x
；
当
12
x
，
2
12
8 12
32
80
y
；
∴点A 在DFM
内部时x 的取值范围为8
12
x
，y 的取值范围为32
80
y
．
一、单选题
1．某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1 所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘
贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC 与地面平行，且BC
AD
∥
，抛物线最
高点的五角星（点E ）到BC 的距离为0.6m,
2m,
4m
BC
AD
，如图2 所示，则点C 到AD 的距离为（
）
A．1.5m
B．1.8m
C．2m
D．2.4m
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点D 的横坐标为2，代
入抛物线计算即可得解．
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可得点C 的坐标为
1,0 ，点B 的坐标为
1,0
，则点E 的坐标为
0,0.6 ，
故设抛物线的解析式为
1
1
y
a x
x
，
将点E 的坐标代入上式，得
0 1
0 1
0.6
a
，
解得：
0.6
a
，
抛物线的解析式为
0.6
1
1
y
x
x
．
点D 的横坐标为2，
点D 的纵坐标为
0.6
2 1
2 1
1.8
，
点C 到AD 的距离为1.8m ．
2．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线
2
3
5
3
y
a x
a
（a 为常数，
0
a
）运动，其中x（单位：
m ）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m ）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度OA
为1.6 m ，有下列结论：
①
0.1
a
；
②铅球运动的高度可以是2.4m ；
③铅球掷出的水平距离OB 为8m ；
④当铅球离地面的高度为2.1m 时，它离初始位置的水平距离为1m ．
其中，正确结论的个数为（）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】利用抛出时
0
x
，
1.6
y
求出a ，得到抛物线解析式，再结合二次函数最值，解方程逐个判断4
个结论正误．
【详解】解：抛物线
2
3
5
3
y
a x
a
经过点
0,1.6 ，
1.6
9
5
3
a
a
，
解得
0.1
a
，①正确；
抛物线的关系式为
2
0.1
3
2.5
y
x
，
当
3
x
时，
2.5m
y
最大
，
铅球运动的高度可以是2.4m ，②正确；
当
0
y
时，
2
0.1
3
2.5 = 0
x
，
解得
1
2
x （舍），
2
8
x
，
铅球掷出的水平距离OB 为8m ，③正确；
当
2.1
y
时，
2
0.1
3
2.5
2.1
x
，
解得
1
1
x ，
2
5
x
，
它离初始位置的水平距离是1m或5m ，④错误，
所以正确的有①②③共3 个．
3．如图1 所示的矩形窗框ABCD 的周长及其两条隔断EF 、GH 的总长为a 米，且隔断EF 、GH 分别与矩
形的两条邻边平行，设BC 的长为x 米，矩形ABCD 的面积为y 平方米，y 关于x 的函数图象如图2，给出
的下列结论：
①矩形
˙
ABCD 的最大面积为4 平方米；
②y 与x 之间的函数关系式为
2
4
y
x
x
；
③当
4
x
时，矩形ABCD 的面积最大；
④a 的值为12．其中正确的结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】观察图2，得出当
2
x
时，函数值
4
y
最大，根据题意确定a 的值，并可求出二次函数解析式，
即可做出正确判断．
【详解】解：观察图2，得出当
2
x
时，函数值
4
y
最大，即矩形
˙
ABCD 的最大面积为4 平方米，
∴①说法正确，③说法错误；
由图2 可知，函数图象最高点为
2,4
P
，经过原点，
设二次函数解析式为
2
1
2
4
y
a
x
，
代入
0,0 得
2
1
0
0
2
4
a
解得
1
1
a ，
∴
2
2
2
4
4
y
x
x
x
，
∴②说法正确；
当
2
x
时，函数值
4
y
最大，即矩形
˙
ABCD 的最大面积为4 平方米，此时
2
BC
，
4
2
2
AB
，
∵隔断EF 、GH 分别与矩形的两条邻边平行，
∴四边形BCFE 和ABHG 都是矩形，
∴
2
AD
BC
EF
，
2
CD
AB
GH
，
∴矩形窗框ABCD 的周长及其两条隔断EF 、GH 的总长
3
3
3 2
3 2
12
a
BC
AB
米，
∴④说法正确．
综上所述，正确的结论有①②④，共3 个．
二、填空题
4．某商店销售A，B 两款商品，利润y（单位：元）与销量x（单位：袋）的关系分别为
2
1
23
y
x
x
和
2
4
y
x
．若
本周销售两款商品一共30 袋，则能获得的最大利润为______元．
【答案】
210
【分析】设销售A 款商品x 袋，则销售B 款商品
30
x
袋，根据总利润等于两款商品利润之和，列出总利
润的函数解析式，再利用配方法求函数的最大值，注意x 为正整数.
