预习讲义 第十二章 全等三角形全章自学检测卷（学生版）
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全等三角形全章自学检测卷
【人教版】
（考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分）
考前须知：
1．本卷试题共24 题，单选10 题，填空6 题，解答8 题，满分120 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（3 分）根据下列已知条件，能画出唯一的△𝐴𝐵𝐶的是（ ）
A．∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 6
B．𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 3，∠𝐴= 30°
C．𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，𝐶𝐴= 8
D．∠𝐴= 60°，∠𝐵= 45°，𝐴𝐵= 4
2．（3 分）如图，已知𝐵𝐶= 𝐴𝐷，添加下列条件还不能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷的是（ ）
A．𝐴𝐶= 𝐵𝐷
B．∠𝐶= ∠𝐷
C．∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐵𝐴
D．∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷
3．（3 分）如图，𝐸𝐶⊥𝐵𝐷，垂足为𝐶，𝐴是𝐸𝐶上一点，且𝐴𝐶= 𝐶𝐷，连接𝐴𝐵、𝐸𝐷，𝐴𝐵= 𝐷𝐸．若𝐴𝐶= 3.5，
𝐵𝐷= 9，则𝐶𝐸的长为（ ）
A．5.5
B．2.5
C．3
D．2
4．（3 分）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= ∠𝐶= 50°，将△𝐴𝐵𝐶沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是
（ ）
A．
B．
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C．
D．
5．（3 分）测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒𝐴𝐶，𝐵𝐷的中点𝑂固定，只要测得𝐶，𝐷
之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径𝐴𝐵的长度．此方案中，判定△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
6．（3 分）已知∠𝐴𝑂𝐵，点P 为𝑂𝐴上一点，用尺规作图，过点P 作𝑂𝐵的平行线．下列作图痕迹不正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3 分）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术
的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷、∠𝐵= ∠𝐷、𝐵𝐶= 𝐷𝐸．则不一定能得到以下哪个结论（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸
B．△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐷𝐺
C．𝐹𝐶= 𝐺𝐸
D．𝐴𝐺= 𝐺𝐶
8．（3 分）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐵= 1，𝐴𝐷= 2，则𝐴𝐶长度可以是（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
9．（3 分）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为𝐹，点E、G 分别在𝐴𝐵、𝐴𝐶上且𝐷𝐸= 𝐷𝐺，△𝐴𝐷𝐺
和△𝐴𝐸𝐷的面积分别为50 和40，则△𝐸𝐷𝐹的面积为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
10．（3 分）如图，Rt △𝐴𝐶𝐵中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°, △𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐴𝐷、𝐵𝐸相交于点𝑃，过𝑃作𝑃𝐹⊥𝐴𝐷交𝐵𝐶
的延长线于点𝐹，交𝐴𝐶于点𝐻，则下列结论：①∠𝐴𝑃𝐵= 135°；②𝑃𝐹= 𝑃𝐴；③𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐸= 3𝑆△𝐹𝐵𝑃；④
𝐴𝐻+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐵，其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
二、填空题（共18 分）
11．（3 分）如图，𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，点P 在𝑂𝐶上，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴于D，𝑃𝐷= 3cm，点E 是射线𝑂𝐵上的动点，则
𝑃𝐸的最小值为
cm．
12．（3 分）如图，点B，C，D 在同一直线上．若△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸，且∠𝐵= 48°，则∠𝐴𝐶𝐸= ．
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13．（3 分）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 3，𝐵𝐶= 1，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的
面积是
14．（3 分）如图，已知𝑆△𝐴𝐵𝐶= 8m2，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，且𝐴𝐷⊥𝐵𝐷于点𝐷，则𝑆△𝐴𝐷𝐶=
m2．
15．（3 分）如图，已知𝑂𝐴= 𝑂𝐵，小明想证明△𝑂𝐴𝐷≌△𝑂𝐵𝐶，但发现还缺少一个条件．现从下列条件中
选择一个条件添加：①∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷，②∠𝐴= ∠𝐵，③∠𝑂𝐷𝐴= ∠𝑂𝐶𝐵，④𝑂𝐶= 𝑂𝐷，⑤𝐴𝐷= 𝐵𝐶；添加
后能证明△𝑂𝐴𝐷≌△𝑂𝐵𝐶的条件有
（要求写出所有符合的条件的对应编号）．
16．（3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°,𝐴𝐶= 6cm,𝐵𝐶= 8cm，直线𝑙经过点𝐶且与边𝐴𝐵相交，动点𝑃从
点𝐴出发沿𝐴→𝐶→𝐵路径向终点𝐵运动；动点𝑄从点𝐵出发沿𝐵→𝐶→𝐴路径向终点𝐴运动，点𝑃和点𝑄的速度分别
为2cm/s和3cm/s，两点同时出发并开始计时，当点𝑃到达终点𝐵时计时结束，在某时刻分别过点𝑃和点𝑄作
𝑃𝐸⊥𝑙于点𝐸，𝑄𝐹⊥𝑙于点𝐹，设运动时间为𝑡s，则△𝑃𝐸𝐶与△𝑄𝐹𝐶全等时，𝑡的值为
．
三、解答题（共72 分）
17．（8 分）如图，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，利用尺规作图法在𝐶𝐷边上求作一点E，连接𝐴𝐸、𝐵𝐸，使
得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐸．（不写作法，保留作图痕迹）
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18．（8 分）如图，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点D，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐵𝐷,𝐶𝐸交于𝑂，𝑂𝐵= 𝑂𝐶,求证：∠1 = ∠2
19．（8 分）如图，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，∠𝐵+ ∠𝐷= 180°．求证：𝐴𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐸．
20．（8 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，
(1)若△𝐵𝐷𝐶的面积是5，求△𝐴𝐵𝐶的面积；
(2)求证：𝐴𝐶= 2𝐵𝐷．
21．（10 分）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥BC，𝐸为𝐶𝐷的中点，连接𝐴𝐸、𝐵𝐸，𝐵𝐸⊥𝐴𝐸，延长𝐴𝐸交𝐵𝐶的
延长线于点𝐹．
(1)求证：𝐹𝐶= 𝐴𝐷；
(2)求证：𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷；
(3)猜想线段𝐴𝐵、𝐴𝐷、𝐵𝐶的数量关系，并说明理由．
