文档文本内容
第02 讲用配方法求解一元二次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 直接开平方法解一元二次方程
题型2 直接开平方法解一元二次方程的复合型
题型3 用配方法配二次项系数为1 的一元二次方程
题型4 用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程
题型5 用配方法配二次项系数不为1 的一元二次方程
题型6 用配方法解二次项系数不为1 的一元二次方程
题型7 用配方法解一元二次方程错解复原问题
题型8 配方法的应用
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
配方法、完全平方、
配方、降次、恒等变
形。
1. 理解配方法的原理，掌握将一元二次方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。
2. 能熟练运用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程。
3. 掌握二次项系数不为1 时，先化系数为1 再配方的方法。
4. 体会从特殊到一般的思想，理解配方法推导求根公式的基础作用。
学习重点：用配方法解一元二次方程的一般步骤，特别是“配方”的变形过程。
学习难点：对二次项系数不为1 的方程进行配方，以及理解配方法中“两边加一次项系数一半平方”
的算理。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 直接开方法解一元二次方程
(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方
法.
(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x 的一元二次方程
，可直接开平方求解.
若
，则
；表示为
，有两个不等实数根；
若
，则x=O；表示为
，有两个相等的实数根；
若
，则方程无实数根．
②形如关于x 的一元二次方程
，可直接开平方求解，两根是
.
要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数
的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
【易错提醒】
方程化为x2 = p 或(mx+n)2 = p。注意：当p<0 时无实数根；开方得两个解(±
�)，勿漏负根。
即时即练1．用直接开方法解方程．
(1)
2
9
25
x
；
(2)
2
2
98
0
x
；
(3)
2
3
2
0
x
；
(4)
2
3
1
2.7
x
．
2．用直接开平方法解下列方程：
(1)
2
16
(4
1)
0
9
x
．
(2)
2
2
(2
1)
9(
3)
0
x
x
．
知识点02
配方法解一元二次方程
(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成
的形式，再利用直接开平方法求解，
这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：
.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为
的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式
2
2
2
2
(
)
a
ab
b
a
b
．
【易错提醒】
二次项系数化为1 后，配方是加一次项系数一半的平方。注意等号右边也要加，且符号勿错。
即时即练1．用配方法解下列方程：
(1)
2
3
6
2
0
x
x
．
(2)
2
2
6
5
x
x
x
．
2．用配方法解下列方程：
(1)
2
6
11
0
x
x
；
(2)
2
2
6
7
x
x
；
(3)
2
10
25
7
x
x
；
(4)
2
3
8
3
0
x
x
；
(5)
1
2
12
x
x
．
知识点03
配方法的应用
1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或
小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用
非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次
函数中也有着广泛的应用．
【易错提醒】
用于求最值、证明非负性时，务必配方完全，并注意平方项非负。变形代数式时，要保持与原式相等，切
勿漏项或符号错误。
即时即练1．阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式
2
2
5
a
a
的最小值．方法如下：
2
2
2
2
5
2
1
4
1
4
a
a
a
a
a
，
由
2
1
0
a
，得
2
1
4
4
a
；
代数式
2
2
5
a
a
的最小值是4．
请仿照上述方法，求代数式
2
10
7
x
x
的最小值．
2．阅读理解：求代数式
2
6
10
x
x
的最小值．
解：因为
2
2
2
6
10
6
9
1
3
1
x
x
x
x
x
（
）
（
）
，
所以当
3
x 时，代数式
2
6
10
x
x
有最小值，最小值是1．
仿照应用求值：
(1)求代数式
2
2
7
x
x
的最小值；
(2)求代数式
2
8
3
m
m
的最大值．
题型1 直接开平方法解一元二次方程
【例1】求下列各式中x 的值：
(1)
2
25
16
0
x
；
(2)
2
(
1)
49
0
x
；
(3)
2
(2
1)
81
x
．
【例2】按要求解下列方程
