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第十二章 全等三角形（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列说法中，正确的有( )
①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；
④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断．
【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法
错误；
全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确；
若 ， 的对应角为 ，所以 ，故④说法正确；
说法正确的有③④，共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键．
2．下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等形，掌握能完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．
【详解】观察发现：A，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；
B选项中两个图形能完全重合，是全等形，故选B．
3．如图，点B在线段 上， ， ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键熟练掌握性质的应用．
根据全等三角形的对应边相等，再利用线段和差即可求解．
【详解】∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．
4．小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使 ， ， ，点
、 、 在同一直线上，就能保证 ，可作为证明 的依据的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
直接利用全等三角形的判定方法即可得出答案．
【详解】解： ， ，
，
在 和 中，
，证明 的依据的是 ，
故选： ．
5．如图，在 和 中，点 ， ， ， ， ，能判定 的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形全等的判定，先根据平行线的性质得到 ，加上 ，则可根据全等
三角形的判定方法对各选项进行判断即可，掌握全等三角形的判定方法： 、 、 、 ，
是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
、添加 ，不能判定 ；
、添加 ，能判定 ；
、添加 ，不能判定 ；
、添加 ，不能判定 ；
故选： ．
6．如图， 平分 ， 于点 ， 于点 ， ，则图中全等三角形有
（ ）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形全等的判定定理，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方程是解题
的关键．
根据全等三角形的判定分别证明 ， ， ，即
可得到答案．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 于点 ， 于点 ，
∴ ；
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴图中全等三角形有3对
故选C．
7．现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙
头的位置应选在（ ）处
A．三角形三边的垂直平分线的交点 B．三角形的三条角平分线的交点
C．三角形的三条高所在直线的交点 D．三角形的三条中线的交点
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关
键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，则洒水龙头的位置应选在三角形三条角平分线的交点，
故选：B
8．如图，在 中， 平分 ， 于点E， ，则 的长是（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理．过点D作 于点F，根据角平分线的性质可得
，再由 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作 于点F，
∵ 平分 ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
9．如图， 是 的角平分线， ，垂足为E， 交 的延长线于点F，若 恰好
平分 ， ，给出下列五个结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，由角平分线的
性质和平行线的性质可证 ，可得 ，由等腰三角形的性质可得 ， ，
由 可证 ，可得 ， ， ，即可求解．
【详解】解：∵ 恰好平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，且 是 的角平分线，
∴ ， ，
故②，③正确，符合题意；
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
故①正确，符合题意；
∵ ，
∴ ，故④正确，符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故⑤错误，不符合题意；
故选：A．
10．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行
线上的三角形称为“格线三角形”．如图， ，相邻两条平行线间的距离为m，等腰 为
“格线三角形”，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作 直线 于点 ，延长
交直线c于点F，过点C作 直线 于点 ，证明 ，得出
， ，再根据 求
解即可
【详解】解：过点B作 直线 于点 ，延长 交直线c于点F，过点C作 直线 于点 ，则
，如图，∵ ，相邻两条平行线间的距离为m，
∴ 直线c，
∵
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 的面积
故选：A
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图， ，则 ．
【答案】 /130度
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关
键．证明 得出 ，根据邻补角即可求解．