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22．（10 分）为测量某一水池两端𝐴，𝐵之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案：
课
题
测量水池两端𝐴、𝐵之间的距离
测
量
示
意
图
步
骤
说
明
在平地上取一点𝑂，分别连接𝐴𝑂，𝐵𝑂
并延长到𝐷，𝐶两点，使得𝐷𝑂= 𝐵𝑂，
𝐶𝑂= 𝐴𝑂，测量𝐶𝐷的距离即可．
在平地上取一点𝑂，连接𝐴𝑂，𝐵𝑂，在𝐴𝐵
的延长线上取一点𝐶，使得
∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐴𝑂𝐵，测量𝐵𝐶的距离即可．
数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题：
(1)以上两位同学方案可行的是________的方案；
(2)请你选择可行的方案，并说明它可行的理由．
23．（10 分）已知，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180∘，𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐶𝐷边上的点．且
∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐷．探究线段𝐵𝐸、𝐸𝐹、𝐷𝐹的数量关系．
(1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当∠𝐵= ∠𝐷= 90∘，小宁探究此问题的方法是：
延长𝐸𝐵到点𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐺，请你补全小宁的解题思路：先证明Δ𝐴𝐵𝐺≌________；再证明Δ𝐴𝐸𝐺≌
_________；即可得出线段𝐵𝐸、𝐸𝐹、𝐷𝐹之间的数量关系是______________________．
(2)如图②，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180∘，𝐸、𝐹分别是边𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点，且∠𝐸𝐴𝐹=
1
2
∠𝐵𝐴𝐷，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180∘，𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐶𝐷所在直线上的点，且∠𝐸𝐴𝐹=
1
2
∠𝐵𝐴𝐷．请直接写出𝐵𝐹、𝐸𝐹、𝐷𝐹线段之间的数量关系．
24．（10 分）综合与实践
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(1)观察理解：如图1，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，直线𝑙过点𝐶，点𝐴、𝐵在直线𝑙同侧，𝐵𝐷⊥𝑙，
𝐴𝐸⊥𝑙，垂足分别为𝐷、𝐸，由此可得：∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶𝐷𝐵= 90°，所以∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸= 90°，又因为∠
𝐴𝐶𝐵= 90°，所以∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸= 90°；所以∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，又因为𝐴𝐶= 𝐵𝐶，所以△𝐴𝐸𝐶≌△𝐶𝐷𝐵
（ ）；（请填写全等判定的方法）
(2)理解应用：如图2，𝐴𝐸⊥𝐴𝐵且𝐴𝐸= 𝐴𝐵，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷且𝐵𝐶= 𝐶𝐷，利用（1）中结论，请按照图中所标注的
数据计算图中实线所围成的图形的面积𝑆= ；
(3)类比探究：如图3，Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 8，将斜边𝐴𝐵绕点𝐴逆时针旋转90°至𝐴𝐵′，连接𝐵′𝐶，
求△𝐴𝐵′𝐶的面积；
(4)拓展提升：如图4，点𝐵，𝐶在∠𝑀𝐴𝑁的边𝐴𝑀，𝐴𝑁上，点𝐸、𝐹在∠𝑀𝐴𝑁内部的射线𝐴𝐷上，∠1、∠2分别是
△𝐴𝐵𝐸、△𝐶𝐴𝐹的外角，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠1 = ∠2 = ∠𝐵𝐴𝐶，求证：𝐶𝐹+ 𝐸𝐹= 𝐵𝐸.
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全等三角形全章自学检测卷（答案解析）
【人教版】
（考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分）
考前须知：
1．本卷试题共24 题，单选10 题，填空6 题，解答8 题，满分120 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（本题3 分）根据下列已知条件，能画出唯一的△𝐴𝐵𝐶的是（ ）
A．∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 6
B．𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 3，∠𝐴= 30°
C．𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，𝐶𝐴= 8
D．∠𝐴= 60°，∠𝐵= 45°，𝐴𝐵= 4
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定定理及三角形的三边
关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：A、已知一角和一边，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一△𝐴𝐵𝐶，不合题意；
B、已知两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一△𝐴𝐵𝐶，不合题意；
C、因为𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 7 < 8 = 𝐶𝐴，所以三条线段不能构成三角形，故该选项不能画出唯一△𝐴𝐵𝐶，不合题意；
D、已知两角及夹边相等，由ASA能判定三角形全等，故该选项能画出唯一△𝐴𝐵𝐶，符合题意；
故选：D．
2．（本题3 分）如图，已知𝐵𝐶= 𝐴𝐷，添加下列条件还不能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷的是（ ）
A．𝐴𝐶= 𝐵𝐷
B．∠𝐶= ∠𝐷
C．∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐵𝐴
D．∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的5 种判定方法是解决问题的关键．
利用𝐵𝐶= 𝐴𝐷，加上公共边𝐴𝐵，然后利用全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可；
【详解】解：∵𝐵𝐶= 𝐴𝐷，𝐴𝐵= 𝐵𝐴，
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∴当添加𝐴𝐶= 𝐵𝐷时，可根据“SSS”证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷，故A 选项符合题意；
当添加∠𝐶= ∠𝐷时，
∵∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶，𝐵𝐶= 𝐴𝐷，∴△𝐴𝑂𝐷≌△𝐵𝑂𝐶(AAS)，
∴𝑂𝐷= 𝑂𝐶，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，
∴𝐴𝑂+ 𝑂𝐶= 𝐵𝑂+ 𝑂𝐷，即𝐴𝐶= 𝐵𝐷，
进而可用“SAS” 证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷，故B 选项不符合题意；
当添加∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐵𝐴时，不能证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷，故C 选项符合题意；
当添加∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷时，可根据“SAS” 证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷，故D 选项不符合题意；
故选：C．
3．（本题3 分）如图，𝐸𝐶⊥𝐵𝐷，垂足为𝐶，𝐴是𝐸𝐶上一点，且𝐴𝐶= 𝐶𝐷，连接𝐴𝐵、𝐸𝐷，𝐴𝐵= 𝐷𝐸．若
𝐴𝐶= 3.5，𝐵𝐷= 9，则𝐶𝐸的长为（ ）
A．5.5
B．2.5
C．3
D．2
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．证明Rt △𝐴𝐵𝐶≌
Rt △𝐷𝐸𝐶(HL)，得到𝐴𝐶= 𝐶𝐷，𝐵𝐶= 𝐶𝐸，即可求解．
【详解】解：∵𝐸𝐶⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐷𝐸𝐶中，
