文档内容
第十二章 全等三角形模型训练
01 模型总结
目录
全等模型一 一线三等角模型.....................................................................................................................................1
全等模型二 三垂直模型.............................................................................................................................................7
全等模型三 旋转型模型...........................................................................................................................................17
全等模型四 倍长中线模型.......................................................................................................................................22
全等模型五 截长补短模型.......................................................................................................................................33
02 全等模型
全等模型一 一线三等角模型
例题：【探究】如图①，点B、C在 的边 上，点E、F在 内部的射线 上，
分别是 、△CAF的外角．若 ， ，求证：△ABE≌△CAF．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中， ， ，点D在边 上， ，点E、F在
线段 上， ，若 的面积为9，则 与 的面积之和为 ．
【答案】探究：见解析；应用：6【分析】探究：根据 ， ，得出 ，根据 ，
得出 ，再根据 证明即可；
应用：根据全等三角形的性质得出： ，进而得出 ，根据 ，
的面积为9，得出 ，即可得出答案．
【详解】探究
证明：∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和△CAF中，
∴ ；
应用
解：∵△ABE≌△CAF，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 的面积为9，
∴ ，
∴ 与 的面积之和为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
巩固训练
1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ，C，O，D三点都在直线l上，并且有
，猜想线段 之间的数量关系，请加以证明．【答案】 ，证明见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，证明 ，则 ， ，利用
线段之间的关系即可得到答案．
【详解】证明：如图，
∵ ， ，
∴
在 和 中
∴
∴ ，
∴
2．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图， 是经过 顶点C的一条直线， ，E、F
分别是直线 上两点，且 ．
(1)若直线 经过 的内部，且E、F在射线 上．
①如图1，若 ， ，试判断 和 的数量关系，并说明理由；
②如图2，若 ，请添加一个关于α与 关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由．
(2)如图3.若直线 经过 的外部， ，请提出关于 ， ， 三条线段数量关系的合理
猜想，并说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；② ，理由见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，（1）①由
， ，可得 ，从而可证 ，故 ．
②若 ，则可使得 ．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，
便可得证．
（2）题干已知条件可证 ，故 ， ，从而可证明 ．
【详解】（1）解：①
证明：∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
②解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
（2）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ，即 ．
3．（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图①，已知： 中， ， ，直线
经过点 ， 于 ， 于 ，求证： ；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为： 中， ， 、 、 三点都在直线 上，并且
， 为任意锐角或钝角，请问结论 是否成立？如成立，请证明；
若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在 中， 是钝角， ， ， ，
直线 与 的延长线交于点 ，若 ， 的面积是 ，求 与 的面积之和．【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比
等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明 ，则 ， ， ；
（2）同理（1）证明即可；
（3）同理（2）可得， ，则 ，设 的底边 上的高为 ，则
的底边 上的高为 ， ， ，由 ，可得 ，根据
，求解作答即可．
【详解】（1）证明： 直线 ， 直线 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：结论 成立；理由如下：
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ；
（3）解：同理（2）可得， ，
∴ ，
设 的底边 上的高为 ，则 的底边 上的高为 ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 的面积之和为8．
全等模型二 三垂直模型
例题：）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A在直线l上， ，过点B作 于点C，过点D作 交于点E．
得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得到结论： _____，
_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，∠ 于点C， 于点E， 与直线 交于
点 ，求证： ．【答案】(1) ，
(2)见解析
【分析】本题考查一线三直角全等问题，
（1）由 ，得 ，则 ，而 ，即可
证明 ，得 ， ，于是得到问题的答案；
（2）作 于点 ，因为 于点 ， 于点 ，所以
，由（1）得 ，因为 ，所以
，则 ，而 ，即可证明 ，
得 ，所以 ，再证明 ，则 ．
【详解】（1））解： 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
（2）证明：如图2，作 于点 ，
∵ 于点 ， 于点E，
∴ ，
由 ，
同理（1）得 ，∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
巩固训练
1．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在 中， ， ，直线 经过点
C，且 于D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到①的位置时，求证：① ；② ；