(1)
2
2
6
0
x
（直接开平方法）．
(2)
2
4(
1)
9
x
．
【技巧归纳】
1. 化为x2 = p：移项使左边完全平方，右边常数。
2. 分类讨论：p>0 两解±
�；p=0 一解0；p<0 无实数根。
3. 整体开方：如(ax+b)2 = p，则ax+b = ±
�。
【变式1-1】解方程
(1)
2
9
0
x
-
=
；
(2)
2
2
8
0
x
；
(3)
2
1
16
x
；
(4)
2
4
3
9
x
．
【变式1-2】解下列方程：
(1)
2
1
9
0
3 x
；
(2)
2
(
3)
7
x
；
(3)
2
4(
2)
3
0
x
．
题型2 直接开平方法解一元二次方程的复合型
【例3】用适当的方法解方程：
2
2
3
1
1
x
x
【例4】解下列方程：
2
2
4
3
3
x
x
【技巧归纳】
1. 整体换元：将(ax+b)2 看作整体t2，先解t。
2. 分类求解：由t =
±
�得两个一元一次方程。
3. 化简结果：分别解出x，注意分母有理化及最简形式。
【变式2-1】解方程：
2
2
3
1
4 2
3
x
x
【变式2-2】解方程：
(1)
2
2
1
2
1
x
x
；
(2)
2
2
5
4
5
0
x
x
．
题型3 用配方法配二次项系数为1 的一元二次方程
【例5】将方程
2
6
2
0
x
x
配方后，所得方程正确的是（
）
A．
2
3
7
x
B．
2
3
11
x
C．
2
6
34
x
D．
2
3
2
x
【例6】用配方法解方程
2
6
2
x
x
，变形后结果正确的是（
）
A．
2
3
11
x
B．
2
3
8
x
C．
2
3
11
x
D．
2
3
8
x
【技巧归纳】
1. 移常数项：将常数项移至方程右边。
2. 配方：两边加一次项系数一半的平方，左边配成(x+m)2。
3. 开方求解：用直接开平方法得两解。
【变式3-1】用配方法解方程
2
2
99
0
x
x
时，原方程变形为（
）
A．
2
1
100
x
B．
2
1
100
x
C．
2
1
98
x
D．
2
1
98
x
【变式3-2】方程
2
4
1
0
x
x
配方后的形式是（
）
A．
2
(
2)
1
x
B．
2
(
2)
1
x
C．
2
(
2)
3
x
D．
2
(
2)
3
x
题型4 用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程
【例7】用配方法解方程：
2
2
168
0
x
x
【例8】解方程：
2
8
5
0
x
x
．
【技巧归纳】
1. 移常数项：常数项移到右边。
2. 加配方项：两边加一次项系数一半的平方。
3. 写平方：左边成(x+m)2，右边合并。
4. 开方求解：得两解或判断实数根。
【变式4-1】解方程：
2
8
3
0
x
x
．
【变式4-2】用配方法解方程：
2
5
6
0
x
x
题型5 用配方法配二次项系数不为1 的一元二次方程
【例9】把方程
2
1
4
0
3
x
x
左边配成一个完全平方式后，得到的方程是（
）
A．
2
3
38
2
4
x
B．
2
3
38
2
4
x
C．
2
3
57
2
4
x
D．以上都不对
【例10】把方程
2
3
12
18
0
x
x
配方，化为
2
x
m
n
的形式应为（
）
A．
2
4
4
x
B．
2
2
4
x
C．
2
4
10
x
D．
2
2
10
x
【技巧归纳】
1. 化系数为1：方程两边同除以二次项系数。
2. 移常数项：常数项移到右边。
3. 配方求解：加一次项系数一半的平方，写成平方形式，再开方。
【变式5-1】用配方法解一元二次方程
2
2
2025
0
x
x
时，化为
2
x
a
b
的形式可得到（
）
A．
2
1
2024
x
B．
2
1
2026
x
C．
2
1
2026
x
D．
2
1
2025
x
【变式5-2】将方程
2
2
12
1
0
x
x
配方成
2
(
)
x
m
n
的形式，下列配方结果正确的是（
）
A．
2
(
3)
17
x
B．
2
17
(
3)
2
x
C．
2
(
3)
17
x
D．
2
17
(
3)
2
x
题型6 用配方法解二次项系数不为1 的一元二次方程
【例11】用配方法解方程：
2
2
4
5
0
x
x
【例12】配方法解方程：
2
2
3
0
x
x
．
【技巧归纳】
1. 化系数为1：方程两边同除以二次项系数a。
2. 配方求解：常数项移右，加一次项系数一半平方，左写完全平方，再开方。
【变式6-1】用适当的方法解下列一元二次方程：
2
2
6
3
0
x
x
．
【变式6-2】用配方法解方程：
2
4
8
3
0
x
x
．
题型7 用配方法解一元二次方程错解复原问题
【例13】下面是张星同学解一元二次方程
2
2
8
5
x
x
的过程，请认真阅读并完成相应的任务
2
2
8
5
x
x
．
解：二次项系数化为1，得
2
5
4
2
x
x
，（第一步）
配方，得
2
5
4
4
4
2
x
x
，（第二步）
变形，得
2
3
4
2
x
，（第三步）
开方，得
6
4
2
x
，（第四步）
解得
1
2
6
6
4
,
4
2
2
x
x
．（第五步）
(1)上面张星同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是
______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
【例14】下面是小聪同学用配方法解方程
2
2
4
1
0
x
x
的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得
2
2
4
1
x
x
①
二次项系数化为1，得
2
1
2
2
x
x
②
