第10 讲二次函数y=ax²+bx+c 的图象和性质
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 把y=ax²+bx+c 化成顶点式
题型2 画y=ax²+bx+c 的图象
题型3 y=ax²+bx+c 的图象与性质
题型4 利用y=ax²+bx+c 的性质求解
题型5 二次函数的图象与各项系数的符号
题型6 一次函数、二次函数图象的综合判断
题型7 二次函数图象的平移
题型8 y=ax²+bx+c 的图象与性质综合
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一般式、配方法、顶点
坐标、对称轴、最值、
−
�
2�。
1. 会用配方法将一般式化为顶点式y=a(x-h)²+k，确定顶点坐标和对称轴。
2. 能根据公式直接写出顶点坐标(−
�
2�,
4��−�2
4�) 和对称轴x =−
�
2�。
3. 掌握二次函数y=ax²+bx+c 的开口方向、顶点、对称轴、增减性、最值等性
质。
4. 体会转化思想（一般式化顶点式）和数形结合思想，提升代数运算与函数
分析能力。
学习重点:用配方法或公式法确定二次函数的顶点坐标和对称轴，并由此分析其性质。
学习难点:配方法的熟练运用（特别是二次项系数不为1 时的处理），以及理解顶点坐标公式的推导过
程。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数y=ax²+bx+c 的图象和性质
一、基本形式与系数含义
y = ax2+bx+c(a≠0)
系数
名称
作用
a
二次项系数
决定开口方向、开口大小
b
一次项系数
影响对称轴位置
c
常数项
决定与y 轴交点
二、图象特征
1. 开口方向
a > 0：开口向上→有最小值
a < 0：开口向下→有最大值
2. 开口大小
由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽
3. 顶点坐标：−
�
2�,
4��−�2
4�
4. 对称轴:直线x=−
�
2�，是一条竖直直线。
5. 与y 轴交点：(0, c)
6. 与x 轴交点（根的个数）
由判别式∆= b2-4ac 决定：
∆
交点个数
说明
∆>0
2 个
与x 轴交于两点
∆= 0
1 个
与x 轴相切（顶点在x 轴上）
∆<0
0 个
与x 轴无交点
三、函数性质
1. 定义域:全体实数
2. 值域
a > 0（开口向上）：y≥
4��−�2
4�
a < 0（开口向下）：y≤
4��−�2
4�
3. 单调性
a > 0
时：在x≤−
�
2�上单调递减;在x≥−
�
2�上单调递增
a < 0
时：在x≤−
�
2�上单调递增;在x≥−
�
2�上单调递减
4. 最值
a > 0 ：最小值ymin=
4��−�2
4�（在x=−
�
2�处）;无最大值.
a < 0 ：最大值ymax=
4��−�2
4�（在x=−
�
2�处）;无最小值.
四、图象画法（五点法）
步骤：
1. 求顶点：−
�
2�,
4��−�2
4�
2. 求对称轴：直线x = −
�
2�
3. 求与y 轴交点(0, c)
4. 求与x 轴交点（若存在）
5. 取对称点，平滑连线
五、系数a, b, c 的几何意义总结
系数
作用
判断方法
a
开口方向与大小
a>0 向上，a<0 向下；|a|越大越窄
c
与y 轴交点
(0,c)
b
影响对称轴
对称轴：直线x =−
�
2�
【易错提醒】
二次函数y = ax2+bx+c（a≠0），a>0 开口向上，a<0 向下。顶点公式−
�
2�,
4��−�2
4�
，对称轴：直线x = −
�
2�。
注意配方法求顶点时勿算错符号，c 是y 轴截距。
即时即练1．对于抛物线
2
4
1
y
x
x
，下列说法正确的是（
）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标为
2, 3
C．抛物线的对称轴为直线
2
x
D．当
2
x 时，y 随x 的增大而增大
【答案】B
【分析】先将抛物线的一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可.
【详解】解：将抛物线解析式配方得
2
2
4
1
(
2)
3
y
x
x
x
，
二次项系数
1
0
a
，
抛物线开口向上，
故A 选项错误；
由顶点式可知，抛物线顶点坐标为
2, 3
，
故B 选项正确；
由抛物线的解析式可知，对称轴为直线
2
x
，
故C 选项错误；
根据二次函数性质，当
2
x
时，y 随x 的增大而增大，当2
2
x
时，y 随x 的增大而而减小，
故D 选项错误.
2．已知二次函数
2
2
y
x
bx
的图象经过点(
)
1, 1
-
．
(1)求该函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数的图象向右平移3 个单位长度后经过点
2,m ，求m 的值．
【答案】(1)
顶点坐标为
2, 2
(2)
7
m
【分析】（1）把点
1, 1
代入函数
2
2
y
x
bx
，即可求出
4
b ，再把一般式化为顶点式，即可得到该
函数图象的顶点坐标；
（2）根据二次函数图象平移“右减左加”的规律得到平移后的解析式，将已知点代入即可求出m 的值．
【详解】（1）解：将点(1, 1)
代入
2
2
y
x
bx
，得
1 1
2
b
，
解得
4
b ，
∴二次函数的解析式为
2
4
2
y
x
x
，
对解析式配方得
2
2
2
4
2
(
2)
4
2
(
2)
2
y
x
x
x
x
，
∴该函数图象的顶点坐标为(2, 2)
；
（2）解：将函数图象向右平移3 个单位长度，
∴平移后解析式为
2
(
5)
2
y
x
，
将点(2,
)
m 代入上式，得
2
(2
5)
2
9
2
7
m
．
3．已知二次函数
2
y
x
bx
c
的图象经过点
4,3
、
3,0
(1)求b 、c 的值；
(2)画出该函数的图象；
(3)若x
m
时，y 随x 的增大而增大，则m 的最小值为______；
(4)该函数图象向上平移______个单位长度后，所得函数的图象与x 轴只有一个公共点．
【答案】(1)
4,
3
b
c
(2)图见详解
(3) 2
(4)1
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据列表，描点，连线画函数图象即可；
（3）根据（2）中函数图象及二次函数的性质可进行求解；
（4）根据（2）中函数图象及二次函数图象的平移可进行求解．
【详解】（1）解：由二次函数
2
y
x
bx
c
的图象经过点
4,3
、
3,0
，可得：
16
4
3
9
3
0
b
c
b
c
，
解得：
4
3
b
c
；
（2）解：由（1）可知：二次函数的解析式为
2
4
3
y
x
x
，列表如下：
x
…..
4
3
2
1
0
…..
y
…..
3
0
1
0
3
…..
该二次函数图象如下所示：
（3）解：由图象可知：当
2
x 时，y 随x 的增大而增大，
∴m 的最小值为2
；
（4）解：由图象可知：该函数图象向上平移1 个单位长度后，所得函数的图象与x 轴只有一个公共点．
题型1 把y=ax²+bx+c 化成顶点式
【例1】将二次函数
2
4
3
y
x
x
化成
2
y
a x
m
k
的形式为__________．
【答案】
2
2
1
y
x
【分析】本题考查了二次函数的一般式化为二次函数的顶点式，掌握好配方法是解题的关键．通过配方法
将其转化成
2
4
4
4
3
y
x
x
，即可得出答案．
【详解】解：
2
2
2
4
3
4
4
4
3
2
1
y
x
x
x
x
x
故答案为：
2
2
1
y
x
．
【例2】将二次函数
2
2
4
6
y
x
x
化为
2
y
a x
h
k
的形式，结果为_____．
【答案】
2
2
1
4
y
x
【分析】先提取二次项系数，再利用完全平方公式配方即可得到结果.
【详解】解：
2
2
4
6
y
x
x
2
2
2
6
x
x
2
2
2
1 1
6
x
x
2
2(
1)
2
6
x
2
2(
1)
4
x
，
即
2
2
1
4
y
x
.