【详解】解：∵在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
12．如图，四边形 四边形 ．若 ， ， ，则 的大小为
度．
【答案】105
【分析】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质．
根据全等的性质求出 ，利用四边形的内角和公式求出 的度数即可．
【详解】解：∵四边形 四边形 ．
，
，
，
，
，
故答案为：105．
13．如图， D， E是边 上的两点， ， 现要直接用“ ”定理来证明
， 请你再添加一个条件： ．
【答案】
【分析】在 与 中，已知 ， ，即已知一角及角的一边对应相等，根据
“ ”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理： ：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、
、 、 ．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
【详解】解：可添加一个条件： ，使 ．
理由：
在 与 中，
，
．
故答案为
14．已知 面积为24，将 沿 的方向平移到 的位置，使 和C重合，连接 交
于D，则 的面积为 ．
【答案】12
【分析】根据平移的性质可得 ，证明 ，得到 ，
则 ，再推出 ，则 ．
【详解】解：由平移的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 的面积为24，
∴ ，
∴ ．
故答案为：12．【点睛】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移的性
质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线
段平行且相等，对应角相等．
15．如图， 中 ，点 、 是 与 三等分线的交点，则 的度数是 ．
【答案】 /52度
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．
过点N作 于G， 于E， 于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可
得 ，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出 平分 ，然后根据三
角形内角和等于 求出 再根据角的三等分求出 的度数，然后利用三角形
内角和定理求出 的度数，从而得解．
【详解】解：如图，过点N作 于G， 于E， 于F，
∵点 、 是 与 三等分线的交点，
∴ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，在 中，
∴ ．
故答案为： ．
16．如图， ，垂足为点A，射线 ，垂足为点B， ， ．动点E从A点
出发以 的速度沿射线 运动，动点D在射线 上，随着E点运动而运动，始终保持 ．若
点E的运动时间为t秒 ，则当 秒时， 与 全等．
【答案】3或7或10
【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是要分情况讨论．分情况，当E在线段 上，或当E在线段
延长线上，由 即可求解．
【详解】解： ， ， ，
，当E在线段 上时，若 ，
，
，
，
，
；
若 ，
，
，
（舍去），
当E在线段AB延长线上时，若 ，，
，
，
若 ，
，
，
，
当 或7或10秒时， 与 全等．
故答案为：3或7或10．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．已知：如图， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由 可得 ，再根据条件
，可利用 证明 ，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论．
【详解】证明： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，．
18．如图，已知 ， ．
(1)求证： ；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到 ．
（1）利用 证明 即可；
（2）由 ，得 ，进而可以判断 与 的位置关系．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ．
19．如图，已知 ， ， 为 的中点，过 作一条直线分别与 ， 交于点 ， ，
点 ， 在直线 上，且 ．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；
(2)求证： ．
【答案】(1) ； ， ， ，
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，找出判定三角形全等的条件是解题的关键．
（1）结合已知条件，再根据全等三角形的四个判定方法，即可找出所有的全等三角形；
（2）先证明 ，即可证明 ．
【详解】（1）解：有 对全等三角形，分别为：
， ， ， ，
理由如下：
， ， ，
，
，
即 ，
为 的中点，
，
又 ，
，
， ，
， ， ，
，
，
， ，，
即 ，
又 ，
；
（2）证明： ， ， ，
，
，
即 ，
为 的中点，
，
又 ，
，
， ，
， ， ，
，
，
， ，
，
即 ，
又 ，
，
．
20．如图，B、C、E三点在同一条直线上，(1)求证：
(2)若 ,求 的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得 是解题的关键．
（1）根据平行线求出 ，再说明 ，最后结合 运用
即可证明结论；
（2）根据全等三角形性质得出 ，进而根据平角定义即可解答．
【详解】（1）证明∶ ∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图， 中，点 在边 延长线上， ， 的平分线交 于点 ，过点 作
，垂足为 ，且 ．(1)求 的度数；
(2)求证： 平分 ；
(3)若 ， ，且 ，则 的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)15
【分析】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用
相关知识点成为解答本题的关键．
（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得 、 ，进而得到 ，然后根据
即可解答；
（2）如图：过 点分别作 于 ， 与 ，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定
义可得 、 平分 、 ，最后根据角平分线的判定定理即可解答；