(2)当直线 绕点C旋转到②的位置时，求证： ；
(3)当直线 绕点C旋转到③的位置时，试问 、 、 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量
关系，不需要证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3) (或 ， )．
【分析】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，
解此题的关键是推出证明 和 全等的三个条件．题型较好．
（1）①已知已有两直角相等和 ，再由同角的余角相等证明 即可证明
；
②由全等三角形的对应边相等得到 ， ，从而得证；
（2）根据垂直定义求出 ，根据等式性质求出 ，根据 证出 和
全等，再由全等三角形的对应边相等得到 ， ，从而得证；（3）同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．
【详解】（1）①证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ；
②由①知， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：∵ 于D， 于E，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ．
∴ ， ，
∴ ．
（3）解：同（2）理可证 ．
∴ ， ，
∵
∴ ，即 ；
当 旋转到图3的位置时， 、 、 所满足的等量关系是 (或 ，
)．2．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1， ， 过点 的直线 不经过三角形的内
部，过点 、 作 ， ，垂足为 ．
(1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______；
(2)请证明你所写的结论；
(3)尝试探究：若 ， ，图1中四边形 的面积为______；图2中过点 的直线 经过三角
形内部，其他条件不变，则四边形 面积为______；（用含 的代数式表示）
(4)拓展应用：如图3， ， ，则点 坐标为______．若点 （不与 重合），在坐标平面内，
与 全等，则点 的坐标为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)① ，② 或
(4) ， 或 或
【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型．
（1）由图可知 ；
（2）利用 可证 ；
（3）①利用梯形面积公式可解；②同（2）可证 ，四边形 的面积为 和
面积之和；
（4）在坐标系内构造全等三角形即可求解，注意分情况讨论．
【详解】（1）解： 和 是一对全等三角形，
故答案为： ；（2）证明： ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
；
（3）解：①由（2）知 ，
， ，
四边形 的面积为： ；
②同（2）可证 ，
， ，
，
四边形 的面积为： ，
故答案为： ， ；
（4）解：如图所示，作 轴于点D．
， ，
， ．
， 轴，， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
；
若 与 全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示：
当点P在第二象限时，作 轴于点H．
， 轴，
， ，
，
在 和 中，，
，
， ，
，
；
同理可得 ， ，
综上可知，B点坐标为 ，点P的坐标为 或 或 ．
故答案为： ， 或 或 ．
3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）综合与实践：
(1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1， ，
， ， ，垂足分别为点 ， ．请证明： ．
(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2， ， ，点
是 上一动点，连接 ，作 且 ，连接 交 于点 ．若 ， ，请证
明：点 为 的中点．(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3， ， ，
点 是射线 上一动点，连接 ，作 且 ，连接 交射线 于点 ．若
，请直接写出 的值．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)9
【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，有关中点的相关计算，熟练掌握全等三角形的判定及性质，
添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）利用 证得 ，即可求证结论；
（2）过 作 于 ，由（1）得 ，进而可得 ，再利用 可
证 ，则可证 ，根据数量关系可得 ， ，进而可求证结论；
（3）过点 作 于 ，由（2）得 ， ， ，再根据数量关系即可
求解；
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明：过 作 于 ，如图：由（1）得： ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
是 的中点；
（3）解： ，理由如下：
过点 作 于 ，如图：由（2）得： ， ， ，
，
， ，
，
，
，
．
即 ．
全等模型三 旋转型模型
例题：如图， ， ， ．（1）求证： ；
（2）若 ，试判断 与 的数量及位置关系并证明；
（3）若 ，求 的度数．
【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）
【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；
（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可；
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA
【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴ ∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AE=AD
在△AEC和△ADB中
∴ △AEC≌△ADB（SAS）
（2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下：
将直线CE与AB的交点记为点O，
由（1）可知△AEC≌△ADB，
∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，∠ =90°，
∴ ∠BFO=∠CAB=∠ =90°，
∴ CE⊥BD．
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD由（1）知△AEC≌△ADB，
∴两个三角形面积相等
故AM·CE=AN·BD
∴AM=AN
∴AF平分∠DFC
由（2）可知∠BFC=∠BAC=
∴∠DFC=180°-
∴∠CFA= ∠DFC=
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题
的关键；
巩固训练
1．如图，在 ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转
120°能与BE△重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°．
【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；
（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE＝ （180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE
＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是
解题的关键．
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时
针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量关
系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两
种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．
【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；
（3）72或2
【分析】（1）首先通过SAS证明 ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；
（2）仿照（1）中证明 ACD≌△B△CE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；
△（3）首先求出BE的长度，然后利用S AED •AD•EB即可求解．
△
【详解】解：（1）如图1中，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴ABE＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB＝AD+BD，AD＝BE，
∴AB＝BD+BE，
故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．
（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵AD＝AB+BD，AD＝BE，
∴BE＝AB+BD．
②如图3中，结论：BD＝AB+BE．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，
∵BD＝AB+AD，AD＝BE，
∴BD＝AB+BE．
（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝5+7＝12，
∵BE⊥AD，
∴S AED •AD•EB 12×12＝72．
△
如图3中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，
∵BE⊥AD，
∴S AED •AD•EB 2×2＝2．
△
【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．
全等模型四 倍长中线模型例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知 是 的中线，且 ．求证：
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长 至点E，使 ，连接 ，证明
，得出 ，进而根据三角形的三边关系，即可得证．
【详解】证明：如图，延长 至点E，使 ，连接 ，
在 中，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
即 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知 中， 是 边上的中线．求证：智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长 至E，使 ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
在△BDE和△CDA中， ，
∴△BDE≌△ CDA（依据1），
∴ ，
在 中， （依据2），
∴ ．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线 ，使 ，构造了一对全等三角形，将 ， ， 转化到一个三角
形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之
间的关系．
(2)任务二：如图3， ， ，则 的取值范围是 ；
A． ； B． ； C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4， 中， ，D为 中点，求证： ．【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边
(2)C
(3)见解释
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键．
（1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可．
（2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．
（3）判断 ， 即可．
【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“ ”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边；
故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边．
（2）
解：如图，延长 至点 ，使 ,连接 ．
是 的中线，
,
在 与 中，
,
，
,
在 中， ，
即 ，
．
故选：C．
（3）证明：如图4，延长 至F，使 连接 ，是 的中点，
∴ ,
又
∴ ，
， ，
∵ ，
∴ ,
,
即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1， 中，
若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方
法：延长 到E，使 ，连接 ．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到 ，得到 ，在 中求得 的取值范围，从而求得
的取值范围是 ．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关
系．
(2)如图2， 是 的中线， ， ， ，试判断线段 与 的数
量关系，并加以证明；
(3)如图3，在 中，D，E在边 上，且 ．求证： ．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系．
（1）由作图可得 ，根据“ ”证得 ，得到 ，在 中，根据三
角形的三边关系有 ，代入即可求解；
（2）延长 到M，使得 ，连接 ，则 ，由（1）同理可证 ，
得到 ， ，从而 ，又 ，因此
，进而得证 ，故 ；
（3）取 的中点为M，连接 并延长至N，使 ，连接 、 ，证得
得到 ，证得 得到 ．
延长 交 于F，由三角形的三边关系得到 ，即 ．
【详解】（1）∵ ，
∴
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
即 ，
∴ ．
故答案为：
（2） ，
理由：如图，延长 到M，使得 ，连接 ，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）取 的中点为M，连接 并延长至N，使 ，连接 、 ，
∵点M是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，∴ ，
∴ ，
延长 交 于F，
则 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
3．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图
1， ，
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长 到E，使得 ；
②连接 ，通过三角形全等把 转化在 中；
③利用三角形的三边关系可得 的取值范围为 ，从而得到 的取值范围是
______；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】
（2）如图2， 是 的中线， 是 的中线， ，下列四个选项中：直接写出
所有正确选项的序号是______．
① ；② ；③ ；④
【问题拓展】