【技巧归纳】
用配方法：提a，括号内配方，加一次项系数一半平方，再减去乘a。整理得y=a(x-h)²+k，h=-b/(2a)，k=(4ac-b
²)/(4a)。顶点(h,k)。
【变式1-1】把二次函数
2
2
4
y
x
x
变形为
2
(
)
y
a x
h
k
的形式，则h
k
的值为______ ．
【答案】4
【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出h ，k 的值，进而可得出结论．
【详解】
2
2
2
2
4
2
1
3
1
3
y
x
x
x
x
x
=
=
，
1
h
，
3
k
，
1 3
4
h
k
．
【变式1-2】将二次函数
2
2
4
1
y
x
x
化成
2
y
a x
h
k
的形式，则h
k
的和为______．
【答案】0
【分析】本题考查了二次函数一般式化为顶点式，通过配方法将二次函数化为顶点形式，确定h 和k 的值，
然后求和．
【详解】解：
2
2
2
2
2
1
1
1
2(
1)
2 1
2(
1)
1
y
x
x
x
x
．
所以
1,
1
h
k
，
因此
1
1
0
h
k
．
故答案为0．
题型2 画y=ax²+bx+c 的图象
【例3】已知二次函数
2
y
x
mx
n
经过
1, 2
和
4,1 两点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)当x 满足
5
t
x
时，y 的最大值为a ，最小值为b ，且
4
a
b
，直接写出t 的值．
【答案】(1)
2
4
1
y
x
x
(2)顶点坐标为
2, 3
，见解析
(3)
3
t
或2
10
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）先求出顶点坐标为
2, 3
，再描点、连线即可画出函数图象；
（3）由（2）可得顶点为
2, 3
，二次函数的对称轴为直线
2
x
，求出当
5
x
时，
6
y
，分三种情况：当
2
t
时；当1
2
t
时；当
1
t 时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果．
【详解】（1）解：把
1, 2
和
4,1 两点代入
2
y
x
mx
n
可得，
2
2
1
2
4
4
1
m
n
m
n
，
解得
4
1
m
n
，
二次函数的表达式为：
2
4
1
y
x
x
；
（2）解：∵
2
2
4
1
2
3
y
x
x
x
，
顶点坐标为
2, 3
．
作图如下．
（3）解：由（2）可得顶点为
2, 3
，二次函数的对称轴为直线
2
x
，
当
5
x
时，
25
20
1
6
y
，
当
2
t
时，在
5
t
x
上，y 随着x 的增大而增大，
∴当x
t
时，二次函数取得最小值为
2
4
1
t
t
，即
2
4
1
b
t
t
，当
5
x
时，二次函数取得最大值为6 ，即
6
a
，
∵
4
a
b
，
∴
2
6
4
1
4
t
t
，
解得：1
3
t
，2
1
t （不符合题意，舍去）；
当1
2
t
时，当
2
x
时，二次函数取得最小值为3
，即
3
b ，当
5
x
时，二次函数取得最大值为6 ，
即
6
a
，此时
3
a
b
，不符合题意；
当
1
t 时，当
2
x
时，二次函数取得最小值为3
，即
3
b ，当x
t
时，二次函数取得最大值为
2
4
1
t
t
，
即
2
4
1
a
t
t
，
∵
4
a
b
，
∴
2
4
1
3
4
t
t
，
解得：1
2
10
t
，2
2
10
t
（不符合题意，舍去）；
综上所述，
3
t
或2
10
．
【例4】在二次函数
2
3
y
ax
bx
中，图象经过点
3,0
和
1,0 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)将二次函数的图象向右平移n 个单位长度后，当2
4
x
时，若图象对应的函数最小值为3
，直接写出n
的值．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
(2)
1, 4
，
(3) n 的值为6 或2
【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可；
（2）利用配方法化成顶点式即可得到二次函数图象的顶点坐标，根据描点法画出图象即可；
（3）求出平移后的抛物线解析式，根据n 的范围进行解答即可．
【详解】（1）解：把点
3,0
和
1,0 代入
2
3
y
ax
bx
，得：
9
3
3
0
3
0
a
b
a
b
，
解得
1
2
a
b
，
二次函数的表达式为
2
2
3
y
x
x
；
（2）解：
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
，
二次函数图象的顶点坐标为
1, 4
，
当
0
x
时，
2
2
3
3
y
x
x
，
∴抛物线与y 轴的交点为
0, 3
，
当
0
y
时，
2
0
2
3
x
x
，解得
1
2
3,
1
x
x
，
∴抛物线与x 轴的交点为
3,0
和
1,0 ，
画函数图象略；
（3）由题意，二次函数的图象向右平移n 个单位长度，
新函数为
2
(
1
)
4
y
x
n
．
此时函数图象开口向上，对称轴是直线
1
x
n
，函数的最小值为4
，
当
1
x
n
时，y 随x 的增大而减小，当
1
x
n
时，y 随x 的增大而增大，
当2
4
x
时，图象对应的函数最小值为3
，
1
4
n
或
1
2
n
，
当
1
4
n
，即
5
n
时，此时当
4
x
时，图象对应的函数最小值为3
，
即
2
4
1
4
3
n
，
解得：
6
n
或4（舍去）；
当
1
2
n
，即
3
n
时，此时当
2
x
时，图象对应的函数最小值为3
，
b
2
2
1
4
3
n
，
解得：
2
n
或4（舍去）；
综上所述，n 的值为6 或2．
【技巧归纳】
先确定顶点、对称轴，再与y 轴交点(0,c)及与x 轴交点（判别式）。取对称点连线，五点法：顶点、左右各
取两点。a>0 开口向上，a<0 向下。草图反映最值、增减性。
【变式2-1】抛物线
2
1 :
L
y
ax
bx
c
经过点
1, 1
A
和点
5, 1
B
，且与y 轴交于点
0,4
C
．
(1)求抛物线
1L 的函数表达式．
(2)求抛物线
1L 的顶点坐标，并在给定的平面直角坐标系中画出抛物线
1L ．
(3)将抛物线
1L 向左平移
0
k k
个单位长度后得到抛物线
2L ，当1
4
x
时，抛物线
2L 的最大值为p ，最小
值为q ．若
3
p
q
，请直接写出k 的值．
【答案】(1)
2
6
4
y
x
x
(2)
3,
5
，见解析
(3) 3 1
或2
3
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）首先将表达式配方成顶点式，然后列表，描点，然后连线作图即可；
（3）首先得到抛物线
2L 的表达式，然后求出对称轴和顶点坐标，然后分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
1 :
L
y
ax
bx
c
经过点
1, 1
A
和点
5, 1
B
，
0,4
C
∴
1
25
5
1
4
a
b
c
b
c
c
解得
1
6
4
a
b
c
∴抛物线
1L 的函数表达式为
2
6
4
y
x
x
；
（2）解：∵
2
2
6
4
3
5
y
x
x
x
∴抛物线
1L 的顶点坐标为
3, 5
；
列表如下：
x
0
1
3
5
6
y
4
1
5
1
4
画图如下：
（3）解：根据题意得，抛物线
2L 的表达式为
2
3
5
y
x
k
∴对称轴为直线
3
x
k
，顶点坐标为
3
, 5
k
当1
4
x
时，
当2.5
3
3
k
时，即0
0.5
k
时，最大值p 在
1
x 处取得，
∴
2
2
1 3
5
2
5
p
k
k
最小值
5
q
∵
3
p
q
∴
2
2
5
5
3
k
解得
2
3
0.5
k
（舍去）或
2
3
k
；
当1
3
2.5
k
时，即0.5
2
k
时，最大值p 在
4
x
处取得，
∴
2
2
4
3
5
1
5
p
k
k
最小值
5
q
∵
3
p
q
∴
2
1
5
5
3
k
解得
=
3
1
k
或
1
3
0
k
（舍去）；
当3
1
k
时，即
2
k
时，最大值p 在
4
x
处取得，
∴
2
2
4
3
5
1
5
p
k
k
最小值q 在
1
x 处取得，
∴
2
2
1 3
5
2
5
p
k
k
∵
3
p
q
∴
2
2
1
5
2
5
3
k
k
解得
1
k （舍去）；
综上所述，k 的值为3 1
或2
3
．
【变式2-2】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示：
x
…
3
2
1
0
1
…
y
…
0
3
4
3
0
…
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)若图象与x 轴交点坐标为B 、C 、与y 轴的交点坐标为A ．求三角形ABC 的面积．
(4)当4
1
x
时，直接写出y 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
(2)见解析
(3)6
(4) 4
5
y
【分析】（1）先通过表格找到顶点，设顶点式，再代入已知点求出系数，得到函数表达式；
（2）根据顶点、与坐标轴的交点等关键点，画出抛物线图象；
（3）先确定三角形三个顶点的坐标，再用三角形面积公式计算面积；
（4）先找到区间内的顶点，再计算区间端点的函数值，比较后确定y 的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意可知，二次函数的顶点为
1, 4
，
设二次函数的解析式为
2
1
4
y
a x
，
将
3,0
代入，解得
1
a ，
故二次函数的解析式为
2
1
4
y
x
，即
2
2
3
y
x
x
．
（2）解：如图为二次函数的图象．
（3）解：点A ，B ，C 如图所示．
据图可知点A 的坐标为
0, 3
，点B 的坐标为
3,0
，点C 的坐标为
1,0 ，
则
4
BC
，
3
OA ，
故
1
1
4 3
6
2
2
ABC
S
BC
OA
．
（4）解：二次函数的解析式为
2
1
4
y
x
，
当
1
x ，y 有最小值4
，
当
1
x ，
2
1 1
4
0
y
，
当
4
x ，
2
4
1
4
5
y
，
故y 的取值范围为4
5
y
．
题型3 y=ax²+bx+c 的图象与性质