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
𝐴𝐶= 𝐶𝐷
，
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐷𝐸𝐶(HL)，
∴𝐴𝐶= 𝐶𝐷，𝐵𝐶= 𝐶𝐸，
∵𝐴𝐶= 3.5，𝐵𝐷= 9，
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐶= 𝐵𝐷−𝐶𝐷= 𝐵𝐷−𝐴𝐶= 9−3.5 = 5.5，
故选：A．
4．（本题3 分）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= ∠𝐶= 50°，将△𝐴𝐵𝐶沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等
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的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B 两个选项都可以利用SAS证明全等，
C 选项中，先证明∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐵𝐷𝐸，再利用ASA即可证明两个三角形全等，D 选项中，根据现有条件不能证
明两个三角形全等．
【详解】解：A、如图所示，∵𝐵𝐷= 𝐶𝐸= 1，∠𝐵= ∠𝐶，𝐵𝐸= 𝐶𝐹= 2，
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹(SAS)，故A 不符合题意；
B、如图所示，∵𝐵𝐷= 𝐶𝐹= 2，∠𝐵= ∠𝐶，𝐵𝐸= 𝐶𝐸= 1.5，
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐹𝐸(SAS)，故B 不符合题意；
C、如图所示，∵∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹= 50°，∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐶𝐸𝐹，
∴∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐵𝐷𝐸，
又∵∠𝐵= ∠𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐸= 2，
∴△𝐶𝐸𝐹≌△𝐵𝐷𝐸(ASA)，故C 不符合题意；
D、如图所示，同理可得∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐵𝐷𝐸，但是𝐶𝐹，𝐵𝐷不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D 符合
题意；
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故选：D．
5．（本题3 分）测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒𝐴𝐶，𝐵𝐷的中点𝑂固定，只要测得
𝐶，𝐷之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径𝐴𝐵的长度．此方案中，判定△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意，利用“SAS”证明△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷即可．
【详解】解：由题意，𝑂𝐴= 𝑂𝐶，𝑂𝐵= 𝑂𝐷，又∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，
∴△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷(SAS)，
故选：B．
6．（本题3 分）已知∠𝐴𝑂𝐵，点P 为𝑂𝐴上一点，用尺规作图，过点P 作𝑂𝐵的平行线．下列作图痕迹不正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定
和性质，据此判断即可．
【详解】解：A、由作图知，𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，且𝑃𝑂= 𝑃𝐶，
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∴∠1 = ∠2，∠1 = ∠3，
∴∠2 = ∠3，
∴𝑃𝐶∥𝑂𝐵，故本选项不符合题意；
B、由作图知，𝑃𝐷是∠𝐴𝑃𝐶的平分线，且𝑃𝑂= 𝑂𝐶，
∴∠3=∠4，∠1 = ∠2，不能说明∠2与∠4相等，
∴𝑃𝐷与𝑂𝐵不平行，故本选项符合题意；
C、由作图知，𝑃𝑂= 𝑂𝐷= 𝐶𝐷= 𝐶𝑃，
∴四边形𝑃𝑂𝐶𝐷是菱形，
∴𝑃𝐶∥𝑂𝐵，故本选项不符合题意；
D、由作图知，∠1 = ∠𝑂，
∴𝑃𝐶∥𝑂𝐵，故本选项不符合题意；
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故选：B．
7．（本题3 分）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造
纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷、∠𝐵= ∠𝐷、𝐵𝐶= 𝐷𝐸．则不一定能得到以下哪个结论（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸
B．△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐷𝐺 C．𝐹𝐶= 𝐺𝐸
D．𝐴𝐺= 𝐺𝐶
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键．
根据已知条件，分析△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸，易得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)，证明A，得出∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸,𝐵𝐶= 𝐷𝐸，
再由全等三角形的判定和性质即可证明B、C．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵= ∠𝐷
𝐵𝐶= 𝐷𝐸
，
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)，故选项A 不符合题意；
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸,𝐵𝐶= 𝐷𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐸𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐺，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷、∠𝐵= ∠𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐷𝐺(ASA)，故选项B 不符合题意；
∴𝐵𝐹= 𝐷𝐺，
∴𝐵𝐶−𝐵𝐹= 𝐷𝐸−𝐷𝐺，即𝐹𝐶= 𝐺𝐸，故选项C 不符合题意；
无法证明𝐴𝐺= 𝐺𝐶，故选项D 符合题意；
故选：D
8．（本题3 分）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐵= 1，𝐴𝐷= 2，则𝐴𝐶长度可以是（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长𝐴𝐷至𝐸，使得𝐷𝐸= 𝐴𝐷= 2，即得
𝐴𝐸= 4，可证△𝐶𝐷𝐸≌△𝐵𝐷𝐴(SAS)，得到𝐶𝐸= 𝐴𝐵= 1，再根据三角形三边关系求出𝐴𝐶的取值范围即可求
解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，延长𝐴𝐷至𝐸，使得𝐷𝐸= 𝐴𝐷= 2，
∴𝐴𝐸= 2 + 2 = 4，
∵𝐷为𝐵𝐶的中点，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐷，
在△𝐶𝐷𝐸和△𝐵𝐷𝐴中，
𝐸𝐷= 𝐴𝐷
∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐷𝐴
𝐶𝐷= 𝐵𝐷
，
∴△𝐶𝐷𝐸≌△𝐵𝐷𝐴(SAS)，
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐵= 1，
∵𝐴𝐸−𝐶𝐸< 𝐴𝐶< 𝐴𝐸+ 𝐶𝐸，
∴4−1 < 𝐴𝐶< 4 + 1，
即3 < 𝐴𝐶< 5，
∴𝐴𝐶长度可以是4，
故选：D．
9．（本题3 分）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为𝐹，点E、G 分别在𝐴𝐵、𝐴𝐶上且
𝐷𝐸= 𝐷𝐺，△𝐴𝐷𝐺和△𝐴𝐸𝐷的面积分别为50 和40，则△𝐸𝐷𝐹的面积为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性
质．
预习讲义 第十二章 全等三角形全章自学检测卷（解析版）