（3）如图3， ， ， 与 互补，连接 E是 的中点，求证：
；
（4）如图4，在（3）的条件下，若 ，延长 交 于点 ， ， ，则 的
面积是______．【答案】（1） ；（2）②③；（3）证明见解析；（4） ．
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ，由三角形的三边关系可求解；
（2）由“ ”可证 ，可得 ， ，由“ ”可证 ，
可得 ， ，即可求解；
（3）由“ ”可证 ，可得 ， ，由“ ”可证 ，可
得 ，可得结论；
（4）由全等三角形的性质可得 ， ， ，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）解：如图1中，延长 至点 ，使 ．
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解：如图2，延长 至 ，使 ，连接 ，是中线，
，
又 ， ，
，
， ，
， ，
，
为中线，
，
，
，
又 ，
，
， ，
，
故答案为：②③；
（3）证明：如图3，延长 至 ，使 ，连接 ，
是 的中点，
，
又 ， ，
，
， ，
，
，
与 互补，，
，
又 ， ，
，
，
；
（4）如图3， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
故答案为：8．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添
加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
全等模型五 截长补短模型
例题：在四边形 中，点C是 边的中点．
(1)如图①， 平分 ， ，写出线段 ， ， 间的数量关系及理由；
(2)如图②， 平分 ， 平分 ， ，写出线段 ， ， ， 间的数量关系及理由．
【答案】(1) ，见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）在 上取一点F，使 ，可以得出 ，就可以得出 ，
，就可以得出 ．就可以得出结论；
（2）在 上取点F，使 ，连接 ，在 上取点G，使 ，连接 ．可以求得
， 是等边三角形，就有 ，进而得出结论；
【详解】（1） ，理由如下：
在 上取一点F，使 ，连接 ．
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中
∴ ．
∴ ， ，
∵C是 边的中点．
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．（2） ，理由如下：
在 上取 ， ，连接 ， ．
与（1）同理，可得 ， ．
∴ ， ， ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答
时证明三角形全等是关键．
巩固训练
1．（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地， ，
，连接对角线 ， ， ．(1) ， 与 之间的数量关系是____________．
(2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成
本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长 至点 ，使 ）
(3)在 和 区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为 克，请直接写出需提前准备
多少千克的小麦种．
【答案】(1)
(2)12000元
(3) 千克
【分析】（1）由 直接可以得到 ；
（2）延长 至点 ，使 ，证得 ，得到 ， ，进而证明
解题；
（3）利用（2）中结论 可得 ，运用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1） ，
，
故答案为： ；
（2）如图，延长 至点 ，使 ，连接 ．
.
在 与 中，，
， .
，即 .
在 与 中，
，
，
（米）．
五边形 的周长为 （米），
（元）．
答：建造木栅栏共需花费12000元.
（3） 千克
，
需小麦种数量为： (千克）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解决一条线段长等于两条线段和的问题常用方法“截长或补
短”．
2．（23-24七年级下·四川成都·期中）在 的高 、 交于点 ， ．(1)如图1，求证： ；
(2)如图1，求 的度数；
(3)如图2，延长 到点 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，当 时，探究线段 、
、 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3) 证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论；
（2）证 和 全等得 ，从而得 为等腰直角三角形，进而可得 的度数；
（3）在 上截取 ，连接 ，先证 和 全等得， ，再证
，进而可依据“ ”判定 和 全等，从而得 ，由此可得线段 、
、 的数量关系．
此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练
掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构
造全等三角形．
【详解】（1）证明： 的高 、 交于点 ，如图1所示：
， ，
， ，
，
（2）解：在 和 中，
，
，，
为等腰直角三角形，
；
（3）解： 、 、 的数量关系是： ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图2所示：
是 的高， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
由（2）可知： ，即 ，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
，
．
3．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形 中，，点E、F分别是直线 上的一点，并且 ．请同学们在原条件不变的情况下
添加条件，开展探究活动．
【初步探索】
（1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若 ，延长 到点G，使 ．连接 ，
再证明 ，由此可得出 ， ， 之间的数量关系为________；
【灵活运用】
（2）“实践”小组提出问题：如图2，若 ，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
【延伸拓展】
（3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若 ，点E、F分别在
线段 的延长线上，连接 ，且仍然满足 ．请写出 与 的数量关系，并
说明理由．
【答案】（1）
（2）成立，理由见解析
（3） ，证明见解析
【分析】（1）延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，从而得出 ，
证明 得出 ，证明 得出 ，
即可证明 ；
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，从而得到 ，证明
得出 ，证明 得出 ，即
可证明 ；
（3）延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，证明 得出，证明 得出 ，从而得到
，即可得解．
【详解】解：（1）如图，延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）成立，
理由：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（3） ，
证明：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ，，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，
正确地作出辅助线构造三角形全等是解此题的关键．
