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衔接点 04 一元二次方程
1、能用配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程
2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根
3、能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程，理解方程解的意义。
1、一元二次方程根的判别式
一元二次方程 （a、b、c均为常数）的判别式Δ=b2 −4ac.
（1）Δ>0时， （a≠0）有两个不相等的实数根；
（2）Δ=0时， （a≠0）有两个相等的实数根；
（3）Δ<0时， （a≠0）没有实数根.
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
2
(3)证明y=− 恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方
x
式+正数”的形式.
2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)有两个根分别是x ,x ，则：
1 2
， ，则
所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系
如果ax2 +bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x ,x ，则：
1 2
，这一关系式也被称为韦达定理.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训一：利用根的判别式判断一元二次方程根的个数
典型例题
例题1．（2024·安徽·三模）关于 的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
例题2．（2024·四川泸州·一模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
精练
1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知a，b，c为常数， ，则关于x的一元二次方程
的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
2．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）方程 不相等的实数根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
对点特训二：根据根的个数求参数
典型例题
例题1．（2024·北京大兴·一模）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024·上海静安·二模）如果关于x的一元二次方程 有实数根，那么a的取值范围是
．
精练
1．（2024·四川广安·二模）若关于 的方程 有实数根，则下列 的值中，不符合要求的是
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．（2024年北京市石景山区九年级中考一模数学试题）若关于 的一元二次方程 有两个相
等的实数根，则实数 的值为 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训三：解一元二次方程
角度1：直接开平方法
典型例题
例题1．（23-24七年级下·河北保定·期中）若 ，则 等于（ ）
A．4 B． C． D． 或4
例题2．（2024八年级下·浙江·专题练习）求下列方程中 的值：
(1) ；
(2) ．
精练
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值： ．
2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）求满足下列各式x的值
(1) ；
(2) ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司角度2：配方法
典型例题
例题1．（安徽省蚌埠市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）用配方法解方程 时，
变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024·甘肃陇南·一模）解方程： ．
精练
1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司角度3：因式分解法
典型例题
例题1．（23-24九年级下·四川眉山·期中）方程 的解为 ．
例题2．（23-24八年级下·安徽池州·期中）（1）解方程：
（2）解方程：
精练
1．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用适当的方法解下列方程．
(1) ．
(2) ．
2．（22-23八年级下·福建福州·期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
角度4：利用求根公式求解
典型例题
例题1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程：
(1) ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（2024·陕西西安·三模）解方程： ．
精练
1．（23-24八年级下·北京·期中）解下列一元二次方程
(1) （公式法）．
2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）解方程．
(1) ；
角度5：换元法求解
典型例题
例题1．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题：
例：解方程：
令 ，原方程化成
解得 （不合题意，舍去）
原方程的解是 ．
请模仿上面的方法解方程：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ①，解得 ， ．
当 时， ， ；
当 时， ， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．
这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)方程 的解为________．
(2)仿照材料中的方法，尝试解方程 ．
精练
1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项
替换，例如解四次方程 时，可设 ，则原方程可化为 ，先解出y，将y的
值再代入 中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例
如上述方程中，可将 看作一个整体，得 ，解出 的值，再进一步求解即可．
根据上述方法，完成下列问题：
(1)若 ，则 的值为___________；
(2)解方程： ．
2．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）阅读材料：为解方程 ，我们可以将
视为一个整体，然后设 ，将原方程化为 ，解得 ， ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ．
当 时， ， ， ．
原方程的解为 ， ， ， ．
由原方程得到 的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程： ；
(2)已知一元二次方程 的两根分别为 ， ，则方程 的两根分别
是什么？请说明理由．
对点特训四：利用根与系数的关系（韦达定理）求参数
典型例题
例题1．（23-24八年级下·安徽六安·期中）设 、 是方程 的两个实数根，则
．
例题2．（23-24九年级下·江西九江·期中）已知 ， 是关于 的方程 的两根，且
，则 的值是 ．
精练
1．（23-24八年级下·江西宜春·期中）关于x的方程 的两个实数根互为相反数，则k的
值是 ．
2．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知方程 的一根是 ，方程的另一根为
．
对点特训五：利用根与系数的关系（韦达定理）求对称式的值
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司典型例题
例题1．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）已知 是方程 的两个实数根，则 的值是
．
例题2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程 .
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若一元二次方程的两根为 ， ，且满足 ，求m的值.
精练
1．（2024·湖南岳阳·一模）已知 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是
．
2．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于 的一元二次方程 ．
(1)如果方程有实数根，求 的取值范围；
(2)如果 是这个方程的两个根，且 ，求 的值．
对点特训六：根的判别式和韦达定理综合应用
典型例题
例题1．（2024·天津和平·一模）已知 ， 是一元二次方程 （ 是常数）的两个不相等的实
数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求一元二次方程的根；
(3)若 ，则 的值为______．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）对于代数式 ，若存在实数n，当 时，代数
式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式 ，当 时，代数式等于0；当
时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的
最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则 ．
(1)代数式 的不变值是________， _______．
(2)已知代数式 ，
① 若 ，求b的值；
② 若 ，b为整数，求所有整数b的和．
精练
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）【综合与实践】
【问题情境】对于关于 的一元二次方程 （ ， ， 为常数，且 ），求方程的根的实
质是找到一个 的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的 的具体值都满足，这
就说明这个方程有两个根，且两根与 ， ， 之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当 时，则一元二次方程 必有一根是 ．
（2）当 时，则一元二次方程 必有一根是 ．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程 的较大的根为 ，方程 的较小的根为 ，求 的
值．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程 有两个
实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程 就是一个连根方
程．
(1)问题解决：请你判断方程 是否是连根方程；
(2)问题拓展：若关于x的一元二次方程 （m是常数）是连根方程，求m的值；
(3)方法总结：如果关于x的一元二次方程 （b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间
的关系式．
一、单选题
1．（2024·上海普陀·二模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南濮阳·一模）已知关于 的一元二次方程 ，则该一元二次方程的根的
情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）关于x的一元二次方程 一个实数根为2024，则
方程 一定有实数根（ ）
A．2024 B． C．－2024 D．
4．（2024·重庆·二模）参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛 场，设共有 个队参加比
赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司5．（2023·云南曲靖·模拟预测）已知 是关于x的一元二次方程 的一个根，则k的值和
方程的另一个根分别为（ ）
A．1和2 B． 和2 C．2和 D． 和
6．（2024·湖南常德·一模）某种商品原价是200元，经两次降价后的价格是160元．设平均每次降价的百
分率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数
的值可能是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．2
8．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式 的最小值为多少吗？解：因为
，又因为 ，所以 ，所以
的最小值为1．请用上述方法，解决代数式 的最小值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
二、填空题
9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x的方程 的一个根是1，则另
一个根是 ．
10．（23-24八年级下·北京·期中）关于x的方程 的一个根为 ，则另一个根是 ；关
于x的方程 的两个根分别为 、5，则 的值为 ．
三、解答题
11．（23-24八年级下·北京·期中）定义：若 是方程 的两个实数根，若满足
，则称此类方程为“差积方程”．例如： 是差积方程．
(1)下列方程是“差积方程”的是 ；
①
②
③
(2)若方程 是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程 为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明．
12．（2024·山东德州·一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400 元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯
笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．
销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y
元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？
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