【详解】解：设销售A 款商品x 袋，则销售B 款商品
30
x
袋，x 为非负整数，且0
30
x
，
由题意，总利润
2
2
2
1
2
19
841
23
4 30
19
120
2
4
y
y
y
x
x
x
x
x
x
，
∵二次项系数1
0
，
∴抛物线开口向下，函数在
19
9.5
2
x
处取得最大值，
x
为非负整数，
当
9
x
或
10
x
时，y 取得最大值，
将
10
x
代入得
2
10
19 10 120
210
y
；
故能获得的最大利润为210 元.
5．如图，一根铝合金型材长为6 m ，用它制作一个“日”字型窗户的框架ABCD ，如果恰好用完整条铝合金
型材，则窗户的最大面积是_______
2
m ．
【答案】3
2
【分析】设AD 为x ，则
6
3
2
x
AB
，根据矩形的面积求得面积S 与AD 的函数关系，根据二次函数的性质
求解即可求得答案．
【详解】解：设AD 为x ，则
6
3
2
x
AB
，
则窗户的面积S
2
6
3
3
3
(
1)
2
2
2
x
x
x
当
1
x 时，S 取得最大值为3
2 ．
6．景区喷泉以出水口O为原点建立坐标系，水柱高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）满足：
2
1 (
4)
5
3
y
x
．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道EFGH ，通道顶部EH 距离水柱竖直高度不少于
2 米，通道宽度
2
FG
米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______．
【答案】8
3 米
【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为
4,5 ，对称轴为直线
4
x
，然后可得
3,0 ,
5,0
F
G
，当通
道顶部EH 到水柱的竖直距离均等于2 米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解．
【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系
2
1 (
4)
5
3
y
x
，
∴该二次函数的顶点坐标为
4,5 ，对称轴为直线
4
x
，
∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形EFGH 通道，
∴矩形EFGH 关于抛物线的对称轴对称，
∵通道宽FG 为2 米，
∴
4 1,0 ,
4 1,0
F
G
，即
3,0 ,
5,0
F
G
，
∵通道顶部EH 到水柱的竖直距离均不小于2 米，
∴
2
EH
y
y
水柱
，即
2
EH
y
y
水柱
，
即当通道顶部EH 到水柱的竖直距离均等于2 米时，通道顶端到地面有最大高度，
当
3
x
时，则有
2
14
3
4
5
3
1
3
y
，
∴通道顶端到地面的最大高度为14
8
2
3
3
（米）．
三、解答题
7．某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000 元时，100 辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加
50 元，则少租出1 辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200 元，
(1)若每月租出x 辆汽车，则每辆汽车月租费增加______元，该出租公司的月利润______元；
(2)若出租公司的月利润为304000 元，则租出多少辆汽车？
(3)当每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月利润最大？最大月利润是多少？
【答案】(1)
50 100
x
；
2
50
7800
x
x
(2)80 或76
(3)当每月租出78辆汽车时，该出租公司的月利润最大，是304200元
【分析】（1）根据若每辆汽车的月租费每增加50 元，则少租出1 辆汽车，列式计算每辆汽车月租费增加
钱数，再根据每辆汽车月租费乘以车辆数，并减去维护费等于总收益计算该出租公司的月利润；
（2）由（1）中月利润等于304000，列方程计算即可；
（3）根据题意找出月利润和车辆数的函数关系式，根据二次函数的性质确定答案．
【详解】（1）解：由题意知，共100 辆汽车，若每月租出x 辆汽车，则少租出
100
x
辆汽车，
∵若每辆汽车的月租费每增加50 元，则少租出1 辆汽车，
∴每辆汽车月租费增加
50 100
x
；
∵每辆汽车月租费为
3000
50 100
50
8000
x
x
（元），
∴该出租公司的月利润为
2
50
8000
200
50
7800
x
x
x
x
x
（元）；
（2）解：
2
50
7800
304000
x
x
，
化简得，
2
156
6080
0
x
x
，
80
76
0
x
x
，
1
80
x
，
2
76
x
，
答：租出80 辆或76 辆汽车；
（3）解：设每月租出x 辆汽车，该出租公司的月利润为y 元，
由题意知，
2
50
7800
y
x
x
，
整理得，
2
2
50
7800
50
78
304200
y
x
x
x
，
∵50
0
，∴开口向下，
当
78
x
时，y 有最大值，最大值为304200，
答：当每月租出78 辆汽车时，该出租公司的月利润最大，最大月利润是304200 元．
8．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA ，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如