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过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐴𝐶交𝐴𝐶于点𝐻，得到Rt △𝐷𝐹𝐸≌Rt △𝐷𝐻𝐺和Rt △𝐴𝐷𝐹≌Rt △𝐴𝐷𝐻，然后利用三角形面积的和
差即可求解．
【详解】解：如图，过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐴𝐶交𝐴𝐶于点𝐻，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐻
又∵𝐷𝐸= 𝐷𝐺，
∴Rt △𝐷𝐹𝐸≌Rt △𝐷𝐻𝐺(HL)
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐷
𝐷𝐻= 𝐷𝐹
∴Rt △𝐴𝐷𝐹≌Rt △𝐴𝐷𝐻(HL)
∴𝑆△𝐴𝐸𝐷+ 𝑆△𝐷𝐸𝐹= 𝑆△𝐴𝐷𝐹= 𝑆△𝐴𝐷𝐻
∴𝑆△𝐴𝐸𝐷+ 𝑆△𝐷𝐸𝐹+ 𝑆△𝐷𝐻𝐺= 𝑆△𝐴𝐷𝐺= 50
∴𝑆△𝐸𝐷𝐹=
1
2 × (50−40) = 5．
故选：B．
10．（本题3 分）如图，Rt △𝐴𝐶𝐵中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°, △𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐴𝐷、𝐵𝐸相交于点𝑃，过𝑃作𝑃𝐹⊥𝐴𝐷
交𝐵𝐶的延长线于点𝐹，交𝐴𝐶于点𝐻，则下列结论：①∠𝐴𝑃𝐵= 135°；②𝑃𝐹= 𝑃𝐴；③𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐸= 3𝑆△𝐹𝐵𝑃；
④𝐴𝐻+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐵，其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由𝑃𝐹⊥𝐴𝐷结合①的结论可得
∠𝐴𝑃𝐵= ∠𝐹𝑃𝐵= 135°，利用角平分线和公共边可证得△𝐴𝐵𝑃≌△𝐹𝐵𝑃(AAS)，可得∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐵𝐹𝑃，
𝐴𝐵= 𝐹𝐵，𝑃𝐴= 𝑃𝐹，可判断②；由∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐵𝐹𝑃，结合𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，可知∠𝑃𝐴𝐻= ∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐵𝐹𝑃，可证
得△𝐴𝑃𝐻≌△𝐹𝑃𝐷(ASA)，可得𝐴𝐻= 𝐹𝐷，由𝐴𝐵= 𝐹𝐷+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐻+ 𝐵𝐷可判断④；由全等三角形的性质可
得𝑆△𝐴𝑃𝐻= 𝑆△𝐹𝑃𝐷，𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝑃+ 𝑆△𝐴𝐸𝑃+ 𝑆△𝐸𝑃𝐷+ 𝑆△𝑃𝐵𝐷= 2𝑆△𝐹𝐵𝑃，进而可判断③．
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【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷、𝐵𝐸分别平分∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐸=
1
2∠𝐴𝐵𝐶
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐸=
1
2(∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶) = 45°，
∴∠𝐴𝑃𝐵= 180°−(∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐸) = 135°，故①正确；
∴∠𝐵𝑃𝐷= 45°，
又∵𝑃𝐹⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐹𝑃𝐵= 90° + 45° = 135°，
∴∠𝐴𝑃𝐵= ∠𝐹𝑃𝐵，
又∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐹𝐵𝑃，
∵𝐵𝑃= 𝐵𝑃，
∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐹𝐵𝑃(ASA)，
∴∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐵𝐹𝑃，𝐴𝐵= 𝐹𝐵，𝑃𝐹= 𝑃𝐴，故②正确；
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝑃𝐴𝐻= ∠𝐵𝐴𝑃，
∴∠𝑃𝐴𝐻= ∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐵𝐹𝑃，
∵∠𝐴𝑃𝐻= ∠𝐹𝑃𝐷= 90°，𝑃𝐴= 𝑃𝐹，
∴△𝐴𝑃𝐻≌△𝐹𝑃𝐷(ASA)，
∴𝐴𝐻= 𝐹𝐷，
又∵𝐴𝐵= 𝐹𝐵，
∴𝐹𝐵= 𝐹𝐷+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐻+ 𝐵𝐷．
∴𝐴𝐻+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐵，故④正确；
连接𝐻𝐷，𝐸𝐷，如图所示：
∵△𝐴𝐵𝑃≌△𝐹𝐵𝑃，△𝐴𝑃𝐻≌△𝐹𝑃𝐷，
∴𝑆△𝐴𝑃𝐵= 𝑆△𝐹𝑃𝐵，𝑆△𝐴𝑃𝐻= 𝑆△𝐹𝑃𝐷，𝑃𝐻= 𝑃𝐷，
∵∠𝐻𝑃𝐷= 90°，
∴∠𝐻𝐷𝑃= ∠𝐷𝐻𝑃= 45° = ∠𝐵𝑃𝐷，
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∴𝐻𝐷∥𝐸𝑃，
∴𝑆△𝐸𝑃𝐻= 𝑆△𝐸𝑃𝐷，
∵𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝑃+ 𝑆△𝐴𝐸𝑃+ 𝑆△𝐸𝑃𝐷+ 𝑆△𝑃𝐵𝐷
= 𝑆△𝐴𝐵𝑃+ (𝑆△𝐴𝐸𝑃+ 𝑆△𝐸𝑃𝐻) + 𝑆△𝑃𝐵𝐷
= 𝑆△𝐴𝐵𝑃+ 𝑆△𝐴𝑃𝐻+ 𝑆△𝑃𝐵𝐷
= 𝑆△𝐴𝐵𝑃+ 𝑆△𝐹𝑃𝐷+ 𝑆△𝑃𝐵𝐷
= 𝑆△𝐴𝐵𝑃+ 𝑆△𝐹𝐵𝑃
= 2𝑆△𝐹𝐵𝑃，故③错误，
综上，正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线与三角形内角和定理，平行线的判定与性质．根
据三角形内角和定理以及角平分线定义∠𝐴𝑃𝐵= 135°，再由此证明△𝐴𝐵𝑃≌△𝐹𝐵𝑃，△𝐴𝑃𝐻≌△𝐹𝑃𝐷，是
解决问题的关键．
二、填空题（共18 分）
11．（本题3 分）如图，𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，点P 在𝑂𝐶上，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴于D，𝑃𝐷= 3cm，点E 是射线𝑂𝐵上的动点，
则𝑃𝐸的最小值为
cm．
【答案】3
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短，
熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
过𝑃点作𝑃𝐻⊥𝑂𝐵于𝐻，如图，根据角平分线的性质得到𝑃𝐻= 𝑃𝐷= 3cm，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：过𝑃点作𝑃𝐻⊥𝑂𝐵于𝐻，如图，
∵𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐻⊥𝑂𝐵，
∴𝑃𝐻= 𝑃𝐷= 3cm，
∵点𝐸是射线𝑂𝐵上的动点，
∴𝑃𝐸的最小值为3cm．
故答案为：3．
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第 18 页 共 33 页
12．（本题3 分）如图，点B，C，D 在同一直线上．若△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸，且∠𝐵= 48°，则∠𝐴𝐶𝐸= ．
【答案】48°/48 度
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的对应角相等
是解题的关键．
根据全等三角形的性质可得∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐸，由三角形外角的性质可得∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐸，最
后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐸，
∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵= 48°．
故答案为：48°．
13．（本题3 分）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 3，𝐵𝐶= 1，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷
的面积是
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于E，证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸，得出𝐴𝐶= 𝐷𝐸= 3，