【例5】已知二次函数
2
2
3
y
x
x
，下列关于这个函数图象性质的说法，正确的是（
）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是
1,3
C．图象与x 轴有唯一交点
D．当
1
x 时，y 随x 的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数
2
y
ax
bx
c
（a，b，c 是常数，
0
a
）与x 轴
的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程根的判断．也考查了二次函数的性质．先利用配方法得到
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
，可根据二次函数的性质可对A、B、D 进行判断；通过解方程
2
2
3
0
x
x
可对C 进行判断．
【详解】解：∵
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为
1,4 ，
A、开口向上，错误；
B、顶点坐标应为
1,4 ，不是
1,3 ，错误；
C、令
0
y
，得
2
2
3
0
x
x
，即
2
2
3
0
x
x
，判别式
2
2
4 1
3
4
12
16
0
，有两个
交点，不是唯一交点，错误；
D、∵开口向下，对称轴
1
x ，
∴当
1
x
时，y 随x 的增大而增大，正确．
故选：D．
【例6】关于二次函数
2
2
4
1
y
x
x
，下列说法正确的是（
）
A．图象开口向上
B．对称轴是直线
1
x
C．当
1
x 时，y 有最大值1
D．当
1
x 时，y 随x 的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的一般形式，通过系数判断开口方向，利用对称轴公式
求对称轴，在顶点处求最值，并分析增减性．
【详解】解：∵二次函数为
2
2
4
1
y
x
x
，其中
2,
4,
1
a
b
c
，
∴
2
0
a
，函数图象开口向下，故A 错误；
对称轴为
4
1
2
2
( 2)
b
x
a
，故B 错误；
当
1
x 时，
2
2 (1)
4 1 1
2
4 1 1
y
，
∵开口向下，
∴y 有最大值1，故C 正确；
∵对称轴
1
x 且开口向下，
∴当
1
x 时，y 随x 增大而减小，故D 错误．
故选：C．
【技巧归纳】
a 定开口与增减，c 定y 轴交点。对称轴x=-b/(2a)，顶点坐标公式。判别式Δ=b²-4ac 决定与x 轴交点个数。
最值在顶点，对称轴两侧单调性相反。
【变式3-1】关于二次函数
2
2
2
y
x
x
描述错误的是（
）
A．对称轴是直线
1
4
x
B．对称轴右侧y 随x 增大而增大
C．与y 轴交点是
0, 2
D．与x 轴无交点
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质．
通过计算二次函数的对称轴、开口方向、与坐标轴交点等性质，判断各选项正误．
【详解】对于函数
2
2
2
y
x
x
，
∵
2
0
a
，
∴抛物线开口向上．
对称轴是直线
1
1
2
2 2
4
b
x
a
，故A 正确；
∵开口向上，∴对称轴右侧y 随x 增大而增大，故B 正确；
当
0
x
时，
2
2 0
0
2
2
y
，∴与y 轴交点为
0, 2
，故C 正确；
对于
2
2
2
0
x
x
，判别式
2
2
Δ
4
1
4 2
2
1 16
17
0
b
ac
，∴与x 轴有两个交点，故D 错误；
故选：D．
【变式3-2】已知二次函数
2
2
4
1
y
x
x
，则下列关于该函数的结论正确的是（
）
A．顶点坐标为1 , 1
2
B．函数的最大值为1
C．当
2
x
时，y 随x 的增大而减小
D．若
1
2
2
x
x
，则
1
2
y
y
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将二次函数一般式化为顶点式，得出开口方向，对称轴，顶
点坐标，增减性，即可得出正确答案．
【详解】解：
2
2
2
4
1
2
1
1
y
x
x
x
，
顶点坐标为(
)
1, 1
-
，函数图象开口向上，对称轴为直线
1
x ，函数的最小值为1
，
当
1
x 时，y 随x 的增大而减小，当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，
若
1
2
2
x
x
，则
1
2
y
y
，
综上可知，选项D 结论正确，选项A，B，C 结论错误，
故选：D．
题型4 利用y=ax²+bx+c 的性质求解
【例7】抛物线
2 2
y
x
x c
上有三点
1
2, y
，
2
1, y
，
3
2, y
，则
1y ，2y ，3y 的大小关系是
．（用
“＜”连接）
【答案】
1
2
3
y
y
y
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的单调性和对称轴的应用．
先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的开口方向，比较三点到对称轴的距离，从而得出函数值的大小关
系；也可直接代入计算函数值进行比较．
【详解】解：对于抛物线
2 2
y
x
x c
，其对称轴为直线
2
1
2
2
( 1)
b
x
a
= -
= -
=
´ -
，
且抛物线开口向下（因为
1
0
a
），
点到对称轴的距离越远，函数值越小，
点
1
2, y
到对称轴
1
x 的距离为| 2
1| 3
，
点
2
1, y
到对称轴
1
x 的距离为| 1 1| 2
，
点
3
2, y
到对称轴
1
x 的距离为| 2
1| 1
，
3
2
1
，且抛物线开口向下，
1
2
3
y
y
y
．
【例8】二次函数
2
2
2
y
x
x
的最小值为
．
【答案】1
【分析】本题考查了二次函数的最值问题．通过配方将二次函数化为顶点式，根据二次项系数的正负判断
抛物线的开口方向，从而确定函数的最小值，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：
2
2
2
2
2
2
1 1
1
1
y
x
x
x
x
x
，
∵
2
1
1
y
x
中的二次项系数1
0
，
∴函数的开口向上，顶点坐标为
1,1 ，
∴二次函数
2
2
2
y
x
x
的最小值为1，
故答案为：1．
【技巧归纳】
根据a 判断开口和最值；利用对称轴求顶点；利用Δ判定交点。由已知点代入得方程求系数。比较函数值时，
画草图或利用增减性，对称轴到点距离影响函数值大小。
【变式4-1】在平面直角坐标系中，设二次函数
6
y
x
a
x
a
，其中
0
a
．
（1）此二次函数的对称轴为直线x
；
（2）已知点
,
P t m 和
7,
Q
n 在此函数的图象上，若m
n
，则t 的取值范围是
．
【答案】
3
1
7
t
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）令
0
y
，可求出函数与x 轴交点的横坐标，由二次函数的对称性可求出对称轴；
（2）因为抛物线开口向上，所以抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，若m
n
，则
3
7
3
t
，据此
解答即可．
【详解】（1）∵二次函数
6
y
x
a
x
a
，
令
0
y
，即
6
0
x
a
x
a
，
1
2
,
6
x
a x
a
，
∴函数经过
,0
a
和
6,0
a
是对称点，
∴对称轴为直线
6
3
2
a
a
x
，
故答案为：3．
（2）∵二次函数
6
y
x
a
x
a
，
∴二次项系数为1
0
，
∴函数图象开口向上，
又∵
,
P t m 和
7,
Q
n 在此函数的图象上，对称轴为直线
3
x
，
∴
3
7
3
t
，
∴1
7
t
，
故答案为：1
7
t
．
【变式4-2】已知二次函数
2
2
4
y
x
ax
a
，当1
2
x
时，y 的最大值为3，则a 的值为
．
【答案】2 或1
或7
【分析】本题考查二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，先求出抛物线的对称轴为直线
4
2
2
1
a
x
a
，分三种情况：当2
1
a
，即
1
2
a
时，当1
2
2
a
，即
1
1
2
a
时，当2
2
a
，
即
1
a 时，结合二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵
2
2
4
y
x
ax
a
，
∴对称轴为直线
4
2
2
1
a
x
a
，
∵1
0
，
∴抛物线的开口向下，
当2
1
a
，即
1
2
a
时，
∴当
1
x 时，函数有最大值3，
∴
2
2
1
4
3
a
a
，
1
2
x
，
整理得：
2
4
4
0
a
a
，
解得：
1
2
2
a
a
；
当1
2
2
a
，即
1
1
2
a
时，
∴当
2
x
a
时，函数有最大值3，
∴
2
2
2
2
8
3
a
a
a
，
解得：
1
1
a (舍去)，
2
1
a (舍去)；
当2
2
a
，即
1
a 时，
∴当
2
x
时，函数有最大值3，
∴
2
2
2
8
3
a
a
，
整理得：
2
8
7
0
a
a
，
解得：
1
1
a ，
2
7
a ；
综上分析可知：a 的值为2 或1
或7
；
故答案为：2 2
或1
或7
．
题型5 二次函数的图象与各项系数的符号
【例9】已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的部分图象如图所示，其对称轴为直线
2
x
，现有下列结论，
其中错误的是（
）
A．
0
abc
B．4
0
a
b
C．
3
0
c
a
D．16
4
0
a
b
c
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的
图象和性质，理解相关知识是解答关键．
根据二次函数的图象的开口方向和与y 轴交于负半轴，来判断出
0,
0
a
c
，再根据对称轴的来得到
4
0
b
a
求解A；根据对称轴
2
2
b
a
来判断B，根据由图象可知，当
1
x 时，
0
y
，再结合
4
b
a
来
求解C；根据图象可知，当
4
x
时，
2
0
y
ax
bx
c
来求解D．
【详解】解：二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的部分图象可知，抛物线开口向下，与y 轴交于负半轴，
0,
0
c
a
.