图，以O为原点，水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C 、D 为水柱的落水
点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
2
1 (
5)
6
6
y
x
．
(1)求雕塑OA 的高；
(2)求落水点C、D 之间的距离；
(3)若需要在OD 上的点E 处竖立雕塑EF ，
8m
OE
，
3m
EF
，
D
EF
O
．问：顶部F 是否会碰到水柱？
请通过计算说明．
【答案】(1)雕塑OA 的高为11m
6
(2) 22m
(3)当
8
x
时，
2
1
9
8
5
6
6
2
y
(
)
，
∴点
9
8, 2
在抛物线
2
1 (
5)
6
6
y
x
上．
又∵
9
3
2
，
∴顶部F 不会碰到水柱．
【分析】（1）直接令
0
x
，代入
2
1
5
6
6
y
x
求解可得；
（2）可先求出OD 的距离，再根据对称性求CD的长；
（3）利用
2
1
5
6
6
y
x
，计算出
8
x
的函数值y ，再与EF 的长进行比较可得结论．
【详解】（1）解：当
0
x
时，
2
1
11
0
5
6
6
6
y
(
)
，
∴点A 的坐标为
11
0, 6
，
∴雕塑OA的高为11m
6
．
（2）解：当
0
y
时，
2
1 (
5)
6
0
6 x
，
解得
1
1
x （舍去），
2
11
x
，
∴点D 的坐标为(11,0)，
∴
11m
OD
．
∵从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴
11m
OC
OD
，
∴
=22m
CD
OC
OD
．
（3）略
9．小明同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的
飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为x 轴，起抛点所
在铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线
2
1
8
y
x
x
a
和直线
1
2
y
x
b
．其中，当纸飞机
飞行的水平距离为6 m 时，自动进入滑行阶段．
(1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3 m．
①直接写出a 和b 的值；
②小明的前方有一堵2 m 高的围栏，若要纸飞机顺利飞过围栏，求小明与围栏之间距离的取值范围；
(2)要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过14 m ，直接写出a 的最大值．
【答案】(1)①
3 ,
6
2
a
b
；②4
2 3
8
x
；
(2)
5
2
a
【分析】（1）①由纸飞机进入滑行阶段时的高度为3m ，可得抛物线
2
1
8
y
x
x
a
和直线
1
2
y
x
b
都
过点
6,3 ，分别代入计算即可；
②将
2
y
代入两个函数解析式，求出x 的值，即可得出结果；
（2）由题意得：
1
2
y
x
b
经过
14,0 ，得到直线表达式，再得到抛物线
2
1
8
y
x
x
a
经过
6,4 ，进
而即可求解．
【详解】（1）解：①∵纸飞机进入滑行阶段时的高度为3m ，
∴抛物线
2
1
8
y
x
x
a
和直线
1
2
y
x
b
都过点
6,3 ，
∴
2
1
3
6
6
8
a
，
1
3
6
2
b
，
∴
3 ,
6
2
a
b
；
②由①可知，抛物线的解析式为
2
1
3
8
2
y
x
x
，直线的解析式为
1
6
2
y
x
，
当
2
1
3
2
8
2
y
x
x
时，解得
4
2 3
x
或
4
2 3
6
x
（舍去）；
当
1
6
2
2
y
x
时，解得
8
x
；
∴小明与围栏之间距离的取值范围为4
2 3
8
x
；
（2）解：由题意得：
1
2
y
x
b
经过
14,0 ，
1
0
14
2
b
，解得：
7
b
，
1
7
2
y
x
．
∴当
6
x
时，
4
y
，抛物线
2
1
8
y
x
x
a
经过
6,4 ，
2
1
6
6
4
8
a
，解得：
5
2
a
．
10．在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1 是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮
廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为x 轴，以枝干所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，
两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点A 的坐标为
0,6 ．右侧叶尖B 距离地
面10 cm ，与枝干的水平距离为3 cm ．
(1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式；
(2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为
2
1
1
7
6
3
3
y
x
x
，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取
一点P ，过点P 作x 轴的垂线交下方轮廓于点Q ，求PQ的最大值．
【答案】(1)
2
4
6
9
y
x
(2) PQ的最大值为7
4
【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，直接设顶点式
2
6
y
ax
；把已知点
3,10
B
代入解析式求出系数a，