然后根据𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆𝐴𝐶𝐷求解即可．
【详解】解∶过D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于E，则∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
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∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸，
又∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐸𝐴= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸，
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐸= 3，
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆𝐴𝐶𝐷
= 1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐶+ 1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐸
= 1
2 × 1 × 3 + 1
2 × 3 × 3
= 6，
故答案为：6．
14．（本题3 分）如图，已知𝑆△𝐴𝐵𝐶= 8m2，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，且𝐴𝐷⊥𝐵𝐷于点𝐷，则𝑆△𝐴𝐷𝐶=
m2．
【答案】4
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线求面积，得出点𝐷是𝐵𝐸的中点是解题关键．延
长𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐸，证明出△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐸(ASA)，得到𝐵𝐷= 𝐷𝐸，从而得出𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶，即可求解．
【详解】解：如图，延长𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐸，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
又∵𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐸(ASA)，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐸，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆△𝐴𝐷𝐵，𝑆△𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐶𝐷𝐸，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶= 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 8m2，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶= 4m2，
故答案为：4．
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15．（本题3 分）如图，已知𝑂𝐴= 𝑂𝐵，小明想证明△𝑂𝐴𝐷≌△𝑂𝐵𝐶，但发现还缺少一个条件．现从下列条
件中选择一个条件添加：①∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷，②∠𝐴= ∠𝐵，③∠𝑂𝐷𝐴= ∠𝑂𝐶𝐵，④𝑂𝐶= 𝑂𝐷，⑤𝐴𝐷= 𝐵𝐶；
添加后能证明△𝑂𝐴𝐷≌△𝑂𝐵𝐶的条件有
（要求写出所有符合的条件的对应编号）．
【答案】②③/③②
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SAS,AAS,ASA,SSS,HL，熟练
掌握知识点是解题的关键．
根据AAS,ASA即可判断出正确选项．
【详解】解：①∠𝐴𝐸𝐶与∠𝐵𝐸𝐷是对顶角，本身就相等，现有条件不足以证明△𝑂𝐴𝐷≌△𝑂𝐵𝐶，故①不符合
题意；
②当∠𝐴= ∠𝐵，而𝑂𝐴= 𝑂𝐵，∠𝑂= ∠𝑂，
∴△𝑂𝐴𝐷≌△𝑂𝐵𝐶(ASA)，故②符合题意；
③当∠𝑂𝐷𝐴= ∠𝑂𝐶𝐵，而∠𝑂= ∠𝑂，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，
∴△𝑂𝐴𝐷≌△𝑂𝐵𝐶(AAS)，故③符合题意；
④当𝐴𝐷= 𝐵𝐶，而∠𝑂= ∠𝑂，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，边边角不能证明全等，故④不符合题意，
∴符合题意的有②③，
故答案为：②③．
16．（本题3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°,𝐴𝐶= 6cm,𝐵𝐶= 8cm，直线𝑙经过点𝐶且与边𝐴𝐵相交，动
点𝑃从点𝐴出发沿𝐴→𝐶→𝐵路径向终点𝐵运动；动点𝑄从点𝐵出发沿𝐵→𝐶→𝐴路径向终点𝐴运动，点𝑃和点𝑄的速
度分别为2cm/s和3cm/s，两点同时出发并开始计时，当点𝑃到达终点𝐵时计时结束，在某时刻分别过点𝑃和
点𝑄作𝑃𝐸⊥𝑙于点𝐸，𝑄𝐹⊥𝑙于点𝐹，设运动时间为𝑡s，则△𝑃𝐸𝐶与△𝑄𝐹𝐶全等时，𝑡的值为
．
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【答案】2 或
14
5 或6
【分析】本题考查全等三角形的性质，分△𝑃𝐸𝐶≌△𝐶𝐹𝑄，且点𝑃在𝐴𝐶上、点𝑄在𝐵𝐶上运动，
△𝑃𝐸𝐶≌△𝑄𝐹𝐶，且点𝑃与点𝑄重合，当△𝑃𝐸𝐶≌△𝐶𝐹𝑄，且点𝑄在𝐴𝐶上、点𝑃在𝐵𝐶上运动三种情况进行讨
论求解即可．
【详解】解：∵𝑃𝐸⊥𝑙,𝑄𝐹⊥𝑙，
∴∠𝑃𝐸𝐶= ∠𝑄𝐹𝐶= 90°，
∴△𝑃𝐸𝐶与△𝑄𝐹𝐶全等分三种情况讨论：
①如图①，当△𝑃𝐸𝐶≌△𝐶𝐹𝑄，且点𝑃在𝐴𝐶上、点𝑄在𝐵𝐶上运动时，
𝑃𝐶= 𝐶𝑄．
此时𝐴𝑃= 2𝑡cm,𝐵𝑄= 3𝑡cm，
∴6−2𝑡= 8−3𝑡，
解得𝑡= 2；
②如图②，当△𝑃𝐸𝐶≌△𝑄𝐹𝐶，且点𝑃与点𝑄重合时，
𝑃𝐶= 𝐶𝑄．
此时𝐴𝑃= 2𝑡cm,𝐶𝑄= (3𝑡−8)cm，
∴6−2𝑡= 3𝑡−8，
解得𝑡=
14
5 ；
③当△𝑃𝐸𝐶≌△𝐶𝐹𝑄，且点𝑄在𝐴𝐶上、点𝑃在𝐵𝐶上运动时，𝑃𝐶= 𝐶𝑄．
此时𝑃𝐶= (2𝑡−6)cm,𝐶𝑄= (3𝑡−8)cm．
当点𝑄未到达终点𝐴时，
2𝑡−6 = 3𝑡−8，
解得𝑡= 2，
不符合题意，舍去．
当点𝑄到达终点𝐴时，𝑃继续运动，如图③，
此时点𝑄与点𝐴重合，𝑃𝐶= 𝐶𝑄= 𝐴𝐶= 6cm，
∴2𝑡−6 = 6，
解得𝑡= 6．
综上所述，当𝑡的值为2 或
14
5 或6 时，△𝑃𝐸𝐶与△𝑄𝐹𝐶全等．
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故答案为：2 或
14
5 或6
三、解答题（共72 分）
17．（本题8 分）如图，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，利用尺规作图法在𝐶𝐷边上求作一点E，连接𝐴𝐸、
𝐵𝐸，使得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐸．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】图见解析
【分析】本题考查了作图——角平分线，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．作
∠𝐵𝐴𝐷的角平分线，交𝐶𝐷于点于点𝐸，则点E 即为所求．
【详解】解：如图，点E 即为所求．
方法：作∠𝐵𝐴𝐷的角平分线，交𝐶𝐷于点于点𝐸．连接𝐵𝐸，𝐴𝐸．
证明：∵𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐷的角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸，𝐴𝐸= 𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐸．
18．（本题8 分）如图，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点D，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐵𝐷,𝐶𝐸交于𝑂，𝑂𝐵= 𝑂𝐶,求证：∠1 = ∠2
【答案】见解析
【分析】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是
解题关键．
先根据三角形全等的判定定理证出△𝐵𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐷(AAS)，再根据全等三角形的判定得出Rt △𝐴𝑂𝐸≌Rt
△𝐴𝑂𝐷(HL)，即可证明