（3）根据 结合已知条件可得 ，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图：过 点分别作 于 ， 与 ，平分 ，
，
，
平分 ，
，
，
平分 ．
（3）解： ， ， ，
，
即 ，解得 ，
，
．
22．问题提出：
如图1，在四边形 中， 与 互补， 与 互补， ，
， ， 数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时， 经历了如下过程：
实验操作：
（1）数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：
x … 30 40 50 60 70 80 β 130
y 75 70 65 α 55 50 40 θ
这里α= ， β= ， θ= ．
猜想证明：
（2）根据表格，猜想：y与x之间的关系式为 ；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法： 如图2，延长 到E， 使 ，连接AE， …， 请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证 （1）中结
论的正确性．
应用拓广：
（3） 如图3， 若 ， ， 求四边形 的面积．
【答案】（1）60，100，15；（2） ，理由见详解；（3）
【分析】（1）观察表格发现：x每增加10，y减小5，由此即可得出 、 、 的值．
（2）根据表格猜想： ．延长 到E， 使 ，连接 ，则可得 ，进而
可得 ， ，则可得 ．在 中，根据三角形内角和定理即可得出y于
x之间的关系式．
（3）延长 到E， 使 ，连接 ．由（2）得 ，则 ，进而可得
．由 ， 可得 ， ．则可得 ，
，进而可得 ，可得 的值，即可得 的值．
【详解】（1）观察表格发现：x每增加10，y减小5，
，
，
．
故答案为：60，100，15，
（2）根据表格猜想： ．
证明：如图2， 延长 到E， 使 ，连接 ，
则 ，又 ，
，
又 ，
，
， ，
，
．
在 中， ，
，
．
（3）如图， 延长 到E， 使 ，连接 ．
由（2）得 ，
，
，
， ，
，
解得 ， ，
， ，
，
，．
【点睛】本题考查了数字类探索规律问题，以及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握
以上知识，证明出y与x之间的关系式是解题的关键．
23．（1）【问题解决】
如图①， ， 平分 ， 点 F在 上， 的两边分别与 ，
交于点 D， E． 当 ， 时，则 与 的数量关系为 ；
（2）【问题探究】
如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线 ， ，分别交 ， 于点 M， N，
判断 与 的数量关系， 说明理由；
（3）【迁移应用】
某学校有一块四边形的空地 ，如图③所示， ， 是 的平分线，
， ，直接写出该空地的面积．
【答案】（1） ；（2） ，理由见详解；（3）
【分析】（1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得 ；
（2）先根据四边形内角和等于 可得 ，由 可得 ，再
根据 证明 ，则可得 ；
（3）过C点作 于E点， 的延长线于F点．由（2）得 ，则可得 ，
，进而可得 ．证明 ，则可得 ，由 、
可求得 的长，进而可得 、 的长，由此可得 的值，即可得 的值．
【详解】（1）解：∵ 平分 ， 点 F在 上，且 ， ，
∴ ．
（2）解： ，理由如下：∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 中， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
（3）解：如图，过C点作 于E点， 的延长线于F点，
由（2）得 ，
， ，
，
∵ 是 的平分线，
，
又 ， ，
，
，
又 ，
，
，解得 ，
，
，
，
答：该空地的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅
助线是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在 、 上分别取点 、 、 、 ，使
得 ， ，连接 、 ，交点为 ，则射线 为 的角平分线．
【验证】（1）试说明 平分 ，且 ；
【应用】（2）如题图2，若 、 、 、 分别为 、 上的点，且 ， ，
试用（1）中的原理说明 平分 ；
【猜想】（3）如题图3， 是 角平分线上一点， 、 分别为 、 上的点，且 ，请
补全图形，并直接写出 与 的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 或
【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性
强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
（1）先证明 ，得 ，再证 ，得 ，然后证
，得 ，即可得出结论；
（2）先证明 ，可得 ，由（1）可得 平分 ；
（3）过点 分别作 于 ， 于 ，分两种情况进行求解即可．
【详解】解：（1） ， ， ，
， ，，
， ，
，
，
， ， ，
，
，
即 ，
射线 平分 ；
（2） ，
，
，
，
，
由（1）可得 平分 ；
（3）补全图形如下，过点 分别作 于 ， 于 ，
是 的平分线，
， ，
当 时，
在 和 中，
，
，
；
当 时，同理得 ，
；
，
，
综上所述， 与 的数量关系为 或 ；
25．【模型呈现】
（1）如图1， ， ， 于点 ， 于点 ．
求证： ．
【模型应用】
（2）如图2， 且 ， 且 ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围
成的图形 的面积．
【深入探究】
（3）如图3， ， ， ，连接 、 ，且 于点 ， 与
直线 交于点 ．
①求证 ；
②若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）①见解析；
【分析】（1）证明 ，即可得证；
（2）同（1）法得到 ， ，分割法求出图形面积即可；
（3）①过点 作 于 ，过点 作 交 的延长线于 ，易证 ，
，得到 ， ，再证明 ，即可得出结论；
②根据全等三角形的性质，求出 的长，进而利用面积公式进行求解即可．
【详解】解：（1）证明： ，，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
．
（2）由模型呈现可知， ， ，
， ， ， ，
则
．
（3）①过点 作 于 ，过点 作 交 的延长线于 ．
图3
由【模型呈现】可知， ， ，
，
，
，
，
在 和 中，，
．
②由①可知， ， ，
，
，
，
，
由① 得
，
，
，
，
．