对称轴为直线
2
x
，即
2
2
b
a
，
4
0
b
a
，
0
abc
，故A 正确；
对称轴为直线
2
x
，即
2
2
b
a
，
4
b
a
，
4
0
b
a
，故B 正确；
由图象可知，当
1
x 时，
0
y
，
0
a
b
c
，
4
b
a
，
4
0
a
a
c
即
3
0
c
a
，故C 项错误；
由图象可知，当
4
x
时，
2
0
y
ax
bx
c
，
16
4
0
a
b
c
，故D 项正确，
综上所述，错误的是C．
【例10】二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的部分图象如图所示，图象过点
1,0
，对称轴为直线
1
x ，下列
结论：
0
c
①
；
2
0
a
b
②
；
4
2
0
a
b
c
③
；④当
0
y
时，1
3
x
，其中正确的结论有（
）
A．①②
B．①④
C．①②④
D．①③④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴，可知
0
c
；根据
抛物线的对称轴是
1
x ，可知2
0
a
b
；根据抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点坐标是
3,0 ，
所以当
2
x
时，有4
2
0
a
b
c
；根据图象可知当1
3
x
时，抛物线的图象在x 轴上方，所以当
0
y
时，
1
3
x
．
【详解】解：抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，
当
0
x
时，
2
0
y
ax
bx
c
c
，
故①正确，
抛物线的对称轴是
1
x ，
1
2
b
x
a
，
2
0
a
b
，
故②正确；
由图象可知，抛物线与x 轴的一个交点坐标是
1,0
，对称轴是
1
x ，
抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是
3,0 ，
当
2
x
时，
2
4
2
0
y
ax
bx
c
a
b
c
，
故③错误；
由图象可知，当1
3
x
时，抛物线的图象在x 轴上方，
当
0
y
时，1
3
x
，
故④正确；
正确的结论有①②④．
故选：C．
【技巧归纳】
a 正开口向上，负向下；c 为y 轴交点；b 符号由对称轴位置判定：左同右异（对称轴在y 轴左侧，a、b 同
号；右侧异号）。Δ正与x 轴两交点，Δ零一交点。
【变式5-1】如图是二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
图象的一部分．对称轴是
1
x ，且过点(
)
1,0
-
，下列说
法：①
0
abc
，②2
0
a
b
，③4
2
0
a
b
c
，④当
1
x 时，y 随x 的增大而减小，⑤
3
2
0
a
b
c
，其
中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键。
根据所给函数图象，可得出a，b，c 的正负，再利用抛物线的对称性和增减性及巧妙利用数形结合的数学
思想即可求解．
【详解】解：由图象可知二次函数图象开口向下，
∴
0
a
，
∵二次函数图象的对称轴为直线
1
x ，
∴
1
2
b
a
，
∴
2
b
a
，
∴
0
b
，
由图可得，函数图象交y 轴于上半轴，
∴
0
c
，
∴
0
abc＜，①错误；
∵二次函数图象的对称轴为直线
1
x ，
∴
1
2
b
a
，
∴
2
b
a
，
∴2
0
a
b
，②正确；
∵图象与x 轴的一个交点坐标为(
)
1,0
-
且图象关于直线
1
x 对称，
∴图象与x 轴的另一个交点坐标为(
)
3,0 ，
∴由函数图象得，当1
3
x
时，
0
y
；当
1
x 或
3
x
时，
0
y
∴当
2
x 时，
0
y
，
∴
2
2
2
4
2
0
a
b
c
a
b
c
，③正确；
由函数图象可得，当
1
x 时，y 随x 的增大而减小，
∴④正确；
∵函数过(
)
1,0
-
，
∴
0
a
b
c
，
∴c
b
a
，
∴
3
2
a
b
c
3
2
a
b
b
a
a
b
，
由
2
b
a
得，a
b
2
a
a
0
a
，
∴⑤正确，
综上所述，正确的有②③④⑤，共四个，
故选D．
【变式5-2】抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
的部分图象如图所示，其顶点P 的坐标为
1,n ，抛物线与x 轴的
一个交点A 在
3,0 和
4,0 之间，有以下结论：
①
0
abc
；
②3
0
a
c
；
③n
c
a
；
④关于x 的一元二次方程
2
ax
bx
c
n
有两个相等的实数根．
其中，正确结论的个数为（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，图象开口方向判断出a ，由对称轴得出b ，抛物线与y
轴的交点判断c ，然后利用二次函数的性质依次判断即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【详解】解：由图象得：抛物线开口向下，对称轴为
1
x ，与y 轴交于正半轴，
∴
0
a
，
1,
0
2
b
c
a
，
∴
2
0
b
a
，
∴
0
abc
，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线
1
x ，即
1
2
b
a
，
2
b
a
，
∵抛物线与x 轴的一个交点A 在
3,0 和
4,0 之间，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在
2,0
和
1,0
之间，
∴
1
x 时，
0
y
a
b
c
，
2
0
a
a
c
，
即3
0
a
c
，故②正确；
当
1
x 时，
2
y
n
a
b
c
a
a
c
c
a
，故③正确；
∵抛物线顶点坐标为(1, )
n ，
∴抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
与直线y
n
有唯一一个交点，
即方程
2
ax
bx
c
n
有两个相等的实数根，故④正确；
综上，②③④正确．
故选：C．
题型6 一次函数、二次函数图象的综合判断
【例11】在同一个平面直角坐标系中，二次函数
2
y
x
b
，y
x
b
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点
与其系数的关系．
根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b 的正负情况，从而可以解答本题．
【详解】解：二次函数
2
y
x
b
，y
x
b
，
二次函数开口向上，排除选项A；
当
0
b
时，一次函数经过一、二、四象限，排除选项C，
当
1
x 时，
21
1
y
b
b
，
1
1
y
b
b
，相应的函数值互为相反数，只有选项D 符合题意；
故选∶D．
【例12】在同一平面直角坐标系内，一次函数y
ax
c
与二次函数
2
4
y
ax
x
c
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及
熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
本题可先由一次函数y
ax
c
图象与二次函数
2
4
y
ax
x
c
的图象分别求出对应的a，c 的范围，再相比
较看是否一致即可．
【详解】解：∵一次函数y
ax
c
与y 轴交点坐标为(0,
)c
，二次函数
2
4
y
ax
x
c
与y 轴交点坐标为
0,c ，
∴选项A、C 的直线和抛物线与y 轴交点坐标是同一点，不合题意，
选项B、D 直线和抛物线与y 轴交点坐标都是关于x 轴对称，
但选项B 观察一次函数y
ax
c
的图象得：
0
a
，由二次函数
2
4
y
ax
x
c
的图象得：
0
a
，相矛盾，
故本选项不符合题意；
选项D 观察一次函数y
ax
c
的图象得：
0
a
，由二次函数
2
4
y
ax
x
c
的图象得：
0
a
，有可能，故
本选项符合题意；
故选：D
【技巧归纳】
先确定各自系数的符号范围，再检验公共交点是否一致。假设一个成立，推导参数符号，验证另一个图象
是否可能共存。常用排除法，如开口方向与一次函数增减性矛盾则错。
【变式6-1】如图，抛物线
2
y
ax
bx
与直线y
mx
n
相交于点
4, 5
A
，
1, 2
B
，则关于x 的方程
2
ax
bx
mx
n
的解为