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【详解】证明：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，
∴∠𝐵𝐸𝑂= ∠𝐶𝐷𝑂= 90°，
∵∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐶𝑂𝐷,𝑂𝐵= 𝑂𝐶，
∴△𝐵𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐷(AAS)，
∴𝑂𝐸= 𝑂𝐷，
∵𝐴𝑂= 𝐴𝑂，
∴Rt △𝐴𝑂𝐸≌Rt △𝐴𝑂𝐷(HL)，
∴∠1 = ∠2．
19．（本题8 分）如图，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，∠𝐵+ ∠𝐷= 180°．求证：𝐴𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐸．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，解决本题的
关键是作辅助线构造全等三角形，首先过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，交𝐴𝐷的延长线于点𝐹，可证△𝐶𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸
(AAS)，根据HL可证Rt △𝐴𝐶𝐹≌Rt △𝐴𝐶𝐸(HL)，所以可得𝐴𝐸= 𝐴𝐹，等量代换可证结论成立．
【详解】证明：如图所示，过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，交𝐴𝐷的延长线于点𝐹．
∵𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐹，
∵∠𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐹= 180°，
∴∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐵．
在△𝐶𝐷𝐹和△𝐶𝐵𝐸中，
∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐵,
∠𝐹= ∠𝐶𝐸𝐵= 90°,
𝐶𝐹= 𝐶𝐸,
∴△𝐶𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸(AAS)，
∴𝐷𝐹= 𝐵𝐸，
在Rt △𝐴𝐶𝐹和Rt △𝐴𝐶𝐸中，𝐴𝐶= 𝐴𝐶,
𝐶𝐹= 𝐶𝐸,
∴Rt △𝐴𝐶𝐹≌Rt △𝐴𝐶𝐸(HL)，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∵𝐴𝐹= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐹，
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∴𝐴𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐸．
20．（本题8 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，
(1)若△𝐵𝐷𝐶的面积是5，求△𝐴𝐵𝐶的面积；
(2)求证：𝐴𝐶= 2𝐵𝐷．
【答案】(1)10
(2)证明见解析
【分析】（1）延长𝐴𝐷交𝐵𝐶于点𝐻，可证△𝐴𝐵𝐷≌△𝐻𝐵𝐷(ASA)，可得𝐴𝐷= 𝐻𝐷，进而由中线性质可得
𝑆△𝐵𝐴𝐷= 𝑆△𝐵𝐻𝐷，𝑆△𝐶𝐴𝐷= 𝑆△𝐶𝐻𝐷，即得𝑆△𝐵𝐴𝐷+ 𝑆△𝐶𝐴𝐷= 𝑆△𝐵𝐻𝐷+ 𝑆△𝐶𝐻𝐷= 𝑆△𝐵𝐷𝐶= 5，即可求解；
（2）过点𝐵作𝐵𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝐵𝐷的延长线于𝐸，可证△𝐵𝐶𝐹≌△𝐶𝐵𝐸(AAS)，可得𝐵𝐹= 𝐶𝐸，又
由（1）得𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐵𝐷𝐶，即可得
1
2𝐴𝐶·𝐵𝐹= 2 ×
1
2𝐵𝐷·𝐶𝐸，即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关
键．
【详解】（1）解：延长𝐴𝐷交𝐵𝐶于点𝐻，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐻𝐵𝐷，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐻𝐷𝐵= 90°，
∵𝐵𝐷= 𝐵𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐻𝐵𝐷(ASA)，
∴𝐴𝐷= 𝐻𝐷，
∴𝑆△𝐵𝐴𝐷= 𝑆△𝐵𝐻𝐷，𝑆△𝐶𝐴𝐷= 𝑆△𝐶𝐻𝐷，
∴𝑆△𝐵𝐴𝐷+ 𝑆△𝐶𝐴𝐷= 𝑆△𝐵𝐻𝐷+ 𝑆△𝐶𝐻𝐷= 𝑆△𝐵𝐷𝐶= 5，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 5 + 5 = 10；
（2）证明：过点𝐵作𝐵𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝐵𝐷的延长线于𝐸，则∠𝐵𝐹𝐶= ∠𝐶𝐸𝐵= 90°，
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∵∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐶𝐵𝐸，
又∵𝐵𝐶= 𝐶𝐵，
∴△𝐵𝐶𝐹≌△𝐶𝐵𝐸(AAS)，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐸，
∵𝑆△𝐵𝐷𝐶= 5，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 10，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐵𝐷𝐶，
即
1
2𝐴𝐶·𝐵𝐹= 2 ×
1
2𝐵𝐷·𝐶𝐸，
∴𝐴𝐶= 2𝐵𝐷．
21．（本题10 分）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥BC，𝐸为𝐶𝐷的中点，连接𝐴𝐸、𝐵𝐸，𝐵𝐸⊥𝐴𝐸，延长𝐴𝐸交
𝐵𝐶的延长线于点𝐹．
(1)求证：𝐹𝐶= 𝐴𝐷；
(2)求证：𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷；
(3)猜想线段𝐴𝐵、𝐴𝐷、𝐵𝐶的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)𝐴𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐷
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定
定理与性质是解题关键．
（1）先根据平行线的性质可得∠𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸,∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐷，再根据线段中点的定义可得𝐶𝐸= 𝐷𝐸，然后根据三
角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）由（1）得△𝐴𝐸𝐵≌△𝐹𝐸𝐵, △𝐴𝐸𝐷≌△𝐹𝐸𝐶，得∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐹,∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐹，那么∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸．
（3）由（2）可知△𝐴𝐸𝐵≌△𝐹𝐸𝐵，得出𝐴𝐵= 𝐹𝐵，由（1）可知𝐹𝐶= 𝐴𝐷，根据𝐴𝐵= 𝐹𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐹𝐶= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐷
即可证明．
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【详解】（1）证明：∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹,∠𝐷= ∠𝐸𝐶𝐹，
又∵E 为𝐶𝐷的中点，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐸，
在△𝐴𝐷𝐸和△𝐹𝐶𝐸中
∵
∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹
∠𝐷= ∠𝐸𝐶𝐹
𝐷𝐸= 𝐶𝐸
，
∴△𝐴𝐷𝐸≌𝐹𝐶𝐸(AAS)，
∴𝐹𝐶= 𝐴𝐷．
（2）证明：∵△𝐴𝐷𝐸≌△𝐹𝐶𝐸，
∴𝐴𝐸= 𝐹𝐸，
又∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐹𝐸𝐵= 90°，
在△𝐴𝐸𝐵和△𝐹𝐸𝐵中，
∵
𝐴𝐸= 𝐹𝐸
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐹𝐸𝐵
𝐵𝐸= 𝐵𝐸
，
