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辽宁省重点高中沈阳市郊联体
2024-2025 学年度上学期期中考试高一年级试题
数学
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知集合 ，集合 ， ，则 （ ）
A、 B. C. D.
2.不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
3.函数 的定义域为 ，函数 ，则 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.使“ ”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
5.命题 ： ， ，则命题 的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.已知函数 为 上的增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数 在闭区间 上有最大值6，最小值2，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
8.定义在 上的函数 若满足：①对任意 ，都有 ；②对
任意 ，都有 ，则称函数 是以 为中心的“中心捺函数”.已知函数
是以 为中心的“中心捺函数”，若 ，则 的取
值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知关于 的不等式 的解集为 ，则（ ）
A.函数 有最大值
B.
C.
D. 的解集为
11.已知定义域为 的函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① ， ；
② ，当 时，都有 ；③ ，则下列说法正确的是
（ ）
A.
B.若 ，则
C. ，使得对 ， 恒成立D.若 ，则
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知 ，则 ______.
13.已知 ， ，且 ，则 ______.
14.函数 ， ，若 ， 使 成立，
则 的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）设集合 ， .
（1）若 且 ，求 的取值范围；
（2）若 ，求 的取值范围.
16.（15分）函数 是定义在 上的奇函数，且 .
（1）求 的解析式；
（2）判断并证明 的单调性；
17.（15分）
（1）小萌和小新在讨论一道题：“已知正数 ， 满足 ，求 的最小值.”
小萌认为：因为 且 ，所以 ，所以 的最
小值是12.
你认为小萌的解法是否正确，如果错误，请给出正确解答过程。并说说从中你学到了什么？（应用不等式
时要注意什么？）
（2）请帮助小萌和小新同学完成下面的问题.已知 且 ，求 的最小值.
18.（17分）已知函数 ，满足 .
（1）求 ， 值；（2）在 上，函数 的图象总在一次函数 的图象的上方，试确定实数 的取值范围；
（3）设当 时，函数 的最小值为 ，求 的解析式.
19.（17分）对于一个四元整数集 ，如果它能划分成两个不相交的二元子集 和 ，
满足 ，则称这个四元整数集为“有趣的”.
（1）写出集合 的一个“有趣的”四元子集：
（2）证明：集合 不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：
（3）证明：对任意正整数 ，集合 不能划分成 个两两不相交的“有趣的”四元子
集.
辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2024-2025 学年度上学期期中考试
高一年级试题（答案）
一、单项选择题
1.C 2.D 3.D 4.B 5.B 6.B 7.D 8.C
二、多项选择题
9.AB 10.ABD 11.BC
三、填空题
12.47 13.1或 14.
四、解答题
15题
（1）因为 ，且 ，所以 ，
解得， ，
综上所述， 的取值范围为 .
（2）由题意，需分为 和 两种情形进行讨论：
当 时， ，解得， ，满足题意；当 时，因为 ，所以 ，解得 ，
或 无解；
综上所述， 的取值范围为 .
16题
（1）由题函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，解得 ，
又由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
（2） 在区间 上为增函数.
证明如下：
设 ，则 ，
由 ，
得 ，即 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增.
17题
（1）不正确.
因为 ，所以 .
又 ， 均为正数，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号.所以 ，当且仅当 ，即 ，时取等号.
综上， 的最小值为16.
多次连用基本不等式后，一定要注意验证等号成立的条件
（2）方法一：因为 ，所以
所以 .
当且仅当 且 时，即 ， 时取等号.
综上， 的最小值为 .
方法二：
当且仅当 ，即 时等号成立.
18题
（1）因为二次函数 满足 ，
则 ，解得 .
所以
（2）若在 上，函数 的图象总在一次函数 的图象的上方，
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
因为 开口向上，对称轴为 ，可知 在 上单调递减，
则 ，可得 ，
所以实数 的取值范围为 .
（3）因为 是对称轴为 ，开口向上的二次函数，
当 时， 在 上单调递增，则 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，
则 ；
当 ，即 时，
在 上单调递减，在 上单调递增，
可知 ；
综上所述： .
19题
（1） ；
（2）假设可以划分，
∵ ，∴ 和 一定是一个奇数一个偶数，
∴ ， ， ， 中至多两个偶数.
则对于 的一种符合要求的划分 和 ，
每个四元子集中均有两个偶数.若两个集合分别为 和 ，
则 或49，不存在 ， 使得 符合要求：
若两个集合分别为 和 ，
则 或13，不存在 ， 使得 符合要求：
若两个集合分别为 和 ，
则 或25，不存在 ， 使得 符合要求；
综上所述， 不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集，
（3）假设 可以划分为 个两两不相交的“有趣的”四元子集 ， ，…， ，.
∵每个子集中至多两个偶数，又1，2，…， 中恰有 个偶数，
∴每个子集中均有两个偶数，
∴对于 ，可设 ，其中 ， 是偶数， ， 为奇数，
再由奇偶性，只能是 .
∵ ，
且 ， .
∴ ，矛
盾.
∴ 不能划分为 个两两不相交的“有趣的”四元子集.