．
【答案】
1
4
x ，
2
1
x
【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程
的解是解此题的关键．根据A ，B 两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可．
【详解】解：∵抛物线
2
y
ax
bx
与直线y
mx
n
相交于点
( 4, 5), (1, 2)
A
B
，
∴关于x 的方程
2
ax
bx
mx
n
的解为
1
2
4,
1
x
x
，
故答案为：
1
2
4,
1
x
x
．
【变式6-2】如图所示，二次函数
2
1
3
y
ax
bx
的图像与一次函数
2y
x
m
的图像交于
1,0
A
，
2, 3
B
两点，当
2
3
ax
bx
x
m
时，自变量x 的取值范围是
．
【答案】3
17
3
17
2
2
x
【分析】本题考查了二次函数与一次函数，不等式组，因式分解，掌握知识点是解题的关键．
先分别求出二次函数
2
1
3
y
ax
bx
与一次函数
2y
x
m
的解析式，再令
3
1
y
x
，当
1
3
y
y
时，求出
1
2
3
17
3
17
,
2
2
x
x
，继而当
2
3
ax
bx
x
m
时，即
2
3
2
0
x
x
，推断出
(
)
0
3
17
3
17
)(
2
2
x
x
，求解即可．
【详解】解：将
1,0
A
，
2, 3
B
分别代入
2
1
3
y
ax
bx
得
3
0
4
2
3
3
a
b
a
b
，
解得
1
2
a
b
，
∴二次函数
2
1
2
3
y
x
x
，
将
1,0
A
代入
2y
x
m
得
1
0
m
，
解得
1
m ，
∴一次函数
2
1
y
x
，
令
3
1
y
x
，当
1
3
y
y
时，
2
2
3
1
x
x
x
，
即
2
3
2
0
x
x
，
解得
1
2
3
17
3
17
,
2
2
x
x
，
∵当
2
3
ax
bx
x
m
时，
即
2
1
2
3
x
x
x
，
2
3
2
0
x
x
，
∴(
)
0
3
17
3
17
)(
2
2
x
x
，
即
3
17
0
2
3
17
0
2
x
x
或
3
17
0
2
3
17
0
2
x
x
（无解）
解得3
17
3
17
2
2
x
．
故答案为：3
17
3
17
2
2
x
．
题型7 二次函数图象的平移
【例13】将抛物线
2
2
1
y
x
向下平移2 个单位长度，再向左平移1 个单位长度后，得到的新抛物线的
表达式为（
）
A．
2
1
1
y
x
B．
2
2
y
x
C．
2
1
3
y
x
D．
2
3
1
y
x
【答案】A
【分析】本题主要考查了抛物线平移的性质，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．
根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，先处理向下平移，再处理向左平移，直接计算新表达式．
【详解】解：∵原抛物线为
2
2
(
)
1
y
x
，
向下平移2 个单位：
2
2
(
2)
1 2
(
2)
1
y
x
x
，
再向左平移1 个单位：
2
2
[
1
2]
1
(
1)
1
y
x
x
，
∴新抛物线表达式为
2
(
1)
1
y
x
，
故选：A．
【例14】如果将某一抛物线向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位后所得新抛物线的表达式是
2
2
2
1
y
x
，那么原抛物线的表达式是（
）
A．
2
2
3
3
y
x
B．
2
2
1
3
y
x
C．
2
2
1
1
y
x
D．
2
y
2 x
3
1
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．根据图象反向平
移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．
【详解】解：将某一抛物线向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位后所得新抛物线的表达式是
2
2
2
1
y
x
，
则表达式为
2
2
2
1
y
x
的抛物线，左移1个单位，下移2个单位得原函数解析式为
2
2
2
1
1
2
y
x
，
即
2
2
1
1
y
x
，
故选：C．
【技巧归纳】
平移口诀：左加右减（对x），上加下减（对整体）。从y=ax²开始，先平移h 再平移k。注意符号：y=a(x-h)
²+k 中，h>0 向右，k>0 向上；反之向左向下。直接写解析式。
【变式7-1】将抛物线
2
2
1
3
y
x
向右平移2 个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为
．
【答案】
2
2
3
2
y
x
【分析】本题考查了二次函数的平移；根据抛物线平移的规律：向右平移时，x 替换为
(
0)
x
h h
；向下平
移时，y 替换为
(
0)
y
k k
或函数值减去k ．
【详解】解：将抛物线
2
2
1
3
y
x
向右平移2 个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为
2
2
2
1 2
3 1
2
3
2
y
x
x
故答案为：
2
2
3
2
y
x
．
【变式7-2】将抛物线
2
2
12
12
y
x
x
先向右平移2 个单位长度再向下平移1 个单位长度，得到的新抛物
线的顶点为
．
【答案】
5,5
【分析】本题考查了二次函数的平移变换规律及顶点坐标的求解方法，先通过配方法将原抛物线化为顶点
式，得到顶点坐标，再根据平移规律“左加右减，上加下减”确定新顶点坐标．
【详解】解：将抛物线
2
2
12
12
y
x
x
化为顶点式：
2
2
3
6
y
x
，
因此原顶点坐标为
3,6 ，
将原抛物线顶点式向右平移2 个单位，横坐标加2，得5；向下平移1 个单位，纵坐标减1，得5，
∴新抛物线顶点为
5,5 ．
故答案为：
5,5
题型8 y=ax²+bx+c 的图象与性质综合
【例15】已知二次函数
2
1
2
3
2
y
x
mx
m
（m 为常数）．
(1)若该函数图象上有两个点
1
2,
A m
y
、
2
1,
B m
y
，试比较
1y 与
2y 的大小；
(2)当2
4
x
时，函数有最小值为2
，请直接写出m 的值．
【答案】(1)
1
2
y
y
．
(2)
2
2
m
【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比
较
1y 和
2y ；
（2）对于范围2
4
x
内的最值问题，先确定对称轴为x
m
，因为二次函数开口向上，所以分三种情况
讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；
如果对称轴在区间右侧，那么最小值在
4
x
处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件．
【详解】（1）解：已知二次函数
2
1
2
3
2
y
x
mx
m
，二次项系数
1
0
2
a
，抛物线开口向上．
根据对称轴公式得对称轴为：
1
2
2
2
b
m
x
m
a
，
点
1
2,
A m
y
到对称轴的距离：
2
2
m
m
，
点
2
1,
B m
y
到对称轴的距离：
1
1
m
m
，
开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大，
因为2
1
，
因此
1
2
y
y
．
（2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论：
当
2
m
时：在2
4
x
上y 随x 的增大而增大，最小值在
2
x
处取得：
2
min
1
2
2
2
3
1
2
2
y
m
m
，
此情况无解．
当2
4
m
时：函数最小值在顶点取得：
2
2
min
1
1
2
3
2
3
2
2
2
y
m
m m
m
m
m
，整理得
2
4
2
0
m
m
，
解得
2
2
m
，只有
2
2
m
满足条件；
当
4
m
时：在2
4
x
上y 随x 的增大而减小，最小值在
4
x
处取得：
2
min
1
4
4
2
3
5
2
2
2
y
m
m
m
，
解得
7
3.5
2
m
，不满足
4
m
，舍去．
综上，
2
2
m
．
【例16】在平面直角坐标系中，已知二次函数
2
y
x
bx
c
的图象经过点
3,0
A
和点
0,3
C
