文档内容
第十二章 全等三角形模型训练
01 模型总结
目录
全等模型一 一线三等角模型.....................................................................................................................................1
全等模型二 三垂直模型.............................................................................................................................................7
全等模型三 旋转型模型...........................................................................................................................................17
全等模型四 倍长中线模型.......................................................................................................................................22
全等模型五 截长补短模型.......................................................................................................................................33
02 全等模型
全等模型一 一线三等角模型
例题：【探究】如图①，点B、C在 的边 上，点E、F在 内部的射线 上，
分别是 、△CAF的外角．若 ， ，求证：△ABE≌△CAF．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中， ， ，点D在边 上， ，点E、F在
线段 上， ，若 的面积为9，则 与 的面积之和为 ．巩固训练
1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ，C，O，D三点都在直线l上，并且有
，猜想线段 之间的数量关系，请加以证明．
2．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图， 是经过 顶点C的一条直线， ，E、F
分别是直线 上两点，且 ．
(1)若直线 经过 的内部，且E、F在射线 上．
①如图1，若 ， ，试判断 和 的数量关系，并说明理由；
②如图2，若 ，请添加一个关于α与 关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明
理由．
(2)如图3.若直线 经过 的外部， ，请提出关于 ， ， 三条线段数量关系的合理
猜想，并说明理由．
3．（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图①，已知： 中， ， ，直线经过点 ， 于 ， 于 ，求证： ；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为： 中， ， 、 、 三点都在直线 上，并且
， 为任意锐角或钝角，请问结论 是否成立？如成立，请证明；
若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在 中， 是钝角， ， ， ，
直线 与 的延长线交于点 ，若 ， 的面积是 ，求 与 的面积之和．
全等模型二 三垂直模型
例题：）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A在直线l上， ，过点B作 于点C，过点D作 交于点E．得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得到结论： _____，
_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，∠ 于点C， 于点E， 与直线 交于
点 ，求证： ．
巩固训练
1．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在 中， ， ，直线 经过点
C，且 于D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到①的位置时，求证：① ；② ；
(2)当直线 绕点C旋转到②的位置时，求证： ；
(3)当直线 绕点C旋转到③的位置时，试问 、 、 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量
关系，不需要证明．
2．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1， ， 过点 的直线 不经过三角形的内
部，过点 、 作 ， ，垂足为 ．(1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______；
(2)请证明你所写的结论；
(3)尝试探究：若 ， ，图1中四边形 的面积为______；图2中过点 的直线 经过三角
形内部，其他条件不变，则四边形 面积为______；（用含 的代数式表示）
(4)拓展应用：如图3， ， ，则点 坐标为______．若点 （不与 重合），在坐标平面内，
与 全等，则点 的坐标为______．
3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）综合与实践：
(1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1， ，
， ， ，垂足分别为点 ， ．请证明： ．
(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2， ， ，点
是 上一动点，连接 ，作 且 ，连接 交 于点 ．若 ， ，请证
明：点 为 的中点．
(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3， ， ，
点 是射线 上一动点，连接 ，作 且 ，连接 交射线 于点 ．若，请直接写出 的值．
全等模型三 旋转型模型
例题：如图， ， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，试判断 与 的数量及位置关系并证明；
（3）若 ，求 的度数．
巩固训练
1．如图，在 ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转
120°能与BE△重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时
针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量关
系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两
种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．
全等模型四 倍长中线模型
例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知 是 的中线，且 ．求证：
．巩固训练
1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知 中， 是 边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长 至E，使 ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
在△BDE和△CDA中， ，
∴△BDE≌△ CDA（依据1），
∴ ，
在 中， （依据2），
∴ ．(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线 ，使 ，构造了一对全等三角形，将 ， ， 转化到一个三角
形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之
间的关系．
(2)任务二：如图3， ， ，则 的取值范围是 ；
A． ； B． ； C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4， 中， ，D为 中点，求证： ．
2．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1， 中，
若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方
法：延长 到E，使 ，连接 ．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到 ，得到 ，在 中求得 的取值范围，从而求得
的取值范围是 ．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关
系．
(2)如图2， 是 的中线， ， ， ，试判断线段 与 的数
量关系，并加以证明；(3)如图3，在 中，D，E在边 上，且 ．求证： ．
3．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图
1， ，
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长 到E，使得 ；
②连接 ，通过三角形全等把 转化在 中；
③利用三角形的三边关系可得 的取值范围为 ，从而得到 的取值范围是
______；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】
（2）如图2， 是 的中线， 是 的中线， ，下列四个选项中：直接写出
所有正确选项的序号是______．
① ；② ；③ ；④
【问题拓展】
（3）如图3， ， ， 与 互补，连接 E是 的中点，求证：
；
（4）如图4，在（3）的条件下，若 ，延长 交 于点 ， ， ，则 的
面积是______．全等模型五 截长补短模型
例题：在四边形 中，点C是 边的中点．
(1)如图①， 平分 ， ，写出线段 ， ， 间的数量关系及理由；
(2)如图②， 平分 ， 平分 ， ，写出线段 ， ， ， 间的数量
关系及理由．
巩固训练
1．（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地， ，
，连接对角线 ， ， ．
(1) ， 与 之间的数量关系是____________．
(2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成
本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长 至点 ，使 ）
(3)在 和 区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为 克，请直接写出需提前准备
多少千克的小麦种．2．（23-24七年级下·四川成都·期中）在 的高 、 交于点 ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图1，求 的度数；
(3)如图2，延长 到点 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，当 时，探究线段 、
、 的数量关系，并证明你的结论．
3．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形 中，
，点E、F分别是直线 上的一点，并且 ．请同学们在原条件不变的情况下
添加条件，开展探究活动．【初步探索】
（1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若 ，延长 到点G，使 ．连接 ，
再证明 ，由此可得出 ， ， 之间的数量关系为________；
【灵活运用】
（2）“实践”小组提出问题：如图2，若 ，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
【延伸拓展】
（3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若 ，点E、F分别在
线段 的延长线上，连接 ，且仍然满足 ．请写出 与 的数量关系，并
说明理由．