即可得到抛物线表达式．
（2）设两点横坐标相同，分别写出P、Q 坐标；用上方点纵坐标减下方点纵坐标列出线段PQ的二次函数关
系式；对二次式配方，结合开口方向与自变量取值范围，求出PQ最大值．
【详解】（1）解：由题意，得该抛物线的顶点坐标为
0,6 ．点B 的坐标为
3,10 ．
设这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为
2
6
0
y
ax
a
，
将点
3,10
B
代入
2
6
y
ax
，得
10
9
6
a
，
解得
4
9
a
，
∴这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为
2
4
6
9
y
x
；
（2）解：∵点P ，Q 分别在抛物线
2
1
1
7
6
3
3
y
x
x
和抛物线
2
4
6
9
y
x
上，
∴设点P 的坐标为
2
1
7
,
6
3
3
m
m
m
（0
3
m
），点Q 的坐标为
2
4
,
6
9
m
m
，
2
2
2
2
1
7
4
7
7
7
3
7
6
6
3
3
9
9
3
9
2
4
PQ
m
m
m
m
m
m
．
7
0
9
，0
3
m
，
∴当
3
2
m
时，PQ的最大值为7
4 ．
11．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20 米）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另
外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长AB 为x 米，面积为y 平方米．
(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x 的值；若不能，请说明理由；
(3)当x 是多少时，矩形花园面积y 最大？最大面积是多少？
【答案】(1)
2
2
36
y
x
x
；8
18
x
(2)当
17
x
时，满足条件的花园面积能达到34平方米
(3)当
9
x
时，y 最大，最大面积是162平方米
【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围；
（2）把
34
y
代入解方程并检验取值；
（3）配方法求二次函数在定义域内的最值．
【详解】（1）解：
AB
x
米，三边栅栏总长为36米，
36
2
BC
x
米．
36
2
y
x
x
，即
2
2
36
y
x
x
．
墙长20 米，
0
36
2
20
x
，
解得8
18
x
．
（2）解：令
34
y
，则
2
2
36
34
x
x
，
整理，得
2
18
17
0
x
x
，
解得
17
x
或
1
x ．
8
18
x
，
17
x
，
当
17
x
时，满足条件的花园面积能达到34平方米．
（3）解：将
2
2
36
y
x
x
化为顶点式为
2
2(
9)
162
y
x
，
8
18
x
，
当
9
x
时，y 最大，最大面积是162平方米．
12．【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点O，其正上方0.5
米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物
线型，且水流始终在同一竖直平面内．
【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（x 轴在水面水平方向，y 轴竖直向上），
其中A 为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点B 时的坐标为
2,2.5 ，随
后水流落回水面上的点C ．
(1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式；
(2)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径OC 的长（结果保留根号）；
(3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点C 距离中心O恰好为5 米时，视觉效果最好．在不改变抛物
线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？
【答案】(1)
2
1
1
2
2
2
y
x
x
(2)
2
5
OC
米
(3)要把喷泉喷头升高2 米．
【分析】（1）理解题意，先设该抛物线的函数表达式为
2
2
2.5
y
a x
，再运用待定系数法求出解析式，
即可作答．
（2）理解题意，把
0
y
代入
2
1
1
2
2
2
y
x
x
计算，再结合C 在x 轴的正半轴，故半径OC 的长为
2
5
米．
（3）理解题意，设要把喷泉喷头升高r 米，得出升高后的抛物线的解析式为
2
1
2
2.5
2
y
x
r
，把整
理得出的
5,0
C
代入
2
1
2
2.5
2
y
x
r
计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，
0,0.5
A
，
∵最高点B 时的坐标为
2,2.5 ，
∴设该抛物线的函数表达式为
2
2
2.5
y
a x
，
把
0,0.5
A
代入
2
2
2.5
y
a x
，得
2
0.5
0
2
2.5
a
解得
1
2
a
，
∴
2
2
1
1
1
2
2.5
2
2
2
2
y
x
x
x
（2）解：由（1）得
2
1
1
2
2
2
y
x
x
，
依题意，把
0
y
代入
2
1
1
2
2
2
y
x
x
，
得
2
1
1
0
2
2
2
x
x
整理得
2
4
1
0
x
x
2
2
5
x
解得
1
2
5
x
，
2
2
5
0
x