．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)已知点
,
M m n 在该二次函数的图象上，当2
2
m
时，求n 的取值范围；
(3)当
1
t
x
t
时，二次函数的最大值为2t ，求出t 的值．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
(2) 5
4
n
(3)
6
t 或
2
7
t
【分析】（1）将
3 0
A , 、
0,3
C
代入
2
y
x
bx
c
，列方程组求
,b c ；
（2）先求出二次函数的对称轴，由二次函数开口向下，在对称轴左侧y 随x 增大而增大，右侧减小，求出
最小值和最大值，即可求出n 的取值范围；
（3）分类讨论
1
t
x
t
与对称轴
1
x 的位置关系，由二次函数的性质，根据最大值等于2t 列方程求解
即可．
【详解】（1）解：
2
y
x
bx
c
过点
3 0
A , 和点
0,3
C
，
0
9
3
3
0
0
b
c
c
，解得
2
3
b
c
，
该二次函数表达式为
2
2
3
y
x
x
．
（2）解：由（1）得该二次函数表达式为
2
2
3
y
x
x
，
对称轴
2
1
2
x
，函数图象开口向下，
在对称轴左侧y 随x 增大而增大，右侧y 随x 增大而减小，
点
,
M m n 在该二次函数的图象，当2
2
m
时，
当
1
m
时，n 取得最大值为
1 2
3
4
．
当
2
m 时，
4
4
3
3
n
；
当
2
m
时，
4
4
3
5
n
，
2
m
，n 取不到
5
，
∴n 的取值范围为
5
4
n
，
（3）解：由（2）得，二次函数
2
2
3
y
x
x
，对称轴为
1
x ，
当
1
1
t ，即
2
t 时，
在
1
t
x
t
上，y 随x 增大而增大，
当
1
x
t
，y 有最大值为2t ，
2
(
1)
2(
1)
3
2
t
t
t
，
化简得
2
6
0
t
t
，解得
6
t 或
0
t
（舍），
当
1
1
t
t
，即2
1
t
时，
当
1
x 时，y 有最大值为2t ，
1 2
3
2t
，解得
2
t
，不符合题意，舍去，
当
1
t 时，
在
1
t
x
t
上，y 随x 增大而减少，
当x
t
，y 有最大值为2t ，
2
2
3
2
t
t
t
，
化简得
2
4
3
0
t
t
，解得
2
7
t
或
2
7
t
（舍），
综上，
6
t
或
2
7
t
．
【技巧归纳】
综合应用：a、b、c 决定开口、对称轴、交点及最值。配方法求顶点；Δ判定交点；求面积用交点坐标；比
较大小利用到对称轴距离。图象信息题从开口、对称轴、特殊点突破。
【变式8-1】已知二次函数
2
3
2
y
ax
ax
（a 为常数且
0
a
）．
(1)当点
2,0
P
在该函数图象上时，求a 的值．
(2)当x
m
和x n
时（m
n
），函数值相等，求m，n 之间的关系式．
(3)若
1
a 时，当
1
t
x
t
时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t 的值．
【答案】(1)
1
a
(2)
3
m
n
(3)
0
t
或
2
t
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用纵坐标相同的两个点关于对称轴对称即可求解；
（3）分情况讨论对称轴的位置，利用最大值比最小值大2，建立方程，其中当
3
1
2
t
t
时，要再细分为
两个端点离对称轴的距离的大小进一步讨论，最后该两种情况都不成立，综合所有情况即可求解．
【详解】（1）解：把
2
x
，
0
y
代入
2
3
2
y
ax
ax
中，
得：
2
2
3 2
2
0
a
a
∴
1
a ．
（2）解：∵对称轴为直线
3
3
2
2
a
x
a
，
∴3
2
2
m
n
3
m
n
．
（3）解：当
1
a 时，
2
2
3
1
3
2
2
4
y
x
x
x
，
图象开口向上，对称轴为直线
3
2
x
，顶点3
1
,
2
4
，
①当
3
2
t
时，最大值最小值
2
2
1
3
1
2
3
2
2
t
t
t
t
解得：
2
t
．
②当
3
1
2
t
，即
1
2
t <
时，最大值- 最小值
2
2
3
2
1
3
1
2
2
t
t
t
t
解得：
0
t
．
③当
3
1
2
t
t
，即1
3
2
2
t
时，最小值为顶点纵坐标
1
4
，
要使最大值- 最小值
2
，
∴最大值
7
4
，
令
2
3
1
7
2
4
4
x
，
解得：
3
2
2
x
，
当3
3
1
2
2
t
t
时，即1
1
2
t
时，
函数在x
t
时取最大值，
∵3
2
2
都不在1
1
2
t
的范围内，
∴该情况不成立，
当3
3
1
2
2
t
t
时，即
3
1
2
t
时，
函数在
1
x
t
时取最大值，
令
3
1
2
2
t
，
∴
1
2
2
t
∵
3
1
2
t
，
∴1
2
2
都不在这个范围内，
故该情况不成立，
综上所述：
0
t
或
2
t
．
【变式8-2】如图，二次函数
2
3
y
ax
bx
的图象经过点
( 1,0)
A
，点
(
)
2,3
B
．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当5
3
x
时，求二次函数
2
3
y
ax
bx
的最值；
(3)点M 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点M 作MN
x
∥
轴，点N 的横坐标为
3
m
．已知点
M 与点N 不重合，且线段MN 的长度随m 的增大而减小，求m 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
(2)当5
3
x
时，二次函数
2
2
3
y
x
x
的最大值为4 ，最小值为32
(3)
3
2
m
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据抛物线的解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线
1
x ，当
1
x 时，y 取最大值为4 ，进而根
据5
3
x
，得出函数值的最值，即可求解；
（3）根据题意得出MN 的表达式，根据线段MN 的长度随m 的增大而减小，结合一次函数的性质，即可求
解．
【详解】（1）解：将点
( 1,0)
A
，点
(
)
2,3
B
代入
2
3
y
ax
bx
，
得
3
0
4
2
3
3
a
b
a
b
，解得
1
2
a
b
，
∴二次函数的解析式为
2
2
3
y
x
x
．
（2）解：
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线
1
x ，
∴当
1
x 时，y 取最大值为4 ．
∵5
3
x
，
∴当
5
x 时，
2
( 5)
2 ( 5)
3
32
y
．
当
3
x
时，
23
2 3
3
0
y
．
∴当5
3
x
时，二次函数
2
2
3
y
x
x
的最大值为4 ，最小值为32
．
（3）解：
|
3
| | 2
3|
MN
m
m
m
，
当2
3
0
m
时，即
3
2
m
，
2
3
MN
m
，MN 的长度随m 增大而增大，不符合题意．
当2
3
0
m
时，即
3
2
m
，
2
3
MN
m
，MN 的长度随m 的增大而减小，
∴m 的取值范围为
3
2
m
．
一、单选题
1．抛物线
2
6
2
y
x
x
的顶点坐标为(
)
A．
3, 7
B．
3,7
C．
3, 7
D．
3,7
【答案】A
【分析】直接利用配方法将原式化为顶点式，进而求出二次函数的顶点坐标．
【详解】解：
2
2
2
6
2
6
9
7
3
7
y
x
x
x
x
x
故抛物线
2
6
2
y
x
x
的顶点坐标是：
3, 7
．
2．已知
1
2
3
1,
, 2,
, 4,
y
y
y
是抛物线
2
4
y
x
x
m
上的点，则
1y 、
2y 、
3y 的大小关系为（
）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
2
3
1
y
y
y
C．
1
3
2
y
y
y
D．
3
1
2
y
y
y
【答案】C
【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点
到对称轴的距离即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线解析式为
2
4
y
x
x
m
，
