文档内容
第十二章 全等三角形
12.3 角平分线的性质
第2课时 角平分线的判定
学习目标：1．理解角平分线的判定定理.
2．掌握角平分线判定定理的推导方法并应用其解题.
3．学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
重点：掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题．
难点：角平分线的判定的灵活运用．
自主学习
一、知识链接
1．写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题．
2．写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等” 的逆命题．
二、新知预习
1．分别画出下列三角形三个内角的平分线．
你发现了什么特点吗？
2．自主归纳
（1）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 上；
（2）①三角形的三条角平分线相交于 点，它到 ；
②三角形内，到三边距离相等的点是 ．
三、自学自测
1．如图1，PM=PN，∠BOC=30°，则∠AOB= ．
图1 图2
2．如图2，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则
∠1与∠2的大小关系是 ( )
A．∠1=∠2 B．∠1>∠2 C．∠1<∠2 D．无法确定
四、我的疑惑
______________________________课堂探究
一、要点探究
探究点1：角平分线的判定
问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
猜想：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明猜想：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
知识总结：
判定定理： ．
应用所具备的条件：（1）位置关系： ；
（2）数量关系： ．
定理的作用： ．
应用格式：∵ ，
∴点P 在∠AOB的平分线上．
典例精析
例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，并且离公路与铁路交
叉处距离为500米，这个集贸市场应建在何处？
方法总结:根据角平分线的判定定理，要求作点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形
成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点．
探究点2：三角形的内角平分线活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：
活动2：分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每条垂线段的长度，你发现了
什么？
发现：
你能证明这个结论吗？
证明结论：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．
变式1：如图，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，
AP、BD交于点O，过点O作OM⊥AC于点M，若OM＝4．
（1）求点O到△ABC三边的距离和；
（2）若△ABC的周长为32，求△ABC的面积．
典例精析例2：如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若
∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
方法总结:由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是三条内角平分线的交点，再利用三
角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
归纳总结：
二、课堂小结
角的内部到角两边距离相等的点
内容
在这个角的平分线上
角 平 分
线 的 判 判断一个点是否在角的平分线上
作用
定定理
三角形的角平分线相交于内部一点，该点到
结论 三角形三边的距离相等
当堂检测
1．如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一
个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．
2．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，点P在AD上，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明
理由．
3．已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，
CM⊥AD于M，CN⊥BD于N．求证：CM＝CN．
4．如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
拓展提升：
5．如图，直线l、l、l 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条
1 2 3
公路的距离相等，可选择的地址有几处？ 画出它的位置．
l
1
l l
3 2参考答案
自主学习
一、知识链接
1．对应边相等的两个三角形是全等三角形．
2．到角的两边的距离相等的是角平分线上的点．
二、新知预习
1．解：如图．
三角形的角平分线交于一点
2．解：（1）平分线
（2）①一 三边的距离相等 ②角平分线的交点
三、自学自测
1．60° 2．A
四、我的疑惑
课堂探究
二、要点探究
探究点1：角平分线的判定
证明猜想：证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．
在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）．
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）．∴点P在∠AOB的平分线上．
知识总结：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
（1）点在角的内部 （2）该点到角两边的距离相等
判断点是否在角平分线上
PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
典例精析
例1 解：作夹角的平分线OC，截取OD=500 m，则点D即为所求．探究点2：三角形的内角平分线
活动1
发现 三角形的三条角平分线相交于一点
活动2
发现 过交点作三角形三边的垂线段相等
证明结论：
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE．同理PE=PF．∴PD=PE=PF．即点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
想一想 点P在∠A的平分线上．
变式1 解：（1）过点O作OE⊥AB于点EOE⊥AB于点N．
∵AP、BD分别平分∠BAC、∠ABC，OM⊥AC，OE⊥AB，OE⊥AB，且OM＝4，
∴OE=ON=OM=4．∴点O到△ABC三边的距离和为3×4=12．
（2）连接OC，则S =S +S +S =
△ABC △AOB △BOC △AOC
典例精析
例2 A 解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是三条内角平分线的交点，
AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝
∠ACB，∵∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°
－70°＝110°．
当堂检测
1．解：如图，点P即为所求．
2．解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4．∴AD平分∠BAC．
3．证明：∵OD平分线∠POQ，∴∠AOD=∠BOD．
在△AOD与△BOD中， ∴△AOD≌△BOD．∴∠ADO=∠BDO．
∵CM⊥AD，CN⊥BD，∴CM=CN．
4．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M．
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC，∴FG＝FM．
又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH．∴FG＝FH．∴点F在∠DAE的平分线上．
拓展提升
5．解：如图，可选择的地址有4处．