配方，得
2
1
2
1
2
x
x
，即
2
1
1
2
x
③
由此可得
2
1
2
x
④
所以
1
2
1
2
x = - +
，
2
2
1
2
x = - -
⑤
(1)整个解答过程是从步开始出现错误的，错误的原因是
(2)用这种方法解方程：
2
2
4
3
0
x
x
【技巧归纳】
1. 逆向推导：从错误结果倒推配方程过程，找出漏乘、符号错或未除以二次项系数等常见错误。
2. 对比正解：用正确配方法重算，对比差异点定位错误步骤。
【变式7-1】下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
2
3
12
9
0
x
x
．
二次项系数化为1，得
2
4
3
0
x
x
．
第一步
移项，得
2
4
3
x
x
．
第二步
配方，得
2
4
16
3
16
x
x
，即
2
4
19
x
．
第三步
由此，可得
4
19
x
．
第四步
所以
1
19
4
x
，
2
19
4
x
．
第五步
完成下列任务：
(1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学
思想是________（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是________（填“完全平方公式”
或“平方差公式”）；
(2)“第二步”变形的数学依据是________；
(3)小明同学解题过程中，从第________步开始出现错误，请直接写出正确的结果________．
【变式7-2】下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
2
2
4
12
0
x
x
．
二次系数化为1，得
2
2
6
0
x
x
．…………………………第一步
移项，得
2
2
6
x
x
．…………………………………………第二步
配方，得
2
2
4
6
4
x
x
，即
2
2
10
x
．……………第三步
由此，可得
2
10
x
．……………………………………第四步
所以
1
2
10
2,
10
2
x
x
．……………………………第五步
任务一：填空：
①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数
学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______；
②“第二步”变形的数学依据是______；
③小明同学解题的过程中，从第______步开始出现错误，请直接写出正确的结果：______．
任务二：请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条建议．
题型8 配方法的应用
【例15】阅读下列材料：
材料一
“
2
0
a
”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：
2
2
2
4
5
4
4 1
(
2)
1
x
x
x
x
x
2
(
2)
0
x
，
2
(
2)
1 1
x
，
2
4
5
1
x
x
解决下列问题：
(1)填空：
2
6
10
(
x
x
x
2) ．
(2)已知
2
2
2
2
2
1
0
x
xy
y
y
，求x
y
的值．
(3)比较代数式
2
1
x 与2
3
x 的大小，并说明理由
【例16】阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式
2
6
5
x
x
的最小值．
2
2
2
2
2
6
5
2
3
3
3
5
3
4
x
x
x
x
x
，且，
2
3
0
x
∴当
3
x 时，
2
6
5
x
x
有最小值4
．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求证：无论x 取何值，代数式
2
4
5
x
x
的值恒为正数；
(2)若代数式
2
2
4
x
kx
的最小值为5
，求k 的值：
【技巧归纳】
1. 求最值：配方成a(x-h)2 + k，a>0 最小值为k，a<0 最大值为k。
2. 证非负：配方后各项非负，判断与0 的关系。
3. 分解因式：添项拆项后配方，平方差分解。
【变式8-1】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关
的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式
2
2
4
5
x
x
的最小值，解法如下：
解：
2
2
2
2
4
5
2
2
5
2
2
1 1
5
x
x
x
x
x
x
2
2
2
1
2
5
2
1
3
x
x
∵
2
2
1
0
x
，∴
2
2
1
3
3
x
．∴
2
2
4
5
x
x
的最小值是3．
根据材料中的方法，解答下列问题：
(1)若
2
0
6
9
1
a
a
b
，求
ba 的值．
(2)求代数式
2
6
12
x
x
的最小值．
(3)用配方法说明：不论x 为何值；代数式
2
3
6
10
x
x
的值总是正数．
【变式8-2】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条
件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：
2
6
8
a
a
．
原式
2
2
6
9 1
3
1
3 1
3 1
4
2
a
a
a
a
a
a
a
．
②利用配方法求最小值：求
2
6
8
a
a
最小值．
解：
2
2
2
2
2
6
8
2
3
3
3
8
(
3)
1
a
a
a
a
a
，
2
3
a
．因为不论a 取何值，