∴△𝐴𝐸𝐵≌△𝐹𝐸𝐵(SAS)，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐹，
又∵∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸，
∴𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷．
（3）结论：𝐴𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐷
证明：由（2）可知△𝐴𝐸𝐵≌△𝐹𝐸𝐵，
∴𝐴𝐵= 𝐹𝐵，
由（1）可知𝐹𝐶= 𝐴𝐷，
∴𝐴𝐵= 𝐹𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐹𝐶= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐷，
即𝐴𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐷．
22．（本题10 分）为测量某一水池两端𝐴，𝐵之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案：
课
题
测量水池两端𝐴、𝐵之间的距离
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测
量
示
意
图
步
骤
说
明
在平地上取一点𝑂，分别连接𝐴𝑂，𝐵𝑂
并延长到𝐷，𝐶两点，使得𝐷𝑂= 𝐵𝑂，
𝐶𝑂= 𝐴𝑂，测量𝐶𝐷的距离即可．
在平地上取一点𝑂，连接𝐴𝑂，𝐵𝑂，在𝐴𝐵
的延长线上取一点𝐶，使得
∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐴𝑂𝐵，测量𝐵𝐶的距离即可．
数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题：
(1)以上两位同学方案可行的是________的方案；
(2)请你选择可行的方案，并说明它可行的理由．
【答案】(1)小涵
(2)见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解本题的关键．
（1）根据已知条件分析即可得可行方案；
（2）根据全等三角形的判定与性质可得小涵同学的方案可行．
【详解】（1）解：∵小涵的方案可以证明△𝐴𝐵𝑂≌△𝐶𝐷𝑂，即𝐴𝐵= 𝐶𝐷，而小宇的方案无法证明△𝐴𝐵𝑂≌△𝐶𝐵𝑂，
也就不能证明𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴小涵同学方案可行．
（2）解：小涵同学方案可行，理由如下：
在△𝐴𝐵𝑂和△𝐶𝐷𝑂中，
𝐷𝑂= 𝐵𝑂
∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷
𝐶𝑂= 𝐴𝑂
，
∴△𝐴𝐵𝑂≌△𝐶𝐷𝑂(SAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐷，
故小涵同学方案可行．
23．（本题10 分）已知，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180∘，𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐶𝐷边上的
点．且∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐷．探究线段𝐵𝐸、𝐸𝐹、𝐷𝐹的数量关系．
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(1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当∠𝐵= ∠𝐷= 90∘，小宁探究此问题的方法是：
延长𝐸𝐵到点𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹，连接𝐴𝐺，请你补全小宁的解题思路：先证明Δ𝐴𝐵𝐺≌________；再证明Δ𝐴𝐸𝐺≌
_________；即可得出线段𝐵𝐸、𝐸𝐹、𝐷𝐹之间的数量关系是______________________．
(2)如图②，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180∘，𝐸、𝐹分别是边𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点，且∠𝐸𝐴𝐹=
1
2
∠𝐵𝐴𝐷，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180∘，𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐶𝐷所在直线上的点，且∠𝐸𝐴𝐹=
1
2
∠𝐵𝐴𝐷．请直接写出𝐵𝐹、𝐸𝐹、𝐷𝐹线段之间的数量关系．
【答案】(1)Δ𝐴𝐷𝐹,Δ𝐴𝐸𝐹,𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷
(2)成立，理由见解析
(3)𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐹𝐷或𝐸𝐹= 𝐹𝐷−𝐵𝐸或𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷；
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可；
（2）延长𝐸𝐵 到点G，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹 ，连接𝐴𝐺 ，先证明△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)，再证明△𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹(SAS
)，即可得出线段𝐵𝐸、𝐸𝐹、𝐹𝐷之间的数量关系；
（3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可．
【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下：
先证明△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹；再证明△𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹；即可得出线段𝐵𝐸、𝐸𝐹、𝐹𝐷之间的数量关系是
𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷，
故答案为：△𝐴𝐷𝐹 ，△𝐴𝐸𝐹，𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长𝐸𝐺 到点G，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹 ，连接𝐴𝐺，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐷= 180°，∠𝐴𝐵𝐺+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°，
∴∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐺，
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在△𝐴𝐵𝐺 与△𝐴𝐷𝐹 中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐴𝐵𝐺= ∠𝐷
𝐵𝐺= 𝐷𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)，
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐺+ ∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹+ ∠𝐵𝐴𝐹 ，
∴∠𝐺𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷 ，
∵∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐷 ，
∴∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐺𝐴𝐹
∴∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐹 ，
在△𝐴𝐸𝐺 与△𝐴𝐸𝐹 中，
𝐴𝐺= 𝐴𝐹
∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐹
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹(SAS)，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐺，
∵𝐸𝐺= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐺，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷；