∴
1
0
a
，抛物线开口向下，对称轴为
4
2
2
2
1
b
x
a
，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大．
分别计算三个点到对称轴
2
x
的距离：
点
1
1, y
的距离：
1 2
3
，
点
2
2, y
的距离：2
2
0
，
点
3
4, y
的距离：4
2
2
．
∵0
2
3
，
∴
1
3
2
y
y
y
．
3．已知二次函数
2
2
3
y
x
x
，下列说法错误的是（
）
A．开口向上
B．对称轴为直线
1
x
C．顶点坐标为
1, 4
D．当
1
x 时，y 随x 的增大而增大
【答案】C
【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质判断各选项的说法，找出错误的选项
即可．
【详解】解：∵
2
2
2
3
(
1)
2
y
x
x
x
，二次项系数
1
0
a
，
∴抛物线开口向上，A 选项说法正确，
抛物线对称轴为直线
1
x ，B 选项说法正确，
顶点坐标为
1,2 ，不是
1, 4
，C 选项说法错误，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线
1
x ，
∴当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，D 选项说法正确．
4．二次函数
2
y
x
bx
c
的图象如图所示，对称轴为直线
2
x
，下列说法正确的是（
）
A．
2
b
B．当
3
x
时，y 随x 的增大而增大
C．
5
c
D．当
4
c 时，抛物线的顶点坐标为
2, 8
【答案】D
【分析】由二次函数对称轴公式即可判断A 选项，由二次函数的性质即可判断B 选项，由图象可得当
1
x
时，
0
y
，即可判断C 选项，当
4
c 时，
2
4
4
y
x
x
，结合二次函数的性质即可判断D 选项．
【详解】解：∵二次函数
2
y
x
bx
c
的对称轴为直线
2
x
，
∴
2
2 1
b
，
∴
4
b
，故A 选项错误；
∵二次函数
2
y
x
bx
c
的图象开口向上，且对称轴为直线
2
x
，
∴当
2
x
时，y 随x 的增大而增大，故B 选项错误；
由图象可得当
1
x 时，
2
1
4
1
0
y
c
，
∴
5
c ，故C 选项错误；
当
4
c 时，
2
2
4
4
2
8
y
x
x
x
，此时抛物线的顶点坐标为
2, 8
，故D 选项正确．
5．已知二次函数
2
2
2
2
y
x
ax
a
，当自变量x 满足
1
2
a
x
a
时，函数y 的最小值为2，则a 的值
为（
）
A．0 或2
B．1 或3
C．任意实数
D．2 或4
【答案】C
【分析】先对二次函数配方，得到开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的x 范围判断对称轴位置，
然后根据二次函数的性质求最值即可求得a．
【详解】解：∵
2
2
2
2
2
2
y
x
ax
a
x
a
，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线x
a
，顶点纵坐标为2 ，
∵自变量x 满足
1
2
a
x
a
∴
1
2
a
a
a
恒成立，即对称轴x
a
一定在给定区间内，
∴二次函数在x
a
处取得最小值，最小值恒为2 ，符合题意
∴a 为任意实数．
二、填空题
6．
2
2
2
y
x
x
的开口方向是__________；最大值是_______________．
【答案】
开口向下
3
【分析】首先将抛物线配方成顶点式，然后根据二次项系数为负判断出开口向下，然后根据顶点的纵坐标
为最大值求解．
【详解】解：
2
2
2
2
1
3
y
x
x
x
∵二次项系数为1
0
∴抛物线开口向下，最大值是3．
7．已知点
1
2, y
，
2
3, y
在二次函数
2
2
y
x
x
m
的图象上，比较
1y ______
2y ．（填
、或）．
【答案】
【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越大，求出两点到对称轴的
距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数的解析式为
2
2
2
1
1
y
x
x
m
x
m
，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线
1
x ，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵点
1
2, y
，
2
3, y
在二次函数
2
2
y
x
x
m
的图象上，且
2
1
3
3 1
2
，
∴
1
2
y
y
．
8．已知抛物线
2
4
1
y
x
x
，当1
4
x
时，函数y 的最大值是_____．
【答案】6
【分析】先将抛物线解析式配方，得到抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，在给
定范围内，代入端点计算后比较得到最大值．
【详解】解：对抛物线解析式配方得：
2
2
4
1
(
2)
3
y
x
x
x
，
1
0
a
，
抛物线开口向上，对称轴为直线
2
x
，
已知x 的取值范围为1
4
x
，
分别代入端点计算函数值：当
1
x 时，
2
( 1 2)
3
9
3
6
y
，
当
4
x
时，
2
(4
2)
3
4
3
1
y
，
比较得6
1
，
因此y 的最大值为6 ．
9．已知点
1,
P
m ，
3,
Q
m 都在抛物线
2
1
y
ax
bx
上，则b ______（用含a 的代数式表示）．
【答案】4a
【分析】根据点的坐标得出两点关于对称轴对称，然后根据对称轴的公式列出关系式．
【详解】解：∵点P 和点Q 的纵坐标都是m，且两点都在抛物线
2
1
y
ax
bx
上，
∴点P 和点Q 关于该抛物线的对称轴对称．
∵抛物线的对称轴为直线
2
2
b
b
x
a
a
，
∴
1 3
2
2
2
b
a
，
∴
4
b
a
．
10．如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
的对称轴是直线
1
x ．有下列结论：①
0
abc
；②4
2
a
c
b
；③若
1
1
,
x y
和
2
2
,
x
y
是抛物线上的两点，则当
1
2
1
1
x
x
时，
1
2
y
y
；④抛物线的顶点为
1,m
，则关于x 的方程
2
1
ax
bx
c
m
无实数根．其中正确结论是________．（只需填写序号）
【答案】①②③④
【分析】由图象可知a 与c 的正负，再根据对称轴可得b 的正负，由此可判断①；根据不等式的性质判断
②；根据抛物线上的点到对称轴的距离即可判断③；根据二次函数的最值可得最小值，由此可判断④．
【详解】解：由图象可知，图象开口向上，且与y 轴交于负半轴，
∴
0
a
，
0
c
，
∵对称轴为
1
2
b
x
a
，
∴
2
0
b
a
，
∴
0
abc
，故结论①正确；
∵
2
b
a
，
∴4
2
a
b
，
∵
0
c
，
∴4
4
a
c
a
，
∴4
2
a
c
b
，
故结论②正确；
∵
1
1
1
1
x
x
，
2
2
1
1
x
x
，
此时表示点
1
1
,
x y
和
2
2
,
x
y
到对称轴
1
x 的距离，
当
1
2
1
1
x
x
时，
点
1
1
,
x y
到对称轴的距离大于点
2
2
,
x
y
到对称轴的距离，
∵抛物线开口向上，
∴
1
2
y
y
，故结论③正确；
∵抛物线的顶点坐标为
1,m
，抛物线开口向上
则y 的最小值为m，
∴y
m
≥
，
∴
2
ax
bx
c
m
，
∴
2
0
ax
bx
c
m
，
∴
2
1
1
ax
bx
c
m
而方程
2
1
ax
bx
c
m
变形为
2
1
0
ax
bx
c
m
∴关于x 的方程
2
1
ax
bx
c
m
无实数根，故结论④正确．
∴正确的结论是①②③④．
三、解答题
11．通过配方，写出函数
2
2
3
5
y
x
x
的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】
2
2
3
49
2
3
5
2
4
8
y
x
x
x
，开口向下，对称轴是直线
3
4
x
，顶点坐标为
3 49
,
4
8
【详解】略
12．已知二次函数
2
2
4
3
0
y
ax
ax
a
．
(1)求该函数图象的对称轴；
(2)当
0
a
时，点
3,
M
m
，
2,
N
n