2
3
a
总是非负数，即
2
3
0
a
．所以
2
3
1
1
a
，所以当
3
x 时，
2
6
8
a
a
有最小值，最小值是1
．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：
2
8
x
x
_____
2
(
_)
x
；
(2)将
2
10
4
x
x
变形为
2
x
m
n
的形式，并求出
2
10
4
x
x
的最小值；
(3)若
2
7
17
10
M
a
a
，
2
5
25
N
a
a
，其中a 为任意实数，试比较M 与N 的大小，并说明理由．
一、单选题
1．方程
2
4
1
0
x
的根为（
）
A．
1
2
x ，
2
2
x
B．
1
1
4
x
，
2
1
4
x
C．
1
1
2
x
，
2
1
2
x
D．
1
2
x
，
2
2
x
2．如果关于x 的方程
2
9
3
x
m
可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（
）
A．
0
m
B．
0
m
C．
3
m
D．
3
m
3．用配方法解方程
2
3
0
x
x
时，经过配方后正确的是（
）．
A．
2
(
1)
4
x
B．
2
1
2
2
x
C．
2
1
11
2
4
x
D．
2
1
13
2
4
x
4．已知m 为实数，
2
3
P
m
，
2
1
Q
m
，则P 与Q 的大小关系为（
）
A．P
Q
B．P
Q
C．P
Q
D．P
Q
5．关于x 的一元二次方程
2
1
0
a
x
m
n
与
2
2
0
a
x
m
n
称为“同族二次方程”．如
2
2
3
4
0
x
与
2
3
3
4
0
x
就是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程
2
2
1
1
0
x
与
2
1
2
2
0
a
x
b
x
是“同族二次方程”，那么代数式
2
2026
ax
bx
能取的最大值是（
）
A．2025
B．2026
C．2027
D．2028
二、填空题
6．用配方法解方程
2
3
12
2
0
x
x
，将方程变为
2
x
m
n
的形式，则n 的值___________．
7．对于实数a，b，定义运算“※”如下：
2
a
b
a
b
※
，例如，
2
5
3
5
3
22
※
．若
(2
4)
3
x
x
※
，则x 的
值为_____________．
8．若
1
2
m
，则关于x 的二次方程
2
1
5
4
0
m
x
m
x
的解是___．
9．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图．老师看后，
发现有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是________．
10．新定义：关于x 的一元二次方程
2
1
0
a
x
c
k
与
2
2
0
a
x
c
k
称为“同族二次方程”．例如：
2
5
6
7
0
x
与
2
6
6
7
0
x
是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程
2
2
1
1
0
x
与
2
2029
0
ax
bx
是“同族二次方程”，则代数式
2
5
ax
bx
的最小值是______．
三、解答题
11．用直接开平方法解下列方程．
(1)
2
(2
1)
4
0
x
；
(2)
2
4(
1)
8
0
x
．
12．解方程：
(1)
2
3
1
27
0
x
；
(2)
2
6
4
0
x
x
．
13．解下列方程：
(1)
2
2
3
6
0
x
x
；
(2)
2
2
1
2
0
3
3
x
x
．
14．下面是小明同学解一元二次方程
2
2
8
3
0
x
x
的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：二次项系数化为1，得
2
3
4
0
2
x
x
，……第一步
移项，得
2
3
4
2
x
x
，……第二步
配方，得
2
3
4
4
2
x
x
，……第三步
2
3
2
2
x
，……第四步
由此可得
6
2
2
x
，……第五步
解得
6
2
2
x
……第六步
(1)任务一：
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？
②哪一步首先
．．出现错误，错误的原因是什么？
(2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程．
15．“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式如：
2
2
2
4
5
4
4
1
2
1
x
x
x
x
x
，
2
2
0
x
，
2
2
1
1
x
，
2
4
5
1
x
x
；有时我们也可以
用配方法解一元二次方程．请解决下列问题：
(1)填空：代数式
2
6
10
x
x
有最_______（填“大”或“小”）值：这个最值为________；
(2)证明：代数式
2
3
6
5
x
x
的值恒为正数．
(3)如图，在
ABC
中，
90
ACB
，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D；以点A 为圆
心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E，连接CD．设BC
a
，AC
b
．
①则图中线段________（空格中填写图中的线段）的长是方程
2
2
2
x
ax
b
的一个根，你是如何得到这个结
论的？请写出你的发现过程．
②若AD
EC
，则b
a 的值为________．