（3）解：𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐹𝐷或𝐸𝐹= 𝐹𝐷−𝐵𝐸或𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷，理由如下：
①𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐹𝐷，如图：在𝐵𝐸 上截取𝐵𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹 ，连接𝐴𝐺 ，
∵∠𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，∠𝐴𝐷𝐹+ 𝐴𝐷𝐶= 180°
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐹
在△𝐴𝐵𝐺 与△𝐴𝐷𝐹 中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐹
𝐵𝐺= 𝐷𝐹
∴△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹(SAS)
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐺+ ∠𝐺𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐹+ ∠𝐺𝐴𝐷 ，
∴∠𝐺𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷 ，
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∵∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐷 ，
∴∠𝐸𝐴𝐹=
1
2∠𝐺𝐴𝐹
∴∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐹 ，
在△𝐴𝐸𝐺 与△𝐴𝐸𝐹 中，
𝐴𝐺= 𝐴𝐹
∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐹
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹(SAS)，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐺，
∵𝐸𝐺= 𝐵𝐸−𝐵𝐺，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐹𝐷；
②𝐸𝐹= 𝐹𝐷−𝐵𝐸，如图，在𝐷𝐹上截取𝐷𝐻= 𝐵𝐸，
同第一种情况，先证得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐻(SAS)，再证得△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐻𝐹(SAS)，
∴𝐸𝐹= 𝐹𝐻= 𝐹𝐷−𝐷𝐻= 𝐹𝐷−𝐵𝐸 ；
③由（1）、（2）可知，𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷；
④如图，点𝐸 在𝐵𝐶 延长线上，点𝐹 在𝐷𝐶延长线上，此时线段𝐵𝐸、𝐸𝐹、𝐹𝐷之间并无直接数量关系；
综上，线段𝐵𝐸、𝐸𝐹、𝐹𝐷之间的数量关系为𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐹𝐷或𝐸𝐹= 𝐹𝐷−𝐵𝐸或𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷．
24．（本题10 分）综合与实践
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(1)观察理解：如图1，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，直线𝑙过点𝐶，点𝐴、𝐵在直线𝑙同侧，𝐵𝐷⊥𝑙，
𝐴𝐸⊥𝑙，垂足分别为𝐷、𝐸，由此可得：∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶𝐷𝐵= 90°，所以∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸= 90°，又因为∠
𝐴𝐶𝐵= 90°，所以∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸= 90°；所以∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，又因为𝐴𝐶= 𝐵𝐶，所以△𝐴𝐸𝐶≌△𝐶𝐷𝐵
（ ）；（请填写全等判定的方法）
(2)理解应用：如图2，𝐴𝐸⊥𝐴𝐵且𝐴𝐸= 𝐴𝐵，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷且𝐵𝐶= 𝐶𝐷，利用（1）中结论，请按照图中所标注的
数据计算图中实线所围成的图形的面积𝑆= ；
(3)类比探究：如图3，Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 8，将斜边𝐴𝐵绕点𝐴逆时针旋转90°至𝐴𝐵′，连接𝐵′𝐶，
求△𝐴𝐵′𝐶的面积；
(4)拓展提升：如图4，点𝐵，𝐶在∠𝑀𝐴𝑁的边𝐴𝑀，𝐴𝑁上，点𝐸、𝐹在∠𝑀𝐴𝑁内部的射线𝐴𝐷上，∠1、∠2分别是
△𝐴𝐵𝐸、△𝐶𝐴𝐹的外角，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠1 = ∠2 = ∠𝐵𝐴𝐶，求证：𝐶𝐹+ 𝐸𝐹= 𝐵𝐸．
【答案】(1)AAS；
(2)50．
(3)32；
(4)见解析
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是
构造全等三角形解决问题．
（1）根据AAS证明△𝐴𝐸𝐶≌△𝐶𝐷𝐵即可；
（2）利用（1）中的结论，△𝐸𝐹𝐴≌△𝐴𝐺𝐵，△𝐵𝐺𝐶≌△𝐶𝐻𝐷，利用面积差求𝑆的值；
（3）如图3，过𝐵′作𝐵′𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，构造全等三角形即可求解；
（4）根据ASA证明三角形全等，即可解答；
【详解】（1）解：∵𝐵𝐷⊥𝑙，𝐴𝐸⊥𝑙，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶𝐷𝐵= 90°,
∴∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸= 90°,
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸= 90°,
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷,
在△𝐴𝐸𝐶和△𝐶𝐷𝐵中，
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶𝐷𝐵
∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
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∴△𝐴𝐸𝐶≌△𝐶𝐷𝐵(AAS)，
故答案为∶AAS；
（2）解：过点𝐵、𝐷、𝐸分别作𝐵𝐺⊥𝐴𝐶，𝐷𝐻⊥𝐴𝐶，𝐸𝐹⊥𝐴𝐶,垂足为𝐺、𝐻、𝐹，
由（1）得∶△𝐸𝐹𝐴≌△𝐴𝐺𝐵, △𝐵𝐺𝐶≌△𝐶𝐻𝐷,
∴𝐴𝐺= 𝐸𝐹= 6,𝐴𝐹= 𝐵𝐺= 3,
𝐶𝐺= 𝐷𝐻= 4,𝐶𝐻= 𝐵𝐺= 3,
𝑆= 𝑆梯形𝐸𝐹𝐻𝐷−2𝑆△𝐴𝐸𝐹−2𝑆△𝐶𝐻𝐷
=
1
2 × (4 + 6) × 16−2 ×
1
2 × 6 × 3−2 ×
1
2 × 3 × 4
= 80−18−12
= 50.
故答案为：50．
（3）解：如图3，过𝐵′作𝐵′𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，
由旋转得∶𝐴𝐵= 𝐴𝐵′，∠𝐵𝐴𝐵′ = 90°,
由（1）可知△𝐴𝐸𝐵′≌△𝐵𝐶𝐴，
∴𝐴𝐶= 𝐵′𝐸= 8,
∴𝑆△𝐴𝐵′𝐶=
1
2𝐴𝐶⋅𝐵′𝐸=
1
2 × 8 × 8 = 32；
（4）解：如图4，
∵∠1 = ∠2 = ∠𝐵𝐴𝐶,
∠1 = ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸,
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐹,
∠2 = ∠𝐹𝐶𝐴+ ∠𝐶𝐴𝐹,
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹,∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐹𝐶𝐴,
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐴𝐹中，
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∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐹(ASA)，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐹,𝐶𝐹= 𝐴𝐸,
∴𝐶𝐹+ 𝐸𝐹= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐹= 𝐴𝐹= 𝐵𝐸.