在该函数图象上，比较m，n 的大小并说明理由．
【答案】(1)
1
x ；
(2) m
n
，理由见解析．
【分析】（1）根据对称轴公式计算即可；
（2）先求出m、n 的值，进而根据作差法比较即可．
【详解】（1）解：∵二次函数
2
2
4
3
0
y
ax
ax
a
，
∴二次函数的对称轴为直线
4
1
2
2
a
x
a
；
（2）解：m
n
，理由如下：
∵点
3,
M
m
，
2,
N
n
在该函数图象上，
∴
2
2
3
4
3
3
18
12
3
6
3
m
a
a
a
a
a
，
2
2
2
4
2
3
3
n
a
a
，
则
6
3
3
6
m
n
a
a
，
∵
0
a
，
∴6
0
a
，
即m
n
．
13．在直角坐标系中，抛物线
2
1
y
ax
bx
（a ，b 是常数，
0
a
）与y 轴相交于点A ．
(1)若抛物线经过点
1,6 ，
2,3
，求a ，b 的值；
(2)已知3
0
a
b
，若1
2
x
，y 有最大值9，求a 的值．
【答案】(1) ,a b 的值分别为2,3
(2)
2
a
或
32
9
a
【分析】（1）利用待定系数法，将函数图像经过的两个点坐标代入二次函数解析式，构造出关于参数a
b
、
的二元一次方程组，通过解方程组直接求出a、b 的数值；
（2 ）先根据3
0
a
b
用a 表示b ，代入解析式配成顶点式确定对称轴；再按照开口向上、
0
a
开口向下
分类讨论，结合自变量的取值范围判断最大值对应的a ，分别列式求解a ，最后汇总所有符合条件的a 的值．
【详解】（1）解：将点
1,6 ，
2,3
代入
2
1
y
ax
bx
，
得
6
1
3
4
2
1
a
b
a
b
，
解得
2
3
a
b
，
∴,a b 的值分别为2,3；
（2）解：∵3
0
a
b
，
∴
3
b
a
，
∴抛物线为
2
3
1
y
ax
ax
，
∵
2
2
3
4
9
3
1
2
4
a
y
ax
ax
a x
，
∴抛物线顶点坐标为3 4
9
,
2
4
a
，
①当
0
a
时，抛物线开口向上，3
3
( 1)
2
2
2
，
∴当
1
x 时，
3
1
4
1
y
a
a
a
为最大值，
即4
1
9
a
，解得
2
a
；
②当
0
a
时，抛物线开口向下，
∴当
3
2
x
时，
4
9
4
a
y
为最大值，
即4
9
9
4
a
，
解得
32
9
a
；
综上所述，
2
a
或
32
9
a
．
14．已知二次函数
2
y
ax
bx
c
（
0
a
）中的x 和y 满足下表：
x
…
2
1
0
1
…
y
…
0
1
0
3
…
(1)根据表格内容，求该二次函数的表达式和顶点坐标；
(2)在图中平面直角坐标系中画出上述二次函数的图象，并在图象上标出
2,0
A
，
1,3
B
；
(3)将（2）中二次函数的图象向右平移
0
n n
个单位长度，当2
1
x
时，新函数的最大值为2，请直接
写出n 的值．
【答案】(1)二次函数的表达式为
2
2
y
x
x
，顶点坐标为
1, 1
(2)见详解
(3) 2
3
或
3
1
【分析】（1）根据表格信息得到对称轴为
1
x ，则得到顶点坐标，再把表格中对应的自变量的值，函数
值代入，运用待定系数法即可求解；
（2）根据表格信息，描点连线即可；
（3）根据二次函数图象的平移得到平移后的解析式，结合图象得到在2
1
x
中，分类讨论：当
1
1
1
2
n
时；当
1
1
2
n
时，结合图形得到函数最大值，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：根据表格得到，当
2
x ，
0
x
时，函数值
0
y
，
∴二次函数对称轴为
2
0
1
2
2
b
x
a
，
当
1
x 时，
1
y ，即顶点坐标为
1, 1
，
根据表格数据得，
4
2
0
1
0
a
b
c
a
b
c
c
，
解得，
1
2
0
a
b
c
，
∴二次函数解析式为
2
2
y
x
x
；
（2）解：∵对称轴为
1
x ，
∴当
3
x 时，
3
y
，
如图所示，
（3）解：二次函数解析式为
2
2
2
1
1
y
x
x
x
，
∴二次函数图象开口向上，当
1
x 时，y 随x 的增大而减小，当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，即离对
称轴越远，值越大，
∵二次函数的图象向右平移
0
n n
个单位长度，
∴平移后的解析式为
2
1
1
y
x
n
，
此时的对称轴为
1
x
n
，
∵2
1
x
，
∴
2
1
1
2
2
，
当
1
1
1
2
n
时，即
1
0
2
n
，
1
x 时，取得最大值2，
∴
2
1 1
1
2
n
，
解得，
1
2
3
n
，
2
3
2
3
2
n
（舍去）；
当
1
1
2
n
时，即
1
2
n
，
2
x 时取得最大值2，
∴
2
2
2
1
1
n
，
解得，
1
3 1
n
，
2
3 1
n
（舍去），
∴
3
1
n
；
综上所示，n 的值为2
3
或
3
1
．
15．在平面直角坐标系中，平移抛物线
2
1 :
2
Q
y
x
hx
c
的图象，若其顶点P 始终都在直线y
kx
b
（k ，
b 均为常数）上，则称直线y
kx
b
为抛物线
1
Q 的“ k
b
型亲密线”．
(1)当抛物线
1
Q 满足
2
1
c
h
时，
①若此时抛物线
1
Q 的图象恰好经过原点，求顶点P 的坐标；
②求该抛物线
1
Q 的“ k
b
型亲密线”的表达式；
(2)将抛物线
1
Q 进行平移，得到抛物线
2
Q ，设抛物线
2
Q 与y 轴交点的纵坐标为n ，顶点P 的横坐标为m ，当
2
1
m
时，n 有最小值1，若此时抛物线
2
Q 有“
3
k 型亲密线”，求k 的值．
【答案】(1)①
1, 1
；②
2
1
y
x
(2)k 的值为3
或2 2
【分析】（1）①先结合抛物线
2
1 :
2
Q
y
x
hx
c
，
2
1
c
h
，得出
2
2
2
1
y
x
hx
h
，再结合抛物线
1
Q
的图象恰好经过原点，求出
2
1
1
y
x
，即可作答．
②把
2
2
2
1
y
x
hx
h
整理成顶点式，又因为直线y
kx
b
为抛物线
1
Q 的“ k
b
型亲密线”，故设x
h
，
则
2
1
y
x
，即可作答．
（2）先结合抛物线
2
Q 有“
3
k 型亲密线”，得出二次函数可表示为
2
3
y
x
m
km
，令
0
x
，则
2
km
3
n
m
，此时n 是关于m 的二次函数，且开口方向向上，对称轴为直线
2
k
m
，运用二次函数的性
质以及分类讨论思想进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：
2
1
c
h
2
2
2
1
y
x
hx
h
①∵抛物线
1
Q 的图象恰好经过原点
∴将
0,0 代入得：
2
0
0
1
h
，
解得：
1
2
1
h
h
，
2
2
2
2
2
1
1 1
2
1
1
y
x
x
x
x
x
，
∴其顶点坐标为
1, 1
；
②
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
y
x
hx
h
x
hx
h
h
x
h
h
，
其顶点坐标为
,2
1
h
h
，
∵直线y
kx
b
为抛物线
1
Q 的“ k
b
型亲密线”
∴设x
h
，则
2
1
2
1
y
h
x
，
该二次函数“ k
b
型亲密线”为
2
1
y
x
；
（2）解：二次函数有“
3
k 型亲密线”
二次函数
2
2
y
x
hx
c
平移后的顶点在直线
3
y
kx
上，
∵设抛物线
2
Q 与y 轴交点的纵坐标为n ，顶点P 的横坐标为m ，
∴当x
m
时，则
3
y
km
则二次函数可表示为
2
3
y
x
m
km
令
0
x
，则
2
km
3
n
m
，
此时n 是关于m 的二次函数，且开口方向向上，对称轴为直线
2 1
2
k
k
m
，越靠近对称轴的自变量所对
应的函数值越小，
当2
1
m
时，n 有最小值1
①若
2
2
k
，即
4
k
，
当
2
m 时，
2
2
2
3
7
2
n
k
k
为最小值1，
即1
7
2k
解得
3
k ，不满足
4
k
，故舍去；
②若
1
2
k
，即
2
k ，
当
1
m 时，
2
1
4
1
3
k
n
k
为最小值1，
即1
4
k
解得
3
k ；
③若2
1
2
k
，即2
4
k
，
当
2
k
m
时，
2
2
3
3
2
2
4
k
k
k
n
k
为最小值1，
即
2
1
3
4
k
解得
1
2 2
k
，
2
2 2
k
（不满足2
4
k
，故舍去）
综上，k 的值为3
或2 2 ．