∵C 在x 轴的正半轴，
∴
2
5,0
C
．
∴半径OC 的长为
2
5
米．
（3）解：由（1）得
2
1
2
2.5
2
y
x
，
设要把喷泉喷头升高r 米，
依题意，升高后的抛物线的解析式为
2
1
2
2.5
2
y
x
r
∵水流落点C 距离中心O恰好为5 米，
∴
5,0
C
把
5,0
C
代入
2
1
2
2.5
2
y
x
r
，
得
2
1
0
5
2
2.5
2
r
整理得
9
0
2.5
2
r
解得
2
r
∴要把喷泉喷头升高2 米．
13．多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图
①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B 为该抛
物线的最高点，点B 到地面的距离为3 米，棚顶与立柱的交点A 到地面的距离为2 米，且点A 和点B 的水平
距离为6 米．
(1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
(2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5 米，车厢最高点与遮阳棚接触点P
离地面高约2.5 米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方．
【答案】(1)
2
1
6
3
36
y
x
，
0
6
x
；
(2)解：不可以，理由如下：
根据题意：设点P 的坐标为
,2.5
x
，
将
2.5
y
代入
2
1
6
3
36
y
x
中，
得
2
1
2.5
6
3
36 x
，
解得
1
6
3 2
x
（舍去），
2
6
3 2
x
．
25
18
，
5
3 2
，
5
3 2
0
，
6
3 2
5
6
这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方．
【分析】
（1）由题可得：抛物线的顶点B 的坐标为
6,3 ．设y 与x 的函数解析式为
2
0
6
y
a x
h
k
x
，
再进一步利用待定系数法求解即可．
（2）设点P 的坐标为
,2.5
x
，代入抛物线的解析式求解x ，再进一步判断即可．
【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点B 的坐标为
6,3 ．
设y 与x 的函数解析式为
2
0
6
y
a x
h
k
x
，
抛物线的函数解析式为
2
6
3
y
a x
．
点A 的坐标为
0,2 ，
将点A 代入函数解析式中，得
2
2
0
6
3
a
，
解得
1
36
a
．
抛物线的函数解析式为
2
1
6
3
36
y
x
，
0
6
x
．
（2）略
14．综合与实践
为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动．如图1，在等
腰Rt
ABC
△
中，
90
BAC
，
12
AB
，动点E ，F 同时从点A 出发，分别沿射线AB 和射线AC 的方向匀
速运动，且均以2 cm/s
的速度运动．当点E 停止运动时，点F 也随之停止运动．连接EF ．以EF 为边向下
作正方形EFGH ，设点E 的运动时间为
s
x（0
6
x
），正方形EFGH 和四边形BEFC 重合部分图形的面
积为
2
cm
y
．
(1)【直观感知】EF 的长为________cm（用含x 的代数式表示）．
(2)【初步探究】如图2，当HG 落在BC 上时，求x 的值．
(3)【深入研究】如图3．当HG 在BC 的下方时，求y 与x 之间函数关系式．
(4)【问题解决】在点E ，F 的运动过程中，正方形EFGH 和四边形BEFC 重合部分图形的面积y 的最大值
是多少？（直接写出结果）
【答案】(1)2 2x
(2)2
(3)
2
2
24
2
6
y
x
x
x
(4)
2
36cm
【分析】（1）易得AEF
为等腰直角三角形，进行求解即可；
（2）易得BHE
为等腰直角三角形，得到
2
2
BE
EH
EF
，再根据AB
AE
BE
，列出方程进行求解
即可；
（3）设EH ，FG 分别交BC 于点
,
M N ，则BEM
为等腰直角三角形，四边形EFNM 为矩形，求出EM 的
长，根据题意，得到重叠部分的面积即为矩形EFNM 的面积，进行求解即可；
（4）分两种情况，进行讨论，求出最值即可.
【详解】（1）解：由题意，
2
AE
AF
xcm
，
∵
90
BAC
，
∴
2
2 2
EF
AE
xcm
；
（2）解：∵等腰Rt
ABC
△
中，
90
BAC
，
12
AB
，
∴
45
B
C
，
∵正方形EFGH ，HG 落在BC 上
∴
90 ,
2 2
EHG
EHB
EH
EF
xcm
，
∴BHE
为等腰直角三角形，
∴
2
4
BE
EH
xcm
，
∴
6
12
AB
AE
BE
x
，
∴
2
x
；
（3）解：当2
6
x
时，设EH ，FG 分别交BC 于点
,
M N ，
则BEM
为等腰直角三角形，四边形EFNM 为矩形，
∵
2
AE
AF
xcm
，
2 2
EF
xcm
；
∴
12
2
BE
x cm
，
∴EM
BM
2 12
2
2
x cm
，
∴
2
2
2 2
12
2
4
24
2
y
EF EM
x
x
x
x
；
（4）解：当0
2
x
时，重叠部分的面积即为正方形EFGH 的面积，
∴
2
2
2 2
8
y
x
x
，
∴当
2
x
时，y 值最大为
2
2
8 2
32cm
；
当2
6
x
时，由（3）可知：
2
2
4
24
4
3
36
y
x
x
x
；
∴当
3
x
时，y 值最大为
2
36cm ；
∵36
32
，
∴正方形EFGH 和四边形BEFC 重合部分图形的面积y 的最大值是
2
36cm .
